Bab 5 Dasar-dasar teori penyaringan optimal
5.1. Pemfilteran linier optimal dari sinyal deterministik dan acak
Tujuan dari penyaringan adalah:
Memperoleh sinyal yang berguna secara keseluruhan dari campuran sinyal dan noise. Dalam hal ini, kriteria optimalitas dapat berupa distorsi minimum bentuk sinyal (spektrum);
Mereproduksi parameter sinyal yang membawa informasi. Dalam hal ini, kriteria optimalitas dapat berupa rasio signal-to-noise maksimum pada keluaran filter atau korelator linier.
Jenis filtrasi berikut dibedakan:
1. Pemfilteran linier (penjumlahan, amplifikasi, diferensiasi, integrasi, dll). Di sini sinyal keluaran dijelaskan dengan persamaan diferensial linier. Properti utama dari pemfilteran linier adalah hubungan antara sinyal masukan yang berubah dan sinyal keluaran, yaitu. jika sinyal masukan merupakan penjumlahan dari beberapa komponen, maka sinyal keluaran juga merupakan penjumlahan dari komponen proporsional (prinsip superposisi diperhatikan).
2. Pemfilteran nonlinier (eksponensial, ekstraksi akar, perkalian, dll). Di sini sinyal keluaran dijelaskan dengan persamaan diferensial nonlinier.
Dalam praktiknya, tidak mungkin dilakukan hanya dengan pemfilteran linier.
Pemfilteran cocok yang optimal. Saat mempertimbangkan kriteria Kotelnikov-Siegert, penerima optimal ditunjukkan, yang dibangun berdasarkan prinsip penghitungan integral korelasi, pada interval
Dicatat di sana bahwa masalah ini dapat diselesaikan dengan menggunakan filter yang cocok. Namun, tidak ada filter tunggal yang optimal, karena semuanya bergantung pada faktor berikut:
1. Kriteria kualitas apa yang penting bagi kami, dan ini ditentukan oleh tujuan sistem radio. Ini bisa berupa deteksi sinyal, rasio signal-to-noise dari output filter, bentuk gelombang, dll.
2. Sinyal apa yang perlu dideteksi (deterministik, diskrit, kontinu, acak).
3. Jenis kebisingan dan interferensi apa yang terjadi pada saluran radio (fluktuasi, pulsa, terkonsentrasi).
Jadi, arti optimalitas hanya berlaku untuk model sinyal dan noise tertentu.
Penerimaan sinyal diskrit ke filter yang cocok. Untuk sinyal dengan parameter yang diketahui, filter optimal harus memberikan kriteria kualitas maksimum pada output, misalnya rasio signal-to-noise maksimum. Operasi ini dapat dilakukan dengan menggabungkan sinyal dalam filter yang cocok (MF). Untuk melakukan ini, Anda perlu memiliki filter yang respons impulsnya sesuai dengan sinyal ini.
Diketahui bahwa respons impuls dari filter yang cocok harus berupa salinan sinyal input yang bergeser waktu dan dibalik cermin (Gbr. 5.1).
Respon impuls dari filter yang cocok, ketika , sama dengan nol, nilainya tidak boleh kurang dari durasi pulsa input. Tanda minus menunjukkan spekularitas respon impuls SF terhadap sinyal input.
Karena respon impuls sama dengan perubahan variabel, integral konvolusi (integral Duhamel) dapat direpresentasikan sebagai
|
|
,dimana pergeseran korelasinya.
Pada saat inilah sinyal keluaran maksimum akan muncul. Artinya seluruh sinyal diproses berdasarkan durasinya. Intinya, saat ini sinyal masukan dan salinan cermin sejajar, yang sesuai dengan (), yang artinya.
Sifat luar biasa dari filter yang cocok adalah ia memberikan rasio tertinggi dari sinyal keluaran puncak terhadap nilai kebisingan rms, yaitu. ini memberikan kemungkinan maksimum ().
Di sini, yang dipastikan adalah rasio signal-to-noise maksimum, dan bukan reproduksi bentuk sinyal, yaitu. semuanya ditentukan oleh energinya, bukan bentuk sinyalnya.
Mari kita lihat beberapa tugas spesifik.
Pemfilteran sinyal deterministik yang cocok. Dalam hal ini, bentuk sinyal yang diproses telah diketahui sebelumnya. Karakteristik filter yang cocok di sini sepenuhnya ditentukan oleh nilai sinyal yang diketahui. Mari kita hanya perlu menentukan fakta bahwa implementasi yang diterima mengandung sinyal. Ini adalah kriteria kualitas. Jelas bahwa filter yang cocok mungkin tidak mempertahankan bentuk sinyal, karena deteksi hanya memerlukan filter yang cocok untuk memberikan rasio signal-to-noise maksimum. Kriteria kualitas pemrosesan di sini justru adalah sikap ini.
Dalam rumus (5.2), respon impuls dapat direpresentasikan sebagai
Jika filternya linier, maka pengaruh sinyal dan pengaruh noise pada filter dapat dianggap independen. Oleh karena itu, kami akan mempertimbangkan lebih lanjut kedua proses ini secara terpisah.
Mengganti nilai (5.4) menjadi (5.2), kita memperoleh integral konvolusi sinyal
Jadi, sinyal keluaran, sampai koefisien konstan, bertepatan dengan sinyal masukan dan sama dengan energi sinyal masukan.
Konjugasi kompleks dari karakteristik frekuensi amplitudo dari filter yang cocok dengan spektrum sinyal yang diterima mengarah pada kompensasi pergeseran fasa timbal balik antara komponen spektral sinyal pada saat ini. Secara fisik, ini berarti bahwa pada suatu saat, semua komponen spektral sinyal bertambah dalam satu fase (dalam fase), membentuk puncak keluaran. Itu disebut kompensasi fase awal. Dalam hal ini, durasi lonjakan energi pada keluaran filter yang cocok menjadi lebih pendek dari durasi pulsa masukan, yaitu. sedang terjadi kompresi sinyal dengan koefisien sama dengan
Semakin besar , semakin sempit fungsi korelasinya dan semakin besar kelebihan energi sinyal terhadap tingkat kebisingan.
Nilai maksimum pada keluaran filter yang cocok hanya ditentukan oleh energi sinyal dan tidak bergantung pada bentuknya. Dalam hal ini, koefisien transmisi filter yang cocok tinggi pada frekuensi di mana sebagian besar energi sinyal yang berguna terkonsentrasi dan kecil ketika kerapatan spektral sinyal lebih rendah.
Kombinasi kompensasi fase awal dengan peningkatan amplitudo komponen spektral sinyal yang kuat memastikan SF optimal untuk mendeteksi sinyal dengan latar belakang white noise.
Melewati white noise melalui filter yang cocok. Mari kita pertimbangkan efek white noise pada filter yang cocok, yang respons impulsnya disesuaikan dengan sinyal.
Kerapatan spektral kebisingan pada keluaran filter yang cocok sama dengan produk kerapatan spektral kebisingan masukan dan kuadrat modulus koefisien transmisi dari filter yang cocok
|
|
,dimana adalah koefisien transmisi dari filter yang cocok.
Koefisiennya adalah respons frekuensi amplitudo dari filter yang cocok, yang diperoleh sebagai transformasi Fourier dari respons impuls.
Jika kerapatan spektral derau putih adalah konstan, dan sistem rekayasa radio dibatasi oleh pita frekuensi, maka kerapatan spektral derau pada masukan filter yang cocok
Menurut persamaan Parseval
Mengambil akar kuadrat dari (5.13), kita menemukan nilai akar rata-rata kuadrat dari white noise
dan ini tidak lain adalah rasio energi sinyal input dengan kerapatan spektral white noise, yang tidak bergantung pada bentuk sinyal.
Saat mempertimbangkan metode penerimaan koheren yang optimal dalam kasus ketidakpastian seperti dalam sistem radar, korelator multisaluran digunakan untuk menerapkan kriteria Neyman-Pearson.
Dengan pemfilteran yang cocok secara optimal, korelator setiap saluran digantikan oleh filter yang cocok (Gbr. 5.2). Dalam hal ini, tidak perlu merujuk waktu kedatangan sinyal.
Rasio signal-to-noise untuk non-white noise. " White noise adalah noise yang tidak berkorelasi. Secara umum, kebisingan dapat dikorelasikan dan memiliki kekuatan spektral yang berubah-ubah. Untuk “memutihkan” noise tersebut, filter pemutih khusus (WF) digunakan (Gbr. 5.3), yang koefisien transmisinya dipilih untuk mengkompensasi spektrum input non-white noise yang tidak merata. Output dari filter whitening akan menghasilkan white noise dengan kerapatan spektral N 0 .
Karena filter pemutih akan membuat perubahan pada sinyal, rasio signal-to-noise akan ditentukan oleh ekspresi
dimana adalah energi sinyal pada keluaran OF.
BULLETIN UNIVERSITAS NEGERI TOMSK 2011 Manajemen, Teknologi Komputer dan Ilmu Informasi No. 3(16) UDC 517.511 V.I. Smagin, S.V. FILTER Smagin DALAM SISTEM NONSTASIONER DISKRIT LINEAR DENGAN PERTURBASI YANG TIDAK DIKETAHUI Algoritme untuk mensintesis filter optimal yang menentukan penilaian vektor keadaan dari sistem dinamis nonstasioner linier diskrit dengan gangguan aditif yang mengandung komponen konstanta yang tidak diketahui dipertimbangkan. Hasil percobaan komputasi disajikan. Kata kunci: sistem linear diskrit nonstasioner, filter Kalman, gangguan yang tidak diketahui. Dalam karya banyak penulis, banyak perhatian diberikan pada pengembangan algoritma penyaringan Kalman untuk kelas sistem dengan gangguan dan parameter aditif yang tidak diketahui, yang dapat digunakan sebagai model sistem fisik nyata, model objek dengan kegagalan yang tidak diketahui. Metode yang dikenal untuk menghitung estimasi vektor keadaan didasarkan pada algoritma yang menggunakan estimasi gangguan yang tidak diketahui. Makalah ini membahas algoritma untuk memperluas ruang keadaan (model gangguan yang tidak dapat diobservasi ditambahkan ke model utama objek) dan algoritma penyaringan dua tahap yang mengurangi biaya komputasi akibat dekomposisi masalah. Makalah ini mempelajari algoritma penyaringan optimal berulang yang menggunakan perkiraan gangguan yang tidak diketahui yang memiliki kondisi yang cukup ketat untuk solvabilitasnya. Dalam makalah ini, untuk objek non-stasioner diskrit dengan komponen gangguan konstan yang tidak diketahui, diusulkan metode penyaringan optimal yang tidak menggunakan perkiraan gangguan yang tidak diketahui. Metode ini didasarkan pada transformasi model dan mereduksinya menjadi masalah pemfilteran Kalman linier. Artikel ini menggeneralisasi hasil pada kasus penyelesaian masalah benda diskrit nonstasioner. 1. Rumusan masalah Kita perhatikan sistem diskrit yang digambarkan dengan persamaan beda berikut: x(k + 1) = A(k) x(k) + f + q (k), x(0) = x0 , (1) di mana x( k) ∈ R n – vektor keadaan; A(k) – matriks n×n; f – vektor konstanta yang tidak diketahui; q(k) adalah barisan acak Gaussian berwarna putih dengan karakteristik M (q (k)) = 0, M(q(k)q Τ (j)) = Q(k)δk, j. (2) Saluran pengamatan berbentuk y (k) = S (k) x(k) + v(k) , (3) y (k) ∈ R l – vektor pengukuran; S(k) – matriks berdimensi l × n; v(k) – gauss putih- V.I. Smagin, S.V. Smagin 44 Sov urutan kesalahan pengukuran acak, dengan ciri-ciri: M(v(k)) = 0, M(q (k)v Τ (j)) = 0, M(v(k)v Τ (j)) = V (k)δsaya , j ; (4) untuk matriks (S(k), A(k)) kondisi observabilitas terpenuhi. Vektor x0 acak dan tidak bergantung pada proses q(k) dan v(k), dengan M(x(0)) = x0 , M ((x(0) − x0)(x(0) − x0 ) T ) = P0 . Untuk sistem (1) dan saluran observasi (3), diperlukan sintesis filter yang menghitung estimasi vektor keadaan tanpa menggunakan estimasi komponen konstanta gangguan yang tidak diketahui. 2. Filter sintesis Transformasi sistem diskrit (1). Kita mengecualikan komponen gangguan konstan f dari deskripsi objek dengan mengurangkan persamaan yang sama dari persamaan (1), tetapi digeser satu siklus jam: x(k) = A(k − 1) x(k − 1) + f + q(k − 1) . (5) Hasilnya, kita memperoleh persamaan berikut: x(k + 1) = (A(k) + En) x(k) − A(k − 1) x(k − 1) + q (k) − q(k − 1) . (6) Mari kita perluas ruang keadaan sistem dengan menambahkan identitas x(k) = x(k) ke persamaan (6). Mari kita nyatakan x(k) ⎞ ⎛ q(k) − q(k − 1) ⎞ . X (k) = ⎛⎜ ⎟ ⎟ , q (k) = ⎜ 0 ⎝ ⎠ ⎝ x(k − 1) ⎠ Mari kita nyatakan sistem (1) dalam bentuk matriks-vektor X (k + 1) = A(k) X ( k) + q (k), X (0) = X 0 , (7) (8) dimana matriks A(k) – 2n × 2n mempunyai struktur blok sebagai berikut: ⎛ A(k) + En A(k ) = ⎜ En ⎝ − A(k − 1) ⎞ ⎟. 0 ⎠ (9) Vektor acak X 0 = (x0Τ x−Τ1)Τ mempunyai ciri-ciri sebagai berikut: M( X (0)) = X 0 , M ((X 0 − X 0)(X 0 − X 0)Τ ) = P0 , (x0Τ (10) x−Τ1)Τ dimana X 0 = . Perhatikan bahwa di sini kita juga memperkenalkan vektor berdimensi n x−1, yang tidak bergantung pada q(k) dan v(k), dan karakteristik (10) dapat diperoleh dari informasi apriori tentang objek (1). Perhatikan bahwa dalam model yang dipertimbangkan (8) proses q (k) bukanlah barisan Gaussian putih; proses q (k) dan q (k − 1) akan berkorelasi: jika j = k, ⎧ Q (k), ⎪ M(q (k)q (j)) = ⎨Q (k − 1), jika j = k − 1, ⎪ 0, jika 0 ≤ j< k − 1, ⎩ (11) Q(k) + Q(k − 1) 0 ⎞ ⎛ −Q(k − 1) 0 ⎞ . Q(k) = ⎛⎜ ⎟ , Q (k − 1) = ⎜ 0 0 0 0 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ (12) Τ где Фильтрация в линейных дискретных нестационарных системах 45 Представим канал наблюдений для расширенной системы (8) в виде y (k) = S (k) X (k) + v(k) , (13) где S (k) = (S (k) 0) , v(k) − случайная последовательность ошибок измерений с характеристиками (4). В качестве уравнения для вычисления оценки вектора состояния расширенной системы выберем уравнение, по своей структуре совпадающее с фильтром Калмана: Xˆ (k + 1) = A(k) Xˆ (k) + K (k)(y (k + 1) − S (k + 1) A(k) Xˆ (k)) , Xˆ (0) = X . (14) 0 Учитывая (8) и (14), получим следующее уравнение для ошибки e(k) = Xˆ (k) − X (k) : e(k + 1) = (A(k) − K (k) S (k + 1) A(k))e(k) + K (k)v(k + 1) + (K (k) S (k + 1) − E2 n)q (k) . (15) В силу (11) и (15), матрица P (k) = M{e(k)eΤ (k)} определится из следующего разностного уравнения: P (k + 1) = (A(k) − K (k) S (k + 1) A(k)) P (k)(A(k) − K (k) S (k + 1) A(k))Τ + +(K (k) S (k + 1) − E2 n)Q (k)(K (k) S (k + 1) − E2 n)Τ + K (k)V (k + 1) K Τ (k) + +(A(k) − K (k) S (k + 1) A(k))(K (k − 1) S (k) − E2 n) × ×Q (k − 1)(K (k) S (k + 1) − E2 n)Τ + (K (k) S (k + 1) − E2 n) × ×Q (k − 1)(K (k − 1) S (k) − E2 n)Τ (A(k) − K (k) S (k + 1) A(k))Τ , P (0) = P0 . (16) Оптимизируемый критерий зададим в виде J (k + 1) = trP (k + 1) . (17) Оптимальные коэффициенты передачи фильтра K(k) определяются из условия dJ (k + 1) =0. (18) dK (k) Учитывая (17) и правую часть уравнения (16), применяя правила матричного дифференцирования следа от матрицы , получим из условия (18) уравнение для определения матрицы K(k): − A(k) P (k) A(k)Τ S (k + 1)Τ + K (k) S (k + 1) A(k) P (k) A(k)Τ S (k + 1)Τ + + K (k) S (k + 1)Q (k) S (k)Τ − Q (k) S (k + 1)Τ − K (k) S (k + 1)Q (k − 1) × ×S (k)Τ K (k − 1)Τ A(k)Τ S (k + 1)Τ + K (k) S (k + 1)Q (k − 1) A(k)Τ S (k + 1)Τ − − K (k) S (k + 1) A(k) K (k − 1) S (k)Q (k − 1) S (k + 1)Τ + + K (k) S (k + 1) A(k)Q (k − 1) S (k + 1)Τ + Q (k − 1) S (k)Τ K (k − 1)Τ × × A(k)Τ S (k + 1)Τ − Q (k − 1) A(k)Τ S (k + 1)Τ − A(k)Q (k − 1) S (k + 1)Τ + + A(k) K (k − 1) S (k)Q (k − 1) S (k + 1)Τ + K (k)V (k + 1) = 0 . (19) Решение последнего уравнения относительно K(k) дает следующий результат: K (k) = P (k) S (k + 1)Τ (S (k + 1) P (k) S (k + 1)Τ + V (k + 1)) −1 , (20) 46 В.И. Смагин, С.В. Смагин где P (k) = A(k) P (k) A(k)Τ + Q (k − 1)(E2 n − S (k)Τ K (k − 1)Τ) A(k)Τ + + A(k)(E2 n − K (k − 1) S (k))Q (k − 1) + Q (k) . (21) Отметим, что для вычисления коэффициентов передачи (20), в силу (21), необходимо задать начальные значения коэффициентов K(−1). Подставив в уравнение (16) выражение для оптимального коэффициента передачи (20), получим уравнение P (k + 1) = (E2 n − K (k) S (k + 1)) P(k) , P (0) = P0 . (22) Основной результат сформулируем в виде теоремы, учитывая симметричность и блочное представление матриц P (k) и P (k) : ⎛ p (k) P(k) = ⎜ 1 ⎝ p2 (k) ⎛ p (k) p2Τ (k) ⎞ , P (k) = ⎜ 1 p3 (k) ⎟⎠ ⎝ p2 (k) p2Τ (k) ⎞ , p3 (k) ⎟⎠ (23) блочные структуры матриц A(k), Q(k), Q (k), S (k) и представление матрицы K (k) в виде ⎛ K (k) ⎞ K (k) = ⎜ 1 ⎟ . (24) ⎝ K 2 (k) ⎠ Теорема. Пусть процесс с неизвестным постоянным возмущением определяется уравнениями (1) и канал наблюдений имеет вид (3). Тогда оптимальный алгоритм фильтрации определится следующими разностными уравнениями: xˆ (k + 1) = (A(k) + En) xˆ (k) − A(k − 1) xˆ (k − 1) + K1 (k)(y (k + 1) − − S (k + 1)[(A(k) + En) xˆ (k) − A(k − 1) xˆ (k − 1)] (25) с начальными условиями xˆ(0) = x0 , xˆ(1) = M{x(1)} = x1 . Матрица K1 (k) в (25) определяется по формуле (26) K1 (k) = p1 (k) S (k + 1)Τ (S (k + 1) p1 (k) S (k + 1)Τ + V (k + 1)) −1 , где матрица p1 (k) вычисляется из системы уравнений (27) p1 (k) = (A(k) + En) p1 (k)(A(k) + En)Τ − A(k − 1) p2 (k)(A(k) + En)Τ − −(A(k) + En) p2Τ (k) A(k − 1)Τ + A(k − 1) p3 (k) A(k − 1)Τ + Q(k − 1) S (k)Τ K1 (k − 1)Τ × ×(A(k) + En)Τ − Q(k − 1) S (k)Τ K 2 (k − 1)Τ AΤ (k − 1) + +(A(k) + En) K1 (k − 1) S (k)Q(k − 1) − A(k − 1) K 2 (k − 1) S (k) × ×Q(k − 1) − (A(k) + En)Q(k − 1) − Q(k − 1)(A(k) + En)Τ + Q(k) + Q(k − 1) , p2 (k) = p1 (k)(A(k) + En)Τ − p2Τ (k) A(k − 1)Τ + + K1 (k − 1) S (k)Q(k − 1) − Q(k − 1) , p3 (k) = p1 (k) , p1 (k + 1) = (En − K1 (k) S (k + 1)) p1 (k) , p1 (0) = p1,0 , p2 (k + 1) = − K 2 (k) S (k + 1) p1 (k) + p2 (k) , p2 (0) = p2,0 , p3 (k + 1) = − K 2 (k) S (k + 1) p2Τ (k) + p3 (k) , p3 (0) = p3,0 , K 2 (k) = p2 (k) S (k + 1)Τ (S (k + 1) p1 (k) S (k + 1)Τ + V (k + 1)) −1 . (28) Фильтрация в линейных дискретных нестационарных системах 47 В (28) начальные условия p1,0 , p2,0 , p3,0 , являются соответствующими блоками матрицы P0 . Отметим, что для выполнения расчетов в (28) необходимо задать начальные условия для K1 (−1) и K 2 (−1) . Замечание. Управляемый объект x(k + 1) = A(k) x(k) + B(k)u (k) + f + q(k), x(0) = x0 , (29) при исключении неизвестного постоянного возмущения f объекта, необходимо преобразовать к виду, который будет отличаться от (8) одним слагаемым: X (k + 1) = A(k) X (k) + B (k)(u (k) − u (k − 1) + q (k), X (0) = X 0 , (30) где матрица A(k) приведена в формуле (9), q (k) имеет характеристики (11), (12). В (30) матрица B (k) имеет вид B (k) ⎞ B (k) = ⎛⎜ ⎟. ⎝ 0 ⎠ Тогда уравнения фильтра будут следующими: (31) xˆ (k + 1) = (A(k) + En) xˆ (k) − A(k − 1) xˆ (k − 1) + B(k)(u (k) − u (k − 1)) + K1 (k)(y (k + 1) − − S (k + 1)[(A(k) + En) xˆ (k) − A(k − 1) xˆ (k − 1) + B(k)(u (k) − u (k − 1))] , (32) с начальными условиями (26), а матрица K1 (k) определяется в соответствии с (27) и (28). 3. Результаты вычислительного эксперимента Рассмотрим применение алгоритма фильтрации для модели второго порядка вида (1) и канала наблюдений (3) со следующими значениями параметров: 0 1 0 ⎞ ⎞ ; Q = ⎛ 0, 01 ; V = 0,9 ; A(k) = ⎛⎜ ⎟ ⎜ 0 0, 02 ⎟⎠ ⎝ ⎝ 0, 05 0,925 + 0,1sin(0, 01k) ⎠ 1, 0 1, 0 0 ⎞ S = (1 1) ; x0 = ⎛⎜ ⎞⎟ ; P0 = ⎛⎜ (33) ⎟. ⎝ 1,5 ⎠ ⎝ 0 1, 0 ⎠ Вычисление оценок вектора x(k) можно выполнить, используя двухэтапный алгоритм фильтрации . Модель измерений в этом случае с учетом (1) представляется в виде y (k + 1) = Sx(k + 1) + v(k + 1) = SA(k) x(k) + Sf + Sq(k) + v(k + 1) . (34) Рекуррентные уравнения оценивания неизвестного вектора f имеют вид fˆ (k + 1) = fˆ (k) + K (k)(y (k + 1) − SA(k) xˆ (k) − Sfˆ (k)) , fˆ (0) = f , 0 f Τ Τ Τ −1 K f (k) = Pf (k) S (SPf (k) S + SQS + V) , где Pf (k + 1) = (E2 − K f (k) S) Pf (k), Pf (0) = Pf0 , (35) M{ f } = f 0 , M{(f − f 0)(f − f 0)Τ } = Pf0 . (36) В.И. Смагин, С.В. Смагин 48 Оценка вектора состояния для объекта с неизвестным постоянным входом задается уравнением: xˆ (k + 1) = A(k) xˆ (k) + fˆ (k) + K (k)(y (k + 1) − SA(k) xˆ (k) − Sfˆ (k)) , (37) x где матрица K x (k) определяет коэффициенты передачи фильтра Калмана. При моделировании используем 0 1, 0 0 ⎞ f 0 = ⎛⎜ ⎞⎟ , Pf0 = ⎛⎜ (38) ⎟. ⎝0⎠ ⎝ 0 1, 0 ⎠ Применение расширенного фильтра Калмана для данного примера (в этом случае уравнение (1) расширяется путем добавления уравнения f(k+1) = f(k)) приводит к необходимости построения фильтра Калмана для дискретной системы со следующими матрицами динамики, канала наблюдений и интенсивностей аддитивных возмущений: Q 0⎞ ⎛ A(k) E2 ⎞ , (S 0) , ⎛⎜ (39) ⎟. ⎜ 0 E2 ⎟⎠ ⎝ 0 0⎠ ⎝ Использование в данном примере методов, описанных в работах , невозможно в силу невыполнения условий существования оптимальных оценок неизвестного входного вектора : n≥m и l≥m. (40) В неизвестное возмущение определяется в виде f = Gd , где d – неизвестный m-мерный вектор, G – n × m -известная матрица. В рассмотренном примере G = E2 , n = 2 , m = 2, l = 1 , а это означает, что условия (40) не выполняются. Применение алгоритма фильтрации исследовалось также для неизвестного переменного возмущения с тремя возможными значениями компонент вектора f: ⎧ 1, если 0 ≤ k ≤ 9, ⎪ f1 (k) = f 2 (k) = ⎨ −1, если 9 < k < 25, ⎪ 1, если 25 ≤ k ≤ 50. ⎩ На рис. 1 приведены реализации процессов и их оценок для трех сравниваемых фильтров. Отметим, что при реализации алгоритма фильтрации (25), начальные значения K1 (−1) и K 2 (−1) задавались нулевые. x1(k) x1(k) x2(k) x2(k) 2 10 0 –10 0 3 4 20 30 40 k –10 0 4 1 0 1 10 3 10 2 10 20 30 40 k Рис. 1. Реализации процессов и оценок (1 – реализация x(k); 2 – оценка, построенная по алгоритму (25); 3 – оценка, построенная по двухэтапному алгоритму; 4 – оценка для расширенного фильтра Калмана) Фильтрация в линейных дискретных нестационарных системах 49 На рис. 2 приведены ошибки оценивания компонент вектора состояния. e1(k) 4 2 e2(k) 4 3 1 0 –2 –4 –6 0 2 2 3 1 0 2 –2 10 20 30 40 k –4 0 10 20 30 40 k Рис. 2. Графики ошибок фильтрации (1 – ошибка для оценки, построенной по алгоритму (25); 2 – ошибка для оценки, построенной по двухэтапному алгоритму; 3 – ошибка для расширенного фильтра Калмана) Как видно из рисунков для рассмотренного примера, качество оценок, полученных с помощью фильтра (25), лучше, чем для двухэтапного алгоритма фильтрации и расширенного фильтра Калмана, использующих оценки неизвестного возмущения. Отметим также, что для алгоритма фильтрации (25) не нужно задавать априорную информацию о характеристиках распределения начальных значений f 0 и Pf0 . Ниже, в таблице, приведены средние значения среднеквадратических ошибок оценивания для трех рассматриваемых методов, рассчитанных по 50 реализациям. Как видно из таблицы, предложенный метод фильтрации (25) обеспечивает среднюю ошибку в 3 – 4 раза меньшую, чем другие методы. Средние значения среднеквадратических ошибок для компонент вектора состояния Алгоритм (25) e1,ср = 0,0912 Двухэтапный алгоритм e1,ср = 0,3128 Расширенный фильтр Калмана e1,ср = 0,4103 e2,ср = 0,0945 e2,ср = 0,2917 e2,ср = 0,4296 Заключение Разработан алгоритм синтеза дискретного оптимального нестационарного фильтра для объекта, возмущения которого содержат неизвестную постоянную составляющую. Алгоритм построен на основе расширения пространства состояния и исключения из модели неизвестной составляющей. В отличие от классического фильтра Калмана, предложенный фильтр использует рекуррентные оценки, построенные на двух предыдущих тактах. Как показали результаты вычислительного эксперимента, алгоритм может быть применен для кусочно-постоянной неизвестной аддитивной составляющей возмущений. ЛИТЕРАТУРА 1. Astrom K., Eykhoff P. System identification. A survey // Automatica. 1971. V. 7. P. 123−162. 2. Friedland B. Treatment of bias in recursive filtering // IEEE Trans. on Automat. Contr. 1969. V. AC-14. P. 359−367. 3. Chen J., Patton R. J. Optimal filtering and robust fault diagnosis of stochastic systems with unknown disturbances // IEE Proc. Control Theory Appl. 1996. V. 143. P. 31–36. 50 В.И. Смагин, С.В. Смагин 4. Darouach M., Zasadzinski M. Unbiased minimum variance estimation for systems with unknown exogenous inputs // Automatica. 1997. V. 33. P. 717–719. 5. Darouach M., Zasadzinski M., Xu S. J. Full-order observers for linear systems with unknown inputs // IEEE Trans. on Automat. Contr. 1999. V. AC-39. P. 606. 6. Gillijns S., Moor B. Unbiased minimum-variance input and state estimation for linear discrete-time systems // Automatica. 2007. V. 43. P. 111–116. 7. Hou M., Patton R. Optimal filtering for systems with unknown inputs // IEEE Trans. on Automat. Contr. 1998. V. AC-43. P. 445–449. 8. Hsieh C.-S. A unified solution to unbiased minimum-variance estimation for systems with unknown inputs // Proc.17th World Congress The International Federation of Automatic Control. Seoul. Korea. July 6 – 11, 2008. P. 14502–14509. 9. Hsieh C.-S. Robust two-stage Kalman filters for systems with unknown inputs // IEEE Trans. on Automat. Contr. 2000. V. AC-45. P. 2374–2378. 10. Hsieh C.-S. Extension of the optimal unbiased minimum-variance filter for systems with unknown inputs // Proc. 15th IEEE International Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems. Tokushima. Japan. 2007. P. 217–220. 11. Hsieh C.-S. Robust parameterized minimum variance filtering for uncertain systems with unknown inputs // Proc. American control conference. New York. 2007. P. 5118–5123. 12. Kalman R.E., Busy R. A new results in linear filtering and prediction theory // Trans. ASME J. Basic Engr. 1961. V. 83. P. 95–108. 13. Браммер К., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана – Бьюси. М.: Наука, 1972. 200 с. 14. Пугачев В.С., Синицин И.Н. Стохастические дифференциальные уравнения М.: Наука, 1990. 630 с. 15. Смагин С.В. Фильтрация в линейных дискретных системах с неизвестными возмущениями // Автометрия. 2009. Т. 45. № 6. C. 29−37. 16. Амосов А.А., Колпаков В.В. Скалярно-матричное дифференцирование и его применение к конструктивным задачам теории связи // Проблемы передачи информации. 1972. № 1. С. 3−15. Смагин Валерий Иванович Смагин Сергей Валерьевич Томский государственный университет E-mail: [dilindungi email]; [dilindungi email] Diterima oleh redaksi pada tanggal 6 Desember 2010.
Seperti diketahui, inti dari pemfilteran adalah penilaian berkelanjutan terhadap parameter yang berubah-ubah terhadap waktu dari suatu proses acak. Jika pesannya adalah proses Markov skalar (untuk proses Gaussian stasioner berarti fungsi kovarians berbentuk Aexp(-B|t-u|), maka penyelesaian masalah dapat didasarkan pada prinsip-prinsip berikut yang menyederhanakan pencapaian tujuan :
Deskripsi proses yang menarik bagi kami harus dilakukan dengan menggunakan sistem linier dengan parameter yang bervariasi terhadap waktu, yang akan menghasilkannya ketika white noise diterapkan pada input sistem;
Sistem linier yang menghasilkan pesan harus dijelaskan menggunakan persamaan diferensial yang solusinya adalah pesan yang diinginkan;
Estimasi optimal sebagai nilai keluaran sistem linier harus ditentukan sebagai solusi persamaan diferensial, yang koefisiennya ditentukan oleh statistik proses.
Sistem linier yang dibangun berdasarkan prinsip-prinsip ini disebut filter Kalman-Bucy, yang merupakan karya asli di bidang ini. Berbeda dengan prinsip-prinsip ini, dalam penyaringan Wiener integral, deskripsi proses dilakukan dengan menggunakan fungsi kovarians, sistem linier - menggunakan respon transien impuls, estimasi optimal - sebagai solusi persamaan integral Wiener-Hopf.
Persamaan diferensial filter Kalman optimal dalam bentuk kanonik berbentuk:
di mana adalah penguatan matriks dari filter optimal.
Filter Kalman melakukan pemfilteran optimal dinamis terhadap proses acak non-stasioner. Pemecahan masalah penyaringan optimal direduksi menjadi penyelesaian sistem persamaan diferensial (atau perbedaan) matriks vektor. Metode ini memungkinkan Anda untuk mengoperasikan sistem persamaan tertutup dalam bentuk berulang, yang paling nyaman untuk implementasi teknis. Pada dasarnya, filter Kalman adalah algoritma pemrosesan informasi komputasi yang menggunakan kompleks informasi apriori tentang sistem asli (struktur, parameter, karakteristik statistik kebisingan keadaan dan kebisingan pengukuran, informasi tentang kondisi awal, dll.). Filter semacam itu melakukan pemrosesan statistik informasi observasi dengan mempertimbangkan sifat dinamis model sistem sumber. Struktur filter Kalman merupakan model sistem dinamis asli dengan koreksi kesalahan penyaringan menggunakan sinyal koreksi
dimana sinyal koreksi berbentuk:
Dalam hal ini, filter Kalman dinamis non-stasioner yang optimal adalah sistem kontrol otomatis tertutup yang berisi model matematika dari sistem asli, dan pada keluaran model tersebut dihasilkan estimasi keadaan, dan sinyal koreksi dengan matriks non-stasioner. keuntungan diterima pada input K(t):
Akibatnya, algoritma penyaringan dinamis didasarkan pada prinsip klasik kontrol deviasi dengan penguatan matriks K(t), memberikan kesalahan penyaringan kuadrat rata-rata minimum. Sinyal koreksi terdiri dari sinyal observasi arus z(t) dari keadaan sistem asli, ditambah dengan sinyal arus dari keadaan model sistem asli. Sinyal tersebut merupakan sinyal koreksi kesalahan penyaringan dan mencirikan informasi tambahan antara pengukuran saat ini z(t) dan perkiraan keadaan yang diperoleh dari hasil perkiraan sebelum pengukuran saat ini z(t). Diagram matriks filter Kalman optimal memiliki bentuk seperti ditunjukkan pada Gambar. 4.18. Skema ini mengimplementasikan algoritma penyaringan dinamis, ketika keadaan sistem asli ditentukan oleh persamaan diferensial, yang ruas kanannya tidak bergantung pada observasi.
Penyaringan Kalman diskrit yang optimal telah tersebar luas sehubungan dengan pengembangan metode pemrosesan informasi diskrit. Ini merupakan perluasan hasil penyaringan dinamis optimal berkelanjutan ke sistem dinamis diskrit yang dijelaskan oleh persamaan matriks-vektor perbedaan.
Beras. 4.17. Rangkaian matriks filter Kalman optimal
Persamaan filter linier optimal memungkinkan estimasi dihitung secara berurutan. Untuk menghitung skor hanya digunakan nilai skor sebelumnya dan nomor parameternya. Nilai estimasi at-time dihitung dari estimasi at-time dengan penambahan selisih tertimbang antara pengukuran at-time dan estimasi pengukuran in-time. Cara penghitungan estimasi ini disebut rekursif. Dengan demikian, filter Kalman diskrit dalam bentuk berulang menjalankan prosedur rekursif untuk menghitung perkiraan yang berurutan, yang memerlukan menghafal sejumlah kecil hasil perhitungan pada setiap langkah.
Rangkaian matriks filter Kalman diskrit ditunjukkan pada Gambar. 4.19 beserta model sistem dinamik asli dan sistem pengukurannya.
Beras. 4.18. Rangkaian matriks filter Kalman diskrit
Dasar untuk menurunkan persamaan filtrasi adalah persamaan keadaan sistem dinamis dan persamaan observasi (pengukuran). Persamaan keadaan sistem dinamik linier digambarkan dengan sistem persamaan beda dalam bentuk vektor-matriks:
dimana adalah matriks transisi keadaan dimensi , vektor -dimensi keadaan sistem dinamis; - matriks gangguan, atau sinyal masukan dimensi; - -vektor dimensi dari barisan Gaussian acak.
Persamaan pengamatan (pengukuran) sinyal yang diterima pada keluaran model sistem pengukuran dijelaskan dengan persamaan vektor beda:
dimana adalah vektor dimensi pengamatan (pengukuran); -vektor dimensi dari urutan kesalahan pengukuran Gaussian acak yang tidak berkorelasi yang mendistorsi hasil pengamatan keadaan sistem dinamis; matriks dimensi dimensi
Mari kita asumsikan bahwa perkiraan keadaan sistem saat ini dan matriks transisinya diketahui. Kemudian perkiraan ini dapat diambil sebagai perkiraan awal dan perkiraan pada suatu waktu dapat dihitung sesuai dengan persamaan:
Estimasi ini merupakan prediksi (ekstrapolasi) dari pengamatan sebelumnya. Saat menghitungnya, pengukuran terakhir dari keadaan sistem dinamis yang diambil saat ini tidak digunakan. Hal ini akan menyebabkan kesalahan dalam memperkirakan vektor keadaan sistem. Kesalahan estimasi saat ini melalui matriks transisi meluas ke semua estimasi berikutnya di , dan selama periode operasi filter yang panjang, kesalahan dapat terakumulasi dan menyebabkan hasil yang tidak memuaskan. Perkiraan tersebut dapat ditingkatkan dengan menggunakan pengukuran pada suatu titik waktu dan menghasilkan sinyal koreksi: . Dari sini
Mengganti (9.14) ke dalam ekspresi ini, kita memperoleh persamaan filter Kalman diskrit dalam bentuk kanonik:
Koefisien transmisi optimal dari filter tersebut harus memberikan kesalahan filter kuadrat rata-rata yang minimum sesuai dengan kondisi (4.152).
Soal tes untuk Bab 4
1. Kriteria pengambilan keputusan apa yang digunakan dalam GAS NK?
2. Apa persamaan dan perbedaan antara kriteria deteksi “Ideal Observer”, “Nayman-Pearson” dan “Wald”?
3. Apa esensi fisik dari probabilitas deteksi yang benar, non-deteksi yang benar, sinyal yang terlewat, dan alarm palsu?
4. Bagaimana kemungkinan terjadinya alarm palsu “pada suatu titik” dibandingkan dengan kemungkinan sistem multisaluran?
5. Bagaimana ambang batas deteksi dipilih saat menerapkan kriteria Neyman-Pearson?
6. Bagaimana ambang batas deteksi dipilih saat menerapkan kriteria Kotelnikov-Siegert?
7. Bagaimana ambang batas deteksi dipilih saat menerapkan kriteria deteksi Wald?
8. Apa saja kecukupan dan fitur penerima korelasi dan filter yang cocok?
9. Apa inti dari validitas penilaian?
10. Apa inti dari efektivitas evaluasi?
11. Apa inti dari estimasi yang tidak bias?
12. Apa yang dimaksud dengan Matriks Informasi Fisher?
13. Bagaimana karakteristik pencarian arah sonar dibangun?
14. Bagaimana kamus tanda dan alfabet gambar benda sonar terbentuk?
15. Apa kecukupan dan perbedaan konsep klasifikasi dan pengenalan benda sonar?
Menemukan filter Wiener yang optimal didasarkan pada penggunaan persamaan integral Wiener-Hopf, dalam solusi yang proses acak stasioner dalam domain frekuensi dipertimbangkan. Pada tahun 1960, R. Kalman dan R. Bucy mempertimbangkan masalah penyaringan linier dalam domain waktu dan, dengan menggunakan konsep "ruang keadaan", mengusulkan metode baru yang efektif untuk mensintesis sistem optimal berdasarkan kriteria ekspektasi matematis minimum sebesar kesalahan acak kuadrat, berlaku untuk proses acak Markov stasioner dan non-stasioner. Karena konsep “ruang keadaan” yang digunakan oleh Kalman dan Bucy didasarkan pada asumsi bahwa proses acak adalah Markovian, pendekatan mereka terhadap sintesis sistem linier optimal kadang-kadang disebut teori Markov tentang penyaringan linier optimal.
Menggambarkan semua proses acak bukan dengan bantuan fungsi korelasi atau kepadatan spektral, tetapi dengan bantuan persamaan diferensial atau persamaan keadaan, Kalman dan Bucy menunjukkan bahwa di bawah pengaruh acak, sistem linier optimal (filter Kalman-Bucy optimal) harus memenuhi beberapa sistem persamaan diferensial linier tidak homogen. Menemukan sistem optimal menggunakan persamaan diferensial ini jauh lebih mudah dibandingkan menggunakan persamaan integral Wiener-Hopf, terutama dalam kasus proses acak nonstasioner.
Penurunan persamaan filter optimal dilakukan oleh Kalman dan Bucy untuk proses acak multivariat. Mari berkenalan dengan ide utama metode Kalman-Bucy menggunakan contoh filter satu dimensi yang lebih sederhana, tetapi sering ditemui dalam praktiknya.
Mari kita asumsikan bahwa sistem yang disintesis harus mereproduksi sinyal tertentu, yang secara umum merupakan proses acak non-stasioner. Misalkan selain sinyal ini, terdapat juga noise pada input sistem
yang, dalam kasus umum, merupakan proses acak non-stasioner dari jenis “white noise” dengan nilai rata-rata nol. Jadi, total sinyal masukan
Untuk mendapatkan persamaan filter Kalman-Bucy optimal satu dimensi, proses acak harus terlebih dahulu direpresentasikan dengan persamaan diferensial orde pertama dengan bentuk berikut:
di mana adalah fungsi waktu tertentu tergantung pada karakteristik statistik dari proses acak - proses acak non-stasioner dari jenis “white noise” dengan nilai rata-rata nol.
Fungsi korelasi dari proses acak nonstasioner berbentuk
di mana merupakan fungsi waktu yang kontinu dan dapat terdiferensiasi secara kontinu, dan
Dalam kasus khusus proses acak stasioner, fungsi korelasinya
Jika proses acak pada keluaran sistem sama dengan , maka kesalahan acak sistem, sama dengan selisih antara sinyal yang direproduksi dan sinyal keluaran, berbentuk
Kalman dan Bucy menunjukkan bahwa sistem optimal (filter Kalman-Bucy optimal), yang memastikan reproduksi sinyal dengan ekspektasi matematis minimum dari kesalahan acak kuadrat, harus dijelaskan dengan persamaan diferensial non-homogen dalam bentuk
Jadi, ketika mensintesis filter Kalman-Byosi yang optimal, masalahnya direduksi menjadi menemukan fungsi waktu dalam persamaan diferensial (9.140) yang akan menjamin ekspektasi matematis minimum dari kesalahan acak kuadrat, yaitu.
Dengan asumsi bahwa proses acak direpresentasikan dalam bentuk (9.135), kami menyajikan, tanpa bukti, rumus untuk mencari fungsi yang menjamin minimum (9.141).
Sebelum mendefinisikan fungsi, temukan beberapa fungsi waktu yang sama dengan ekspektasi matematis dari kuadrat kesalahan acak (varians kesalahan):
itu didefinisikan sebagai solusi persamaan diferensial Riccati berikut:
Oleh karena itu, untuk menyelesaikan (9.143) Anda perlu mengetahui nilai awal pada Biasanya
Setelah menemukan fungsinya, tentukan fungsinya menggunakan rumus
dan fungsi sesuai rumus
Tahap tersulit dalam mensintesis filter optimal menggunakan metode Kalman-Bucy adalah menyelesaikan persamaan Riccati (9.143). Secara umum memerlukan penggunaan komputer.
Pertanyaan mempelajari keberadaan solusi persamaan (9.143), keunikan dan stabilitasnya juga merupakan hal yang penting dan independen.
Diberikan (9.146), persamaan untuk filter Kalman-Bucy optimal terkadang ditulis sebagai berikut:
Persamaan diferensial (9.140) sesuai dengan diagram blok filter optimal yang ditunjukkan pada Gambar. 9.19, sebuah; persamaan diferensial (9.147) sesuai dengan diagram blok yang ditunjukkan pada Gambar. 9.19,b. Dengan demikian, filter Kalman-Bucy yang optimal dapat dianggap sebagai suatu sistem dinamis dengan umpan balik, yang memiliki diagram blok yang ditunjukkan pada Gambar. 9.19, a, atau pada Gambar. 9.19,b. Secara alami, kedua diagram struktural ini setara.
Untuk proses acak non-stasioner, fungsinya bergantung pada waktu dan filter Kalman-Bucy yang optimal adalah non-stasioner.
Untuk proses acak stasioner, fungsi dan juga keadaan tunak tidak bergantung pada waktu, oleh karena itu filter Kalman-Bucy yang optimal dalam hal ini adalah stasioner, ditentukan oleh persamaan diferensial dengan koefisien konstan
Sistem yang dijelaskan oleh (9.148), dalam kondisi tunak, akan mereproduksi sinyal acak stasioner pada keluarannya dengan kesalahan kuadrat rata-rata minimum.
Tentu saja, untuk proses stasioner, hasil yang diperoleh dengan metode Kalman-Bucy dan metode Wiener adalah sama. Persamaan (9.148), yang diturunkan dalam domain waktu, setara dengan filter Wiener optimal yang ditentukan dalam domain frekuensi dengan persamaan (9.125).
Mari kita membahas secara singkat pertanyaan yang sangat penting untuk filter Kalman-Bucy tentang kemungkinan merepresentasikan proses acak dalam bentuk persamaan diferensial (9.135).
Temuan (9.135) dikaitkan dengan tugas menentukan filter pembentuk (stasioner atau non-stasioner), yang, ketika terkena white noise pada masukannya, memungkinkan seseorang memperoleh proses acak tertentu pada keluarannya filter pembentuk sesuai dengan (9.135) dapat direpresentasikan seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 09.20.
Untuk proses acak stasioner, metode untuk menentukan parameter filter pembentuk telah dikembangkan dengan baik. Dalam kasus ini, filter pembentuk dapat dijelaskan dengan persamaan diferensial biasa dengan koefisien konstan atau dengan fungsi transfer filter pembentuk yang sesuai. Sangat mudah untuk menemukan fungsi transfer filter pembentuk dalam kasus ketika ekspresi kerapatan spektral dari proses acak stasioner berbentuk fungsi frekuensi rasional pecahan, yaitu ketika ekspresi kerapatan spektral dapat direpresentasikan sebagai produk dari dua faktor konjugasi kompleks:
Biarkan sinyal acak stasioner dari tipe "white noise" bekerja pada masukan filter pembentuk dan memiliki kerapatan spektral, maka kerapatan spektral sinyal pada keluaran filter pembentuk
Dengan mempertimbangkan (9.149), kita dapat menulis
di mana adalah fungsi transfer frekuensi dari filter pembentuk
Mengganti ekspresi terakhir kita memperoleh ekspresi untuk fungsi transfer filter pembentuk
Mengetahui fungsi transfer filter pembentuk, kita menemukan persamaan diferensial dalam bentuk (9.135), yang menghubungkan proses acak
Jika kerapatan spektral bukan merupakan fungsi frekuensi rasional-fraksional atau diperoleh secara eksperimental, maka untuk menemukan filter pembentuknya, pertama-tama harus didekati dengan fungsi frekuensi rasional-fraksional.
Sebagai kesimpulan, perlu dicatat bahwa jika pengaruh masukan adalah proses acak stasioner, maka metode Kalman-Bucy tidak memiliki keunggulan dibandingkan metode sintesis filter Wiener optimal. Metode ini terutama digunakan untuk mensintesis filter linier non-stasioner yang optimal.
Hal ini juga memungkinkan untuk dengan mudah menemukan struktur dan parameter filter optimal bahkan ketika sinyal yang direproduksi dijelaskan oleh polinomial dengan koefisien acak:
dimana adalah variabel acak dengan karakteristik statistik yang diketahui.
Sintesis filter Kalman-Bucy linier optimal yang awalnya dilakukan untuk interferensi berupa white noise, kemudian dikembangkan untuk kasus yang lebih umum, misalnya pada kasus interferensi berkorelasi yang memiliki kerapatan spektral tidak seragam, pada kasus pemfilteran nonlinier, dll. Terakhir, mari kita perhatikan bahwa filter Kalman-Bucy yang optimal, seperti filter Wiener yang optimal, memungkinkan pemecahan tidak hanya masalah reproduksi optimal
sinyal dengan latar belakang noise (penyaringan), tetapi juga masalah antisipasi statistik, diferensiasi statistik, dll.
Contoh 9.8. Pada masukan sistem pelacakan linier terdapat proses acak stasioner yang kerapatan spektralnya
dan derau acak dari jenis "derau putih", yang memiliki kerapatan spektral
Nilai numerik koefisien
Tentukan dengan metode Kalman-Bucy fungsi transfer optimal sistem, dengan memberikan mean square error yang minimum.
1. Karena sistem dirancang untuk mereproduksi sinyal yang berguna, operator pengonversi mereproduksi sinyal tersebut, oleh karena itu,
Sesuai dengan (9.149), kami menyajikan ekspresi kerapatan spektral sebagai produk faktor konjugat kompleks
dan kami menemukan
2. Mengingat proses acak stasioner tertentu sebagai reaksi dari beberapa filter pembentuk terhadap proses acak stasioner tipe "white noise", yang memiliki kerapatan spektral, kita menemukan fungsi transfer frekuensi dari filter pembentuk ini menggunakan (9.150):
3. Temukan fungsi transfer dari filter pembentuk:
4. Fungsi transfer yang dihasilkan dari filter pembentuk sesuai dengan persamaan diferensial berikut yang berkaitan dengan proses acak
Untuk membawa persamaan diferensial terakhir ke bentuk (9.135), kita asumsikan bahwa kerapatan spektral white noise adalah dan proses acak akhir dapat direpresentasikan sebagai
480 gosok. | 150 UAH | $7,5", MOUSEOFF, FGCOLOR, "#FFFFCC",BGCOLOR, "#393939");" onMouseOut="return nd();"> Disertasi - 480 RUR, pengiriman 10 menit, sepanjang waktu, tujuh hari seminggu dan hari libur
Biryukov Ruslan Sergeevich. Kontrol dan penyaringan H-optimal umum yang diskrit dalam objek kontinu linier: disertasi... Kandidat Ilmu Fisika dan Matematika: 01.01.09 / Biryukov Ruslan Sergeevich;[Tempat pertahanan: Institusi Pendidikan Tinggi Negara Federal "Penelitian Nasional Negara Bagian Nizhny Novgorod Universitas dinamai menurut namanya. N.I. Lobachevsky "], 2017
Perkenalan
Bab 1. Tinjauan teori kontrol umum dan penyaringan untuk sistem diskrit linier 8
1. Generalisasi -norma suatu benda linier 8
2. Sintesis kendali umum 11
3. Sintesis -filter umum 13
Bab 2. Digeneralisasi -norma objek kontinu dengan keluaran target diskrit 15
1. Tingkat penekanan gangguan pada benda diskrit kontinu 15
2. Gangguan eksternal terburuk dan keadaan awal pada benda diskrit kontinyu 28
3. Tingkat penekanan gangguan pada objek diskrit-diskrit 32
4. Gangguan eksternal terburuk dan keadaan awal pada objek diskrit 49
5. Tingkat penekanan gangguan dalam kasus cakrawala tak terhingga 56
6. Karakterisasi tingkat penekanan gangguan ditinjau dari LMI 61
7. Kesimpulan 64
Bagian 3. Kontrol optimal umum yang diskrit 66
1. Sintesis kendali optimal berdasarkan keadaan 66
2. Sintesis kendali optimal untuk keluaran 74
3. Kontrol suspensi elektromagnetik 94
4. Kesimpulan 101
Bab 4. Penyaringan diskrit umum-optimal 102
1. Sintesis filter optimal 102
2. Penyaringan data pada permasalahan redaman getaran bangunan 108
3. Kesimpulan 114
Kesimpulan 115
Bibliografi
Pengantar karya
Relevansi topik penelitian. Sistem kendali modern biasanya diimplementasikan dalam bentuk digital, sementara sebagian besar objek nyata beroperasi dalam waktu berkelanjutan. Pembagian menjadi bagian analog dan digital menyebabkan hilangnya informasi, karena nilai sinyal kontinu yang datang dari objek ke pengontrol hanya diketahui pada momen waktu diskrit yang tetap. Oleh karena itu, tugas menganalisis dan mensintesis pengontrol diskrit yang memperhitungkan semaksimal mungkin perilaku objek asli di antara pengukuran menjadi penting. Tergantung pada kelas gangguan eksternal yang bekerja pada objek dan tujuan akhir pengendalian, berbagai pendekatan untuk memecahkan masalah ini dibedakan. Yang menarik adalah kasus ketika suatu objek terkena gangguan eksternal dengan “energi” yang terbatas, dan tujuan pengendaliannya adalah untuk meminimalkan “energi” total dari output target objek tersebut. Dalam hal ini, masalahnya adalah masalah kontrol %00-optimal diskrit dari objek kontinu menggunakan pengukuran waktu diskrit.
Untuk mengatasi masalah ini, berbagai pendekatan telah diusulkan. Salah satu yang pertama adalah pendekatan yang didasarkan pada representasi sistem kontinu asli dengan keluaran diskrit sebagai sistem kontinu-diskrit, yang perilakunya dijelaskan oleh sekumpulan persamaan diferensial dan perbedaan (Sun W., Nagpal K.M., Poolla K.R., Khargonekar P.P., Sagfors M.F., Toivonen H.T. Dalam hal ini, prosedur untuk mensintesis pengontrol dan filter optimal diskrit 7^^ didasarkan pada persamaan diferensial Riccati, yang solusinya mengalami lompatan pada waktu yang sesuai dengan observasi. Implementasi praktis dari algoritma sintesis yang diusulkan menghadapi sejumlah kesulitan yang terkait dengan penyelesaian masalah nilai batas nonlinier untuk persamaan diferensial Riccati.
Pendekatan serupa digunakan dalam karya Basar T. dan Bernhard P., di mana masalah kontrol diskrit ^^-optimal dari objek kontinu dipertimbangkan dari sudut pandang teori permainan. Kondisi keberadaan pengontrol %^-optimal dirumuskan dalam kasus keadaan objek yang diukur dalam persamaan perbedaan Riccati, dan prosedur untuk mensintesis pengontrol tersebut juga didasarkan pada penyelesaian masalah nilai batas nonlinier.
Pendekatan lain didasarkan pada penggunaan metode pengangkatan, di mana sistem kontinu asli diubah menjadi sistem diskrit yang setara (Bamieh B.A., Pearson J.B., Chen T., Francis B.A., Tadmor G., Sagfors M.F., Toivonen H.T., Lall S., Dullerud G., dll.). Selain itu, karena antara momen pengamatan, gangguan eksternal, serta keluaran target dari objek aslinya, merupakan fungsi kontinu sepotong-sepotong, maka gangguan dan keluaran target dari sistem diskrit yang setara sudah menjadi milik tak terhingga.
ruang dimensi. Dalam karya ini, sintesis pengontrol optimal didasarkan pada solusi sekuensial (iteratif) dari persamaan Riccati aljabar atau berulang, bergantung pada parameter tambahan yang perlu diminimalkan. Implementasi praktis dari prosedur ini menyebabkan kesulitan komputasi.
Akhirnya, dalam karya Mikheev Yu.V., Sobolev V.A., Fridman E.M., Shaked U., Suplin V., sebuah pendekatan diusulkan di mana masalah mensintesis kendali diskrit dari objek kontinu secara formal digantikan oleh masalah mensintesis pengontrol dengan penundaan. Syarat adanya -kontrol dirumuskan dalam bentuk syarat cukup berupa pertidaksamaan matriks linier.
Salah satu kelemahan signifikan teori kendali adalah asumsi bahwa pada saat awal benda diam, yaitu keadaan awalnya nol. Jika persyaratan ini tidak terpenuhi, maka pengontrol yang disintesis menekan gangguan eksternal dengan baik, tetapi tidak selalu cukup mengatasi tugas menekan gangguan awal yang dihasilkan oleh kondisi awal yang bukan nol. Dalam hal ini, norma umum diusulkan sebagai kriteria tunggal yang memperhitungkan pengaruh gangguan eksternal dan awal (Khargonekar P.P., Nagpal K.M. dan Poolla K.R.). Norma ini bertepatan dengan norma - klasik jika pada saat awal benda diam, dan bila keadaan awal benda bukan nol dan tidak ada gangguan luar, maka norma - yang digeneralisasikan bertepatan dengan 0 - norma yang didefinisikan dalam karya D.V. dan Kogan M.M. Untuk objek kontinu dengan keluaran terukur kontinu, hukum kontrol dan penyaringan kontinu disintesis dalam karya Khargonekar P.P., Nagpal K.M., Balandin D.V., Kogan M.M. dll. Dalam kasus benda kontinu dengan keluaran diskrit, karya Sun W., Nagpal K.M. dan Khargonekar P.P., di mana solusi untuk masalah kendali umum diskrit diperoleh untuk suatu objek pada cakrawala tak terbatas. Pada saat yang sama, hukum kontrol dan filtrasi yang dirumuskan didasarkan pada penyelesaian persamaan diferensial Riccati nonlinier, yang membuat penerapannya menjadi sulit. Dengan demikian, pengembangan lebih lanjut dari teori kendali umum diskrit dari sistem kontinu merupakan tugas yang sangat mendesak dalam teori kendali.
Tujuan dari pekerjaan disertasi. Tujuan utama dari pekerjaan ini adalah untuk mengembangkan teori kontrol umum diskrit dan penyaringan untuk sistem kontinu linier. Sesuai dengan tujuan yang telah ditetapkan, disertasi ini bertujuan untuk memecahkan permasalahan sebagai berikut:
Untuk objek linier non-stasioner pada interval waktu yang terbatas, dapatkan kondisi keberadaan dan persamaan hukum kontrol optimal umum diskrit di kelas umpan balik keadaan non-stasioner linier dan di kelas pengontrol dinamis non-stasioner linier orde penuh di keluaran.
Untuk objek stasioner linier pada selang waktu tak terhingga, peroleh kondisi keberadaan dan persamaan hukum kendali optimal umum diskrit di kelas umpan balik keadaan stasioner linier dan di kelas pengontrol dinamis stasioner linier dengan urutan keluaran penuh.
Untuk objek linier non-stasioner pada selang waktu berhingga, peroleh kondisi keberadaan dan persamaan filter optimal umum non-stasioner diskrit dengan orde penuh dalam bentuk pengamat.
Untuk benda diam linier pada selang waktu berhingga, peroleh kondisi keberadaan dan persamaan filter optimal stasioner diskrit dengan orde penuh dalam bentuk pengamat.
Metode penelitian. Karya ini menggunakan metode kalkulus variasi dan kontrol optimal, teori optimasi cembung dan, khususnya, teori pemrograman semidefinite.
Kebaruan ilmiah dan hasil utama. Tesis ini memperoleh hasil baru berikut mengenai teori kendali umum diskrit dan pemfilteran objek kontinu linier:
Terlihat bahwa norma umum suatu benda linier nonstasioner pada selang waktu berhingga dapat ditemukan sebagai penyelesaian masalah nilai batas nonlinier untuk matriks diferensial atau persamaan persamaan Riccati, serta dalam bentuk pertidaksamaan matriks linier. Dalam kasus benda stasioner stabil linier pada selang waktu tak terhingga, norma umum ditemukan sebagai solusi persamaan aljabar diskrit Riccati atau dalam bentuk pertidaksamaan matriks linier (sesuai dengan paragraf 6 paspor khusus 01.01.09) .
Untuk objek linier yang tidak stasioner pada interval waktu yang terbatas, kondisi perlu dan cukup diperoleh, dan dalam kasus keadaan tidak terukur, hanya kondisi cukup untuk adanya hukum kontrol optimal umum diskrit yang diperoleh. Hukum kontrol ini disintesis dalam kelas umpan balik keadaan non-stasioner linier dan dalam kelas pengontrol keluaran dinamis non-stasioner linier (sesuai dengan paragraf 6 paspor khusus 01.01.09).
Untuk benda diam linier pada selang waktu tak terhingga, diperoleh kondisi perlu dan cukup bagi keberadaan hukum kendali optimal umum diskrit. Hukum kontrol ini disintesis di kelas umpan balik keadaan stasioner linier dan di kelas pengontrol keluaran dinamis stasioner linier (sesuai dengan paragraf 6 paspor khusus 01.01.09).
Untuk objek non-stasioner linier pada interval waktu yang terbatas (tak terbatas), kondisi yang diperlukan dan cukup untuk keberadaan diperoleh dan sintesis filter "H" umum diskrit (stasioner) yang tidak stasioner (stasioner) - filter optimal orde penuh dalam bentuk pengamat dibawa
Sebagai aplikasi, digeneralisasikan secara diskrit Ti^-pengontrol optimal dalam masalah pengendalian benda dalam suspensi elektromagnetik dan filter umum ^-optimal diskrit dalam masalah redaman getaran bangunan dan struktur bertingkat tinggi (sesuai dengan paragraf 6 paspor khusus 01.01.09).
Kepatuhan dengan kode khusus. Karya tersebut sesuai dengan rumus spesialisasi 01.01.09 - Matematika diskrit dan sibernetika matematika dan mencakup bidang penelitian berikut yang termasuk dalam spesialisasi 01.01.09: paragraf 6. Teori matematika kontrol optimal.
Signifikansi teoritis dan praktis. Karya ini bersifat teoretis dan mewakili pengembangan teori kontrol umum diskrit "H^-optimal dari objek kontinu. Hasil yang diperoleh di dalamnya dibawa ke prosedur konstruktif, yang efektivitasnya dikonfirmasi oleh sintesis regulator dalam masalah pengendalian suspensi elektromagnetik dan sintesis filter dalam masalah redaman getaran bangunan dan struktur bertingkat tinggi.
Derajat reliabilitas dan pengujian hasil penelitian. Hasil utama karya disertasi dibahas pada pertemuan seminar ilmiah Nizhny Novgorod “Pemodelan matematika dinamika sistem dan proses kontrol” di Lembaga Penelitian Matematika Terapan dan Sibernetika, dan juga dipresentasikan pada acara internasional berikut dan semua -Konferensi Rusia:
X Konferensi Ilmiah Seluruh Rusia "Osilasi Nonlinier Sistem Mekanik" dinamai demikian. Yu.I. Neilmark (Nizhny Novgorod, 2016);
Konferensi Internasional XIII “Stabilitas dan Osilasi Sistem Kontrol Nonlinier” (Konferensi Pyatnitsky) (Moskow, 2016);
Kongres Seluruh Rusia XI tentang Masalah Mendasar Mekanika Teoritis dan Terapan (Kazan, 2015);
Konferensi Internasional Teori dan Mekanika Kontrol Matematika (Suzdal, 2015);
Sekolah musim panas pemuda tradisional Rusia keenam “Manajemen, informasi dan optimalisasi” (Moskow, 2014);
Konferensi Seluruh Rusia XII tentang Masalah Manajemen (Moskow, 2014);
Sesi ilmuwan muda XIX Nizhny Novgorod: Ilmu alam dan matematika (Nizhny Novgorod, 2014).
Pada tahun 2013-2014 dan 2014-2015 Penelitian ini didukung oleh beasiswa yang dinamai Akademisi G.A. Razuvaev untuk mahasiswa pascasarjana, serta beasiswa dari Pemerintah Federasi Rusia (2014-2015).
Hasil tiga bab pertama disertasi diperoleh pada saat pelaksanaan proyek No. 14-01-31120 mol_a tahun 2014-2015. (manajer) dan proyek No. 12-01-31358 mol_a tahun 2012-2013, No. 14-01-00266 tahun 2014-2016. (pemain), dilakukan dengan dukungan keuangan dari Yayasan Penelitian Dasar Rusia.
Hasil bab keempat diperoleh dengan dukungan keuangan dari Kementerian Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan Federasi Rusia dalam kerangka program target Federal “Penelitian dan pengembangan di bidang prioritas pengembangan kompleks ilmiah dan teknologi Rusia untuk tahun 2014 -2020” (perjanjian 14.578.21.0110 tanggal 27 Oktober 2015, pengidentifikasi unik RFMEFI57815X0110) .
Publikasi. Hasil utama topik disertasi disajikan dalam 10 karya terbitan, termasuk 4 publikasi di jurnal ilmiah terkemuka yang direkomendasikan oleh Komisi Pengesahan Tinggi Kementerian Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan Federasi Rusia -], prosiding dua konferensi internasional dan empat abstrak laporan konferensi regional dan seluruh Rusia [-. Dalam kerja sama] penulis memiliki hasil pemodelan numerik.
Kontribusi pribadi pemohon. Semua penelitian yang disajikan dalam disertasi dilakukan secara pribadi oleh pelamar dalam proses kegiatan ilmiah. Dari publikasi bersama tersebut, hanya materi milik langsung pemohon yang dimasukkan dalam disertasi.
Struktur dan ruang lingkup pekerjaan. Disertasi terdiri dari pendahuluan, empat bab, kesimpulan dan daftar referensi. Karya disajikan dalam 123 halaman dan berisi 11 ilustrasi. Daftar pustaka mencakup 81 judul.
Sintesis kontrol umum
Dalam teori kendali umum, objek yang dikendalikan linier dianggap tunduk pada pengaruh eksternal dan gangguan awal yang dihasilkan oleh kondisi awal yang tidak diketahui. Jika benda diam pada saat awal, yaitu gangguan awal sama dengan nol, maka sebagai ukuran pengaruh pengaruh luar terhadap benda yang ditinjau, besarnya redaman gangguan luar tersebut bertepatan dengan %oo-norma diambil, dan masalah merancang kontrol yang meminimalkan kriteria ini adalah masalah kontrol N-optimal. Sebaliknya, ketika keadaan awal bukan nol dan tidak ada gangguan eksternal, maka ukuran respon sistem dipahami sebagai tingkat redaman gangguan awal yang sama dengan norma 7o. Dalam hal ini, hukum kontrol yang mengoptimalkan proses transien kasus terburuk dikenal sebagai 7o-optimal. Secara umum, kriteria ini saling bertentangan, oleh karena itu tujuan utama dari pengendalian %oc yang digeneralisasi adalah untuk menentukan hukum pengendalian yang akan menjadi kompromi ketika menilai pengaruh gangguan eksternal dan awal.
Sekarang mari kita sajikan fakta-fakta utama terkait Hoo-norm yang digeneralisasikan, sedangkan dalam pemaparannya kita akan mengikuti karya-karyanya. Agar lebih pasti, perhatikan suatu benda tak stasioner diskrit linier yang berbentuk Xk+i = Akkhk + Bkvk, k = 0,...,N-l, zk = Ckxk + Dkvk, dengan x Є Ж1 adalah keadaan, z Є E" -2 adalah keluaran target dan Rnv - gangguan eksternal, N-l t dibatasi oleh 2-norma: vk vk fc=0.
Mari kita asumsikan bahwa dalam kasus umum keadaan awal x0 bukan nol dan tidak diketahui, dan pengaruhnya terhadap dinamika benda ditafsirkan sebagai gangguan awal.
Output terkontrol dari objek untuk keadaan awal tetap x0 dan rangkaian gangguan v0,... , vN_ i akan dicirikan oleh nilai fungsional N-1 j(x0,v0,..., vN_ij = \ \z\\i2 + xNSxN = У zk zk -\- xNSxN, (1.2) fc=0 dimana S = S 0 adalah matriks bobot yang menetapkan prioritas antara kualitas proses sementara dan keadaan akhir objek.
Pertama, kita pertimbangkan secara terpisah dua kasus ekstrim: objek hanya dipengaruhi oleh gangguan awal atau gangguan eksternal saja. Biarkan benda pada saat awal berada dalam keadaan diam, yang sesuai dengan kasus ketika tidak ada gangguan awal. Berikut ini, kami mendefinisikan indikator pengaruh gangguan eksternal terhadap output target (1.1) - tingkat redaman gangguan eksternal - sebagai nilai relatif dari fungsi (1.2) dalam kasus terburuk: J(0,VO, ...,VN_1) 2 = sup 2 0 2
Perhatikan bahwa jika benda (1.1) diam dan dianggap dalam selang waktu tak terhingga, maka dengan menggunakan persamaan Parseval, dapat ditunjukkan bahwa ekspresi (1.3) bertepatan dengan norma 7 dari benda yang ditinjau. Pernyataan berikut mencirikan tingkat redaman gangguan eksternal dalam kaitannya dengan penyelesaian pertidaksamaan matriks linier.
Pernyataan 1.1. Tingkat redaman gangguan eksternal dalam sistem (1.1) pada selang waktu berhingga memenuhi pertidaksamaan 7oo 7 jika dan hanya jika pertidaksamaan matriks linier /AlXk+1Ak - Xk AjXk+lBk Ck\ BTkXk+lAk BjXk+1Bk--f2I Dj Ck Dk - i) 0, (1.4) dapat diselesaikan terhadap matriks Xk = Xk 0, k = 0,..., N - 1, dengan XN = S.
Hal ini mengikuti dari pernyataan bahwa tingkat redaman gangguan eksternal 7oo ditemukan sebagai nilai terkecil yang tepat dari himpunan semua 7 dimana sistem pertidaksamaan matriks linier (1.4) dapat diselesaikan terhadap matriks Xk = Xk 0 dan 7 .
Jika tidak ada gangguan luar, maka pengaruh gangguan awal terhadap kualitas proses transisi pada sistem (1.1) dapat dicirikan dengan besaran 2 J(x0,0,...,0) 70 = sup 2 ( 1.5) x0ф0 \Х0\ yang disebut tingkat redaman gangguan awal. Terlihat bahwa nilai ini dapat ditemukan sebagai solusi dari masalah optimasi dengan batasan yang ditentukan oleh pertidaksamaan matriks linier.
Pernyataan 1.2. Tingkat redaman gangguan awal dalam sistem (1.1) pada selang waktu berhingga memenuhi pertidaksamaan 70 7 jika dan hanya jika pertidaksamaan matriks linier ATkXk+1Ak -Xk + ClCk O, X0 -f2I, (1.6) dapat diselesaikan dengan terhadap matriks Xk = Xk O, k = 0,..., N - 1, dengan XN = S. Untuk menggambarkan pengaruh gabungan gangguan eksternal dan awal terhadap keluaran benda (1.1), kita tentukan levelnya penindasan gangguan sebagai semacam konvolusi dari dua faktor yang dipertimbangkan: 7W = sup
Jx0,v0,. . . ,VN_1 =F , (1.7) dimana R = R 0 adalah matriks bobot yang dirancang untuk menetapkan prioritas antara gangguan eksternal dan komponen keadaan awal. Indikator yang diperkenalkan dengan cara ini disebut 7-norma umum. Sangat mudah untuk melihat bahwa dalam kasus ekstrim ekspresi (1.7) berubah menjadi (1.3) atau (1.5), yaitu, untuk x0 = 0 kita memiliki 7w = 7oo, dan untuk v = 0 kita mendapatkan 7", = 70/ maks( -). Ternyata tingkat redaman gangguan dapat dinyatakan dalam pertidaksamaan matriks linier; untuk itu cukup memerlukan adanya solusi umum pertidaksamaan (1.4) dan (1.6), yang mencirikan tingkat redaman secara terpisah. gangguan luar dan tingkat redaman gangguan awal dengan memperhatikan koefisien pembobotan.
Tingkat redaman gangguan dalam sistem (1.1) pada selang waktu berhingga memenuhi pertidaksamaan 7w 7 jika dan hanya jika pertidaksamaan matriks linier (A.
Gangguan eksternal terburuk dan keadaan awal pada objek diskrit kontinu
Perhatikan bahwa menurut teorema yang dirumuskan, tingkat redaman gangguan 7C menggunakan relasi (2.45) dinyatakan melalui nilai fungsi matriks X(t). Namun berdasarkan persamaan (2.6a), nilai X(t) secara implisit bergantung pada ge. Akibatnya, untuk menentukan tingkat redaman gangguan, timbul masalah nilai batas nonlinier untuk matriks diferensial persamaan Riccati: cari solusi persamaan (2.6a) dengan kondisi batas (2.6b) dan (2.45), serta kondisi (2.6d).
Sekarang mari kita beralih ke pembuktian teorema tersebut.
Bukti Teorema 2.2. Mudah untuk menunjukkan bahwa relasi (2.4) ekuivalen dengan persamaan sup J(xo,v,w) = 0. (2.48) Иі!2 +ІНІ2 2 + 0Д 0=і Menurut rumus (2.39) fungsi J (x0,v,w ) dapat ditulis sebagai berikut: J(x0,v,w) = xUcJC0 + X(t0) - %R)X0 %\\v - v \\l2 + N-l + J2(wk w k) T(AjX(tk) Ak - %l) (wk - w k) + fc=l + wN - w N (AdgbAdg - 7C- (wN - w N di mana v dan w k ditentukan oleh relasi (2.46). Karena validitas pertidaksamaan (2.6b), (2.6 c) dan (2.6e) suku pertama pasti non-positif, dan sisanya bentuk kuadrat pasti negatif, maka nilai maksimum fungsi J(x0, v, w ) hilang pada v = v dan wk = w k, k = 1,.. , N, dan pilihan x0 yang sesuai. Oleh karena itu, gangguan v dan wl adalah gangguan eksternal terburuk terhadap kriteria 7c dan w k ke dalam relasi (2.48), maka: sup J(x0,v,w)= sup xUx(t0) + CjC0--fcR)x0 \\v \\L+\\v \\2+x0R 0=l ll« llL+lh ll2+ ftr0 = l Sekarang perhatikan bahwa dan bergantung pada 0 dan relasi berikut berlaku: v ( t) = ъ1В (t)X(t) b(t,t0)x0, / -г- \ -1 -г w k = - (AjX(tk)Ak - 7c Л AjX(t (tk - 0, t0) x0, di sini Ф(Мо) adalah matriks fundamental dari solusi sistem loop tertutup (2.115). Oleh karena itu, batasannya adalah bentuk kuadrat dari x0: \\v \\l2 + \\w \\l+xUxo = x Qx0 = l, dengan tN Q = R + 1-2 Ft(t,i0)X(t )V (t)W(t)X(t)F(t,i0)(it + «o N + fc=l J2 fT(- 0, t0)X(tk)Ak(AlX(tk)Ak - 7сЛ \іХ (ік)Ф(ік - 0, t0). Jadi, soal (2.48) direduksi menjadi berikut: sup x0 ПІКО =1 Xo(x(t0) + C0TC0 - 7ci?W
Untuk menyelesaikan soal terakhir, kita menggunakan aturan pengali Lagrange: titik maksimum x0 harus memenuhi sistem persamaan: persamaan pertama sebagai (X(t0) + CQ С0 + /іП)х0 = lcRxo, dari situ kita mencari xo = «emax (R 1 \x(t0) + CjC0 + q ы V 7с = Atax (i?-1 [x( 0) + С0ТСО + /х fil V nilai a didapat dari persamaan kedua (2.49) . Mari kita substitusikan nilai-nilai yang ditemukan ke dalam bentuk kuadrat dan sederhanakan: Xo(x(t0) + Co Co - 1CR)XQ = -iixoflx о = Iі Perhatikan bahwa dengan syarat, supremum eksak sama dengan nol, oleh karena itu /. i = 0. Dengan mensubstitusikan nilai yang ditemukan dari /i ke dalam ekspresi x0, kita mendapatkan relasi (2.45) dan (2.46c).
Mari kita rumuskan dan buktikan beberapa akibat wajar yang menjawab pertanyaan tentang gangguan terburuk dalam kaitannya dengan tingkat redaman gangguan awal C, gangguan eksternal kontinu c, gangguan eksternal diskrit Г dan tingkat redaman gangguan eksternal campuran c w .
Akibat wajar 2.5. Pada objek (2.1), (2.2) dan (2.3), tingkat redaman gangguan awal dengan = max (J0 + (0)) (2.50) dicapai pada keadaan awal terburuk = max (J0 + (0)] , (2.51) di mana ( ) adalah solusi sistem (2.41), ditemukan dengan Bukti. Karena benda tidak dipengaruhi oleh gangguan eksternal kontinu atau diskrit, relasi (2.51) diperoleh dari relasi (2.46), jika kita masukkan = , () = 0 pada yang terakhir. k = 0, = 1,... , . max (J0 + (0)) (2.52) dicapai pada gangguan eksternal terburuk () = ") 1T()()(), (2.53) dimana () adalah solusi sistem (2.42), ditemukan di c.
Bukti. Relasi (2.53) diperoleh dari relasi (2.46), jika kita masukkan k = 0, = 1,... pada relasi (2.46), yang ekuivalen dengan fakta bahwa benda tersebut tidak terpengaruh oleh gangguan eksternal diskrit, dan karena tidak adanya gangguan awal, maka perlu membuang kondisi (2.46 c) dan menempatkan = pada relasi (2.45).
Akibat wajar 2.7. Pada objek (2.1), (2.2) dan (2.3), tingkat redaman gangguan eksternal diskrit с = max (j 0 + (0)) (2.54) dicapai pada gangguan eksternal terburuk / -г- \ -1 -г k = - ( j(k)k - с") j(k)(k - 0), (2.55) dimana () merupakan penyelesaian persamaan (2.43) dengan kondisi (2.6b) dan (2.6d) , ditemukan untuk с" . Bukti. Karena benda tidak terpengaruh oleh gangguan luar yang terus-menerus, relasi (2.55) diperoleh dari relasi (2.46), jika kita meletakkan B(i) = O pada relasi terakhir, dan karena tidak adanya gangguan awal, maka diperlukan membuang kondisi (2.46c) dan memasukkan R = I pada relasi (2.45). Akibat wajar 2.8. Pada objek (2.1), (2.2) dan (2.3), tingkat redaman gangguan eksternal campuran lT = Amax (cJC0 + X(t0)) (2.56) dicapai pada gangguan eksternal terburuk (t-\-1 - r AjX(tk)Ak - fc wl\ AjX(tk)x(tk-0), (2.57a) v (t) = (w) 1BT(t)X(t)x(t), (2.57b) dimana X(i) - solusi sistem (2.6a), (2.6b) dan (2.6d), ditemukan untuk % w. Bukti. Karena benda tidak terpengaruh oleh gangguan awal, maka kondisi membuang (2.46c) dalam relasi (2.46) dan setting R = I pada rumus (2.45), kita memperoleh relasi (2.57).
Mari kita perhatikan sekali lagi bahwa Teorema 2.2 dan akibat wajarnya memungkinkan kita mereduksi perhitungan tingkat redaman gangguan yang sesuai menjadi solusi masalah nilai batas nonlinier. Yang terakhir ini dapat diselesaikan dengan berbagai metode numerik, misalnya dengan metode iterasi sederhana. Mari kita uraikan secara singkat penerapan metode ini dengan menggunakan contoh penghitungan tingkat penekanan gangguan 7c. Mari kita pilih nilai awal 7 yang cukup besar dan selesaikan soal (2.6b), (2.6a) dan (2.6d). Selanjutnya, dengan menggunakan rumus (2.45), kita menghitung perkiraan berikutnya ke 7c. Kami akan mengulangi prosedur ini sampai perbedaan antara dua nilai yang ditemukan berdekatan menjadi kurang dari bilangan positif kecil yang telah ditentukan. Salah satu kelemahan signifikan dari pendekatan tersebut, selain kemungkinan kurangnya konvergensi rangkaian perkiraan yang dihasilkan, adalah kebutuhan untuk menyelesaikan persamaan diferensial matriks pada setiap langkah. Anda dapat menghilangkan masalah ini jika beralih dari model diskrit kontinu ke model diskrit. Bagian selanjutnya dikhususkan untuk implementasi ide ini.
Sintesis kontrol keluaran yang optimal
Mari kita kelompokkan suku pertama dan suku kedua pada (2.105) dan sederhanakan persamaan P2, yang kemudian kita terapkan kembali rumus Sherman-Morrison-Woodbury, kemudian: "Г 1 Г / 1 -г \-1 1 1 -г CTkGk+ lWklx \l + Ek +lXk+l(I - Ek+1\k-IgEtk+1Xk+1) Ek+1]kTs GTk+lCk = -g / -g \-1 -g = CTkGk+l(Wk+ l - ETk+lXk +lEk+l) GTk+lCk dan P2 = ATkXk+l l - Ek+l, matriks S dibentuk misalnya sesuai rumus
Teorema 3.4 juga memungkinkan kita untuk mensintesis kontrol output optimal ft yang digeneralisasikan dalam interval waktu tak terbatas. Untuk melakukan ini, cukup mencari solusi untuk masalah minimalisasi 7с() di bawah batasan yang ditentukan oleh pertidaksamaan (3.51), setelah itu pengontrol optimal ditemukan sebagai solusi untuk (3.52).
Terakhir, untuk menyimpulkan bagian ini, kami menyajikan tanpa bukti akibat wajar dari Teorema 3.4, yang menetapkan kondisi perlu dan cukup bagi keberadaan kontrol keluaran 70 dan Pse untuk objek diam pada cakrawala tak terbatas.
Akibat wajar 3.13. Untuk pembangkit stasioner (3.21), (3.22) untuk 7 0 tertentu, terdapat kendali keluaran diskrit pada selang waktu tak terhingga jika dan hanya jika pertidaksamaan matriks linier Ah,XAh 0, C1 AhYAl Y C1YAl (Wc2 0 0 II MT X I C1YCj WC 0 0 I M 0, (3.53a) (3.53b) x l Y 0, X yl, (3.53c) dapat diselesaikan terhadap X = X 0, Y = Y 0, sedangkan kolom-kolom matriks Wr KJ 2 dan M masing-masing membentuk basis inti matriks.
Akibat wajar 3.14. Untuk benda diam (3.21), (3.22) selama interval waktu tak terhingga, terdapat kontrol keluaran I diskrit yang memberikan redaman gangguan eksternal kontinu dengan nilai 7 0 yang diberikan, jika dan hanya jika pertidaksamaan matriks linier dan pertidaksamaan pertama (3.51c) dapat diselesaikan terhadap X = X O, Y = Y O, dan kolom-kolom matriks Wr dan M masing-masing membentuk basis spasi ket Co dan ket [B.. D-,).
Akibat wajar 3.15. Untuk benda diam (3.21), (3.22) selama interval waktu tak terhingga, terdapat kontrol keluaran I diskrit yang memberikan redaman gangguan eksternal diskrit dengan nilai 7 O yang diberikan, jika dan hanya jika terdapat matriks X = X O, Y = Y O, memenuhi pertidaksamaan matriks linier dan pertidaksamaan pertama (3.51c), sedangkan kolom-kolom matriks N dan M masing-masing membentuk basis spasi ker (C2 D2j dan ker [Bi Dx). Akibat wajar 3.16. Untuk benda diam (3.21), (3.22) selama interval waktu tak terhingga, terdapat kontrol keluaran I diskrit yang memberikan redaman gangguan eksternal campuran dengan nilai tertentu 7 0, jika dan hanya jika pertidaksamaan matriks linier (3.51a) , (3.51b) dan pertidaksamaan pertama (3.51c) dapat diselesaikan terhadap matriks XT = X 0 dan Y = Y O, sedangkan kolom-kolom matriks N dan M membentuk alas spasi ker C2 0 D2 0 dan ker BI Dj 0 O masing-masing.
Dari pernyataan pada Teorema 2.8 dapat disimpulkan bahwa terdapat matriks berhingga R sedemikian rupa sehingga untuk setiap koefisien bobot R R pengontrol keluaran I -optimal yang digeneralisasi pada interval waktu tak terhingga bertepatan dengan // -pengontrol keluaran optimal yang disintesis oleh Akibat wajar 3.16 dan memastikan penekanan gangguan eksternal campuran. Oleh karena itu, untuk mendapatkan kompromi yang nyata dengan memperhitungkan pengaruh gangguan awal dan eksternal, matriks bobot R harus memenuhi kondisi Amax(A_1A) I. Secara numerik, nilai batas R matriks bobot ditentukan sebagai berikut: brx y1, dimana X menyatakan matriks yang memenuhi pertidaksamaan (3.51a), (3.51b) dan pertidaksamaan pertama (3.51c) dengan nilai minimum 7c .
Mari kita pertimbangkan yang ditunjukkan pada Gambar. 3.3 sistem mekanik yang terdiri dari benda tersuspensi bermassa m dan elektromagnet. Levitasi benda disebabkan oleh perubahan medan magnet, yang terjadi karena perubahan tegangan U yang disuplai ke belitan elektromagnet. Dinamika suspensi magnetik sederhana mengikuti dua persamaan: mti) = F - mA, (3.56) V + RI=U. Persamaan pertama (3.56) menyatakan hukum kedua Newton dan menentukan perubahan koordinat s benda tersuspensi di bawah pengaruh gravitasi td dan gaya F dari elektromagnet, dan persamaan kedua menentukan perubahan kuat arus / pada rangkaian elektromagnet oleh resistansi R ketika tegangan U yang disuplai padanya berubah dan mewakili hukum Kirchhoff untuk rangkaian listrik elektromagnet. F menyatakan hubungan fluks belitan elektromagnet, F = pF, dengan F adalah fluks magnet yang melalui satu lilitan, dan n adalah jumlah lilitan pada belitan.
Hubungan fluks Ф dan kuat arus / pada rangkaian elektromagnet dihubungkan dengan hubungan: = L(s)/, L(s) = , CL = /i0n2A/2, (3.57) dimana L(s) adalah induktansi dari elektromagnet, CL adalah parameter desain dan 6 adalah ukuran celah nominal antara elektromagnet dan benda tersuspensi. Jika kita menyatakan induktansi nominal sebagai L0 = L(0), maka C = L05, dan kemudian
