Dalam praktiknya, mencari jumlah suatu deret seringkali tidak begitu penting dibandingkan menjawab pertanyaan tentang kekonvergenan deret tersebut. Untuk tujuan ini, kriteria konvergensi digunakan berdasarkan sifat-sifat suku umum deret tersebut.
Tanda penting dari konvergensi suatu deret
TEOREMA 1
Jika bariskonvergen, maka istilah umumnya 
cenderung nol sebagai 
,
itu.
.
Secara singkat: Jika suatu deret konvergen, maka suku persekutuannya cenderung nol.
Bukti. Biarkan deret tersebut konvergen dan jumlahnya sama 
. Untuk siapa pun 
jumlah sebagian
.
Kemudian .
Dari kriteria konvergensi yang terbukti diperlukan, berikut ini tanda cukup divergensi suatu deret:
jika di 
Jika suku persekutuan suatu deret tidak cenderung nol, maka deret tersebut divergen.
Contoh 4.
Untuk seri ini istilah umumnya adalah 
Dan 
.
Oleh karena itu, rangkaian ini menyimpang.
Contoh 5. Periksa deret tersebut untuk konvergensi
Jelaslah bahwa suku umum deret ini, yang bentuknya tidak ditunjukkan karena rumitnya ungkapan, cenderung nol karena 
, yaitu kriteria yang diperlukan untuk konvergensi suatu deret terpenuhi, tetapi deret ini divergen, karena jumlahnya
cenderung tak terhingga.
Deret bilangan positif
Deret bilangan yang semua sukunya positif disebut tanda positif.
TEOREMA 2 (Kriteria konvergensi deret positif)
Agar suatu deret bertanda positif dapat konvergen, semua jumlah parsialnya harus dibatasi dari atas dengan bilangan yang sama.
Bukti. Sejak untuk siapa pun 
, lalu, yaitu. selanjutnya 
– meningkat secara monoton, oleh karena itu untuk adanya limit perlu dan cukup membatasi barisan dari atas dengan suatu bilangan.
Teorema ini lebih memiliki signifikansi teoretis daripada praktis. Di bawah ini adalah tes konvergensi lain yang lebih banyak digunakan.
Tanda-tanda konvergensi deret positif sudah cukup
TEOREMA 3 (Tanda perbandingan pertama)
Misalkan diberikan dua deret tanda positif:
(1)
(2)
dan, dimulai dari angka tertentu 
, untuk siapa pun 
ketimpangan tetap terjadi 
Kemudian:
Notasi skema fitur perbandingan pertama:
keturunan.berkumpul.
exp.exp.
Bukti. 1) Karena membuang sejumlah suku berhingga suatu deret tidak mempengaruhi konvergensinya, kita buktikan teorema untuk kasus tersebut 
. Biarkan itu terjadi pada siapa pun 
kita punya
, (3)
Di mana 
Dan
- masing-masing jumlah parsial dari deret (1) dan (2).
Jika deret (2) konvergen maka terdapat suatu bilangan 
.
Karena dalam hal ini urutannya 
- meningkat, batasnya lebih besar dari anggota mana pun, yaitu. 
untuk siapa pun 
.
Oleh karena itu, dari pertidaksamaan (3) berikut ini
.
Jadi, semua jumlah parsial deret (1) di atas dibatasi oleh bilangan tersebut 
.
Menurut Teorema 2, deret ini konvergen.
2) Memang benar, jika deret (2) konvergen, maka sebagai perbandingan, deret (1) juga akan konvergen.
Untuk menerapkan ciri ini sering digunakan deret standar yang konvergensi atau divergensinya telah diketahui sebelumnya, misalnya:
3)
-
Deret Dirichlet (konvergen di 
dan menyimpang pada 
).
Selain itu, sering digunakan deret yang dapat diperoleh dengan menggunakan pertidaksamaan nyata berikut:
,
,
,
.
Mari kita pertimbangkan, dengan menggunakan contoh spesifik, skema untuk mempelajari deret positif untuk konvergensi menggunakan kriteria perbandingan pertama.
Contoh 6. Jelajahi baris 
untuk konvergensi.
Langkah 1. Mari kita periksa tanda positif dari deret tersebut: 
Untuk 
Langkah 2. Mari kita periksa pemenuhan kriteria yang diperlukan untuk konvergensi suatu deret: 
. Karena 
, Itu 
(jika menghitung limitnya sulit, Anda dapat melewati langkah ini).
Langkah 3. Gunakan tanda perbandingan pertama. Untuk melakukan ini, kami akan memilih seri standar untuk seri ini. Karena 
, maka kita dapat mengambil rangkaian tersebut sebagai standar 
, yaitu Seri Dirichlet. Deret ini konvergen karena eksponennya 
. Oleh karena itu, menurut kriteria perbandingan pertama, deret yang diteliti juga konvergen.
Contoh 7. Jelajahi baris 
untuk konvergensi.
1) Deret ini positif, karena 
Untuk 
2) Kriteria yang diperlukan untuk konvergensi suatu deret terpenuhi, karena
3) Mari pilih baris standar. Karena 
, maka deret geometri tersebut dapat dijadikan standar
. Deret ini konvergen, sehingga deret yang diteliti juga konvergen.
TEOREMA 4 (Kriteria perbandingan kedua)
Kalau untuk seri positif
Dan
ada batas berhingga yang bukan nol 
, Itu
baris-barisnya menyatu atau menyimpang secara bersamaan.
Bukti. Biarkan deret (2) bertemu; Mari kita buktikan bahwa deret (1) juga konvergen. Mari kita pilih beberapa nomor 
,
lebih dari 
.
Dari kondisi tersebut
maka nomor seperti itu ada
itu untuk semua orang 
ketimpangan memang benar adanya 
,
atau, apa yang sama,
(4)
Setelah membuang yang pertama di baris (1) dan (2)
syarat (yang tidak mempengaruhi konvergensi), kita dapat berasumsi bahwa pertidaksamaan (4) berlaku untuk semua 
Tapi seri dengan anggota yang sama 
konvergen karena konvergensi deret (2). Menurut kriteria perbandingan pertama, pertidaksamaan (4) menyiratkan konvergensi deret (1).
Sekarang biarkan deret (1) bertemu; Mari kita buktikan konvergensi deret (2). Untuk melakukan ini, cukup tukar peran baris tertentu. Karena
maka berdasarkan pembuktian di atas, konvergensi deret (1) seharusnya berarti konvergensi deret (2).
Jika 
pada 
(tanda konvergensi yang diperlukan), lalu dari kondisi 
, ikuti itu 
Dan 
– sangat kecil dengan orde kekecilan yang sama (setara dengan 
). Oleh karena itu jika diberikan secara seri
, Di mana 
pada 
, maka untuk seri ini kita bisa mengambil seri standarnya
, di mana istilah umumnya 
mempunyai orde kecil yang sama dengan suku umum deret tertentu.
Saat memilih deret standar, Anda dapat menggunakan tabel ekuivalen sangat kecil berikut di 
:
1)
; 4)
;
2)
; 5)
;
3)
; 6)
.
Contoh 8. Periksa deret tersebut untuk konvergensi
.
untuk siapa pun 
.
Karena 
, maka deret divergen harmonik tersebut kita ambil sebagai deret standar 
. Karena batas rasio suku-suku umum 
Dan 
berhingga dan berbeda dengan nol (sama dengan 1), maka berdasarkan kriteria perbandingan kedua, deret ini divergen.
Contoh 9.
berdasarkan dua kriteria perbandingan.
Seri ini positif karena 
, Dan 
. Karena 
, maka deret harmonik tersebut dapat kita ambil sebagai deret baku 
. Deret ini divergen dan oleh karena itu, menurut tanda perbandingan pertama, deret yang diteliti juga divergen.
Karena untuk seri ini dan seri standar kondisinya terpenuhi 
(di sini digunakan batas luar biasa pertama), kemudian berdasarkan kriteria perbandingan kedua deret tersebut 
– menyimpang.
TEOREMA 5 (uji D'Alembert)
ada batas yang terbatas 
, maka deret tersebut konvergen di 
dan menyimpang pada 
.
Bukti. Membiarkan 
. Mari kita ambil beberapa nomor 
,
menyimpulkan antara 
dan 1: 
. Dari kondisi tersebut
maka dimulai dari suatu bilangan 
ketimpangan tetap terjadi
;
;
(5)
Pertimbangkan serinya
Menurut (5), semua suku deret (6) tidak melebihi suku-suku barisan geometri tak hingga 
Karena 
, perkembangan ini konvergen. Oleh karena itu, karena kriteria perbandingan pertama, konvergensi deret tersebut mengikuti
Kejadian 
pertimbangkan sendiri.
Catatan :
maka sisa serinya 
.
Uji D'Alembert berguna dalam praktiknya jika suku umum suatu deret berisi fungsi eksponensial atau faktorial.
Contoh 10. Periksa deret tersebut untuk konvergensi 
sesuai dengan tanda D'Alembert.
Seri ini positif dan
.
(Di sini, dalam perhitungan, aturan L'Hopital diterapkan dua kali).
kemudian, menurut kriteria d'Alembert, deret ini konvergen.
Contoh 11.
.
Seri ini positif dan 
. Karena
maka deret ini konvergen.
TEOREMA 6 (Uji Cauchy)
Kalau untuk seri positif
ada batas yang terbatas 
, lalu kapan 
deret tersebut konvergen, dan kapan 
barisnya menyimpang.
Buktinya mirip dengan Teorema 5.
Catatan :
Contoh 12. Periksa deret tersebut untuk konvergensi 
.
Seri ini positif karena 
untuk siapa pun 
. Sejak perhitungan limit 
menyebabkan kesulitan tertentu, maka kami menghilangkan pemeriksaan kelayakan kriteria yang diperlukan untuk konvergensi suatu deret.
kemudian, menurut kriteria Cauchy, deret ini menyimpang.
TEOREMA 7 (Uji integral untuk konvergensi Maclaurin - Cauchy)
Biarkan seri diberikan
yang syaratnya positif dan tidak bertambah:
Biarkan lebih jauh
- fungsi yang didefinisikan untuk semua nyata 
, terus menerus, tidak bertambah dan
Definisi dasar
Definisi. Jumlah suku-suku suatu barisan bilangan tak terhingga disebut deret bilangan.
Dalam hal ini, kita akan menyebut bilangan-bilangan tersebut sebagai anggota deret tersebut, dan un - suku umum deret tersebut.
Definisi. Jumlah, n = 1, 2, ... disebut jumlah hasil bagi (parsial) dari deret tersebut.
Dengan demikian, barisan jumlah parsial dari deret S1, S2, …, Sn, … dapat dipertimbangkan.
Definisi. Suatu deret disebut konvergen jika barisan jumlah parsialnya konvergen. Jumlah suatu deret konvergen adalah limit barisan dari jumlah parsialnya.
Definisi. Jika barisan jumlah parsial suatu deret divergen, mis. tidak mempunyai limit, atau mempunyai limit tak terhingga, maka deret tersebut disebut divergen dan tidak ada jumlah yang diberikan padanya.
Properti Baris
1) Konvergensi atau divergensi suatu deret tidak akan dilanggar jika sejumlah suku dalam deret tersebut diubah, dibuang, atau ditambah.
2) Perhatikan dua deret dan, di mana C adalah bilangan konstan.
Dalil. Jika suatu deret konvergen dan jumlahnya sama dengan S, maka deret tersebut juga konvergen dan jumlahnya sama dengan CS. (C 0)
3) Pertimbangkan dua baris dan. Jumlah atau selisih deret-deret tersebut disebut deret yang unsur-unsurnya diperoleh dari hasil penjumlahan (pengurangan) unsur-unsur asal yang bilangannya sama.
Dalil. Jika deret dan konvergen serta jumlah keduanya berturut-turut sama dengan S dan, maka deret tersebut juga konvergen dan jumlahnya sama dengan S+.
Selisih dua deret konvergen juga akan menjadi deret konvergen.
Jumlah deret konvergen dan deret divergen merupakan deret divergen.
Tidak mungkin membuat pernyataan umum tentang jumlah dua deret divergen.
Saat mempelajari deret, mereka pada dasarnya memecahkan dua masalah: mempelajari konvergensi dan mencari jumlah deret.
Kriteria Cauchy.
(kondisi perlu dan cukup untuk konvergensi deret tersebut)
Agar suatu barisan menjadi konvergen, perlu dan cukup bahwa untuk sembarang barisan terdapat bilangan N sehingga untuk n > N dan sembarang p > 0, dimana p adalah bilangan bulat, maka pertidaksamaan berlaku:
Bukti. (kebutuhan)
Misalkan untuk sembarang bilangan ada bilangan N sedemikian rupa sehingga terjadi pertidaksamaan
terpenuhi ketika n>N. Untuk n>N dan bilangan bulat apa pun p>0, pertidaksamaan juga berlaku. Dengan mempertimbangkan kedua pertidaksamaan tersebut, kita memperoleh:
Kebutuhannya telah terbukti. Kami tidak akan mempertimbangkan bukti kecukupan.
Mari kita rumuskan kriteria Cauchy untuk deret tersebut.
Agar suatu deret konvergen, maka untuk sembarang deret harus terdapat bilangan N sehingga untuk n>N dan sembarang p>0 maka pertidaksamaan tersebut berlaku.
Namun, dalam praktiknya, menggunakan kriteria Cauchy secara langsung sangatlah tidak nyaman. Oleh karena itu, sebagai aturan, uji konvergensi yang lebih sederhana digunakan:
1) Jika deret tersebut konvergen, maka suku persekutuan un harus cenderung nol. Namun kondisi ini belum cukup. Kita hanya dapat mengatakan bahwa jika suku persekutuannya tidak cenderung nol, maka deret tersebut pasti divergen. Misalnya, deret harmonik disebut divergen, meskipun suku umumnya cenderung nol.
Definisi dasar.
Definisi. Jumlah suku-suku suatu barisan bilangan tak hingga disebut seri angka.
Pada saat yang sama, angkanya 
kami akan menyebut mereka anggota seri, dan kamu N– anggota umum dari seri ini.
Definisi.
Jumlah 
,N
= 1, 2, …
disebut jumlah pribadi (sebagian). baris.
Dengan demikian, dimungkinkan untuk mempertimbangkan barisan jumlah parsial dari deret tersebut S 1 , S 2 , …, S N , …
Definisi.
Baris 
ditelepon konvergen, jika barisan jumlah parsialnya konvergen. Jumlah deret konvergen adalah limit barisan jumlah parsialnya.
Definisi. Jika barisan jumlah parsial suatu deret divergen, mis. tidak mempunyai limit, atau mempunyai limit tak terhingga, maka deret tersebut disebut berbeda dan tidak ada jumlah yang diberikan padanya.
Properti baris.
1) Konvergensi atau divergensi suatu deret tidak akan dilanggar jika sejumlah suku dalam deret tersebut diubah, dibuang, atau ditambah.
2) Pertimbangkan dua baris 
Dan 
, dimana C adalah bilangan konstan.
Dalil.
Jika baris 
konvergen dan jumlahnya samaS, lalu serinya 
juga konvergen, dan jumlahnya sama dengan CS.
(C
0)
3) Pertimbangkan dua baris 
Dan 
.Jumlah atau perbedaan dari rangkaian tersebut akan disebut rangkaian 
, dimana unsur-unsurnya diperoleh dengan cara menjumlahkan (mengurangi) unsur-unsur aslinya dengan bilangan yang sama.
Dalil.
Jika baris 
Dan 
konvergen dan jumlahnya masing-masing samaSDan
, lalu serinya 
juga konvergen dan jumlahnya samaS
+
.
Selisih dua deret konvergen juga akan menjadi deret konvergen.
Jumlah deret konvergen dan deret divergen merupakan deret divergen.
Tidak mungkin membuat pernyataan umum tentang jumlah dua deret divergen.
Saat mempelajari deret, mereka pada dasarnya memecahkan dua masalah: mempelajari konvergensi dan mencari jumlah deret.
Kriteria Cauchy.
(kondisi perlu dan cukup untuk konvergensi deret tersebut)
Agar berurutan 
konvergen, itu perlu dan cukup untuk apa pun 
ada nomor seperti ituN, itu diN
>
Ndan apa sajaP> 0, jika p adalah bilangan bulat, maka pertidaksamaan berikut akan berlaku:
.
Bukti. (kebutuhan)
Membiarkan 
, lalu untuk nomor apa pun
ada bilangan N sehingga pertidaksamaan tersebut
terpenuhi ketika n>N. Untuk n>N dan bilangan bulat apa pun p>0, pertidaksamaan juga berlaku 
. Dengan mempertimbangkan kedua pertidaksamaan tersebut, kita memperoleh:
Kebutuhannya telah terbukti. Kami tidak akan mempertimbangkan bukti kecukupan.
Mari kita rumuskan kriteria Cauchy untuk deret tersebut.
Agar serinya 
konvergen, itu perlu dan cukup untuk apa pun 
ada nomorNsedemikian rupa sehingga diN>
Ndan apa sajaP>0 maka ketimpangan akan tetap ada
.
Namun, dalam praktiknya, menggunakan kriteria Cauchy secara langsung sangatlah tidak nyaman. Oleh karena itu, sebagai aturan, uji konvergensi yang lebih sederhana digunakan:
1) Jika baris
konvergen, maka perlu suku yang sama kamu N cenderung nol. Namun kondisi ini belum cukup. Kita hanya dapat mengatakan bahwa jika suku persekutuannya tidak cenderung nol, maka deret tersebut pasti divergen. Misalnya saja yang disebut deret harmonik 
berbeda, meskipun suku umumnya cenderung nol.
Contoh. Selidiki konvergensi deret tersebut 
Kami akan menemukannya 
- kriteria konvergensi yang diperlukan tidak terpenuhi, yang berarti deretnya divergen.
2) Jika suatu deret konvergen, maka barisan jumlah parsialnya berbatas.
Namun tanda ini juga belum cukup.
Misalnya deret 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +… divergen, karena urutan jumlah parsialnya berbeda karena fakta itu
Namun, urutan penjumlahan parsial terbatas, karena 
apapun N.
Deret dengan suku non-negatif.
Ketika mempelajari deret tanda konstanta, kita akan membatasi diri untuk mempertimbangkan deret dengan suku non-negatif, karena cukup mengalikan dengan –1 dari deret ini dapat menghasilkan deret dengan suku negatif.
Dalil.
Untuk konvergensi deret tersebut 
dengan suku-suku non-negatif, jumlah sebagian deret tersebut perlu dan cukup untuk dibatasi.
Tanda untuk membandingkan deret dengan suku non-negatif.
Biarkan dua baris diberikan
Dan 
pada kamu N ,
ay N
0
.
Dalil.
Jika kamu N
ay N apapun N, lalu dari konvergensi deret tersebut 
deret tersebut menyatu
, dan dari divergensi deret tersebut
serinya menyimpang
.
Bukti.
Mari kita nyatakan dengan S N
Dan
N jumlah parsial deret
Dan 
. Karena sesuai dengan kondisi teorema, deret tersebut 
konvergen, maka jumlah parsialnya dibatasi, mis. di depan semua orang N n M, dimana M adalah bilangan tertentu. Tapi karena kamu N
ay N, Itu S N
N lalu jumlah parsial deret tersebut
juga terbatas, dan ini cukup untuk konvergensi.
Contoh. Periksa deret tersebut untuk konvergensi 
Karena 
, dan deret harmonik 
divergen, maka deret tersebut divergen 
.
Contoh.
Karena 
, dan serialnya 
konvergen (seperti barisan geometri menurun), lalu deret 
juga menyatu.
Kriteria konvergensi berikut juga digunakan:
Dalil.
Jika 
dan ada batasnya 
, Di manaH– angka selain nol, lalu deret 
Dan 
berperilaku identik dalam hal konvergensi.
tanda D'Alembert.
(Jean Leron d'Alembert (1717 - 1783) - matematikawan Perancis)
Kalau untuk seri 
dengan suku positif ada bilangan seperti ituQ<1,
что для всех достаточно больших
Nketimpangan tetap terjadi
lalu seri 
konvergen jika untuk semua jumlahnya cukup besarNkondisi terpenuhi
lalu seri 
menyimpang.
Tanda pembatas D'Alembert.
Kriteria pembatas D'Alembert merupakan konsekuensi dari kriteria D'Alembert di atas.
Jika ada batasnya 
, lalu kapan
< 1 ряд сходится, а при
> 1 – menyimpang. Jika
= 1, maka pertanyaan tentang konvergensi tidak dapat dijawab.
Contoh. Tentukan konvergensi deret tersebut 
.
Kesimpulan: deret tersebut konvergen.
Contoh. Tentukan konvergensi deret tersebut 
Kesimpulan: deret tersebut konvergen.
tanda Cauchy. (tanda radikal)
Kalau untuk seri 
dengan suku non-negatif ada bilangan seperti ituQ<1,
что для всех достаточно больших
Nketimpangan tetap terjadi
,
lalu seri 
konvergen, jika semuanya cukup besarNketimpangan tetap terjadi
lalu seri 
menyimpang.
Konsekuensi.
Jika ada batasnya 
, lalu kapan<1
ряд сходится, а при >Baris 1 menyimpang.
Contoh. Tentukan konvergensi deret tersebut 
.
Kesimpulan: deret tersebut konvergen.
Contoh. Tentukan konvergensi deret tersebut 
.
Itu. Uji Cauchy tidak menjawab pertanyaan tentang konvergensi deret tersebut. Mari kita periksa apakah kondisi konvergensi yang diperlukan terpenuhi. Seperti disebutkan di atas, jika suatu deret konvergen, suku persekutuan deret tersebut cenderung nol.
,
Dengan demikian, syarat konvergensi tidak terpenuhi, yang berarti deretnya divergen.
Tes Cauchy Integral.
Jika
(x) adalah fungsi positif kontinu yang menurun pada interval tersebut Dan 
lalu integralnya 
Dan 
berperilaku identik dalam hal konvergensi.
Seri bergantian.
Baris bergantian.
Deret bolak-balik dapat ditulis sebagai:
Di mana 
tanda Leibniz.
Jika tanda barisan berselang-seling
nilai absolutkamu Saya sedang menurun 
dan suku umumnya cenderung nol 
, maka deret tersebut konvergen.
Konvergensi deret mutlak dan bersyarat.
Mari kita perhatikan beberapa deret bergantian (dengan suku tanda sembarang).
(1)
dan suatu deret yang terdiri dari nilai mutlak anggota deret tersebut (1):
(2)
Dalil. Dari konvergensi deret (2) mengikuti konvergensi deret (1).
Bukti. Deret (2) adalah deret yang sukunya tidak negatif. Jika deret (2) konvergen, maka menurut kriteria Cauchy, untuk sembarang >0 terdapat bilangan N sehingga untuk n>N dan sembarang bilangan bulat p>0, pertidaksamaan berikut ini benar:
Menurut sifat nilai absolut:
Artinya, menurut kriteria Cauchy, dari konvergensi deret (2) muncul konvergensi deret (1).
Definisi.
Baris 
ditelepon benar-benar konvergen, jika deret tersebut konvergen 
.
Jelaslah bahwa untuk deret tanda konstan, konsep konvergensi dan konvergensi absolut adalah sama.
Definisi.
Baris 
ditelepon konvergen bersyarat, jika konvergen dan deretnya 
menyimpang.
Tes D'Alembert dan Cauchy untuk deret bergantian.
Membiarkan 
- seri bergantian.
tanda D'Alembert.
Jika ada batasnya 
, lalu kapan<1
ряд
akan benar-benar konvergen, dan kapan>
tanda Cauchy.
Jika ada batasnya 
, lalu kapan<1
ряд
akan konvergen mutlak, dan jika >1 maka deret tersebut akan divergen. Jika =1, tanda tersebut tidak memberikan jawaban tentang konvergensi deret tersebut.
Sifat-sifat deret mutlak konvergen.
1)
Dalil.
Untuk konvergensi mutlak deret tersebut 
perlu dan cukup untuk direpresentasikan sebagai selisih dua deret konvergen dengan suku-suku non-negatif.
Konsekuensi. Deret konvergen bersyarat adalah selisih dua deret divergen yang suku-sukunya tidak negatif cenderung nol.
2) Pada deret konvergen, setiap pengelompokan suku-suku deret yang tidak mengubah urutannya akan mempertahankan konvergensi dan besaran deret tersebut.
3) Jika suatu deret konvergen mutlak, maka deret yang diperoleh dari sembarang permutasi suku-suku tersebut juga konvergen mutlak dan mempunyai jumlah yang sama.
Dengan menata ulang suku-suku suatu deret konvergen bersyarat, seseorang dapat memperoleh deret konvergen bersyarat yang mempunyai jumlah tertentu, dan bahkan deret divergen.
4) Dalil. Untuk setiap pengelompokan anggota suatu deret yang benar-benar konvergen (dalam hal ini, jumlah kelompok dapat berhingga atau tidak terhingga, dan jumlah anggota suatu kelompok dapat berhingga atau tidak terhingga), diperoleh deret konvergen, jumlah yang sama dengan jumlah deret aslinya.
5) Jika baris 
Dan 
konvergen mutlak dan jumlah keduanya masing-masing sama S
dan , maka suatu deret yang terdiri dari semua hasil kali bentuk tersebut 
diambil dalam urutan apa pun, juga konvergen secara mutlak dan jumlahnya sama dengan S
- hasil kali jumlah deret yang dikalikan.
Jika Anda mengalikan deret konvergen bersyarat, Anda akan mendapatkan deret divergen sebagai hasilnya.
Urutan fungsional.
Definisi. Jika anggota deret tersebut bukan bilangan, melainkan fungsi X, maka rangkaian tersebut dipanggil fungsional.
Kajian konvergensi deret fungsional lebih rumit dibandingkan kajian deret numerik. Deret fungsi yang sama bisa, dengan nilai variabel yang sama X menyatu, dan dengan yang lain - menyimpang. Oleh karena itu, pertanyaan tentang konvergensi deret fungsional direduksi menjadi penentuan nilai-nilai variabel tersebut X, di mana deret tersebut bertemu.
Himpunan nilai-nilai tersebut disebut daerah konvergensi.
Karena limit setiap fungsi yang termasuk dalam daerah konvergensi deret tersebut adalah suatu bilangan tertentu, maka limit barisan fungsionalnya adalah suatu fungsi tertentu:
Definisi. Selanjutnya ( F N (X) } menyatu berfungsi F(X) pada segmen tersebut jika untuk sembarang bilangan >0 dan sembarang titik X dari ruas yang ditinjau terdapat bilangan N = N(,x), sehingga terjadi pertidaksamaan
terpenuhi ketika n>N.
Dengan nilai yang dipilih >0, setiap titik pada segmen tersebut memiliki nomornya sendiri dan oleh karena itu, akan ada banyak sekali angka yang bersesuaian dengan semua titik pada segmen tersebut. Jika Anda memilih yang terbesar dari semua bilangan ini, maka bilangan ini akan cocok untuk semua titik pada segmen tersebut, yaitu. akan umum untuk semua titik.
Definisi. Selanjutnya ( F N (X) } berkumpul secara seragam berfungsi F(X) pada interval jika untuk sembarang bilangan >0 terdapat bilangan N = N() sehingga pertidaksamaan
terpenuhi untuk n>N untuk semua titik pada segmen tersebut.
Contoh. Pertimbangkan urutannya 
Barisan ini konvergen pada seluruh garis bilangan ke fungsi tersebut F(X)=0 , Karena
Mari kita buat grafik dari urutan ini:
dosa 
Terlihat dengan semakin bertambahnya jumlah N grafik barisan mendekati sumbu X.
Seri fungsional.
Definisi.
Jumlah pribadi (sebagian). rentang fungsional 
fungsi dipanggil 
Definisi.
Rentang fungsional 
ditelepon konvergen pada titik ( x=x 0
), jika barisan jumlah parsialnya konvergen di titik ini. Batas urutan 
ditelepon jumlah baris 
pada intinya X 0
.
Definisi.
Kumpulan semua nilai X, yang deretnya konvergen 
ditelepon daerah konvergensi baris.
Definisi.
Baris 
ditelepon konvergen seragam pada suatu interval jika barisan jumlah parsial deret tersebut konvergen secara seragam pada interval tersebut.
Dalil. (Kriteria Cauchy untuk konvergensi deret yang seragam)
Untuk konvergensi seragam deret tersebut 
itu perlu dan cukup untuk nomor berapa pun
>0 nomor seperti itu adaN(
), yang padaN>
Ndan keseluruhan apa punP>0 ketimpangan
akan berlaku untuk semua x pada interval [A, B].
Dalil. (Uji Weierstrass untuk konvergensi seragam)
(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 – 1897) – matematikawan Jerman)
Baris 
konvergen secara seragam dan, terlebih lagi, secara mutlak pada interval [A,
B], jika modulus suku-sukunya pada ruas yang sama tidak melebihi suku-suku yang bersesuaian dari suatu deret bilangan konvergen dengan suku-suku positif:
itu. ada ketimpangan:
.
Mereka juga mengatakan bahwa dalam hal ini rangkaian fungsional 
adalah mayoritas seri angka 
.
Contoh. Periksa deret tersebut untuk konvergensi 
.
Karena 
selalu, jelas sekali 
.
Selain itu diketahui deret harmonik umum 
ketika=3>1 konvergen, maka sesuai dengan uji Weierstrass, deret yang diteliti konvergen secara seragam dan terlebih lagi pada interval berapa pun.
Contoh. Periksa deret tersebut untuk konvergensi 
.
Pada interval [-1,1] pertidaksamaan terjadi 
itu. menurut kriteria Weierstrass, deret yang diteliti konvergen pada segmen ini, tetapi menyimpang pada interval (-, -1) (1, ).
Sifat-sifat deret konvergen seragam.
1) Teorema kontinuitas jumlah suatu deret.
Jika anggota seri 
- kontinu pada segmen [A,
B] fungsi dan deretnya konvergen seragam, lalu jumlahnyaS(X) adalah fungsi kontinu pada interval [A,
B].
2) Teorema integrasi suku demi suku suatu deret.
Konvergen secara seragam pada segmen [A, B] suatu deret dengan suku-suku kontinu dapat diintegrasikan suku demi suku pada interval ini, yaitu. suatu deret yang terdiri dari integral-integral suku-sukunya pada segmen tersebut [A, B] , konvergen ke integral jumlah deret pada segmen ini.
3) Teorema diferensiasi suku demi suku suatu deret.
Jika anggota seri 
berkumpul di segmen [A,
B] mewakili fungsi kontinu yang memiliki turunan kontinu, dan deret yang terdiri dari turunan tersebut 
konvergen beraturan pada ruas tersebut, maka deret tersebut konvergen beraturan dan dapat dibedakan suku demi suku.
Berdasarkan kenyataan bahwa jumlah deret tersebut merupakan suatu fungsi dari variabel X, Anda dapat melakukan operasi merepresentasikan suatu fungsi dalam bentuk deret (perluasan suatu fungsi menjadi deret), yang banyak digunakan dalam integrasi, diferensiasi, dan operasi lain dengan fungsi.
Dalam praktiknya, perluasan fungsi deret pangkat sering digunakan.
Seri kekuatan.
Definisi. Seri kekuatan disebut rangkaian bentuk
.
Untuk mempelajari konvergensi deret pangkat, akan lebih mudah jika menggunakan uji D'Alembert.
Contoh. Periksa deret tersebut untuk konvergensi 
Kami menerapkan tanda d'Alembert:
.
Kami menemukan bahwa deret ini konvergen di 
dan menyimpang di 
.
Sekarang kita tentukan konvergensi pada titik batas 1 dan –1.
Untuk x = 1: 
Deret tersebut konvergen menurut kriteria Leibniz (lihat tanda Leibniz.).
Pada x = -1: 
deretnya divergen (deret harmonik).
teorema Habel.
(Nils Henrik Abel (1802 – 1829) – matematikawan Norwegia)
Dalil.
Jika rangkaian pangkat 
menyatu diX
=
X 1
, kemudian menyatu dan, terlebih lagi, untuk semua orang 
.
Bukti. Menurut ketentuan teorema, karena suku-suku deret tersebut terbatas, maka
Di mana k- beberapa bilangan konstan. Pertidaksamaan berikut ini benar:
Dari ketimpangan ini jelas kapan X<
X 1
nilai numerik suku-suku deret kita akan lebih kecil (setidaknya tidak lebih) dari suku-suku deret yang bersesuaian di sisi kanan pertidaksamaan yang ditulis di atas, yang membentuk barisan geometri. Penyebut dari perkembangan ini 
menurut syarat teorema kurang dari satu, oleh karena itu perkembangan ini merupakan deret konvergen.
Oleh karena itu, berdasarkan kriteria perbandingan, kami menyimpulkan bahwa seri tersebut 
konvergen yang artinya deret 
menyatu secara mutlak.
Jadi, jika rangkaian pangkat 
menyatu pada suatu titik X 1
, maka ia konvergen mutlak di sembarang titik dalam interval panjangnya 2 
terpusat pada suatu titik X
= 0.
Konsekuensi.
Jika di x = x 1
serinya berbeda, lalu berbeda untuk semua orang 
.
Jadi, untuk setiap deret pangkat terdapat bilangan positif R sehingga untuk semua X seperti yang 
seri ini benar-benar konvergen, dan untuk semua 
barisnya menyimpang. Dalam hal ini, bilangan R dipanggil radius konvergensi. Interval (-R, R) disebut interval konvergensi.
Perhatikan bahwa interval ini dapat ditutup pada satu atau kedua sisi, atau tidak ditutup.
Jari-jari konvergensi dapat dicari dengan menggunakan rumus:
Contoh. Temukan luas konvergensi deret tersebut 
Menemukan jari-jari konvergensi 
.
Oleh karena itu, deret ini konvergen untuk nilai berapa pun X. Suku umum deret ini cenderung nol.
Dalil.
Jika rangkaian pangkat 
menyatu untuk nilai positif x=x 1
, maka ia menyatu secara seragam dalam interval mana pun di dalamnya 
.
Tindakan dengan rangkaian kekuatan.
Dll. – pengetahuan paling minim tentang seri angka. Perlu dipahami apa itu deret, mampu mendeskripsikannya secara detail dan tidak melebarkan mata setelah kalimat “deret konvergen”, “deret divergen”, “jumlah deret”. Oleh karena itu, jika mood Anda sedang benar-benar nol, silakan luangkan waktu 5-10 menit untuk artikel ini Baris untuk boneka(secara harfiah 2-3 halaman pertama), lalu kembali lagi ke sini dan jangan ragu untuk mulai memecahkan contoh!
Perlu dicatat bahwa dalam banyak kasus, menemukan jumlah suatu deret tidaklah mudah, dan masalah ini biasanya dapat diselesaikan seri fungsional (kita akan hidup, kita akan hidup :)). Jadi, misalnya jumlah artis populer 
keluaran melalui Seri Fourier. Dalam hal ini, dalam praktiknya hampir selalu diperlukan instalasi fakta konvergensi, tetapi tidak untuk menemukan nomor tertentu (banyak, menurut saya, sudah memperhatikan ini). Namun, di antara banyaknya variasi seri angka, ada beberapa perwakilan yang memungkinkan teko teh penuh menyentuh tempat maha suci tanpa masalah. Dan pada pelajaran pendahuluan saya memberikan contoh barisan geometri yang menurun tak terhingga 
, yang besarnya mudah dihitung menggunakan rumus sekolah yang terkenal.
Pada artikel ini kita akan terus mempertimbangkan contoh-contoh serupa, selain itu, kita akan mempelajari definisi ketat dari suatu penjumlahan dan sepanjang jalan kita akan mengenal beberapa sifat deret. Mari kita melakukan pemanasan... dan mari kita melakukan pemanasan sesuai perkembangannya:
Contoh 1
Temukan jumlah serinya 
Larutan: Bayangkan deret kita sebagai penjumlahan dari dua deret:
Mengapa di dalam Apakah mungkin melakukan ini? Tindakan yang dilakukan didasarkan pada dua pernyataan sederhana:
1) Jika deret tersebut konvergen 
, maka deret yang terdiri dari jumlah atau selisih suku-suku yang bersesuaian juga akan konvergen: . Dalam hal ini, fakta penting yang sedang kita bicarakan berkumpul baris. Dalam contoh kita, kita kita tahu sebelumnya, bahwa kedua barisan geometri akan konvergen, yang berarti, tanpa ragu, kita menguraikan deret aslinya menjadi dua baris.
2) Properti kedua bahkan lebih jelas. Konstanta dapat dipindahkan ke luar deret: 
, dan ini tidak akan mempengaruhi konvergensi atau divergensinya dan jumlah akhirnya. Mengapa mengeluarkan konstanta? Ya, supaya dia “tidak menghalangi”. Namun terkadang ada baiknya jika tidak melakukan hal ini
Contoh bersihnya terlihat seperti ini:
Kita menggunakan rumus ini dua kali untuk mencari jumlah suatu barisan geometri yang menurun tak terhingga: , dimana adalah suku pertama barisan tersebut, adalah basis barisan tersebut.
Menjawab: jumlah seri
Permulaan solusi dapat dirancang dengan gaya yang sedikit berbeda - tulis deret secara langsung dan atur ulang anggotanya:
Lebih jauh di sepanjang jalur yang dilalui.
Contoh 2
Temukan jumlah serinya
Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.
Tidak ada kesenangan khusus di sini, tetapi suatu hari saya menemukan serial tidak biasa yang dapat mengejutkan orang yang tidak berpengalaman. Ini... juga merupakan perkembangan geometri yang menurun tanpa batas! Memang, jumlahnya dihitung hanya dalam beberapa saat: 
.
Dan sekarang nafas analisis matematis yang memberi kehidupan, yang diperlukan untuk memecahkan masalah lebih lanjut:
Berapakah jumlah suatu deret?
Definisi ketat tentang konvergensi/divergensi dan jumlah deret dalam teori diberikan melalui apa yang disebut jumlah sebagian baris. Parsial artinya tidak lengkap. Mari kita tuliskan jumlah parsial suatu deret bilangan 
:
Dan jumlah sebagian dari anggota seri “en” memainkan peran khusus:
Jika limit jumlah parsial suatu deret bilangan sama dengan terakhir nomor: , maka deret tersebut disebut konvergen, dan nomor itu sendiri adalah jumlah seri. Jika limitnya tidak terhingga atau tidak ada maka disebut deret berbeda.
Mari kita kembali ke baris demo 
dan tuliskan jumlah sebagiannya: 
Limit jumlah parsial adalah barisan geometri yang menurun tak terhingga, yang jumlahnya sama dengan: . Kami melihat batasan serupa dalam pelajaran tentang urutan angka. Sebenarnya rumusnya sendiri merupakan konsekuensi langsung dari perhitungan teoritis di atas (lihat Matan jilid ke-2).
Jadi, itu ditarik algoritma umum untuk memecahkan masalah kita: perlu menyusun jumlah parsial ke-n dari deret tersebut dan mencari limitnya. Mari kita lihat bagaimana hal ini dilakukan dalam praktiknya:
Contoh 3
Menghitung jumlah suatu deret 
Larutan: pada langkah pertama Anda perlu menguraikan suku umum deret tersebut ke jumlah pecahan. Kita gunakan metode koefisien tidak pasti:
Sebagai akibat:
Sekaligus Hal ini berguna untuk melakukan yang sebaliknya, sehingga memeriksa:
Suku umum deret tersebut diperoleh dalam bentuk aslinya, sehingga penguraian menjadi penjumlahan pecahan berhasil dilakukan.
Sekarang mari kita buat penjumlahan sebagian dari deret tersebut. Pada umumnya hal ini dilakukan secara lisan, namun sekali lagi saya akan uraikan sedetail mungkin apa asalnya: 
Cara penulisannya sudah jelas, tapi suku sebelumnya sama dengan apa? Dalam istilah umum deret tersebut 
ALIH-ALIH Kami mengganti "en":
Hampir semua ketentuan jumlah parsial berhasil dibatalkan: 
Kami membuat catatan seperti itu dengan pensil di buku catatan. Sangat nyaman.
Tetap menghitung batas dasar dan mencari tahu jumlah deretnya: 
Menjawab:
Seri serupa untuk solusi independen:
Contoh 4
Menghitung jumlah suatu deret 
Contoh perkiraan solusi akhir di akhir pelajaran.
Jelasnya, menemukan jumlah suatu deret merupakan bukti konvergensinya (selain itu tanda perbandingan, D'Alembert, Cauchy dll.), yang, khususnya, ditunjukkan oleh kata-kata dari tugas berikut:
Contoh 5
Temukan jumlah suatu deret atau tentukan divergensinya 
Dari penampilan anggota biasa, kamu bisa langsung tahu bagaimana perilaku kawan ini. Tidak ada kerumitan. Dengan menggunakan kriteria pembatas untuk perbandingan Sangat mudah untuk mengetahui (bahkan secara lisan) bahwa deret ini akan menyatu dengan deret tersebut. Namun kami memiliki kasus yang jarang terjadi ketika jumlahnya juga dihitung tanpa banyak kesulitan.
Larutan: Mari kita perluas penyebut pecahan menjadi suatu hasil kali. Untuk melakukan ini, Anda perlu memutuskan persamaan kuadrat:
Dengan demikian:
Lebih baik menyusun faktor-faktor dalam urutan menaik: .
Mari kita lakukan pemeriksaan perantara:
OKE
Jadi, suku umum deret tersebut adalah: 
Dengan demikian: 
Jangan malas:
Itu yang perlu diperiksa.
Mari kita tuliskan jumlah parsial “en” dari anggota deret tersebut, sambil memperhatikan fakta bahwa “penghitung” deret tersebut “mulai bekerja” dari bilangan tersebut. Seperti pada contoh sebelumnya, lebih aman meregangkan ular kobra hingga cukup panjang:
Namun jika kita menuliskannya dalam satu atau dua baris, masih akan cukup sulit untuk mengetahui singkatan istilahnya (ada 3 di setiap istilah). Dan di sini... geometri akan membantu kita. Mari kita buat ular itu menari mengikuti irama kita: 
Ya, begitu saja kita menulis satu istilah di bawah istilah lainnya di buku catatan dan mencoretnya begitu saja. Ngomong-ngomong, penemuanku sendiri. Seperti yang Anda pahami, bukan tugas termudah dalam hidup ini =)
Sebagai hasil dari semua pengurangan yang kami dapatkan:
Dan terakhir, jumlah deretnya:
Menjawab:
Contoh 8
Menghitung jumlah suatu deret 
Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri.
Masalah yang sedang dipertimbangkan, tentu saja, tidak menyenangkan kita dengan keragamannya - dalam praktiknya kita menghadapi deret geometri yang menurun tak terhingga atau deret dengan suku persekutuan rasional pecahan dan polinomial yang dapat didekomposisi pada penyebutnya (omong-omong, tidak semua seperti itu polinomial memungkinkan untuk menemukan jumlah deret). Namun, bagaimanapun, terkadang ada spesimen yang tidak biasa, dan menurut tradisi baik yang sudah ada, saya mengakhiri pelajaran dengan beberapa masalah yang menarik.
Jumlah suatu deret hanya dapat dihitung jika deret tersebut konvergen. Jika deret tersebut divergen, maka jumlah deret tersebut tidak terhingga dan tidak ada gunanya menghitung apa pun. Di bawah ini adalah contoh praktik mencari jumlah suatu deret yang ditanyakan di Universitas Nasional Ivan Franko Lviv. Tugas untuk deret tersebut dipilih sehingga kondisi konvergensi selalu terpenuhi, tetapi kami akan melakukan pemeriksaan konvergensi. Artikel ini dan artikel berikutnya merupakan solusi terhadap pengujian analisis deret.
Contoh 1.4 Hitung jumlah baris:
A)
Perhitungan: Karena batas suku persekutuan suatu deret pada bilangan berikutnya hingga tak terhingga adalah 0 
maka deret ini konvergen. Mari kita hitung jumlah deretnya. Untuk melakukan ini, kita mengubah suku umum dengan menguraikannya menjadi pecahan sederhana tipe I dan II. Cara penguraian menjadi pecahan sederhana tidak akan diberikan di sini (dijelaskan dengan baik saat mengintegrasikan pecahan), tetapi kami hanya akan menuliskan bentuk akhir penguraiannya. 
Berdasarkan hal tersebut, kita dapat menuliskan jumlah melalui jumlah deret yang dibentuk dari pecahan sederhana, kemudian dari selisih jumlah deret tersebut. 
Selanjutnya, kita menulis setiap baris menjadi jumlah eksplisit dan menyorot suku-sukunya (menggarisbawahi) yang akan berubah menjadi 0 setelah penjumlahan. Jadi, jumlah deret tersebut akan disederhanakan menjadi jumlah 3 suku (ditunjukkan dengan warna hitam), sehingga menghasilkan 33/40. 
Seluruh bagian praktis dalam mencari jumlah deret sederhana didasarkan pada hal ini.
Contoh deret kompleks direduksi menjadi jumlah deret dan deret yang menurun tak terhingga, yang ditemukan melalui rumus yang sesuai, tetapi kami tidak akan membahas contoh tersebut di sini.
B) 
Perhitungan: Tentukan limit suku ke-n dari jumlah tersebut 
Itu sama dengan nol, oleh karena itu deret yang diberikan konvergen dan masuk akal untuk mencari jumlahnya. Jika batasnya bukan nol, maka jumlah deretnya sama dengan tak terhingga dengan tanda plus atau minus.
Mari kita cari jumlah deretnya. Caranya, kita ubah suku persekutuan suatu deret yang berupa pecahan dengan menggunakan metode koefisien tak tentu menjadi jumlah pecahan sederhana tipe I. 
Selanjutnya, sesuai dengan instruksi yang diberikan sebelumnya, kita menulis jumlah deret tersebut melalui jumlah pecahan sederhana yang bersesuaian 
Kami menuliskan jumlahnya dan memilih suku-suku yang akan menjadi 0 jika dijumlahkan. 
Hasilnya, kita mendapatkan jumlah beberapa suku (disorot dengan warna hitam) yang sama dengan 17/6.
Contoh 1.9 Carilah jumlah deret tersebut:
A)
Komputasi: Menghitung batasan 
Kami memastikan bahwa deret ini konvergen dan kami dapat menemukan jumlahnya. Selanjutnya, kita menguraikan penyebut fungsi dari bilangan n menjadi faktor sederhana, dan mengubah seluruh pecahan menjadi jumlah pecahan sederhana tipe I 
Selanjutnya kita tuliskan jumlah deret tersebut sesuai dengan jadwal dalam dua suku sederhana 
Kami menulis deret tersebut secara eksplisit dan memilih suku-suku yang, setelah penjumlahan, akan berjumlah nol. Suku-suku yang tersisa (disorot dengan warna hitam) mewakili jumlah akhir deret tersebut 
Jadi, untuk mencari jumlah suatu deret, dalam praktiknya perlu mereduksi 3 pecahan sederhana menjadi penyebut yang sama.
B) 
Perhitungan: Batas suatu suku deret cenderung nol untuk nilai bilangan yang besar 
Oleh karena itu, deret tersebut konvergen dan jumlahnya berhingga. Mari kita cari jumlah deret tersebut; untuk melakukannya, pertama-tama kita menguraikan suku umum deret tersebut menjadi tiga tipe paling sederhana menggunakan metode koefisien tak tentu 
Dengan demikian, jumlah deret tersebut dapat diubah menjadi penjumlahan tiga deret sederhana 
Selanjutnya kita mencari suku-suku pada ketiga penjumlahan tersebut, yang setelah dijumlahkan akan berubah menjadi nol. Dalam deret yang memuat tiga pecahan sederhana, salah satunya menjadi sama dengan nol jika dijumlahkan (disorot dengan warna merah). Ini berfungsi sebagai semacam petunjuk dalam perhitungan 
Jumlah deret tersebut sama dengan jumlah 3 suku dan sama dengan satu.
Contoh 1.15 Hitung jumlah deretnya:
A) 
Perhitungan: Jika suku umum suatu deret cenderung nol 
deret ini menyatu. Mari kita ubah suku umum sedemikian rupa sehingga mendapatkan jumlah pecahan paling sederhana 
Selanjutnya deret tertentu, menurut rumus jadwal, ditulis melalui penjumlahan kedua deret tersebut 
Setelah ditulis secara eksplisit, sebagian besar suku deret tersebut akan menjadi sama dengan nol sebagai hasil penjumlahan. Yang tersisa hanyalah menghitung jumlah ketiga suku tersebut. 
Jumlah deret bilangan tersebut adalah -1/30.
B) 
Perhitungan: Karena batas suku persekutuan suatu deret adalah nol, 
maka deret tersebut konvergen. Untuk mencari jumlah suatu deret, kita menguraikan suku persekutuannya menjadi pecahan-pecahan yang paling sederhana. 
Saat menguraikan, metode koefisien yang tidak ditentukan digunakan. Kami menuliskan jumlah seri dari jadwal yang ditemukan 
Langkah selanjutnya adalah memilih suku-suku yang tidak memberikan kontribusi apa pun terhadap jumlah akhir dan sisanya 
Jumlah deretnya adalah 4,5.
Contoh 1.25 Hitung jumlah baris:
A) 
Karena sama dengan nol maka deret tersebut konvergen. Kita dapat mencari jumlah deret tersebut. Untuk melakukan ini, sesuai dengan skema contoh sebelumnya, kami memperluas suku umum deret tersebut melalui pecahan sederhana 
Hal ini memungkinkan Anda untuk menulis deret melalui jumlah deret sederhana dan, dengan menyorot suku-suku di dalamnya, menyederhanakan penjumlahannya. 
Dalam hal ini, akan tersisa satu suku yang sama dengan satu.
B)
Perhitungan: Mencari batas suku persekutuan suatu deret 
dan pastikan deret tersebut konvergen. Selanjutnya, kita menguraikan suku umum deret bilangan dengan menggunakan metode koefisien tak tentu menjadi pecahan yang paling sederhana. 
Dengan menggunakan pecahan yang sama kita menulis jumlah deretnya 
Kita tuliskan deretnya secara eksplisit dan sederhanakan menjadi jumlah 3 suku 
Jumlah deret tersebut adalah 1/4.
Ini melengkapi pengenalan skema penjumlahan seri. Deret-deret yang direduksi menjadi jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga, mengandung faktorial, ketergantungan pangkat, dan sejenisnya belum dibahas di sini. Namun materi yang disampaikan akan bermanfaat bagi siswa dalam kuis dan kuis.
