Metode non-standar untuk menyelesaikan persamaan.
Rybenkova M.P.
MBOU "Sekolah 140"
N.Novgorod.
Bab SAYA. Rekomendasi metodologis untuk studi non-standar
metode untuk menyelesaikan persamaan.
Fitur pelatihan di konsentrasi kedua.
1.2. Metode non-standar.
1.3. Pengembangan pemikiran kreatif ketika menyelesaikan persamaan dengan menggunakan metode non-standar.
Bab saya saya. Metode non-standar untuk menyelesaikan persamaan.
2.1. Menyelesaikan persamaan menggunakan studi OD
2.2 Menyelesaikan persamaan menggunakan banyak nilai
2.3.Penggunaan fungsi yang monoton saat menyelesaikan persamaan
2.4.Penggunaan kesetaraan saat menyelesaikan persamaan
2.5.Penggunaan paritas fungsi saat menyelesaikan persamaan
2.6.Penggunaan vektor saat menyelesaikan persamaan
2.7.Penggunaan pertidaksamaan antara mean aritmatika
dan mean geometrik saat menyelesaikan persamaan
Kesimpulan.
Bibliografi.
BAB SAYA. Rekomendasi metodologis untuk mempelajari metode solusi non-standar.
1.1.Fitur pelatihan pada konsentrasi kedua.
“Aktivitas tidak bisa diajarkan, tapi bisa dikuasai.”
Dalam kondisi sekolah modern, guru dihadapkan pada tugas menyelenggarakan proses pendidikan sedemikian rupa sehingga sekolah bukan menjadi tempat memperoleh sejumlah ilmu, melainkan lingkungan untuk pengembangan pribadi, untuk menguasai teknik-teknik intelektual yang diperlukan. di masa depan. Hal ini sangat penting terutama di sekolah menengah, bagi lulusan yang akan segera beradaptasi dengan kehidupan orang dewasa, membuat keputusan sendiri, dan mengambil tanggung jawab.
Saat menyelenggarakan pembelajaran di kelas 10-11, termasuk kelas praktik, pertama-tama guru perlu mempertimbangkan ciri-ciri struktur pendidikan yang konsentris.
Pelatihan konsentrasi pertama melibatkan studi tentang fakta. Di kelas 5-9, siswa berkenalan dengan fakta, mengumpulkannya, mensistematisasikan dan mengasimilasinya, memperoleh pengetahuan matematika minimal.
Konsentrasi kedua melibatkan tingkat penguasaan materi pendidikan yang secara fundamental baru. Guru mengarahkan siswa bukan pada informasional, tetapi pada prinsip asimilasi yang problematis. Dengan demikian, fokusnya adalah pada pembelajaran berbasis masalah dalam matematika. Hakikat pembelajaran berbasis masalah terletak pada perumusan suatu masalah, suatu tugas yang memerlukan pemecahan. Ini adalah pembelajaran yang didasarkan pada keterlibatan aktif siswa dalam proses pembelajaran. Dalam kaitan ini, fungsi guru dan siswa serta tujuan pembelajaran berubah secara signifikan.
Jika dalam konsentrasi pertama komunikasi guru tentang informasi baru, yaitu tingkat reproduksi informasi, mendominasi, maka pada konsentrasi kedua penekanannya adalah pada pemahaman esensi proses matematika, pada pembentukan hubungan sebab-akibat. , dalam menentukan tempat dan peranan suatu peristiwa, dalam menganalisis fakta oleh siswa sendiri di bawah bimbingan guru.
Dengan demikian, siswa menjadi subjek kegiatan pendidikan, dan tugas guru bersifat organisasional, manajerial (guru adalah pengelola pembelajaran). Masalah pembelajaran mudah diidentifikasi dengan membuat hubungan antara teori dan fakta, antara teori dan konsep, antara konsep individu, dan lain-lain. Jadi, misalnya, masalahnya adalah mengapa persamaan irasional yang sama tidak dapat diselesaikan dengan menaikkan ruas kiri dan kanan persamaan tersebut ke pangkat yang sama.
1.2 Metode “Non-standar”..
Metode apa yang disebut non-standar? “Metode penyelesaian persamaan non-standar adalah metode atipikal yang mengandung ide orisinal dan kreatif; ini bukan metode tradisional, jauh dari pola. Mengevaluasi metode penyelesaian persamaan dari sudut pandang tradisionalitas (non-standar) sebagian besar bersifat subjektif: sejauh mana teknik yang diusulkan tidak biasa bagi siswa, sehingga tidak standar. Dan, mungkin, tingkat non-standaritas tertinggi dari sebuah ide adalah ketidakterdugaannya.
Istilah metode “non-standar” itu relatif. Begitu guru memperkenalkan siswa pada metode penyelesaian persamaan ini, metode tersebut tidak lagi bersifat “non-standar”.
Tugas non-standar, sekali lagi, secara kondisional dapat dibagi menjadi dua jenis: non-standar dan standar dalam penampilan. Seringkali, masalah tipe pertama adalah sesuatu seperti “vinaigrette fungsional”, yaitu. itu dibangun oleh fungsi dari berbagai cabang matematika. Misalnya: .
Situasinya berbeda dengan masalah tipe kedua. “Standar kenyamanan” eksternal mereka adalah semacam keburukan. Seringkali, menurut hukum bahaya, solusi jangka panjang kurang terselubung dibandingkan solusi jangka pendek. Dalam kasus seperti itu, ada gunanya sekali lagi menganalisis kondisi masalah, dan yang terpenting, mencoba menemukan ciri-ciri spesifiknya yang memungkinkan ditemukannya gagasan tradisionalnya. Oleh karena itu, untuk mengatasi masalah jenis ini, kualitas seperti kecerdasan, intuisi, dan budaya logika yang tinggi sangatlah penting. Pada saat yang sama, kami tidak ingin mengatakan bahwa jenis tugas kedua lebih kompleks daripada yang pertama: perasaan perlu mencari ide yang tidak konvensional tidak berarti ide tersebut akan ditemukan.
Sayangnya, tidak ada metode universal yang memungkinkan Anda menyelesaikan persamaan apa pun, masalah non-standar apa pun. Namun untuk mencapainya hasil yang baik, hal-hal berikut harus diperhatikan teknik metodologis:
1) Membangkitkan minat untuk memecahkan suatu masalah tertentu. (Anda dapat mengajarkan penyelesaian persamaan seperti itu hanya jika siswa mempunyai keinginan.) Kemampuan guru dalam memilih masalah yang menarik.
2) Tugas tidak boleh terlalu mudah atau terlalu sulit, agar siswa tidak kehilangan kepercayaan pada dirinya sendiri;
3) Jika mereka tidak menyelesaikan suatu masalah, maka jangan mengusulkan pemecahannya, tetapi mengusulkan gagasan pemecahannya, atau rencana, atau tugas-tugas tambahan.
4) Merayakan keberhasilan siswa dalam memecahkan masalah jenis ini.
5) Tidak ada salahnya jika ketika memecahkan masalah seperti itu, siswa meminta bantuan seseorang, dia tertarik pada masalah tersebut, dan mempelajari metode penyelesaian yang diusulkan oleh orang lain akan berkontribusi pada akumulasi sejumlah masalah. fakta matematika.
1.3.Pengembangan berpikir kreatif dalam menyelesaikan persamaan dengan menggunakan metode nonstandar.
Pencarian mandiri cara yang tidak konvensional untuk menyelesaikan suatu persamaan, yang mengarah pada solusi yang cepat dan rasional, mendorong pengembangan pemikiran kreatif.
Psikolog telah menghabiskan banyak tenaga dan waktu untuk mencari tahu bagaimana seseorang memecahkan masalah baru, tidak biasa, tidak standar, dan kreatif. Namun, masih belum ada jawaban yang jelas atas pertanyaan tentang sifat psikologis kreativitas. Sains hanya memiliki beberapa data yang memungkinkan kita untuk menggambarkan sebagian proses pemecahan masalah tersebut oleh seseorang, untuk mengkarakterisasi kondisi yang memfasilitasi dan menghambat pencarian solusi yang tepat.
Berpikir berbeda dengan proses psikologis lainnya karena hampir selalu dikaitkan dengan adanya situasi masalah yang perlu dipecahkan. Dalam pemikiran berbasis informasi, kesimpulan teoritis dan praktis tertentu dibuat.
Berpikir adalah gerak gagasan yang mengungkap hakikat segala sesuatu. Hasilnya bukanlah sebuah gambaran, melainkan suatu pemikiran, sebuah ide.
Apa itu berpikir kreatif? J. Guilford adalah salah satu orang pertama yang mencoba merumuskan jawaban atas pertanyaan ini. Ia percaya bahwa “kreativitas” berpikir dikaitkan dengan dominasi empat ciri
A. Orisinalitas, non-sepele, ide-ide yang tidak biasa diungkapkan, keinginan yang jelas untuk kebaruan intelektual. Orang yang kreatif hampir selalu dan di mana pun berusaha menemukan solusinya sendiri, berbeda dengan solusi orang lain.
B Fleksibilitas semantik, mis. kemampuan untuk melihat suatu objek dari sudut pandang baru, menemukan kegunaan barunya, dan memperluas penerapan fungsionalnya dalam praktik.
B. Fleksibilitas adaptif figuratif, yaitu. kemampuan untuk mengubah persepsi suatu objek sedemikian rupa untuk melihat sisi-sisi baru yang tersembunyi.
D. Fleksibilitas spontan semantik, yaitu kemampuan menghasilkan berbagai gagasan dalam situasi yang tidak menentu, terutama yang tidak memuat pedoman bagi gagasan-gagasan tersebut.
Dalam perjalanan penelitian tentang pemikiran kreatif, kondisi telah diidentifikasi yang berkontribusi terhadap pencarian solusi masalah kreatif dengan cepat:
1. Jika pada masa lalu suatu metode penyelesaian masalah tertentu yang dilakukan seseorang ternyata cukup berhasil, maka keadaan ini mendorongnya untuk terus menganut metode penyelesaian tersebut di kemudian hari. Ketika dihadapkan pada suatu tugas baru, seseorang cenderung menerapkannya terlebih dahulu.
2. Semakin banyak upaya yang dilakukan untuk menemukan dan mempraktikkan cara baru untuk memecahkan suatu masalah, semakin besar kemungkinan untuk beralih ke cara tersebut di masa depan. Biaya psikologis dalam menemukan solusi baru sebanding dengan keinginan untuk menggunakannya sesering mungkin dalam praktik.
3. Efisiensi maksimal dalam memecahkan masalah intelektual dicapai dengan motivasi yang optimal dan tingkat gairah emosional yang sesuai. Tingkat ini sepenuhnya bersifat individual untuk setiap orang.
Kondisi yang menghalangi Anda untuk segera menemukan solusi atas suatu masalah kreatif:
1. Munculnya stereotip berpikir, yang karena kondisi di atas, menghalangi seseorang untuk meninggalkan yang lama dan mencari cara baru yang lebih cocok untuk menyelesaikan suatu masalah.
Salah satu cara untuk mengatasi stereotip yang sudah mapan ini adalah dengan berhenti mencoba memecahkan masalah untuk sementara waktu, dan kemudian kembali ke masalah tersebut, dengan tekad yang kuat untuk hanya mencoba cara-cara baru untuk menemukan solusi.
2. Kemampuan intelektual seseorang, pada umumnya, sering mengalami kegagalan, dan ketakutan akan kegagalan berikutnya mulai muncul secara otomatis ketika dihadapkan pada tugas baru. Hal ini menimbulkan reaksi defensif yang mengganggu pemikiran kreatif, yang biasanya dikaitkan dengan risiko terhadap diri sendiri. Akibatnya, seseorang kehilangan kepercayaan pada dirinya sendiri, ia menumpuk emosi negatif yang menghalanginya untuk berpikir. Perasaan berhasil dalam memperkuat potensi intelektual masyarakat sama pentingnya dengan perasaan akan kebenaran setiap gerakan untuk asimilasinya.
Semakin banyak pengetahuan yang dimiliki seseorang, semakin beragam pula pendekatannya dalam memecahkan masalah kreatif. Namun, pengetahuan yang relevan harus bersifat multiarah, karena memiliki kemampuan untuk mengarahkan pemikiran ke arah pendekatan solusi yang berbeda.
Mengapa persamaan? Sepanjang tahun sekolah, berbagai jenis persamaan diselesaikan: linier, kuadrat, rasional pecahan, trigonometri, eksponensial, logaritma, dll., tetapi masalahnya tetap ada: menyelesaikan persamaan adalah salah satu tugas tersulit dalam matematika. Bahkan jika siswa dengan benar melakukan transformasi identik dari ekspresi yang disertakan di dalamnya, dia menghitungnya secara akurat. Anda perlu mengetahui metode mana yang digunakan dalam situasi apa, dan keterampilan ini dikembangkan dengan pengetahuan tentang berbagai metode solusi dan banyak latihan.
Jika siswa belajar memecahkan persamaan. Dia akan mentransfer pengetahuan ini untuk memecahkan ketidaksetaraan, sistem persamaan dan ketidaksetaraan. Metode non-standar menggunakan sifat-sifat semua fungsi yang termasuk dalam persamaan, pengetahuan tentang produk skalar vektor, pertidaksamaan antara mean aritmatika dan mean geometrik bilangan positif, dan banyak lagi. Hal ini mengembangkan kemampuan untuk mentransfer pengetahuan dari satu mata pelajaran ke mata pelajaran lain, dan ke situasi belajar lainnya. Setelah membekali siswa dengan berbagai metode penyelesaian persamaan, pemikirannya mengalami perubahan; siswa itu sendiri mulai mengusulkan berbagai pendekatan untuk menyelesaikan persamaan, terkadang menawarkan solusi non-standar yang menarik. Ia tidak lagi terintimidasi oleh tampilan kompleks dari persamaan yang terkadang tidak standar; dengan menggunakan berbagai metode penyelesaiannya, sifat non-standar tersebut menghilang.
Untuk memperdalam pengetahuan tentang metode penyelesaian persamaan digunakan kelas individu dan kelompok, mulai triwulan III.
Tujuan utama kelas kami adalah untuk mengembangkan potensi kemampuan kreatif setiap siswa semaksimal mungkin, tanpa membatasi terlebih dahulu tingkat kerumitan pemecahan masalah. Seperti yang bisa kita lihat, tujuan pribadi mempersiapkan ujian kompetitif bertepatan dengan tujuan sosial untuk meningkatkan tingkat pelatihan matematika lulusan sekolah menengah. Terlepas dari tujuannya, minat siswa terhadap matematika dan tugas-tugas kreatif meningkat. Dengan mengarahkan anak-anak sekolah untuk mencari solusi yang indah dan elegan terhadap masalah matematika, guru berkontribusi pada pendidikan estetika siswa dan meningkatkan budaya matematika mereka. Tujuan utama dari tugas ini adalah untuk mengembangkan pemikiran kreatif dan matematis siswa, untuk menarik minat mereka pada matematika, dan untuk mengarah pada “penemuan” fakta matematika.
Perlu dicatat bahwa setiap masalah matematika yang diselesaikan di kelas, dalam kegiatan ekstrakurikuler atau di rumah pasti mengajarkan sesuatu kepada siswa. Pemecahan setiap masalah harus menjadi langkah maju dalam pengembangan pengetahuan, keterampilan dan kemampuan matematika siswa, harus memperkaya pengetahuan dan pengalaman mereka, dan mengajarkan mereka untuk bernavigasi dalam berbagai situasi.
Pekerjaan sistematis dalam mempelajari cara-cara menyelesaikan persamaan akan membantu siswa tidak hanya belajar memecahkan masalah, tetapi juga mengusulkannya sendiri. Kemampuan untuk menemukan cara yang tidak standar dan lebih rasional untuk menyelesaikan persamaan membuktikan budaya berpikir mereka dan kemampuan matematika yang berkembang dengan baik.
Guru harus ingat bahwa pemecahan masalah bukanlah tujuan akhir, melainkan sarana pembelajaran. Membahas solusi yang ditemukan, mencari solusi lain, mengkonsolidasikan dalam ingatan teknik-teknik yang digunakan, mengidentifikasi kondisi kemungkinan penggunaan teknik-teknik ini, menggeneralisasi masalah yang diberikan - semua ini memungkinkan anak sekolah untuk belajar dari masalah tersebut. Melalui tugas-tugas itulah siswa dapat belajar dan mengasimilasi secara mendalam fakta-fakta matematika baru, menguasai metode matematika baru, mengumpulkan pengalaman tertentu, mengembangkan keterampilan secara mandiri dan secara kreatif menerapkan pengetahuan yang diperoleh.
Untuk mencapai efektivitas kegiatan ini, aturan-aturan berikut harus dipatuhi.
1) Ide-ide baru yang tidak didasarkan pada informasi teoritis tambahan harus diperkenalkan melalui persamaan sesuai skema; persamaan - pencarian solusi secara mandiri - analisis solusinya - menyoroti ide.
2) Saat menyelesaikan tugas-tugas seperti itu, prinsip keteraturan harus dijalankan; pekerjaan utama dilakukan bukan di kelas, tetapi di rumah.
3) Anda tidak boleh membebani siswa dengan pekerjaan yang bervolume besar, tetapi tidak rumit, sama seperti Anda tidak boleh memberinya tugas yang mustahil.
4) Siswa berhak menunda suatu soal yang sulit (persamaan) jika ia berusaha menyelesaikannya dalam jangka waktu tertentu, tetapi tidak berhasil. Dalam hal ini, proses asimilasi ide-ide baru akan lebih efektif.
5) Ide yang tepat diterima pada saat akumulasi ide atau pada saat memecahkan masalah yang sulit.
6) Berguna untuk memberikan berbagai teknik dan metode untuk menyelesaikan persamaan yang sama, dan kemudian mendiskusikan solusi rasionalitas, keindahan, dan solusi non-standar. Ketika menemukan berbagai cara untuk memecahkan masalah, siswa mengembangkan minat kognitif, mengembangkan kemampuan kreatif, dan mengembangkan keterampilan penelitian.
7) Pengulangan yang konstan ketika menyelesaikan metode solusi yang dipelajari sebelumnya
menerapkan pengetahuan yang diperoleh.
BAB 2. METODE NON-STANDAR UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN.
Persamaan yang dikumpulkan di sini tidak terlalu rumit, namun menjadi lebih kompleks seiring Anda berlatih. Beberapa metode penyelesaian persamaan bisa disebut non-standar.
Penyelesaian persamaan menggunakan penelitian ODZ. 
Daerah nilai yang diperbolehkan (disingkat VA) suatu persamaan adalah himpunan nilai-nilai yang tidak diketahui yang ruas kiri dan kanannya masuk akal.
Pada bagian ini kita akan membahas penyelesaian persamaan irasional, yang dapat diselesaikan dengan cara standar, menghilangkan irasionalitas, dan kemudian memeriksanya. Namun metode ini mengarah pada perhitungan yang rumit, hingga penyelesaian persamaan rasional derajat keempat dan keenam, yang sangat sulit dipecahkan. Saat menyelesaikan beberapa persamaan, pengetahuan tentang OD persamaan dan penggunaan perkiraan tertentu memungkinkan Anda menemukan semua akarnya atau membuktikan bahwa akar tersebut tidak ada.
Saya menyarankan siswa menyelesaikan 2 persamaan seperti itu di rumah, sebelum kelas. Paling sering mereka mencoba menyelesaikan persamaan ini, menghilangkan irasionalitas, tetapi ada 1-2 orang di kelas yang memilih solusi rasional, dan ini menggembirakan. Kemudian kita mempertimbangkan kedua metode penyelesaian persamaan bersama-sama.
Contoh.
1) Selesaikan persamaannya 
-
=
-
Solusi: jelas bahwa untuk menyelesaikan persamaan ini Anda dapat mengkuadratkan kedua sisi persamaan, yang dapat membantu menghilangkan irasionalitas
11x+3-2 
+2x=9x+7-2 
+x-2
Mari kita berikan 10x+5-2 yang serupa 
=10x+5-2 
=
.
Setelah mengkuadratkan kedua ruas persamaan, kita sajikan persamaan yang serupa dan dapatkan persamaan kuadrat standar
20x 2 -30x-20=0,
2x 2 -3x-2=0,
x 1 = 
, x 1 =2 x 2= 
, x 2 = -0,5
Akar yang dihasilkan harus diperiksa, karena... saat mengkuadratkan, dimungkinkan untuk memperoleh akar asing.
Penyelidikan:
x=2, 
-
=5,
-=5, 5=5
x=2 adalah akar persamaan ini
x=-0,5, 
-
=
-
x=-0,5 adalah akar asing.
Jawaban: x=2
Namun, membandingkan domain definisi fungsi y= , (x-2 
0,x 2) dan kamu= , (2 
, kita sampai pada kesimpulan bahwa domain definisi persamaan awal adalah x=2. Mengganti x=2 ke dalam persamaan ini, kita sampai pada kesimpulan bahwa x=2 adalah satu-satunya akar persamaan ini.
Jawaban: x=2.
Jelas bahwa penyelesaian persamaan ini dengan cara kedua lebih mudah dan cepat dibandingkan dengan cara pertama. Mari kita lihat beberapa persamaan ini lagi.
2) Selesaikan persamaannya 
+
=
-1.
Solusi: mari kita cari ODZ dari persamaan ini. Untuk melakukan ini, Anda perlu menyelesaikan sistem pertidaksamaan: x 2 x 
,
2-x 2 >0,
, x=0, x=1
-1
Jadi, ODZ persamaan ini adalah himpunan dua elemen 
. Mari kita periksa apakah nilai-nilai ini merupakan akar persamaan:
x=0, 
+
=
-1 =-1, 
, x=0 bukan akar persamaan.
x =1 
+
=0
-1=0, 0=0x=1 adalah akar persamaan.
Jawaban: x=1.
3) Berapa banyak akar persamaan tersebut? 
Larutan: 
Persamaan ini tidak terdefinisi untuk x real apa pun.
Jawaban: persamaan tersebut tidak memiliki akar.
4) Selesaikan persamaan: 
Solusi: domain persamaan: 
Persamaan ini setara dengan sistem berikut:
(x-4)(x-2)=(12-3x) 2,
12-3x 0.
12-3x 0,x 
4.
Mengingat domain definisi persamaan, satu-satunya akar yang mungkin hanya x=4, mari kita periksa: 
x=4 adalah akar persamaan.
Jawaban: x=4.
5) Selesaikan persamaan:
Solusi: Upaya menyelesaikan persamaan dengan mengkuadratkan dan menggabungkan akar secara berturut-turut di sini menghasilkan persamaan derajat keempat dan menemui jalan buntu. Mari kita tuliskan kondisi di mana ekspresi yang termasuk di sisi kiri persamaan ini masuk akal.
5 0,x 5,
7 0,x 7, tidak ada solusi.
2x-15. X 7,5.
Kita melihat bahwa tidak ada x nyata yang persamaannya dapat didefinisikan.
Jawaban: tidak ada akar.
Menyelesaikan persamaan menggunakan banyak nilai.
Saat menyelesaikan beberapa persamaan, menemukan sekumpulan nilai membuat tugas menyelesaikan persamaan menjadi lebih mudah. Cara ini cukup umum terjadi pada anak-anak dengan budaya berpikir yang maju. Mudah dipelajari, mereka sering mencoba menggunakannya saat menyelesaikan persamaan lainnya.
1) Selesaikan persamaan: Solusi: temukan domain definisi persamaan ini: 
Mari kita perkirakan ruas kanan dan kiri persamaan: yaitu, dan 
.
Ruas kiri persamaan lebih besar dari ruas kanan, artinya persamaan ini tidak mempunyai akar.
Jawaban: tidak ada akar.
2) Selesaikan persamaan: 
.
Solusi: kita mempunyai persamaan irasional standar. Namun, jangan terburu-buru menyelesaikannya. Pertama, mari kita cari persamaan ODZ:
Cara 
Karena 
maka ruas kiri persamaan lebih besar dari 2, dan ruas kanan sama dengan 1. Oleh karena itu, persamaan ini tidak mempunyai akar.
Jawaban: tidak ada akar.
3)Selesaikan persamaan: 2 cosx =cosx + 
.
Solusi: Mari kita evaluasi kembali ruas kanan dan kiri persamaan tersebut.
Karena 
, lalu ruas kiri persamaan 
.
Ruas kanan persamaan harus positif, karena 2 t >0, artinya cosx >0. Menggunakan pertidaksamaan Cauchy 
.
Lalu, jika akar persamaan tersebut ada, maka hanya jika ruas kanan dan kiri persamaan tersebut sama dengan 2.
x=2Pk, k 
Jawaban: x=2Pk, k 
Z.
4) Selesaikan persamaan: 
Larutan: 
a Solusi persamaan ini ekuivalen dengan sistem:
Dari persamaan pertama sistem kita peroleh x=0, mari kita periksa apakah x=0 merupakan solusi persamaan kedua sistem: x=0 adalah akar persamaan.
Jawaban: x=0.
5) Selesaikan persamaan: 
Penyelesaian persamaan ini mirip dengan persamaan sebelumnya: jelas x 2 Dan catatan 
Karena basis logaritma 3>1, dan
1-(3 x -1) 2 1, persamaannya ekuivalen dengan sistem: 
x=0 adalah akar persamaan.
Jawaban: x=o.
6) Temukan seluruh akar persamaan: (6-x)(x-2)(x+3)(x+9) = 24x 2
Solusi: persamaan ini diajukan dalam ujian terpadu, mari kita pertimbangkan penyelesaian persamaan ini dengan dua cara: dengan memperkirakan ruas kiri dan kanan persamaan, dan cara kedua - dengan menggunakan transformasi. Metode pertama, menurut saya, lebih sederhana dan lebih hemat waktu dalam penyelesaiannya.
a) ruas kanan persamaan ini tidak negatif, artinya
(6x)(x-2)(x+3)(x+9) 0, kita selesaikan pertidaksamaan ini menggunakan metode interval:
- + - + -
9 -3 2 6x
Solusi bilangan bulat persamaan ini harus dicari di antara pembagi suku bebas yang sama dengan 6 (-2) 3 9 = -324.
Mari kita daftar semua nilai integer yang menyelesaikan pertidaksamaan:
9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,2,3,4,5,6. Jelasnya, 6,2,-3,-9 bukan akar-akar persamaan (karena dengan nilai tersebut ruas kiri persamaan adalah nol dan ruas kanan tidak), bilangan –7,5,-8 adalah bukan pembagi bilangan –324. Mari kita periksa apakah bilangan –-6,-4,3,4 merupakan penyelesaian.
x=-6.12 ⋅ (-8)⋅ (-3) ⋅ 3 =864, 24 ⋅ 36=864, 864=864.
x=-4.10 ⋅
(-6) ⋅
(-1) ⋅
5=300, 24⋅
16=384, 300
384.
x=3, 3 ⋅ 1 6 ⋅ 12 =216, 24⋅ 9=216, 216=216.
x=4, 2 ⋅
2⋅
7 ⋅
13=364, 24⋅
16=384, 364384.
Jadi, x=-6, x=3 adalah akar-akar persamaan tersebut.
Jawaban: x=-6; x=3.
b) menyelesaikan persamaan yang sama dengan cara yang berbeda:
(6x)(x-2)(x+3)(x+9) = 24x 2, mari kita lakukan beberapa transformasi:
(6x+18x 2 -3x)(x 2 +7x-18)=24x 2
(-x 2 +3x+18)(x 2 +7x-18)=24x 2
Jelas bahwa x=o bukan akar persamaan, bagi kedua ruas persamaan dengan x 2
X 2 (x- 
-3)(x- +7)=24x 2,
(X- -3)(x- +7)=-24,
Membiarkan 
maka (t -3)(t +7)=-24,
t 2 +4t -21=-24, t 2 +4t +3=0, t 1 =-1, t 2 =-3.
/ X
x 2 + x-18 = 0, x 1,2 = 
- bukan merupakan solusi bilangan bulat terhadap persamaan tersebut.
/X
x 2 +3x-18=0, x 3 =-6, x 4 =3.
Jawaban: x=-6;
7) Selesaikan persamaan:
Penyelesaian: Metode kuadrat untuk menyelesaikan persamaan ini menghasilkan persamaan rasional derajat kedelapan yang akar-akarnya tidak mudah ditemukan. Perhatikan bahwa ruas kiri persamaan ada untuk sembarang nilai riil variabel x, dan ruas kanan tidak negatif pada kondisi 
Perhatikan itu ,
ketika 
Oleh karena itu, ruas kiri persamaan awal dapat sama dengan ruas kanan hanya jika kedua ruas persamaan tersebut sama dengan 3.
Artinya x=0 adalah satu-satunya akar persamaan.
Jawaban: x=0.
8) Selesaikan persamaannya
Solusi: Mencoba mencari akar dengan mengkuadratkan kedua ruas persamaan pasti akan gagal. Mari kita tuliskan kondisi keberadaan fungsi tersebut di ruas kiri persamaan. Mari kita periksa bahwa ruas kanan –1-2х 2 >0 tidak negatif; pertidaksamaan ini tidak memiliki solusi, tetapi persamaan aslinya tidak memiliki akar, karena ruas kirinya merupakan fungsi non-negatif.
Jawaban: tidak ada akar.
9) Selesaikan persamaannya
Solusi: jika untuk banyak persamaan sebelumnya dimungkinkan untuk menemukan cara tradisional - solusi menggunakan alasan sekolah yang sudah dikenal, namun menghabiskan lebih banyak waktu. Dan persamaan ini membuat kita tidak punya pilihan seperti itu. Biasanya, tugas-tugas seperti itu secara kondisional disebut non-standar. “Kemunculan” persamaan seperti itu sudah menunjukkan bahwa untuk menyelesaikannya kita perlu menemukan sesuatu yang tidak konvensional.
Mari kita perkirakan ruas kanan persamaan: 
, mari kita perkirakan ruas kiri persamaan: 
, 
, 
.
Persamaan awal mempunyai akar hanya jika nyaman =1,
Kemudian nyaman =1
itu berarti x=0, y=0.
Jawaban: (0;0).
Menggunakan fungsi monotonisitas saat menyelesaikan persamaan.
Setiap persamaan dikaitkan dengan ekspresi analitis yang membangunnya. Yang terakhir, pada gilirannya, dapat menentukan fungsi dari satu atau lebih variabel. Oleh karena itu, keberadaan fungsi, atau lebih tepatnya sifat-sifatnya, pasti mempengaruhi penyelesaian masalah semacam ini. Hanya saja dalam beberapa kasus kita tampaknya secara implisit menggunakan properti fungsi, dalam kasus lain kita secara eksplisit merujuknya. Kadang-kadang pergeseran “vokal” dalam penekanan terhadap sifat-sifat fungsi dapat memberikan manfaat yang signifikan dalam pencarian ide solusi rasional.
Sangat sering kita menemukan persamaan yang mudah untuk menentukan akarnya, paling sering hanya satu, dengan menggunakan metode seleksi. Tampaknya semuanya sederhana, tetapi menyelesaikan suatu persamaan tidak hanya berarti menemukan akarnya, tetapi juga membuktikan bahwa persamaan tersebut adalah satu-satunya. Ketika dihadapkan pada hal ini, banyak orang mulai menyelesaikan persamaan ini dengan cara standar, yang bisa membingungkan dan sulit. Tetapi jika kita menerapkan sifat monotonisitas suatu fungsi, maka banyak persamaan serupa dapat diselesaikan dengan lebih rasional.
Ide dasarnya adalah: jika f (x) meningkat secara monoton, dan g (x) menurun secara monoton, maka persamaan f (x) = g (x) mempunyai paling banyak satu solusi, dan jika x = x 0 adalah solusi untuk persamaan ini, maka ketika x >x 0 (x termasuk dalam domain definisi kedua fungsi f (x) dan g (x)) akan menjadi f (x)>g (x), dan pada x Mari kita konfirmasikan ini dengan contoh: 1) Selesaikan persamaan: 3 x +4 x = 7 x. Penyelesaian: bagi kedua ruas persamaan dengan 7 x, Jawaban: x=1. 2) Selesaikan persamaan: Solusi: Metode tradisional untuk menyelesaikan persamaan seperti itu sudah dikenal luas. Sangat mudah untuk melihat bahwa x=1 akar. Ruas kiri persamaan didefinisikan sebagai fungsi yang meningkat dengan menyesuaikan konstanta. Oleh karena itu, persamaan ini hanya mempunyai paling banyak satu akar. Jawaban: x=1. 3) Selesaikan persamaan: Penyelesaian: x=1, fungsi y= pada himpunan yang sama y= berkurang. Oleh karena itu x=1 adalah satu-satunya akar. Jawaban: x=1. 4) Selesaikan persamaan: Penyelesaian: fungsi di ruas kiri persamaan bertambah secara monoton pada domain definisi, dan fungsi di ruas kanan berkurang. Oleh karena itu, persamaan ini mempunyai paling banyak satu akar. Nilai akar mudah dipilih x=1. Jawaban: x=1. 5) Selesaikan persamaan: 3 x-1 = 5-x. Penyelesaian: x=2 adalah satu-satunya akar karena y=3 x-1 merupakan fungsi yang meningkat secara monoton, dan y=5-x merupakan fungsi yang menurun secara monoton. Jawaban: x=2. 6) Selesaikan persamaan: Solusi: Persamaan ini dapat dengan mudah “diubah” menjadi persamaan rasional derajat keempat. Sulit untuk menemukan akar permasalahan yang terakhir, dan siswa harus memiliki tingkat kecerdikan yang tinggi untuk mengatasi tugas ini. Mari kita pilih jalur yang tidak terlalu tradisional: mudah untuk mengetahui bahwa x = 3 adalah akar persamaan. Domain persamaan A Jawaban: x=3. 7)Selesaikan persamaan:4 3 3x+1 +4=5 2 9x. Solusi: Tampaknya persamaan ini tidak dapat diselesaikan dengan cara yang sama, seperti yang sebelumnya. Namun jika Anda melakukan penggantian 3x=t, maka berdasarkan fungsi monotonisitasnya, Anda dapat menyelesaikan persamaan untuk t, lalu mencari akar persamaan aslinya. 12 3 t +4=5 2 3 t /3 t Jawaban: x= Mari kita pertimbangkan modifikasi gagasan: jika f (x) meningkat secara monoton dan g(x) menurun secara monoton, maka persamaan f (x) = g (x) mempunyai paling banyak satu solusi, maka sebagai berikut: jika f (x ) merupakan fungsi monoton , maka dari persamaan f (x) = f (y) diperoleh x = y. Mari kita gunakan ide ini untuk menyelesaikan persamaan. 8)Selesaikan persamaan log 6- x log 2 x =log 7- x log 2 (2x). Solusi: ubah persamaannya: Perhatikan fungsinya f (t )=log t (t +1). Mari kita buktikan bahwa untuk t >1 fungsi ini menurun secara monoton. f (t )-1=log t (t +1)-1=log T Persamaannya seperti ini: f (6-x)=f (log 2 x), yang artinya log 2 x=6-x. Di sebelah kiri adalah fungsi meningkat, di sebelah kanan menurun, oleh karena itu penyelesaiannya unik, mudah dicari dengan pemilihan: x = 4. Jawaban: x=4. 9) Selesaikan persamaannya Penyelesaian: misalkan x 2 -4x-2=t, t >0. Membiarkan Menjawab: . Menggunakan kesetaraan untuk menyelesaikan persamaan.
Saat menyelesaikan persamaan bentuk f (f (x)) = x, teorema ini berguna: Jika y = f (x) adalah fungsi yang meningkat secara monoton, maka persamaan f (x) = x dan f (f (x ) ) = x ekuivalen. Mari kita berikan beberapa contoh penggunaan teorema ini. 1) Selesaikan persamaannya Solusi: tulis ulang persamaannya: Sesuai teorema, kita menggantinya dengan persamaan ekuivalen f (x)=x atau kamu 1,2 = Jawaban: x= 2) Selesaikan persamaannya Solusi: ubah persamaannya Persamaan ini berbentuk: f (f (x))=x, dimana f (x)= Jawaban: x 1 =1, x 2 = 3) Selesaikan persamaannya Solusi: Mari kita lakukan beberapa transformasi y=1, persamaan 2y 2 +y+1=0 tidak mempunyai akar. Jawaban: x=1. 4)Selesaikan persamaan ln (1+ln x)=x -1. Larutan: ln (1+lnx)+1=x, Persamaan ini berbentuk x =f (f (x), dimana f (x)=ln x+1.f (x)=1+lnx – bertambah secara monoton untuk x > 0 Oleh karena itu, persamaan tersebut ekuivalen dengan persamaan x=ln x+1, x-1=ln x. Mari kita selesaikan persamaan ini secara grafis: y=x-1 – grafik fungsi ini berupa garis lurus yang melalui titik-titik dengan koordinat (0;-1), (1;0) Fungsi kamu= lnx didefinisikan untuk x>0. Jelas bahwa x=1 adalah akar persamaan; keunikannya dikonfirmasi secara grafis. Jawaban: x=1. Menggunakan paritas suatu fungsi saat menyelesaikan persamaan.
1) Dapatkah persamaan 2x 8 -3ax 6 +4x 4 -ax 2 =5 mempunyai lima akar untuk beberapa nilai a? Penyelesaian: perhatikan fungsi f (x) = 2x 8 -3ax 6 +4x 4 -ax-5. Didefinisikan untuk semua x real, genap, karena f (x)=f (-x) dan domain definisinya simetris terhadap nol. Grafik fungsi f(x) simetris terhadap sumbu ordinat, yaitu untuk sembarang x dari domain definisi, -x dari domain definisi, dan hanya x = 0 yang simetris terhadap dirinya sendiri. Kemudian, jika persamaan awal mempunyai jumlah akar ganjil (lima), maka x=0 adalah akar persamaan tersebut. Dengan memeriksa kami memastikan bahwa x=0 bukan akar persamaan - 0=5. Artinya persamaan awal tidak boleh mempunyai lima akar untuk sembarang a. Jawaban: tidak nyata dan persamaan 2x 8 -3ax 6 +4x 4 -ax 2 =5 tidak boleh mempunyai lima akar. 2) Buktikan persamaan 3 x +3 -x = ax 4 +2x 2 +2 Penyelesaian: perhatikan fungsi f(x) = 3 x +3 -x -ax 4 -2x 2 -2. Ini didefinisikan untuk semua x nyata dan genap. Berdasarkan soal sebelumnya, jika jumlah akarnya ganjil, maka x=0 adalah akar persamaan aslinya. Mari kita periksa: 3 0 +3 0 =2, 0+0+2=2, 2=2. x=0 adalah akar persamaan, artinya persamaan awal mempunyai jumlah akar ganjil. Jawaban: persamaan 3 x +3 -x = ax 4 +2x 2 +2 mempunyai jumlah akar ganjil. 3)Temukan semua nilai riil dari parameter a yang persamaannya Penyelesaian: perhatikan fungsi f(x)= =
= Dalam hal ini, kesetaraan dicapai dalam kondisi tersebut Menjawab: KESIMPULAN. Karya ini berisi solusi persamaan menggunakan metode non-tradisional, yang dengannya Anda dapat memecahkan masalah yang cukup kompleks. Solusi non-standar adalah dengan menggunakan penalaran logis, berdasarkan sifat-sifat fungsi, pada pertidaksamaan antara mean aritmatika dan mean geometrik, pada produk skalar vektor, untuk menghindari transformasi matematika yang rumit, dan terkadang untuk menyelesaikan persamaan yang tidak dapat diselesaikan dengan metode standar. Meskipun hanya persamaan yang dibahas di atas, masalah lain dapat diselesaikan dengan menggunakan metode ini. Sayangnya, tidak mungkin memberikan klasifikasi yang jelas tentang metode penyelesaian persamaan. Pilihan metode penyelesaian harus dilakukan oleh siswa berdasarkan analisis persamaan awal. Budaya mental siswa berkembang melalui suatu sistem tugas. Saat menyelesaikan persamaan dengan cara yang tidak standar, pertanyaan muncul dan minat muncul untuk menemukan solusi baru. Di akhir topik ini, diadakan seminar dimana orang-orang mengusulkan metode mereka untuk menyelesaikan persamaan atau sistem persamaan. Bekerja dalam pelajaran praktis memungkinkan siswa untuk mengembangkan kompetensi yang penting bagi manusia modern: kemampuan untuk secara mandiri memperoleh pengetahuan yang diperlukan, menerapkannya dalam praktik, kemampuan untuk bekerja secara kompeten dengan informasi, menganalisisnya dan memprosesnya secara kritis, kemampuan mengambil posisi dalam diskusi, dan terakhir, kemampuan berkolaborasi dan bekerja dalam tim Pengalaman menunjukkan bahwa dalam kondisi sekolah modern, kata-kata berikut ini relevan: “Katakan padaku dan aku akan melupakannya. Tunjukkan padaku dan aku akan mengingatnya. Biarkan saya bertindak sendiri dan saya akan belajar.”
Bibliografi. Avdonin N.I., Golubev V.K. 30 pelajaran tutor matematika N. Novgorod, “Abad”, 1997, -304 hal. Varian tes matematika pada National Research Foundation Sekolah Tinggi Ekonomi Universitas Negeri tahun 2000-2001. Blyakhman L.G., Gromov E.M. dan lain-lain.N.N.: 2001-38s 3. Gornshtein P.I. A.G. Ujian matematika dan terumbu bawah lautnya - “Ilexa”, Kharkov: Gymnasium, 1998, -237 hal. 4. Dorofeev G.V., Muravin G.K., Sedova E.A. Kumpulan tugas untuk mempersiapkan dan melaksanakan ujian tertulis matematika (mata kuliah A) dan aljabar serta prinsip-prinsip analisis (mata kuliah B) untuk kelas 11.- M.: Bustard , 2001.-192 hal. 5.Merzlyak A.G., Polonsky V.B. Simulator aljabar - "Ilexa", Kharkov: Gimnasium, 1998, -320 hal. 6. Sennikovsky Ya.I. Guru privat matematika - N. Novgorod: JSC "ILMA", 1995, -242 hal. 7.Cherkasov O.Yu., Yakushev A.G. Matematika: kursus persiapan ujian intensif. - M.: 2001.-432p. 8. Sharygin I.F., Golubev V.I. Mata kuliah pilihan matematika: Memecahkan masalah matematika, kelas 11. - M.: Pendidikan, 1991, - 384 hal. 9. Surat Kabar “Matematika”, No. 25,36,48-Moskow: 1 September hal.i. Gornshtein, A.G.Merzlyak, V.B. Polonsky, M.S. Yakir. Ujian matematika dan terumbu bawah lautnya. - M.: Ilexa, Kharkov: Gimnasium, 1998. Tujuannya adalah untuk mengajarkan siswa menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan nonstandar melalui pemahaman mendalam tentang landasan teori yang digunakan dalam matematika. Tugas yang harus diselesaikan selama proses pembelajaran: 1. Momen organisasi. Menetapkan tujuan dan sasaran pelajaran. Menciptakan kondisi untuk sukses kegiatan bersama(Pekerjaan dalam pembelajaran dinilai dengan sistem poin, jurnal elektronik disimpan). 2. Mengecek pekerjaan rumah (jurnal elektronik pelajaran). Siswa memeriksa pekerjaan rumah mereka (membandingkan solusi mereka dengan solusi yang sudah jadi, bekerja berpasangan.) dalam dokumen Microsoft Office Word di layar (solusi disiapkan sebelumnya oleh guru). Pekerjaan rumah Selesaikan persamaan: Larutan. Larutan. Mari kita tulis ulang persamaan ini menjadi: 3. Larutan. Akar persamaan tidak memenuhi syarat. 3. Survei lisan terhadap siswa. Saling mengecek dan menilai pada kartu hasil; selama pembelajaran, hasilnya dimasukkan ke dalam jurnal elektronik 1. Bagaimana persamaan bentuk diselesaikan? 2. Bagaimana persamaan bentuk diselesaikan 3. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan logaritma dengan basis berbeda? 4. Bagaimana persamaan yang melibatkan suatu fungsi berbentuk ? 4. Tugas soal (bekerja dalam kelompok), tugas ada di meja masing-masing pada kertas berwarna merah. Siswa menuliskan tanggal dan topik pelajaran di buku catatannya dan mulai memecahkan masalah. 1. Selesaikan persamaannya sudah pada tahap ini jelas bahwa solusinya akan sangat rumit. Muncul masalah: haruskah kita terus menyelesaikan persamaan ini atau mencari solusi lain? Karena ekspresi logaritmik untuk semua X lebih besar dari 1, maka setiap logaritmanya merupakan bilangan positif atau sama dengan 0. Agar jumlahnya sama dengan 0 maka perlu dijumlahkan angka nol atau bilangan yang berlawanan, oleh karena itu setiap logaritma hanya dapat bernilai sama dengan nol, yaitu: Jadi, kita menyimpulkan bahwa persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat-sifat fungsi. Untuk solusi independen: Selesaikan persamaan: . ruas kiri persamaan merupakan fungsi yang menurun secara monoton, dan ruas kanannya konstan, oleh karena itu persamaan tersebut mempunyai akar tunggal x=1(mudah diambil). 5. Mempelajari topik baru. Untuk menyelesaikan sebagian besar persamaan dan pertidaksamaan yang ditemui dalam ujian, khususnya Ujian Negara Bersatu, cukup menguasai mata pelajaran matematika sekolah, tetapi pada saat yang sama juga harus mampu menyelesaikannya tidak hanya dengan menggunakan teknik standar. , tetapi juga menggunakan “teknik dan metode non-standar.” Di sinilah kita berada dalam lima pelajaran berikutnya dan kita akan mempraktikkan metode dan teknik tersebut. Anda sudah mengetahui cara menggunakan metode substitusi saat menyelesaikan beberapa persamaan. Hari ini kita telah mempelajari bahwa ketika menyelesaikan persamaan kita dapat menggunakan sifat-sifat fungsi. Sekarang saya ingin menunjukkan penerapan sifat keterbatasan. 1. Teorema 1. Jika dan , maka persamaannya Selesaikan persamaannya Mari kita tulis ulang persamaannya menjadi: Karena dan , maka persamaan ini ekuivalen dengan sistem: 2.Metode evaluasi Seringkali tanda bahwa metode estimasi harus digunakan adalah adanya fungsi-fungsi yang sifatnya berbeda dalam persamaan. Selesaikan persamaannya Kesetaraan tercapai jika Mengganti nilai x yang ditemukan ke dalam persamaan (2), kita memperoleh: 3. Menggunakan metode monotonisitas untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan nonstandar Jika y=f(x) merupakan fungsi monoton, maka persamaan f(x) = c mempunyai paling banyak satu akar Misalkan fungsi y=f(x) bertambah pada interval M, dan fungsi y=g(x) berkurang pada interval ini. Maka persamaan f(x)=g(x) mempunyai paling banyak satu akar pada interval M. Biarkan domain definisi fungsi f(t) menjadi interval M, dan biarkan fungsi ini kontinu dan monotonik (yaitu, naik atau turun) pada interval ini. Maka persamaannya ekuivalen dengan sistem: Saat menyelesaikan persamaan bentuk, teorema berikut berguna: Jika Fungsi, persamaan dan ekuivalennya meningkat (menurun) secara monoton. Selesaikan persamaannya: Larutan. - fungsi meningkat (sebagai jumlah dari dua fungsi meningkat). Di sisi kanan persamaan adalah bilangan konstan. Berdasarkan teorema akar, suatu persamaan mempunyai paling banyak satu solusi. Jelasnya, =2 adalah akar. Jawaban: =2. 4. Penggunaan domain definisi fungsi ketika menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan Suatu metode dianggap apabila ketika mempertimbangkan suatu persamaan atau pertidaksamaan, ternyata kedua bagiannya terdefinisi pada suatu himpunan tertentu yang terdiri dari satu bilangan atau lebih. Metode ini paling efektif ketika menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan yang mencakup fungsi kamu =; kamu =; kamu=; kamu = . Saat menyelesaikan persamaan atau pertidaksamaan, pindahkan semua suku ke ruas kiri dan pertimbangkan fungsinya f(x). Temukan domain definisinya D (p). Di mana: 1). Jika D (f) = , maka persamaan atau pertidaksamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian. 2). Jika D (f) = (a 1; a 2; a 3 .....a n), maka solusi nyata dari persamaan dan pertidaksamaan ini ada di antara angka-angka tersebut sebuah 1 ; sebuah 2 ; sebuah 3…..sebuah n. Sekarang Anda perlu memeriksa bilangan mana yang merupakan solusi persamaan atau pertidaksamaan. 3). Jika D (f) = [a; V], maka Anda perlu memeriksa apakah persamaan atau pertidaksamaan tersebut benar di ujung interval dan di setiap interval, dan apakah A< 0
, A di > 0, maka perlu dilakukan pemeriksaan secara berkala (a; 0) dan persamaan (1) tidak memiliki solusi. Jika Х>2, maka sinпХ≤1, X3 – X=(Х2 – 1)>2*3=6, artinya pada interval (2;+~) persamaan (1) juga tidak mempunyai keputusan . Jadi, X=0, X=1 dan X= - 1, dan hanya keduanya yang merupakan solusi persamaan awal. Menjawab:
X1=0, X2=1, X3= -1. Contoh3:
Selesaikan persamaannya. 2 sinпХ=Х – p/2 – Х+п/2. (2) Larutan:
Mari kita nyatakan =X – p/2 – X+p/2 dengan f(X). Dari definisi nilai mutlak maka f (X) = p untuk X≤ - p/2, f(X) = -2X untuk – p/2 Misalkan X dari interval (- n/2, n/2). Pada interval ini persamaan (2) dapat ditulis ulang dalam bentuk 2 sinпХ = - 2Х, yaitu dalam bentuk. sinХ= - Х/п. (3) Jelas bahwa X = 0 adalah solusi persamaan (3), dan karenanya merupakan persamaan awal. Mari kita buktikan bahwa persamaan (3) tidak mempunyai solusi lain pada interval (- n/2;n/2). Untuk X≠0, persamaan (3) ekuivalen dengan persamaan. Untuk nilai apa pun XЄ(- p/2;0)U(0;p/2), fungsi f(X)=sinX/X hanya mengambil nilai positif, oleh karena itu persamaan (3) tidak memiliki solusi pada himpunan (- p /2 ;0)U(0;p/2). Menjawab:
X=0; X=(-1)pp/6+Pn, n= 1,2…;=(-1)m+1p/6+Pm, m=1,2… Kesimpulan.
Saat mempelajari topik ini, saya sampai pada kesimpulan berikut: metode penyelesaian persamaan non-standar memungkinkan Anda memperoleh hasil dengan cara yang lebih rasional. Bila menggunakan metode non-standar, penyelesaiannya memakan waktu lebih sedikit dan juga lebih menarik. Daftar literatur bekas.
, . “Tugas dalam matematika. Persamaan dan ketidaksetaraan.” "Matematika dalam ujian lisan." , “Tugas menyusun persamaan.” , “Persamaan dan Pertidaksamaan.” , "Matematika. Metode untuk memecahkan masalah.” Solovyov A. F. "Perhitungan pemerataan." “Memecahkan pertidaksamaan kuadrat” - Memecahkan pertidaksamaan. Apa itu fungsi nol? Memecahkan pertidaksamaan kuadrat. Bagaimana cara mencari angka nol suatu fungsi? Tujuan pelajaran: Apa yang bergantung pada tanda koefisien pertama suatu fungsi kuadrat? Bagaimana pengaruh tanda diskriminan terhadap penyelesaian pertidaksamaan kuadrat? "Menyelesaikan Pertidaksamaan 2" - Tinjau sifat-sifat pertidaksamaan numerik. Aritmatika mental adalah latihan untuk pikiran. Menumbuhkan minat dalam matematika. Tahapan solusi grafis persamaan. Pulpen, krayon berbagai warna, penggaris, komputer. Menyelesaikan pertidaksamaan derajat pertama dengan satu variabel (solusi grafis). Peralatan. Memperbarui pengetahuan. “Pelajaran nonstandar” - Penolakan terhadap pola penyelenggaraan pembelajaran, rutinitas dan formalisme dalam pelaksanaannya. Pengaruh bentuk pembelajaran yang tidak baku terhadap proses pendidikan. Keterlibatan maksimal siswa kelas dalam kegiatan aktif selama pembelajaran. Rencana MO: Periode persiapan, analisis pelajaran sebenarnya. Menggunakan penilaian sebagai alat formatif (dan bukan hanya efektif). “Sifat-sifat ketidaksetaraan” - Sifat-sifat ketidaksetaraan. Apa itu ketimpangan? Pekerjaan lisan. Sifat-sifat pertidaksamaan apa yang kamu ketahui? Penjumlahan dan perkalian pertidaksamaan numerik. Buktikan ketidaksetaraan tersebut. Selesaikan ketimpangan tersebut. Definisi ketimpangan. Properti apa yang Anda gunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan? Memecahkan kesenjangan. Ketimpangan. “Persamaan dan pertidaksamaan irasional” - Persamaan dan pertidaksamaan irasional. Persamaan dan pertidaksamaan irasional. 3. Pengenalan variabel bantu. Metode solusi. 5. Mempersempit daerah pencarian akar-akar persamaan dengan mencari ODZ. Persamaan irasional Metode penyelesaian. 1. Eksponensial. 6. Metode grafis. Persamaan irasional dan pertidaksamaan dengan suatu parameter. "Persamaan dan Pertidaksamaan" - Memecahkan sistem secara grafis. 2. Temukan jumlah bilangan yang memenuhi pertidaksamaan tersebut. Temukan domain definisi fungsi. "Memecahkan persamaan dan pertidaksamaan." Rumusan tugas. Ketimpangan dalam CIM. Temukan produk x*y, di mana (x;y) adalah solusi sistem. kamu=x+2. x2 – 2x – 3 =0 Mari kita nyatakan sebagai x2 –3 = 2x.
Subjek: “Metode non-standar untuk menyelesaikan persamaan”
Target: meninjau beberapa teknik pemecahan persamaan untuk membantu siswa mempersiapkan diri untuk memecahkan masalah ujian akhir. Selama kelas. 1. Kajian materi teori. METODE PEMILIHAN AKAR
. Persamaan bentuk https://pandia.ru/text/78/386/images/image002_13.png" width="47" height="29 src=">.png" width="143" height="29 src =" >persamaan rasional derajat ke-n. 1) Jika bilangan bulat N adalah root.png" width="22" height="29 src=">.png" width="22" height="29 src=">.png" width="10" height = "40 src=">.png" width="52" height="29 src=">.png" width="23" height="29 src=">.png" width="260" height=" 30 src="> .
Larutan. Pada kasus ini https://pandia.ru/text/78/386/images/image015_5.png" width="252" height="29 src="> Jadi, pecahan yang tidak dapat direduksi https://pandia.ru/text/78/386/images/image017_5.png" width="69" height="40 src="> ;
https://pandia.ru/text/78/386/images/image019_4.png" height="40 src="> adalah solusi rasional dari persamaan awal. Contoh 2. Temukan akar bilangan bulat dari suatu polinomialF(X)=
https://pandia.ru/text/78/386/images/image021_1.png" width="143" height="29 src="> Dengan mensubstitusikan bilangan-bilangan yang dihasilkan ke dalam polinomial aslinya, Anda dapat memverifikasi bahwa bilangan 1, 2, -2 adalah akar-akar polinomial tersebut. 5) Polinomial adalah fungsi kontinu, jadi jika di ujungnya https://pandia.ru/text/78/386/images/image023_1.png" width="51" height="29 src="> ada di setidaknya satu akar dari polinomial ini. Contoh 3. Temukan setidaknya satu akar bilangan bulat dari suatu polinomialF(X)=
https://pandia.ru/text/78/386/images/image025_2.png" width="336" height="29 src="> Oleh karena itu, setidaknya satu akar terletak pada interval tersebut https://pandia.ru/text/78/386/images/image027_0.png" width="358" height="241 src="> Jadi, polinomial aslinya dapat ditulis dalam bentuk: 2https://pandia.ru/text/78/386/images/image029_1.png" width="214" height="29 src="> Larutan. Koefisien terdepan adalah 1, dan suku bebasnya mempunyai pembagi 1,2,8,16, oleh karena itu persamaan ini mempunyai akar rasional, maka akar tersebut tentu bilangan bulat dan terdapat di antara bilangan-bilangan tersebut jika https://pandia.ru /text/78/386/images/image031_0.png" width="16" height="29 src=">16..png" width="324" height="243 src="> Oleh karena itu, https://pandia.ru/text/78/386/images/image035_1.png" width="569" height="64 src="> Masalah untuk solusi mandiri.
1..png" lebar="265" tinggi="29 src="> 3..png" width="89" height="29 src=">+10x+24=0; 5..png" width="109" height="29 src=">.png" width="83" height="29 src=">.png" width="72" height="29 src="> .png" width="22" height="29 src=">.png" width="212" height="29 src=">.png" width="154" height="29 src=">.png "width="288" height="29 src=">+-https://pandia.ru/text/78/386/images/image055_1.png" width="624" height="58"> Polinomial ini harus sama persis dengan polinomial aslinya, hal ini dimungkinkan jika koefisien pada pangkat-pangkat yang bersesuaian sama. 2https://pandia.ru/text/78/386/images/image057_1.png" width="302" height="29 src=">.png" width="570" height="130 src="> =1.
Jadi, polinomial aslinya dapat ditulis sebagai: 2https://pandia.ru/text/78/386/images/image061_1.png" width="159" height="29 src="> Contoh1..png" width="286" height="25 src=">.png" width="146" height="25 src=">.png" width="149" height="103 src="> .png" lebar = "82" tinggi = "29 src = ">.png" lebar = "165" tinggi = "50 src = ">.png" lebar = "61" tinggi = "29 src = ">.
Jelas bahwa x = 1 adalah akar persamaan dan unik karena ruas kiri persamaan adalah fungsi menurun secara monoton. Akibatnya, setiap nilainya diambil satu kali.
meningkat di set 
Namun sekarang, tidak seperti yang dibahas sebelumnya, ruas kiri persamaan tidak menentukan fungsi monotonik. Namun, di sela-selanya 
fungsi yang ditunjukkan meningkat dan x=3 termasuk dalam interval ini. Jadi, di sela-selanya persamaan ini mempunyai akar tunggal. Masih menyelidiki perilaku fungsi y= 
pada segmen tersebut 
pada
pada segmen tersebut persamaan aslinya tidak mempunyai akar.
, t =1 adalah akarnya. Mari kita periksa: 12 3 1 +4=36+4=40 .5 2 3 =40, 40=40 t =1 akar, kita buktikan unik, untuk ini kita akan mengubah bentuk persamaannya.
Fungsi y=5 
meningkat secara monoton, dan y= 
menurun secara monoton untuk sembarang t, oleh karena itu persamaan untuk t hanya mempunyai satu akar t = 1, yang berarti persamaan awal hanya mempunyai satu akar x = 
- fungsi yang dihasilkan jelas menurun (basisnya bertambah, di bawah tanda logaritma fungsinya berkurang).
| : 2
, 
, 
Karena fungsi 
bersifat monotonik (kita buktikan pada persamaan sebelumnya), maka f (a)=f (t) setara dengan a =t, yaitu kita mendapatkan persamaannya
Perhatikan fungsi f (x )=1+ , fungsi ini meningkat secara monoton. Kita mempunyai persamaan f (f (x))=x.
. Membiarkan 
. Kita punya y 2 -y-1=0,
; kamu 1 = 
, kamu 2 = 
- tidak memenuhi syarat 
.
, 
, x= 
.
.
.
.
, fungsi ini meningkat secara monoton. Berdasarkan teorema tersebut, kita mempunyai persamaan ekuivalen: 
x 3 -2x+1=0, (x-1)(x 2 +x-1)=0. x 1 =1 atau x 2 +x-1=0, x 2,3 = 
, x 3 = 
, 
Persamaan ini berbentuk x =f (f (x)), dimana f (x)= 
, f (x) - meningkat secara monoton. Oleh karena itu persamaannya ekuivalen 
. Kami akan menggantinya 
, kita mendapatkan 2y 3 -y-1=0. y 3 -y+y 3 -1=0,y(y 2 -1)+(y-1)(y 2 +y+1)=0,(y-1)(y 2 +1+y 2 + y+1)=0,(y-1)(2y 2 +y+1)=0
, x=1.
mempunyai jumlah akar ganjil.
mempunyai solusi unik.
, didefinisikan untuk semua x nyata, genap, karena f (-x)=f (x) dan domain definisinya simetris terhadap nol. Grafik fungsi f (x) simetris terhadap ordinat, x=0 simetris terhadap dirinya sendiri. Jadi, x=0 dapat menjadi satu-satunya solusi atau salah satu dari beberapa solusi. Mari kita cari f (0). f (0)=4 0 -2 0 a+4=5-a. f (0)=0 jika a=5. Untuk mengecualikan nilai a yang persamaan f (x) = 0 mempunyai dua solusi atau lebih, mari kita lakukan pemeriksaan. Jika a=5, maka f(x)=0. 
. Menyelesaikan persamaan ini menggunakan substitusi 
, kita mendapatkan 
, x=0 atau 
x=2;x=-2. Artinya, persamaan f(x) = 0 mempunyai tiga penyelesaian, dimana x = 0 adalah salah satunya. 1, dua akar di; .
,
Kemudian 
?
-solusi sistem.
