Volume rumus piramida terpotong. Untuk piramida biasa, rumusnya benar. Rumus volume limas

adalah polihedron yang dibentuk oleh alas limas dan bagian yang sejajar dengannya. Dapat dikatakan bahwa piramida terpotong adalah piramida yang bagian atasnya terpotong. Angka ini memiliki banyak sifat unik:

  • Sisi samping piramida berbentuk trapesium;
  • Tepi lateral piramida terpotong beraturan memiliki panjang yang sama dan miring ke alas dengan sudut yang sama;
  • Basisnya adalah poligon serupa;
  • Pada limas terpotong beraturan, muka-mukanya adalah trapesium sama kaki yang identik, yang luasnya sama. Mereka juga cenderung ke pangkalan pada satu sudut.

Rumus luas permukaan lateral limas terpotong adalah jumlah luas sisi-sisinya:

Karena sisi-sisi piramida terpotong adalah trapesium, untuk menghitung parameternya Anda harus menggunakan rumus daerah trapesium. Untuk piramida terpotong biasa, Anda dapat menerapkan rumus berbeda untuk menghitung luasnya. Karena semua sisi, muka, dan sudut alasnya sama besar, maka keliling alas dan apotema dapat diterapkan, dan juga dapat diperoleh luas melalui sudut alas.

Jika, menurut kondisi piramida terpotong beraturan, diberikan apotema (tinggi sisi) dan panjang sisi alasnya, maka luasnya dapat dihitung melalui setengah hasil kali jumlah keliling piramida. dasar dan apotema:

Mari kita lihat contoh penghitungan luas permukaan lateral limas terpotong.
Diberikan piramida segi lima beraturan. Apotema aku= 5 cm, panjang rusuk pada alas besar adalah A= 6 cm, dan rusuknya berada pada alas yang lebih kecil B= 4 cm Hitung luas limas yang terpotong.

Pertama, kita cari keliling alasnya. Karena kita diberi piramida segi lima, kita memahami bahwa alasnya adalah segi lima. Artinya alasnya memuat bangun datar yang mempunyai lima sisi yang identik. Mari kita cari keliling alas yang lebih besar:

Dengan cara yang sama kita mencari keliling alas yang lebih kecil:

Sekarang kita bisa menghitung luas limas terpotong beraturan. Substitusikan data tersebut ke dalam rumus:

Jadi, kami menghitung luas piramida terpotong beraturan melalui keliling dan apotema.

Cara lain untuk menghitung luas permukaan lateral limas beraturan adalah dengan rumus melalui sudut-sudut alas dan luas alas-alas tersebut.

Mari kita lihat contoh perhitungannya. Kita ingat bahwa rumus ini hanya berlaku untuk piramida terpotong beraturan.

Misalkan diberikan piramida segi empat beraturan. Panjang rusuk alas bawah a = 6 cm dan rusuk alas atas b = 4 cm Sudut dihedral alas adalah β = 60°. Temukan luas permukaan lateral piramida terpotong beraturan.

Pertama, mari kita hitung luas alasnya. Karena piramida itu beraturan, semua rusuk alasnya sama besar. Mengingat alasnya berbentuk segi empat, kami memahami bahwa perlu dilakukan perhitungan luas alun-alun. Ini adalah hasil kali lebar dan panjang, tetapi jika dikuadratkan, nilainya sama. Mari kita cari luas alas yang lebih besar:


Sekarang kita menggunakan nilai yang ditemukan untuk menghitung luas permukaan lateral.

Mengetahui beberapa rumus sederhana, kita dengan mudah menghitung luas trapesium lateral limas terpotong menggunakan berbagai nilai.

Polihedron yang salah satu sisinya berbentuk poligon, dan semua sisi lainnya berbentuk segitiga dengan titik sudut yang sama, disebut piramida.

Segitiga-segitiga yang menyusun piramida ini disebut wajah samping, dan poligon sisanya adalah dasar piramida.

Di dasar piramida terletak sosok geometris - sebuah n-gon. Dalam hal ini disebut juga piramida n-karbon.

Piramida berbentuk segitiga yang semua rusuknya sama panjang disebut segi empat.

Sisi-sisi piramida yang tidak termasuk alasnya disebut samping, dan kesamaannya adalah puncak piramida. Tepi lain dari piramida biasanya disebut pihak yang menjadi dasar.

Piramida disebut benar, jika alasnya mempunyai poligon beraturan dan semua rusuk lateralnya sama besar.

Jarak puncak limas ke bidang alas disebut tinggi piramida. Dapat dikatakan bahwa tinggi limas adalah ruas yang tegak lurus alasnya, yang ujung-ujungnya berada di puncak limas dan pada bidang alasnya.

Untuk piramida apa pun, rumus berikut berlaku:

1) S penuh = S samping + S utama, Di mana

S total – luas total permukaan piramida;

Sisi S – luas permukaan lateral, mis. jumlah luas semua sisi sisi piramida;

S utama – luas alas limas.

2) V = 1/3 S basis N, Di mana

V – volume piramida;

H – tinggi piramida.

Untuk piramida biasa terjadi:

S sisi = 1/2 P utama h, Di mana

P main – keliling dasar limas;

h adalah panjang apotema, yaitu panjang tinggi sisi yang diturunkan dari puncak limas.

Bagian piramida yang tertutup di antara dua bidang - bidang alas dan bidang potong yang sejajar alas disebut piramida terpotong.

Alas limas dan bagian limas pada bidang sejajar disebut alasan piramida terpotong. Wajah yang tersisa dipanggil samping. Jarak antar bidang alas disebut tinggi piramida terpotong. Sisi yang tidak termasuk alas disebut samping.

Selain itu, dasar piramida terpotong n-gon serupa. Jika alas piramida terpotong adalah poligon beraturan, dan semua rusuk lateralnya sama besar, maka piramida terpotong tersebut disebut benar.

Untuk piramida terpotong sewenang-wenang rumus berikut berlaku:

1) S penuh = S sisi + S 1 + S 2, Di mana

S total – total luas permukaan;

Sisi S – luas permukaan lateral, mis. jumlah luas semua sisi sisi piramida terpotong, yaitu trapesium;

S 1, S 2 – daerah pangkalan;

2) V = 1/3(S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2))H, Di mana

V – volume piramida terpotong;

H – tinggi piramida terpotong.

Untuk piramida terpotong beraturan kami juga punya:

S sisi = 1/2(P 1 + P 2) h, Di mana

P 1, P 2 – keliling alasnya;

h – apotema (tinggi sisi muka yang berbentuk trapesium).

Mari kita pertimbangkan beberapa masalah yang melibatkan piramida terpotong.

Tugas 1.

Pada limas terpotong berbentuk segitiga yang tingginya 10, sisi salah satu alasnya adalah 27, 29, dan 52. Tentukan volume limas terpotong jika keliling alas lainnya adalah 72.

Larutan.

Perhatikan piramida terpotong ABCA 1 B 1 C 1 seperti pada gambar Gambar 1.

1. Volume limas terpotong dapat dicari dengan menggunakan rumus

V = 1/3H · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)), dimana S 1 adalah luas salah satu alasnya, dapat dicari dengan menggunakan rumus Heron

S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)),

Karena Soal memberikan panjang ketiga sisi segitiga.

Kita mempunyai: p 1 = (27 + 29 + 52)/2 = 54.

S 1 = √(54(54 – 27)(54 – 29)(54 – 52)) = √(54 27 25 2) = 270.

2. Piramida terpotong, artinya poligon serupa terletak di alasnya. Dalam kasus kita, segitiga ABC sebangun dengan segitiga A 1 B 1 C 1. Selain itu, koefisien kemiripan dapat ditemukan sebagai rasio keliling segitiga yang ditinjau, dan rasio luasnya akan sama dengan kuadrat koefisien kemiripan. Jadi kita punya:

S 1 /S 2 = (P 1) 2 /(P 2) 2 = 108 2 /72 2 = 9/4. Jadi S 2 = 4S 1 /9 = 4 270/9 = 120.

Jadi, V = 1/3 10(270 + 120 + √(270 120)) = 1900.

Jawaban: 1900.

Tugas 2.

Pada limas terpotong berbentuk segitiga, sebuah bidang ditarik melalui sisi alas atas yang sejajar dengan tepi sisi yang berlawanan. Berapa perbandingan volume sebuah limas terpotong jika perbandingan sisi-sisi alasnya yang bersesuaian adalah 1:2?

Larutan.

Pertimbangkan ABCA 1 B 1 C 1 - piramida terpotong seperti yang ditunjukkan pada beras. 2.

Karena perbandingan sisi-sisi alasnya adalah 1:2, maka luas alasnya mempunyai perbandingan 1:4 (segitiga ABC sebangun dengan segitiga A 1 B 1 C 1).

Maka volume piramida terpotong tersebut adalah:

V = 1/3h · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)) = 1/3h · (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 · h · S 2, dimana S 2 – luas alas atas, h – tinggi.

Tetapi volume prisma ADEA 1 B 1 C 1 adalah V 1 = S 2 jam dan oleh karena itu,

V 2 = V – V 1 = 7/3 · jam · S 2 - jam · S 2 = 4/3 · jam · S 2.

Jadi, V2:V1 = 3:4.

Jawaban: 3:4.

Tugas 3.

Sisi-sisi alas limas terpotong segi empat beraturan sama dengan 2 dan 1, dan tingginya 3. Sebuah bidang ditarik melalui titik potong diagonal-diagonal limas, sejajar dengan alas limas, yang membagi limas menjadi dua bagian. Temukan volume masing-masingnya.

Larutan.

Perhatikan piramida terpotong ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 seperti pada gambar beras. 3.

Mari kita nyatakan O 1 O 2 = x, maka OO₂ = O 1 O – O 1 O 2 = 3 – x.

Perhatikan segitiga B 1 O 2 D 1 dan segitiga BO 2 D:

sudut B 1 O 2 D 1 sama dengan sudut BO 2 D vertikal;

sudut BDO 2 sama dengan sudut D 1 B 1 O 2 dan sudut O 2 ВD sama dengan sudut B 1 D 1 O 2 yang terletak melintang di B 1 D 1 || BD dan garis potong B₁D dan BD₁, masing-masing.

Jadi segitiga B 1 O 2 D 1 sebangun dengan segitiga BO 2 D dan perbandingan sisi-sisinya adalah:

В1D 1 /ВD = О 1 О 2 /ОО 2 atau 1/2 = x/(x – 3), maka x = 1.

Perhatikan segitiga B 1 D 1 B dan segitiga LO 2 B: sudut B bersekutu, dan terdapat juga sepasang sudut bersisi satu di B 1 D 1 || LM, artinya segitiga B 1 D 1 B sebangun dengan segitiga LO 2 B, dimana B 1 D: LO 2 = OO 1: OO 2 = 3: 2, yaitu.

LO 2 = 2/3 · B 1 D 1 , LN = 4/3 · B 1 D 1 .

Maka S KLMN = 16/9 · S A 1 B 1 C 1 D 1 = 16/9.

Jadi, V 1 = 1/3 · 2(4 + 16/9 + 8/3) = 152/27.

V 2 = 1/3 · 1 · (16/9 + 1 + 4/3) = 37/27.

Jawaban: 152/27; 37/27.

blog.site, apabila menyalin materi seluruhnya atau sebagian, diperlukan link ke sumber aslinya.

Piramida. Piramida terpotong

Piramida adalah polihedron yang salah satu wajahnya berbentuk poligon ( basis ), dan semua sisi lainnya adalah segitiga dengan titik sudut yang sama ( wajah samping ) (Gbr. 15). Piramida disebut benar , jika alasnya berbentuk poligon beraturan dan bagian atas limas diproyeksikan ke tengah alasnya (Gbr. 16). Piramida berbentuk segitiga yang semua rusuknya sama panjang disebut segi empat .



Tulang rusuk samping piramida adalah sisi sisi muka yang tidak termasuk alasnya Tinggi piramida adalah jarak dari puncaknya ke bidang alasnya. Semua sisi lateral limas beraturan adalah sama besar, semua sisi sisinya adalah segitiga sama kaki yang sama besar. Tinggi sisi sisi limas beraturan yang ditarik dari puncaknya disebut apotema . Bagian diagonal disebut bagian piramida oleh sebuah bidang yang melalui dua sisi lateral yang tidak mempunyai sisi yang sama.

Luas permukaan lateral piramida adalah jumlah luas semua sisi sisinya. Luas permukaan total disebut jumlah luas semua sisi sisi dan alasnya.

Teorema

1. Jika dalam sebuah limas semua sisi lateralnya mempunyai kemiringan yang sama terhadap bidang alasnya, maka puncak limas tersebut diproyeksikan ke pusat lingkaran yang dibatasi di dekat alasnya.

2. Jika dalam sebuah limas semua rusuk lateralnya mempunyai panjang yang sama, maka puncak limas tersebut diproyeksikan ke pusat lingkaran yang dibatasi dekat alasnya.

3. Jika semua muka dalam sebuah limas memiliki kemiringan yang sama terhadap bidang alasnya, maka puncak limas tersebut diproyeksikan ke pusat lingkaran yang terdapat pada alasnya.

Untuk menghitung volume limas sembarang, rumus yang benar adalah:

Di mana V- volume;

basis S– daerah pangkalan;

H– tinggi piramida.

Untuk piramida beraturan, rumus berikut ini benar:

Di mana P– keliling dasar;

ha– apotema;

H- tinggi;

S penuh

sisi S

basis S– daerah pangkalan;

V– volume piramida biasa.

Piramida terpotong disebut bagian piramida yang terletak di antara alas dan bidang potong yang sejajar dengan alas limas (Gbr. 17). Piramida terpotong biasa disebut bagian dari limas beraturan yang terletak di antara alas dan bidang potong yang sejajar dengan alas limas.

Alasan piramida terpotong - poligon serupa. Wajah samping – trapesium. Tinggi piramida terpotong adalah jarak antara alasnya. Diagonal piramida terpotong adalah ruas yang menghubungkan simpul-simpulnya yang tidak terletak pada satu sisi. Bagian diagonal adalah bagian dari piramida yang terpotong oleh sebuah bidang yang melalui dua rusuk lateral yang tidak mempunyai sisi yang sama.


Untuk piramida terpotong rumus berikut ini valid:

(4)

Di mana S 1 , S 2 – area pangkalan atas dan bawah;

S penuh– total luas permukaan;

sisi S– luas permukaan lateral;

H- tinggi;

V– volume piramida terpotong.

Untuk piramida terpotong beraturan, rumusnya benar:

Di mana P 1 , P 2 – keliling alasnya;

ha– apotema dari piramida terpotong beraturan.

Contoh 1. Pada limas segitiga beraturan, sudut dihedral pada alasnya adalah 60º. Temukan garis singgung sudut kemiringan tepi samping terhadap bidang alasnya.

Larutan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 18).


Piramida beraturan, artinya pada alasnya terdapat segitiga sama sisi dan semua sisi sisinya merupakan segitiga sama kaki yang sama besar. Sudut dihedral pada alasnya adalah sudut kemiringan sisi sisi limas terhadap bidang alasnya. Sudut linier adalah sudut A antara dua garis tegak lurus: dll. Bagian atas piramida diproyeksikan di tengah-tengah segitiga (pusat lingkaran luar dan lingkaran tertulis segitiga ABC). Sudut kemiringan tepi samping (misalnya S.B.) adalah sudut antara tepi itu sendiri dan proyeksinya pada bidang alasnya. Untuk tulang rusuk S.B. sudut ini akan menjadi sudut SBD. Untuk mencari garis singgung, Anda perlu mengetahui kaki-kakinya JADI Dan O.B.. Biarkan panjang segmennya BD sama dengan 3 A. Dot TENTANG segmen garis BD dibagi menjadi beberapa bagian: dan Dari kita temukan JADI: Dari kami menemukan:

Menjawab:

Contoh 2. Hitunglah volume limas segi empat beraturan terpotong jika diagonal-diagonal alasnya sama dengan cm dan cm, dan tingginya 4 cm.

Larutan. Untuk mencari volume piramida terpotong, kita menggunakan rumus (4). Untuk mencari luas alasnya, Anda perlu mencari sisi-sisi persegi alasnya, dengan mengetahui diagonalnya. Panjang sisi alasnya masing-masing sama dengan 2 cm dan 8 cm. Artinya luas alasnya dan dengan memasukkan semua data ke dalam rumus, kita menghitung volume limas yang terpotong:

Menjawab: 112cm3.

Contoh 3. Hitunglah luas sisi sisi piramida terpotong berbentuk segitiga beraturan yang panjang sisi alasnya 10 cm dan 4 cm, dan tinggi limasnya 2 cm.

Larutan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 19).


Sisi samping piramida ini berbentuk trapesium sama kaki. Untuk menghitung luas trapesium, Anda perlu mengetahui alas dan tingginya. Alasnya diberikan sesuai syarat, hanya saja tingginya masih belum diketahui. Kami akan menemukannya dari mana A 1 E tegak lurus dari suatu titik A 1 pada bidang alas bawah, A 1 D– tegak lurus dari A 1 per AC. A 1 E= 2 cm, karena ini adalah tinggi limas. Mencari DE Mari kita buat gambar tambahan yang memperlihatkan tampilan atas (Gbr. 20). Dot TENTANG– proyeksi pusat alas atas dan bawah. sejak (lihat Gambar 20) dan Di sisi lain OKE– jari-jari tertulis dalam lingkaran dan OM– jari-jari tertulis dalam lingkaran:

MK = DE.

Menurut teorema Pythagoras dari

Area wajah samping:


Menjawab:

Contoh 4. Di dasar piramida terdapat trapesium sama kaki, yang alasnya A Dan B (A> B). Setiap sisi sisinya membentuk sudut yang sama dengan bidang alas limas J. Temukan total luas permukaan piramida.

Larutan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 21). Total luas permukaan piramida SABCD sama dengan jumlah luas dan luas trapesium ABCD.

Mari kita gunakan pernyataan bahwa jika semua permukaan limas memiliki kemiringan yang sama terhadap bidang alasnya, maka titik sudutnya diproyeksikan ke pusat lingkaran yang terdapat di alasnya. Dot TENTANG– proyeksi titik S di dasar piramida. Segi tiga MERUMPUT adalah proyeksi ortogonal segitiga CSD ke bidang pangkalan. Dengan menggunakan teorema luas proyeksi ortogonal bangun datar, kita memperoleh:


Demikian juga artinya Jadi, masalahnya direduksi menjadi mencari luas trapesium ABCD. Mari menggambar trapesium ABCD secara terpisah (Gbr. 22). Dot TENTANG– pusat lingkaran pada trapesium.


Karena sebuah lingkaran dapat ditulisi dalam trapesium, maka atau Dari teorema Pythagoras kita punya

  • 09.10.2014

    Preamplifier yang ditunjukkan pada gambar dirancang untuk digunakan dengan 4 jenis sumber suara, misalnya mikrofon, pemutar CD, radio, dll. Dalam hal ini, preamplifier memiliki satu input, yang dapat mengubah sensitivitas dari 50 mV menjadi 500 mV. tegangan keluaran penguat 1000mV. Dengan menghubungkan sumber sinyal yang berbeda saat mengganti saklar SA1, kita akan selalu mendapatkan...

  • 20.09.2014

    Catu daya dirancang untuk beban 15…20 W. Sumbernya dibuat sesuai dengan rangkaian konverter frekuensi tinggi pulsa satu siklus. Transistor digunakan untuk merakit osilator mandiri yang beroperasi pada frekuensi 20…40 kHz. Frekuensi disesuaikan dengan kapasitansi C5. Elemen VD5, VD6 dan C6 membentuk rangkaian awal osilator. Di sirkuit sekunder setelah penyearah jembatan terdapat stabilizer linier konvensional pada sirkuit mikro, yang memungkinkan Anda memiliki ...

  • 28.09.2014

    Gambar tersebut menunjukkan generator berdasarkan sirkuit mikro K174XA11, yang frekuensinya dikontrol oleh tegangan. Dengan mengubah kapasitansi C1 dari 560 menjadi 4700 pF, rentang frekuensi yang luas dapat diperoleh, sedangkan frekuensi disesuaikan dengan mengubah resistansi R4. Jadi, misalnya penulis menemukan bahwa, dengan C1 = 560pF, frekuensi generator dapat diubah menggunakan R4 dari 600Hz menjadi 200kHz, ...

  • 03.10.2014

    Unit ini dirancang untuk memberi daya pada ULF yang kuat, dirancang untuk tegangan keluaran ±27V dan beban hingga 3A di setiap lengan. Catu dayanya dua kutub, dibuat dari transistor komposit lengkap KT825-KT827. Kedua lengan stabilizer dibuat menurut rangkaian yang sama, tetapi di lengan lainnya (tidak diperlihatkan) polaritas kapasitor diubah dan transistor dari jenis yang berbeda digunakan...