Tujuan layanan. Kalkulator online dirancang untuk menemukan solusi non-sepele dan mendasar terhadap SLAE. Solusi yang dihasilkan disimpan dalam file Word (lihat contoh solusi).
instruksi. Pilih dimensi matriks:
Sifat-sifat sistem persamaan linier homogen
Agar sistem memiliki solusi yang tidak sepele, pangkat matriksnya perlu dan cukup lebih kecil dari jumlah yang tidak diketahui.Dalil. Suatu sistem dalam kasus m=n mempunyai solusi nontrivial jika dan hanya jika determinan sistem ini sama dengan nol.
Dalil. Kombinasi linier apa pun dari solusi suatu sistem juga merupakan solusi sistem tersebut.
Definisi. Himpunan penyelesaian sistem persamaan linier homogen disebut sistem dasar solusi, jika himpunan ini terdiri dari solusi-solusi yang bebas linier dan setiap solusi pada sistem tersebut merupakan kombinasi linier dari solusi-solusi tersebut.
Dalil. Jika pangkat r matriks sistem lebih kecil dari bilangan n yang tidak diketahui, maka terdapat sistem solusi fundamental yang terdiri dari (n-r) solusi.
Algoritma untuk menyelesaikan sistem persamaan linier homogen
- Mencari rank matriks.
- Kami memilih minor dasar. Kami membedakan antara yang tidak diketahui yang bergantung (dasar) dan yang bebas.
- Kami mencoret persamaan-persamaan sistem yang koefisiennya tidak termasuk dalam basis minor, karena merupakan konsekuensi dari persamaan lain (menurut teorema basis minor).
- Kami memindahkan suku-suku persamaan yang mengandung hal-hal yang tidak diketahui bebas ke ruas kanan. Hasilnya, kita memperoleh sistem persamaan r dengan r persamaan yang tidak diketahui, setara dengan persamaan tertentu, yang determinannya bukan nol.
- Kami memecahkan sistem yang dihasilkan dengan menghilangkan hal-hal yang tidak diketahui. Kami menemukan hubungan yang mengekspresikan variabel terikat melalui variabel bebas.
- Jika pangkat matriks tidak sama dengan jumlah variabel, maka kita mencari solusi fundamental sistem tersebut.
- Dalam kasus rang = n kita mempunyai solusi sepele.
Contoh. Tentukan basis dari sistem vektor (a 1, a 2,...,am), rangking dan nyatakan vektor-vektor tersebut berdasarkan basisnya. Jika a 1 =(0,0,1,-1), dan 2 =(1,1,2,0), dan 3 =(1,1,1,1), dan 4 =(3,2,1 ,4), dan 5 =(2,1,0,3).
Mari kita tuliskan matriks utama sistem:
Kalikan baris ke-3 dengan (-3). Mari tambahkan baris ke-4 ke baris ke-3:
| 0 | 0 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
| 0 | -1 | -2 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 3 |
Kalikan baris ke-4 dengan (-2). Kalikan baris ke-5 dengan (3). Mari tambahkan baris ke-5 ke baris ke-4:
Mari tambahkan baris ke-2 ke baris ke-1:
Mari kita cari pangkat matriksnya.
Sistem dengan koefisien matriks ini ekuivalen dengan sistem aslinya dan berbentuk:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Dengan menggunakan metode menghilangkan hal yang tidak diketahui, kami menemukan solusi nontrivial:
Kami memperoleh hubungan yang menyatakan variabel terikat x 1 , x 2 , x 3 melalui variabel bebas x 4 , yaitu, kami menemukan solusi umum:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4
Menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier (SLAE) tidak diragukan lagi merupakan topik terpenting dalam mata kuliah aljabar linier. Sejumlah besar masalah dari semua cabang matematika direduksi menjadi penyelesaian sistem persamaan linear. Faktor-faktor ini menjelaskan alasan artikel ini. Materi artikel dipilih dan disusun sedemikian rupa sehingga dengan bantuannya Anda bisa
- pilih metode optimal untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier Anda,
- mempelajari teori metode yang dipilih,
- selesaikan sistem persamaan linier Anda dengan mempertimbangkan solusi terperinci untuk contoh dan masalah umum.
Deskripsi singkat materi artikel.
Pertama, kami memberikan semua definisi, konsep, dan memperkenalkan notasi yang diperlukan.
Selanjutnya, kita akan membahas metode penyelesaian sistem persamaan aljabar linier yang jumlah persamaannya sama dengan jumlah variabel yang tidak diketahui dan memiliki solusi unik. Pertama, kita akan fokus pada metode Cramer, kedua, kita akan menunjukkan metode matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan tersebut, dan ketiga, kita akan menganalisis metode Gauss (metode eliminasi berurutan dari variabel yang tidak diketahui). Untuk mengkonsolidasikan teori, kami pasti akan menyelesaikan beberapa SLAE dengan cara berbeda.
Setelah ini, kita akan melanjutkan ke penyelesaian sistem persamaan aljabar linier bentuk umum, yang jumlah persamaannya tidak sesuai dengan jumlah variabel yang tidak diketahui atau matriks utama sistemnya adalah tunggal. Mari kita merumuskan teorema Kronecker-Capelli, yang memungkinkan kita menetapkan kompatibilitas SLAE. Mari kita menganalisis solusi sistem (jika kompatibel) menggunakan konsep basis minor dari sebuah matriks. Kami juga akan mempertimbangkan metode Gauss dan menjelaskan secara rinci solusi dari contoh.
Kami pasti akan membahas struktur solusi umum sistem persamaan aljabar linier homogen dan tidak homogen. Mari kita berikan konsep sistem solusi fundamental dan tunjukkan bagaimana solusi umum SLAE ditulis menggunakan vektor sistem solusi fundamental. Untuk pemahaman yang lebih baik, mari kita lihat beberapa contoh.
Sebagai kesimpulan, kami akan mempertimbangkan sistem persamaan yang dapat direduksi menjadi persamaan linier, serta berbagai masalah yang penyelesaiannya menimbulkan SLAE.
Navigasi halaman.
Definisi, konsep, sebutan.
Kita akan mempertimbangkan sistem persamaan aljabar linier p dengan n variabel yang tidak diketahui (p bisa sama dengan n) dalam bentuk
Variabel yang tidak diketahui, - koefisien (beberapa bilangan real atau kompleks), - suku bebas (juga bilangan real atau kompleks).
Bentuk pencatatan SLAE ini disebut koordinat.
DI DALAM bentuk matriks penulisan sistem persamaan ini berbentuk,
Di mana 
- matriks utama sistem, - matriks kolom variabel yang tidak diketahui, - matriks kolom suku bebas.
Jika kita menambahkan kolom matriks suku bebas ke matriks A sebagai kolom ke-(n+1), kita memperoleh apa yang disebut matriks diperluas sistem persamaan linear. Biasanya matriks yang diperluas dilambangkan dengan huruf T, dan kolom suku bebas dipisahkan oleh garis vertikal dari kolom yang tersisa, yaitu, 
Memecahkan sistem persamaan aljabar linier disebut himpunan nilai variabel yang tidak diketahui yang mengubah semua persamaan sistem menjadi identitas. Persamaan matriks untuk nilai tertentu dari variabel yang tidak diketahui juga menjadi identitas.
Jika suatu sistem persamaan mempunyai paling sedikit satu penyelesaian, maka disebut persendian.
Jika suatu sistem persamaan tidak mempunyai solusi, maka disebut non-bersama.
Jika SLAE mempunyai solusi unik, maka SLAE disebut yakin; jika ada lebih dari satu solusi, maka – tidak pasti.
Jika suku bebas semua persamaan sistem sama dengan nol 
, maka sistem dipanggil homogen, jika tidak - heterogen.
Memecahkan sistem dasar persamaan aljabar linier.
Jika banyaknya persamaan suatu sistem sama dengan banyaknya variabel yang tidak diketahui dan determinan matriks utamanya tidak sama dengan nol, maka SLAE tersebut disebut dasar. Sistem persamaan tersebut mempunyai solusi yang unik, dan dalam kasus sistem homogen, semua variabel yang tidak diketahui sama dengan nol.
Kami mulai mempelajari SLAE tersebut di sekolah menengah. Saat menyelesaikannya, kita mengambil satu persamaan, menyatakan satu variabel yang tidak diketahui ke dalam variabel lain dan mensubstitusikannya ke persamaan yang tersisa, lalu mengambil persamaan berikutnya, menyatakan variabel berikutnya yang tidak diketahui dan mensubstitusikannya ke persamaan lain, dan seterusnya. Atau mereka menggunakan metode penjumlahan, yaitu menambahkan dua persamaan atau lebih untuk menghilangkan beberapa variabel yang tidak diketahui. Kami tidak akan membahas metode ini secara rinci, karena metode ini pada dasarnya merupakan modifikasi dari metode Gauss.
Metode utama penyelesaian sistem persamaan linier dasar adalah metode Cramer, metode matriks, dan metode Gauss. Mari kita selesaikan.
Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode Cramer.
Misalkan kita perlu menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier 
yang banyaknya persamaan sama dengan banyaknya variabel yang tidak diketahui dan determinan matriks utama sistem bukan nol, yaitu .
Misalkan menjadi determinan matriks utama sistem, dan 
- determinan matriks yang diperoleh dari A dengan penggantian 1, 2, …, n kolom masing-masing ke kolom anggota bebas: 
Dengan notasi ini, variabel yang tidak diketahui dihitung menggunakan rumus metode Cramer sebagai 
. Beginilah cara menemukan solusi sistem persamaan aljabar linier menggunakan metode Cramer.
Contoh.
metode Cramer 
.
Larutan.
Matriks utama sistem berbentuk 
. Mari kita hitung determinannya (jika perlu, lihat artikel): 
Karena determinan matriks utama sistem bukan nol, sistem mempunyai solusi unik yang dapat dicari dengan metode Cramer.
Mari kita menyusun dan menghitung determinan yang diperlukan 
(kita memperoleh determinan dengan mengganti kolom pertama matriks A dengan kolom suku bebas, determinan dengan mengganti kolom kedua dengan kolom suku bebas, dan mengganti kolom ketiga matriks A dengan kolom suku bebas) : 
Menemukan variabel yang tidak diketahui menggunakan rumus 
:
Menjawab:
Kerugian utama dari metode Cramer (jika bisa disebut kerugian) adalah rumitnya penghitungan determinan ketika jumlah persamaan dalam sistem lebih dari tiga.
Penyelesaian sistem persamaan aljabar linier menggunakan metode matriks (menggunakan matriks invers).
Misalkan suatu sistem persamaan aljabar linier diberikan dalam bentuk matriks, dimana matriks A berdimensi n kali n dan determinannya bukan nol.
Karena matriks A dapat dibalik, maka terdapat matriks invers. Jika kita mengalikan kedua ruas persamaan dengan kiri, kita memperoleh rumus untuk mencari kolom matriks dari variabel yang tidak diketahui. Beginilah cara kami memperoleh solusi sistem persamaan aljabar linier menggunakan metode matriks.
Contoh.
Memecahkan sistem persamaan linear metode matriks.
Larutan.
Mari kita tulis ulang sistem persamaan dalam bentuk matriks: 
Karena
maka SLAE dapat diselesaikan dengan menggunakan metode matriks. Dengan menggunakan matriks invers, solusi sistem ini dapat dicari sebagai 
.
Mari kita buat matriks invers menggunakan matriks penjumlahan aljabar elemen matriks A (jika perlu, lihat artikel): 
Tetap menghitung matriks variabel yang tidak diketahui dengan mengalikan matriks invers 
ke kolom matriks anggota bebas (jika perlu, lihat artikel): 
Menjawab:
atau dalam notasi lain x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Masalah utama dalam mencari solusi sistem persamaan aljabar linier dengan menggunakan metode matriks adalah rumitnya mencari matriks invers, terutama untuk matriks persegi yang ordenya lebih tinggi dari sepertiga.
Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode Gauss.
Misalkan kita perlu mencari solusi untuk sistem n persamaan linear dengan n variabel yang tidak diketahui 
determinan matriks utamanya bukan nol.
Inti dari metode Gauss terdiri dari pengecualian berurutan dari variabel yang tidak diketahui: pertama, x 1 dikeluarkan dari semua persamaan sistem, mulai dari persamaan kedua, kemudian x 2 dikeluarkan dari semua persamaan, mulai dari persamaan ketiga, dan seterusnya, hingga hanya variabel yang tidak diketahui x n tetap dalam persamaan terakhir. Proses transformasi persamaan sistem untuk menghilangkan variabel yang tidak diketahui secara berurutan disebut metode Gaussian langsung. Setelah menyelesaikan langkah maju metode Gaussian, x n dicari dari persamaan terakhir, dengan menggunakan nilai ini dari persamaan kedua dari belakang, x n-1 dihitung, dan seterusnya, x 1 dicari dari persamaan pertama. Proses menghitung variabel yang tidak diketahui ketika berpindah dari persamaan terakhir sistem ke persamaan pertama disebut kebalikan dari metode Gaussian.
Mari kita jelaskan secara singkat algoritma untuk menghilangkan variabel yang tidak diketahui.
Kita akan berasumsi demikian, karena kita selalu dapat mencapainya dengan menata ulang persamaan sistem. Mari kita hilangkan variabel x 1 yang tidak diketahui dari semua persamaan sistem, dimulai dari persamaan kedua. Caranya, pada persamaan kedua sistem kita tambahkan persamaan pertama, dikalikan dengan , pada persamaan ketiga kita tambahkan persamaan pertama, dikalikan dengan , dan seterusnya, pada persamaan ke-n kita tambahkan persamaan pertama, dikalikan dengan . Sistem persamaan setelah transformasi tersebut akan berbentuk 
dimana dan 
.
Kita akan mendapatkan hasil yang sama jika kita menyatakan x 1 dalam bentuk variabel lain yang tidak diketahui dalam persamaan pertama sistem dan mensubstitusikan ekspresi yang dihasilkan ke dalam semua persamaan lainnya. Jadi, variabel x 1 dikeluarkan dari semua persamaan mulai dari persamaan kedua.
Selanjutnya, kita melanjutkan dengan cara yang sama, tetapi hanya dengan bagian dari sistem yang dihasilkan, yang ditandai pada gambar 
Untuk melakukannya, pada persamaan ketiga sistem kita tambahkan persamaan kedua, dikalikan dengan , pada persamaan keempat kita tambahkan persamaan kedua, dikalikan dengan , dan seterusnya, pada persamaan ke-n kita tambahkan persamaan kedua, dikalikan dengan . Sistem persamaan setelah transformasi tersebut akan berbentuk 
dimana dan 
. Jadi, variabel x 2 dikeluarkan dari semua persamaan, mulai dari persamaan ketiga.
Selanjutnya, kita melanjutkan untuk menghilangkan x 3 yang tidak diketahui, sementara kita bertindak serupa dengan bagian sistem yang ditandai pada gambar 
Jadi kita lanjutkan perkembangan langsung metode Gaussian hingga sistem terbentuk 
Mulai saat ini kita memulai kebalikan dari metode Gaussian: kita menghitung x n dari persamaan terakhir sebagai , dengan menggunakan nilai x n yang diperoleh, kita mencari x n-1 dari persamaan kedua dari belakang, dan seterusnya, kita mencari x 1 dari persamaan pertama .
Contoh.
Memecahkan sistem persamaan linear metode Gauss.
Larutan.
Mari kita kecualikan variabel x 1 yang tidak diketahui dari persamaan kedua dan ketiga sistem. Untuk melakukan ini, pada kedua ruas persamaan kedua dan ketiga kita tambahkan bagian-bagian yang bersesuaian dari persamaan pertama, masing-masing dikalikan dengan dan dengan: 
Sekarang kita hilangkan x 2 dari persamaan ketiga dengan menjumlahkan ruas kiri dan kanannya ruas kiri dan kanan persamaan kedua, dikalikan dengan: 
Ini melengkapi gerakan maju dari metode Gauss; kita memulai gerakan mundur.
Dari persamaan terakhir dari sistem persamaan yang dihasilkan kita temukan x 3: 
Dari persamaan kedua kita peroleh.
Dari persamaan pertama kita menemukan sisa variabel yang tidak diketahui dan dengan demikian menyelesaikan kebalikan dari metode Gauss.
Menjawab:
X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier bentuk umum.
Secara umum, banyaknya persamaan sistem p tidak sama dengan banyaknya variabel yang tidak diketahui n:
SLAE tersebut mungkin tidak memiliki solusi, memiliki solusi tunggal, atau memiliki banyak solusi yang tak terhingga. Pernyataan ini juga berlaku untuk sistem persamaan yang matriks utamanya berbentuk persegi dan tunggal.
Teorema Kronecker – Capelli.
Sebelum menemukan solusi suatu sistem persamaan linear, perlu ditetapkan kompatibilitasnya. Jawaban atas pertanyaan kapan SLAE kompatibel dan kapan tidak konsisten diberikan oleh Teorema Kronecker – Capelli:
Agar suatu sistem persamaan p dengan n yang tidak diketahui (p dapat sama dengan n) konsisten, maka pangkat matriks utama sistem harus sama dengan pangkat matriks yang diperluas, yaitu , Pangkat(A)=Pangkat(T).
Mari kita perhatikan, sebagai contoh, penerapan teorema Kronecker – Capelli untuk menentukan kompatibilitas sistem persamaan linier.
Contoh.
Cari tahu apakah sistem persamaan linier memiliki 
solusi.
Larutan.
. Mari kita gunakan metode membatasi anak di bawah umur. Kecil dari urutan kedua 
berbeda dari nol. Mari kita lihat anak di bawah umur urutan ketiga yang berbatasan dengannya: 
Karena semua minor yang berbatasan dengan orde ketiga sama dengan nol, maka pangkat matriks utama sama dengan dua.
Pada gilirannya, peringkat matriks yang diperluas 
sama dengan tiga, karena minornya berada pada orde ketiga 
berbeda dari nol.
Dengan demikian, Rang(A), oleh karena itu, dengan menggunakan teorema Kronecker–Capelli, kita dapat menyimpulkan bahwa sistem persamaan linier asli tidak konsisten.
Menjawab:
Sistem tidak memiliki solusi.
Jadi, kita telah belajar menentukan inkonsistensi suatu sistem menggunakan teorema Kronecker–Capelli.
Tetapi bagaimana menemukan solusi untuk SLAE jika kompatibilitasnya telah ditetapkan?
Untuk itu diperlukan konsep basis minor suatu matriks dan teorema rank suatu matriks.
Minor dari orde tertinggi matriks A, selain nol, disebut dasar.
Dari definisi basis minor maka ordenya sama dengan rank matriks. Untuk matriks A yang bukan nol, terdapat beberapa basis minor; selalu ada satu basis minor.
Misalnya, perhatikan matriks 
.
Semua minor orde ketiga matriks ini sama dengan nol, karena elemen-elemen baris ketiga matriks ini adalah jumlah elemen-elemen yang bersesuaian pada baris pertama dan kedua.
Anak di bawah umur orde kedua berikut ini adalah bilangan dasar, karena bukan nol 
Anak di bawah umur 
tidak mendasar, karena sama dengan nol.
Teorema pangkat matriks.
Jika pangkat suatu matriks berorde p kali n sama dengan r, maka semua elemen baris (dan kolom) matriks yang tidak membentuk basis minor terpilih dinyatakan secara linier dalam bentuk elemen-elemen pembentuk baris (dan kolom) yang bersesuaian. dasar kecil.
Apa yang disampaikan oleh teorema pangkat matriks kepada kita?
Jika, menurut teorema Kronecker–Capelli, kita telah menetapkan kompatibilitas sistem, maka kita memilih basis minor mana pun dari matriks utama sistem (urutannya sama dengan r), dan mengecualikan dari sistem semua persamaan yang sesuai. tidak membentuk basis minor yang dipilih. SLAE yang diperoleh dengan cara ini akan ekuivalen dengan persamaan aslinya, karena persamaan yang dibuang masih mubazir (menurut teorema rank matriks, persamaan tersebut merupakan kombinasi linier dari persamaan yang tersisa).
Akibatnya, setelah membuang persamaan sistem yang tidak perlu, ada dua kasus yang mungkin terjadi.
Jika banyaknya persamaan r pada sistem yang dihasilkan sama dengan banyaknya variabel yang tidak diketahui, maka persamaan tersebut pasti dan penyelesaian satu-satunya dapat dicari dengan metode Cramer, metode matriks, atau metode Gauss.
Contoh.
.
Larutan.
Peringkat matriks utama sistem 
sama dengan dua, karena minornya berada pada orde kedua 
berbeda dari nol. Peringkat Matriks yang Diperluas 
juga sama dengan dua, karena satu-satunya minor orde ketiga adalah nol 
dan minor orde kedua yang dibahas di atas berbeda dari nol. Berdasarkan teorema Kronecker – Capelli, kita dapat menegaskan kompatibilitas sistem persamaan linear asli, karena Rank(A)=Rank(T)=2.
Kami mengambil minor sebagai dasarnya . Dibentuk oleh koefisien persamaan pertama dan kedua: 
Persamaan ketiga sistem tidak ikut serta dalam pembentukan basis minor, jadi kami mengecualikannya dari sistem berdasarkan teorema pangkat matriks: 
Ini adalah bagaimana kami memperoleh sistem dasar persamaan aljabar linier. Mari kita selesaikan menggunakan metode Cramer: 
Menjawab:
x 1 = 1, x 2 = 2.
Jika banyaknya persamaan r pada SLAE yang dihasilkan lebih kecil dari banyaknya variabel yang tidak diketahui n, maka pada ruas kiri persamaan kita tinggalkan suku-suku yang membentuk basis minor, dan pindahkan suku-suku yang tersisa ke ruas kanan persamaan. persamaan sistem yang bertanda berlawanan.
Variabel yang tidak diketahui (r diantaranya) yang tersisa di ruas kiri persamaan disebut utama.
Variabel yang tidak diketahui (ada n – r buah) yang berada di ruas kanan disebut bebas.
Sekarang kami percaya bahwa variabel bebas yang tidak diketahui dapat mengambil nilai sewenang-wenang, sedangkan r variabel utama yang tidak diketahui akan diekspresikan melalui variabel bebas yang tidak diketahui dengan cara yang unik. Ekspresinya dapat ditemukan dengan menyelesaikan SLAE yang dihasilkan menggunakan metode Cramer, metode matriks, atau metode Gauss.
Mari kita lihat dengan sebuah contoh.
Contoh.
Memecahkan sistem persamaan aljabar linier 
.
Larutan.
Mari kita cari rank matriks utama sistem 
dengan metode berbatasan dengan anak di bawah umur. Mari kita ambil 1 1 = 1 sebagai minor bukan nol pada orde pertama. Mari kita mulai mencari minor bukan nol dari orde kedua yang berbatasan dengan minor ini: 
Beginilah cara kami menemukan minor bukan nol pada orde kedua. Mari kita mulai mencari minor yang berbatasan dengan nol dari orde ketiga: 
Jadi, pangkat matriks utama adalah tiga. Pangkat matriks yang diperluas juga sama dengan tiga, yaitu sistemnya konsisten.
Kami mengambil minor bukan nol dari orde ketiga sebagai basisnya.
Untuk lebih jelasnya, kami tunjukkan unsur-unsur yang membentuk basis minor: 
Kami meninggalkan suku-suku yang terlibat dalam basis minor di sisi kiri persamaan sistem, dan memindahkan sisanya dengan tanda yang berlawanan ke sisi kanan: 
Mari kita berikan nilai arbitrer pada variabel bebas yang tidak diketahui x 2 dan x 5, yaitu kita terima 
, di mana angka arbitrer. Dalam hal ini, SLAE akan mengambil formulir tersebut 
Mari kita selesaikan sistem dasar persamaan aljabar linier yang dihasilkan menggunakan metode Cramer: 
Karena itu, .
Dalam jawaban Anda, jangan lupa untuk menunjukkan variabel bebas yang tidak diketahui.
Menjawab:
Dimana angka sembarang.
Meringkaskan.
Untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier umum, pertama-tama kita menentukan kompatibilitasnya menggunakan teorema Kronecker–Capelli. Jika rank matriks utama tidak sama dengan rank matriks yang diperluas, maka kita simpulkan bahwa sistem tersebut tidak kompatibel.
Jika pangkat matriks utama sama dengan pangkat matriks yang diperluas, maka kita memilih basis minor dan membuang persamaan sistem yang tidak ikut serta dalam pembentukan basis minor yang dipilih.
Jika orde basis minor sama dengan jumlah variabel yang tidak diketahui, maka SLAE mempunyai solusi unik yang dapat ditemukan dengan metode apa pun yang kita ketahui.
Jika orde basis minor lebih kecil dari jumlah variabel yang tidak diketahui, maka di sisi kiri persamaan sistem kita meninggalkan suku-suku dengan variabel utama yang tidak diketahui, memindahkan suku-suku yang tersisa ke ruas kanan dan memberikan nilai sembarang ke variabel bebas yang tidak diketahui. Dari sistem persamaan linear yang dihasilkan kita mencari variabel-variabel utama yang belum diketahui dengan menggunakan metode Cramer, metode matriks atau metode Gauss.
Metode Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier bentuk umum.
Metode Gauss dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier apa pun tanpa terlebih dahulu menguji kompatibilitasnya. Proses eliminasi berurutan dari variabel yang tidak diketahui memungkinkan untuk menarik kesimpulan tentang kompatibilitas dan ketidakcocokan SLAE, dan jika ada solusi, hal ini memungkinkan untuk menemukannya.
Dari sudut pandang komputasi, metode Gaussian lebih disukai.
Lihat penjelasan rinci dan contoh analisisnya di artikel Metode Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier umum.
Menulis solusi umum sistem aljabar linier homogen dan tidak homogen menggunakan vektor-vektor sistem dasar solusi.
Pada bagian ini kita akan membahas tentang sistem persamaan aljabar linier homogen dan tidak homogen simultan yang memiliki jumlah solusi tak terhingga.
Mari kita bahas sistem homogen terlebih dahulu.
Sistem solusi mendasar sistem homogen p persamaan aljabar linier dengan n variabel yang tidak diketahui merupakan himpunan (n – r) solusi bebas linier dari sistem ini, dengan r adalah orde basis minor matriks utama sistem.
Jika kita menyatakan solusi bebas linier dari SLAE homogen sebagai X (1) , X (2) , ..., X (n-r) (X (1) , X (2) , ..., X (n-r) berbentuk kolom matriks berdimensi n kali 1) , maka solusi umum sistem homogen ini direpresentasikan sebagai kombinasi linier vektor-vektor sistem fundamental solusi dengan koefisien konstanta sembarang C 1, C 2, ..., C (n-r), yang adalah, .
Apa yang dimaksud dengan istilah penyelesaian umum sistem persamaan aljabar linier homogen (oroslau)?
Artinya sederhana: rumusnya menentukan semua kemungkinan solusi dari SLAE asli, dengan kata lain, mengambil himpunan nilai konstanta sembarang C 1, C 2, ..., C (n-r), dengan menggunakan rumus kita akan dapatkan salah satu solusi dari SLAE homogen asli.
Jadi, jika kita menemukan sistem solusi fundamental, maka kita dapat mendefinisikan semua solusi dari SLAE homogen ini sebagai.
Mari kita tunjukkan proses membangun sistem dasar solusi SLAE homogen.
Kami memilih basis minor dari sistem persamaan linier asli, mengecualikan semua persamaan lain dari sistem dan memindahkan semua suku yang mengandung variabel bebas yang tidak diketahui ke ruas kanan persamaan sistem dengan tanda yang berlawanan. Mari kita beri nilai 1,0,0,...,0 pada variabel bebas yang tidak diketahui dan hitung variabel utama yang tidak diketahui dengan menyelesaikan sistem dasar persamaan linier yang dihasilkan dengan cara apa pun, misalnya, menggunakan metode Cramer. Ini akan menghasilkan X (1) - solusi pertama dari sistem fundamental. Jika kita memberikan nilai yang tidak diketahui gratis 0,1,0,0,…,0 dan menghitung yang tidak diketahui utama, kita mendapatkan X (2) . Dan seterusnya. Jika kita menetapkan nilai 0.0,...,0.1 ke variabel bebas yang tidak diketahui dan menghitung variabel utama yang tidak diketahui, kita memperoleh X (n-r) . Dengan cara ini, sistem dasar solusi SLAE homogen akan dibangun dan solusi umumnya dapat ditulis dalam bentuk .
Untuk sistem persamaan aljabar linier yang tidak homogen, solusi umum direpresentasikan dalam bentuk , di mana adalah solusi umum dari sistem homogen yang bersesuaian, dan merupakan solusi khusus dari SLAE tidak homogen asli, yang kita peroleh dengan memberikan nilai yang tidak diketahui bebas 0,0,…,0 dan menghitung nilai-nilai utama yang tidak diketahui.
Mari kita lihat contohnya.
Contoh.
Temukan sistem solusi dasar dan solusi umum sistem persamaan aljabar linier homogen 
.
Larutan.
Pangkat matriks utama sistem persamaan linier homogen selalu sama dengan pangkat matriks yang diperluas. Mari kita cari rank matriks utama dengan menggunakan metode border minor. Sebagai minor bukan nol orde pertama, kita ambil elemen a 1 1 = 9 dari matriks utama sistem. Mari kita cari minor bukan nol yang berbatasan dengan orde kedua: 
Minor orde kedua, selain nol, telah ditemukan. Mari kita menelusuri anak di bawah umur tingkat ketiga yang berbatasan dengannya untuk mencari yang bukan nol: 
Semua anak di bawah umur yang berbatasan dengan orde ketiga sama dengan nol, oleh karena itu, pangkat matriks utama dan matriks yang diperluas sama dengan dua. Mari kita ambil . Agar lebih jelas, mari kita perhatikan unsur-unsur sistem yang membentuknya: 
Persamaan ketiga SLAE asli tidak ikut serta dalam pembentukan basis minor, oleh karena itu dapat dikecualikan: 
Kita tinggalkan suku-suku yang mengandung hal-hal yang tidak diketahui utama di ruas kanan persamaan, dan pindahkan suku-suku yang mengandung hal-hal yang tidak diketahui bebas ke ruas kanan:
Mari kita membangun sistem dasar solusi dari sistem persamaan linear homogen asli. Sistem dasar solusi SLAE ini terdiri dari dua solusi, karena SLAE asli berisi empat variabel yang tidak diketahui, dan orde basis minornya sama dengan dua. Untuk mencari X (1), kita berikan nilai x 2 = 1 ke variabel bebas yang tidak diketahui, x 4 = 0, kemudian kita cari hal-hal utama yang tidak diketahui dari sistem persamaan 
.
Kami akan terus menyempurnakan teknologi kami transformasi dasar pada sistem persamaan linear yang homogen.
Berdasarkan paragraf pertama, materi mungkin terkesan membosankan dan biasa-biasa saja, namun kesan ini menipu. Selain pengembangan teknik lebih lanjut, akan banyak informasi baru, jadi mohon jangan mengabaikan contoh di artikel ini.
Apa yang dimaksud dengan sistem persamaan linear homogen?
Jawabannya muncul dengan sendirinya. Suatu sistem persamaan linier dikatakan homogen jika suku bebasnya setiap orang persamaan sistemnya adalah nol. Misalnya:
Hal ini sangat jelas sistem yang homogen selalu konsisten, artinya, selalu ada solusi. Dan, pertama-tama, yang menarik perhatian Anda adalah apa yang disebut remeh larutan 
. Sepele, bagi yang belum paham sama sekali arti kata sifat itu artinya tanpa pamer. Tentu saja tidak secara akademis, tetapi secara cerdas =) ...Mengapa bertele-tele, mari kita cari tahu apakah sistem ini memiliki solusi lain:
Contoh 1
Larutan: untuk menyelesaikan sistem homogen perlu ditulis matriks sistem dan dengan bantuan transformasi dasar membawanya ke bentuk bertahap. Harap dicatat bahwa di sini tidak perlu menuliskan garis vertikal dan kolom nol suku bebas - lagipula, apa pun yang Anda lakukan dengan angka nol, angka tersebut akan tetap nol: 
(1) Baris pertama ditambahkan ke baris kedua, dikalikan –2. Baris pertama ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan –3.
(2) Baris kedua ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan –1.
Membagi baris ketiga dengan 3 tidak masuk akal.
Sebagai hasil transformasi dasar, diperoleh sistem homogen yang setara 
, dan dengan menggunakan kebalikan dari metode Gaussian, mudah untuk memverifikasi bahwa solusi tersebut unik.
Menjawab: 
Mari kita merumuskan kriteria yang jelas: memiliki sistem persamaan linear yang homogen hanya solusi sepele, Jika peringkat matriks sistem(dalam hal ini 3) sama dengan jumlah variabel (dalam hal ini – 3 buah).
Mari kita melakukan pemanasan dan menyetel radio kita ke gelombang transformasi dasar:
Contoh 2
Memecahkan sistem persamaan linear homogen 
Untuk akhirnya mengkonsolidasikan algoritma, mari kita menganalisis tugas akhir:
Contoh 7
Selesaikan sistem homogen, tulis jawabannya dalam bentuk vektor. 
Larutan: mari kita tuliskan matriks sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap: 
(1) Tanda baris pertama diubah. Sekali lagi, saya menarik perhatian pada teknik yang telah ditemui berkali-kali, yang memungkinkan Anda menyederhanakan tindakan selanjutnya secara signifikan.
(1) Baris pertama ditambahkan ke baris ke-2 dan ke-3. Baris pertama, dikalikan 2, ditambahkan ke baris ke-4.
(3) Tiga garis terakhir proporsional, dua diantaranya dihilangkan.
Hasilnya, matriks langkah standar diperoleh, dan solusinya berlanjut di sepanjang jalur knurled:
– variabel dasar;
– variabel bebas.
Mari kita nyatakan variabel dasar dalam bentuk variabel bebas. Dari persamaan ke-2:
– substitusikan ke persamaan pertama:
Jadi solusi umumnya adalah:
Karena dalam contoh yang dibahas terdapat tiga variabel bebas, sistem fundamental memuat tiga vektor.
Mari kita substitusikan tiga nilai 
ke dalam solusi umum dan memperoleh vektor yang koordinatnya memenuhi setiap persamaan sistem homogen. Dan sekali lagi, saya ulangi bahwa sangat disarankan untuk memeriksa setiap vektor yang diterima - ini tidak akan memakan banyak waktu, tetapi ini akan sepenuhnya melindungi Anda dari kesalahan.
Untuk tiga kali lipat nilai 
temukan vektornya
Dan yang terakhir untuk ketiganya 
kita mendapatkan vektor ketiga:
Menjawab: , Di mana
Mereka yang ingin menghindari nilai pecahan dapat mempertimbangkan kembar tiga 
dan dapatkan jawaban dalam bentuk yang setara:
Berbicara tentang pecahan. Mari kita lihat matriks yang diperoleh dari soal 
dan mari kita bertanya pada diri sendiri: apakah mungkin untuk menyederhanakan solusi selanjutnya? Lagi pula, di sini pertama-tama kita menyatakan variabel dasar melalui pecahan, kemudian melalui pecahan sebagai variabel dasar, dan, harus saya katakan, proses ini bukanlah yang paling sederhana dan bukan yang paling menyenangkan.
Solusi kedua:
Idenya adalah untuk mencoba memilih variabel dasar lainnya. Mari kita lihat matriksnya dan perhatikan dua matriks di kolom ketiga. Jadi mengapa tidak ada angka nol di atas? Mari kita lakukan transformasi dasar lainnya:
Di sekolah, kita masing-masing mempelajari persamaan dan, kemungkinan besar, sistem persamaan. Namun tidak banyak orang yang mengetahui bahwa ada beberapa cara untuk mengatasinya. Hari ini kita akan menganalisis secara rinci semua metode untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier yang terdiri lebih dari dua persamaan.
Cerita
Saat ini diketahui bahwa seni menyelesaikan persamaan dan sistemnya berasal dari Babilonia Kuno dan Mesir. Namun, persamaan dalam bentuknya yang biasa muncul setelah munculnya tanda sama dengan "=", yang diperkenalkan pada tahun 1556 oleh ahli matematika Inggris, Record. Ngomong-ngomong, tanda ini dipilih karena suatu alasan: artinya dua segmen sejajar yang sama besar. Memang benar, tidak ada contoh kesetaraan yang lebih baik.
Pendiri sebutan huruf modern untuk tanda dan derajat yang tidak diketahui adalah seorang ahli matematika Perancis, namun sebutannya sangat berbeda dari yang ada saat ini. Misalnya, ia melambangkan persegi dengan bilangan yang tidak diketahui dengan huruf Q (lat. “quadratus”), dan sebuah kubus dengan huruf C (lat. “cubus”). Notasi ini tampaknya janggal saat ini, namun pada saat itu merupakan cara yang paling mudah dipahami untuk menulis sistem persamaan aljabar linier.
Namun, kelemahan metode penyelesaian pada masa itu adalah matematikawan hanya mempertimbangkan akar positif. Hal ini mungkin disebabkan oleh fakta bahwa nilai negatif tidak memiliki kegunaan praktis. Dengan satu atau lain cara, matematikawan Italia Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano, dan Raphael Bombelli-lah yang pertama kali menghitung akar negatif pada abad ke-16. Dan bentuk modern, metode penyelesaian utama (melalui diskriminan) baru diciptakan pada abad ke-17 berkat karya Descartes dan Newton.
Pada pertengahan abad ke-18, matematikawan Swiss Gabriel Cramer menemukan cara baru untuk mempermudah penyelesaian sistem persamaan linear. Metode ini kemudian dinamai menurut namanya dan kami masih menggunakannya sampai hari ini. Namun kita akan membahas metode Cramer nanti, namun untuk saat ini mari kita bahas persamaan linear dan metode penyelesaiannya secara terpisah dari sistem.
Persamaan linear
Persamaan linier merupakan persamaan paling sederhana yang mempunyai variabel (variabel). Mereka diklasifikasikan sebagai aljabar. dituliskan dalam bentuk umum sebagai berikut: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b. Kita perlu merepresentasikannya dalam bentuk ini saat menyusun sistem dan matriks nanti.
Sistem persamaan aljabar linier
Definisi istilah ini adalah: himpunan persamaan yang mempunyai besaran-besaran yang tidak diketahui dan penyelesaian yang sama. Biasanya, di sekolah setiap orang menyelesaikan sistem dengan dua atau bahkan tiga persamaan. Namun ada sistem dengan empat komponen atau lebih. Pertama-tama mari kita cari tahu cara menuliskannya agar mudah diselesaikan di masa mendatang. Pertama, sistem persamaan aljabar linier akan terlihat lebih baik jika semua variabel dituliskan sebagai x dengan subskrip yang sesuai: 1,2,3, dan seterusnya. Kedua, semua persamaan harus dibawa ke bentuk kanonik: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b.
Setelah semua langkah ini, kita dapat mulai berbicara tentang cara mencari solusi sistem persamaan linear. Matriks akan sangat berguna untuk ini.
Matriks
Matriks adalah tabel yang terdiri dari baris dan kolom, dan pada perpotongannya terdapat elemen-elemennya. Ini bisa berupa nilai atau variabel tertentu. Paling sering, untuk menunjukkan elemen, subskrip ditempatkan di bawahnya (misalnya, 11 atau 23). Indeks pertama berarti nomor baris, dan indeks kedua berarti nomor kolom. Berbagai operasi dapat dilakukan pada matriks, seperti pada elemen matematika lainnya. Dengan demikian, Anda dapat:
2) Kalikan matriks dengan bilangan atau vektor apa pun.
3) Transpose: mengubah baris matriks menjadi kolom, dan kolom menjadi baris.
4) Kalikan matriks jika jumlah baris salah satunya sama dengan jumlah kolom matriks lainnya.
Mari kita bahas semua teknik ini lebih terinci, karena akan berguna bagi kita di masa depan. Pengurangan dan penjumlahan matriks sangatlah mudah. Karena kita mengambil matriks dengan ukuran yang sama, setiap elemen dari satu tabel berkorelasi dengan setiap elemen dari tabel lainnya. Jadi, kita menjumlahkan (mengurangi) kedua elemen ini (penting agar keduanya berada di tempat yang sama dalam matriksnya). Saat mengalikan suatu matriks dengan suatu bilangan atau vektor, Anda cukup mengalikan setiap elemen matriks dengan bilangan (atau vektor tersebut). Transposisi adalah proses yang sangat menarik. Sangat menarik terkadang melihatnya dalam kehidupan nyata, misalnya saat mengubah orientasi tablet atau ponsel. Ikon-ikon di desktop mewakili sebuah matriks, dan ketika posisinya berubah, posisinya berubah dan menjadi lebih lebar, tetapi tingginya berkurang.
Mari kita lihat proses lain seperti: Meskipun kita tidak membutuhkannya, akan tetap berguna untuk mengetahuinya. Perkalian dua matriks hanya dapat dilakukan jika jumlah kolom pada suatu tabel sama dengan jumlah baris pada tabel lainnya. Sekarang mari kita ambil elemen baris dari satu matriks dan elemen kolom yang bersesuaian dari matriks lainnya. Mari kita mengalikannya satu sama lain lalu menjumlahkannya (yaitu, misalnya, hasil kali elemen a 11 dan a 12 dengan b 12 dan b 22 akan sama dengan: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Dengan demikian, satu elemen tabel diperoleh, dan diisi lebih lanjut menggunakan metode serupa.
Sekarang kita dapat mulai membahas bagaimana sistem persamaan linear diselesaikan.
metode Gauss
Topik ini mulai dibahas di sekolah. Kita mengetahui konsep “sistem dua persamaan linier” dengan baik dan mengetahui cara menyelesaikannya. Namun bagaimana jika jumlah persamaannya lebih dari dua? Ini akan membantu kita
Tentu saja, metode ini nyaman digunakan jika Anda membuat matriks dari sistem. Namun Anda tidak perlu mengubahnya dan menyelesaikannya dalam bentuk aslinya.
Lantas, bagaimana metode ini menyelesaikan sistem persamaan linear Gaussian? Ngomong-ngomong, meskipun metode ini dinamai menurut namanya, metode ini ditemukan pada zaman kuno. Gauss mengusulkan hal berikut: melakukan operasi dengan persamaan untuk pada akhirnya mereduksi seluruh himpunan menjadi bentuk bertahap. Artinya, dari atas ke bawah (jika disusun dengan benar) dari persamaan pertama ke persamaan terakhir yang tidak diketahui harus dikurangi. Dengan kata lain, kita perlu memastikan bahwa kita mendapatkan, katakanlah, tiga persamaan: persamaan pertama ada tiga yang tidak diketahui, persamaan kedua ada dua, dan persamaan ketiga ada satu. Kemudian dari persamaan terakhir kita mencari variabel pertama yang tidak diketahui, substitusikan nilainya ke persamaan kedua atau pertama, lalu cari dua variabel sisanya.
Metode Cramer
Untuk menguasai metode ini, Anda harus memiliki keterampilan penjumlahan dan pengurangan matriks, dan Anda juga harus mampu mencari determinannya. Oleh karena itu, jika Anda melakukan semua ini dengan buruk atau tidak tahu caranya sama sekali, Anda harus belajar dan berlatih.
Apa inti dari metode ini, dan bagaimana cara membuatnya sehingga diperoleh sistem persamaan linear Cramer? Semuanya sangat sederhana. Kita harus membuat matriks koefisien numerik (hampir selalu) dari sistem persamaan aljabar linier. Untuk melakukan ini, kita cukup mengambil angka-angka di depan yang tidak diketahui dan menyusunnya dalam sebuah tabel sesuai urutan penulisannya dalam sistem. Jika ada tanda “-” di depan bilangan tersebut, maka kita tuliskan koefisien negatifnya. Jadi, kami telah menyusun matriks pertama koefisien untuk yang tidak diketahui, tidak termasuk angka-angka setelah tanda sama dengan (tentu saja, persamaan tersebut harus direduksi menjadi bentuk kanonik, ketika hanya angka yang ada di sebelah kanan, dan semua yang tidak diketahui dengan koefisien adalah di kiri). Maka Anda perlu membuat beberapa matriks lagi - satu untuk setiap variabel. Untuk melakukan ini, kita mengganti setiap kolom dengan koefisien pada matriks pertama secara bergantian dengan kolom angka setelah tanda sama dengan. Jadi, kita memperoleh beberapa matriks dan kemudian mencari determinannya.
Setelah kita menemukan determinannya, itu persoalan kecil. Kami memiliki matriks awal, dan ada beberapa matriks yang dihasilkan yang sesuai dengan variabel berbeda. Untuk memperoleh solusi sistem, kita membagi determinan tabel yang dihasilkan dengan determinan tabel awal. Angka yang dihasilkan merupakan nilai salah satu variabel. Demikian pula, kita menemukan semua hal yang tidak diketahui.
Metode lain
Ada beberapa metode lagi untuk memperoleh solusi sistem persamaan linear. Misalnya saja yang disebut metode Gauss-Jordan, yang digunakan untuk mencari solusi sistem persamaan kuadrat dan juga dikaitkan dengan penggunaan matriks. Ada juga metode Jacobi untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier. Ini adalah cara termudah untuk beradaptasi dengan komputer dan digunakan dalam komputasi.
Kasus yang kompleks
Kompleksitas biasanya muncul ketika jumlah persamaan lebih kecil dari jumlah variabel. Kemudian kita dapat mengatakan dengan pasti bahwa sistem tersebut tidak konsisten (yaitu tidak memiliki akar), atau jumlah solusinya cenderung tak terhingga. Jika kita mempunyai kasus kedua, maka kita perlu menuliskan solusi umum sistem persamaan linear. Ini akan berisi setidaknya satu variabel.
Kesimpulan
Di sini kita sampai pada akhir. Mari kita rangkum: kita telah mengetahui apa itu sistem dan matriks, dan mempelajari cara menemukan solusi umum sistem persamaan linier. Selain itu, kami mempertimbangkan opsi lain. Kami menemukan cara menyelesaikan sistem persamaan linier: metode Gauss dan membicarakan kasus-kasus kompleks dan cara lain untuk menemukan solusi.
Faktanya, topik ini jauh lebih luas, dan jika Anda ingin memahaminya lebih baik, kami sarankan untuk membaca literatur yang lebih khusus.
Anda dapat memesan solusi terperinci untuk masalah Anda!!!Untuk memahami apa itu sistem keputusan mendasar Anda dapat menonton video tutorial untuk contoh yang sama dengan mengklik. Sekarang mari kita beralih ke deskripsi sebenarnya dari semua pekerjaan yang diperlukan. Ini akan membantu Anda memahami inti masalah ini secara lebih rinci.
Bagaimana cara mencari sistem dasar penyelesaian persamaan linear?
Mari kita ambil contoh sistem persamaan linear berikut:
Mari kita cari solusi dari sistem persamaan linier ini. Untuk memulainya, kita Anda perlu menuliskan matriks koefisien sistem.
Mari kita ubah matriks ini menjadi matriks segitiga. Kami menulis ulang baris pertama tanpa perubahan. Dan semua elemen yang berada di bawah $a_(11)$ harus dijadikan nol. Untuk membuat angka nol menggantikan elemen $a_(21)$, Anda perlu mengurangi baris pertama dari baris kedua, dan menulis selisihnya di baris kedua. Untuk membuat angka nol menggantikan elemen $a_(31)$, Anda perlu mengurangi baris pertama dari baris ketiga dan menulis selisihnya di baris ketiga. Untuk membuat angka nol menggantikan elemen $a_(41)$, Anda perlu mengurangi baris keempat yang pertama dikalikan 2 dan menuliskan selisihnya pada baris keempat. Untuk membuat angka nol menggantikan elemen $a_(31)$, Anda perlu mengurangi baris kelima yang pertama dikalikan 2 dan menuliskan selisihnya pada baris kelima. 
Kami menulis ulang baris pertama dan kedua tanpa perubahan. Dan semua elemen yang berada di bawah $a_(22)$ harus dijadikan nol. Untuk membuat angka nol menggantikan elemen $a_(32)$, Anda perlu mengurangi baris kedua yang dikalikan 2 dengan baris ketiga dan menuliskan selisihnya pada baris ketiga. Untuk membuat angka nol menggantikan elemen $a_(42)$, Anda perlu mengurangi baris kedua dikalikan 2 dengan baris keempat dan menuliskan selisihnya pada baris keempat. Untuk membuat angka nol menggantikan elemen $a_(52)$, Anda perlu mengurangi baris kedua dikalikan 3 dengan baris kelima dan menuliskan selisihnya pada baris kelima. 
Kami melihatnya tiga baris terakhir sama, jadi jika Anda mengurangkan angka ketiga dari angka keempat dan kelima, maka hasilnya akan menjadi nol. 
Menurut matriks ini tulis sistem persamaan baru.
Kita melihat bahwa kita hanya mempunyai tiga persamaan bebas linier, dan lima persamaan yang tidak diketahui, sehingga sistem penyelesaian fundamental akan terdiri dari dua vektor. Jadi kita kita perlu memindahkan dua hal terakhir yang tidak diketahui ke kanan.
Sekarang, kita mulai mengungkapkan hal-hal yang tidak diketahui yang ada di sisi kiri melalui hal-hal yang tidak diketahui di sisi kanan. Kita mulai dengan persamaan terakhir, pertama kita nyatakan $x_3$, lalu kita substitusikan hasilnya ke persamaan kedua dan nyatakan $x_2$, lalu ke persamaan pertama dan di sini kita nyatakan $x_1$. Jadi, kami mengungkapkan semua hal yang tidak diketahui di sisi kiri melalui hal yang tidak diketahui di sisi kanan. 
Lalu, alih-alih $x_4$ dan $x_5$, kita dapat mengganti angka apa saja dan mencari $x_1$, $x_2$, dan $x_3$. Masing-masing lima angka ini akan menjadi akar dari sistem persamaan awal kita. Untuk mencari vektor-vektor yang termasuk di dalamnya FSR kita perlu mengganti 1 sebagai ganti $x_4$, dan mengganti 0 sebagai ganti $x_5$, cari $x_1$, $x_2$ dan $x_3$, lalu sebaliknya $x_4=0$ dan $x_5=1$.
