Besaran gerak suatu sistem, sebagai besaran vektor, ditentukan oleh rumus (4.12) dan (4.13).
Dalil. Turunan momentum sistem terhadap waktu sama dengan jumlah geometri semua gaya luar yang bekerja padanya.
Dalam proyeksi sumbu Cartesian kita memperoleh persamaan skalar.
Anda dapat menulis vektor
(4.28)
dan persamaan skalar
Yang menyatakan teorema tentang perubahan momentum sistem dalam bentuk integral: perubahan momentum sistem dalam selang waktu tertentu sama dengan jumlah impuls dalam selang waktu yang sama. Saat menyelesaikan masalah, persamaan (4.27) lebih sering digunakan
Hukum kekekalan momentum
Teorema perubahan momentum sudut
Teorema perubahan momentum sudut suatu titik terhadap pusat: turunan waktu dari momentum sudut suatu titik relatif terhadap pusat tetap sama dengan momen vektor gaya yang bekerja pada titik tersebut relatif terhadap pusat yang sama.
atau 
(4.30)
Membandingkan (4.23) dan (4.30), kita melihat bahwa momen-momen dari vektor-vektor dan berhubungan dengan ketergantungan yang sama seperti vektor-vektor dan vektor-vektor itu sendiri berhubungan (Gbr. 4.1). Jika kita memproyeksikan persamaan ke sumbu yang melalui pusat O, kita peroleh
(4.31)
Persamaan ini menyatakan teorema momentum sudut suatu titik relatif terhadap suatu sumbu.
|
(4.32)
Jika kita memproyeksikan ekspresi (4.32) ke sumbu yang melalui pusat O, kita memperoleh persamaan yang mencirikan teorema perubahan momentum sudut relatif terhadap sumbu.
(4.33)
Substitusikan (4.10) ke dalam persamaan (4.33), kita dapat menuliskan persamaan diferensial benda tegar yang berputar (roda, gandar, poros, rotor, dll) dalam tiga bentuk.
(4.34)
(4.35)
(4.36)
Oleh karena itu, disarankan untuk menggunakan teorema perubahan momentum kinetik untuk mempelajari gerak benda tegar, yang sangat umum dalam teknologi, rotasinya pada sumbu tetap.
Hukum kekekalan momentum sudut suatu sistem
1. Biarkan dalam ekspresi (4.32) .
Maka dari persamaan (4.32) berikut ini, yaitu. jika jumlah momen semua gaya luar yang diterapkan pada sistem terhadap suatu pusat tertentu sama dengan nol, maka momen kinetik sistem terhadap pusat tersebut akan konstan secara numerik dan arahnya.
2. Jika , maka . Jadi, jika jumlah momen gaya luar yang bekerja pada sistem terhadap sumbu tertentu adalah nol, maka momen kinetik sistem terhadap sumbu tersebut akan bernilai konstan.
Hasil ini menyatakan hukum kekekalan momentum sudut.
Dalam kasus benda tegar yang berputar, persamaan (4.34) mengikuti bahwa, jika , maka . Dari sini kita sampai pada kesimpulan berikut:
Jika sistem tidak dapat diubah (benda tegar mutlak), maka benda tegar tersebut berputar mengelilingi sumbu tetap dengan kecepatan sudut konstan.
Jika sistemnya dapat diubah, maka . Dengan bertambahnya (kemudian masing-masing elemen sistem menjauh dari sumbu rotasi), kecepatan sudut berkurang, karena , dan ketika menurun, ia bertambah, jadi, dalam kasus sistem variabel, dengan bantuan gaya dalam, kecepatan sudut dapat diubah.
Soal kedua tes D2 dikhususkan untuk teorema perubahan momentum sudut sistem relatif terhadap sumbu.
Soal D2
Sebuah platform horizontal homogen (bulat berjari-jari R atau persegi panjang dengan sisi R dan 2R, dengan R = 1,2 m) bermassa kg berputar dengan kecepatan sudut mengelilingi sumbu vertikal z, berjarak dari pusat massa C platform di a jarak OC = b (Gambar E2.0 – D2.9, tabel D2); Dimensi untuk semua platform persegi panjang ditunjukkan pada Gambar. D2.0a (tampak atas).
Pada saat tertentu, beban D bermassa kg mulai bergerak sepanjang saluran platform (di bawah pengaruh gaya dalam) menurut hukum, di mana s dinyatakan dalam meter, t - dalam hitungan detik. Pada saat yang sama, sepasang gaya dengan momen M (ditentukan dalam newtonometer; pada M< 0 его направление противоположно показанному на рисунках).
Tentukan, dengan mengabaikan massa poros, ketergantungannya yaitu. kecepatan sudut platform sebagai fungsi waktu.
Pada semua gambar, beban D ditunjukkan pada posisi dimana s > 0 (bila s< 0, груз находится по другую сторону от точки А). Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось z на заданном расстоянии OC = b от центра C.
Petunjuk arah. Soal D2 – untuk menerapkan teorema tentang perubahan momentum sudut sistem. Saat menerapkan teorema pada sistem yang terdiri dari platform dan beban, momentum sudut sistem relatif terhadap sumbu z ditentukan sebagai jumlah momen platform dan beban. Perlu diingat bahwa kecepatan absolut suatu beban adalah jumlah dari kecepatan relatif dan kecepatan portabel, yaitu. . Oleh karena itu, besarnya pergerakan beban ini 
. Kemudian Anda dapat menggunakan teorema Varignon (statis), yang menurutnya ; momen-momen ini dihitung dengan cara yang sama seperti momen gaya. Solusinya dijelaskan lebih detail pada contoh D2.
Saat memecahkan suatu masalah, akan berguna untuk menggambarkan dalam gambar bantu pemandangan platform dari atas (dari ujung z), seperti yang dilakukan pada Gambar. D2.0, a – D2.9, a.
Momen inersia suatu pelat bermassa m terhadap sumbu Cz, tegak lurus pelat dan melalui pusat massanya, sama dengan: untuk pelat persegi panjang dengan sisi dan
;
Untuk pelat bundar berjari-jari R
| Nomor kondisi | B | s = F(t) | M |
| R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 | -0,4 0,6 0,8 10 ton 0,4 -0,5t -0,6t 0,8t 0,4 0,5 | 4t -6 -8t -9 6 -10 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Contoh D2. Sebuah platform horizontal homogen (persegi panjang dengan sisi 2l dan l), memiliki massa, melekat secara kaku pada poros vertikal dan berputar mengelilingi suatu sumbu z dengan kecepatan sudut (Gbr. D2a ). Pada saat tertentu, torsi M mulai bekerja pada poros, dengan arah berlawanan ; sekaligus kargo D massa terletak di parit AB pada intinya DENGAN, mulai bergerak sepanjang saluran (di bawah pengaruh gaya dalam) menurut hukum s = CD = F(t).
Diketahui: m 1 = 16 kg, t 2= 10kg, aku= 0,5 m, = 2, s = 0,4t 2 (s - dalam meter, t - dalam detik), M= kt, Di mana k=6 Nm/dtk. Tentukan: - hukum perubahan kecepatan sudut platform.
Larutan. Pertimbangkan sistem mekanis yang terdiri dari platform dan beban D. Untuk menentukan w, kita menerapkan teorema perubahan momentum sudut sistem relatif terhadap sumbu z:
(1)
Mari kita gambarkan gaya luar yang bekerja pada sistem: gaya gravitasi reaksi dan torsi M. Karena gaya dan sejajar dengan sumbu z, dan reaksi memotong sumbu ini, momennya relatif terhadap sumbu z adalah sama dengan nol. Kemudian, dengan mempertimbangkan arah positif saat ini (yaitu berlawanan arah jarum jam), kita peroleh 
dan persamaan (1) akan mengambil bentuk ini.
Besarnya pergerakan sistem sebut jumlah geometri kuantitas gerak semua titik material sistem
Untuk memperjelas arti fisis dari (70), mari kita hitung turunan dari (64)
.
(71)
Menyelesaikan (70) dan (71) bersama-sama, kita memperoleh
.
(72)
Dengan demikian, vektor momentum suatu sistem mekanik ditentukan oleh hasil kali massa sistem dan kecepatan pusat massanya.
Mari kita hitung turunan dari (72)
.
(73)
Menyelesaikan (73) dan (67) bersama-sama, kita peroleh
.
(74)
Persamaan (74) menyatakan teorema berikut.
Dalil: Turunan waktu dari vektor momentum sistem sama dengan jumlah geometri seluruh gaya luar sistem.
Saat menyelesaikan masalah, persamaan (74) harus diproyeksikan ke sumbu koordinat:
.
(75)
Dari analisis (74) dan (75) berikut ini: hukum kekekalan momentum suatu sistem: Jika jumlah semua gaya pada sistem adalah nol, maka vektor momentumnya tetap besar dan arahnya.
Jika 
, Itu 
,Q
=
konstanta
.
(76)
Dalam kasus tertentu, hukum ini dapat dipenuhi sepanjang salah satu sumbu koordinat.
Jika 
, Itu, Q z =
konstanta.
(77)
Teorema perubahan momentum disarankan untuk digunakan dalam kasus di mana sistem mencakup benda cair dan gas.
Teorema perubahan momentum sudut suatu sistem mekanik
Besarnya gerak hanya mencirikan komponen gerak translasi. Untuk mengkarakterisasi gerak rotasi suatu benda, konsep momentum sudut utama sistem relatif terhadap pusat tertentu (momen kinetik) telah diperkenalkan.
Momen kinetik sistem relatif terhadap suatu pusat tertentu adalah jumlah geometri momen besaran gerak semua titiknya relatif terhadap pusat yang sama
.
(78)
Dengan memproyeksikan (22) pada sumbu koordinat, kita dapat memperoleh ekspresi momen kinetik relatif terhadap sumbu koordinat
.
(79)
Momen kinetik benda relatif terhadap sumbu sama dengan produk momen inersia benda terhadap sumbu ini dan kecepatan sudut benda
.
(80)
Dari (80) dapat disimpulkan bahwa momen kinetik hanya mencirikan komponen gerak rotasi.
Ciri-ciri aksi rotasi suatu gaya adalah momennya relatif terhadap sumbu rotasi.
Teorema perubahan momentum sudut menetapkan hubungan antara sifat gerak rotasi dan gaya yang menyebabkan gerak tersebut.
Dalil: Turunan waktu dari vektor momentum sudut sistem terhadap suatu pusat sama dengan jumlah geometri momen semua gaya luar sistem terhadappusat yang sama
.
(81)
Saat memecahkan masalah teknik (81), perlu dilakukan desain pada sumbu koordinat
Analisis mereka terhadap (81) dan (82) menyiratkan hukum kekekalan momentum sudut: Jika jumlah momen semua gaya luar terhadap pusat (atau sumbu) sama dengan nol, maka momen kinetik sistem terhadap pusat (atau sumbu) tersebut tetap besar dan arahnya.
,
atau 
Momen kinetik tidak dapat diubah oleh aksi gaya-gaya dalam sistem, tetapi karena gaya-gaya ini, momen inersia, dan juga kecepatan sudut, dapat diubah.
Yang terdiri dari N poin materi. Mari kita pilih titik tertentu dari sistem ini Mj dengan massa mj. Seperti diketahui, kekuatan eksternal dan internal bekerja pada titik ini.
Mari kita terapkan pada intinya Mj resultan dari semua kekuatan internal F ji dan resultan dari semua kekuatan eksternal F je(Gambar 2.2). Untuk titik material yang dipilih Mj(untuk titik bebas) kita tuliskan teorema perubahan momentum dalam bentuk diferensial (2.3):
Mari kita tulis persamaan serupa untuk semua titik sistem mekanik (j=1,2,3,…,n).
Gambar 2.2
Mari kita tambahkan semuanya sepotong demi sepotong N persamaan:
∑d(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i, (2.9)
d∑(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i. (2.10)
Di Sini ∑m j ×V j =Q– besarnya gerak sistem mekanis;
∑F je = R e– vektor utama dari semua gaya eksternal yang bekerja pada sistem mekanik;
∑F j i = R i =0– vektor utama gaya dalam sistem (menurut sifat gaya dalam, sama dengan nol).
Terakhir, untuk sistem mekanis yang kita peroleh
dQ/dt = R e. (2.11)
Ekspresi (2.11) adalah teorema tentang perubahan momentum suatu sistem mekanik dalam bentuk diferensial (dalam ekspresi vektor): turunan waktu dari vektor momentum suatu sistem mekanik sama dengan vektor utama semua gaya luar yang bekerja pada sistem.
Memproyeksikan persamaan vektor (2.11) ke sumbu koordinat Cartesian, kita memperoleh ekspresi teorema perubahan momentum sistem mekanik dalam ekspresi koordinat (skalar):
dQ x /dt = R x e;
dQ kamu /dt = R kamu;
dQ z /dt = R z e, (2.12)
itu. turunan waktu dari proyeksi momentum suatu sistem mekanik ke suatu sumbu sama dengan proyeksi ke sumbu ini dari vektor utama semua gaya luar yang bekerja pada sistem mekanik ini.
Mengalikan kedua ruas persamaan (2.12) dengan dt, kita memperoleh teorema dalam bentuk diferensial lain:
dQ = R e ×dt = δS e, (2.13)
itu. momentum diferensial suatu sistem mekanik sama dengan impuls elementer dari vektor utama (jumlah impuls elementer) dari semua gaya luar yang bekerja pada sistem.
Mengintegrasikan persamaan (2.13) dalam perubahan waktu dari 0 menjadi T, kita memperoleh teorema tentang perubahan momentum suatu sistem mekanik dalam bentuk akhir (integral) (dalam ekspresi vektor):
Q - Q 0 = S e,
itu. perubahan momentum suatu sistem mekanik selama periode waktu yang terbatas sama dengan impuls total dari vektor utama (jumlah impuls total) dari semua gaya eksternal yang bekerja pada sistem selama periode waktu yang sama.
Dengan memproyeksikan persamaan vektor (2.14) ke sumbu koordinat Cartesian, kita memperoleh ekspresi teorema dalam proyeksi (dalam ekspresi skalar):
itu. perubahan proyeksi momentum sistem mekanik ke sumbu mana pun selama periode waktu yang terbatas sama dengan proyeksi ke sumbu yang sama dari impuls total vektor utama (jumlah impuls total) dari semua gaya eksternal bekerja pada sistem mekanik selama periode waktu yang sama.
Akibat wajar berikut mengikuti teorema (2.11) – (2.15):
- Jika R e = ∑F j e = 0, Itu Q = konstanta– kita mempunyai hukum kekekalan vektor momentum sistem mekanik: jika vektor utama Ulang jika semua gaya luar yang bekerja pada suatu sistem mekanik sama dengan nol, maka vektor momentum sistem tersebut tetap besar dan arahnya tetap serta sama dengan nilai awalnya pertanyaan 0, yaitu Q = Q 0.
- Jika R x e = ∑X j e =0 (R e ≠ 0), Itu Q x = konstanta– kita mempunyai hukum kekekalan proyeksi ke sumbu momentum sistem mekanik: jika proyeksi vektor utama semua gaya yang bekerja pada sistem mekanik ke sumbu mana pun adalah nol, maka proyeksi ke sumbu yang sama vektor momentum sistem ini akan bernilai konstan dan sama dengan proyeksi vektor momentum awal ke sumbu ini, yaitu. Q x = Q 0x.
Bentuk diferensial dari teorema perubahan momentum suatu sistem material mempunyai penerapan penting dan menarik dalam mekanika kontinum. Dari (2.11) kita dapat memperoleh teorema Euler.
§1. Momentum sistem (impuls sistem)
Kuantitas gerak (impuls tubuh) – besaran fisis vektor sama dengan hasil kali massa suatu benda dan kecepatannya:
Impuls (jumlah gerak) merupakan salah satu ciri paling mendasar dari gerak suatu benda atau sistem benda.
Mari kita menulis II Hukum Newton dalam bentuk yang berbeda, diberi percepatan Maka oleh karena itu
Hasil kali suatu gaya dan waktu kerjanya sama dengan pertambahan momentum benda:
Di mana- impuls gaya, yang menunjukkan bahwa hasil gaya tidak hanya bergantung pada besarnya, tetapi juga pada durasi kerjanya.
Besaran gerak sistem (impuls) disebut besaran vektor , sama dengan jumlah geometri (vektor utama) jumlah gerak (impuls) semua titik dalam sistem (Gbr.2):
Jelas dari gambar bahwa, terlepas dari nilai kecepatan titik-titik sistem (kecuali kecepatan ini paralel), vektordapat mengambil nilai apa pun dan bahkan sama dengan nol jika poligon dibuat dari vektor, akan tutup. Oleh karena itu, dalam ukurantidak mungkin untuk sepenuhnya menilai sifat pergerakan sistem.
Gambar.2. Kuantitas pergerakan sistem
§2. Teorema tentang perubahan momentum (momentum)
Misalkan suatu gaya bekerja pada suatu benda bermassa m untuk jangka waktu tertentu yang singkat Δt 
Akibatnya, selama waktu Δt benda bergerak dengan percepatan:
|
Dari hukum dasar dinamika(Hukum kedua Newton) berikut:
§3. Hukum kekekalan momentum (hukum kekekalan momentum)
Dari teorema perubahan momentum suatu sistem, dapat diperoleh akibat penting sebagai berikut:
1) Misalkan jumlah semua gaya luar yang bekerja pada sistem tertutup sama dengan nol:
Kemudian dari Persamaan. maka Q = = konstanta. Jadi, jika jumlah seluruh gaya luar yang bekerja pada sistem tertutup sama dengan nol, maka vektor momentum (momentum) sistem akan tetap besar dan arahnya.
2) Biarkan gaya-gaya luar yang bekerja pada sistem sedemikian rupa sehingga jumlah proyeksinya ke suatu sumbu (misalnya TENTANG X ) sama dengan nol:
Kemudian dari Persamaan.maka dalam kasus inipertanyaan x= konstanta. Jadi, jika jumlah proyeksi semua gaya luar yang bekerja pada suatu sumbu sama dengan nol, maka proyeksi jumlah gerak (momentum) sistem pada sumbu tersebut bernilai konstan.
Hasil ini diungkapkan hukum kekekalan momentum sistem: untuk setiap sifat interaksi antara benda-benda yang membentuk sistem tertutup, vektor momentum total sistem ini tetap konstan sepanjang waktu.
Oleh karena itu, gaya-gaya dalam tidak dapat mengubah jumlah gerak total sistem.
Hukum kekekalan momentum total suatu sistem terisolasi merupakan hukum alam universal. Dalam kasus yang lebih umum, ketika sistem tidak ditutup, darimaka momentum total sistem loop terbuka tidak tetap. Perubahannya per satuan waktu sama dengan jumlah geometri semua gaya luar.
Mari kita lihat beberapa contoh:
a) Fenomena recoil atau kemunduran. Jika kita menganggap senapan dan peluru sebagai satu sistem, maka tekanan gas bubuk selama tembakan akan menjadi gaya internal. Gaya ini tidak dapat mengubah momentum total sistem. Tetapi karena gas bubuk, yang bekerja pada peluru, memberikan sejumlah gerakan tertentu ke depan, mereka harus secara bersamaan memberikan jumlah gerakan yang sama ke senapan dalam arah yang berlawanan. Hal ini akan menyebabkan senapan bergerak mundur, mis. yang disebut pengembalian. Fenomena serupa terjadi ketika menembakkan senjata (rollback).
b) Pengoperasian baling-baling (propeller). Baling-baling memberikan gerakan pada massa udara (atau air) tertentu di sepanjang sumbu baling-baling, melemparkan massa tersebut ke belakang. Jika kita menganggap massa yang terlempar dan pesawat (atau kapal) sebagai satu sistem, maka gaya interaksi antara baling-baling dan lingkungan, sebagai gaya internal, tidak dapat mengubah jumlah gerak total sistem ini. Oleh karena itu, ketika massa udara (air) dilempar ke belakang, pesawat (atau kapal) menerima kecepatan maju yang sesuai, sehingga jumlah total gerak sistem yang dipertimbangkan akan tetap sama dengan nol, karena sebelumnya adalah nol. gerakan dimulai.
Efek serupa dicapai dengan aksi dayung atau roda dayung.
c) Penggerak jet. Dalam roket, produk pembakaran gas dari bahan bakar dikeluarkan dengan kecepatan tinggi dari lubang di bagian ekor roket (dari nosel mesin jet). Gaya tekanan yang bekerja dalam hal ini adalah gaya internal, dan gaya tersebut tidak dapat mengubah jumlah total gerak sistem roket - produk pembakaran bahan bakar. Namun karena gas yang keluar memiliki sejumlah gerakan yang diarahkan ke belakang, roket menerima kecepatan maju yang sesuai.
Soal tes mandiri:
Bagaimana rumusan teorema perubahan momentum suatu sistem?
Tuliskan ekspresi matematis teorema perubahan momentum sistem mekanik dalam bentuk diferensial dan integral.
Dalam keadaan manakah momentum sistem mekanik tidak berubah?
Bagaimana impuls gaya variabel ditentukan selama periode waktu yang terbatas? Apa yang menjadi ciri impuls gaya?
Berapakah proyeksi impuls gaya konstan dan variabel pada sumbu koordinat?
Berapakah impuls resultannya?
Bagaimana momentum suatu titik yang bergerak beraturan mengelilingi lingkaran berubah?
Berapakah momentum sistem mekanik?
Berapakah momentum roda gila yang berputar pada sumbu tetap melewati pusat gravitasinya?
Dalam kondisi apa momentum sistem mekanik tidak berubah? Dalam kondisi apa proyeksinya ke sumbu tertentu tidak berubah?
Mengapa pistolnya menggelinding kembali saat ditembakkan?
Dapatkah gaya dalam mengubah momentum suatu sistem atau momentum suatu bagian darinya?
Faktor apa saja yang menentukan kecepatan gerak bebas roket?
Apakah kecepatan akhir roket bergantung pada waktu pembakaran bahan bakar?
14. Besaran gerak suatu titik material dan sistem mekanik.
Jumlah alas/titik pintu disebut besaran vektor yang sama dengan hasil kali massa dan kecepatannya (berarah dan tangensial).
Jumlah motor kita sebut besaran vektor sama dengan jumlah geometri (vektor utama) banyaknya titik dari semua titik:
Jumlah motor sama dengan hasil kali massa seluruh benda dan kecepatan pusat massanya:
15. Dorongan gaya dasar dan dorongan gaya untuk jangka waktu tertentu.
Elem imp kekuatan disebut besaran vektor yang sama dengan hasil kali gaya dan selang waktu unsur dt: (berarah sepanjang garis kerja gaya)
Kekuatan impuls selama periode waktu tertentu t 1 sama dengan integral tertentu dari impuls unsur, diambil dalam kisaran 0
16. Teorema perubahan momentum suatu titik material dalam bentuk diferensial dan berhingga.
T-ma tentang mengubah jumlah bagian/titik yang bergerak dalam diff/bentuk: turunan waktu dari banyaknya titik yang bergerak sama dengan jumlah gaya yang bekerja pada titik tersebut:
Pada kecepatan t=0, pada kecepatan t 1 
T-ma tentang mengubah jumlah bagian/titik yang bergerak (dalam bentuk/con): perubahan kuantitas
Pergerakan suatu titik dalam selang waktu tertentu sama dengan jumlah impuls semua gaya yang bekerja pada titik tersebut dalam selang waktu yang sama.
17. Teorema perubahan momentum sistem mekanik. Hukum kekekalan momentum.
T-ma tentang mengubah jumlah motor dalam diff/bentuk: turunan waktu dari jumlah motor sama dengan jumlah geometri semua gaya yang bekerja pada motor tersebut
s-mu kekuatan eksternal. Pada
Pada t=0 jumlah pintu, pada t 1 jumlah/pintu: 
T-ma tentang perubahan jumlah motor dalam bentuk integral: perubahan jumlah/dv s-we selama periode waktu tertentu sama dengan jumlah impuls yang bekerja pada gaya luar s-th selama periode waktu yang sama.
Jumlah pengeringan motor:
1) Misalkan , maka=konstanta. Jika jumlah gaya luar yang bekerja pada c-mu sama dengan 0, maka vektor besaran/gerakan c-mu akan tetap besar dan arahnya.
2) Misalkan , maka=konstanta. Jika jumlah proyeksi semua gaya luar yang bekerja pada suatu sumbu sama dengan 0, maka proyeksi besaran/gerakan pada sumbu tersebut bernilai konstan.
18. Momen momentum suatu titik material terhadap pusat dan terhadap sumbu.
Momen jumlah titik relatif terhadap suatu pusat O disebut besaran vektor yang ditentukan oleh persamaan (berarah tegak lurus
bidang yang melewati dan berpusat di O)
Momen banyaknya titik relatif terhadap sumbu Oz yang melalui pusat O:
19. Momen kinetik suatu sistem mekanik terhadap pusat dan terhadap sumbu. Momen kinetik suatu benda tegar terhadap sumbu rotasinya.
Momen utama dari jumlah gerakan (atau momen kekerabatan) adalah relatif terhadap pusat ini Ini adalah besaran yang sama dengan jumlah geometri momen jumlah pergerakan semua titik relatif terhadap pusat ini:
Proyeksi sumbu:
Pada titik mana pun pada benda yang terletak jauh dari sumbu rotasi, kecepatannya adalah:
Momen kinetik rotasi benda terhadap sumbu rotasi sama dengan hasil kali momen inersia benda terhadap sumbu tersebut
dengan kecepatan sudut benda:
20. jumlah titik mat ganda - vektorMυ dimensi [kg*m\s]=[N*s]
Dalil: 
Selisih waktu dari jumlah dua titik kawin sama dengan jumlah geometri gaya-gaya yang bekerja pada titik-titik tersebut.
Kalikan dengandt, : d(mυ) 
. Dorongan penuhS=kalikan dengandtkita memperoleh bentuk akhir integral dari penulisan teorema:M
. – Perubahan jumlah dua titik matematis selama periode waktu tertentu sama dengan jumlah geometri impuls gaya yang bekerja pada titik tersebut selama periode waktu yang sama. Formulir catatan analitis:M
MM
(21). Teorema perubahan momen kinetik suatu sistem mekanik. Hukum kekekalan momentum sudut.
Momen T-ma untuk s-kita: turunan waktu momen utama dari jumlah gerak terhadap suatu pusat tetap sama dengan jumlah momen semua gaya luar terhadap pusat yang sama. Proyeksi sumbu:
Hukum kekekalan momentum:
| " |
