Pemfilteran dinamis linier yang optimal. Sintesis kontrol keluaran yang optimal. Filter kompresi sinyal optimal

BULLETIN UNIVERSITAS NEGERI TOMSK 2011 Manajemen, Teknologi Komputer dan Ilmu Informasi No. 3(16) UDC 517.511 V.I. Smagin, S.V. FILTER Smagin DALAM SISTEM NONSTASIONER DISKRIT LINEAR DENGAN PERTURBASI YANG TIDAK DIKETAHUI Algoritme untuk mensintesis filter optimal yang menentukan penilaian vektor keadaan dari sistem dinamis nonstasioner linier diskrit dengan gangguan aditif yang mengandung komponen konstanta yang tidak diketahui dipertimbangkan. Hasil percobaan komputasi disajikan. Kata kunci: sistem linear diskrit nonstasioner, filter Kalman, gangguan yang tidak diketahui. Dalam karya banyak penulis, banyak perhatian diberikan pada pengembangan algoritma penyaringan Kalman untuk kelas sistem dengan gangguan dan parameter aditif yang tidak diketahui, yang dapat digunakan sebagai model sistem fisik nyata, model objek dengan kegagalan yang tidak diketahui. Metode yang dikenal untuk menghitung estimasi vektor keadaan didasarkan pada algoritma yang menggunakan estimasi gangguan yang tidak diketahui. Makalah ini membahas algoritma untuk memperluas ruang keadaan (model gangguan yang tidak dapat diobservasi ditambahkan ke model utama objek) dan algoritma penyaringan dua tahap yang mengurangi biaya komputasi akibat dekomposisi masalah. Makalah ini mempelajari algoritma penyaringan optimal berulang yang menggunakan perkiraan gangguan yang tidak diketahui yang memiliki kondisi yang cukup ketat untuk solvabilitasnya. Dalam makalah ini, untuk objek non-stasioner diskrit dengan komponen gangguan konstan yang tidak diketahui, diusulkan metode penyaringan optimal yang tidak menggunakan perkiraan gangguan yang tidak diketahui. Metode ini didasarkan pada transformasi model dan mereduksinya menjadi masalah pemfilteran Kalman linier. Artikel ini menggeneralisasi hasil pada kasus penyelesaian masalah benda diskrit nonstasioner. 1. Rumusan masalah Kita perhatikan sistem diskrit yang digambarkan dengan persamaan beda berikut: x(k + 1) = A(k) x(k) + f + q (k), x(0) = x0 , (1) di mana x( k) ∈ R n – vektor keadaan; A(k) – matriks n×n; f – vektor konstanta yang tidak diketahui; q(k) adalah barisan acak Gaussian berwarna putih dengan karakteristik M (q (k)) = 0, M(q(k)q Τ (j)) = Q(k)δk, j. (2) Saluran observasi berbentuk y (k) = S (k) x(k) + v(k) , (3) y (k) ∈ R l – vektor pengukuran; S(k) – matriks berdimensi l × n; v(k) – gauss putih- V.I. Smagin, S.V. Smagin 44 Sov urutan kesalahan pengukuran acak, dengan ciri-ciri: M(v(k)) = 0, M(q (k)v Τ (j)) = 0, M(v(k)v Τ (j)) = V (k)δsaya , j ; (4) untuk matriks (S(k), A(k)) kondisi observabilitas terpenuhi. Vektor x0 acak dan tidak bergantung pada proses q(k) dan v(k), dengan M(x(0)) = x0 , M ((x(0) − x0)(x(0) − x0 ) T ) = P0 . Untuk sistem (1) dan saluran observasi (3), diperlukan sintesis filter yang menghitung estimasi vektor keadaan tanpa menggunakan estimasi komponen konstanta gangguan yang tidak diketahui. 2. Filter sintesis Transformasi sistem diskrit (1). Kita mengecualikan komponen gangguan konstan f dari deskripsi objek dengan mengurangkan persamaan yang sama dari persamaan (1), tetapi digeser satu siklus jam: x(k) = A(k − 1) x(k − 1) + f + q(k − 1) . (5) Hasilnya, kita memperoleh persamaan berikut: x(k + 1) = (A(k) + En) x(k) − A(k − 1) x(k − 1) + q (k) − q(k − 1) . (6) Mari kita perluas ruang keadaan sistem dengan menambahkan identitas x(k) = x(k) ke persamaan (6). Mari kita nyatakan x(k) ⎞ ⎛ q(k) − q(k − 1) ⎞ . X (k) = ⎛⎜ ⎟ ⎟ , q (k) = ⎜ 0 ⎝ ⎠ ⎝ x(k − 1) ⎠ Mari kita nyatakan sistem (1) dalam bentuk matriks-vektor X (k + 1) = A(k) X ( k) + q (k), X (0) = X 0 , (7) (8) dimana matriks A(k) – 2n × 2n mempunyai struktur blok sebagai berikut: ⎛ A(k) + En A(k ) = ⎜ En ⎝ − A(k − 1) ⎞ ⎟. 0 ⎠ (9) Vektor acak X 0 = (x0Τ x−Τ1)Τ mempunyai ciri-ciri sebagai berikut: M( X (0)) = X 0 , M ((X 0 − X 0)(X 0 − X 0)Τ ) = P0 , (x0Τ (10) x−Τ1)Τ dimana X 0 = . Perhatikan bahwa di sini kita juga memperkenalkan vektor berdimensi n x−1, yang tidak bergantung pada q(k) dan v(k), dan karakteristik (10) dapat diperoleh dari informasi apriori tentang objek (1). Perhatikan bahwa dalam model yang dipertimbangkan (8) proses q (k) bukanlah barisan Gaussian putih; proses q (k) dan q (k − 1) akan berkorelasi: jika j = k, ⎧ Q (k), ⎪ M(q (k)q (j)) = ⎨Q (k − 1), jika j = k − 1, ⎪ 0, jika 0 ≤ j< k − 1, ⎩ (11) Q(k) + Q(k − 1) 0 ⎞ ⎛ −Q(k − 1) 0 ⎞ . Q(k) = ⎛⎜ ⎟ , Q (k − 1) = ⎜ 0 0 0 0 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ (12) Τ где Фильтрация в линейных дискретных нестационарных системах 45 Представим канал наблюдений для расширенной системы (8) в виде y (k) = S (k) X (k) + v(k) , (13) где S (k) = (S (k) 0) , v(k) − случайная последовательность ошибок измерений с характеристиками (4). В качестве уравнения для вычисления оценки вектора состояния расширенной системы выберем уравнение, по своей структуре совпадающее с фильтром Калмана: Xˆ (k + 1) = A(k) Xˆ (k) + K (k)(y (k + 1) − S (k + 1) A(k) Xˆ (k)) , Xˆ (0) = X . (14) 0 Учитывая (8) и (14), получим следующее уравнение для ошибки e(k) = Xˆ (k) − X (k) : e(k + 1) = (A(k) − K (k) S (k + 1) A(k))e(k) + K (k)v(k + 1) + (K (k) S (k + 1) − E2 n)q (k) . (15) В силу (11) и (15), матрица P (k) = M{e(k)eΤ (k)} определится из следующего разностного уравнения: P (k + 1) = (A(k) − K (k) S (k + 1) A(k)) P (k)(A(k) − K (k) S (k + 1) A(k))Τ + +(K (k) S (k + 1) − E2 n)Q (k)(K (k) S (k + 1) − E2 n)Τ + K (k)V (k + 1) K Τ (k) + +(A(k) − K (k) S (k + 1) A(k))(K (k − 1) S (k) − E2 n) × ×Q (k − 1)(K (k) S (k + 1) − E2 n)Τ + (K (k) S (k + 1) − E2 n) × ×Q (k − 1)(K (k − 1) S (k) − E2 n)Τ (A(k) − K (k) S (k + 1) A(k))Τ , P (0) = P0 . (16) Оптимизируемый критерий зададим в виде J (k + 1) = trP (k + 1) . (17) Оптимальные коэффициенты передачи фильтра K(k) определяются из условия dJ (k + 1) =0. (18) dK (k) Учитывая (17) и правую часть уравнения (16), применяя правила матричного дифференцирования следа от матрицы , получим из условия (18) уравнение для определения матрицы K(k): − A(k) P (k) A(k)Τ S (k + 1)Τ + K (k) S (k + 1) A(k) P (k) A(k)Τ S (k + 1)Τ + + K (k) S (k + 1)Q (k) S (k)Τ − Q (k) S (k + 1)Τ − K (k) S (k + 1)Q (k − 1) × ×S (k)Τ K (k − 1)Τ A(k)Τ S (k + 1)Τ + K (k) S (k + 1)Q (k − 1) A(k)Τ S (k + 1)Τ − − K (k) S (k + 1) A(k) K (k − 1) S (k)Q (k − 1) S (k + 1)Τ + + K (k) S (k + 1) A(k)Q (k − 1) S (k + 1)Τ + Q (k − 1) S (k)Τ K (k − 1)Τ × × A(k)Τ S (k + 1)Τ − Q (k − 1) A(k)Τ S (k + 1)Τ − A(k)Q (k − 1) S (k + 1)Τ + + A(k) K (k − 1) S (k)Q (k − 1) S (k + 1)Τ + K (k)V (k + 1) = 0 . (19) Решение последнего уравнения относительно K(k) дает следующий результат: K (k) = P (k) S (k + 1)Τ (S (k + 1) P (k) S (k + 1)Τ + V (k + 1)) −1 , (20) 46 В.И. Смагин, С.В. Смагин где P (k) = A(k) P (k) A(k)Τ + Q (k − 1)(E2 n − S (k)Τ K (k − 1)Τ) A(k)Τ + + A(k)(E2 n − K (k − 1) S (k))Q (k − 1) + Q (k) . (21) Отметим, что для вычисления коэффициентов передачи (20), в силу (21), необходимо задать начальные значения коэффициентов K(−1). Подставив в уравнение (16) выражение для оптимального коэффициента передачи (20), получим уравнение P (k + 1) = (E2 n − K (k) S (k + 1)) P(k) , P (0) = P0 . (22) Основной результат сформулируем в виде теоремы, учитывая симметричность и блочное представление матриц P (k) и P (k) : ⎛ p (k) P(k) = ⎜ 1 ⎝ p2 (k) ⎛ p (k) p2Τ (k) ⎞ , P (k) = ⎜ 1 p3 (k) ⎟⎠ ⎝ p2 (k) p2Τ (k) ⎞ , p3 (k) ⎟⎠ (23) блочные структуры матриц A(k), Q(k), Q (k), S (k) и представление матрицы K (k) в виде ⎛ K (k) ⎞ K (k) = ⎜ 1 ⎟ . (24) ⎝ K 2 (k) ⎠ Теорема. Пусть процесс с неизвестным постоянным возмущением определяется уравнениями (1) и канал наблюдений имеет вид (3). Тогда оптимальный алгоритм фильтрации определится следующими разностными уравнениями: xˆ (k + 1) = (A(k) + En) xˆ (k) − A(k − 1) xˆ (k − 1) + K1 (k)(y (k + 1) − − S (k + 1)[(A(k) + En) xˆ (k) − A(k − 1) xˆ (k − 1)] (25) с начальными условиями xˆ(0) = x0 , xˆ(1) = M{x(1)} = x1 . Матрица K1 (k) в (25) определяется по формуле (26) K1 (k) = p1 (k) S (k + 1)Τ (S (k + 1) p1 (k) S (k + 1)Τ + V (k + 1)) −1 , где матрица p1 (k) вычисляется из системы уравнений (27) p1 (k) = (A(k) + En) p1 (k)(A(k) + En)Τ − A(k − 1) p2 (k)(A(k) + En)Τ − −(A(k) + En) p2Τ (k) A(k − 1)Τ + A(k − 1) p3 (k) A(k − 1)Τ + Q(k − 1) S (k)Τ K1 (k − 1)Τ × ×(A(k) + En)Τ − Q(k − 1) S (k)Τ K 2 (k − 1)Τ AΤ (k − 1) + +(A(k) + En) K1 (k − 1) S (k)Q(k − 1) − A(k − 1) K 2 (k − 1) S (k) × ×Q(k − 1) − (A(k) + En)Q(k − 1) − Q(k − 1)(A(k) + En)Τ + Q(k) + Q(k − 1) , p2 (k) = p1 (k)(A(k) + En)Τ − p2Τ (k) A(k − 1)Τ + + K1 (k − 1) S (k)Q(k − 1) − Q(k − 1) , p3 (k) = p1 (k) , p1 (k + 1) = (En − K1 (k) S (k + 1)) p1 (k) , p1 (0) = p1,0 , p2 (k + 1) = − K 2 (k) S (k + 1) p1 (k) + p2 (k) , p2 (0) = p2,0 , p3 (k + 1) = − K 2 (k) S (k + 1) p2Τ (k) + p3 (k) , p3 (0) = p3,0 , K 2 (k) = p2 (k) S (k + 1)Τ (S (k + 1) p1 (k) S (k + 1)Τ + V (k + 1)) −1 . (28) Фильтрация в линейных дискретных нестационарных системах 47 В (28) начальные условия p1,0 , p2,0 , p3,0 , являются соответствующими блоками матрицы P0 . Отметим, что для выполнения расчетов в (28) необходимо задать начальные условия для K1 (−1) и K 2 (−1) . Замечание. Управляемый объект x(k + 1) = A(k) x(k) + B(k)u (k) + f + q(k), x(0) = x0 , (29) при исключении неизвестного постоянного возмущения f объекта, необходимо преобразовать к виду, который будет отличаться от (8) одним слагаемым: X (k + 1) = A(k) X (k) + B (k)(u (k) − u (k − 1) + q (k), X (0) = X 0 , (30) где матрица A(k) приведена в формуле (9), q (k) имеет характеристики (11), (12). В (30) матрица B (k) имеет вид B (k) ⎞ B (k) = ⎛⎜ ⎟. ⎝ 0 ⎠ Тогда уравнения фильтра будут следующими: (31) xˆ (k + 1) = (A(k) + En) xˆ (k) − A(k − 1) xˆ (k − 1) + B(k)(u (k) − u (k − 1)) + K1 (k)(y (k + 1) − − S (k + 1)[(A(k) + En) xˆ (k) − A(k − 1) xˆ (k − 1) + B(k)(u (k) − u (k − 1))] , (32) с начальными условиями (26), а матрица K1 (k) определяется в соответствии с (27) и (28). 3. Результаты вычислительного эксперимента Рассмотрим применение алгоритма фильтрации для модели второго порядка вида (1) и канала наблюдений (3) со следующими значениями параметров: 0 1 0 ⎞ ⎞ ; Q = ⎛ 0, 01 ; V = 0,9 ; A(k) = ⎛⎜ ⎟ ⎜ 0 0, 02 ⎟⎠ ⎝ ⎝ 0, 05 0,925 + 0,1sin(0, 01k) ⎠ 1, 0 1, 0 0 ⎞ S = (1 1) ; x0 = ⎛⎜ ⎞⎟ ; P0 = ⎛⎜ (33) ⎟. ⎝ 1,5 ⎠ ⎝ 0 1, 0 ⎠ Вычисление оценок вектора x(k) можно выполнить, используя двухэтапный алгоритм фильтрации . Модель измерений в этом случае с учетом (1) представляется в виде y (k + 1) = Sx(k + 1) + v(k + 1) = SA(k) x(k) + Sf + Sq(k) + v(k + 1) . (34) Рекуррентные уравнения оценивания неизвестного вектора f имеют вид fˆ (k + 1) = fˆ (k) + K (k)(y (k + 1) − SA(k) xˆ (k) − Sfˆ (k)) , fˆ (0) = f , 0 f Τ Τ Τ −1 K f (k) = Pf (k) S (SPf (k) S + SQS + V) , где Pf (k + 1) = (E2 − K f (k) S) Pf (k), Pf (0) = Pf0 , (35) M{ f } = f 0 , M{(f − f 0)(f − f 0)Τ } = Pf0 . (36) В.И. Смагин, С.В. Смагин 48 Оценка вектора состояния для объекта с неизвестным постоянным входом задается уравнением: xˆ (k + 1) = A(k) xˆ (k) + fˆ (k) + K (k)(y (k + 1) − SA(k) xˆ (k) − Sfˆ (k)) , (37) x где матрица K x (k) определяет коэффициенты передачи фильтра Калмана. При моделировании используем 0 1, 0 0 ⎞ f 0 = ⎛⎜ ⎞⎟ , Pf0 = ⎛⎜ (38) ⎟. ⎝0⎠ ⎝ 0 1, 0 ⎠ Применение расширенного фильтра Калмана для данного примера (в этом случае уравнение (1) расширяется путем добавления уравнения f(k+1) = f(k)) приводит к необходимости построения фильтра Калмана для дискретной системы со следующими матрицами динамики, канала наблюдений и интенсивностей аддитивных возмущений: Q 0⎞ ⎛ A(k) E2 ⎞ , (S 0) , ⎛⎜ (39) ⎟. ⎜ 0 E2 ⎟⎠ ⎝ 0 0⎠ ⎝ Использование в данном примере методов, описанных в работах , невозможно в силу невыполнения условий существования оптимальных оценок неизвестного входного вектора : n≥m и l≥m. (40) В неизвестное возмущение определяется в виде f = Gd , где d – неизвестный m-мерный вектор, G – n × m -известная матрица. В рассмотренном примере G = E2 , n = 2 , m = 2, l = 1 , а это означает, что условия (40) не выполняются. Применение алгоритма фильтрации исследовалось также для неизвестного переменного возмущения с тремя возможными значениями компонент вектора f: ⎧ 1, если 0 ≤ k ≤ 9, ⎪ f1 (k) = f 2 (k) = ⎨ −1, если 9 < k < 25, ⎪ 1, если 25 ≤ k ≤ 50. ⎩ На рис. 1 приведены реализации процессов и их оценок для трех сравниваемых фильтров. Отметим, что при реализации алгоритма фильтрации (25), начальные значения K1 (−1) и K 2 (−1) задавались нулевые. x1(k) x1(k) x2(k) x2(k) 2 10 0 –10 0 3 4 20 30 40 k –10 0 4 1 0 1 10 3 10 2 10 20 30 40 k Рис. 1. Реализации процессов и оценок (1 – реализация x(k); 2 – оценка, построенная по алгоритму (25); 3 – оценка, построенная по двухэтапному алгоритму; 4 – оценка для расширенного фильтра Калмана) Фильтрация в линейных дискретных нестационарных системах 49 На рис. 2 приведены ошибки оценивания компонент вектора состояния. e1(k) 4 2 e2(k) 4 3 1 0 –2 –4 –6 0 2 2 3 1 0 2 –2 10 20 30 40 k –4 0 10 20 30 40 k Рис. 2. Графики ошибок фильтрации (1 – ошибка для оценки, построенной по алгоритму (25); 2 – ошибка для оценки, построенной по двухэтапному алгоритму; 3 – ошибка для расширенного фильтра Калмана) Как видно из рисунков для рассмотренного примера, качество оценок, полученных с помощью фильтра (25), лучше, чем для двухэтапного алгоритма фильтрации и расширенного фильтра Калмана, использующих оценки неизвестного возмущения. Отметим также, что для алгоритма фильтрации (25) не нужно задавать априорную информацию о характеристиках распределения начальных значений f 0 и Pf0 . Ниже, в таблице, приведены средние значения среднеквадратических ошибок оценивания для трех рассматриваемых методов, рассчитанных по 50 реализациям. Как видно из таблицы, предложенный метод фильтрации (25) обеспечивает среднюю ошибку в 3 – 4 раза меньшую, чем другие методы. Средние значения среднеквадратических ошибок для компонент вектора состояния Алгоритм (25) e1,ср = 0,0912 Двухэтапный алгоритм e1,ср = 0,3128 Расширенный фильтр Калмана e1,ср = 0,4103 e2,ср = 0,0945 e2,ср = 0,2917 e2,ср = 0,4296 Заключение Разработан алгоритм синтеза дискретного оптимального нестационарного фильтра для объекта, возмущения которого содержат неизвестную постоянную составляющую. Алгоритм построен на основе расширения пространства состояния и исключения из модели неизвестной составляющей. В отличие от классического фильтра Калмана, предложенный фильтр использует рекуррентные оценки, построенные на двух предыдущих тактах. Как показали результаты вычислительного эксперимента, алгоритм может быть применен для кусочно-постоянной неизвестной аддитивной составляющей возмущений. ЛИТЕРАТУРА 1. Astrom K., Eykhoff P. System identification. A survey // Automatica. 1971. V. 7. P. 123−162. 2. Friedland B. Treatment of bias in recursive filtering // IEEE Trans. on Automat. Contr. 1969. V. AC-14. P. 359−367. 3. Chen J., Patton R. J. Optimal filtering and robust fault diagnosis of stochastic systems with unknown disturbances // IEE Proc. Control Theory Appl. 1996. V. 143. P. 31–36. 50 В.И. Смагин, С.В. Смагин 4. Darouach M., Zasadzinski M. Unbiased minimum variance estimation for systems with unknown exogenous inputs // Automatica. 1997. V. 33. P. 717–719. 5. Darouach M., Zasadzinski M., Xu S. J. Full-order observers for linear systems with unknown inputs // IEEE Trans. on Automat. Contr. 1999. V. AC-39. P. 606. 6. Gillijns S., Moor B. Unbiased minimum-variance input and state estimation for linear discrete-time systems // Automatica. 2007. V. 43. P. 111–116. 7. Hou M., Patton R. Optimal filtering for systems with unknown inputs // IEEE Trans. on Automat. Contr. 1998. V. AC-43. P. 445–449. 8. Hsieh C.-S. A unified solution to unbiased minimum-variance estimation for systems with unknown inputs // Proc.17th World Congress The International Federation of Automatic Control. Seoul. Korea. July 6 – 11, 2008. P. 14502–14509. 9. Hsieh C.-S. Robust two-stage Kalman filters for systems with unknown inputs // IEEE Trans. on Automat. Contr. 2000. V. AC-45. P. 2374–2378. 10. Hsieh C.-S. Extension of the optimal unbiased minimum-variance filter for systems with unknown inputs // Proc. 15th IEEE International Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems. Tokushima. Japan. 2007. P. 217–220. 11. Hsieh C.-S. Robust parameterized minimum variance filtering for uncertain systems with unknown inputs // Proc. American control conference. New York. 2007. P. 5118–5123. 12. Kalman R.E., Busy R. A new results in linear filtering and prediction theory // Trans. ASME J. Basic Engr. 1961. V. 83. P. 95–108. 13. Браммер К., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана – Бьюси. М.: Наука, 1972. 200 с. 14. Пугачев В.С., Синицин И.Н. Стохастические дифференциальные уравнения М.: Наука, 1990. 630 с. 15. Смагин С.В. Фильтрация в линейных дискретных системах с неизвестными возмущениями // Автометрия. 2009. Т. 45. № 6. C. 29−37. 16. Амосов А.А., Колпаков В.В. Скалярно-матричное дифференцирование и его применение к конструктивным задачам теории связи // Проблемы передачи информации. 1972. № 1. С. 3−15. Смагин Валерий Иванович Смагин Сергей Валерьевич Томский государственный университет E-mail: [dilindungi email]; [dilindungi email] Diterima oleh redaksi pada tanggal 6 Desember 2010.

Hasil pengukuran praktis yang akan diproses mengandung sinyal berguna tertentu dengan latar belakang berbagai jenis interferensi (kebisingan), sedangkan spektrum interferensi dalam kasus umum, sampai taraf tertentu, terwakili di seluruh interval utama. rentang frekuensi. Dengan kata lain, spektrum sinyal yang berguna ditumpangkan pada spektrum kebisingan. Dalam kondisi ini, tugasnya adalah menerapkan apa yang disebut filter optimal, yang, tergantung pada tujuan spesifiknya, memungkinkan untuk mendeteksi sinyal dengan cukup andal, mengisolasi sinyal dengan baik dari latar belakang interferensi, atau menekan interferensi ke jaringan. maksimum tanpa distorsi sinyal yang signifikan.

Untuk membuat filter yang optimal, perlu dirumuskan, diformalkan, dan memecahkan masalah sintesis filter yang memenuhi serangkaian indikator dan batasan kualitas tertentu. Kriteria utama ketika merancang sistem seperti itu biasanya adalah meminimalkan kesalahan kuadrat rata-rata. Bergantung pada persamaan yang menggambarkan keadaan sistem, filter optimal dibagi menjadi linier dan nonlinier. Filter linier, yang dibahas pada bagian ini, biasanya didasarkan pada filter Kolmogorov-Wiener yang optimal.

Proses acak dan kebisingan

Proses acak dan noise dijelaskan oleh fungsi autokorelasi dan spektrum daya. Model proses acak (sinyal) dengan karakteristik statistik tertentu biasanya diperoleh dengan menyaring white noise.

Kebisingan putih

White noise adalah proses acak stasioner yang fungsi autokorelasinya dijelaskan oleh fungsi delta Dirac dan, karenanya, kerapatan spektral daya tidak bergantung pada frekuensi dan memiliki nilai konstan. W q (f) = σ 2 (\displaystyle W_(q)(f)=\sigma ^(2)\,\ !}, sama dengan varians nilai q (t) (\gaya tampilan q(t)\,\ !}. Dengan kata lain, semua komponen spektral white noise memiliki kekuatan yang sama (seperti halnya putih mengandung semua warna dari spektrum yang terlihat). Pada dasarnya, ini adalah proses acak yang diidealkan dengan energi tak terbatas. Namun dalam kasus kerapatan spektral daya konstan dari proses acak dalam rentang frekuensi terbatas, pengenalan idealisasi semacam itu memungkinkan pengembangan metode penyaringan optimal yang diterapkan dengan cukup mudah. Banyak gangguan dalam teknik radio, teknologi komunikasi, dan industri lainnya, termasuk ilmu komputer, dianggap sebagai white noise jika lebar spektrum sinyal efektif B s (\displaystyle B_(s)\,\ !} jauh lebih kecil dari lebar spektrum kebisingan efektif B q (\gaya tampilan B_(q)\,\ !}, dan kerapatan spektral daya derau sedikit berubah dalam rentang spektrum sinyal. Konsep “white noise” hanya mendefinisikan karakteristik spektral dari proses acak dan setiap proses acak yang memiliki spektrum energi seragam dan hukum distribusi berbeda termasuk dalam konsep ini.

Jika rentang frekuensi spektrum di mana sinyal dan interferensi dianggap sama 0 − B (\displaystyle 0-B\,\ !}, maka kerapatan derau spektral diberikan sebagai:

W q (f) = σ 2, 0 ≤ f ≤ B; W q (f) = 0 , f > B (1.1) (\displaystyle W_q(f) = \sigma^2, 0 \le f \le B; W_q(f)=0, f>B \qquad \color( Merah Marun) (1.1)\,\ !}

dalam hal ini, fungsi korelasi kebisingan ditentukan oleh ekspresi:

R q (τ) = σ 2 B ⋅ sin ⁡ (2 π B τ) 2 π B τ (1.2) (\displaystyle R_q(\tau) = \sigma^2 B \cdot \frac(\sin(2 \pi B \tau))(2 \pi B \tau) \qquad \warna(Maroon) (1.2) \,\ !}

Interval korelasi efektif:

T k = 2 ∫ 0 ∞ | Rq(τ) | d τ R q (0) (1,3) (\displaystyle T_k = 2 \frac(\int\limits_(0)^(\infty) |R_q (\tau)| d\tau)(R_q(0)) \qquad \warna(Maroon) (1.3) \,\ !}

Dianjurkan untuk menentukan interval korelasi nyata dengan lebar fungsi maksimum utama R q (τ) (\displaystyle R_(q)(\tau)\,\ !}(nilai pada perlintasan pertama garis nol), di mana sebagian besar energi kebisingan terkonsentrasi, sedangkan T k = 1 B (\displaystyle T_(k)=(\tfrac (1)(B))\,\ !} Dan B T k = 1 (\displaystyle BT_(k)=1\,\ !}.

Sebagai berikut dari semua ekspresi ini dan terlihat jelas pada Gambar. 1.1, ketika rentang frekuensi kebisingan terbatas, korelasi tertentu muncul antara nilai-nilai, dan semakin kecil rentang frekuensi kebisingan, semakin besar radius korelasinya. Pada dasarnya, membatasi kebisingan ke rentang frekuensi tertentu setara dengan memfilter white noise dengan filter frekuensi dengan bandwidth yang sesuai, dan fungsi korelasi respons impuls filter digabungkan dengan fungsi delta white noise.

Beras. 1.1. Korelasi white noise berfungsi dalam interval frekuensi 0-V.

Model kebisingan putih q (t) (\gaya tampilan q(t)\,\ !} dapat dibentuk sebagai rangkaian acak pulsa delta dalam waktu (argumen) δ (t i) (\displaystyle \delta (t_(i))\,\ !} dengan nilai amplitudo acak:

q (t) = ∑ i a i δ (t − t i) (1.4) (\displaystyle q(t) = \sum_(i)^() a_i \delta (t-t_i) \qquad \color(Maroon) (1.4) \,\ !}

yang memenuhi kondisi homogenitas statistik: jumlah rata-rata pulsa yang konstan per satuan waktu dan independensi statistik kemunculan setiap pulsa dari pulsa sebelumnya. Aliran pulsa seperti itu, yang disebut Poisson, tidak berkorelasi dan memiliki spektrum kerapatan daya yang seragam:

W q (ω) = c 2 = N σ a 2 (\displaystyle W_(q)(\omega)=c^(2)=N\sigma _(a)^(2)\,\ !} Di mana N (\gaya tampilan N\,\ !} - jumlah pulsa per interval T (\gaya tampilan T\,\ !} implementasi proses acak, σ a 2 (\displaystyle \sigma _(a)^(2)\,\ !} - dispersi amplitudo pulsa.

Penyaringan kebisingan putih

Deskripsi spektral white noise ternyata berguna ketika memperhitungkan pengaruh karakteristik frekuensi amplitudo dari berbagai perangkat. Jika masukan dari filter respons impuls adalah white noise q (t) (\gaya tampilan q(t)\,\ !}, maka sinyal pada keluaran filter:

g (t) = h (t) × q (t) = h (t) × ∑ i a i δ (t − t i) = ∑ i a i h (t − t i) (1.5) (\displaystyle g(t) = h(t ) \kali q(t) = h(t) \kali \jumlah_(i)^() a_i \delta (t-t_i) = \jumlah_(i)^() a_i h (t-t_i) \qquad \color (Marun) (1.5)\,\ !}

itu. sinyal keluaran akan menjadi rangkaian sinyal respons impuls filter h (t) (\gaya tampilan h(t)\,\ !} dengan amplitudo ai (\displaystyle a_(i)\,\ !}, dalam hal ini fungsi autokorelasi dan spektrum daya aliran keluaran juga menjadi serupa dengan FAC dan spektrum daya respons impuls filter, dan pada perkiraan pertama ditentukan oleh ekspresi:

R g (τ) ≈ N σ a 2 R h (τ) = c 2 R h (τ) (1.6) (\displaystyle R_g(\tau) \kira-kira N \sigma_a^2 R_h(\tau) = c^2 R_h(\tau) \qquad \color(Maroon) (1.6) \,\ !} W g (ω) ≈ N σ a 2 | H(ω) | 2 = c 2 | H(ω) | 2 (1,7) (\displaystyle W_g(\omega) \kira-kira N \sigma_a^2 |H(\omega)|^2 = c^2 |H(\omega)|^2 \qquad \color(Maroon) (1,7 ) \,\ !}

Hasil ini dikenal sebagai teorema Campbell.

Kriteria untuk membuat filter optimal

Dalam praktik pemrosesan data, tiga kriteria utama untuk membuat filter optimal digunakan: deviasi standar minimum sinyal yang disaring dari nilai aktual atau yang ditentukan, rasio sinyal terhadap kebisingan maksimum, dan rasio sinyal terhadap kebisingan energi maksimum pada saat itu. keluaran filter. Saat menganalisis dan mensintesis filter, model aditif dari sinyal input digunakan: x (k) = s (k) + q (k) (\displaystyle x(k)=s(k)+q(k)\,\ !}, dimana komponen sinyal yang berguna, adalah komponen derau dan interferensi. Sintesis filter optimal dilakukan dengan memanfaatkan secara maksimal informasi apriori yang diketahui baik tentang sinyal yang perlu diisolasi maupun tentang noise dan interferensi. Biasanya, informasi yang digunakan tentang sifat sinyal dan noise yang berguna, komposisi spektralnya, serta karakteristik korelasi dan korelasi silang. Adanya ciri (perbedaan) tertentu pada karakteristik sinyal dan noise memungkinkan diterapkannya filter secara umum dan filter optimal pada khususnya. Jika fitur tersebut tidak ada, rumusan masalah menjadi salah.

Dalam praktik geofisika, data apriori tentang sinyal-sinyal yang berguna biasanya cukup pasti, terutama untuk metode geofisika aktif (metode seismik, pencarian listrik arus bolak-balik, metode induksi geofisika nuklir, dll). Menentukan karakteristik interferensi sebenarnya adalah masalah yang lebih sulit, namun bahkan dengan ketidakpastian yang lengkap, dapat diasumsikan bahwa interferensi adalah proses stasioner normal dengan nilai rata-rata nol.

Deviasi standar

Dengan adanya interferensi, identifikasi sinyal berguna yang benar-benar akurat menggunakan metode penyaringan linier, sebagai suatu peraturan, tidak mungkin dilakukan. Hasil penyaringan

y (k) = h (n) × x (k − n) (2.1) (\displaystyle y(k) = h(n) \times x(k-n) \qquad \color(Maroon) (2.1) \,\ !}

berbeda dari s (k) (\gaya tampilan s(k)\,\ !} berdasarkan besaran ξ (k) = y (k) − s (k) (\displaystyle \xi (k)=y(k)-s(k)\,\ !}, yang merupakan nilai absolut dari kesalahan dalam mereproduksi sinyal yang berguna berdasarkan koordinat k (\gaya tampilan k\,\ !}. Kualitas filter dinilai dengan nilai rata-rata kuadrat nilai:

ξ 2 ¯ = [ y (k) − s (k) ] 2 ¯ (2.2) (\displaystyle \overline(\xi^2) = \overline(^2) \qquad \color(Maroon) (2.2) \, \ !}

Dalam banyak tugas pemrosesan data geofisika, tidak perlu mengembalikan bentuk sinyal aslinya s (k) (\gaya tampilan s(k)\,\ !}, Karena dalam proses pemrosesan lebih lanjut, sinyal diubah s (k) (\gaya tampilan s(k)\,\ !} menjadi sinyal, yang bentuknya mungkin lebih mudah untuk mengekstraksi (mengukur) parameter informasi apa pun dari sinyal (misalnya, nilai amplitudo, lebar sinyal setengah dari nilai maksimum, dll.). Dalam hal ini, filter optimal dapat dirancang langsung untuk menerima sinyal keluaran z (k) (\gaya tampilan z(k)\,\ !}. Kualitas filter tersebut, yang disebut filter formatif, diperkirakan berdasarkan nilai rata-rata kuadrat nilainya ξ (k) (\displaystyle \xi (k)\,\ !} menerima sinyal dalam bentuk tertentu:

ξ 2 ¯ = [ y (k) − z (k) ] 2 ¯ (2,2 ′) (\displaystyle \overline(\xi^2) = \overline(^2) \qquad \color(Maroon) (2,2") \,\ !}

Ekspresi (2.2) (\displaystyle \color (Maroon)(2.2)\,\ !} memungkinkan untuk menentukan nilainya h (k) (\gaya tampilan h(k)\,\ !} filter berdasarkan kriteria simpangan baku minimum sinyal keluaran dari bentuk sebenarnya atau yang ditentukan. Mari kita perhatikan sekali lagi bahwa kriteria ini didasarkan pada model data eksperimen probabilistik-statistik dan telah terbukti dengan baik ketika memproses data geofisika, namun kemampuannya mungkin terbatas dalam interpretasi kuantitatif anomali geofisika.

Rasio amplitudo signal-to-noise

Saat menetapkan tugas untuk mendeteksi (menetapkan fakta keberadaan) dalam data eksperimen dari sinyal dengan bentuk yang diketahui, untuk merancang filter, sebagai suatu peraturan, kriteria rasio sinyal-ke-kebisingan puncak maksimum pada keluaran filter digunakan:

ρ a = y e k s σ (\displaystyle \rho _(a)=(\frac (y_(eks))(\sigma ))\,\ !} Di mana kamu e k s (\displaystyle y_(eks)\,\ !} - nilai amplitudo sinyal ekstrim (maksimum atau minimum), s (\gaya tampilan s\,\ !} - akar rata-rata tingkat kuadrat nilai kebisingan amplitudo.

Jika sinyal yang berguna tidak memiliki ekstrem yang jelas, dan sinyal itu sendiri cukup luas dalam argumen (yang biasanya terjadi dalam praktik geofisika), maka rasio kuadrat rata-rata amplitudo sinyal dan kebisingan digunakan sebagai sebuah kriteria:

ρ 2 ¯ = y 2 σ 2 ¯ (2.3) (\displaystyle \overline(\rho^2) = \overline(\frac(y^2)(\sigma^2)) \qquad \color(Maroon) (2.3 ) \,\ !} Di mana y 2 (\gaya tampilan y^(2)\,\ !} - kuadrat rata-rata amplitudo sinyal dalam bentuknya.

Rasio sinyal-ke-kebisingan energi

Untuk tugas deteksi sinyal yang sangat spesifik, tingkat distorsi sinyal itu sendiri mungkin tidak dibatasi. Jika, selain mendeteksi sinyal sebagai tujuan utama pemrosesan data, tugas memperkirakan bentuknya juga ditetapkan, maka dalam hal ini, untuk merancang filter, kriteria rasio sinyal-ke-noise energi maksimum biasanya adalah digunakan:

ρ 2 = E y E q (2.4) (\displaystyle \rho^2 = \frac(E_y)(E_q) \qquad \color(Maroon) (2.4) \,\ !} Di mana E y (\displaystyle E_(y)\,\ !} Dan E h (\displaystyle E_(h)\,\ !} - energi sinyal dan kebisingan, masing-masing, pada keluaran filter.

Filter Kolmogorov-Wiener

Filter kondisi optimalitas

Filter Kolmogorov-Wiener merupakan filter optimal untuk menghasilkan sinyal keluaran dari sinyal masukan dengan bentuk sinyal berguna yang diketahui, yang terkandung dalam sinyal masukan selain noise. Standar deviasi sinyal digunakan sebagai kriteria optimasinya y (t) (\gaya tampilan y(t)\,\ !} pada keluaran filter dari bentuk sinyal tertentu z (t) (\gaya tampilan z(t)\,\ !}. Mari kita gantikan persamaan konvolusinya (2.1) (\displaystyle \color (Maroon)(2.1)\,\ !} dalam bentuk penjumlahan tertimbang yang diperluas ke dalam ekspresi (2.2 ′) (\displaystyle \color (Maroon)(2.2")\,\ !} dan kita mendapatkan penyimpangan ξ 2 (\displaystyle \xi ^(2)\,\ !} sinyal keluaran y (k) = h (n) × x (k − n) (\displaystyle y(k)=h(n)\times x(k-n)\,\ !} dari bentuk sinyal keluaran tertentu z (k) (\gaya tampilan z(k)\,\ !} untuk semua titik array data:

ξ 2 = [ ∑ n h (n) x (k − n) − z (k) ] 2 ¯ (3.1) (\displaystyle \xi^2 = \overline([ \sum_(n)^() h(n) x(k-n)-z(k) ]^2) \qquad \color(Maroon) (3.1) \,\ !}

Dalam kasus khusus mereproduksi bentuk sinyal yang berguna sebagai suatu fungsi z (k) (\gaya tampilan z(k)\,\ !} fungsi diterima s (k) (\gaya tampilan s(k)\,\ !}. Ekspresi minimum menentukan nilai koefisien filter optimal. Untuk menemukan nilainya, kami membedakan ekspresinya (3.1) (\displaystyle \color (Maroon)(3.1)\,\ !} dengan menyaring koefisien dan menyamakan persamaan yang dihasilkan dengan nol. Hasilnya kita mendapatkan:

d (ξ 2) d h (n) = − z k x k − m ¯ + ∑ n h n x k − m x k ​​​​− n ¯ (\displaystyle (\frac (d(\xi ^(2)))(dh(n)))= (\ overline (-z_(k)x_(k-m)))+\jumlah _(n)^()h_(n)(\overline (x_(k-m)x_(k-n)))\,\ !} Di mana x k − m x k ​​​​− n ¯ = R (m − n) (\displaystyle (\overline (x_(k-m)x_(k-n)))=R(m-n)\,\ !} - fungsi korelasi sinyal input, z k x k − m ¯ = B (m) (\displaystyle (\overline (z_(k)x_(k-m)))=B(m)\,\ !} - fungsi korelasi silang sinyal z (k) (\gaya tampilan z(k)\,\ !} Dan x (k) (\gaya tampilan x(k)\,\ !}. ∑ n h (n) R (m − n) = B (m) , n = m = 0 , 1 , 2 , . . . , M (3.2) (\displaystyle \sum_(n)^() h(n)R(m-n) = B(m), n = m = 0,1,2, ... , M \qquad \color( Merah Marun) (3.2)\,\ !}

Singkatnya notasi simbolis:

h (n) × R (m − n) = B (m) (3,3) (\displaystyle h(n) \kali R(m-n) = B(m) \qquad \color(Maroon) (3.3) \,\ !}

Dengan kata lain, konvolusi fungsi respon filter optimal dengan fungsi autokorelasi sinyal masukan harus sama dengan fungsi korelasi silang sinyal keluaran dan masukan.

Sistem Persamaan Filter Linier

Ekspresi (3.2) (\displaystyle \color (Maroon)(3.2)\,\ !} dapat ditulis sebagai sistem persamaan linier - persamaan satu baris bagian kiri dan kanan untuk nilai tetap koordinat m koefisien filter. Saat menghitung filter simetris yang tidak menggeser fasa sinyal keluaran, filter dapat dihitung hanya dengan setengah nilainya:

m = 0: jam 0 R (0) + jam 1 R (1) + jam 2 R (2) + jam 3 R (3) + . . . + h M R (M) = B (0) (3,3 ′) (\displaystyle m=0: h_0 R(0) + h_1 R(1) + h_2 R(2) + h_3 R(3) + ... + h_M R(M) = B(0) \qquad \color(Maroon) (3,3") \,\ !}

M = 1: jam 0 R (1) + jam 1 R (0) + jam 2 R (1) + jam 3 R (2) + . . . + h M R (M − 1) = B (1) (\displaystyle m=1:h_(0)R(1)+h_(1)R(0)+h_(2)R(1)+h_(3 )R(2)+...+h_(M)R(M-1)=B(1)\,\ !}

M = 2: jam 0 R (2) + jam 1 R (1) + jam 2 R (0) + jam 3 R (1) + . . . + h M R (M − 2) = B (2) (\displaystyle m=2:h_(0)R(2)+h_(1)R(1)+h_(2)R(0)+h_(3 )R(1)+...+h_(M)R(M-2)=B(2)\,\ !}

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (\gaya tampilan ............................................... ..... ........................\,\ !}

m = M: h 0 R (M) + h 1 R (M − 1) + h 2 R (M − 2) + . . . + h M R (0) = B (M) (\displaystyle m=M:h_(0)R(M)+h_(1)R(M-1)+h_(2)R(M-2)+. ..+h_(M)R(0)=B(M)\,\ !}

Memecahkan sistem persamaan nilai ini menghasilkan operator filter yang diinginkan.

Saat menghitung filter kausal (satu arah), sinyal keluaran z (t) (\gaya tampilan z(t)\,\ !} harus ditentukan dengan pergeseran ke kanan sepanjang sumbu koordinat sedemikian rupa sehingga sebagian besar fungsi korelasi silang B (m) (\gaya tampilan B(m)\,\ !} seluruhnya terletak di sisi kanan sistem persamaan (3,3′) (\displaystyle \color (Maroon)(3,3")\,\ !}.

Perhatikan itu R (m) = R s (m) + R q (m) (\displaystyle R(m)=R_(s)(m)+R_(q)(m)\,\ !}

Di mana - fungsi autokorelasi sinyal, - fungsi autokorelasi kebisingan,

A B (m) = B z s (m) + B z q (m) (\displaystyle B(m)=B_(zs)(m)+B_(zq)(m)\,\ !}

Di mana B z s (\displaystyle B_(zs)\,\ !} - fungsi korelasi silang sinyal z (k) (\gaya tampilan z(k)\,\ !} Dan s (k) (\gaya tampilan s(k)\,\ !}, B z q (\gaya tampilan B_(zq)\,\ !} - fungsi korelasi silang sinyal z (k) (\gaya tampilan z(k)\,\ !} dan gangguan q (k) (\gaya tampilan q(k)\,\ !}.

Mengganti ekspresi ini ke dalam , kita mendapatkan:

h (n) × [ R s (m − n) + R q (m − n) ] = B z s (m) + B z q (m) (3.4) (\displaystyle h(n) \times = B_(zs )(m) + B_(zq)(m) \qquad \warna(Maroon) (3.4) \,\ !}

Filter respons frekuensi

Respon frekuensi filter ditemukan dengan mentransformasikan Fourier ruas kiri dan kanan persamaan (3.4) (\displaystyle \color (Maroon)(3.4)\,\ !}:

H (w) [ W s (w) + W q (w) ] = W z s (w) + W z q (w) (\displaystyle H(w)=W_(zs)(w)+W_(zq)( w)\,\ !} H (w) = W z s (w) + W z q (w) W s (w) + W q (w) (3,5) (\displaystyle H(w) = \frac(W_(zs)(w)+W_ (zq)(w))(W_s(w) + W_q(w)) \qquad \color(Maroon) (3,5) \,\ !} Di mana W s (ω) ⟺ R s (m) (\displaystyle W_(s)(\omega)\iff R_(s)(m)\,\ !} Dan W q (ω) ⟺ R q (m) (\displaystyle W_(q)(\omega)\iff R_(q)(m)\,\ !} - spektrum energi (kepadatan daya) sinyal dan interferensi, W z s (ω) ⟺ B z s (m) (\displaystyle W_(zs)(\omega)\iff B_(zs)(m)\,\ !} - spektrum energi timbal balik dari sinyal input dan output, W z q (ω) ⟺ B z q (m) (\displaystyle W_(zq)(\omega)\iff B_(zq)(m)\,\ !} - spektrum energi timbal balik dari sinyal keluaran dan interferensi.

Dalam praktik geofisika, biasanya terdapat independensi statistik dari sinyal yang berguna, dan akibatnya, sinyal tersebut z (k) (\gaya tampilan z(k)\,\ !}, dari kebisingan, sementara B z q = 0 (\displaystyle B_(zq)=0\,\ !} dan filternya disebut optimal untuk penghalusan kebisingan untuk bentuk sinyal keluaran tertentu:

H (ω) = W z s (ω) W s (ω) + W q (ω) (3.6) (\displaystyle H(\omega) = \frac(W_(zs)(\omega))(W_s(\omega )+W_q(\omega)) \qquad \warna(Maroon) (3.6) \,\ !}

Saring (3.6) (\displaystyle \color (Maroon)(3.6)\,\ !} optimal dalam arti memaksimalkan rasio daya sinyal terhadap daya derau di seluruh interval sinyal, tetapi tidak pada setiap titik.

Ekspresi (3,5 − 3,6) (\displaystyle \color (Maroon)(3,5-3,6)\,\ !}, sebagai aturan, selalu punya solusi. Namun, ini tidak berarti bahwa filter dapat menghasilkan bentuk sinyal keluaran tertentu. Dari pertimbangan praktis semata, kita dapat langsung berasumsi bahwa jika spektrum suatu sinyal diberikan z (t) (\gaya tampilan z(t)\,\ !} lebih dari sebagian besar spektrum sinyal yang berguna s (t) (\gaya tampilan s(t)\,\ !}, maka operator filter akan mencoba menghasilkan frekuensi tinggi yang diperlukan dari sinyal tertentu dari frekuensi yang tidak signifikan dari spektrum sinyal yang berguna, yang mungkin memerlukan faktor penguatan yang besar pada frekuensi ini, yang juga akan mempengaruhi komponen frekuensi kebisingan. Hasil dari operasi semacam itu tidak dapat diprediksi. Pertimbangan praktis ini dapat diperluas ke semua hubungan frekuensi antara sinyal masukan dan keluaran filter linier: harmonik signifikan dari spektrum sinyal keluaran harus dibentuk dari harmonik signifikan dari spektrum sinyal masukan.

Jika bentuk gelombang yang ditentukan z (k) (\gaya tampilan z(k)\,\ !} cocok dengan bentuk sinyal yang berguna s (k) (\gaya tampilan s(k)\,\ !}, Itu B (m) = B s s = R s (\displaystyle B(m)=B_(ss)=R_(s)\,\ !} dan filternya disebut filter reproduksi sinyal yang berguna:

H (ω) = W s (ω) W s (ω) + W q (ω) (3.7) (\displaystyle H(\omega) = \frac(W_s(\omega))(W_s(\omega)+W_q (\omega)) \qquad \color(Maroon) (3.7) \,\ !}

Ekspresi (3.6 − 3.7) (\displaystyle \color (Maroon)(3.6-3.7)\,\ !} cukup jelas menunjukkan arti fisik dari pembentukan fungsi transfer filter. Saat memutar sinyal, fungsi frekuensi korelasi silang sinyal masukan dengan sinyal keluaran (kepadatan daya timbal balik) mengulangi fungsi autokorelasi frekuensi (kerapatan daya sinyal). Kepadatan daya derau statistik didistribusikan secara merata pada rentang frekuensi, berbeda dengan kepadatan daya sinyal W s (\displaystyle W_(s)\,\ !}, yang, bergantung pada bentuk sinyal, dapat menempati interval frekuensi apa pun dalam rentang spektral. Fungsi transfer frekuensi dari filter reproduksi sinyal dibentuk oleh relasi W s (ω) W s (ω) + W q (ω) (\displaystyle (\frac (W_(s)(\omega))(W_(s)(\omega)+W_(q)(\omega) ))\,\ !}. Pada frekuensi di mana energi sinyal utama terkonsentrasi, terdapat W s (ω) ≫ W q (ω) (\displaystyle W_(s)(\omega)\gg W_(q)(\omega)\,\ !} dan (setidaknya lebih dari 0,5). Dimana nilainya semakin kecil W q (\gaya tampilan W_(q)\,\ !}, koefisien transmisi filter menjadi kurang dari 0,5, dan dalam batas pada semua frekuensi di mana komponen frekuensi sinyal sama sekali tidak ada.

Proses serupa terjadi ketika sinyal arbitrer dihasilkan z (t) (\gaya tampilan z(t)\,\ !} pada keluaran filter, hanya dalam hal ini, dari frekuensi sinyal masukan, frekuensi kekuatan timbal balik dari sinyal masukan dan keluaran yang diperlukan untuk pembentukan sinyal diatur untuk memilih dan memperkuat z (t) (\gaya tampilan z(t)\,\ !}, dan koefisien pada frekuensi ini bisa jauh lebih besar dari 1, dan tidak hanya kebisingan, tetapi juga frekuensi sinyal utama dapat ditekan, jika tidak ada dalam sinyal z (t) (\gaya tampilan z(t)\,\ !}.

Dengan demikian, filter optimal memperhitungkan kekhasan komposisi spektral sinyal dan mampu menghasilkan fungsi transfer kompleksitas apa pun untuk mengisolasi frekuensi sinyal yang berguna dari rentang spektrum mana pun dengan penekanan noise maksimum pada semua frekuensi rentang spektral yang tidak. berisi sinyal-sinyal yang berguna, sedangkan batas penguatan-penekanan diatur secara otomatis sesuai dengan tingkat kebisingan yang ditentukan.

Mengatur kekuatan kebisingan

Anda harus berhati-hati saat menentukan fungsi noise. Jika kebisingan benar-benar tidak pasti, setidaknya perlu memperkirakan penyebarannya dan memperluasnya ke seluruh rentang frekuensi dengan normalisasi yang sesuai terhadap nilainya ( 2 ∫ 0 Ω W q (ω) d ω = σ 2 (\displaystyle 2\int \limits _(0)^(\Omega )W_(q)(\omega)d\omega =\sigma ^(2)\ ,\ !}), yaitu anggap itu white noise. Mengingat fungsi sinyal berguna yang diketahui dalam implementasi terdaftar, nilai dispersi kebisingan dapat diperkirakan sebagai perkiraan pertama dari perbedaan antara dispersi implementasi dan fungsi sinyal berguna. Anda juga dapat mengekstraksi noise dari sinyal input ke dalam array noise terpisah, misalnya menggunakan transformasi wavelet. Namun, gunakan noise yang diekstraksi secara langsung untuk menghitung fungsinya W q (ω) (\displaystyle W_(q)(\omega)\,\ !} hanya diperbolehkan untuk pelaksanaan yang cukup representatif, asalkan kebisingannya stasioner dan ergodik. Jika tidak, fungsi Wq(w) hanya akan menampilkan distribusi noise dalam implementasi sinyal terdaftar, dan karenanya filter akan optimal hanya untuk implementasi ini, yang tidak menjamin optimalitasnya untuk implementasi lainnya. Namun untuk memproses implementasi sinyal terdaftar tunggal, metode seperti itu tidak hanya sepenuhnya dapat diterima, tetapi juga dapat meningkatkan keakuratan sinyal keluaran secara signifikan.

Efisiensi penyaring

Dari ekspresi (3,5 − 3,7) (\displaystyle \color (Maroon)(3,5-3,7)\,\ !} maka dari sudut pandang distorsi minimal dari sinyal yang berguna dengan penekanan noise maksimum, filter Kolmogorov-Wiener lebih efektif, semakin tinggi rasio signal-to-noise pada input filter. Dalam batasnya, di W q (ω) ≪ W s (ω) (\displaystyle W_(q)(\omega)\ll W_(s)(\omega)\,\ !} kita punya H (ω) ⇒ 1 (\displaystyle H(\omega)\Panah Kanan 1\,\ !} dan filter mereproduksi sinyal input (atau yang ditentukan) tanpa distorsi (tidak ada gangguan, tidak ada yang perlu diperbaiki). Perhatikan juga bahwa interferensi berkorelasi dengan sinyal yang berguna, sebagai berikut (3.5) (\displaystyle \color (Maroon)(3.5)\,\ !}, digunakan oleh filter untuk meningkatkan akurasi reproduksi sinyal. Di sisi lain, kapan W q (ω) ≫ W s (ω) (\displaystyle W_(q)(\omega)\gg W_(s)(\omega)\,\ !} kita punya H (ω) ⇒ 0 (\displaystyle H(\omega)\Panah Kanan 0\,\ !} dan sinyalnya akan sangat terdistorsi, namun tidak ada filter lain yang dapat memberikan hasil yang lebih baik.

Contoh: Perhitungan filter reproduksi sinyal yang optimal. Dilakukan di lingkungan Mathcad. Bentuk sinyal masukan dianggap diketahui dan mendekati Gaussian. Sinyal input ditumpangkan dengan noise statistik dengan distribusi daya yang seragam di seluruh rentang frekuensi (white noise), tidak berkorelasi dengan sinyal, dan fungsinya W z q (\displaystyle W_(zq)\,\ !} kita menganggapnya sama dengan nol. Untuk melihat secara visual hubungan antara parameter filter dan parameter sinyal, kami mendefinisikan model sinyal dalam dua versi: K:= 1000 k:= 0.. K A:= 50 (\displaystyle K:=1000k:=0..KA:=50\,\ !} S 1 k:= A ⋅ e x p [ − 0,0005 ⋅ (k − 500) 2 ] s 2 k:= A ⋅ e x p [ − 0,00003 ⋅ (k − 500) 2 ] (\displaystyle s1_(k):=A\cdot exp[-0.0005\cdot (k-500)^(2)]s2^(k):=A\cdot exp[-0.00003\cdot (k-500)^(2)]\,\ !} sinyal yang berguna Q:= 30 q k:= r n d (Q) = Q / 2 x 1 k:= s 1 k + q k x 2 k:= s 2 k + q k (\displaystyle ~Q:=30q_(k):=rnd(Q )=Q/2x1_(k):=s1_(k)+q_(k)x2_(k):=s2_(k)+q_(k)) ⇐ (\displaystyle \color (Maroon)\Panah Kiri \,\ !} sinyal masukan Beras. 3.1. Sinyal model. Kami mengatur fungsi yang sama dengan sinyal keluaran s 1 (\gaya tampilan s1\,\ !} Dan s 2 (\gaya tampilan s2\,\ !}. Dengan menggunakan transformasi Fourier cepat, kami menghitung spektrum sinyal dan menghasilkan spektrum kepadatan daya: S 1:= C F F T (s 1) S 2:= C F F T (s 2) Q:= C F F T (q) (\displaystyle S1:=CFFT(s1)S2:=CFFT(s2)Q:=CFFT(q)\ ,\ !}⇐ (\displaystyle \color (Maroon)\Panah Kiri \,\ !} spektrum kekuatan W s 1:= S 1 ⋅ S 1 ¯ S 2:= S 2 ⋅ S 2 ¯ W q:= Q ⋅ Q ¯ (\displaystyle Ws1:=(\overline (S1\cdot S1))S2:=(\ garis atas (S2\cdot S2))W_(q):=(\overline (Q\cdot Q))\,\ !}⇐ (\displaystyle \color (Maroon)\Panah Kiri \,\ !} spektrum kekuatan D s 1:= v a r (s 1) D s 2:= v a r (s 2) D x 1:= v a r (x 1) D x 2:= v a r (x 2) D q:= v a r (q) (\ gaya tampilan Ds_(1):=var(s1)Ds_(2):=var(s2)Dx_(1):=var(x1)Dx_(2):=var(x2)Dq:=var(q)\, \ !}⇐ (\displaystyle \color (Maroon)\Panah Kiri \,\ !} varians D S 1 = 124.308 D S 2 = 310.264 D x 1 = 202.865 D x 2 = 386.78 D Q = 79.038 (\ DisplayStyle DS1 = 124.308DS2 = 310.264DX1 = 202.865DX2 = 386.78dq = 79.03 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \. !}⇐ (\displaystyle \color (Maroon)\Panah Kiri \,\ !} informasi M e a n (W q) = 0,079 (\displaystyle mean(Wq)=0,079\,\ !} W q 1:= (D x 1 − D s 1) / (K + 1) W q 1 = 0,078 (\displaystyle ~Wq1:=(Dx1-Ds1)/(K+1)Wq1=0,078) ⇐ (\displaystyle \color (Maroon)\Panah Kiri \,\ !} informasi W q 2:= (D x 2 − D s 2) / (K + 1) W q 2 = 0,076 (\displaystyle ~Wq2:=(Dx2-Ds2)/(K+1)Wq2=0,076) ⇐ (\displaystyle \color (Maroon)\Panah Kiri \,\ !} informasi W q k:= W q 1 (\displaystyle Wqk:=Wq1\,\ !} ⇐ (\displaystyle \color (Maroon)\Panah Kiri \,\ !} penggantian dengan distribusi permanen Untuk mereproduksi sinyal perhitungan fungsi W z s (\displaystyle W_(zs)\,\ !} tidak diperlukan, karena W z s = W s (\displaystyle W_(zs)=W_(s)\,\ !}. Perhitungan W q (\gaya tampilan W_(q)\,\ !} juga untuk tujuan informasi saja. Fungsi transfer filter optimal (ditunjukkan pada Gambar 3.2): Beras. 3.2. Fungsi transfer filter optimal dibandingkan dengan modul spektrum sinyal yang dinormalisasi. Sebagai berikut dari Gambar 3.2, untuk fungsi monotonik halus, yang energi utamanya terkonsentrasi di bagian spektrum frekuensi rendah, fungsi transfer filter optimal pada dasarnya adalah filter pemulusan frekuensi rendah dengan penyesuaian otomatis frekuensi cutoff dari frekuensi. transmisi ke frekuensi utama sinyal input. Operator filter dapat diperoleh dengan transformasi Fourier terbalik: H 1:= I C F F T (H 1) / (K + 1) h 2:= I C F F T (H 2) / (K + 1) (\displaystyle h1:=ICFFT(H1)/(K+1)h2:=ICFFT (H2)/(K+1)\,\ !}⇐ (\displaystyle \color (Maroon)\Panah Kiri \,\ !} transformasi Fourier terbalik Beras. 3.3. Respons impuls dari filter. Operator filter pada prinsipnya tidak terbatas. Dalam hal ini jika menggunakan FFT jumlah sampel maksimal adalah K/2 = 500. Pemotongan ukuran operator dapat dilakukan dengan cara standar menggunakan fungsi bobot (dalam perhitungan operator dinormalisasi menjadi 1, fungsi bobot tidak digunakan). N 1:= 160 n 1:= 0.. N 1 N 2 ; = 500 n 2:= 0.. N 2 (\displaystyle N1:=160n1:=0..N1N2;=500n2:=0..N2\,\ !} ⇐ (\displaystyle \color (Maroon)\Panah Kiri \,\ !} ukuran dan jumlah operator H m 1:= h 1 0 + 2 ∑ n 1 h 1 n 1 h m 1 = 0,988 h 1:= h 1 / h m 1 (\displaystyle hm1:=h1_(0)+2\sum _(n1)h1_( n1)hm1=0,988h1:=h1/hm1\,\ !} ⇐ (\displaystyle \color (Maroon)\Panah Kiri \,\ !} normalisasi H m 2:= h 2 0 + 2 ∑ n 1 h 2 n 2 h m 2 = 1,001 h 2:= h 2 / h m 2 (\displaystyle hm2:=h2_(0)+2\sum _(n1)h2_( n2)hm2=1,001h2:=h2/hm2\,\ !} ⇐ (\displaystyle \color (Maroon)\Panah Kiri \,\ !} normalisasi Y k:= h 0 ⋅ x k + ∑ n = 1 N h n ⋅ i f (k − n< 0 , 0 , x k − n) + ∑ n = 1 N h n ⋅ i f (k + n < K , 0 , x k + n) {\displaystyle y_{k}:=h_{0}\cdot x_{k}+\sum _{n=1}^{N}h_{n}\cdot if(k-n<0,0,x_{k-n})+\sum _{n=1}^{N}h_{n}\cdot if(k+n ⇐ (\displaystyle \color (Maroon)\Panah Kiri \,\ !} lilitan Beras. 3.4. Memeriksa efek filter optimal. Faktor Penguatan Dispersi Interferensi K d:= (h 0) 2 + 2 ⋅ ∑ n = 1 N h n , K d 1 = 0,021 K d 2 = 0,0066 (\displaystyle Kd:=(h_(0))2+2\cdot \sum _( n=1)^(N)h_(n),Kd1=0,021Kd2=0,0066\,\ !} Deviasi standar reproduksi sinyal ⇒ (\displaystyle \color (Maroon)\Panah Kanan \,\ !} e:= 1 K + 1 ∑ k (s k − y k) 2 (\displaystyle e:=(\sqrt ((\frac (1)(K+1))\sum _(k)^()(s_(k )-y_(k))^(2)))\,\ !} Memeriksa tindakan operator filter ditunjukkan pada Gambar. 3.4.

Filter optimal sangat efektif ketika menghilangkan noise dari sinyal yang memiliki komposisi spektral yang agak kompleks. Filter optimal memperhitungkan konfigurasi spektrum sinyal dan memberikan peredam bising maksimum, termasuk dalam interval rentang frekuensi utama sinyal. Hal ini terlihat jelas pada Gambar. 3.5 untuk sinyal yang mendekati sinyal persegi panjang, yang spektrumnya, selain bagian frekuensi rendah utama, telah meredam osilasi lateral. Perhitungan filter dilakukan sesuai dengan metode yang diberikan pada contoh 1.

Beras. 3.5. Penyaringan sinyal yang optimal dengan komposisi spektral yang kompleks.

Beras. 3.6. Penyaringan pulsa radio yang optimal.

Pada Gambar. Gambar 3.6 menunjukkan contoh pemfilteran pulsa radio dengan filter optimal. Puncak utama spektrum pulsa radio terletak di wilayah frekuensi pembawa, dan pita samping ditentukan oleh bentuk sinyal modulasi, dalam hal ini pulsa persegi panjang. Pada grafik besaran sinyal dan fungsi transfer filter, terlihat bahwa filter optimal telah berubah menjadi filter bandpass, dengan mempertimbangkan bentuk pita samping spektrum sinyal.

Filter Prediksi dan Lag

Jika di sisi kanan persamaan (3.3) (\displaystyle \color (Maroon)(3.3)\,\ !} dengan sinyal yang diinginkan, atur sinyal input dengan pergeseran sebesar besarnya k Δ t (\displaystyle k\Delta t\,\ !}, lalu pada saat yang sama B (m) = R (m + k) (\displaystyle B(m)=R(m+k)\,\ !} dan persamaannya menjadi:

h (n) × R (m − n) = R (m + k) (3,8) (\displaystyle h(n) \times R(m-n) = R(m+k) \qquad \color(Maroon) (3,8 ) \,\ !}

Pada k > 0 (\gaya tampilan k>0\,\ !} filter ini disebut filter prediksi dan menghitung nilai sinyal di masa depan dari nilai sebelumnya. Pada k< 0 {\displaystyle k<0\,\!} filternya adalah filter penundaan. Implementasi filter terdiri dari penyelesaian sistem persamaan linear yang sesuai untuk setiap nilai yang diberikan k (\gaya tampilan k\,\ !}. Filter tersebut dapat digunakan untuk menginterpolasi bidang geofisika, termasuk ke titik yang telah ditentukan, serta untuk memulihkan data yang hilang.

Filter kompresi sinyal optimal

Kondisi optimal. Filter kompresi sinyal x (t) (\gaya tampilan x(t)\,\ !}, pada dasarnya adalah filter pengkondisi sinyal z (t) (\gaya tampilan z(t)\,\ !} dengan lebar durasi efektif lebih kecil dari lebar durasi efektif sinyal yang berguna s (t) (\gaya tampilan s(t)\,\ !} dalam sinyal masukan x (t) (\gaya tampilan x(t)\,\ !}. Filter kompresi optimal dapat dihitung langsung dari ekspresi (3.3) (\displaystyle \color (Maroon)(3.3)\,\ !}.

Dalam kasus kompresi sinyal yang terbatas ke pulsa Kronecker, kami berasumsi demikian z (k) = δ (k) (\displaystyle z(k)=\delta (k)\,\ !} dengan independensi statistik sinyal dan kebisingan. Dari sini:

B s z (m) = δ (m) × s (k + m) = s (− m) (\displaystyle Bsz(m)=\delta (m)\times s(k+m)=s(-m) \,\ !} h (n) × (R s (m − n) + R q (m − n)) = s (− m) (4.1) (\displaystyle h(n) \times (Rs(m-n)+Rq(m-n) ) = s(-m) \qquad \warna(Maroon) (4.1) \,\ !} H (w) = S ∗ (w) | S (w) | 2 + W q (w) (4.2) (\displaystyle H(w) = \frac(S*(w))(|S(w)|^2+Wq(w)) \qquad \color(Maroon) ( 4.2) \,\ !}

Untuk kebisingan yang tidak berkorelasi dengan dispersi, sistem persamaan untuk menentukan nilai koefisien h (n) (\gaya tampilan h(n)\,\ !}:

h 0 (R (0) + σ 2) + h 1 R (1) + h 2 R (2) + h 3 R (3) + . . . + h M R (M) = s (0) (4.3) (\displaystyle h_0 (R(0) + \sigma^2) + h^1 R(1) + h_2 R(2) + h_3 R(3) + ... + h_M R(M) = s(0) \qquad \color(Maroon) (4.3) \,\ !} jam 0 R (1) + jam 1 R (0) + jam 2 R (1) + jam 3 R (2) + . . . + h M R (M − 1) = 0 , (\displaystyle h_(0)R(1)+h_(1)R(0)+h_(2)R(1)+h_(3)R(2)+ ...+h_(M)R(M-1)=0,\,\ !} jam 0 R (2) + jam 1 R (1) + jam 2 R (0) + jam 3 R (1) + . . . + h M R (M − 2) = 0 , (\displaystyle h_(0)R(2)+h_(1)R(1)+h_(2)R(0)+h_(3)R(1)+ ...+h_(M)R(M-2)=0,\,\ !} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (\gaya tampilan ............................................... ..... .......\,\ !} h 0 R (M) + h 1 R (M − 1) + h 2 R (M − 2) + . . . . . . . + h M R (0) = 0 (\displaystyle h_(0)R(M)+h_(1)R(M-1)+h_(2)R(M-2)+.......+ h_(M)R(0)=0\,\ !}

Saat menghitung koefisien filter, nilainya s (0) (\gaya tampilan s(0)\,\ !} biasanya dianggap sewenang-wenang, paling sering sama dengan area sinyal s (t) (\gaya tampilan s(t)\,\ !}. Oleh karena itu, upaya dilakukan untuk memampatkan area sinyal sepenuhnya ke fungsi pembobotan Kronecker, yang hanya mungkin dilakukan untuk sinyal dengan spektrum dalam rentang utama hingga frekuensi Nyquist.

Beras. 4.1. Kompresi sinyal halus dengan tingkat kebisingan berbeda.

Untuk fungsi halus dan monoton dengan spektrum di bagian frekuensi rendah dari rentang utama, kompresi ke pulsa Kronecker tidak dimungkinkan, dan bergantung pada tingkat kebisingan, filter menaikkan frekuensi sinyal setinggi mungkin, dengan mempertimbangkan nilai tingkat kebisingan. Dalam hal ini, kondisi normalisasi luas operator filter menjadi 1 dilanggar, yang dapat dinilai dari nilai fungsi transfer H (ω) (\displaystyle H(\omega)\,\ !} pada ω (\displaystyle \omega \,\ !}, yang menjadi kurang dari 1, dan ketika dikonversi kembali H (ω) ⇒ h (m) (\displaystyle H(\omega)\Panah Kanan h(m)\,\ !} operator h (m) (\gaya tampilan h(m)\,\ !} memerlukan normalisasi ke 1. Semua faktor ini dapat dilihat dengan jelas pada Gambar. 4.1.

Gambar tersebut menunjukkan tiga sinyal dengan fungsi dasar yang sama, yang ditumpangkan pada tingkat kebisingan yang berbeda. Pada tingkat kebisingan yang rendah (sinyal x 1 (\gaya tampilan x1\,\ !}) filter memanfaatkan sinyal frekuensi tinggi secara maksimal ( | H 1 | ≫ 1 (\displaystyle |H1|\gg 1\,\ !} pada frekuensi ini), menjaga stabilitas filter pada faktor penguatan dispersi kebisingan yang cukup memuaskan (walaupun lebih dari 1) dengan kompresi sinyal semaksimal mungkin. Ketika tingkat kebisingan meningkat (sinyal x 2 (\gaya tampilan x2\,\ !} Dan x 3 (\gaya tampilan x3\,\ !}) kenaikan sinyal frekuensi tinggi berkurang, dan kompresi sinyal juga berkurang, preferensi diberikan pada peredam bising maksimum.

Beras. 4.2. Kompresi sinyal dengan spektrum frekuensi tinggi.

Pada Gambar. 4.2. Contoh kompresi sinyal yang mendekati pulsa persegi panjang diberikan. Fungsi Sinyal Dasar s (k) (\gaya tampilan s(k)\,\ !} memiliki spektrum daya frekuensi yang cukup tinggi W s (ω) (\displaystyle W_(s)(\omega)\,\ !}, dan saat menentukan bentuk sinyal kompresi keluaran dalam bentuk fungsi Gaussian z (k) (\gaya tampilan z(k)\,\ !} fungsi transfer filter H (ω) (\displaystyle H(\omega)\,\ !} memberikan kompresi sinyal yang cukup andal (sekaligus mengurangi tingkat kebisingan hingga hampir mencapai bentuk tertentu).

Dalam batasnya, di W q = 0 (\displaystyle W_(q)=0\,\ !} Filter kompresi berubah menjadi filter terbalik (filter dekonvolusi):

H (ω) = S ∗ (w) | S (w) | 2 (4.4) (\displaystyle H(\omega) = \frac(S*(w))(|S(w)|^2) \qquad \color(Maroon) (4.4) \,\ !}

Output dari filter tersebut adalah:

Y (ω) = H (ω) X (ω) → 1 , (\displaystyle Y(\omega)=H(\omega)X(\omega)\panah kanan 1,\,\ !} pada X (w) → S (w) (4.4) (\displaystyle X(w) \rightarrow S(w) \qquad \color(Maroon) (4.4) \,\ !}

Penerapan filter hanya dimungkinkan jika S (ω) (\displaystyle S(\omega)\,\ !} di semua frekuensi dalam rentang frekuensi utama. Jika tidak, kapan S (ω i) → 0 (\displaystyle S(\omega _(i))\panah kanan 0\,\ !}, H (ω i) → ∞ (\displaystyle H(\omega _(i))\rightarrow \infty \,\ !} dan filter menjadi tidak stabil. Untuk menghilangkan kemungkinan fenomena seperti itu, filter (4.4) (\displaystyle \color (Maroon)(4.4)\,\ !} stabilizer a diperkenalkan:

H (ω) = S ∗ (w) | S (w) | 2 + a (4,5) (\displaystyle H(\omega) = \frac(S*(w))(|S(w)|^2 + a) \qquad \color(Maroon) (4.5) \,\ !} Di mana | S (w) | 2 + a > 0 (\displaystyle |S(w)|^(2)+a>0\,\ !} pada seluruh rentang frekuensi.

Filter dekonvolusi dapat digunakan tidak hanya untuk meningkatkan resolusi data, tetapi juga untuk menafsirkan data geofisika jika pembentukan sinyal masukan yang berguna memenuhi prinsip superposisi data bergantung pada parameter yang diinginkan.

Filter deteksi sinyal

Filter digunakan untuk memecahkan masalah pendeteksian sinyal yang bentuknya diketahui pada tingkat kebisingan yang signifikan, yang nilainya sebanding dan bahkan mungkin melebihi nilai sinyal. Selama proses pemfilteran, yang perlu dilakukan hanyalah mencatat keberadaan sinyal dalam larik data, jika ada (atau mungkin tidak ada), sedangkan penyimpanan bentuk sinyal tidak diperlukan. Bentuk sinyal itu sendiri diasumsikan diketahui baik dari data teoritis (dengan memecahkan masalah geofisika secara langsung atau dengan secara aktif mempengaruhi lingkungan geologi dengan sinyal-sinyal yang bentuknya diketahui, dengan mempertimbangkan reaksi lingkungan yang sesuai), atau dari hasil. pengukuran sebelumnya pada model atau media serupa. Untuk mendeteksi sinyal secara andal, filter harus memberikan amplitudo maksimum yang mungkin dari sinyal keluaran di atas tingkat kebisingan dan, karenanya, dilakukan berdasarkan kriteria rasio sinyal terhadap kebisingan puncak maksimum.

Respon frekuensi

Untuk menghitung filter, Anda perlu menentukan bentuk sinyal berguna yang diketahui s (k) ⟺ S (ω) (\displaystyle s(k)\iff S(\omega)\,\ !} dan fungsi autokorelasi atau spektrum daya interferensi R q (m) ⟺ W q (ω) (\displaystyle R_(q)(m)\iff W_(q)(\omega)\,\ !}. Total sinyal input diterima menggunakan model aditif: x (t) = s (t) + q (t) (\displaystyle x(t)=s(t)+q(t)\,\ !}. Pada keluaran filter yang dirancang h (n) ⟺ H (ω) (\displaystyle h(n)\iff H(\omega)\,\ !} untuk komponen sinyal keluaran yang kita miliki:

y (t) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ H (ω) S (ω) e j ω t d ω (5.1) (\displaystyle y(t) = \frac(1)(2 \pi) \int\limits_( - \infty)^(\infty) H(\omega) S(\omega) e^(j \omega t ) d \omega \qquad \color(Maroon) (5.1) \,\ !} σ 2 = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ | H(ω) | 2 W q (ω) d ω (5.2) (\displaystyle \sigma^2 = \frac(1)(2 \pi) \int\limits_(- \infty)^(\infty) |H(\omega)| ^2 W_q(\omega) d \omega \qquad \color(Maroon) (5.2) \,\ !} Di mana σ (\displaystyle \sigma \,\ !} - amplitudo akar rata-rata kuadrat dari kebisingan keluaran.

Dalam tugas mendeteksi sinyal tunggal dengan durasi terbatas, filter optimal adalah filter yang memberikan rasio output maksimum dari daya sinyal puncak terhadap daya noise di akhir pulsa. Nilai-nilai (5.1 − 5.2) (\displaystyle \color (Maroon)(5.1-5.2)\,\ !} digunakan untuk menetapkan kriteria rasio signal-to-noise maksimum (2.3) (\displaystyle \color (Maroon)(2.3)\,\ !} untuk titik sewenang-wenang:

ρ = [ y (t i) ] 2 δ 2 (5.3) (\displaystyle \rho = \frac(^2)(\delta^2) \qquad \color(Maroon) (5.3) \,\ !}

Studi Fungsi (5.3) (\displaystyle \color (Maroon)(5.3)\,\ !} ke maksimum menunjukkan bahwa hal itu dicapai dengan respons frekuensi filter:

H (ω) = e − j ω t saya | S ∗ (ω) | W q (ω) (5.4) (\displaystyle H(\omega) = \frac(e^(-j \omega t_i) |S*(\omega)|)(W_q(\omega)) \qquad \color( Merah Marun) (5.4)\,\ !}

Untuk filter yang diimplementasikan secara fisik, sebagai sebuah titik t i (\displaystyle t_(i)\,\ !} disarankan untuk menggunakan interval durasi pulsa τ (\displaystyle \tau \,\ !}, di mana:

H (ω) = e − j ω τ | S ∗ (ω) | W q (ω) = e − j φ s − j ω τ | S (ω) | W q (ω) (5,4 ′) (\displaystyle H(\omega) = \frac(e^(-j \omega \tau) |S*(\omega)|)(W_q(\omega)) = \frac (e^(-j \varphi_s -j \omega \tau) |S(\omega)|)(W_q(\omega)) \qquad \color(Maroon) (5.4") \,\ !}

Argumen φ s (\displaystyle \varphi _(s)\,\ !} dalam ekspresi ini mengkompensasi pergeseran fasa komponen spektrum sinyal, dan ω τ (\displaystyle \omega \tau \,\ !} memastikan penundaannya selama durasi sinyal. Jadi, pada akhir sinyal, filter melakukan penjumlahan dalam fase dari semua komponen frekuensi yang berguna dari sinyal input dengan bobot yang sebanding dengan rasio. | S (ω) | W q (ω) (\displaystyle (\tfrac (|S(\omega)|)(W_(q)(\omega)))\,\ !}, yang memastikan akumulasi amplitudo sinyal yang berguna selama interval seluruh durasi pulsa input dan membentuk sinyal maksimum pada saat berakhir. Pada saat yang sama, filter melemahkan komponen spektral kebisingan semakin kuat, semakin kecil modulusnya | S (ω) | (\gaya tampilan |S(\omega)|\,\ !}, dan daya derau total pada keluaran filter lebih kecil daripada pada masukan.

Untuk mendapatkan persamaan linier untuk menghitung koefisien filter tanpa kehilangan keumumannya, kita dapat mengambil:

H (ω) = S ∗ (ω) W q (ω) = | S (ω) | e − j φ s (ω) W q (ω) (5.5) (\displaystyle H(\omega) = \frac(S*(\omega))(W_q(\omega)) = \frac( |S(\ omega)|e^(-j \varphi_s (\omega)))(W_q(\omega)) \qquad \color(Maroon) (5.5) \,\ !}

Saat berpindah ke domain waktu (koordinat):

H (ω) W q (ω) = S ∗ (ω) ⟺ h (n) × R q (n − m) = s (− m) (5.6) (\displaystyle H(\omega) W_q(\omega) = S*(\omega) \iff h(n) \times R_q(n-m) = s(-m) \qquad \color(Maroon) (5.6) \,\ !}

Sistem persamaan linear untuk perhitungan filter

h 0 R q (0) + h 1 R q (1) + h 2 R q (2) + h 3 R q (3) + . . . + h M R q (M) = S (− M) , (\displaystyle h_(0)R_(q)(0)+h_(1)R_(q)(1)+h_(2)R_(q)( 2)+h_(3)R_(q)(3)+...+h_(M)R_(q)(M)=S(-M),\,\ !} h 0 R q (1) + h 1 R q (0) + h 2 R q (1) + h 3 R q (2) + . . . + h M R q (M − 1) = S (− M + 1) , (\displaystyle h_(0)R_(q)(1)+h_(1)R_(q)(0)+h_(2)R_ (q)(1)+h_(3)R_(q)(2)+...+h_(M)R_(q)(M-1)=S(-M+1),\,\ !} h 0 R q (2) + h 1 R q (1) + h 2 R q (0) + h 3 R q (1) + . . . + h M R q (M − 2) = S (− M + 2) , (\displaystyle h_(0)R_(q)(2)+h_(1)R_(q)(1)+h_(2)R_ (q)(0)+h_(3)R_(q)(1)+...+h_(M)R_(q)(M-2)=S(-M+2),\,\ !} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (\gaya tampilan ............................................... ..... ...........................\,\ !} h 0 R q (M) + h 1 R q (M − 1) + h 2 R q (M − 2) + h 3 R q (M − 3) + . . . + h M R q (0) = S (0) , (\displaystyle h_(0)R_(q)(M)+h_(1)R_(q)(M-1)+h_(2)R_(q) (M-2)+h_(3)R_(q)(M-3)+...+h_(M)R_(q)(0)=S(0),\,\ !}

Saat mengatur t i (\displaystyle t_(i)\,\ !} Dengan memusatkan sinyal masukan simetris, filter dua arah simetris dapat diperoleh yang tidak mengubah fase sinyal, sehingga nyaman untuk pemrosesan data digital.

Pada Gambar. Gambar 5.1 menunjukkan contoh pemfilteran oleh filter pendeteksi sinyal pulsa radio (sinyal informasi) yang dijumlahkan dengan noise (sinyal input) dengan rasio signal-to-noise berdasarkan nilai amplitudo rata-rata pada input filter pesanan. dari 1. Rasio sinyal terhadap kebisingan yang serupa pada keluaran filter meningkat menjadi 7 pada interval sinyal yang berguna secara umum, dan melebihi 8 pada bagian tengah interval sinyal.

Beras. 5.1. Filter deteksi sinyal.

Efisiensi penyaring

Dari persamaan tersebut terlihat bahwa filter mempunyai koefisien transmisi maksimum pada frekuensi dominasi sinyal dan koefisien transmisi minimum pada frekuensi dominasi interferensi. Penjumlahan dalam fase dari semua komponen frekuensi sinyal keluaran memastikan amplitudo maksimum sinyal keluaran pada titik waktu tertentu t i (\displaystyle t_(i)\,\ !}. Nilai amplitudo maksimum dapat diperkirakan dengan mengambil t i = 0 (\displaystyle t_(i)=0\,\ !}, sedangkan sinyal keluarannya:

y (0) ⟺ S (ω) ⋅ H (ω) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ S (ω) S ∗ (ω) W q (ω) (\displaystyle y(0)\iff S(\omega) \cdot H(\omega)=(\frac (1)(2\pi ))\int \limits _(-\infty )^(\infty )(\frac (S(\omega)S*(\omega) )(W_(q)(\omega)))\,\ !}

Koefisien transmisi filter secara langsung ditentukan oleh spektrum sinyal yang akan dideteksi, bentuk dan durasinya. Untuk mengevaluasi efisiensi filter, kami mengatur sinyal input dalam bentuk pulsa persegi panjang dengan amplitudo kamu 0 (\gaya tampilan u_(0)\,\ !} durasi τ (\displaystyle \tau \,\ !} pada interval 0 − τ (\displaystyle 0-\tau \,\ !}. Kerapatan spektral pulsa persegi panjang dengan transformasi Fourier integral:

Π (ω) = 1 − e − j ω τ j ω , Π ∗ (ω) = e j ω τ − 1 j ω (\displaystyle \Pi (\omega)=(\frac (1-e^(-j\ omega \tau ))(j\omega )),\Pi *(\omega)=(\frac (e^(j\omega \tau )-1)(j\omega ))\,\ !}

substitusi di (5,4′) (\displaystyle \color (Maroon)(5,4")\,\ !}, memukau W q (ω) = c o n s t (\displaystyle W_(q)(\omega)=const\,\ !}, menyaring koefisien transmisi:

H (ω) = α (1 − e j ω τ) e − j ω τ j ω = α 1 − e j ω τ j ω (\displaystyle H(\omega)=\alpha (\frac ((1-e^( j\omega \tau ))e^(-j\omega \tau ))(j\omega ))=\alpha (\frac (1-e^(j\omega \tau ))(j\omega ))\ ,\ !}

dimana adalah koefisien proporsionalitas dengan dimensi yang berbanding terbalik dengan kerapatan spektral untuk memperoleh nilai koefisien yang tidak berdimensi H (ω) (\displaystyle H(\omega)\,\ !}. Pada a = 1 (\gaya tampilan a=1\,\ !}(operator filter dinormalisasi, sebagai suatu peraturan, dengan penguatan komponen konstan dari sinyal input) sinyal pada output filter:

U o u t (t) = u 0 2 π ∫ − ∞ ∞ Π (ω) H (ω) d ω = ∫ − ∞ ∞ (1 − e − j ω τ) 2 ⋅ e j ω τ d ω (\displaystyle U_( keluar)(t)=(\frac (u_(0))(2\pi ))\int \limits _(-\infty )^(\infty )\Pi (\omega)H(\omega)d\omega =\int \limits _(-\infty )^(\infty )(1-e^(-j\omega \tau ))^(2)\cdot e^(j\omega \tau )d\omega \, \ !} U o u t (t) = U 0 ( t | t > 0 − 2 (t − τ) | t > 0 + (t − 2 τ) | t > 0 ) (\displaystyle U_(keluar)(t)=U_( 0)(\big \()t|_(t>0)-2(t-\tau)|_(t>0)+(t-2\tau)|_(t>0)(\big \ ))\,\ !}

Seperti terlihat pada Gambar 5.2, sinyal keluaran untuk pulsa masukan berbentuk persegi panjang adalah pulsa berbentuk segitiga dengan lebar alas 2t dengan nilai amplitudo maksimum pada ujung pulsa masukan. Hal ini ditentukan oleh fakta bahwa kapan W q (ω) = 1 (\displaystyle W_(q)(\omega)=1\,\ !} operator filter sepenuhnya mengulangi bentuk sinyal input (pulsa persegi panjang), dan sinyal output tanpa adanya noise adalah konvolusi dua pulsa identik, nilai maksimumnya dicapai ketika sinyal dimasukkan sepenuhnya ke operator filter ( t = τ (\displaystyle t=\tau \,\ !}) dan sama dengan energi total pulsa masukan:

U 0 (t) = ∫ 0 τ Π (t) h (t) d t = ∫ 0 τ Π (t) 2 d t = u 0 2 τ (\displaystyle U_(0)(t)=\int \limits _( 0)^(\tau )\Pi (t)h(t)dt=\int \batas _(0)^(\tau )\Pi (t)^(2)dt=u_(0)^(2) \tau\,\ !}

Arti kamu 0 (\gaya tampilan U_(0)\,\ !} ditentukan oleh normalisasi operator filter α (\displaystyle \alpha \,\ !}. Sedangkan untuk penguatan dispersi derau (daya), seperti diketahui dispersi derau pada keluaran filter sama dengan dispersi derau masukan. σ 2 (\displaystyle \sigma ^(2)\,\ !}, dikalikan dengan integral respons impuls kuadrat dari filter (untuk sistem digital - jumlah koefisien kuadrat dari operator filter):

σ o u t 2 = σ 2 ∫ 0 τ h 2 (t) dt = σ 2 2 π ∫ − ∞ ∞ | H(ω) | 2 d ω (\displaystyle \sigma _(keluar)^(2)=\sigma ^(2)\int \limits _(0)^(\tau )h^(2)(t)dt=(\frac ( \sigma ^(2))(2\pi ))\int \limits _(-\infty )^(\infty )|H(\omega)|^(2)d\omega \,\ !}

Untuk menghitung integral, modulus fungsi transfer filter untuk pulsa persegi panjang dapat direpresentasikan sebagai sinus integral:

∫ − ∞ ∞ | H(ω) | 2 d ω = 2 τ u 0 2 ∫ − ∞ ∞ s i n c (ω τ 2) d (ω τ 2) = 2 π u 0 2 τ (\displaystyle \int \limits _(-\infty )^(\infty ) |H(\omega)|^(2)d\omega =2\tau u_(0)^(2)\int \limits _(-\infty )^(\infty )sinc\left((\frac (\ omega \tau )(2))\kanan)d\kiri((\frac (\omega \tau )(2))\kanan)=2\pi u_(0)^(2)\tau \,\ !}

Dispersi kebisingan keluaran:

σ o u t 2 = σ 2 u 0 2 τ (\displaystyle \sigma _(keluar)^(2)=\sigma ^(2)u_(0)^(2)\tau \,\ !}

Dengan menggunakan persamaan ini untuk rasio daya sinyal terhadap daya derau untuk sinyal pada input dan output filter, kita mendapatkan:

ρ i n = u 0 2 σ 2 , ρ o u t = u 0 4 τ 2 σ 2 u 0 2 τ = u 0 2 τ σ 2 (\displaystyle \rho _(in)=(\frac (u_(0)^( 2))(\sigma ^(2))),\rho _(keluar)=(\frac (u_(0)^(4)\tau ^(2))(\sigma ^(2)u_(0) ^(2)\tau ))=(\frac (u_(0)^(2)\tau )(\sigma ^(2)))\,\ !}

Oleh karena itu, untuk rasio nilai amplitudo sinyal dengan nilai akar rata-rata kuadrat dari kebisingan:

ρ i n = u 0 σ , ρ o u t = u 0 τ τ (\displaystyle \rho _(masuk)=(\frac (u_(0))(\sigma )),\rho _(keluar)=(\frac ( u_(0))(\tau ))(\sqrt (\tau ))\,\ !}

Oleh karena itu, semakin besar durasi interaksi sinyal dengan operator filter, semakin tinggi efisiensi filter. Memangkas ukuran filter akan mengurangi efisiensinya. Filter ini disesuaikan secara ketat dengan bentuk sinyal, dan setiap perubahan dalam bentuk sinyal juga mengurangi efektivitasnya.

Kami juga mencatat bahwa semakin besar perbedaan bentuk spektrum frekuensi sinyal dan noise, semakin besar koefisien transmisi filter dan semakin tinggi efisiensi operasinya. Dengan bentuk spektrum sinyal dan noise yang konstan, filter lain mana pun lebih rendah daripada filter ini, baik dalam hal puncak dan rasio energi signal-to-noise pada output filter.

Filter yang cocok

Untuk interferensi seperti white noise W q (ω) = σ 2 (\displaystyle W_(q)(\omega)=\sigma ^(2)\,\ !} Dan H (ω) = S ∗ (ω) σ 2 (\displaystyle H(\omega)=(\frac (S*(\omega))(\sigma ^(2)))\,\ !}. Pengganda konstan 1 σ 2 (\displaystyle (\frac (1)(\sigma ^(2)))\,\ !} mungkin dihilangkan. Respon frekuensi filter hanya ditentukan oleh spektrum sinyal, dan:

h (n) = s (− n) (5.7) (\displaystyle h(n) = s(-n) \qquad \color(Maroon) (5.7) \,\ !}

Filter tersebut disebut matched (sesuai respon frekuensi dengan spektrum sinyal). Ini tidak terlalu efektif dengan pulsa pendek atau sinyal harmonik panjang.

Filter terbalik

Misalkan interferensi mempunyai komposisi frekuensi yang sama dengan sinyal yang berguna, yaitu:

W q = σ 2 | S (ω) | 2 (\displaystyle W_(q)=\sigma ^(2)|S(\omega)|^(2)\,\ !}

Isolasi sinyal yang berguna dalam kondisi seperti itu sangat diragukan. Namun, mari kita tentukan filter optimal:

H (ω) = S ∗ (ω) σ 2 | S (ω) | 2 = 1 σ 2 S (ω) (5.8) (\displaystyle H(\omega) = \frac(S*(\omega))(\sigma^2 |S(\omega)|^2) = \frac( 1)(\sigma^2 S(\omega)) \qquad \warna(Maroon) (5.8) \,\ !}

Ekspresi (5.8) (\displaystyle \color (Maroon)(5.8)\,\ !} hingga pengali konstan sesuai dengan filter kompresi sinyal. Tetapi jika filter yang cocok dan filter kompresi dianggap sebagai kasus pembatas dengan ketidakpastian karakteristik kebisingan, maka superposisinya dapat diambil sebagai model kebisingan:

W q = a 2 | S (w) | 2 + b 2 (\displaystyle Wq=a^(2)|S(w)|^(2)+b2\,\ !}

Mengganti ekspresi ini menjadi (5.5) (\displaystyle \color (Maroon)(5.5)\,\ !}, hingga faktor yang kita peroleh:

H (ω) = S ∗ (ω) | S (ω) | 2 + γ 2 (5.8) (\displaystyle H(\omega) = \frac(S*(\omega))(|S(\omega)|^2 + \gamma^2) \qquad \color(Maroon) ( 5.8) \,\ !} Di mana γ = b a (\displaystyle \gamma =(\tfrac (b)(a))\,\ !} - rasio noise dan varians sinyal.

Filternya cenderung konsisten secara luas γ (\displaystyle \gamma \,\ !}, dan sebaliknya (filter kompresi) untuk yang kecil.

Filter energi

Filter energi memaksimalkan rasio signal-to-noise sepanjang keseluruhan filter (bukan pada satu titik), dan jika panjang sinyal sesuai dengan jendela filter, hal ini memberikan perkiraan bentuk sinyal. Filter menempati posisi perantara antara filter reproduksi sinyal Kolmogorov-Wiener dan filter yang cocok dan memerlukan penentuan fungsi korelasi sinyal dan noise. Sinyal juga dapat direpresentasikan dalam bentuk deterministik dengan perhitungan fungsi autokorelasinya yang sesuai.

Kriteria optimalitas

Energi sinyal pada keluaran filter:

E s h = ∑ k s k 2 = ∑ k ⋅ (∑ n h n s k − n) 2 = ∑ k h k ∑ n h n R s (k − n) (6.1) (\displaystyle E_(sh) = \sum_(k) s_k^2 = \ sum_(k) \cdot \left (\sum_(n) h_n s_(k-n) \right)^2 = \sum_(k) h_k \sum_(n) h_n R_s (k-n) \qquad \color(Maroon) (6.1 ) \,\ !} Di mana R s (\gaya tampilan R_(s)\,\ !} - fungsi autokorelasi sinyal.

Dalam bentuk vektor:

E s h = h T ¯ R s ¯ h ¯ (6.2) (\displaystyle E_(sh) = \overline(h_T) \overline(R_s) \overline(h) \qquad \color(Maroon) (6.2) \,\ !}

Demikian pula, ekspresi energi interferensi keluaran adalah:

E q h = ∑ k h k ∑ n h n R q (k − n) = h T ¯ R s ¯ h ¯ (6.3) (\displaystyle E_(qh) = \sum_(k) h_k \sum_(n) h_n R_q (k-n) = \overline(h_T) \overline(R_s) \overline(h) \qquad \color(Maroon) (6.3) \,\ !} Di mana R q (\gaya tampilan R_(q)\,\ !} - fungsi autokorelasi interferensi.

Dengan interferensi yang tidak berkorelasi E q h = σ 2 (\displaystyle E_(qh)=\sigma ^(2)\,\ !}.

Mari kita gantikan (6.2 − 6.3) (\displaystyle \color (Maroon)(6.2-6.3)\,\ !} ke dalam ekspresi (2.4) (\displaystyle \color (Maroon)(2.4)\,\ !}:

ρ = h T ¯ R s ¯ h ¯ h T ¯ R q ¯ h ¯ (6.4) (\displaystyle \rho = \frac(\overline(h_T) \overline(R_s) \overline(h))(\overline( h_T) \overline(R_q) \overline(h)) \qquad \color(Maroon) (6.4) \,\ !}

Perhitungan vektor operator filter

Untuk menentukan nilai vektor, kita bedakan dengan h ¯ (\displaystyle (\overline (h))\,\ !}, dan samakan turunannya dengan nol:

(h T ¯ R q ¯ h ¯) ⋅ (R s ¯ h ¯) − (h T ¯ R s ¯ h ¯) ⋅ (R q ¯ h ¯) (h T ¯ R q ¯ h ¯) 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\left((\overline (h_(T)))(\overline (R_(q)))(\overline (h))\right)\cdot \left((\overline (R_) (s)))(\overline (h))\right)-\left((\overline (h_(T)))(\overline (R_(s)))(\overline (h))\right)\ cdot \left((\overline (R_(q)))(\overline (h))\right))(\left((\overline (h_(T)))(\overline (R_(q)))( \overline (h))\kanan)^(2)))=0\,\ !} (R s ¯ − ρ R q ¯) h ¯ = 0 (6,5) (\displaystyle \left (\overline(R_s) - \rho \overline(R_q) \right) \overline(h) = 0 \qquad \color (Marun) (6.5)\,\ !}

Sistem persamaan memiliki nilai eigen yang tidak diketahui ρ (\displaystyle \rho \,\ !} matriks dan nilai koefisien h n (\gaya tampilan h_(n)\,\ !}, sementara sistem memiliki N + 1 (\gaya tampilan N+1\,\ !} solusi bukan nol mengenai nilai ρ (\displaystyle \rho \,\ !} dan vektor-vektor yang sesuai dengan nilai-nilai ini h ¯ (\displaystyle (\overline (h))\,\ !}. Untuk menentukan koefisien filter, diatur ke nol dan diselesaikan sehubungan dengan ρ (\displaystyle \rho \,\ !} determinan matriks (R s ¯ − ρ R q ¯) (\displaystyle \left((\overline (R_(s)))-\rho (\overline (R_(q)))\right)\,\ !}, setelah itu nilai maksimum ρ m ax (\displaystyle \rho _(maks)\,\ !} disubstitusikan ke dalam (6.5) (\displaystyle \color (Maroon)(6.5)\,\ !} dan sistem persamaan diselesaikan sehubungan dengan koefisien h i (\displaystyle h_(i)\,\ !} vektor Saat memfilter sinyal, vektor h 1 ¯ (\displaystyle (\overline (h_(1)))\,\ !} memastikan pemilihan komponen utama pertama sinyal dalam hal daya, yaitu. komponen sinyal yang memiliki energi dan rasio signal-to-noise tertinggi. Dalam bidang geofisika yang kompleks, komponen tersebut biasanya sesuai dengan latar belakang regional.

Pada prinsipnya perhitungan dapat dilanjutkan untuk nilai lainnya ρ < ρ m a x {\displaystyle \rho <\rho _{max}\,\!} , dan nilai koefisien vektor ditentukan, h 3 ¯ (\displaystyle (\overline (h_(3)))\,\ !} dll., yang dengannya komponen sinyal kedua dan lainnya dapat diisolasi. Metode ini paling efektif digunakan untuk memisahkan sinyal (bidang) dengan interferensi yang tidak berkorelasi. Dalam hal ini, matriks korelasi kebisingan adalah satuan (yang sepanjang diagonal, sisanya nol) dan Persamaan. (6.5) (\displaystyle \color (Maroon)(6.5)\,\ !} memiliki bentuk:

(R s ¯ − ρ I ¯) h ¯ = 0 (6.6) (\displaystyle \left (\overline(R_s) - \rho \overline(I) \right) \overline(h) = 0 \qquad \color( Merah Marun) (6.6)\,\ !}

Dalam bentuk yang diperluas:

h 0 (R s (0) − ρ) + h 1 R s (1) + h 2 R s (2) + h 3 R s (3) + . . . + h M R s (M) = 0 (\displaystyle h_(0)(R_(s)(0)-\rho)+h_(1)R_(s)(1)+h_(2)R_(s)( 2)+h_(3)R_(s)(3)+...+h_(M)R_(s)(M)=0\,\ !} h 0 R s (1) + h 1 (R s (0) − ρ) + h 2 R s (1) + h 3 R s (2) + . . . + h M R s (M − 1) = 0 (\displaystyle h_(0)R_(s)(1)+h_(1)(R_(s)(0)-\rho)+h_(2)R_(s )(1)+h_(3)R_(s)(2)+...+h_(M)R_(s)(M-1)=0\,\ !} h 0 R s (2) + h 1 R s (1) + h 2 (R s (0) − ρ) + h 3 R s (1) + . . . + h M R s (M − 2) = 0 (\displaystyle h_(0)R_(s)(2)+h_(1)R_(s)(1)+h_(2)(R_(s)(0) -\rho)+h_(3)R_(s)(1)+...+h_(M)R_(s)(M-2)=0\,\ !} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (\gaya tampilan ............................................... ..... ...................................\,\ !} h 0 R s (M) + h 1 R s (M − 1) + h 2 R s (M − 2) + h 3 R s (M − 3) + . . . + h M (R s (0) − ρ) = 0 (\displaystyle h_(0)R_(s)(M)+h_(1)R_(s)(M-1)+h_(2)R_(s )(M-2)+h_(3)R_(s)(M-3)+...+h_(M)(R_(s)(0)-\rho)=0\,\ !}

Ekspresi (6.5) (\displaystyle \color (Maroon)(6.5)\,\ !} pada tingkat kebisingan yang rendah, ini memungkinkan, alih-alih FAC dari sinyal tertentu, untuk menggunakan FAC dari data (bidang) yang direkam secara langsung. Jika, selain interferensi, data yang direkam mengandung dua (atau lebih) sinyal, misalnya latar belakang regional dan komponen lokal (anomali), maka perhitungan vektor h i (\displaystyle h_(i)\,\ !} memperoleh arti praktis tertentu: setelah pemfilteran pertama oleh operator h 1 ¯ (\displaystyle (\overline (h_(1)))\,\ !} dan menyorot komponen regional, susunan data (asli atau dengan komponen regional dikurangi) dapat difilter lagi oleh operator h 2 ¯ (\displaystyle (\overline (h_(2)))\,\ !}, yang memungkinkan Anda mengidentifikasi anomali lokal (dll.). Semakin andal pemisahan sinyal, semakin besar perbedaannya satu sama lain dalam hal energi dan interval korelasi.

BULLETIN UNIVERSITAS NEGARA TOMSK

2011 Manajemen, Teknologi Komputer dan Ilmu Informasi No.3(16)

DALAM DAN. Smagin, S.V. Smagin

FILTER DALAM SISTEM NONSTASIONER DISKRIT LINEAR DENGAN GANGGUAN YANG TIDAK DIKETAHUI

Algoritme untuk mensintesis filter optimal yang menentukan perkiraan vektor keadaan sistem dinamis nonstasioner linier diskrit dengan gangguan aditif yang mengandung komponen konstan yang tidak diketahui dipertimbangkan. Hasil percobaan komputasi disajikan.

Kata kunci: sistem linear diskrit nonstasioner, filter Kalman, gangguan yang tidak diketahui.

Dalam karya banyak penulis, banyak perhatian diberikan pada pengembangan algoritma penyaringan Kalman untuk kelas sistem dengan gangguan dan parameter aditif yang tidak diketahui, yang dapat digunakan sebagai model sistem fisik nyata, model objek dengan kegagalan yang tidak diketahui.

Metode yang dikenal untuk menghitung estimasi vektor keadaan didasarkan pada algoritma yang menggunakan estimasi gangguan yang tidak diketahui. Makalah ini membahas algoritma untuk memperluas ruang keadaan (model gangguan yang tidak dapat diobservasi ditambahkan ke model utama objek) dan algoritma penyaringan dua tahap yang mengurangi biaya komputasi akibat dekomposisi masalah. Makalah ini mempelajari algoritma penyaringan optimal berulang yang menggunakan perkiraan gangguan yang tidak diketahui yang memiliki kondisi yang cukup ketat untuk solvabilitasnya.

Dalam makalah ini, untuk objek non-stasioner diskrit dengan komponen gangguan konstan yang tidak diketahui, diusulkan metode penyaringan optimal yang tidak menggunakan perkiraan gangguan yang tidak diketahui. Metode ini didasarkan pada transformasi model dan mereduksinya menjadi masalah pemfilteran Kalman linier. Artikel ini menggeneralisasi hasil pada kasus penyelesaian masalah benda diskrit nonstasioner.

1. Pernyataan masalah

Kami mempertimbangkan sistem diskrit yang dijelaskan oleh persamaan perbedaan berikut:

x(k +1) = SEBUAH(k)x(k) + f + q(k), x(0) = x0 , (1)

dimana x(k) e Rn adalah vektor keadaan; A(k) - matriks nxn; f - vektor konstanta yang tidak diketahui; q(k) adalah barisan acak Gaussian putih dengan karakteristik

M (q(k)) = 0 , M(q(k)qT (j)) = Q(k)bk ] . (2)

Saluran observasi berbentuk

y(k) = S (k) x(k) + v(k), (3)

y(k) e R1 - vektor pengukuran; S(k) - matriks berdimensi l x n; v(k) - Gaussian putih

Urutan kesalahan pengukuran acak Soviet, dengan karakteristik:

M(y(k)) = 0, M(d(k)ut (])) = 0, M(y(k)ut (y)) = V(k)81) ; (4)

untuk matriks (ξ(k), A(k)) kondisi observabilitas terpenuhi. Vektor x0 bersifat acak dan tidak bergantung pada proses d(k) dan y(k), sedangkan

M(x(0)) = xo, M((x(0) - xo)(x(0) - xo)t) = Po.

Untuk sistem (1) dan saluran observasi (3), diperlukan sintesis filter yang menghitung estimasi vektor keadaan tanpa menggunakan estimasi komponen konstanta gangguan yang tidak diketahui.

2. Filter sintesis

Mari kita ubah sistem diskrit (1). Kami mengecualikan komponen gangguan konstan / dari deskripsi objek dengan mengurangkan persamaan yang sama dari persamaan (1), tetapi digeser satu siklus jam:

x(k) = A (k -1) x(k -1) + / + q(k -1). (5)

Hasilnya, kita mendapatkan persamaan berikut:

x(k +1) = (A (k) + En) x(k) - A (k -1) x(k -1) + q(k) - q(k -1). (6)

Mari kita perluas ruang keadaan sistem dengan menambahkan identitas x(k) = x(k) ke persamaan (6). Mari kita tunjukkan

X (k) = (xГ„) "k) = (q"k)- ■> ()

Mari kita nyatakan sistem (1) dalam bentuk matriks vektor

X(k +1) = SEBUAH (k)X (k) + d (k), X (0) = X0, (8)

dimana A (k) adalah matriks berukuran 2n x 2n dengan struktur blok sebagai berikut:

K) = (A<кЕ+ Еп -А<0 - 0 ^. (

Vektor acak X0 = (x^x-1)m mempunyai ciri-ciri sebagai berikut:

М(X(0)) = X0, М ((X0 -X0)^0 -X0)т) = Р0, (10)

dimana X0 = (x0t x-)t. Perhatikan bahwa di sini kami juga memperkenalkan vektor berdimensi n x-1, yang tidak bergantung pada d(k) dan y(k), dan karakteristik (10) dapat diperoleh dari informasi apriori tentang objek (1).

Perhatikan bahwa dalam model yang dipertimbangkan (8) proses d(k) bukanlah barisan Gaussian putih, proses d(k) dan d(k-1) akan dikorelasikan:

Q(k), jika y = k,

Q(k -1), jika ] = k -1, (11)

0 jika 0< ] < к -1,

M(d(k)dt(y)) =

dimana Q(k) = |""k> + "k-1) 0), Q ¡¡). (12)

Mari kita nyatakan saluran observasi untuk sistem yang diperluas (8) dalam bentuk

kamu(k) = 5 (k) X (k) + v(k), (13)

dimana 5 (k) = (5 (k) 0), v(k) merupakan barisan acak kesalahan pengukuran dengan karakteristik (4).

Sebagai persamaan untuk menghitung estimasi vektor keadaan sistem yang diperluas, kita memilih persamaan yang strukturnya bertepatan dengan filter Kalman:

X(k +1) = L(k)X(k) + K (k)(y(k +1) - 5 (k +1) L (k)X(k)), X(0) = X0 . (14)

Dengan memperhatikan (8) dan (14), kita memperoleh persamaan kesalahan berikut e(k) = X(k) - X(k):

e(k + 1) = (L(k) - K (k) 5 (k +1) L(k))e(k) + K (k)m(k + 1) + (K (k) 5 (k + 1) - E2n)d (k). (15)

Berdasarkan persamaan (11) dan (15), matriks P (k) = M(e(k)et (k)) ditentukan dari persamaan selisih berikut:

P(k +1) = (L(k) - K (k)5(k +1)L (k))P(k)(L(k) - K (k)5(k +1)L ( k))t +

+(K (k) 5 (k +1) - E2p Jk)(K (k)5 (k +1) - E2p)t + K (k) V (k +1) Kt (k) +

+(L(k) - K (k)5 (k +1) L(k))(K (k -1)5 (k) - E2p) x

x0(k -1)(K (k) 5 (k +1) - E2 p)t + (K (k)5 (k +1) - E2p) x

x0(k - 1)(K (k -1) 5 (k) - E2n)t (L(k) - K (k)5 (k + 1)L(k))t, P(0) = P0 . (16)

Mari kita tentukan kriteria yang dioptimalkan dalam formulir

3 (k+1) = bP(k+1). (17)

Koefisien transmisi filter optimal K(k) ditentukan dari kondisi

Dengan memperhatikan (17) dan ruas kanan persamaan (16), dengan menerapkan aturan diferensiasi matriks jejak dari matriks, kita peroleh dari kondisi (18) persamaan untuk menentukan matriks K(k):

L (k) R (k) L (k)t 5 (k + 1)t + K (k) 5 (k +1) L (k) R (k) L (k)t 5 (k + 1) t+

K (k) 5 (k + 1)^(k)5 (k)t - &(k) 5 (k + 1)t - K (k) 5 (k + 1)0(k -1) x x5 (k)t K (k - 1)t L(k)t 5 (k + 1)t + K (k) 5 (k + 1)0(k -1) L(k)t 5 (k + 1 )T -

K (k) 5 (k +1) L(k) K (k -1) 5 (k)0(k -1)5 (k + 1)t +

K (k)5 (k +1) L(k)0(k -1) 5 (k + 1)t + 0(k -1)5 (k)t K (k - 1)t x xL(k ) t 5(k + 1)t - 0(k -1)L(k)t 5(k + 1)t -L(k)0(k -1)5(k + 1)t +

L(k) K (k -1) 5 (k)0(k -1) 5 (k + 1)t + K (k V (k +1) = 0. (19)

Menyelesaikan persamaan terakhir untuk K(k) memberikan hasil sebagai berikut:

K (k) = P(k)5(k + 1)t (5(k +1)P(k)5(k + 1)t + V(k +1))-1, (20)

dimana P(k) = L (k)P(k)L(k)t + Q(k - 1)(E2n - S(k)t K(k - 1)t)L(k)t +

A(k)(Eln - K(k -1)5(k))Q(k -1) + Q(k). (21)

Perhatikan bahwa untuk menghitung koefisien transmisi (20), karena (21), perlu ditetapkan nilai awal koefisien K(-1).

Mengganti ekspresi koefisien transmisi optimal (20) ke dalam persamaan (16), kita memperoleh persamaan

P(k +1) = (E2n - K (k)S (k +1))P(k), P(0) = P0. (22)

Mari kita rumuskan hasil utama dalam bentuk teorema, dengan memperhatikan representasi simetri dan blok matriks P(k) dan P(k):

P(k) = f p (k) (k) 1, P(k) = f p1(k) p2T (k) 1, (23)

IP 2 (k) p з(к)) У Р2(к) Рз(к))

struktur blok matriks L(k), Q(k), Q(k), S(k) dan representasi matriks K(k) dalam bentuk

k (k >=(K%).<24)

Dalil. Misalkan suatu proses dengan gangguan konstan yang tidak diketahui ditentukan oleh persamaan (1) dan saluran observasi berbentuk (3). Maka algoritma pemfilteran optimal akan ditentukan dengan persamaan selisih sebagai berikut: x(k +1) = (A (k) + En) x(k) - A (k -1) x(k -1) + K1 (k )(kamu(k +1) -

S (k +1)[(L (k) + En) x(k) - L (k -1) x(k -1)] (25)

dengan kondisi awal

x(0) = x0, x(1) = M(x(1)) = x . (26)

Matriks Kx (k) pada (25) ditentukan dengan rumus

K (k) = px (k) S (k + 1)t (S (k +1) P (k) S (k + 1)t + V (k +1))-1, (27)

dimana matriks p(k) dihitung dari sistem persamaan

Р(к) = (Л (к) + En)р1(к)(Л (к) + En)т - Л(к -1) Р2(к)(Л (к) + En)т -

-(L(k) + En) pT (k) L(k - 1)t + L (k -1) p3(k) L (k - 1)t + Q(k -1) S (k)t Kj(k - 1)t x x(L (k) + En)t - Q(k -1) S (k)t K2 (k - 1)t Lt (k -1) +

+(L(k) + En) Kj (k -1) S (k) Q(k -1) - L(k -1) K2 (k -1) S (k) x xQ (k -1) - (L(k) + En)Q(k -1) - Q(k -1)(L(k) + En)T + Q(k) + Q(k -1),

P2 (k) = #(k)(L(k) + En)T - p2 (k)L(k - 1)T +

K1 (k - 1)S(k)Q(k -1) - Q(k -1), ^3 (k) = p1 (k),

P1 (k +1) = (En - K (k)S(k +1))p (k), P1 (0) = P10,

P2 (k +1) = - K 2 (k) S (k +1) P (k) + p 2 (k), P2 (0) = P20,

P3 (k +1) = -K2 (k)S(k +1) p2 (k) + P3 (k), P3 (0) = p^,

K2 (k) = p 2 (k)S (k + 1)T (S (k +1) p (k) S (k + 1)T + V (k +1))-1. (28)

Pada (28), kondisi awal p10, p2 0, p3 0, adalah blok-blok yang bersesuaian dari matriks P0. Perhatikan bahwa untuk melakukan penghitungan pada (28), perlu ditetapkan kondisi awal untuk KD-1) dan K2(-1).

Komentar. Objek yang dikelola

x(k +1) = A(k)x(k) + B(k)i(k) + / + d(k), x(0) = x0, (29)

ketika mengecualikan gangguan/benda konstan yang tidak diketahui, perlu diubah ke bentuk yang berbeda dari (8) sebanyak satu suku:

X (k +1) = A (k) X (k) + B(k)(i(k) - u(k -1) + d (k), X (0) = X0, (30)

dimana matriks A(k) diberikan pada rumus (9), d(k) mempunyai karakteristik (11), (12). Pada (30), matriks B(k) berbentuk

B(k) = (B0k)). (31)

Maka persamaan filternya menjadi seperti berikut:

X(k +1) = (A (k) + Ep) X(k) - A (k -1) X(k -1) + B(k)(u(k) - dan (k -1)) + K1 (k)(y(k +1) --B(k +1)[(A(k) + Ep)X(k) - A(k -1)X(k -1) + B(k )(saya(k) -i(k -1))], (32)

dengan kondisi awal (26), dan matriks K1(k) ditentukan sesuai dengan (27) dan (28).

3. Hasil percobaan komputasi

Mari kita pertimbangkan penerapan algoritma pemfilteran untuk model orde kedua tipe (1) dan saluran observasi (3) dengan nilai parameter berikut:

(0 1 A _ (0,01 0 A TL

() = ^0.05 0.925 + 0.Ну(0.01к)) ’ ® = [ 0 0.02) ’ = , ’

x = (1 1); X0 =(uP0 =(100 100) (

Perhitungan estimasi vektor X(k) dapat dilakukan dengan menggunakan algoritma pemfilteran dua tahap. Model pengukuran dalam hal ini dengan memperhatikan (1) disajikan dalam bentuk

y(k +1) = 5X(k +1) + y(k +1) = £A(k)X(k) + B/ + 5d(k) + y(k +1). (34)

Persamaan perulangan untuk memperkirakan vektor yang tidak diketahui / mempunyai bentuk /(k +1) = /(k) + K/ (k)(y(k +1) - £A(k)X(k) - B/(k )), D0) = /0,

Kg (k) = Pr (k) Bt (BRG (k) Bt + ^t + V)-1,

P/ (k +1) = (E2 - K/ (k)B)P/ (k), P/ (0) = P/0, (35)

dimana M(/) = /0, M((/ - /0)(/ - /0)t ) = P/0. (36)

Estimasi vektor keadaan untuk suatu objek dengan masukan konstan yang tidak diketahui diberikan oleh persamaan:

x(k +1) = L(k)x(k) + /(k) + Kx (k)(y(k +1) - BL(k)x(k) - B/(k)) , ( 37)

dimana matriks Kx(k) menentukan koefisien transfer filter Kalman. Saat pemodelan kami menggunakan

(01 P =G1.0 01.0 ], L ( 0 1.0 ].

Penerapan filter Kalman yang diperluas untuk contoh ini (dalam hal ini persamaan (1) diperluas dengan menambahkan persamaan /(k+1) = /(k)) menyebabkan perlunya membuat filter Kalman untuk sistem diskrit dengan matriks dinamika, saluran observasi dan intensitas gangguan aditif sebagai berikut:

(L (k) K21 ((b 01

Penggunaan metode yang dijelaskan dalam contoh ini tidak mungkin dilakukan karena kegagalan memenuhi kondisi adanya estimasi optimal dari vektor masukan yang tidak diketahui:

p > t dan saya > t (40)

Gangguan yang tidak diketahui didefinisikan dalam bentuk / = Oj, dimana d adalah vektor berdimensi m yang tidak diketahui, O adalah matriks yang diketahui nxm. Pada contoh yang dipertimbangkan, O = E2, n = 2, m = 2, I = 1, artinya kondisi (40) tidak terpenuhi.

Penerapan algoritma pemfilteran juga dipelajari untuk variabel gangguan yang tidak diketahui dengan tiga kemungkinan nilai komponen vektor /:

1 jika 0< к < 9,

/1(k) = /2(k) =< -1, если 9 < к < 25,

1 jika 25< к < 50.

Pada Gambar. Gambar 1 menunjukkan implementasi proses dan perkiraannya untuk tiga filter yang dibandingkan. Perhatikan bahwa ketika menerapkan algoritma pemfilteran (25), nilai awal K1(-1) dan K2(-1) ditetapkan ke nol.

Beras. 1. Implementasi proses dan estimasi (1 - implementasi x(k); 2 - estimasi yang dibuat menggunakan algoritma (25); 3 - estimasi yang dibuat menggunakan algoritma dua tahap; 4 - estimasi untuk filter Kalman yang diperluas)

Pada Gambar. Gambar 2 menunjukkan kesalahan dalam memperkirakan komponen vektor keadaan.

Beras. 2. Grafik kesalahan pemfilteran (1 - kesalahan untuk estimasi yang dibuat menggunakan algoritma (25); 2 - kesalahan untuk estimasi yang dibuat menggunakan algoritma dua tahap; 3 - kesalahan untuk filter Kalman yang diperluas)

Seperti dapat dilihat dari gambar pada contoh yang dipertimbangkan, kualitas estimasi yang diperoleh dengan menggunakan filter (25) lebih baik daripada algoritma pemfilteran dua tahap dan filter Kalman yang diperluas, yang menggunakan estimasi gangguan yang tidak diketahui. Perhatikan juga bahwa untuk algoritma pemfilteran (25) tidak perlu menentukan informasi apriori tentang karakteristik distribusi nilai awal 7 dan P/0.

Tabel di bawah ini menunjukkan nilai rata-rata kesalahan estimasi root-mean-square untuk ketiga metode yang dipertimbangkan, dihitung berdasarkan 50 implementasi. Seperti dapat dilihat dari tabel, metode penyaringan yang diusulkan (25) memberikan kesalahan rata-rata 3 - 4 kali lebih kecil dibandingkan metode lainnya.

Nilai rata-rata kesalahan akar rata-rata kuadrat untuk komponen vektor keadaan

Algoritma (25) Algoritma dua tahap Filter Kalman yang diperluas

e1>Av = 0,0912 e1, av = 0,3128 Ei, av = 0,4103

Є2,av = 0,0945 e2,av = 0,2917 e2,av = 0,4296

Kesimpulan

Sebuah algoritma telah dikembangkan untuk sintesis filter non-stasioner optimal diskrit untuk objek yang gangguannya mengandung komponen konstanta yang tidak diketahui. Algoritme ini dibangun atas dasar perluasan ruang keadaan dan mengecualikan komponen yang tidak diketahui dari model. Berbeda dengan filter Kalman klasik, filter yang diusulkan menggunakan perkiraan berulang yang dibuat berdasarkan dua langkah sebelumnya. Seperti yang ditunjukkan oleh hasil eksperimen komputasi, algoritme ini dapat diterapkan pada komponen gangguan tambahan yang tidak diketahui konstanta sepotong-sepotongnya.

LITERATUR

1. Astrom K., Eykhoff P. Identifikasi sistem. Sebuah survei // Automatica. 1971.V.7.Hal.123-162.

2. FriedlandB. Pengobatan bias dalam pemfilteran rekursif // IEEE Trans. pada Otomatis. Kontra. 1969.V.AC-14. Hal.359-367.

3. Chen J., Patton R. J. Penyaringan optimal dan diagnosis kesalahan yang kuat dari sistem stokastik dengan gangguan yang tidak diketahui // IEE Proc. Aplikasi Teori Kontrol. 1996.V.143.Hal.31-36.

4. Darouach M., Zasadzinski M. Estimasi varians minimum tidak bias untuk sistem dengan input eksogen yang tidak diketahui // Automatica. 1997.V.33.Hal.717-719.

5. Darouach M., Zasadzinski M., Xu S. J. Pengamat orde penuh untuk sistem linier dengan input yang tidak diketahui // IEEE Trans. pada Otomatis. Kontra. 1999.V.AC-39. Hal.606.

6. Gillijns S., Moor B. Input varians minimum yang tidak bias dan estimasi keadaan untuk sistem waktu diskrit linier // Automatica. 2007.V.43.Hal.111-116.

7. Hou M., Patton R. Pemfilteran optimal untuk sistem dengan input yang tidak diketahui // IEEE Trans. pada Otomatis. Kontra. 1998.V.AC-43. Hal.445-449.

8. Hsieh C.-S. Solusi terpadu untuk estimasi varians minimum yang tidak bias untuk sistem dengan input yang tidak diketahui // Proc.17th World Congress The International Federation of Automatic Control. seoul. Korea. 6 - 11 Juli 2008. Hal.14502-14509.

9. Hsieh C.-S. Filter Kalman dua tahap yang kuat untuk sistem dengan input yang tidak diketahui // IEEE Trans. pada Otomatis. Kontra. 2000.V.AC-45. Hal.2374-2378.

10. Hsieh C.-S. Perpanjangan filter varians minimum tak bias yang optimal untuk sistem dengan input yang tidak diketahui // Proc. Lokakarya Internasional IEEE ke-15 tentang Dinamika Nonlinier Sistem Elektronik. Tokushima. Jepang. 2007.Hal.217-220.

11. Hsieh C.-S. Pemfilteran varians minimum berparameter yang kuat untuk sistem yang tidak pasti dengan masukan yang tidak diketahui // Proc. Konferensi Kontrol Amerika. New York. 2007.Hal.5118-5123.

12. Kalman R.E., Busy R. A hasil baru dalam teori pemfilteran dan prediksi linier // Trans. ASME J. Dasar Engr. 1961.V.83.Hal.95-108.

13. Brammer K., ZifflingG. Filter Kalman-Bucy. M.: Nauka, 1972.200 hal.

14. Pugachev V.S., Sinitsin I.N. Persamaan diferensial stokastik M.: Nauka, 1990. 630 hal.

15. Smagin S.V. Filtrasi dalam sistem diskrit linier dengan gangguan yang tidak diketahui // Autometri. 2009. T.45.No.6.Hal.29-37.

16. Amosov A.A., Kolpakov V.V. Diferensiasi matriks skalar dan penerapannya pada masalah konstruktif teori komunikasi // Masalah transmisi informasi. 1972. No.1.Hal.3-15.

Smagin Valery Ivanovich

Smagin Sergey Valerievich

Universitas Negeri Tomsk

Menemukan filter Wiener yang optimal didasarkan pada penggunaan persamaan integral Wiener-Hopf, dalam solusi yang proses acak stasioner dalam domain frekuensi dipertimbangkan. Pada tahun 1960, R. Kalman dan R. Bucy mempertimbangkan masalah penyaringan linier dalam domain waktu dan, dengan menggunakan konsep "ruang keadaan", mengusulkan metode baru yang efektif untuk mensintesis sistem optimal berdasarkan kriteria ekspektasi matematis minimum sebesar kesalahan acak kuadrat, berlaku untuk proses acak Markov stasioner dan non-stasioner. Karena konsep “ruang keadaan” yang digunakan oleh Kalman dan Bucy didasarkan pada asumsi bahwa proses acak adalah Markovian, pendekatan mereka terhadap sintesis sistem linier optimal kadang-kadang disebut teori Markov tentang penyaringan linier optimal.

Menggambarkan semua proses acak bukan dengan bantuan fungsi korelasi atau kepadatan spektral, tetapi dengan bantuan persamaan diferensial atau persamaan keadaan, Kalman dan Bucy menunjukkan bahwa di bawah pengaruh acak, sistem linier optimal (filter Kalman-Bucy optimal) harus memenuhi beberapa sistem persamaan diferensial linier tidak homogen. Menemukan sistem optimal menggunakan persamaan diferensial ini jauh lebih mudah dibandingkan menggunakan persamaan integral Wiener-Hopf, terutama dalam kasus proses acak nonstasioner.

Penurunan persamaan filter optimal dilakukan oleh Kalman dan Bucy untuk proses acak multivariat. Mari berkenalan dengan ide utama metode Kalman-Bucy menggunakan contoh filter satu dimensi yang lebih sederhana, tetapi sering ditemui dalam praktiknya.

Mari kita asumsikan bahwa sistem yang disintesis harus mereproduksi sinyal tertentu, yang secara umum merupakan proses acak non-stasioner. Misalkan selain sinyal ini, terdapat juga noise pada input sistem

yang, dalam kasus umum, merupakan proses acak non-stasioner dari jenis “white noise” dengan nilai rata-rata nol. Jadi, total sinyal masukan

Untuk mendapatkan persamaan filter Kalman-Bucy optimal satu dimensi, proses acak harus terlebih dahulu direpresentasikan dengan persamaan diferensial orde pertama dengan bentuk berikut:

di mana adalah fungsi waktu tertentu tergantung pada karakteristik statistik dari proses acak - proses acak non-stasioner dari tipe "white noise" dengan nilai rata-rata nol.

Fungsi korelasi dari proses acak nonstasioner berbentuk

di mana merupakan fungsi waktu yang kontinu dan dapat terdiferensiasi secara kontinu, dan

Dalam kasus khusus proses acak stasioner, fungsi korelasinya

Jika proses acak pada keluaran sistem sama dengan , maka kesalahan acak sistem, sama dengan selisih antara sinyal yang direproduksi dan sinyal keluaran, berbentuk

Kalman dan Bucy menunjukkan bahwa sistem optimal (filter Kalman-Bucy optimal), yang memastikan reproduksi sinyal dengan ekspektasi matematis minimum dari kesalahan acak kuadrat, harus dijelaskan dengan persamaan diferensial non-homogen dalam bentuk

Jadi, ketika mensintesis filter Kalman-Byosi yang optimal, masalahnya direduksi menjadi menemukan fungsi waktu dalam persamaan diferensial (9.140) yang akan menjamin ekspektasi matematis minimum dari kesalahan acak kuadrat, yaitu.

Dengan asumsi bahwa proses acak direpresentasikan dalam bentuk (9.135), kami menyajikan, tanpa bukti, rumus untuk mencari fungsi yang menjamin minimum (9.141).

Sebelum mendefinisikan fungsi, temukan beberapa fungsi waktu yang sama dengan ekspektasi matematis dari kuadrat kesalahan acak (varians kesalahan):

itu didefinisikan sebagai solusi persamaan diferensial Riccati berikut:

Oleh karena itu, untuk menyelesaikan (9.143) Anda perlu mengetahui nilai awal pada Biasanya

Setelah menemukan fungsinya, tentukan fungsinya menggunakan rumus

dan fungsi sesuai rumus

Tahap tersulit dalam mensintesis filter optimal menggunakan metode Kalman-Bucy adalah menyelesaikan persamaan Riccati (9.143). Secara umum memerlukan penggunaan komputer.

Pertanyaan mempelajari keberadaan solusi persamaan (9.143), keunikan dan stabilitasnya juga merupakan hal yang penting dan independen.

Diberikan (9.146), persamaan untuk filter Kalman-Bucy optimal terkadang ditulis sebagai berikut:

Persamaan diferensial (9.140) sesuai dengan diagram blok filter optimal yang ditunjukkan pada Gambar. 9.19, sebuah; persamaan diferensial (9.147) sesuai dengan diagram blok yang ditunjukkan pada Gambar. 9.19,b. Dengan demikian, filter Kalman-Bucy yang optimal dapat dianggap sebagai sistem dinamis dengan umpan balik, yang memiliki diagram blok yang ditunjukkan pada Gambar. 9.19, a, atau pada Gambar. 9.19,b. Secara alami, kedua diagram struktural ini setara.

Untuk proses acak non-stasioner, fungsinya bergantung pada waktu dan filter Kalman-Bucy yang optimal adalah non-stasioner.

Untuk proses acak stasioner, fungsi dan juga keadaan tunak tidak bergantung pada waktu, oleh karena itu filter Kalman-Bucy yang optimal dalam hal ini adalah stasioner, ditentukan oleh persamaan diferensial dengan koefisien konstan

Sistem yang dijelaskan oleh (9.148), dalam kondisi tunak, akan mereproduksi sinyal acak stasioner pada keluarannya dengan kesalahan kuadrat rata-rata minimum.

Tentu saja, untuk proses stasioner, hasil yang diperoleh dengan metode Kalman-Bucy dan metode Wiener adalah sama. Persamaan (9.148), yang diturunkan dalam domain waktu, setara dengan filter Wiener optimal yang ditentukan dalam domain frekuensi dengan persamaan (9.125).

Mari kita membahas secara singkat pertanyaan yang sangat penting untuk filter Kalman-Bucy tentang kemungkinan merepresentasikan proses acak dalam bentuk persamaan diferensial (9.135).

Temuan (9.135) dikaitkan dengan tugas menentukan filter pembentuk (stasioner atau non-stasioner), yang, ketika terkena white noise pada masukannya, memungkinkan seseorang memperoleh proses acak tertentu pada keluarannya filter pembentuk sesuai dengan (9.135) dapat direpresentasikan seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 09.20.

Untuk proses acak stasioner, metode untuk menentukan parameter filter pembentuk telah dikembangkan dengan baik. Dalam kasus ini, filter pembentuk dapat dijelaskan dengan persamaan diferensial biasa dengan koefisien konstan atau dengan fungsi transfer filter pembentuk yang sesuai. Sangat mudah untuk menemukan fungsi transfer filter pembentuk dalam kasus ketika ekspresi kerapatan spektral dari proses acak stasioner berbentuk fungsi frekuensi rasional pecahan, yaitu ketika ekspresi kerapatan spektral dapat direpresentasikan sebagai produk dari dua faktor konjugasi kompleks:

Biarkan sinyal acak stasioner dari tipe "white noise" bekerja pada masukan filter pembentuk dan memiliki kerapatan spektral, maka kerapatan spektral sinyal pada keluaran filter pembentuk

Dengan mempertimbangkan (9.149), kita dapat menulis

di mana adalah fungsi transfer frekuensi dari filter pembentuk

Mengganti ekspresi terakhir kita memperoleh ekspresi untuk fungsi transfer filter pembentuk

Mengetahui fungsi transfer filter pembentuk, kita menemukan persamaan diferensial dalam bentuk (9.135), yang menghubungkan proses acak

Jika kerapatan spektral bukan merupakan fungsi frekuensi rasional-fraksional atau diperoleh secara eksperimental, maka untuk menemukan filter pembentuknya, pertama-tama harus didekati dengan fungsi frekuensi rasional-fraksional.

Sebagai kesimpulan, perlu dicatat bahwa jika pengaruh masukan adalah proses acak stasioner, maka metode Kalman-Bucy tidak memiliki keunggulan dibandingkan metode sintesis filter Wiener optimal. Metode ini terutama digunakan untuk mensintesis filter linier non-stasioner yang optimal.

Hal ini juga memungkinkan untuk dengan mudah menemukan struktur dan parameter filter optimal bahkan ketika sinyal yang direproduksi dijelaskan oleh polinomial dengan koefisien acak:

dimana adalah variabel acak dengan karakteristik statistik yang diketahui.

Sintesis filter Kalman-Bucy linier optimal yang awalnya dilakukan untuk interferensi berupa white noise, kemudian dikembangkan untuk kasus yang lebih umum, misalnya pada kasus interferensi berkorelasi yang memiliki kerapatan spektral tidak seragam, pada kasus interferensi pemfilteran nonlinier, dll. Terakhir, mari kita perhatikan bahwa filter Kalman-Bucy yang optimal, seperti filter Wiener yang optimal, memungkinkan pemecahan tidak hanya masalah reproduksi optimal

sinyal dengan latar belakang noise (penyaringan), tetapi juga masalah antisipasi statistik, diferensiasi statistik, dll.

Contoh 9.8. Pada masukan sistem pelacakan linier terdapat proses acak stasioner yang kerapatan spektralnya

dan derau acak dari jenis "derau putih", yang memiliki kerapatan spektral

Nilai numerik koefisien

Tentukan dengan metode Kalman-Bucy fungsi transfer optimal sistem, dengan memberikan mean square error yang minimum.

1. Karena sistem dirancang untuk mereproduksi sinyal yang berguna, operator pengonversi mereproduksi sinyal tersebut, oleh karena itu,

Sesuai dengan (9.149), kami menyajikan ekspresi kerapatan spektral sebagai produk faktor konjugat kompleks

dan kami menemukan

2. Mengingat proses acak stasioner tertentu sebagai reaksi dari beberapa filter pembentuk terhadap proses acak stasioner tipe "white noise", yang memiliki kerapatan spektral, kita menemukan fungsi transfer frekuensi dari filter pembentuk ini menggunakan (9.150):

3. Temukan fungsi transfer dari filter pembentuk:

4. Fungsi transfer yang dihasilkan dari filter pembentuk sesuai dengan persamaan diferensial berikut yang berkaitan dengan proses acak

Untuk membawa persamaan diferensial terakhir ke bentuk (9.135), kita asumsikan bahwa kerapatan spektral white noise adalah dan proses acak akhir dapat direpresentasikan sebagai

Bab 5 Dasar-dasar teori penyaringan optimal

5.1. Pemfilteran linier optimal dari sinyal deterministik dan acak

Tujuan dari penyaringan adalah:

Memperoleh sinyal yang berguna secara keseluruhan dari campuran sinyal dan noise. Dalam hal ini, kriteria optimalitas dapat berupa distorsi minimum bentuk sinyal (spektrum);

Mereproduksi parameter sinyal yang membawa informasi. Dalam hal ini, kriteria optimalitas dapat berupa rasio signal-to-noise maksimum pada keluaran filter atau korelator linier.

Jenis filtrasi berikut dibedakan:

1. Pemfilteran linier (penjumlahan, amplifikasi, diferensiasi, integrasi, dll). Di sini sinyal keluaran dijelaskan dengan persamaan diferensial linier. Properti utama dari pemfilteran linier adalah hubungan antara sinyal masukan yang berubah dan sinyal keluaran, yaitu. jika sinyal masukan merupakan penjumlahan dari beberapa komponen, maka sinyal keluaran juga merupakan penjumlahan dari komponen proporsional (prinsip superposisi diperhatikan).

2. Pemfilteran nonlinier (eksponensial, ekstraksi akar, perkalian, dll). Di sini sinyal keluaran dijelaskan dengan persamaan diferensial nonlinier.

Dalam praktiknya, tidak mungkin dilakukan hanya dengan pemfilteran linier.

Pemfilteran cocok yang optimal. Saat mempertimbangkan kriteria Kotelnikov-Siegert, penerima optimal ditunjukkan, yang dibangun berdasarkan prinsip penghitungan integral korelasi pada interval

Dicatat di sana bahwa masalah ini dapat diselesaikan dengan menggunakan filter yang cocok. Namun, tidak ada satu filter yang optimal, karena semuanya bergantung pada faktor berikut:

1. Kriteria kualitas apa yang penting bagi kami, dan ini ditentukan oleh tujuan sistem radio. Ini bisa berupa deteksi sinyal, rasio signal-to-noise dari keluaran filter, bentuk gelombang, dll.

2. Sinyal apa yang perlu dideteksi (deterministik, diskrit, kontinu, acak).

3. Jenis kebisingan dan interferensi apa yang terjadi pada saluran radio (fluktuasi, pulsa, terkonsentrasi).

Jadi, arti optimalitas hanya berlaku untuk model sinyal dan noise tertentu.

Penerimaan sinyal diskrit ke filter yang cocok. Untuk sinyal dengan parameter yang diketahui, filter optimal harus memberikan kriteria kualitas maksimum pada output, misalnya rasio signal-to-noise maksimum. Operasi ini dapat dilakukan dengan menggabungkan sinyal dalam filter yang cocok (MF). Untuk melakukan ini, Anda perlu memiliki filter yang respons impulsnya sesuai dengan sinyal ini.

Diketahui bahwa respons impuls dari filter yang cocok harus berupa salinan sinyal input yang bergeser waktu dan dibalik cermin (Gbr. 5.1).

Respon impuls dari filter yang cocok, ketika , sama dengan nol, nilainya tidak boleh kurang dari durasi pulsa input. Tanda minus menunjukkan spekularitas respon impuls SF terhadap sinyal input.

Karena respon impuls sama dengan dan ketika mengubah variabel, integral konvolusi (integral Duhamel) dapat direpresentasikan sebagai

,

dimana pergeseran korelasinya.

Pada saat inilah sinyal keluaran maksimum akan muncul. Artinya seluruh sinyal diproses berdasarkan durasinya. Intinya, saat ini sinyal masukan dan salinan cermin sejajar, yang sesuai dengan (), yang artinya.

Sifat luar biasa dari filter yang cocok adalah ia memberikan rasio tertinggi dari sinyal keluaran puncak terhadap nilai kebisingan rms, yaitu. ini memberikan kemungkinan maksimum ().

Di sini, yang dipastikan adalah rasio signal-to-noise maksimum, dan bukan reproduksi bentuk sinyal, yaitu. semuanya ditentukan oleh energinya, bukan bentuk sinyalnya.

Mari kita lihat beberapa tugas spesifik.

Pemfilteran sinyal deterministik yang cocok. Dalam hal ini, bentuk sinyal yang diproses telah diketahui sebelumnya. Karakteristik filter yang cocok di sini sepenuhnya ditentukan oleh nilai sinyal yang diketahui. Mari kita hanya perlu menentukan fakta bahwa implementasi yang diterima mengandung sinyal. Ini adalah kriteria kualitas. Jelas bahwa filter yang cocok mungkin tidak mempertahankan bentuk sinyal, karena deteksi hanya memerlukan filter yang cocok untuk memberikan rasio signal-to-noise maksimum. Kriteria kualitas pemrosesan di sini justru adalah sikap ini.

Dalam rumus (5.2), respon impuls dapat direpresentasikan sebagai

Jika filternya linier, maka pengaruh sinyal dan pengaruh noise pada filter dapat dianggap independen. Oleh karena itu, kami akan mempertimbangkan lebih lanjut kedua proses ini secara terpisah.

Mengganti nilai (5.4) menjadi (5.2), kita memperoleh integral konvolusi sinyal

Jadi, sinyal keluaran, sampai koefisien konstan, bertepatan dengan sinyal masukan dan sama dengan energi sinyal masukan.

Konjugasi kompleks dari karakteristik frekuensi amplitudo dari filter yang cocok dengan spektrum sinyal yang diterima mengarah pada kompensasi pergeseran fasa timbal balik antara komponen spektral sinyal pada saat ini. Secara fisik, ini berarti bahwa pada suatu saat, semua komponen spektral sinyal bertambah dalam satu fase (dalam fase), membentuk puncak keluaran. Itu disebut kompensasi fase awal. Dalam hal ini, durasi lonjakan energi pada keluaran filter yang cocok menjadi lebih pendek dari durasi pulsa masukan, yaitu. sedang terjadi kompresi sinyal dengan koefisien sama dengan

Semakin besar , semakin sempit fungsi korelasinya dan semakin besar kelebihan energi sinyal terhadap tingkat kebisingan.

Nilai maksimum pada keluaran filter yang cocok hanya ditentukan oleh energi sinyal dan tidak bergantung pada bentuknya. Dalam hal ini, koefisien transmisi filter yang cocok tinggi pada frekuensi di mana sebagian besar energi sinyal yang berguna terkonsentrasi dan kecil ketika kerapatan spektral sinyal lebih rendah.

Kombinasi kompensasi fase awal dengan peningkatan amplitudo komponen spektral sinyal yang kuat memastikan SF optimal untuk mendeteksi sinyal dengan latar belakang white noise.

Melewati white noise melalui filter yang cocok. Mari kita pertimbangkan efek white noise pada filter yang cocok, yang respons impulsnya disesuaikan dengan sinyal.

Kerapatan spektral kebisingan pada keluaran filter yang cocok sama dengan produk kerapatan spektral kebisingan masukan dan kuadrat modulus koefisien transmisi dari filter yang cocok

,

dimana adalah koefisien transmisi dari filter yang cocok.

Koefisiennya adalah respons frekuensi amplitudo dari filter yang cocok, yang diperoleh sebagai transformasi Fourier dari respons impuls.

Jika kerapatan spektral derau putih adalah konstan, dan sistem rekayasa radio dibatasi oleh pita frekuensi, maka kerapatan spektral derau pada masukan filter yang cocok

Menurut persamaan Parseval

Mengambil akar kuadrat dari (5.13), kita menemukan nilai akar rata-rata kuadrat dari white noise

dan ini tidak lain adalah rasio energi sinyal input dengan kerapatan spektral white noise, yang tidak bergantung pada bentuk sinyal.

Ketika mempertimbangkan metode penerimaan koheren yang optimal dalam kasus ketidakpastian seperti dalam sistem radar, korelator multisaluran digunakan untuk menerapkan kriteria Neyman-Pearson.

Dengan pemfilteran yang cocok secara optimal, korelator setiap saluran digantikan oleh filter yang cocok (Gbr. 5.2). Dalam hal ini, tidak perlu merujuk waktu kedatangan sinyal.

Rasio signal-to-noise untuk non-white noise. " White noise adalah noise yang tidak berkorelasi. Secara umum, kebisingan dapat dikorelasikan dan memiliki kekuatan spektral yang berubah-ubah. Untuk “memutihkan” noise tersebut, filter pemutih khusus (WF) digunakan (Gbr. 5.3), yang koefisien transmisinya dipilih untuk mengkompensasi spektrum input non-white noise yang tidak merata. Output dari filter whitening akan menghasilkan white noise dengan kerapatan spektral N 0 .

Karena filter pemutih akan membuat perubahan pada sinyal, rasio signal-to-noise akan ditentukan oleh ekspresi

dimana adalah energi sinyal pada keluaran OF.