Sinus, cosinus, tangen - ketika mengucapkan kata-kata ini di hadapan siswa sekolah menengah, dapat dipastikan bahwa dua pertiga dari mereka akan kehilangan minat untuk berbicara lebih lanjut. Alasannya terletak pada kenyataan bahwa dasar-dasar trigonometri di sekolah diajarkan sepenuhnya terpisah dari kenyataan, sehingga siswa tidak melihat pentingnya mempelajari rumus dan teorema.
Faktanya, jika diteliti lebih dekat, bidang pengetahuan ini ternyata sangat menarik, sekaligus terapan - trigonometri digunakan dalam astronomi, konstruksi, fisika, musik, dan banyak bidang lainnya.
Mari mengenal konsep dasar dan menyebutkan beberapa alasan untuk mempelajari cabang ilmu matematika ini.
Cerita
Tidak diketahui kapan umat manusia mulai menciptakan trigonometri masa depan dari awal. Namun, tercatat bahwa pada milenium kedua SM, orang Mesir sudah mengetahui dasar-dasar ilmu ini: para arkeolog menemukan sebuah papirus dengan tugas yang mengharuskan mereka menemukan sudut kemiringan piramida pada dua sisi yang diketahui.
Para ilmuwan Babel Kuno mencapai kesuksesan yang lebih serius. Selama berabad-abad, mempelajari astronomi, mereka menguasai sejumlah teorema, memperkenalkan metode khusus untuk mengukur sudut, yang, omong-omong, kita gunakan saat ini: derajat, menit, dan detik dipinjam oleh sains Eropa dalam budaya Yunani-Romawi, di mana unit-unit ini berasal dari Babilonia.
Diasumsikan bahwa teorema Pythagoras yang terkenal, yang berkaitan dengan dasar-dasar trigonometri, telah diketahui orang Babilonia hampir empat ribu tahun yang lalu.
Nama
Secara harfiah, istilah “trigonometri” dapat diterjemahkan sebagai “pengukuran segitiga”. Objek kajian utama dalam bagian ilmu ini selama berabad-abad adalah segitiga siku-siku, atau lebih tepatnya, hubungan antara besar sudut dan panjang sisi-sisinya (saat ini, kajian trigonometri dari awal dimulai dengan bagian ini) . Seringkali ada situasi dalam kehidupan ketika hampir tidak mungkin untuk mengukur semua parameter yang diperlukan dari suatu objek (atau jarak ke objek), dan kemudian menjadi perlu untuk mendapatkan data yang hilang melalui perhitungan.
Misalnya, di masa lalu, manusia tidak dapat mengukur jarak ke benda-benda luar angkasa, namun upaya untuk menghitung jarak tersebut telah terjadi jauh sebelum munculnya zaman kita. Trigonometri juga memainkan peran penting dalam navigasi: dengan pengetahuan tertentu, kapten selalu dapat bernavigasi berdasarkan bintang di malam hari dan menyesuaikan jalurnya.
Konsep dasar
Menguasai trigonometri dari awal memerlukan pemahaman dan mengingat beberapa istilah dasar.
Sinus sudut tertentu adalah perbandingan sisi berhadapan dengan sisi miring. Mari kita perjelas bahwa kaki yang berlawanan adalah sisi yang berhadapan dengan sudut yang kita pertimbangkan. Jadi, jika suatu sudut besarnya 30 derajat, sinus sudut tersebut, untuk ukuran segitiga apa pun, akan selalu sama dengan ½. Kosinus suatu sudut adalah perbandingan kaki yang berdekatan dengan sisi miring.
Tangen adalah perbandingan sisi yang berlawanan dengan sisi yang berdekatan (atau, yang sama, perbandingan sinus dan cosinus). Kotangen adalah satuan dibagi garis singgung.
Perlu disebutkan bilangan terkenal Pi (3.14...), yang merupakan setengah panjang lingkaran dengan jari-jari satu satuan.
Kesalahan populer
Orang yang mempelajari trigonometri dari awal membuat sejumlah kesalahan - sebagian besar karena kurangnya perhatian.
Pertama, ketika menyelesaikan soal geometri, Anda harus ingat bahwa penggunaan sinus dan cosinus hanya mungkin dilakukan pada segitiga siku-siku. Kebetulan seorang siswa “secara otomatis” mengambil sisi terpanjang suatu segitiga sebagai sisi miring dan mendapatkan hasil perhitungan yang salah.
Kedua, pada awalnya mudah untuk mengacaukan nilai sinus dan kosinus untuk sudut yang dipilih: ingatlah bahwa sinus 30 derajat secara numerik sama dengan kosinus 60, dan sebaliknya. Jika Anda mengganti angka yang salah, semua perhitungan selanjutnya akan salah.
Ketiga, hingga soal terselesaikan sepenuhnya, Anda tidak boleh membulatkan nilai apa pun, mengekstrak akar, atau menulis pecahan biasa sebagai desimal. Seringkali siswa berusaha keras untuk mendapatkan bilangan yang “indah” dalam soal trigonometri dan segera mengekstrak akar tiga, meskipun setelah tepat satu tindakan akar ini dapat dikurangi.
Etimologi dari kata "sinus"
Sejarah kata “sinus” sungguh tidak biasa. Faktanya adalah terjemahan literal kata ini dari bahasa Latin berarti “kosong.” Hal ini karena pemahaman yang benar tentang kata tersebut hilang selama penerjemahan dari satu bahasa ke bahasa lain.
Nama-nama fungsi dasar trigonometri berasal dari India, di mana konsep sinus dilambangkan dengan kata "string" dalam bahasa Sansekerta - faktanya segmen tersebut, bersama dengan busur lingkaran tempat ia bertumpu, tampak seperti busur. . Pada masa kejayaan peradaban Arab, prestasi India di bidang trigonometri dipinjam, dan istilah tersebut diteruskan ke bahasa Arab sebagai transkripsi. Kebetulan bahasa ini sudah memiliki kata serupa yang menunjukkan depresi, dan jika orang Arab memahami perbedaan fonetik antara kata asli dan kata pinjaman, maka orang Eropa, ketika menerjemahkan risalah ilmiah ke dalam bahasa Latin, secara keliru menerjemahkan kata Arab, yang tidak ada artinya. hubungannya dengan konsep sinus. Kami masih menggunakannya sampai hari ini.
Tabel nilai
Ada tabel yang berisi nilai numerik sinus, cosinus, dan tangen dari semua sudut yang mungkin. Di bawah ini kami menyajikan data sudut 0, 30, 45, 60 dan 90 derajat, yang harus dipelajari sebagai bagian wajib trigonometri untuk “boneka”;
Jika kebetulan nilai numerik sinus atau kosinus suatu sudut “keluar dari pikiran Anda”, ada cara untuk menurunkannya sendiri.
Representasi geometris
Mari kita menggambar sebuah lingkaran dan menggambar sumbu absis dan ordinat melalui pusatnya. Sumbu absisnya horizontal, sumbu ordinatnya vertikal. Mereka biasanya diberi tanda masing-masing sebagai "X" dan "Y". Sekarang kita akan menggambar garis lurus dari pusat lingkaran sehingga diperoleh sudut yang kita butuhkan antara lingkaran tersebut dengan sumbu X. Terakhir, dari titik potong garis lurus lingkaran, kita turunkan garis tegak lurus terhadap sumbu X. Panjang segmen yang dihasilkan akan sama dengan nilai numerik sinus sudut kita.
Cara ini sangat relevan jika Anda lupa nilai yang diminta, misalnya saat ujian, dan Anda tidak memiliki buku teks trigonometri. Anda tidak akan mendapatkan angka pastinya dengan cara ini, tetapi Anda pasti akan melihat perbedaan antara ½ dan 1,73/2 (sinus dan kosinus sudut 30 derajat).
Aplikasi
Beberapa ahli pertama yang menggunakan trigonometri adalah para pelaut yang tidak memiliki titik acuan lain di laut lepas kecuali langit di atas kepala mereka. Saat ini, kapten kapal (pesawat terbang dan moda transportasi lainnya) tidak mencari jalur terpendek menggunakan bintang, tetapi secara aktif menggunakan navigasi GPS, yang tidak mungkin dilakukan tanpa menggunakan trigonometri.
Di hampir setiap bagian fisika Anda akan menemukan perhitungan menggunakan sinus dan kosinus: baik itu penerapan gaya dalam mekanika, perhitungan jalur benda dalam kinematika, getaran, perambatan gelombang, pembiasan cahaya - Anda tidak dapat melakukannya tanpa trigonometri dasar di rumusnya.
Profesi lain yang tidak terpikirkan tanpa trigonometri adalah surveyor. Dengan menggunakan teodolit dan alat tingkat atau yang lebih kompleks - takometer, orang-orang ini mengukur perbedaan ketinggian antara berbagai titik di permukaan bumi.
Pengulangan
Trigonometri tidak hanya membahas sudut dan sisi segitiga, meskipun di sinilah ia memulai keberadaannya. Di semua bidang di mana terdapat siklus (biologi, kedokteran, fisika, musik, dll.), Anda akan menemukan grafik yang namanya mungkin Anda kenal - ini adalah gelombang sinus.
Grafik seperti itu adalah lingkaran yang terbentang sepanjang sumbu waktu dan tampak seperti gelombang. Jika Anda pernah bekerja dengan osiloskop di kelas fisika, Anda pasti tahu apa yang sedang kita bicarakan. Baik equalizer musik maupun monitor detak jantung menggunakan rumus trigonometri dalam pekerjaannya.
Akhirnya
Ketika memikirkan cara belajar trigonometri, sebagian besar siswa SMP dan SMA mulai menganggapnya sebagai ilmu yang sulit dan tidak praktis, karena mereka hanya berkenalan dengan informasi membosankan dari buku teks.
Mengenai ketidakpraktisan, kita telah melihat bahwa, pada tingkat tertentu, kemampuan menangani sinus dan garis singgung diperlukan di hampir semua bidang aktivitas. Adapun kerumitannya... Pikirkan: jika orang menggunakan pengetahuan ini lebih dari dua ribu tahun yang lalu, ketika orang dewasa memiliki pengetahuan yang lebih sedikit dibandingkan siswa sekolah menengah saat ini, apakah realistis bagi Anda secara pribadi untuk mempelajari bidang ilmu ini pada tingkat dasar? Beberapa jam latihan yang bijaksana dalam memecahkan masalah - dan Anda akan mencapai tujuan Anda dengan mempelajari kursus dasar, yang disebut trigonometri untuk boneka.
Saat melakukan konversi trigonometri, ikuti tips berikut:
- Jangan mencoba untuk langsung memberikan solusi terhadap contoh tersebut dari awal hingga akhir.
- Jangan mencoba mengonversi seluruh contoh sekaligus. Ambil langkah kecil ke depan.
- Ingatlah bahwa selain rumus trigonometri dalam trigonometri, Anda masih dapat menggunakan semua transformasi aljabar yang wajar (pengurungan, penyingkatan pecahan, rumus perkalian yang disingkat, dan sebagainya).
- Percayalah bahwa semuanya akan baik-baik saja.
Rumus dasar trigonometri
Kebanyakan rumus dalam trigonometri sering digunakan baik dari kanan ke kiri maupun dari kiri ke kanan, jadi Anda perlu mempelajari rumus-rumus ini dengan baik agar Anda dapat dengan mudah menerapkan beberapa rumus di kedua arah. Mari kita tuliskan dulu definisi fungsi trigonometri. Misalkan ada segitiga siku-siku:
Lalu, definisi sinus:
Definisi kosinus:
Definisi garis singgung:
Definisi kotangen:
Identitas trigonometri dasar:
Akibat paling sederhana dari identitas trigonometri dasar:
Rumus sudut ganda. Sinus sudut ganda:
Cosinus sudut ganda:
Garis singgung sudut ganda:
Kotangen sudut ganda:
Rumus trigonometri tambahan
Rumus penjumlahan trigonometri. Sinus penjumlahan:
Sinus perbedaannya:
Kosinus jumlah:
Kosinus selisihnya:
Tangen dari jumlah tersebut:
Garis singgung perbedaan:
Kotangen jumlah:
Kotangen selisihnya:
Rumus trigonometri untuk mengubah suatu jumlah menjadi suatu hasil kali. Jumlah sinus:
Perbedaan sinus:
Jumlah cosinus:
Perbedaan cosinus:
Jumlah garis singgung:
Perbedaan tangen:
Jumlah kotangen:
Perbedaan kotangen:
Rumus trigonometri untuk mengubah suatu hasil kali menjadi suatu jumlah. Produk sinus:
Hasil kali sinus dan kosinus:
Hasil kali cosinus:
Rumus pengurangan derajat.
Rumus setengah sudut.
Rumus reduksi trigonometri
Fungsi kosinus disebut fungsi fungsi sinus dan sebaliknya. Demikian pula fungsi tangen dan kotangen adalah fungsi bersama. Rumus reduksi dapat dirumuskan sebagai aturan berikut:
- Jika dalam rumus reduksi suatu sudut dikurangi (ditambahkan) dari 90 derajat atau 270 derajat, maka fungsi tereduksi berubah menjadi kofungsi;
- Jika dalam rumus reduksi sudut dikurangi (ditambahkan) dari 180 derajat atau 360 derajat, maka nama fungsi reduksi tetap dipertahankan;
- Dalam hal ini, tanda fungsi tereduksi (yaitu asli) pada kuadran yang bersesuaian ditempatkan di depan fungsi tereduksi, jika kita menganggap sudut yang dikurangi (ditambahkan) adalah lancip.
Rumus reduksi diberikan dalam bentuk tabel:
Oleh lingkaran trigonometri mudah untuk menentukan nilai tabel fungsi trigonometri:
Persamaan trigonometri
Untuk menyelesaikan suatu persamaan trigonometri tertentu, maka harus direduksi menjadi salah satu persamaan trigonometri yang paling sederhana, yang akan dibahas di bawah ini. Untuk ini:
- Anda dapat menggunakan rumus trigonometri yang diberikan di atas. Pada saat yang sama, Anda tidak perlu mencoba mengubah keseluruhan contoh sekaligus, namun Anda perlu bergerak maju dalam langkah-langkah kecil.
- Kita tidak boleh melupakan kemungkinan mengubah beberapa ekspresi menggunakan metode aljabar, yaitu. misalnya, mengeluarkan sesuatu dari tanda kurung atau sebaliknya membuka tanda kurung, mengurangi pecahan, menerapkan rumus perkalian yang disingkat, membawa pecahan ke penyebut yang sama, dan sebagainya.
- Saat menyelesaikan persamaan trigonometri, Anda dapat menggunakan metode pengelompokan. Harus diingat bahwa agar hasil kali beberapa faktor sama dengan nol, cukuplah salah satu faktor tersebut sama dengan nol, dan sisanya ada.
- Melamar metode penggantian variabel, seperti biasa, persamaan setelah memasukkan pengganti harus menjadi lebih sederhana dan tidak mengandung variabel asli. Anda juga harus ingat untuk melakukan penggantian terbalik.
- Ingatlah bahwa persamaan homogen sering kali muncul dalam trigonometri.
- Saat membuka modul atau menyelesaikan persamaan irasional dengan fungsi trigonometri, Anda perlu mengingat dan memperhitungkan semua seluk-beluk penyelesaian persamaan yang sesuai dengan fungsi biasa.
- Ingat tentang ODZ (dalam persamaan trigonometri, pembatasan ODZ terutama disebabkan oleh fakta bahwa Anda tidak dapat membagi dengan nol, tetapi jangan lupakan batasan lainnya, terutama tentang kepositifan ekspresi dalam pangkat rasional dan di bawah akar pangkat genap). Ingat juga bahwa nilai sinus dan cosinus hanya boleh berada pada rentang dari minus satu hingga plus satu, inklusif.
Yang penting, jika Anda tidak tahu harus berbuat apa, lakukan setidaknya sesuatu, dan yang utama adalah menggunakan rumus trigonometri dengan benar. Jika yang didapat semakin membaik maka lanjutkan penyelesaiannya, dan jika semakin parah maka kembali ke awal dan coba terapkan rumus lain, lakukan hingga Anda menemukan solusi yang tepat.
Rumus penyelesaian persamaan trigonometri paling sederhana. Untuk sinus, ada dua bentuk penulisan penyelesaian yang setara:
Untuk fungsi trigonometri lainnya, notasinya tidak ambigu. Untuk kosinus:
Untuk garis singgung:
Untuk kotangen:
Menyelesaikan persamaan trigonometri dalam beberapa kasus khusus:
Penerapan ketiga poin ini yang berhasil, rajin dan bertanggung jawab akan memungkinkan Anda menunjukkan hasil yang sangat baik di CT, semaksimal kemampuan Anda.
Menemukan kesalahan?
Jika Anda merasa menemukan kesalahan dalam materi pelatihan, silakan tuliskan melalui email. Anda juga dapat melaporkan kesalahan di jejaring sosial (). Dalam surat tersebut sebutkan mata pelajaran (fisika atau matematika), nama atau nomor topik atau ujian, nomor soal, atau tempat dalam teks (halaman) yang menurut Anda terdapat kesalahan. Jelaskan juga apa dugaan kesalahannya. Surat Anda tidak akan luput dari perhatian, kesalahannya akan diperbaiki, atau Anda akan dijelaskan mengapa itu bukan kesalahan.
Dalam pelajaran ini kita akan berbicara tentang bagaimana kebutuhan untuk memperkenalkan fungsi trigonometri muncul dan mengapa fungsi tersebut dipelajari, apa yang perlu Anda pahami dalam topik ini, dan di mana Anda perlu menjadi lebih baik dalam hal itu (apa itu teknik). Perhatikan bahwa teknik dan pemahaman adalah dua hal yang berbeda. Setuju, ada bedanya: belajar mengendarai sepeda, yaitu memahami cara melakukannya, atau menjadi pengendara sepeda profesional. Kita akan membahas secara khusus mengenai pengertian, tentang mengapa fungsi trigonometri diperlukan.
Ada empat fungsi trigonometri, tetapi semuanya dapat dinyatakan dalam satu fungsi menggunakan identitas (persamaan yang menghubungkannya).
Definisi formal fungsi trigonometri untuk sudut lancip pada segitiga siku-siku (Gbr. 1).
Sinus Sudut lancip segitiga siku-siku adalah perbandingan sisi berhadapan dengan sisi miring.
Kosinus Sudut lancip segitiga siku-siku adalah perbandingan sisi yang berdekatan dengan sisi miring.
Garis singgung Sudut lancip suatu segitiga siku-siku adalah perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan.
Kotangens Sudut lancip suatu segitiga siku-siku adalah perbandingan sisi yang berdekatan dengan sisi yang berhadapan.
Beras. 1. Penentuan fungsi trigonometri sudut lancip segitiga siku-siku
Definisi-definisi ini bersifat formal. Lebih tepat dikatakan hanya ada satu fungsi, misalnya sinus. Jika mereka tidak begitu dibutuhkan (tidak terlalu sering digunakan) dalam teknologi, maka banyak fungsi trigonometri yang berbeda tidak akan diperkenalkan.
Misalnya cosinus suatu sudut sama dengan sinus sudut yang sama dengan penambahan (). Selain itu, kosinus suatu sudut selalu dapat dinyatakan melalui sinus sudut yang sama hingga tanda, menggunakan identitas trigonometri dasar (). Garis singgung suatu sudut adalah perbandingan sinus terhadap kosinus atau kotangen terbalik (Gbr. 2). Ada pula yang tidak menggunakan kotangen sama sekali, malah menggantinya dengan . Oleh karena itu, penting untuk memahami dan mampu bekerja dengan satu fungsi trigonometri.
Beras. 2. Hubungan berbagai fungsi trigonometri
Tetapi mengapa fungsi seperti itu diperlukan? Masalah praktis apa yang biasa mereka pecahkan? Mari kita lihat beberapa contoh.
Dua orang ( A Dan DI DALAM) mendorong mobil keluar dari genangan air (Gbr. 3). Manusia DI DALAM dapat mendorong mobil ke samping, padahal kecil kemungkinannya akan membantu A. Di sisi lain, arah usahanya mungkin berangsur-angsur berubah (Gbr. 4).
Beras. 3. DI DALAM mendorong mobil ke samping
Beras. 4. DI DALAM mulai mengubah arah usahanya
Jelas bahwa upaya mereka akan paling efektif ketika mereka mendorong mobil ke satu arah (Gbr. 5).
Beras. 5. Arah upaya bersama yang paling efektif
Berapa harganya DI DALAM membantu mendorong mesin sedemikian rupa sehingga arah gayanya mendekati arah gaya yang bekerja A, adalah fungsi sudut dan dinyatakan dalam kosinusnya (Gbr. 6).
Beras. 6. Cosinus sebagai ciri efisiensi usaha DI DALAM
Jika kita kalikan besarnya gaya dengan yang mana DI DALAM, dengan kosinus sudut, kita memperoleh proyeksi gayanya ke arah gaya yang bekerja A. Semakin dekat sudut antara arah gaya dengan , semakin efektif hasil aksi bersama. A Dan DI DALAM(Gbr. 7). Jika mereka mendorong mobil dengan gaya yang sama ke arah yang berlawanan, mobil akan tetap di tempatnya (Gbr. 8).
Beras. 7. Efektivitas upaya bersama A Dan DI DALAM
Beras. 8. Arah gaya yang berlawanan A Dan DI DALAM
Penting untuk memahami mengapa kita dapat mengganti sudut (kontribusinya terhadap hasil akhir) dengan kosinus (atau fungsi trigonometri sudut lainnya). Faktanya, ini mengikuti sifat segitiga sebangun. Karena sebenarnya kita mengatakan yang berikut: sudut dapat diganti dengan perbandingan dua bilangan (sisi miring atau sisi miring). Hal ini tidak mungkin terjadi jika, misalnya, untuk sudut yang sama pada segitiga siku-siku yang berbeda, perbandingannya berbeda (Gbr. 9).
Beras. 9. Perbandingan sisi-sisi yang sama pada segitiga-segitiga sebangun
Misalnya, jika perbandingan dan perbandingannya berbeda, maka kita tidak dapat memperkenalkan fungsi tangen, karena untuk sudut yang sama pada segitiga siku-siku yang berbeda, garis singgungnya akan berbeda. Namun karena perbandingan panjang kaki-kaki segitiga siku-siku yang sebangun adalah sama, maka nilai fungsinya tidak bergantung pada segitiga tersebut, artinya sudut lancip dan nilai fungsi trigonometrinya adalah sama. satu lawan satu.
Misalkan kita mengetahui tinggi suatu pohon tertentu (Gbr. 10). Bagaimana cara mengukur ketinggian bangunan di dekatnya?
Beras. 10. Ilustrasi kondisi contoh 2
Kita cari suatu titik sedemikian rupa sehingga garis yang ditarik melalui titik ini dan bagian atas rumah akan melewati bagian atas pohon (Gbr. 11).
Beras. 11. Ilustrasi penyelesaian masalah contoh 2
Kita dapat mengukur jarak dari titik ini ke pohon, jarak dari titik tersebut ke rumah, dan kita mengetahui tinggi pohon tersebut. Dari proporsi tersebut Anda dapat mengetahui tinggi rumah: .
Proporsi adalah persamaan perbandingan dua bilangan. Dalam hal ini persamaan perbandingan panjang kaki-kaki segitiga siku-siku yang sebangun. Selain itu, rasio ini sama dengan ukuran sudut tertentu, yang dinyatakan dalam fungsi trigonometri (menurut definisi, ini adalah garis singgung). Kami menemukan bahwa untuk setiap sudut lancip, nilai fungsi trigonometrinya unik. Artinya, sinus, cosinus, tangen, kotangen benar-benar berfungsi, karena setiap sudut lancip berhubungan dengan tepat satu nilai dari masing-masing sudut tersebut. Akibatnya, mereka dapat dieksplorasi lebih lanjut dan propertinya dapat digunakan. Nilai fungsi trigonometri untuk semua sudut telah dihitung dan dapat digunakan (dapat ditemukan dari tabel Bradis atau menggunakan kalkulator teknik apa pun). Namun kita tidak selalu bisa menyelesaikan soal invers (misalnya, menggunakan nilai sinus untuk mengembalikan besaran sudut yang bersesuaian dengannya).
Biarkan sinus suatu sudut sama dengan atau kira-kira (Gbr. 12). Sudut manakah yang sesuai dengan nilai sinus ini? Tentu saja kita dapat kembali menggunakan tabel Bradis dan menemukan beberapa nilai, tetapi ternyata itu bukan satu-satunya (Gbr. 13).
Beras. 12. Mencari sudut berdasarkan nilai sinusnya
Beras. 13. Polisemi fungsi trigonometri terbalik
Akibatnya, ketika merekonstruksi nilai fungsi trigonometri suatu sudut, muncul sifat multinilai dari fungsi trigonometri invers. Ini mungkin tampak sulit, namun kenyataannya kita menghadapi situasi serupa setiap hari.
Jika Anda menutup jendela dan tidak tahu apakah di luar terang atau gelap, atau jika Anda berada di dalam gua, maka ketika Anda bangun, sulit untuk mengatakan apakah saat itu jam satu siang, malam, atau keesokan harinya (Gbr. 14). Padahal kalau ditanya “Jam berapa sekarang?”, kita harus menjawab dengan jujur: “Jam ditambah dikalikan dimana”
Beras. 14. Ilustrasi polisemi pada contoh jam
Kita dapat menyimpulkan bahwa ini adalah periode (interval setelah jam akan menunjukkan waktu yang sama seperti sekarang). Fungsi trigonometri juga memiliki periode: sinus, kosinus, dll. Artinya, nilai-nilai mereka diulangi setelah beberapa perubahan dalam argumen.
Jika tidak ada pergantian siang dan malam atau pergantian musim di planet ini, maka kita tidak dapat menggunakan waktu periodik. Lagi pula, kita hanya menghitung tahun dalam urutan menaik, tetapi hari memiliki jam, dan setiap hari penghitungan dimulai dari awal. Situasinya sama dengan bulan: jika sekarang bulan Januari, maka dalam beberapa bulan Januari akan datang lagi, dan seterusnya. Titik acuan eksternal membantu kita menggunakan penghitungan waktu secara periodik (jam, bulan), misalnya perputaran bumi pada porosnya dan perubahan posisi Matahari dan Bulan di langit. Jika Matahari selalu tergantung pada posisi yang sama, maka untuk menghitung waktu kita akan menghitung jumlah detik (menit) sejak perhitungan ini dimulai. Tanggal dan waktunya mungkin terbaca seperti ini: satu miliar detik.
Kesimpulan: tidak ada kesulitan dalam polisemi fungsi invers. Memang, mungkin ada opsi ketika untuk sinus yang sama terdapat nilai sudut yang berbeda (Gbr. 15).
Beras. 15. Mengembalikan sudut dari nilai sinusnya
Biasanya, ketika menyelesaikan masalah praktis, kami selalu bekerja dalam rentang standar dari hingga . Dalam rentang ini, untuk setiap nilai fungsi trigonometri hanya terdapat dua nilai besar sudut yang bersesuaian.
Pertimbangkan sabuk bergerak dan pendulum berbentuk ember dengan lubang tempat keluarnya pasir. Pendulum berayun, pita bergerak (Gbr. 16). Akibatnya pasir akan meninggalkan jejak berupa grafik fungsi sinus (atau kosinus), yang disebut gelombang sinus.
Faktanya, grafik sinus dan cosinus berbeda satu sama lain hanya pada titik acuannya (jika Anda menggambar salah satunya dan kemudian menghapus sumbu koordinatnya, Anda tidak akan dapat menentukan grafik mana yang digambar). Oleh karena itu, tidak ada gunanya menyebut graf kosinus sebagai graf (mengapa harus diberi nama tersendiri untuk graf yang sama)?
Beras. 16. Ilustrasi rumusan masalah pada contoh 4
Grafik suatu fungsi juga dapat membantu Anda memahami mengapa fungsi invers memiliki banyak nilai. Jika nilai sinusnya tetap, mis. tariklah garis lurus yang sejajar dengan sumbu absis, kemudian pada perpotongan tersebut kita peroleh semua titik yang sinus sudutnya sama dengan titik tertentu. Jelas bahwa titik-titik tersebut akan jumlahnya tidak terbatas. Seperti pada contoh jam yang nilai waktunya berbeda , hanya saja disini nilai sudutnya akan berbeda besarnya (Gbr. 17).
Beras. 17. Ilustrasi polisemi sinus
Jika kita perhatikan contoh jam, maka titik (ujungnya searah jarum jam) bergerak mengelilingi lingkaran. Fungsi trigonometri dapat didefinisikan dengan cara yang sama - pertimbangkan bukan sudut dalam segitiga siku-siku, tetapi sudut antara jari-jari lingkaran dan arah sumbu positif. Banyaknya lingkaran yang akan dilalui suatu titik (kita sepakat untuk menghitung pergerakan searah jarum jam dengan tanda minus, dan berlawanan arah jarum jam dengan tanda plus), ini adalah periode (Gbr. 18).
Beras. 18. Nilai sinus pada lingkaran
Jadi, fungsi invers terdefinisi secara unik pada interval tertentu. Untuk interval ini kita dapat menghitung nilainya, dan mendapatkan sisa nilai yang ditemukan dengan menjumlahkan dan mengurangkan periode fungsi.
Mari kita lihat contoh lain dari suatu periode. Mobil itu bergerak di sepanjang jalan. Bayangkan rodanya terperosok ke dalam cat atau genangan air. Kadang-kadang bekas cat atau genangan air di jalan mungkin terlihat (Gambar 19).
Beras. 19. Ilustrasi periode
Rumus trigonometri dalam pelajaran sekolah cukup banyak, namun pada umumnya cukup mengingat satu saja (Gbr. 20).
Beras. 20. Rumus trigonometri
Rumus sudut ganda juga dapat dengan mudah diturunkan dari sinus penjumlahan dengan mensubstitusikannya (demikian pula dengan kosinus). Anda juga dapat memperoleh formula produk.
Faktanya, Anda hanya perlu mengingat sedikit saja, karena ketika menyelesaikan masalah, rumus-rumus ini akan diingat dengan sendirinya. Tentu saja, seseorang akan terlalu malas untuk memutuskan banyak hal, tetapi dia tidak memerlukan teknik ini, dan juga rumusnya sendiri.
Dan karena rumusnya tidak diperlukan, maka tidak perlu menghafalnya. Anda hanya perlu memahami gagasan bahwa fungsi trigonometri adalah fungsi yang digunakan untuk menghitung, misalnya jembatan. Hampir tidak ada mekanisme yang lengkap tanpa penggunaan dan perhitungannya.
1. Pertanyaan yang sering muncul adalah apakah kabel dapat sejajar dengan tanah. Jawaban: tidak, mereka tidak bisa, karena satu gaya bekerja ke bawah dan gaya lainnya bekerja secara paralel - mereka tidak akan pernah seimbang (Gbr. 21).
2. Angsa, udang karang, dan tombak menarik gerobak dalam satu bidang. Angsa terbang ke satu arah, udang karang menarik ke arah lain, dan tombak ke arah ketiga (Gbr. 22). Kekuatan mereka bisa seimbang. Keseimbangan ini dapat dihitung menggunakan fungsi trigonometri.
3. Jembatan kabel (Gbr. 23). Fungsi trigonometri membantu menghitung jumlah kabel, bagaimana kabel harus diarahkan dan dikencangkan.
Beras. 23. Jembatan kabel
Beras. 24. “Jembatan Tali”
Beras. 25. Jembatan Bolshoi Obukhovsky
Tautan ke situs ma-te-ri-a-lyInternetUrok
Matematika kelas 6:
Geometri kelas 8:
Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.
Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi
Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.
Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.
Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.
Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:
- Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.
Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:
- Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami menghubungi Anda dengan penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
- Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
- Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk keperluan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian guna meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
- Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.
Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga
Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.
Pengecualian:
- Jika diperlukan - sesuai dengan hukum, prosedur peradilan, dalam proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari otoritas pemerintah di wilayah Federasi Rusia - untuk mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
- Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.
Perlindungan informasi pribadi
Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.
Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan
Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.
- -
Biasanya, ketika mereka ingin menakut-nakuti seseorang dengan MATEMATIKA MENAKUTKAN, mereka mencontohkan segala macam sinus dan cosinus, sebagai sesuatu yang sangat kompleks dan menjijikkan. Namun nyatanya, ini adalah bagian yang indah dan menarik yang bisa dipahami dan dipecahkan.
Topiknya dimulai di kelas 9 dan semuanya tidak selalu jelas pertama kali, ada banyak kehalusan dan trik. Saya mencoba mengatakan sesuatu tentang topik tersebut.
Pengantar dunia trigonometri:
Sebelum langsung membahas rumus, Anda perlu memahami dari geometri apa itu sinus, kosinus, dll.
Sinus sudut- perbandingan sisi (sudut) yang berhadapan dengan sisi miring.
Kosinus- rasio yang berdekatan dengan sisi miring.
Garis singgung- sisi berlawanan dengan sisi yang berdekatan
Kotangens- bersebelahan dengan yang sebaliknya.
Sekarang perhatikan lingkaran dengan radius satuan pada bidang koordinat dan tandai beberapa sudut alfa di atasnya: (gambar dapat diklik, setidaknya beberapa)
- 
-
Garis merah tipis merupakan garis tegak lurus dari titik potong lingkaran dan sudut siku-siku pada sumbu sapi dan oy. X dan y merah adalah nilai koordinat x dan y pada sumbu (x dan y abu-abu hanya untuk menunjukkan bahwa ini adalah sumbu koordinat dan bukan hanya garis).
Perlu diperhatikan bahwa sudut dihitung dari arah positif sumbu sapi berlawanan arah jarum jam.
Mari kita cari sinus, kosinus, dan sebagainya.
sin a: sisi berhadapan sama dengan y, sisi miring sama dengan 1.
sin a = y / 1 = y
Agar jelas dari mana saya mendapatkan y dan 1, agar lebih jelas, mari kita susun huruf-hurufnya dan lihat segitiganya.
- -
AF = AE = 1 - jari-jari lingkaran.
Oleh karena itu AB = 1 sebagai jari-jarinya. AB - sisi miring.
BD = CA = y - sebagai nilai oh.
AD = CB = x - sebagai nilai menurut oh.
dosa a = BD / AB = y / 1 = y
Berikutnya adalah kosinus:
cos a: sisi yang berdekatan - AD = x
karena a = AD / AB = x / 1 = x
Kami juga mengeluarkan tangen dan kotangen.
tg a = y / x = sin a / cos a
cot a = x / y = cos a / sin a
Tiba-tiba kita mendapatkan rumus tangen dan kotangen.
Baiklah, mari kita lihat secara konkrit bagaimana hal ini diselesaikan.
Misalnya a = 45 derajat.
Kami mendapatkan segitiga siku-siku dengan salah satu sudut 45 derajat. Bagi sebagian orang, sudah jelas bahwa ini adalah segitiga sama sisi, tetapi saya akan tetap menjelaskannya.
Cari sudut ketiga segitiga (yang pertama 90, yang kedua 5): b = 180 - 90 - 45 = 45
Jika dua sudut sama besar, maka sisi-sisinya sama besar, seperti itulah bunyinya.
Jadi, ternyata jika kita menjumlahkan dua segitiga serupa di atas satu sama lain, kita mendapatkan persegi yang diagonalnya sama dengan jari-jari = 1. Berdasarkan teorema Pythagoras, kita mengetahui bahwa diagonal persegi dengan sisi a sama dengan akar dari dua.
Sekarang kami berpikir. Jika 1 (sisi miring alias diagonal) sama dengan sisi persegi dikali akar dua, maka sisi persegi tersebut harusnya sama dengan 1/sqrt(2), dan jika kita mengalikan pembilang dan penyebut pecahan ini dengan akar dua, kita mendapatkan sqrt(2)/2 . Dan karena segitiga tersebut sama kaki, maka AD = AC => x = y
Menemukan fungsi trigonometri kita:
sin 45 = kuadrat(2)/2 / 1 = kuadrat(2)/2
cos 45 = persegi(2)/2 / 1 = persegi(2)/2
tg 45 = persegi(2)/2 / persegi(2)/2 = 1
ctg 45 = persegi(2)/2 / persegi(2)/2 = 1
Anda perlu bekerja dengan nilai sudut lainnya dengan cara yang sama. Hanya segitiga yang tidak sama kaki, tetapi sisi-sisinya dapat dicari dengan mudah menggunakan teorema Pythagoras.
Dengan cara ini kita mendapatkan tabel nilai fungsi trigonometri dari berbagai sudut:
- 
-
Apalagi meja ini curang dan sangat nyaman.
Cara membuatnya sendiri tanpa repot: Gambarlah tabel seperti ini dan tuliskan angka 1 2 3 di dalam kotak.
- 
-
Sekarang dari 1 2 3 ini ambil akarnya dan bagi dengan 2. Ternyata seperti ini:
- 
-
Sekarang kita coret sinusnya dan tulis kosinusnya. Nilai-nilainya adalah sinus cermin:
- 
-
Garis singgung juga mudah diperoleh - Anda perlu membagi nilai garis sinus dengan nilai garis kosinus:
- 
-
Nilai kotangen adalah nilai kebalikan dari garis singgung. Hasilnya, kami mendapatkan sesuatu seperti ini:
- 
-
catatan garis singgung itu tidak ada di P/2, misalnya. Pikirkan alasannya. (Anda tidak dapat membaginya dengan nol.)
Yang perlu Anda ingat di sini: sinus adalah nilai y, cosinus adalah nilai x. Tangen adalah perbandingan y dan x, dan kotangen adalah kebalikannya. jadi, untuk menentukan nilai sinus/cosinus cukup menggambar tabel yang saya jelaskan di atas dan lingkaran dengan sumbu koordinat (lebih mudah untuk melihat nilainya pada sudut 0, 90, 180, 360).
- 
-
Baiklah, saya harap Anda bisa membedakannya perempat:
- 
-
Tanda sinus, kosinus, dan sebagainya bergantung pada kuarter mana sudutnya berada. Meskipun demikian, pemikiran logis yang benar-benar primitif akan membawa Anda ke jawaban yang benar jika Anda memperhitungkan bahwa pada kuartal kedua dan ketiga x negatif, dan y negatif pada kuartal ketiga dan keempat. Tidak ada yang menakutkan atau menakutkan.
Saya pikir tidak ada salahnya untuk menyebutkannya rumus reduksi ala hantu, seperti yang didengar semua orang, yang memiliki sedikit kebenaran. Tidak ada rumus seperti itu, karena tidak diperlukan. Arti sebenarnya dari keseluruhan tindakan ini: Kita dengan mudah menemukan nilai sudut hanya untuk kuartal pertama (30 derajat, 45, 60). Fungsi trigonometri bersifat periodik, sehingga kita dapat menyeret sudut besar apa pun ke dalam kuarter pertama. Maka kita akan segera menemukan maknanya. Tetapi menyeret saja tidak cukup - Anda harus mengingat tandanya. Inilah gunanya rumus reduksi.
Jadi, kita memiliki sudut yang besar, atau lebih tepatnya lebih dari 90 derajat: a = 120. Dan kita perlu mencari sinus dan kosinusnya. Untuk melakukan ini, kita akan menguraikan 120 menjadi sudut-sudut yang dapat kita kerjakan:
dosa a = dosa 120 = dosa (90 + 30)
Kita lihat sudut ini terletak pada kuarter kedua, sinus disana positif, oleh karena itu tanda + di depan sinus tetap ada.
Untuk menghilangkan 90 derajat, kita ubah sinus menjadi cosinus. Nah, ini aturan yang perlu Anda ingat:
sin (90 + 30) = cos 30 = kuadrat(3) / 2
Atau Anda dapat membayangkannya dengan cara lain:
dosa 120 = dosa (180 - 60)
Untuk menghilangkan 180 derajat, kami tidak mengubah fungsinya.
sin (180 - 60) = sin 60 = kuadrat(3) / 2
Kami mendapat nilai yang sama, jadi semuanya benar. Sekarang kosinusnya:
cos 120 = cos (90 + 30)
Kosinus pada kuarter kedua negatif, jadi kita beri tanda minus. Dan kita ubah fungsinya menjadi sebaliknya, karena kita perlu menghilangkan 90 derajat.
cos (90 + 30) = - dosa 30 = - 1/2
Atau:
cos 120 = cos (180 - 60) = - cos 60 = - 1/2
Yang perlu anda ketahui, dapat lakukan dan lakukan untuk memindahkan sudut ke suku pertama:
- menguraikan sudut menjadi suku-suku yang dapat dicerna;
-perhitungkan di kuarter mana sudut tersebut berada dan beri tanda yang sesuai jika fungsi pada kuarter tersebut negatif atau positif;
-singkirkan hal-hal yang tidak perlu:
*jika Anda perlu menghilangkan 90, 270, 450 dan sisa 90+180n, dengan n adalah bilangan bulat apa pun, maka fungsinya dibalik (sinus ke kosinus, tangen ke kotangen, dan sebaliknya);
*jika Anda perlu menghilangkan 180 dan sisa 180+180n, di mana n adalah bilangan bulat apa pun, maka fungsinya tidak berubah. (Ada satu fitur di sini, tapi sulit dijelaskan dengan kata-kata, tapi oh baiklah).
Itu saja. Saya rasa tidak perlu menghafal rumusnya sendiri jika Anda dapat mengingat beberapa aturan dan menggunakannya dengan mudah. Omong-omong, rumus ini sangat mudah dibuktikan:
- 
-
Dan mereka juga mengkompilasi tabel yang rumit, lalu kita tahu:
- 
-
Persamaan dasar trigonometri: Anda perlu hafal mereka dengan sangat baik.
Identitas trigonometri dasar(persamaan):
dosa^2(a) + cos^2(a) = 1
Jika tidak percaya, lebih baik periksa sendiri dan lihat sendiri. Gantikan nilai sudut yang berbeda.
Rumus ini sangat-sangat bermanfaat, ingatlah selalu. menggunakannya Anda dapat mengekspresikan sinus melalui kosinus dan sebaliknya, yang terkadang sangat berguna. Namun, seperti formula lainnya, Anda perlu mengetahui cara menanganinya. Ingatlah selalu bahwa tanda fungsi trigonometri bergantung pada kuadran di mana sudut tersebut berada. Itu sebabnya saat mengekstraksi root, Anda perlu mengetahui kuartalnya.
Tangen dan kotangen: Kami sudah mendapatkan rumus ini sejak awal.
tg a = dosa a / cos a
cot a = cos a / sin a
Hasil kali tangen dan kotangen:
tg a * ctg a = 1
Karena:
tg a * ctg a = (sin a / cos a) * (cos a / sin a) = 1 - pecahan dibatalkan.
Seperti yang Anda lihat, semua rumus adalah permainan dan kombinasi.
Berikut dua lagi, diperoleh dari pembagian dengan cosinus kuadrat dan sinus kuadrat dari rumus pertama:
- 
-
Harap diperhatikan bahwa dua rumus terakhir dapat digunakan dengan batasan nilai sudut a, karena Anda tidak dapat membaginya dengan nol.
Rumus penjumlahan: dibuktikan dengan menggunakan aljabar vektor.
- 
-
Jarang digunakan, tapi akurat. Ada rumus dalam pemindaian, namun mungkin tidak terbaca atau bentuk digitalnya lebih mudah dipahami:
- -
Rumus sudut ganda:
Mereka diperoleh berdasarkan rumus penjumlahan, misalnya: kosinus sudut ganda cos 2a = cos (a + a) - apakah itu mengingatkan Anda pada sesuatu? Mereka baru saja mengganti cupang dengan alpha.
- 
-
Dua rumus selanjutnya diturunkan dari substitusi pertama sin^2(a) = 1 - cos^2(a) dan cos^2(a) = 1 - sin^2(a).
Sinus sudut ganda lebih sederhana dan lebih sering digunakan:
- 
-
Dan orang mesum khusus dapat memperoleh garis singgung dan kotangen sudut ganda, mengingat tan a = sin a / cos a, dst.
- 
-
Untuk orang-orang yang disebutkan di atas Rumus sudut rangkap tiga: mereka diturunkan dengan menjumlahkan sudut 2a dan a, karena kita sudah mengetahui rumus sudut ganda.
- 
-
Rumus setengah sudut:
- 
-
Saya tidak tahu bagaimana cara menurunkannya, atau lebih tepatnya, bagaimana menjelaskannya... Jika kita menuliskan rumus-rumus ini, mengganti identitas trigonometri utama dengan a/2, maka jawabannya akan konvergen.
Rumus penjumlahan dan pengurangan fungsi trigonometri:
- 
-
Mereka diperoleh dari rumus penjumlahan, tapi tidak ada yang peduli. Hal itu tidak sering terjadi.
Seperti yang Anda pahami, masih ada banyak rumus, yang tidak ada gunanya dicantumkan, karena saya tidak dapat menulis sesuatu yang memadai tentang rumus tersebut, dan rumus kering dapat ditemukan di mana saja, dan merupakan permainan dengan rumus yang sudah ada sebelumnya. Semuanya sangat logis dan tepat. Aku akan memberitahumu yang terakhir saja tentang metode sudut bantu:
Mengonversi ekspresi a cosx + b sinx ke bentuk Acos(x+) atau Asin(x+) disebut metode memasukkan sudut bantu (atau argumen tambahan). Metode ini digunakan ketika menyelesaikan persamaan trigonometri, ketika memperkirakan nilai fungsi, dalam masalah ekstrem, dan penting untuk dicatat bahwa beberapa masalah tidak dapat diselesaikan tanpa memperkenalkan sudut bantu.
Tidak peduli bagaimana Anda mencoba menjelaskan metode ini, tidak ada hasil, jadi Anda harus melakukannya sendiri:
- 
-
Suatu hal yang menakutkan, tapi bermanfaat. Jika Anda memecahkan masalah, maka masalah tersebut akan berhasil.
Dari sini, misalnya: mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/trigonom/metod/metod2/met2/met2.htm
Mata kuliah selanjutnya adalah grafik fungsi trigonometri. Tapi itu cukup untuk satu pelajaran. Mengingat di sekolah mereka mengajarkan hal ini selama enam bulan.
Tulis pertanyaan Anda, pecahkan masalah, minta pindaian beberapa tugas, cari tahu, coba.
Selalu milikmu, Dan Faraday.
