Kondisi optimal
Saat mempelajari segala jenis masalah optimasi, tempat penting ditempati oleh pertanyaan tentang kondisi optimal atau, seperti yang mereka katakan, kondisi ekstrim. Ada kondisi yang sangat penting untuk optimalitas, ᴛ.ᴇ. kondisi yang harus dipenuhi oleh suatu titik yang merupakan solusi masalah, dan kondisi optimalitas yang cukup, ᴛ.ᴇ. kondisi yang menyatakan bahwa suatu titik tertentu adalah solusi dari masalah tersebut.
Catatan:
1. Jika suatu fungsi mempunyai sifat unimodalitas, maka minimum lokal secara otomatis menjadi minimum global.
2. Jika fungsinya tidak unimodal, maka mungkin terdapat beberapa optima lokal, dan minimum global dapat ditentukan dengan mencari semua optima lokal dan memilih yang terkecil.
Teorema 4.1.(kondisi yang sangat penting untuk minimum orde pertama): Misalkan fungsi ¦ terdiferensiasi pada titik . Jika merupakan solusi lokal untuk masalah (4.1), maka
(4.5)
,
di mana adalah gradien fungsi.
Dot X* Kondisi memuaskan (4.5) biasa disebut titik stasioner fungsi atau masalah (4.1). Jelas bahwa titik stasioner tidak harus berupa solusi, ᴛ.ᴇ. (4.5) bukanlah kondisi yang cukup untuk optimalitas. Poin-poin seperti itu mencurigakan karena optimal.
Contoh 4.1. Misalnya saja fungsinya F(X) = X 3 (Gbr. 4.4). Fungsi ini memenuhi kondisi optimalitas yang sangat penting, namun tidak memiliki nilai maksimum maupun minimum X* = 0, ᴛ.ᴇ. dan titik X* – titik stasioner.
Jika suatu titik stasioner tidak sesuai dengan titik optimum lokal (minimum atau maksimum), maka titik tersebut adalah titik stasioner titik belok atau titik pelana. Untuk membedakan antara kasus-kasus di mana titik stasioner sesuai dengan minimum lokal, maksimum lokal, atau titik belok, sangat penting untuk membangun kondisi optimalitas yang memadai.
X*X
Beras. 4.6. Grafik suatu fungsi yang memiliki titik belok
Teorema 4.2.(kondisi yang sangat penting untuk minimum orde kedua): Misalkan fungsi ¦ terdiferensiasi dua kali pada titik . Jika X* adalah solusi lokal untuk masalah (4.1), maka matriksnya pasti non-negatif, ᴛ.ᴇ.
H E n, (4.6)
Di mana 
adalah fungsi Hessian ¦ pada titik tersebut.
Kondisi cukup untuk optimalitas lokal mengandung penguatan karakteristik persyaratan pada matriks.
Teorema 4.3.(kondisi yang cukup untuk minimum orde kedua): Misalkan fungsi ¦ terdiferensiasi dua kali pada titik . Misalkan , dan matriksnya adalah definit positif, ᴛ.ᴇ.
, H E n, H≠
0. (4.7)
Kemudian X* – solusi lokal yang ketat untuk masalah (4.1). Untuk fungsi dengan argumen numerik ( N= 1) kondisi (4.6) dan (4.7) berarti turunan keduanya sebagai besaran skalar masing-masing tidak negatif dan positif.
Jadi, untuk fungsi ¦ argumen numerik bukan merupakan jaminan adanya optimal jika kondisinya terpenuhi 
− minimal; − maksimal.
Agar titik stasioner menjadi titik ekstrem, sangat penting untuk memenuhi kondisi yang memadai untuk ekstrem lokal. Kondisi yang cukup adalah teorema berikut.
Teorema 4.4. Biarkan pada intinya X* Pertama ( N−1) turunan dari fungsi tersebut hilang, dan turunannya N urutannya berbeda dari nol:
1) Jika N− aneh kalau begitu X* – titik belok;
2) Jika N− genap, kalau begitu X* – titik optimal lokal.
Di samping itu:
A) jika turunan ini positif, maka X* – poin minimum lokal;
B) jika turunan ini negatif, maka X* – titik maksimum lokal.
Untuk menerapkan Teorema 4.4 ini pada fungsi F(X) = X 3 (contoh 4.1), mari kita hitung:
.
Karena orde turunan pertama bukan nol adalah 3 (bilangan ganjil), maka titik X= 0 adalah titik belok.
Contoh 4.2. Pertimbangkan fungsi yang didefinisikan pada seluruh sumbu nyata dan tentukan titik tunggalnya:
.
Kondisi optimal - konsep dan tipe. Klasifikasi dan ciri-ciri kategori “Kondisi Optimalitas” 2017, 2018.
KONDISI CUKUP OPTIMAL
Kondisi yang memastikan optimalitas solusi tertentu untuk masalah kalkulus variasi kelas kurva perbandingan yang dipilih.
O.d.u. minimum lemah (lihat): untuk memberikan fungsionalitas yang lemah
(1) dalam kondisi batas. kamu .
(x 0) = y 0 ,y(x 1) = y 1 , syarat berikut ini cukup dipenuhi.
1) Kurvanya harus ekstrim, yaitu memuaskan persamaan Euler
2) Sepanjang kurva, termasuk ujung-ujungnya, diperkuat kondisi Legendre
Fy"y"(x, kamu, kamu") >
0.
3) Kurva harus memenuhi peningkatan kondisi Jacobi mensyaratkan persamaan Jacobi
(2) dengan kondisi awal
h(x 0)=0, h"(x 0) = 1
Fungsi Weierstrass, a dan ( x, kamu) -
kemiringan lapangan. ekstrim di sekitarnya
Pada kondisi ekstrimnya sendiri (3) terjadi
Kondisi (4) diperlukan untuk minimum yang kuat; itu disebut kondisi Weierstrass yang diperlukan. Jadi, berbeda dengan kondisi yang cukup untuk minimum yang lemah, yang memerlukan pemenuhan kondisi penguatan tertentu yang diperlukan pada titik-titik ekstrem itu sendiri, kondisi yang cukup untuk minimum yang kuat memerlukan pemenuhan kondisi Weierstrass yang diperlukan di lingkungan ekstrem tertentu. Dalam kasus umum, tidak mungkin untuk melemahkan rumusan kondisi cukup untuk minimum kuat dengan mengganti persyaratan terpenuhinya kondisi Weierstrass di lingkungan ekstrem dengan kondisi Weierstrass yang diperkuat (kondisi (4) dengan tanda pertidaksamaan tegas ) di titik ekstrim (lihat).
Untuk masalah variasional non-klasik yang dipertimbangkan dalam pengendalian matematika yang optimal teori, Ada beberapa pendekatan untuk menetapkan O. d.u. ekstrim mutlak.
Biarkan masalah kontrol optimal diajukan di mana diperlukan untuk menentukan fungsi minimum
dalam kondisi
Di mana kamu- himpunan ruang berdimensi p tertutup tertentu.
Saat menggunakan metode pemrograman dinamis, O.d.u. dirumuskan sebagai berikut. Agar kendali u(t) menjadi kendali optimal pada soal (5)-(8), cukuplah:
1) ada S(x) seperti itu ,
edge memiliki turunan parsial kontinu untuk semua X, kecuali, mungkin, untuk himpunan dimensi tertentu yang lebih halus P, sama dengan nol pada titik akhir x 1, S(x 1)=0,
dan memenuhi persamaan Bellman
2) kamu(t) =v(x(t)) , di , di mana v(x) - fungsi sintesis ditentukan dari persamaan Bellman:
Padahal bila menggunakan metode dinamis. pemrograman menghasilkan hasil yang lebih kuat: O.d.u. untuk berbagai kontrol berbeda yang mentransfer titik fase dari keadaan awal sembarang ke keadaan akhir tertentu x 1 .
Dalam kasus yang lebih umum, ketika sistem non-otonom dipertimbangkan, yaitu fungsi integran dan fungsi vektor ruas kanan juga bergantung pada waktu T, fungsi S harus bergantung pada t dan suku tersebut harus ditambahkan ke ruas kiri persamaan (9). Ada (lihat), yang memungkinkan untuk menghilangkan kondisi yang sangat membatasi dan tidak terpenuhi di sebagian besar soal, tetapi biasanya diasumsikan kondisi untuk diferensiasi kontinu dari fungsi S(x). X.
O.d.u. dapat dibangun berdasarkan prinsip maksimum Pontryagin. Jika sintesis beraturan dilakukan pada suatu wilayah ruang fase G tertentu, maka semua lintasan yang diperoleh dengan menggunakan prinsip maksimum pada saat membangun sintesis teratur adalah optimal pada wilayah tersebut. G.
Definisi sintesis reguler, meskipun agak rumit, pada dasarnya tidak memberikan batasan khusus pada soal (5)-(8).
Ada pendekatan lain untuk menetapkan O. d.u. (cm.). Misalkan j(x) adalah suatu fungsi yang kontinu beserta turunan parsialnya untuk semua fungsi yang diijinkan X, milik wilayah tertentu G, dan
Agar pasangan , dapat memberikan nilai minimum absolut pada soal (5) - (8), cukup terdapat fungsi j(x) sehingga
Perubahan yang sesuai pada formulasi O.d.u. untuk kasus sistem non-otonom yang lebih umum, masalah dengan fungsi tipe Mayer dan Boltz (lihat. Masalah Bolza),
serta untuk mode geser optimal (lihat).
Masalah variasi dengan fungsi dalam bentuk integral berganda dan koneksi diferensial dalam bentuk persamaan diferensial parsial dipelajari, di mana fungsi beberapa variabel dipertimbangkan (lihat).
menyala.: Lavrentiev M.A., Lyusternik L.A., Kursus kalkulus variasi, edisi ke-2, M.-L., 1950; Bliss G. A. Kuliah tentang kalkulus variasi, trans. dari bahasa Inggris, M., 1950; Bellman R., Dinamis, trans. dari bahasa Inggris, M., 1960; Boltyansky V.G., Metode matematika pengendalian optimal, M., 1966; Krotov V.F., "Otomasi dan telemekanik", 1962, vol.23, no.12, hal. 1571-83; 1963, jilid 24, no.5, hal. 581-98; Butkovsky A.G., Teori kontrol optimal sistem dengan parameter terdistribusi, M., 1965. I.B.Vapnyarsky.
Ensiklopedia matematika. - M.: Ensiklopedia Soviet. I.M.Vinogradov. 1977-1985.
Lihat apa itu “KONDISI CUKUP OPTIMAL” di kamus lain:
Dalam teori optimasi, kondisi Karush Kuhn Tucker (KKT) merupakan kondisi yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah pemrograman nonlinier. Agar solusinya optimal, perlu dilakukan hal-hal tertentu... ... Wikipedia
Pemecahan masalah kendali optimal teori matematika, dimana aksi kendali u=u(t) dibentuk dalam bentuk fungsi waktu (dengan demikian diasumsikan bahwa selama proses tidak ada informasi selain yang diberikan pada saat itu juga. awal memasuki sistem...... Ensiklopedia Matematika
Wikipedia mempunyai artikel tentang orang lain dengan nama keluarga ini, lihat Krotov. Vadim Fedorovich Krotov Tanggal lahir: 14 Februari 1932 (1932 02 14) (80 tahun) Tempat lahir ... Wikipedia
Metode numerik adalah cabang matematika komputasi yang dikhususkan untuk metode mencari nilai ekstrim fungsi. Metode numerik V. dan. Merupakan kebiasaan untuk membaginya menjadi dua kelas besar: metode tidak langsung dan langsung. Metode tidak langsung didasarkan pada... ... Ensiklopedia Matematika
C core (diucapkan tse core) adalah prinsip optimalitas dalam teori permainan kooperatif, yaitu sekumpulan distribusi hasil efektif yang tahan terhadap penyimpangan koalisi pemain mana pun, yaitu sekumpulan vektor sedemikian rupa sehingga: dan . .. ... Wikipedia
Prinsip inti optimalitas dalam teori permainan kooperatif, yaitu sekumpulan distribusi hasil yang efektif yang tahan terhadap penyimpangan dari koalisi pemain mana pun, yaitu sekumpulan vektor sedemikian rupa sehingga: dan untuk koalisi mana pun yang dipegangnya ... Wikipedia
Nilai minimum yang dicapai oleh fungsi J(y) pada kurva sedemikian rupa sehingga (1) untuk semua kurva perbandingan y(x) yang memenuhi kondisi kedekatan orde nol e: (2) pada seluruh interval . Diasumsikan bahwa kurvanya memenuhi... ... Ensiklopedia Matematika
- (lahir 21 Oktober 1926, Novosibirsk) ahli matematika Rusia. Kepala Departemen Sibernetika Teoritis, Fakultas Matematika dan Mekanika, Universitas Negeri St. Petersburg, Anggota Koresponden dari Akademi Ilmu Pengetahuan Rusia, Akademisi... ... Wikipedia
Vladimir Andreevich Yakubovich (lahir 21 Oktober 1926, Novosibirsk) ahli matematika Rusia. Kepala Departemen Sibernetika Teoritis, Fakultas Matematika dan Mekanika, Universitas Negeri St. Petersburg, Anggota Koresponden... ... Wikipedia
Saat mempelajari segala jenis masalah optimasi, tempat penting ditempati oleh pertanyaan tentang kondisi optimal atau, seperti yang mereka katakan, kondisi ekstrim. Ada kondisi yang diperlukan untuk optimalitas, yaitu. kondisi yang harus dipenuhi oleh suatu titik yang merupakan solusi masalah, dan kondisi optimalitas yang cukup, yaitu. kondisi yang menyatakan bahwa suatu titik tertentu adalah solusi dari masalah tersebut.
Catatan:
1. Jika suatu fungsi mempunyai sifat unimodalitas, maka minimum lokal secara otomatis menjadi minimum global.
2. Jika fungsinya tidak unimodal, maka mungkin terdapat beberapa optima lokal, dan minimum global dapat ditentukan dengan mencari semua optima lokal dan memilih yang terkecil.
Teorema 4.1.(kondisi yang diperlukan untuk minimum orde pertama): Misalkan fungsi ¦ terdiferensiasi pada titik . Jika merupakan solusi lokal untuk masalah (4.1), maka
(4.5)
,
di mana adalah gradien fungsi.
Dot X* kondisi memuaskan (4.5) disebut titik stasioner fungsi atau masalah (4.1). Jelas bahwa titik stasioner tidak harus berupa solusi, yaitu. (4.5) bukanlah kondisi yang cukup untuk optimalitas. Poin-poin seperti itu mencurigakan karena optimal.
Contoh 4.1. Misalnya saja fungsinya F(X) = X 3 (Gbr. 4.4). Fungsi ini memenuhi kondisi optimalitas yang diperlukan, namun tidak memiliki nilai maksimum maupun minimum X* = 0, yaitu dan titik X* – titik stasioner.
Jika suatu titik stasioner tidak sesuai dengan titik optimum lokal (minimum atau maksimum), maka titik tersebut adalah titik stasioner titik belok atau titik pelana. Untuk membedakan antara kasus di mana titik stasioner sesuai dengan minimum lokal, maksimum lokal, atau titik belok, perlu dibangun kondisi optimalitas yang memadai.
X*X
Beras. 4.6. Grafik suatu fungsi yang memiliki titik belok
Teorema 4.2.(kondisi yang diperlukan untuk minimum orde kedua): Misalkan fungsi ¦ terdiferensiasi dua kali pada titik . Jika X* adalah solusi lokal untuk masalah (4.1), maka matriksnya pasti non-negatif, yaitu.
H E n, (4.6)
Di mana 
adalah fungsi Hessian ¦ pada titik tersebut.
Kondisi cukup untuk optimalitas lokal mengandung penguatan karakteristik persyaratan pada matriks.
Teorema 4.3.(kondisi yang cukup untuk minimum orde kedua): Misalkan fungsi ¦ terdiferensiasi dua kali pada titik . Mari kita asumsikan bahwa , dan matriksnya pasti positif, yaitu.
, H E n, H≠
0. (4.7)
Kemudian X* – solusi lokal yang ketat untuk masalah (4.1). Untuk fungsi dengan argumen numerik ( N= 1) kondisi (4.6) dan (4.7) berarti turunan keduanya sebagai besaran skalar masing-masing tidak negatif dan positif.
Jadi, untuk fungsi ¦ argumen numerik bukan merupakan jaminan adanya optimal jika kondisinya terpenuhi 
− minimal; − maksimal.
Agar suatu titik stasioner menjadi titik ekstrem, kondisi ekstrem lokal harus dipenuhi. Kondisi yang cukup adalah teorema berikut.
Teorema 4.4. Biarkan pada intinya X* Pertama ( N−1) turunan dari fungsi tersebut hilang, dan turunannya N urutannya berbeda dari nol:
1) Jika N− aneh kalau begitu X* – titik belok;
2) Jika N− genap, kalau begitu X* – titik optimal lokal.
Di samping itu:
A) jika turunan ini positif, maka X* – poin minimum lokal;
B) jika turunan ini negatif, maka X* – titik maksimum lokal.
Untuk menerapkan Teorema 4.4 ini pada fungsi F(X) = X 3 (contoh 4.1), mari kita hitung:
.
Karena orde turunan pertama bukan nol adalah 3 (bilangan ganjil), maka titik X= 0 adalah titik belok.
Contoh 4.2. Pertimbangkan fungsi yang didefinisikan pada seluruh sumbu nyata dan tentukan titik tunggalnya:
.
Mari kita peroleh kondisi optimal yang harus dipenuhi oleh rangkaian kendali yang diinginkan. Untuk tujuan ini, kami menafsirkan masalah yang dirumuskan di atas sebagai masalah pemrograman matematika.
Mari kita nyatakan kriteria (4.2) sebagai fungsi tertentu dari kontrol yang diinginkan
Di bawah ini Dan dan £ dipahami sebagai barisan , ditulis untuk kepastian dalam bentuk vektor yang diperluas dengan dimensi (T+l)m Dan (N+l)r masing-masing. Ketergantungan Fungsi Keadaan Akhir J dari Dan dan implisit dan memanifestasikan dirinya melalui persamaan (4.1). Secara formal, masalah optimasi terdiri dari menemukan vektor tersebut di antara vektor-vektor yang layak Dan, yang meminimalkan kriteria. Dan ini adalah masalah pemrograman matematika yang umum. Kondisi yang diperlukan untuk optimalitas dalam masalah seperti itu direduksi menjadi pemenuhan kondisi non-negatif turunan pada titik yang diinginkan Dan ke segala arah yang diperbolehkan, mis.
Selanjutnya notasi digunakan untuk menyatakan gradien fungsi skalar J(s) dengan argumen vektor Dan, dihitung pada titik tersebut kamu = sebuah. Di bawah gradien , seperti diketahui, yang kami maksud adalah vektor (kolom) yang terdiri dari turunan parsial pertama dari fungsi tersebut / atas semua argumen vektor tersebut Dan. Dalam hal ini dapat direpresentasikan sebagai berikut:
di mana pada gilirannya menunjukkan gradien fungsi J menurut vektor tersendiri .
Sekarang mari kita jelaskan istilah tersebut arah yang valid. Yang dimaksud dengan arah yang dapat diterima adalah vektor yang bila dijumlahkan dengan vektor tersebut Dan, tidak akan menyebabkan pelanggaran terhadap batasan kontrol asli untuk nilai modulus vektor itu sendiri yang sangat kecil. Dengan kata lain dianggap sah apabila terpenuhi syaratnya, dimana dibawah kamu himpunan dari semua himpunan yang diizinkan dikompresi , a adalah bilangan non-negatif yang cukup kecil. Kami juga mencatat bahwa ketika menuliskan turunan parsial tertentu, kami secara alami akan berasumsi, tanpa menetapkan secara khusus, bahwa turunan tersebut ada.
Kondisi optimalitas yang disajikan di sini sulit untuk dikerjakan karena menggunakan vektor kontrol yang diperluas Dan, biasanya mempunyai dimensi yang sangat besar. Mari kita ubah kondisi ini ke bentuk yang lebih sederhana. Untuk tujuan ini, di antara himpunan vektor-vektor yang diperbolehkan, kami hanya mempertimbangkan vektor-vektor yang mempunyai komponen bukan nol hanya dalam satu vektor tunggal. Saya momen ke-th. Dengan kata lain, kami akan menuntut semua orang , dan di . Maka kondisi optimalitas mengambil bentuk yang lebih sederhana yaitu,
untuk semua valid yaitu, memenuhi kondisi
Karena relasi (4.4) valid untuk setiap momen , Alih-alih satu kondisi optimal, kita memperoleh seluruh rangkaian kondisi optimal dalam bentuk (4.4). Keuntungan dari kondisi ini adalah masing-masing kondisi hanya melibatkan satu vektor kendali dimensi T.
Arti fisik dari masing-masing kondisi (4.4) adalah bahwa variasi kriteria terminal (4.2) disebabkan oleh variasi pengendalian dalam Saya Momen ke-, yang dihitung relatif terhadap kendali optimal, adalah besaran non-negatif.
Kondisi optimalitas (4.4) belum secara eksplisit berhubungan dengan model matematika aslinya. Mari kita jalin hubungan ini. Untuk tujuan ini, kami akan mengungkap turunannya , menghubungkan yang terakhir dengan persamaan (4.1). Pertama kami menunjukkan bagaimana derivatif dapat dihitung untuk kontrol apa pun Dan dan kemarahan apa pun. Untuk melakukan ini, kami membedakan fungsinya J = F(x N + aku) sepanjang vektor dengan memperhatikan koneksi (4.1). Kita dapat menulis rantai hubungan berikut:
Di sini, kami menunjukkan matriks turunan parsial suatu fungsi terhadap argumennya dan, masing-masing. Selain itu, matriks-matriks ini dibentuk menurut aturan berikut: setiap kolom matriks mewakili gradien komponen fungsi vektor yang bersesuaian terhadap argumen vektor. Memperkenalkan notasi secara formal
kita memperoleh ekspresi yang lebih kompak untuk turunannya
Kami sekarang juga secara resmi memperkenalkan fungsi skalar berikut:
yang pada dasarnya adalah produk skalar dari vektor, ditentukan sesuai dengan hubungan perulangan (4.5), dan vektor , yang merupakan ruas kanan persamaan awal (4.1). Fungsi tidak didefinisikan menurut (4.7) disebut Hamiltonian. Kami menekankan bahwa dalam kasus umum Hamiltonian adalah fungsi acak, karena bergantung pada gangguan. Seperti yang akan kita lihat nanti, Hamiltonian adalah konstruksi yang tepat untuk pembentukan kondisi optimalitas dan penerapan berbagai metode optimasi numerik. Mari kita mulai dengan kondisi optimal. Tidak sulit untuk menetapkan bahwa turunan parsial Hamiltonian memiliki bentuk argumen berikut:
Dengan mengingat hal ini, persamaan gerak asli (4.1), serta hubungan (4.5) yang menentukan vektor, dapat direduksi menjadi bentuk kanonik berikut:
Persamaan suatu vektor biasa disebut konjugasi terhadap persamaan awal vektor tersebut . Oleh karena itu, vektor itu sendiri, yang memenuhi sistem (4.8), disebut vektor konjugasi. Untuk menentukannya dengan kendali yang diketahui, sebagai berikut dari sistem (4.8), perlu terlebih dahulu menentukan lintasan gerak dalam waktu searah untuk kondisi awal tertentu. Dan hanya setelah ini, dalam waktu terbalik, temukan vektor konjugasinya, dengan mempertimbangkan lintasan yang ditemukan dan kondisi batas yang dikenakan pada vektor tersebut sisi persamaan sistem (4.8), vektor konjugasi pada kasus umum juga acak .
Jika sekarang kita kembali ke ekspresi (4.6), maka dengan menggunakan konsep Hamiltonian dapat dituliskan dalam bentuk
Mengingat, pada umumnya, operasi diferensiasi dan ekspektasi matematis bersifat komutatif, sehingga persamaan tetap berlaku
kondisi optimalitas yang diperlukan (4.4) akhirnya disajikan dalam bentuk sistem pertidaksamaan berikut:
yang harus dipenuhi agar semua valid .
Dengan demikian, kondisi optimalitas yang diperlukan dalam masalah pengendalian sistem pemrograman (4.1) untuk mencapai kriteria minimum (4.2) adalah terpenuhinya sistem pertidaksamaan (4.10), yang harus diungkapkan dengan memperhatikan sistem persamaan asli ( 4.1) dan sistem persamaan konjugasi (4.5) atau, yang sama, sistem (4.8).
Dalam kasus umum, penggunaan langsung kondisi ini untuk memecahkan masalah pemrograman kendali optimal adalah sulit. Hal ini disebabkan oleh sifat non-konstruktif dari kondisi itu sendiri (4.10), yang diwujudkan dalam kenyataan bahwa sulit menggunakan sistem pertidaksamaan untuk menemukan solusi optimal. Kesulitan-kesulitan ini diperparah, di satu sisi, dengan adanya ketidaksetaraan dalam operasi ekspektasi matematis (rata-rata statistik untuk semua faktor acak) dan, di sisi lain, oleh perlunya setiap implementasi spesifik untuk menyelesaikan masalah nilai batas. untuk sistem persamaan (4.1) dan (4.5). Dalam hal ini, pengendalian optimal dalam setiap implementasi harus mengarah pada terpenuhinya kondisi batas “di sebelah kiri” pada saat awal sistem (4.1) dan kondisi batas “di sebelah kanan” pada saat akhir sistem (4.5). ).
Perlu ditekankan sekali lagi bahwa relasi (4.6) valid untuk setiap kendali tetap (belum tentu optimal). Oleh karena itu, metode optimasi numerik dapat berhasil digunakan dalam memperoleh kendali optimal, karena memungkinkan, dengan kendali tetap, dengan menggunakan satu perhitungan, pertama menggunakan persamaan (4.1), dan kemudian menggunakan persamaan (4.6), untuk segera menentukan semua komponen dari vektor gradien dalam implementasi tertentu. Penggunaan relasi (4.6) bersama dengan (4.1) dan (4.5) untuk menghitung komponen gradien akan disebut metode sistem konjugasi demi multiplisitas.
Sekarang mari kita bahas kasus-kasus khusus yang paling umum ketika kondisi optimalitas yang diperlukan dapat direduksi ke bentuk yang lebih konstruktif.
1. Tidak ada batasan pengendalian. Dalam hal ini, setiap vektor menentukan arah yang diperbolehkan, termasuk vektor dengan nilai absolut yang sama, tetapi tandanya berlawanan. Artinya kondisi (4.10) hanya dapat dipenuhi dalam bentuk persamaan tegas
Perlu dicatat bahwa kita juga sampai pada kasus ini ketika pembatasan kontrol, meskipun ada, dilakukan secara otomatis.
Pemecahan masalah pemrograman dalam hal ini direduksi menjadi penggunaan kondisi (4.11) pada setiap langkah pengendalian untuk mengidentifikasi struktur kendali dan solusi selanjutnya dari sistem (4.8) dengan struktur yang ditemukan.
2. Tidak ada gangguan yang asal-asalan, , . Kasus ini sesuai dengan pengendalian sistem deterministik. Secara formal, operasi ekspektasi matematis dihilangkan di mana-mana dan kondisi optimalitas yang diperlukan (4.40) terbentuk
dimana Hamiltonian dan vektor , bersifat deterministik dan ditentukan menggunakan hubungan berikut:
Semua kesulitan dalam menyelesaikan masalah dengan menggunakan kondisi optimalitas, yang telah dibahas sebelumnya ketika mempertimbangkan sistem stokastik, tetap ada di sini. Satu-satunya penyederhanaan adalah, sebagaimana telah ditunjukkan, pengoperasian ekspektasi matematis tidak ada karena tidak adanya faktor acak itu sendiri.
3. Himpunan kontrol yang dapat diterima adalah cembung dan Hamiltonian adalah fungsi cembung. Pertama-tama, kami mencatat bahwa setiap kondisi (4.10) dalam kasus umum dapat diartikan sebagai kondisi yang diperlukan untuk ekspektasi matematis minimum Hamiltonian terhadap vektor kontrol . Selanjutnya kita dapat menunjukkan bahwa jika Hamiltonian cembung, maka fungsinya juga cembung . Dan diketahui bahwa dalam kasus konveksitas fungsi yang diminimalkan pada himpunan cembung, nilai minimumnya unik dan oleh karena itu kondisi optimalitas yang diperlukan pada saat yang sama akan mencukupi. Dengan mengingat hal ini, setiap kondisi sistem (4.10) dalam kasus yang dipertimbangkan ternyata setara dengan kondisi ekspektasi matematis Hamiltonian untuk mencapai nilai kendali minimum di bawah kendali optimal. Dengan kata lain, alih-alih (4.10) kita bisa menulis
dimana , menunjukkan kendali yang diperbolehkan , a through - kontrol optimal yang diinginkan.
Secara alami, kombinasi kasus-kasus khusus yang dibahas dan, karenanya, kondisi optimal dimungkinkan. Misalnya, dalam kasus deterministik, yaitu tanpa adanya gangguan
(), dan jika Hamiltoniannya cembung, kondisi optimalitas yang diperlukan akan terbentuk
Sifat-sifat karakteristik yang dimiliki oleh titik optimal (vektor) dalam suatu permasalahan pemrograman matematika. Bentuk O.n. kamu. ditentukan oleh bentuk di mana himpunan yang diizinkan ditentukan. Untuk pertama kalinya jenderal O. n. kamu. Lagrange diformulasikan untuk masalah ekstrim dengan adanya kendala berupa persamaan (lihat aturan pengganda Lagrange). Pada tahun 1951 Amer. matematikawan G. Kuhn dan A. Tucker merumuskan kondisi perlu dan cukup untuk optimalitas suatu titik x dalam masalah pemrograman cembung, yaitu dalam masalah menemukan
dimana fungsinya cekung, dan semua fungsi cembung. Agar vektor x menjadi penyelesaian masalah (1), bila himpunan yang diijinkan mengandung internal. titik, yaitu perlu dan cukup untuk menemukan vektor non-negatif u, yang bersama-sama dengan vektor x merupakan titik pelana fungsi Lagrange untuk semua optimalitas vektor x perlu dan cukup agar ditemukan vektor non-negatif u, yang bersama-sama dengan vektor x, memenuhi sistem persamaan dan pertidaksamaan berikut
Jika fungsi dan himpunan Q tidak cembung, maka kondisi (2) hanyalah kondisi yang diperlukan untuk optimalitas vektor x. Ditentukan O.n. kamu. adalah generalisasi langsung dari aturan klasik pengali Lagrange terhadap masalah mencari ekstrem suatu fungsi di bawah batasan berupa pertidaksamaan.
Dasar matematika. peralatan yang digunakan dalam pembangunan O. n. kamu. untuk masalah matematika. pemrograman dalam ruang berdimensi hingga adalah teorema pemisahan himpunan cembung dan teori pertidaksamaan linier. Studi tentang kondisi ekstrem yang diperlukan untuk masalah matematika. pemrograman dalam ruang berdimensi tak terbatas. telah menjadi sangat penting sehubungan dengan tugas optimasi. pengelolaan. Untuk pertama kalinya, kondisi yang diperlukan untuk fungsi ekstrem pada himpunan ruang Banach. dirumuskan oleh Sov. matematikawan L.V. Kantorovich pada tahun 1940. Pada pertengahan tahun 50-an, Soviet. matematikawan L. S. Pontryagin merumuskannya dalam bentuk
prinsip maksimum kondisi ekstrem yang diperlukan untuk masalah optimal. kontrol (lihat prinsip maksimum Iontryagin). Di awal tahun 60an, Sov. Ilmuwan A. Ya. Dubovitsky dan A. A. Milyutin membangun teori umum tentang kondisi yang diperlukan dan mengembangkan teknik untuk membangun kondisi seperti itu untuk kelas masalah matematika yang luas. pemrograman. Secara khusus, mereka berhasil menanamkan teori kendali optimal ke dalam teori umum
Hakikat teori umum O. sains. kamu. adalah sebagai berikut. Misalkan kita perlu menemukannya
dimana - diatur di ruang Banach. beberapa keragaman ruang ini. Misalkan untuk masing-masing terdapat kerucut cembung K. sedemikian rupa sehingga untuk masing-masing
untuk t yang cukup kecil dan selanjutnya kita asumsikan bahwa terdapat subruang yang bersinggungan dengan L. , yaitu, untuk setiap orang terdapat vektor sedemikian rupa sehingga untuk t yang cukup kecil, dan untuk Selain itu, misalkan terdapat kerucut cembung Ko, untuk setiap elemen yang kondisi (4) terpenuhi maka pernyataan berikut ini berlaku (Dubovitsky -Teorema Miliutin): agar titik x menjadi penyelesaian masalah (3) maka diperlukan
dimana B adalah ruang yang terkonjugasi dengan ruang Banach. nomor kosong Agar kerucut tidak berpotongan, perlu dan cukup adanya fungsi , di antaranya setidaknya satu berbeda dari 0 dan teorema Dubovitsky-Milyutin). Berdasarkan teorema ini, berbagai hasil dapat diperoleh secara seragam, mulai dari teorema dualitas klasik dalam program linier hingga prinsip maksimum Pontryagin.
Selain maknanya yang independen, O. n. kamu. memainkan peran penting dalam pembuatan algoritma komputasi untuk menemukan nilai optimal secara efektif. poin x. Berdasarkan teori O. n. kamu. berhasil memahami dari sudut pandang baru beberapa hasil klasik teori perkiraan Chebyshev, masalah momen, dll. R. A. Polyak, M. E. Primak.
