Halo, orang habra!
Hari ini saya ingin membahas topik seperti “tantangan milenium”, yang telah mengkhawatirkan para pemikir terbaik di planet kita selama beberapa dekade, dan bahkan ratusan tahun.
Setelah pembuktian dugaan Poincaré (sekarang teorema) oleh Grigory Perelman, pertanyaan utama yang menarik perhatian banyak orang adalah: “ Apa sebenarnya yang dia buktikan, mohon dijelaskan?“Saya akan menggunakan kesempatan ini untuk mencoba menjelaskan sisa tugas-tugas milenium dalam istilah awam, atau setidaknya melakukan pendekatan dari sudut pandang lain yang lebih mendekati kenyataan.
Kesetaraan kelas P dan NP
Kita semua ingat persamaan kuadrat dari sekolah, yang diselesaikan melalui diskriminan. Solusi untuk masalah ini berkaitan dengan kelas P (P waktu olinomial)- untuk itu ada algoritma solusi yang cepat (selanjutnya kata “cepat” berarti mengeksekusi dalam waktu polinomial), yang dipelajari dengan hati.ada juga hal-tugas ( N bersifat deterministik P waktu olinomial), solusi yang ditemukan dapat dengan cepat diperiksa menggunakan algoritma tertentu. Misalnya, pemeriksaan brute force komputer. Jika kita kembali menyelesaikan persamaan kuadrat, kita akan melihat bahwa dalam contoh ini algoritma solusi yang ada diperiksa semudah dan secepat penyelesaiannya. Hal ini menunjukkan kesimpulan logis bahwa tugas ini dimiliki oleh satu kelas dan kelas kedua.
Permasalahan seperti itu banyak sekali, namun yang menjadi pertanyaan utamanya adalah apakah semua permasalahan yang dapat diperiksa dengan mudah dan cepat juga dapat diselesaikan dengan mudah dan cepat? Saat ini, untuk beberapa masalah, tidak ada algoritma solusi cepat yang ditemukan, dan tidak diketahui apakah solusi tersebut ada.
Di Internet saya juga menemukan rumusan yang menarik dan transparan ini:
Katakanlah Anda, yang berada di sebuah perusahaan besar, ingin memastikan bahwa teman Anda juga ada di sana. Jika mereka memberi tahu Anda bahwa dia sedang duduk di sudut, maka sepersekian detik saja sudah cukup bagi Anda untuk melihat sekilas dan yakin akan kebenaran informasi tersebut. Tanpa informasi ini, Anda akan terpaksa berjalan mengelilingi seluruh ruangan sambil memandangi para tamu.
Dalam hal ini, pertanyaannya masih sama: apakah ada algoritme tindakan yang memungkinkan, bahkan tanpa informasi tentang keberadaan seseorang, untuk menemukannya secepat seolah-olah dia tahu di mana dia berada?
Masalah ini sangat penting bagi berbagai bidang ilmu pengetahuan, namun belum terpecahkan selama lebih dari 40 tahun.
Dugaan Hodge
Pada kenyataannya, ada banyak objek geometris yang sederhana dan jauh lebih kompleks. Jelasnya, semakin kompleks suatu objek, semakin padat karya studinya. Sekarang para ilmuwan telah menemukan dan menerapkan suatu pendekatan secara luas, yang ide utamanya adalah menggunakan pendekatan sederhana "batu bata" dengan sifat-sifat yang sudah diketahui yang saling menempel dan membentuk kemiripannya, ya, sebuah set konstruksi yang akrab bagi semua orang sejak kecil. Mengetahui sifat-sifat “blok penyusun”, menjadi mungkin untuk mendekati sifat-sifat objek itu sendiri.Hipotesis Hodge dalam hal ini dikaitkan dengan beberapa sifat baik “batu bata” maupun benda.
Hipotesis Riemann
Sejak sekolah kita semua mengenal bilangan prima yang hanya habis dibagi satu dan satu. (2,3,5,7,11...) . Sejak zaman kuno, orang telah mencoba menemukan pola penempatannya, tetapi sejauh ini keberuntungan belum tersenyum pada siapa pun. Hasilnya, para ilmuwan menerapkan upaya mereka pada fungsi distribusi bilangan prima, yang menunjukkan banyaknya bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan bilangan tertentu. Misal 4 ada 2 bilangan prima, 10 sudah ada 4 bilangan. Hipotesis Riemann hanya menetapkan properti dari fungsi distribusi tertentu.Banyak pernyataan tentang kompleksitas komputasi beberapa algoritma bilangan bulat telah dibuktikan dengan asumsi bahwa hipotesis ini benar.
Teori Yang-Mills
Persamaan fisika kuantum menggambarkan dunia partikel elementer. Fisikawan Young dan Mills, setelah menemukan hubungan antara geometri dan fisika partikel, menulis persamaan mereka dengan menggabungkan teori interaksi elektromagnetik, interaksi lemah dan kuat. Pada suatu waktu, teori Yang-Mills dianggap hanya sebagai kesenangan matematika yang tidak ada hubungannya dengan kenyataan. Namun, kemudian teori tersebut mulai mendapat konfirmasi eksperimental, namun secara umum masih belum terselesaikan.Berdasarkan teori Yang-Mills, model standar fisika partikel elementer dibangun dalam kerangka penemuan Higgs boson yang sensasional dan baru-baru ini ditemukan.
Keberadaan dan kelancaran solusi persamaan Navier-Stokes
Aliran fluida, arus udara, turbulensi. Fenomena ini dan banyak fenomena lainnya dijelaskan oleh persamaan yang dikenal sebagai Persamaan Navier-Stokes. Untuk beberapa kasus khusus, solusi telah ditemukan di mana, sebagai aturan, sebagian persamaan dibuang karena tidak mempengaruhi hasil akhir, tetapi secara umum solusi persamaan ini tidak diketahui, dan bahkan tidak diketahui cara menyelesaikannya. mereka.Dugaan Birch-Swinnerton-Dyer
Untuk persamaan x 2 + y 2 = z 2, Euclid pernah memberikan gambaran lengkap tentang solusinya, tetapi untuk persamaan yang lebih kompleks pencarian solusi menjadi sangat sulit; cukup mengingat sejarah pembuktian Fermat yang terkenal teorema untuk diyakinkan akan hal ini.Hipotesis ini dikaitkan dengan deskripsi persamaan aljabar derajat 3 - yang disebut kurva elips dan faktanya merupakan satu-satunya cara umum yang relatif sederhana untuk menghitung peringkat, salah satu sifat paling penting dari kurva elips.
Sebagai bukti teorema Fermat kurva elips menempati salah satu tempat terpenting. Dan dalam kriptografi, mereka membentuk keseluruhan bagian dari nama diri, dan beberapa standar tanda tangan digital Rusia didasarkan pada mereka.
Dugaan Poincare
Saya pikir jika tidak semua orang, maka sebagian besar pasti pernah mendengarnya. Paling sering ditemukan, termasuk di media pusat, decoding seperti “ sebuah karet gelang yang direntangkan di atas sebuah bola dapat ditarik dengan mulus ke suatu titik, tetapi sebuah karet gelang yang direntangkan di atas sebuah donat tidak dapat ditarik" Faktanya, rumusan ini berlaku untuk dugaan Thurston, yang menggeneralisasi dugaan Poincaré, dan yang sebenarnya dibuktikan oleh Perelman.Kasus khusus dugaan Poincaré memberi tahu kita bahwa setiap lipatan tiga dimensi tanpa tepi (misalnya alam semesta) adalah seperti bola tiga dimensi. Dan kasus umum menerjemahkan pernyataan ini ke objek dengan dimensi apa pun. Perlu dicatat bahwa bagel, seperti halnya alam semesta yang berbentuk bola, juga seperti cangkir kopi biasa.
Kesimpulan
Saat ini, matematika dikaitkan dengan ilmuwan yang berpenampilan aneh dan membicarakan hal-hal yang sama anehnya. Banyak orang membicarakan keterasingannya dari dunia nyata. Banyak orang, baik yang lebih muda maupun yang lebih sadar, mengatakan bahwa matematika adalah ilmu yang tidak berguna, dan setelah lulus sekolah/institut, matematika tidak ada gunanya di mana pun dalam kehidupan.Namun kenyataannya tidak demikian - matematika diciptakan sebagai mekanisme yang dengannya kita dapat menggambarkan dunia kita, dan khususnya banyak hal yang dapat diamati. Dia ada dimana-mana, di setiap rumah. Seperti yang dikatakan V.O Klyuchevsky: “Bukan salah bunga kalau orang buta tidak melihatnya.”
Dunia kita tidak sesederhana kelihatannya, dan matematika, oleh karena itu, juga menjadi lebih kompleks dan berkembang, memberikan landasan yang semakin kokoh untuk pemahaman yang lebih mendalam tentang realitas yang ada.
YouTube ensiklopedis
1 / 5
✪ #170. HIPOTESIS RIEMAN ADALAH MASALAH MILLENNIUM!
✪ Pertunjukan sains. Edisi 30. Hipotesis Riemann
✪ Hipotesis Riemann. Masalah milenium telah terpecahkan (tapi ini belum pasti) | Trushin akan menjawab #031+
✪ Hipotesis Riemann. Masalah milenium telah terpecahkan (tetapi hal ini belum pasti). Bagian II | Trushin akan menjawab #032+
✪ Apa yang dibuktikan oleh Grigory Perelman?
Subtitle
Jika suatu bilangan asli hanya mempunyai dua pembagi - bilangan itu sendiri dan satu, maka bilangan tersebut disebut bilangan prima. Bilangan prima terkecil adalah dua, tiga juga hanya habis dibagi oleh dirinya sendiri dan oleh satu, namun dua-dua adalah empat, dan bilangan ini merupakan bilangan komposit, dari lima persegi hanya dapat dibuat persegi panjang dengan sisi 5 dan 1, namun enam persegi dapat dibangun tidak hanya dalam satu baris, tetapi juga dalam persegi panjang 2x3. Ketertarikan pada bilangan prima sudah ada sejak zaman kuno: catatan pertama tentang topik yang kita ketahui berasal dari milenium kedua SM - orang Mesir kuno tahu banyak tentang matematika. Di zaman kuno, Euclid membuktikan bahwa ada banyak bilangan prima yang tak terhingga, dan, sebagai tambahan, ia memiliki gagasan tentang teorema dasar aritmatika. Eratosthenes, pada gilirannya, menemukan (atau setidaknya memperbaiki) algoritma untuk menemukan bilangan prima. Ini adalah benda yang sangat keren yang disebut saringan Eratosthenes, lihat: sekarang kita akan segera menggunakannya untuk menentukan semua bilangan prima dalam seratus bilangan asli pertama. Menurut definisi, satu bukan bilangan prima, dua adalah bilangan prima pertama: kita mencoret semua bilangan yang merupakan kelipatannya, karena bilangan-bilangan tersebut pasti komposit. Ya, jumlah kandidatnya sudah setengah! Ambil bilangan prima berikutnya - tiga, coret semua bilangan yang merupakan kelipatan tiga. Perhatikan bahwa lima tidak menghasilkan angka sebanyak itu, karena banyak angka yang ternyata merupakan kelipatan dua atau tiga. Namun yang paling mengejutkan adalah algoritma kami bisa berakhir di nomor tujuh! Pikirkan mengapa demikian! Dan jika Anda dapat menebaknya, tulis di komentar pada bilangan berapa Anda dapat mengakhiri prosedur ketika bekerja dengan sepuluh ribu bilangan asli pertama! Jadi, totalnya kita mempunyai dua puluh lima bilangan prima dalam seratus bilangan prima pertama. Hmm... ada berapa bilangan prima dalam seribu pertama atau, katakanlah, satu juta? Pertanyaan ini benar-benar meresahkan pikiran paling cerdas umat manusia; tidak ada seorang pun pada saat itu yang membutuhkan manfaat praktis kriptografi: matematika lebih seperti percakapan dengan Tuhan, atau, dalam hal apa pun, salah satu cara untuk mendengarnya. Bilangan prima itu seperti atom dalam kimia dan seperti alfabet dalam sastra. Oke, lebih dekat ke topik! Berabad-abad kemudian, tongkat estafet ilmuwan Yunani kuno diambil alih oleh seluruh Eropa: Pierre Fermat mengembangkan teori bilangan, Leonard Euler memberikan kontribusi besar, dan, tentu saja, siapa pun yang menyusun tabel besar bilangan prima. Namun pola kemunculan bilangan khusus kita di antara bilangan komposit tidak dapat dideteksi. Baru pada akhir abad ke-18 Gauss dan Legendre mengemukakan bahwa fungsi paling luar biasa π(x), yang dapat menghitung jumlah bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan bilangan real x, disusun sebagai berikut π(x )=x/lnx. Ngomong-ngomong, berapa bilangan prima yang kita miliki dalam seratus bilangan prima pertama? Dua puluh lima, kan? Bahkan untuk nilai sekecil itu, fungsi tersebut menghasilkan keluaran yang sesuai dengan kebenarannya. Meskipun kita berbicara tentang limit rasio π(x) dan x/lnx: pada tak terhingga nilainya sama dengan satu. Pernyataan ini merupakan teorema tentang distribusi bilangan prima. Rekan senegara kami Pafnutiy Lvovich Chebyshev memberikan kontribusi yang signifikan terhadap pembuktiannya, dan kami dapat mengakhiri topik ini sepenuhnya dengan memberi tahu Anda bahwa teorema ini dibuktikan secara independen oleh Jacques Hadamard dan Vallée-Poussin pada tahun 1896. Ya...jika bukan karena satu kata "tetapi"! Dalam penalarannya, mereka mengandalkan tesis salah satu rekan pendahulunya. Dan ilmuwan ini, mengingat Einstein belum lahir, adalah Bernhard Riemann. Ini cuplikan naskah asli Riemann. Tahukah Anda mengapa dia mengemukakan topik khusus ini: alasannya sama tuanya dengan sistem pendidikan kita: penasihat ilmiah Riemann, Carl Friedrich Gauss, raja matematika, mempelajari bilangan prima! Ini adalah versi cetak lama dari laporan tersebut dalam bahasa Jerman. Saya cukup beruntung menemukan terjemahan bahasa Rusia, tetapi bahkan setelah membersihkannya, beberapa rumus sulit dipahami, jadi kami akan menggunakan versi bahasa Inggris. Mari kita lihat! Bernhard memulai dari hasil Euler: di sebelah kanan, menggunakan huruf kapital Yunani sigma, jumlah semua bilangan asli ditulis, dan di sebelah kiri, menggunakan huruf kapital dan tidak kurang dari huruf Yunani Pi, hasil perkaliannya ditunjukkan, dan huruf kecil p melewati semua bilangan prima. Ini adalah rasio yang sangat indah - pikirkanlah! Selanjutnya, fungsi zeta diperkenalkan dan ide-ide terkait dikembangkan. Dan kemudian ceritanya, melalui jalan analisis matematis yang sulit, beralih ke teorema yang disebutkan tentang distribusi bilangan prima, meskipun dari sudut yang sedikit berbeda. Sekarang mari kita lihat di sini: persamaan yang di sebelah kiri adalah fungsi xi, berkaitan erat dengan zeta, dan di sebelah kanan adalah nol. Riemann menulis: “Mungkin semua angka nol pada fungsi xi adalah nyata; Kemudian dia menambahkan bahwa setelah beberapa upaya yang sia-sia dan tidak terlalu gigih untuk menemukannya, dia untuk sementara meninggalkannya, karena hal ini tidak diperlukan untuk tujuan lebih lanjut. Nah, dari situlah hipotesis Riemann lahir! Secara modern dan dengan semua klarifikasinya, bunyinya seperti ini: semua angka nol non-trivial dari fungsi zeta memiliki bagian real yang sama dengan ½. Tentu saja ada formulasi lain yang setara. Pada tahun 1900, David Hilbert memasukkan hipotesis Riemann ke dalam daftar 23 masalah yang belum terpecahkan yang terkenal. Ngomong-ngomong, bukankah aneh jika Hilbert bekerja di departemen yang sama di Universitas Göttingen dengan Riemann pada masanya. Jika ini adalah manifestasi dari rasa senegaranya, maka dengan hati nurani yang bersih saya sekali lagi menambahkan di sini gambar pohon birch dan Chebyshev secara berturut-turut. Besar! Kita bisa melanjutkan. Pada tahun 2000, Clay Institute memasukkan Hipotesis Riemann sebagai salah satu dari Tujuh Masalah Terbuka Milenium, dan sekarang memberi penghargaan 10⁶ ($) untuk menyelesaikannya. Ya, saya memahami bahwa Anda, sebagai ahli matematika sejati, tidak terlalu tertarik pada uang, namun ini tetap merupakan alasan bagus untuk memahami esensi hipotesis Riemann. Pergi! Semuanya sangat mudah dan jelas! Setidaknya demikian halnya dengan Riemann. Berikut adalah fungsi zeta dalam bentuk eksplisit. Seperti biasa, kita dapat melihat angka nol dari fungsi tersebut jika kita membuat grafiknya. Hmm... Oke, ayo kita coba! Jika kita mengambil dua alih-alih argumen s, kita mendapatkan masalah Basel yang terkenal - kita perlu menghitung jumlah serangkaian kuadrat terbalik. Tapi itu tidak masalah, Euler telah menyelesaikan tugasnya sejak lama: segera menjadi jelas baginya bahwa jumlah ini sama dengan π²/6. Oke, kalau begitu mari kita ambil s=4 - dan, omong-omong, Euler juga menghitungnya! Jelasnya, π⁴/90. Secara umum anda sudah paham siapa yang menghitung nilai fungsi zeta pada poin 6, 8, 10 dan seterusnya. Jadi, apa ini? Riemann zeta fungsi satu? Mari kita lihat! Ah-ah-ah, jadi ini deret harmonik! Jadi, menurut Anda berapa jumlah seri ini? Suku-sukunya kecil, kecil, tapi masih lebih besar dari rangkaian kuadrat terbalik, bukan? Klik jeda, pikirkan sejenak dan berikan perkiraan Anda. Nah, berapa banyak yang ada di sini? Dua? Atau mungkin tiga? Drum roll... rangkaian harmoniknya menyimpang! Jumlah ini terbang hingga tak terbatas, mengertikah Anda, bukan?! Lihat, kita ambil suatu deret yang masing-masing sukunya tidak melebihi suku-suku yang bersesuaian dari deret harmonik tersebut. Dan kita lihat: ½, lalu ½ lagi, lagi ½ dan seterusnya ad infinitum! Apa maksudku? Fungsi zeta seseorang tidak ditentukan! Nah, sekarang sepertinya sudah jelas seperti apa grafik zeta tersebut. Ada satu hal yang tidak jelas: di manakah angka nol dari fungsi zeta? Baiklah, tunjukkan di mana letak angka nol non-trivial dari fungsi zeta, dan juga bagian realnya, yang sama dengan setengahnya! Lagi pula, jika kita mengambil ½ sebagai argumen dari fungsi zeta, maka semua suku dari deret yang dihasilkan tidak kurang dari suku harmonik, yang berarti kesedihan, divergensi, tak terhingga. Artinya, secara umum, untuk s real apa pun yang kurang dari atau sama dengan satu, deretnya divergen. Dan tentunya dengan s = -1 zeta akan muncul sebagai jumlah semua bilangan asli dan tidak akan sama dengan bilangan tertentu. Ya... hanya ada satu kata “tetapi”! Jika sobat yang paham diminta menghitung fungsi zeta pada titik -1, maka dia, sebagai perangkat keras yang tidak berjiwa, akan memberikan nilai -1/12. Dan secara umum, zeta-nya ditentukan untuk argumen apa pun kecuali satu, dan bahkan nol pun tercapai - bahkan dalam nilai negatif! Ya, kita sudah sampai, apa hubungannya? Oh, ada baiknya Anda memiliki buku teks tentang teori fungsi variabel kompleks: mungkin akan ada jawabannya di sini. Memang benar, memang begitu! Ternyata beberapa fungsi memiliki kelanjutan analitis! Kita berbicara tentang fungsi yang dapat dibedakan sebanyak yang diinginkan, diperluas menjadi deret Taylor, ingat? Omong-omong, mereka memiliki kelanjutan dalam bentuk beberapa fungsi lain, satu-satunya. Dan khususnya, fungsi zeta asli kita untuk argumen nyata, selama memenuhi semua kondisi, dapat diperluas ke seluruh bidang kompleks sesuai dengan prinsip kelanjutan analitis. Dan Riemann mengatasinya dengan luar biasa! Saya akan segera mengatakan bahwa semua kemungkinan nilai dari argumen yang kompleks hanya dapat digambarkan di pesawat. Tetapi jika argumen melewati titik-titik pada bidang, lalu bagaimana cara menggambarkan nilai fungsinya? Di pesawat, Anda dapat membatasi diri pada nol fungsi, atau Anda dapat memperhitungkan dimensi ketiga, meskipun dalam cara yang baik untuk zeta Anda memerlukan empat dimensi. Nah, Anda juga bisa mencoba menggunakan warna. Lihat diri mu sendiri! Bagian real argumen diplot sepanjang sumbu absis, dan bagian imajiner diplot sepanjang sumbu ordinat. Nah, sekarang buka mata Anda: semua angka nol non-trivial dari fungsi zeta memiliki bagian real yang sama dengan ½. Di sinilah dongeng berakhir, dan siapa pun yang mendengarkan - bagus sekali! Pekerjaan rumahnya adalah membuktikan atau menyangkal hipotesis Riemann, dan jangan coba-coba meniru Atiyah! Berpikir kritis, berhitung, bersenang-senang! [Musik diputar]
Perumusan
Formulasi yang setara
Pertimbangan tentang kebenaran hipotesis
Di antara data yang menunjukkan kebenaran dugaan tersebut, kita dapat menyoroti bukti keberhasilan dugaan serupa (khususnya, hipotesis Riemann tentang manifold pada bidang berhingga). Ini adalah argumen teoretis terkuat yang menyatakan bahwa kondisi Riemann berlaku untuk semua orang fungsi zeta terkait dengan pemetaan automorfik (Bahasa inggris) Rusia, yang mencakup hipotesis klasik Riemann. Kebenaran hipotesis serupa telah dibuktikan untuk fungsi Selberg zeta (Bahasa inggris) Rusia, dalam beberapa hal mirip dengan fungsi Riemann, dan untuk fungsi Goss zeta (Bahasa inggris) Rusia(analog dari fungsi Riemann zeta untuk bidang fungsi).
Di sisi lain, beberapa fungsi zeta Epstein (Bahasa inggris) Rusia tidak memenuhi kondisi Riemann, meskipun jumlah nol pada garis kritisnya tak terhingga. Namun, fungsi-fungsi ini tidak dinyatakan melalui deret Euler dan tidak berhubungan langsung dengan pemetaan automorfik.
Argumen “praktis” yang mendukung kebenaran hipotesis Riemannian mencakup pengujian komputasi sejumlah besar angka nol non-trivial dari fungsi zeta dalam kerangka proyek ZetaGrid.
Masalah Terkait
Dua hipotesis Hardy-Littlewood
- Untuk siapa pun ε > 0 (\displaystyle \varepsilon >0) ada T 0 = T 0 (ε) > 0 (\displaystyle T_(0)=T_(0)(\varepsilon)>0), sehingga kapan dan H = T 0 , 25 + ε (\displaystyle H=T^(0(,)25+\varepsilon )) intervalnya berisi nol dengan orde ganjil dari fungsi tersebut.
- Untuk siapa pun ε > 0 (\displaystyle \varepsilon >0) ada seperti itu T 0 = T 0 (ε) > 0 (\displaystyle T_(0)=T_(0)(\varepsilon)>0) Dan c = c (ε) > 0 (\displaystyle c=c(\varepsilon)>0), itu di T ⩾ T 0 (\displaystyle T\geqslant T_(0)) dan ketidaksetaraan itu benar N 0 (T + H) − N 0 (T) ⩾ c H (\displaystyle N_(0)(T+H)-N_(0)(T)\geqslant cH).
A. Hipotesis Selberg
Pada tahun 1942, Atle Selberg mempelajari masalah Hardy-Littlewood 2 dan membuktikannya untuk siapa pun ε > 0 (\displaystyle \varepsilon >0) ada T 0 = T 0 (ε) > 0 (\displaystyle T_(0)=T_(0)(\varepsilon)>0) Dan c = c (ε) > 0 (\displaystyle c=c(\varepsilon)>0), seperti itu untuk T ⩾ T 0 (\displaystyle T\geqslant T_(0)) Dan H = T 0 , 5 + ε (\displaystyle H=T^(0(,)5+\varepsilon )) ketimpangan memang benar adanya N (T + H) − N (T) ⩾ c H log T (\displaystyle N(T+H)-N(T)\geqslant cH\log T).
Pada gilirannya, Atle Selberg berhipotesis bahwa eksponen dapat dikurangi a = 0 , 5 (\gaya tampilan a=0(,)5) untuk nilainya H = T 0 , 5 + ε (\displaystyle H=T^(0(,)5+\varepsilon )).
Pada tahun 1984, A. A. Karatsuba membuktikannya untuk kondisi tetap 0 < ε < 0,001 {\displaystyle 0<\varepsilon <0{,}001} , Cukup besar T (\gaya tampilan T) Dan H = T a + ε (\displaystyle H=T^(a+\varepsilon )), a = 27 82 = 1 3 − 1 246 (\displaystyle a=(\tfrac (27)(82))=(\tfrac (1)(3))-(\tfrac (1)(246))) selang (T , T + H) (\displaystyle (T,T+H)) setidaknya mengandung c H ln T (\displaystyle cH\ln T) nol nyata dari fungsi Riemann zeta ζ (1 2 + i t) (\displaystyle \zeta (\Bigl ()(\tfrac (1)(2))+it(\Bigr))). Karena itu, dia membenarkan hipotesis Selberg.
Perkiraan A. Selberg dan A. A. Karatsuba tidak dapat diperbaiki dalam urutan pertumbuhan dengan T → + ∞ (\displaystyle T\ke +\infty ).
Pada tahun 1992, A. A. Karatsuba membuktikan analogi itu hipotesis Selberg berlaku untuk interval "hampir semua". (T , T + H ] (\displaystyle (T,T+H]), H = T ε (\displaystyle H=T^(\varepsilon )), Di mana ε (\displaystyle \varepsilon)- bilangan positif tetap yang sangat kecil. Metode yang dikembangkan oleh Karatsuba memungkinkan seseorang untuk mempelajari angka nol dari fungsi Riemann zeta pada interval “sangat pendek” dari garis kritis, yaitu pada interval (T , T + H ] (\displaystyle (T,T+H]), panjang H (\gaya tampilan H) yang tumbuh lebih lambat dibandingkan tingkat apa pun, betapapun kecilnya T (\gaya tampilan T). Secara khusus, dia membuktikannya untuk bilangan tertentu ε (\displaystyle \varepsilon), ε 1 (\displaystyle \varepsilon _(1)) dengan kondisi tersebut 0 < ε , ε 1 < 1 {\displaystyle 0<\varepsilon ,\varepsilon _{1}<1} hampir semua interval (T , T + H ] (\displaystyle (T,T+H]) pada H ⩾ exp ( (ln T) ε ) (\displaystyle H\geqslant \exp (\((\ln T)^(\varepsilon )\))) setidaknya mengandung H (ln T) 1 − ε 1 (\displaystyle H(\ln T)^(1-\varepsilon _(1))) fungsi nol ζ (1 2 + i t) (\displaystyle \zeta (\bigl ()(\tfrac (1)(2))+it(\bigr))). Perkiraan ini sangat dekat dengan hipotesis Riemann.
Lihat juga
Catatan
- Weisstein, Eric W. Riemann Hipotesis (Bahasa Inggris) di situs web Wolfram MathWorld.
- Peraturan untuk Hadiah Milenium
- Ini agak tidak biasa lim sup n → ∞ σ (n) n log log n = e γ . (\displaystyle \limsup _(n\rightarrow \infty )(\frac (\sigma (n))(n\ \log \log n))=e^(\gamma ).)
Ketimpangan dilanggar ketika N= 5040 dan beberapa nilai yang lebih kecil, namun Guy Robin menunjukkan pada tahun 1984 bahwa nilai tersebut berlaku untuk semua bilangan bulat yang lebih besar jika dan hanya jika hipotesis Riemann benar.
Matematikawan Rusia menemukan bukti Hipotesis Riemann 3 Januari 2017
Bernhard Riemann
Ingat, aku sudah memberitahumu tentang itu. Jadi, di antaranya adalah hipotesis Riemann.
Pada tahun 1859, matematikawan Jerman Bernhard Riemann mengambil ide lama Euler dan mengembangkannya dengan cara yang benar-benar baru, dengan mendefinisikan apa yang disebut fungsi zeta. Salah satu hasil pekerjaan ini adalah rumus pasti banyaknya bilangan prima sampai batas tertentu. Rumusnya mewakili jumlah yang tak terhingga, namun pakar analisis sudah tidak asing lagi dengan rumus ini. Dan ini bukanlah permainan pikiran yang sia-sia: berkat rumus ini, pengetahuan baru dan asli tentang dunia bilangan prima dapat diperoleh. Hanya ada satu masalah kecil yang menghalanginya. Meskipun Riemann dapat membuktikan bahwa rumusnya akurat, konsekuensi potensial terpentingnya bergantung sepenuhnya pada satu pernyataan sederhana tentang fungsi zeta, dan pernyataan sederhana inilah yang tidak dapat dibuktikan oleh Riemann. Satu setengah abad kemudian, kita masih belum berhasil melakukannya.
Saat ini pernyataan ini disebut Hipotesis Riemann dan, pada kenyataannya, merupakan cawan suci matematika murni, yang tampaknya telah “ditemukan” matematikawan Rusia.
Ini mungkin berarti bahwa ilmu matematika dunia berada di ambang peristiwa berskala internasional.
Membuktikan atau menyangkal hipotesis Riemann akan mempunyai konsekuensi yang luas bagi teori bilangan, terutama dalam bidang distribusi bilangan prima. Dan hal ini dapat mempengaruhi kemajuan teknologi informasi.
Hipotesis Riemann adalah salah satu dari tujuh "Masalah Milenium" yang masing-masing akan ditawarkan oleh Clay Mathematics Institute (Cambridge, Massachusetts) sebesar $1 juta.
Dengan demikian, membuktikan hipotesis dapat memperkaya ahli matematika Rusia.
Menurut hukum tidak tertulis dunia ilmiah internasional, keberhasilan Igor Turkanov akan diakui sepenuhnya paling cepat dalam beberapa tahun. Namun karyanya telah dipresentasikan pada Konferensi Fisika dan Matematika Internasional di bawah naungan Institut Matematika Terapan. Keldysh RAS pada bulan September 2016.
Kami juga mencatat bahwa jika bukti Hipotesis Riemann yang ditemukan oleh Igor Turkanov diakui benar, maka solusi untuk dua dari tujuh “masalah milenium” akan diberikan kepada ahli matematika Rusia. Salah satu permasalahan tersebut adalah “dugaan Poincaré” pada tahun 2002. Pada saat yang sama, dia menolak penghargaan $1 juta dari Clay Institute.
Pada tahun 2015, Profesor Matematika Opeyemi Enoch dari Nigeria mengumumkan bahwa ia mampu menyelesaikan Hipotesis Riemann, namun Clay Mathematics Institute hingga kini menganggap Hipotesis Riemann tidak terbukti. Menurut perwakilan lembaga, agar prestasi tersebut bisa dicatat, harus dipublikasikan di jurnal internasional bereputasi, dilanjutkan dengan konfirmasi bukti oleh komunitas ilmiah.
sumber
Fisikawan matematika telah mengumumkan kemajuan pada teorema berusia 150 tahun dan Clay Mathematics Institute menawarkan hadiah jutaan dolar untuk pembuktiannya. Para ilmuwan menyajikan operator yang memenuhi dugaan Hilbert-Poly, yang menyatakan bahwa ada operator diferensial yang nilai eigennya sama persis dengan angka nol nontrivial dari fungsi Riemann zeta. Artikel tersebut diterbitkan di jurnal Physical Review Letters.
Hipotesis Riemann adalah salah satu “masalah milenium” yang dibuktikan oleh American Clay Mathematical Institute dengan hadiah jutaan dolar. Dugaan Poincaré (teorema Poincaré-Perelman), yang dibuktikan oleh rekan senegaranya, termasuk dalam daftar ini. Hipotesis Riemann, yang dirumuskan pada tahun 1859, menyatakan bahwa semua angka nol nontrivial dari fungsi Riemann zeta (yaitu, nilai argumen bernilai kompleks yang membuat fungsi tersebut hilang) terletak pada garis + it, yaitu nilai mereka bagian riil sama dengan ½. Fungsi zeta sendiri muncul di banyak bidang matematika, misalnya dalam teori bilangan dikaitkan dengan jumlah bilangan prima yang lebih kecil dari bilangan tertentu.
Teori fungsi memperkirakan bahwa himpunan angka nol nontrivial dari fungsi zeta harus serupa dengan himpunan nilai eigen (“solusi” untuk persamaan matriks) dari beberapa fungsi lain dari kelas operator diferensial yang sering digunakan dalam fisika. Gagasan bahwa ada operator tertentu dengan sifat-sifat ini disebut dugaan Hilbert-Poly, meskipun tidak satu pun dari mereka yang mempublikasikan karya tentang topik ini. “Karena tidak ada publikasi oleh “penulis” mengenai topik ini, rumusan hipotesis berubah tergantung pada interpretasinya,” jelas salah satu penulis artikel, Dorje Brody dari Brunel University London. - Namun, ada dua hal yang harus dipenuhi: a) seseorang harus menemukan operator yang nilai eigennya sesuai dengan angka nol non-trivial dari fungsi zeta, dan b) menentukan bahwa nilai eigennya adalah bilangan real. Tujuan utama dari pekerjaan kami adalah poin a). Pekerjaan lebih lanjut diperlukan untuk membuktikan bagian b).
Hipotesis penting lainnya dalam bidang ini adalah gagasan Berry dan Keating bahwa jika operator yang diinginkan ada, secara teoritis operator tersebut akan sesuai dengan sistem kuantum tertentu dengan sifat tertentu. “Kami telah menentukan kondisi kuantisasi untuk Berry-Keating Hamiltonian, sehingga membuktikan dugaan yang diambil dari nama mereka,” tambah Brody. - Mungkin mengecewakan, Hamiltonian yang dihasilkan tampaknya tidak sesuai dengan sistem fisik mana pun secara jelas; setidaknya kami tidak menemukan korespondensi seperti itu.”
Kesulitan terbesar adalah membuktikan validitas nilai eigen. Penulis optimis mengenai hal ini, dan makalah ini berisi argumen pendukung berdasarkan simetri PT. Gagasan dari fisika partikel ini berarti bahwa jika Anda mengganti semua arah ruangwaktu empat dimensi dengan arah yang berlawanan, sistem akan terlihat sama. Sifat secara umum tidak simetris PT, namun operator yang dihasilkan memiliki sifat ini. Seperti yang ditunjukkan dalam artikel, jika simetri ini terbukti rusak untuk bagian imajiner operator, maka semua nilai eigen akan menjadi nyata, sehingga melengkapi pembuktian hipotesis Riemann.
Matematikawan terkenal Inggris Michael Atiyah, profesor di Institut Oxford, Cambridge dan Edinburgh dan pemenang hampir selusin hadiah bergengsi di bidang matematika, menyajikan bukti dugaan, salah satu “masalah milenium”. Pembuktiannya hanya memakan waktu 15 baris, dan bersama dengan pendahuluan dan daftar pustaka dibutuhkan lima halaman. Teks oleh Atiyah diposting pada layanan Drive.
Hipotesis tentang distribusi angka nol pada fungsi Riemann zeta dirumuskan oleh ahli matematika Bernhard Riemann pada tahun 1859.
Ini menggambarkan bagaimana bilangan prima terletak pada garis bilangan.
Meskipun tidak ditemukan pola yang menggambarkan distribusi bilangan prima di antara bilangan asli, Riemann menemukan bahwa jumlah bilangan prima yang tidak melebihi x—fungsi distribusi bilangan prima dilambangkan dengan π(x)—dinyatakan dalam bentuk distribusi yang disebut “nol nontrivial” » fungsi zeta.
Hipotesis Riemann menyatakan bahwa semua angka nol non-trivial dari fungsi zeta terletak pada garis vertikal Re=0,5 bidang kompleks. Hipotesis Riemann penting tidak hanya untuk matematika murni - fungsi zeta terus-menerus muncul dalam permasalahan praktis yang melibatkan bilangan prima, seperti kriptografi.
Menurut Atiyah, ia menemukan solusinya dengan bereksperimen dengan konstanta struktur halus, sebuah konstanta fisika fundamental yang menjadi ciri kekuatan interaksi elektromagnetik. Ini menentukan besarnya perubahan yang sangat kecil dalam besaran (pemisahan) tingkat energi suatu atom dan, akibatnya, pembentukan struktur halus - sekumpulan frekuensi sempit dan dekat dalam garis spektrumnya.
Hipotesis Riemann adalah salah satu dari tujuh “Masalah Milenium”, yang penyelesaiannya masing-masing mengharuskan Clay Mathematics Institute di AS membayar hadiah sebesar satu juta dolar AS.
Jika pembuktiannya terbukti, Atiyah akan mendapat pahala.
Clay Mathematics Institute mengumumkan keputusannya untuk memberikan hadiah kepada Perelman pada 19 Maret 2010. Karya-karya yang menerima penghargaan ahli matematika itu ditulis olehnya pada tahun 2002, dan diposting di arsip pracetak elektronik, dan tidak diterbitkan dalam jurnal ilmiah yang ditinjau oleh rekan sejawat. Dalam perhitungannya, Perelman menyelesaikan pembuktian dugaan geometriisasi Thurston, yang berhubungan langsung dengan dugaan Poincaré.
Pada tahun 2005, Perelman dianugerahi Fields Medal untuk karyanya ini, yang sering disebut sebagai Hadiah Nobel untuk ahli matematika. Matematikawan Rusia juga menolak penghargaan ini.
Pada tahun 2014, seorang ahli matematika dari Kazakhstan, Mukhtarbai Otelbaev, memecahkan "masalah milenium" lainnya - ia menemukan kondisi untuk sistem persamaan Navier-Stokes, di mana untuk setiap kumpulan parameter terdapat solusi unik. Persamaan Navier-Stokes adalah sistem persamaan diferensial parsial yang menggambarkan gerak fluida kental Newton. Persamaan Navier-Stokes termasuk yang paling penting dalam hidrodinamika dan digunakan dalam pemodelan matematika dari banyak fenomena alam dan masalah teknis.
Untuk mengakui keputusan Otelbaev sebagai kebenaran, komunitas ilmiah harus memeriksanya. Sejauh ini, hasil tes tersebut belum diketahui.
Pada tahun 2010, ahli matematika India-Amerika Vinay Deolalikar memecahkan masalah milenium lainnya - ia menemukan bukti ketidaksetaraan kelas kompleksitas P dan NP.
Permasalahannya adalah sebagai berikut: jika suatu pertanyaan dapat dicek dengan cepat (dalam waktu polinomial) suatu jawaban positif, maka benarkah jawaban atas pertanyaan tersebut dapat dengan cepat ditemukan (dalam waktu polinomial dan menggunakan memori polinomial), yaitu, apakah masalahnya benar-benar lebih mudah untuk diperiksa daripada diselesaikan?
Belum ada bukti bahwa komunitas ilmiah telah menerima bukti tersebut sebagai kebenaran.
