Perlu diperhatikan bahwa hanya matriks dengan ukuran yang sama yang dapat digunakan untuk operasi ini. Saat menjumlahkan dua matriks, semua elemennya dijumlahkan berpasangan, dan saat mengurangkan, kita menangani selisih berpasangannya. Setelah mendapatkan solusi yang detail dan langkah demi langkah, Anda akan dapat lebih memahami proses mencari jumlah dan selisih matriks.
Jadi, Anda mempunyai dua matriks di depan Anda, dan Anda perlu mencari jumlah atau selisihnya. Anda dapat melakukan keduanya dengan mudah dan cepat jika menggunakan kalkulator online kami. Ini akan sangat berguna bagi Anda jika Anda ingin memahami algoritma operasi ini. Teori tidak selalu mampu memberikan jawaban yang jelas atas semua pertanyaan; perhitungan praktis mengatasi tugas ini dengan lebih baik. Dengan menggunakan kalkulator online, Anda akan menerima diagram detail tentang cara pengurangan atau penjumlahan matriks. Selain itu, Anda dapat mencoba menghitung semuanya sendiri terlebih dahulu, lalu periksa ulang diri Anda sendiri di sini.
Kalkulator online ini memiliki instruksi yang sangat sederhana. Anda dapat menunjukkan dimensi masing-masing matriks dengan mengklik ikon “+” atau “-” di sebelah kiri dan di bawah matriks. Selanjutnya, Anda harus memasukkan semua elemen. Dan kemudian, dengan mengklik tombol “Hitung”, Anda dapat dengan cepat mendapatkan nilai yang diinginkan beserta algoritma perhitungan terperinci.
Topik ini akan mencakup operasi seperti penjumlahan dan pengurangan matriks, perkalian matriks dengan bilangan, perkalian matriks dengan matriks, dan transposisi matriks. Semua simbol yang digunakan pada halaman ini diambil dari topik sebelumnya.
Penjumlahan dan pengurangan matriks.
Jumlah $A+B$ matriks $A_(m\times n)=(a_(ij))$ dan $B_(m\times n)=(b_(ij))$ disebut matriks $C_(m \times n) =(c_(ij))$, di mana $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ untuk semua $i=\overline(1,m)$ dan $j=\overline( 1,n) $.
Definisi serupa diperkenalkan untuk perbedaan matriks:
Selisih antara matriks $A-B$ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ dan $B_(m\times n)=(b_(ij))$ adalah matriks $C_(m\times n)=( c_(ij))$, di mana $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ untuk semua $i=\overline(1,m)$ dan $j=\overline(1, n)$.
Penjelasan untuk entri $i=\overline(1,m)$: tampilkan\sembunyikan
Notasi "$i=\overline(1,m)$" berarti parameter $i$ bervariasi dari 1 hingga m. Misalnya, entri $i=\overline(1,5)$ menunjukkan bahwa parameter $i$ mengambil nilai 1, 2, 3, 4, 5.
Perlu dicatat bahwa operasi penjumlahan dan pengurangan hanya ditentukan untuk matriks dengan ukuran yang sama. Secara umum, penjumlahan dan pengurangan matriks merupakan operasi yang jelas secara intuitif, karena pada dasarnya hanya berarti penjumlahan atau pengurangan elemen-elemen yang bersesuaian.
Contoh No.1
Tiga matriks diberikan:
$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \kanan); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \kanan). $$
Apakah mungkin menemukan matriks $A+F$? Temukan matriks $C$ dan $D$ jika $C=A+B$ dan $D=A-B$.
Matriks $A$ berisi 2 baris dan 3 kolom (dengan kata lain ukuran matriks $A$ adalah $2\kali 3$), dan matriks $F$ berisi 2 baris dan 2 kolom. Ukuran matriks $A$ dan $F$ tidak sama, jadi kita tidak dapat menjumlahkannya, mis. operasi $A+F$ tidak ditentukan untuk matriks ini.
Ukuran matriks $A$ dan $B$ adalah sama, yaitu. Data matriks berisi jumlah baris dan kolom yang sama, sehingga operasi penjumlahan dapat diterapkan pada baris dan kolom tersebut.
$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \kanan)+ \left(\begin(array ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \kanan)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \kanan)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \kanan) $$
Mari kita cari matriks $D=A-B$:
$$ D=A-B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \kanan)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \kanan)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \kanan)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \2 & 9 & 6 \end(array) \kanan) $$
Menjawab: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \kanan)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \kanan)$.
Mengalikan matriks dengan angka.
Hasil kali matriks $A_(m\times n)=(a_(ij))$ dengan bilangan $\alpha$ adalah matriks $B_(m\times n)=(b_(ij))$, dimana $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ untuk semua $i=\overline(1,m)$ dan $j=\overline(1,n)$.
Sederhananya, mengalikan suatu matriks dengan suatu bilangan tertentu berarti mengalikan setiap elemen suatu matriks dengan bilangan tersebut.
Contoh No.2
Matriksnya diberikan: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Temukan matriks $3\cdot A$, $-5\cdot A$ dan $-A$.
$$ 3\cdot A=3\cdot \kiri(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \kanan) =\left(\begin( array) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \kanan)= \kiri(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \kanan).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \kanan) =\left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \kanan)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \kanan). $$
Notasi $-A$ adalah notasi singkat untuk $-1\cdot A$. Artinya, untuk mencari $-A$ Anda perlu mengalikan semua elemen matriks $A$ dengan (-1). Intinya, ini berarti tanda semua elemen matriks $A$ akan berubah menjadi sebaliknya:
$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \kiri(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \kanan)= \ kiri(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \kanan) $$
Menjawab: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \kanan);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \kanan);\; -A=\kiri(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \kanan)$.
Produk dari dua matriks.
Definisi operasi ini rumit dan sekilas tidak jelas. Oleh karena itu, pertama-tama saya akan menunjukkan definisi umum, dan kemudian kami akan menganalisis secara rinci apa artinya dan bagaimana cara menggunakannya.
Hasil kali matriks $A_(m\times n)=(a_(ij))$ dengan matriks $B_(n\times k)=(b_(ij))$ adalah matriks $C_(m\times k )=(c_( ij))$, yang mana setiap elemen $c_(ij)$ sama dengan jumlah hasil kali elemen-elemen yang bersesuaian pada baris ke-i matriks $A$ dengan elemen-elemen j kolom ke-matriks $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$
Mari kita lihat perkalian matriks langkah demi langkah menggunakan sebuah contoh. Namun perlu segera diperhatikan bahwa tidak semua matriks dapat dikalikan. Jika kita ingin mengalikan matriks $A$ dengan matriks $B$, pertama-tama kita perlu memastikan bahwa jumlah kolom matriks $A$ sama dengan jumlah baris matriks $B$ (matriks seperti ini sering disebut disepakati). Misalnya matriks $A_(5\times 4)$ (matriks berisi 5 baris dan 4 kolom) tidak dapat dikalikan dengan matriks $F_(9\times 8)$ (9 baris dan 8 kolom), karena bilangan tersebut kolom matriks $A$ tidak sama dengan jumlah baris matriks $F$, yaitu $4\neq 9$. Namun matriks $A_(5\times 4)$ dapat dikalikan dengan matriks $B_(4\times 9)$, karena jumlah kolom matriks $A$ sama dengan jumlah baris matriks $ B$. Dalam hal ini, hasil perkalian matriks $A_(5\times 4)$ dan $B_(4\times 9)$ adalah matriks $C_(5\times 9)$ yang berisi 5 baris dan 9 kolom:
Contoh No.3
Matriks yang diberikan: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (array) \kanan)$ dan $ B=\kiri(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \kanan) $. Cari matriks $C=A\cdot B$.
Pertama, mari kita segera menentukan ukuran matriks $C$. Karena matriks $A$ berukuran $3\times 4$, dan matriks $B$ berukuran $4\times 2$, maka ukuran matriks $C$ adalah: $3\times 2$:
Jadi, sebagai hasil perkalian matriks $A$ dan $B$, kita akan memperoleh matriks $C$, yang terdiri dari tiga baris dan dua kolom: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_ (11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(array) \kanan)$. Jika penunjukan unsur menimbulkan pertanyaan, maka Anda dapat melihat topik sebelumnya: “Matriks. Tujuan kami: menemukan nilai semua elemen matriks $C$.
Mari kita mulai dengan elemen $c_(11)$. Untuk memperoleh elemen $c_(11)$, Anda perlu mencari jumlah hasil kali elemen-elemen baris pertama matriks $A$ dan kolom pertama matriks $B$:
Untuk mencari elemen $c_(11)$ itu sendiri, Anda perlu mengalikan elemen baris pertama matriks $A$ dengan elemen yang bersesuaian pada kolom pertama matriks $B$, yaitu elemen pertama ke elemen pertama, elemen kedua ke elemen kedua, elemen ketiga ke elemen ketiga, elemen keempat ke elemen keempat. Kami merangkum hasil yang diperoleh:
$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$
Mari lanjutkan solusinya dan temukan $c_(12)$. Untuk melakukannya, Anda harus mengalikan elemen baris pertama matriks $A$ dan kolom kedua matriks $B$:
Mirip dengan yang sebelumnya, kami memiliki:
$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$
Semua elemen baris pertama matriks $C$ telah ditemukan. Mari beralih ke baris kedua, yang dimulai dengan elemen $c_(21)$. Untuk menemukannya, Anda harus mengalikan elemen baris kedua matriks $A$ dan kolom pertama matriks $B$:
$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$
Kita mencari elemen berikutnya $c_(22)$ dengan mengalikan elemen-elemen baris kedua matriks $A$ dengan elemen-elemen yang bersesuaian pada kolom kedua matriks $B$:
$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$
Untuk mencari $c_(31)$, kalikan elemen baris ketiga matriks $A$ dengan elemen kolom pertama matriks $B$:
$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$
Dan terakhir, untuk mencari elemen $c_(32)$, Anda harus mengalikan elemen baris ketiga matriks $A$ dengan elemen yang bersesuaian pada kolom kedua matriks $B$:
$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$
Semua elemen matriks $C$ sudah ditemukan, tinggal menuliskannya $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( larik) \kanan)$ . Atau, untuk menulis secara lengkap:
$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \kanan)\cdot \kiri(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \kanan) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \kanan). $$
Menjawab: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \kanan)$.
Omong-omong, seringkali tidak ada alasan untuk menjelaskan secara detail lokasi setiap elemen matriks hasil. Untuk matriks yang ukurannya kecil, dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut:
Perlu juga dicatat bahwa perkalian matriks bersifat non-komutatif. Artinya dalam kasus umum $A\cdot B\neq B\cdot A$. Hanya untuk beberapa jenis matriks yang disebut dapat diubah(atau bepergian), persamaan $A\cdot B=B\cdot A$ benar. Justru berdasarkan perkalian non-komutatifitas kita perlu menunjukkan dengan tepat bagaimana kita mengalikan ekspresi dengan matriks tertentu: di kanan atau di kiri. Misalnya, frasa “kalikan kedua ruas persamaan $3E-F=Y$ dengan matriks $A$ di sebelah kanan” berarti Anda ingin mendapatkan persamaan berikut: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot $.
Ditransposisikan terhadap matriks $A_(m\times n)=(a_(ij))$ adalah matriks $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, untuk elemen yang $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.
Sederhananya, untuk mendapatkan matriks yang ditransposisikan $A^T$, Anda perlu mengganti kolom-kolom dalam matriks asli $A$ dengan baris-baris yang bersesuaian sesuai dengan prinsip ini: ada baris pertama - akan ada kolom pertama ; ada baris kedua - akan ada kolom kedua; ada baris ketiga - akan ada kolom ketiga dan seterusnya. Misalnya, cari matriks yang ditransposisikan ke matriks $A_(3\times 5)$:
Oleh karena itu, jika matriks asli berukuran $3\kali 5$, maka matriks yang ditransposisi memiliki ukuran $5\kali 3$.
Beberapa sifat operasi pada matriks.
Di sini diasumsikan bahwa $\alpha$, $\beta$ adalah beberapa bilangan, dan $A$, $B$, $C$ adalah matriks. Untuk empat properti pertama, saya menunjukkan nama; sisanya dapat diberi nama dengan analogi dengan empat properti pertama.
- $A+B=B+A$ (komutatifitas penjumlahan)
- $A+(B+C)=(A+B)+C$ (asosiasi penjumlahan)
- $(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (distribusi perkalian matriks terhadap penjumlahan bilangan)
- $\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (distribusi perkalian suatu bilangan relatif terhadap penjumlahan matriks)
- $A(BC)=(AB)C$
- $(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)$
- $A\cdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)\cdot A=BA+CA$.
- $A\cdot E=A$, $E\cdot A=A$, dengan $E$ adalah matriks identitas dari ordo yang bersangkutan.
- $A\cdot O=O$, $O\cdot A=O$, dengan $O$ adalah matriks nol dengan ukuran yang sesuai.
- $\kiri(A^T \kanan)^T=A$
- $(A+B)^T=A^T+B^T$
- $(AB)^T=B^T\cdot A^T$
- $\kiri(\alpha A \kanan)^T=\alpha A^T$
Pada bagian selanjutnya, kita akan membahas operasi menaikkan matriks ke pangkat bilangan bulat non-negatif, dan juga menyelesaikan contoh di mana perlu melakukan beberapa operasi pada matriks.
Penambahan matriks:
Pengurangan dan penambahan matriks direduksi menjadi operasi yang sesuai pada elemennya. Operasi penjumlahan matriks dimasukkan hanya untuk matriks ukuran yang sama, yaitu untuk matriks, yang jumlah baris dan kolomnya masing-masing sama. Jumlah matriks A dan B dipanggil matriks C, yang unsur-unsurnya sama dengan jumlah unsur-unsur yang bersesuaian. C = A + B c ij = a ij + b ij Didefinisikan serupa perbedaan matriks.
Mengalikan matriks dengan angka:
Operasi perkalian (pembagian) matriks dari ukuran berapa pun dengan angka sembarang direduksi menjadi mengalikan (membagi) setiap elemen matriks untuk nomor ini. Produk matriks Dan bilangan k dipanggil matriks B, sedemikian rupa
b ij = k × a ij . B = k × A b ij = k × a ij . Matriks- A = (-1) × A disebut sebaliknya matriks A.
Sifat-sifat penjumlahan matriks dan perkalian matriks dengan bilangan:
Operasi penjumlahan matriks Dan perkalian matriks pada suatu bilangan mempunyai sifat-sifat sebagai berikut: 1. A + B = B + A; 2.A+(B+C) = (A+B)+C; 3. SEBUAH + 0 = SEBUAH; 4. SEBUAH - SEBUAH = 0; 5. 1 × SEBUAH = SEBUAH; 6. α × (A + B) = αA + αB; 7. (α + β) × A = αA + βA; 8. α × (βA) = (αβ) × A; , dimana A, B dan C adalah matriks, α dan β adalah bilangan.
Perkalian matriks (hasil perkalian matriks):
Operasi perkalian dua matriks dimasukkan hanya jika jumlah kolomnya adalah yang pertama matriks sama dengan jumlah baris kedua matriks. Produk matriks Dan m×n aktif matriks Dalam n×p, disebut matriks Dengan m×p sehingga dengan ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a in × b nk , yaitu, jumlah produk elemen-elemen pada baris ke-i ditemukan matriks Dan ke elemen yang sesuai dari kolom ke-j matriks B.Jika matriks A dan B adalah persegi yang besarnya sama, maka hasil kali AB dan BA selalu ada. Mudah untuk menunjukkan bahwa A × E = E × A = A, dimana A adalah persegi matriks, E - satuan matriks ukuran yang sama.
Sifat-sifat perkalian matriks:
Perkalian matriks tidak komutatif, yaitu AB ≠ BA meskipun kedua hasil kali terdefinisi. Namun, jika untuk apapun matriks hubungan AB=BA terpenuhi, maka seperti itu matriks disebut komutatif. Contoh yang paling umum adalah yang tunggal matriks, yang bepergian dengan yang lain matriks ukuran yang sama. Hanya yang berbentuk persegi yang dapat diubah matriks dari urutan yang sama. A × E = E × A = A
Perkalian matriks mempunyai sifat sebagai berikut: 1. A×(B×C) = (A×B)×C; 2. A × (B + C) = AB + AC; 3. (A + B) × C = AC + BC; 4. α × (AB) = (αA) × B; 5. SEBUAH × 0 = 0; 0 × SEBUAH = 0; 6. (AB) T = BTA T; 7. (ABC) T = C T V T A T; 8. (A + B) T = AT + B T;
2. Penentu orde ke-2 dan ke-3. Sifat-sifat determinan.
Penentu matriks urutan kedua, atau penentu orde kedua adalah bilangan yang dihitung dengan rumus:
Penentu matriks urutan ketiga, atau penentu orde ketiga adalah bilangan yang dihitung dengan rumus:
Angka ini mewakili jumlah aljabar yang terdiri dari enam suku. Setiap suku mengandung tepat satu elemen dari setiap baris dan setiap kolom matriks. Setiap suku terdiri dari hasil kali tiga faktor.
Tanda dengan anggota yang mana determinan matriks dimasukkan ke dalam rumus mencari determinan matriks orde ketiga dapat ditentukan dengan menggunakan skema yang diberikan, yang disebut aturan segitiga atau aturan Sarrus. Tiga suku pertama diambil dengan tanda tambah dan ditentukan dari gambar kiri, dan tiga suku berikutnya diambil dengan tanda minus dan ditentukan dari gambar kanan.
Tentukan banyaknya suku yang ingin dicari determinan matriks, dalam jumlah aljabar, Anda dapat menghitung faktorialnya: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6
Sifat-sifat determinan matriks
Sifat-sifat determinan matriks:
Properti #1:
Penentu matriks tidak akan berubah jika barisnya diganti dengan kolom, setiap baris dengan kolom yang nomornya sama, dan sebaliknya (Transposisi). |SEBUAH| = |SEBUAH| T
Konsekuensi:
Kolom dan Baris determinan matriks adalah sama, oleh karena itu, properti yang melekat pada baris juga terpenuhi untuk kolom.
Properti #2:
Saat menata ulang 2 baris atau kolom penentu matriks akan mengubah tandanya menjadi kebalikannya dengan mempertahankan nilai mutlaknya, yaitu:
Properti #3:
Penentu matriks memiliki dua baris identik sama dengan nol.
Properti #4:
Faktor persekutuan unsur-unsur deret apa pun determinan matriks dapat dianggap sebagai sebuah tanda penentu.
Akibat wajar dari properti No. 3 dan No. 4:
Jika semua elemen suatu deret tertentu (baris atau kolom) sebanding dengan elemen-elemen yang bersesuaian pada deret paralel, maka demikianlah penentu matriks sama dengan nol.
Properti #5:
determinan matriks sama dengan nol, kalau begitu penentu matriks sama dengan nol.
Properti #6:
Jika semua elemen suatu baris atau kolom penentu disajikan sebagai jumlah dari 2 suku, maka penentu matriks dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari 2 determinan sesuai dengan rumus:
Properti #7:
Jika ke baris (atau kolom) mana pun penentu tambahkan elemen yang sesuai dari baris (atau kolom lain), dikalikan dengan angka yang sama, lalu penentu matriks tidak akan mengubah nilainya.
Contoh penggunaan properti untuk perhitungan determinan matriks:
instruksi. Untuk solusi online, Anda perlu menentukan ekspresi matriks. Pada tahap kedua, dimensi matriks perlu diperjelas.
Operasi yang valid: perkalian (*), penjumlahan (+), pengurangan (-), invers matriks A^(-1), eksponen (A^2, B^3), transposisi matriks (A^T).Operasi yang valid: perkalian (*), penjumlahan (+), pengurangan (-), invers matriks A^(-1), eksponen (A^2, B^3), transposisi matriks (A^T).
Untuk melakukan daftar operasi, gunakan pemisah titik koma (;). Misalnya, untuk melakukan tiga operasi:
a) 3A+4B
b) AB-VA
c) (A-B) -1
Anda perlu menulisnya seperti ini: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)
Matriks adalah tabel numerik berbentuk persegi panjang dengan m baris dan n kolom, sehingga matriks tersebut secara skematis dapat direpresentasikan sebagai persegi panjang.
Matriks nol (matriks nol) adalah matriks yang semua elemennya sama dengan nol dan dilambangkan dengan 0.
Matriks identitas disebut matriks persegi yang bentuknya
Dua matriks A dan B adalah sama, jika ukurannya sama dan elemen-elemen yang bersesuaian sama.
Matriks tunggal adalah matriks yang determinannya sama dengan nol (Δ = 0).
Mari kita definisikan operasi dasar pada matriks.
Penambahan matriks
Definisi. Jumlah dua matriks yang berukuran sama adalah matriks yang berdimensi sama, yang elemen-elemennya dicari berdasarkan rumus
. Dilambangkan dengan C = A+B. Contoh 6. .
Operasi penjumlahan matriks berlaku untuk sejumlah suku berapa pun. Jelas sekali A+0=A .
Mari kita tekankan sekali lagi bahwa hanya matriks dengan ukuran yang sama yang dapat dijumlahkan; Untuk matriks dengan ukuran berbeda, operasi penjumlahan tidak ditentukan.
Pengurangan matriks
Definisi. Selisih B-A antara matriks B dan A yang berukuran sama merupakan matriks C sehingga A+ C = B.Perkalian matriks
Definisi. Hasil kali suatu matriks dengan bilangan α adalah matriks yang diperoleh dari A dengan mengalikan semua elemennya dengan α, .Definisi. Biarkan dua matriks diberikan
dan , dan banyaknya kolom A sama dengan banyaknya baris B. Hasil kali A dengan B adalah matriks yang unsur-unsurnya ditemukan menurut rumus 
.
Dilambangkan dengan C = A·B.
Secara skematis operasi perkalian matriks dapat digambarkan sebagai berikut:
dan aturan untuk menghitung suatu unsur dalam suatu produk:
Mari kita tekankan sekali lagi bahwa hasil kali A·B masuk akal jika dan hanya jika jumlah kolom faktor pertama sama dengan jumlah baris faktor kedua, dan hasil kali tersebut menghasilkan matriks yang jumlah barisnya sama dengan jumlah baris faktor kedua. jumlah baris faktor pertama, dan jumlah kolom sama dengan jumlah kolom faktor kedua. Anda dapat memeriksa hasil perkalian menggunakan kalkulator online khusus.
Contoh 7. Diberikan matriks 
Dan 
. Tentukan matriks C = A·B dan D = B·A.
Larutan.
Pertama-tama, perhatikan bahwa hasil kali A·B ada karena jumlah kolom A sama dengan jumlah baris B.
Perhatikan bahwa dalam kasus umum A·B≠B·A, yaitu. hasil kali matriks bersifat antikomutatif.
Mari kita cari B·A (perkalian bisa dilakukan).
Contoh 8. Diberikan sebuah matriks 
. Temukan 3A 2 – 2A.
Larutan.
.
; 
.
.
Mari kita simak fakta menarik berikut ini.
Seperti yang Anda ketahui, hasil kali dua bilangan bukan nol tidak sama dengan nol. Untuk matriks, keadaan serupa mungkin tidak terjadi, yaitu hasil kali matriks bukan nol bisa saja sama dengan matriks nol.
Penambahan matriks$A$ dan $B$ adalah operasi aritmatika, yang menghasilkan matriks $C$, yang setiap elemennya sama dengan jumlah elemen-elemen yang bersesuaian dari matriks yang ditambahkan:
$$ c_(ij) = a_(ij) + b_(ij) $$
Secara detail Rumus penjumlahan dua matriks adalah sebagai berikut:
$$ A + B = \begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_( 32) & a_(33) \end(pmatrix) + \begin(pmatrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) & b_(33) \end(pmatrix) = $$
$$ = \begin(pmatrix) a_(11) + b_(11) & a_(12)+b_(12) & a_(13)+b_(13) \\ a_(21)+b_(21) & a_ (22)+b_(22) & a_(23)+b_(23) \\ a_(31)+b_(31) & a_(32)+b_(32) & a_(33)+b_(33) \ akhir(pmatriks) = C$$
Perlu diketahui bahwa Anda hanya dapat menjumlahkan dan mengurangkan matriks yang berdimensi sama. Dengan penjumlahan atau selisih tersebut, hasilnya adalah matriks $C$ yang berdimensi sama dengan suku-suku (dikurangi) matriks $A$ dan $B$. Jika matriks $A$ dan $B$ berbeda satu sama lain ukurannya, maka penjumlahan (pengurangan) matriks tersebut akan menghasilkan kesalahan!
Rumusnya menjumlahkan matriks 3 kali 3, artinya hasilnya harus berupa matriks 3 kali 3.
Pengurangan matriks sangat mirip dengan algoritma penjumlahan, hanya dengan tanda minus. Setiap elemen matriks $C$ yang diperlukan diperoleh dengan mengurangkan elemen-elemen yang bersesuaian dari matriks $A$ dan $B$:
$$ c_(ij) = a_(ij) - b_(ij) $$
Mari kita tuliskan secara detail rumus pengurangan dua matriks:
$$ A - B = \begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_( 32) & a_(33) \end(pmatrix) - \begin(pmatrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) & b_(33) \end(pmatrix) = $$
$$ = \begin(pmatrix) a_(11) - b_(11) & a_(12)-b_(12) & a_(13)-b_(13) \\ a_(21)-b_(21) & a_ (22)-b_(22) & a_(23)-b_(23) \\ a_(31)-b_(31) & a_(32)-b_(32) & a_(33)-b_(33) \ akhir(pmatriks) = C$$
Perlu juga dicatat bahwa Anda tidak dapat menjumlahkan dan mengurangi matriks dengan bilangan biasa, serta dengan beberapa elemen lainnya
Mengetahui sifat-sifat penjumlahan (pengurangan) akan berguna untuk penyelesaian masalah matriks lebih lanjut.
Properti
- Jika matriks $A,B,C$ sama besarnya, maka sifat asosiatif berlaku untuk matriks tersebut: $$ A + (B + C) = (A + B) + C $$
- Untuk setiap matriks terdapat matriks nol yang dilambangkan dengan $O$, yang jika dijumlahkan (dikurangi) matriks aslinya tidak berubah: $$ A \pm O = A $$
- Untuk setiap matriks bukan nol $A$ terdapat matriks berlawanan $(-A)$ yang jumlahnya hilang: $$A + (-A) = 0$$
- Saat menjumlahkan (mengurangi) matriks, sifat komutatifitas diperbolehkan, yaitu matriks $A$ dan $B$ dapat ditukar: $$ A + B = B + A $$ $$ A - B = B - A $$
Contoh solusi
| Contoh 1 |
|
Matriks yang diberikan $ A = \begin(pmatrix) 2&3 \\ -1& 4 \end(pmatrix) $ dan $ B = \begin(pmatrix) 1&-3 \\ 2&5 \end(pmatrix) $. Lakukan penjumlahan matriks lalu pengurangan. |
| Larutan |
|
Pertama-tama, kami memeriksa dimensi matriks. Matriks $A$ berdimensi $2 \kali 2$, matriks kedua $B$ berdimensi $2 \kali 2$. Artinya dengan matriks-matriks tersebut dimungkinkan untuk melakukan operasi gabungan penjumlahan dan pengurangan. Ingatlah bahwa untuk penjumlahan tersebut perlu dilakukan penjumlahan berpasangan dari elemen-elemen matriks yang bersesuaian $ A \text( dan ) B $. $$ A + B = \begin(pmatrix) 2&3 \\ -1& 4 \end(pmatrix) + \begin(pmatrix) 1&-3 \\ 2&5 \end(pmatrix) = $$ $$ = \begin(pmatrix) 2 + 1 & 3 + (-3) \\ -1 + 2 & 4 + 5 \end(pmatrix) = \begin(pmatrix) 3 & 0 \\ 1 & 9 \end( matriks p)$$ Sama halnya dengan penjumlahan, kita mencari selisih matriks dengan mengganti tanda “plus” dengan “minus”: $$ A - B = \begin(pmatrix) 2&3 \\ -1& 4 \end(pmatrix) + \begin(pmatrix) 1&-3 \\ 2&5 \end(pmatrix) = $$ $$ = \begin(pmatrix) 2 - 1 & 3 - (-3) \\ -1 - 2 & 4 - 5 \end(pmatrix) = \begin(pmatrix) 1 & 6 \\ -3 & -1 \ akhir(pmatriks)$$ Jika Anda tidak dapat menyelesaikan masalah Anda, kirimkan kepada kami. Kami akan memberikan solusi terperinci. Anda akan dapat melihat kemajuan perhitungan dan mendapatkan informasi. Ini akan membantu Anda mendapatkan nilai dari guru Anda tepat waktu! |
| Menjawab |
|
$$ A + B = \mulai(pmatrix) 3 & 0 \\ 1 & 9 \end(pmatrix); A - B = \mulai(pmatrix) 1 & 6 \\ -3 & -1 \end(pmatrix) $$ |
Dalam artikel: “Penjumlahan dan pengurangan matriks” diberikan definisi, aturan, komentar, sifat-sifat operasi, dan contoh praktis penyelesaian.
