Rasio kosinus yang berdekatan. Aturan mencari fungsi trigonometri: sinus, kosinus, tangen, dan kotangen. Konsep “sudut sinus” dan sinusoida

Bagaimana cara mencari sinus?

Mempelajari geometri membantu mengembangkan pemikiran. Mata pelajaran ini harus dimasukkan dalam pelatihan sekolah. Dalam kehidupan sehari-hari, pengetahuan tentang subjek ini dapat bermanfaat - misalnya, ketika merencanakan sebuah apartemen.

Dari sejarah

Mata kuliah geometri juga mencakup trigonometri yang mempelajari fungsi trigonometri. Dalam trigonometri kita mempelajari sinus, cosinus, garis singgung dan kotangen sudut.

Namun untuk saat ini, mari kita mulai dengan hal yang paling sederhana - sinus. Mari kita lihat lebih dekat konsep pertama - sinus sudut dalam geometri. Apa itu sinus dan bagaimana cara menemukannya?

Konsep “sudut sinus” dan sinusoida

Sinus suatu sudut adalah perbandingan nilai sisi berhadapan dan sisi miring suatu segitiga siku-siku. Ini adalah fungsi trigonometri langsung, yang ditulis sebagai “sin (x)”, dengan (x) adalah sudut segitiga.

Pada grafik, sinus suatu sudut ditunjukkan dengan gelombang sinus yang memiliki ciri tersendiri. Gelombang sinus tampak seperti garis bergelombang kontinu yang terletak dalam batas tertentu pada bidang koordinat. Fungsinya ganjil, sehingga simetris terhadap 0 pada bidang koordinat (keluar dari titik asal).

Domain definisi fungsi ini terletak pada rentang -1 hingga +1 pada sistem koordinat kartesius. Periode fungsi sudut sinus adalah 2 Pi. Artinya setiap 2 Pi polanya berulang dan gelombang sinus melewati satu siklus penuh.

Persamaan gelombang sinus

dosa x = a/c
dimana a adalah kaki yang berhadapan dengan sudut segitiga
c - sisi miring dari segitiga siku-siku

Sifat-sifat sinus suatu sudut

dosa(x) = - dosa(x). Ciri ini menunjukkan bahwa fungsinya simetris, dan jika nilai x dan (-x) diplot pada sistem koordinat di kedua arah, maka ordinat titik-titik tersebut akan berlawanan. Mereka akan berada pada jarak yang sama satu sama lain.
Ciri lain dari fungsi ini adalah grafik fungsi tersebut meningkat pada ruas [- P/2 + 2 Pn]; [P/2 + 2Pn], dengan n adalah bilangan bulat apa pun. Penurunan grafik sinus sudut akan diamati pada ruas: [P/2 + 2Pn]; [3P/2 + 2Pn].
sin(x) > 0 bila x berada pada rentang (2Пn, П + 2Пn)
(X)< 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)

Nilai sinus sudut ditentukan dengan menggunakan tabel khusus. Tabel tersebut dibuat untuk memudahkan proses penghitungan rumus dan persamaan yang kompleks. Mudah digunakan dan tidak hanya berisi nilai fungsi sin(x), tetapi juga nilai fungsi lainnya.

Selain itu, tabel nilai standar fungsi-fungsi tersebut termasuk dalam studi memori wajib, seperti tabel perkalian. Hal ini terutama berlaku untuk kelas dengan bias fisika dan matematika. Pada tabel Anda dapat melihat nilai sudut utama yang digunakan dalam trigonometri: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 dan 360 derajat.

Terdapat juga tabel yang menjelaskan nilai fungsi trigonometri sudut tidak baku. Dengan menggunakan tabel yang berbeda, Anda dapat dengan mudah menghitung sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari beberapa sudut.

Persamaan dibuat dengan fungsi trigonometri. Menyelesaikan persamaan tersebut mudah jika Anda mengetahui identitas trigonometri sederhana dan reduksi fungsinya, misalnya sin (P/2 + x) = cos (x) dan lain-lain. Tabel terpisah juga telah disusun untuk pengurangan tersebut.

Cara mencari sinus suatu sudut

Jika tugasnya adalah mencari sinus suatu sudut, dan sesuai dengan kondisi kita hanya mempunyai kosinus, tangen, atau kotangen sudut tersebut, kita dapat dengan mudah menghitung apa yang kita butuhkan dengan menggunakan identitas trigonometri.

dosa 2 x + cos 2 x = 1

Dari persamaan ini kita dapat mencari sinus dan cosinus, tergantung nilainya yang tidak diketahui. Kami mendapatkan persamaan trigonometri dengan satu yang tidak diketahui:

dosa 2 x = 1 - cos 2 x
dosa x = ± √ 1 - cos 2 x
cot 2 x + 1 = 1 / sin 2 x

Dari persamaan ini kita dapat mencari nilai sinus dengan mengetahui nilai kotangen sudut. Untuk menyederhanakannya, ganti sin 2 x = y dan Anda akan mendapatkan persamaan sederhana. Misalnya nilai kotangennya adalah 1, maka:

1 + 1 = 1/tahun
2 = 1/tahun
2у = 1
kamu = 1/2

Sekarang kami melakukan penggantian pemutar secara terbalik:

dosa 2 x = ½
dosa x = 1 / √2

Karena kita mengambil nilai kotangen untuk sudut standar (45 0), nilai yang diperoleh dapat dilihat pada tabel.

Jika Anda diberi nilai tangen dan perlu mencari sinus, identitas trigonometri lain akan membantu:

tg x * ctg x = 1

Oleh karena itu:

tempat tidur x = 1 / tan x

Untuk mencari sinus sudut tidak standar, misalnya 240 0, Anda perlu menggunakan rumus pengurangan sudut. Kita tahu bahwa π sama dengan 180 0. Jadi, kita menyatakan persamaan kita menggunakan sudut standar dengan pemuaian.

240 0 = 180 0 + 60 0

Kita perlu mencari yang berikut ini: sin (180 0 + 60 0). Trigonometri memiliki rumus reduksi yang berguna dalam kasus ini. Ini rumusnya:

sin(π + x) = - sin(x)

Jadi, sinus sudut 240 derajat sama dengan:

sin (180 0 + 60 0) = - sin (60 0) = - √3/2

Dalam kasus kita, x = 60, dan P, masing-masing, 180 derajat. Nilai (-√3/2) kami temukan dari tabel nilai fungsi sudut baku.

Dengan cara ini sudut tidak baku dapat diperbesar, contoh: 210 = 180 + 30.

Apa itu sinus, cosinus, tangen, kotangen suatu sudut akan membantu anda memahami segitiga siku-siku.

Sisi-sisi segitiga siku-siku disebut apa? Benar, sisi miring dan kaki: sisi miring adalah sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku (dalam contoh kita ini adalah sisi \(AC\)); kaki adalah dua sisi yang tersisa \(AB\) dan \(BC\) (sisi yang berdekatan dengan sudut siku-siku), dan jika kita menganggap kaki-kaki tersebut relatif terhadap sudut \(BC\), maka kaki \(AB\) adalah kaki yang bersebelahan, dan kaki \(BC\) yang berseberangan. Nah, sekarang mari kita jawab pertanyaannya: apa yang dimaksud dengan sinus, cosinus, tangen, dan kotangen suatu sudut?

Sinus sudut– ini adalah rasio kaki yang berlawanan (jauh) dengan sisi miring.

Dalam segitiga kita:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Kosinus sudut– ini adalah rasio kaki yang berdekatan (dekat) dengan sisi miring.

Dalam segitiga kita:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Garis singgung sudut– ini adalah perbandingan sisi yang berlawanan (jauh) dengan sisi yang berdekatan (dekat).

Dalam segitiga kita:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Kotangen sudut– ini adalah perbandingan kaki yang berdekatan (dekat) dengan kaki yang berlawanan (jauh).

Dalam segitiga kita:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Definisi-definisi ini diperlukan Ingat! Agar lebih mudah mengingat kaki mana yang akan dibagi menjadi apa, Anda perlu memahaminya dengan jelas garis singgung Dan kotangens hanya kakinya yang duduk, dan sisi miring hanya muncul di dalam sinus Dan kosinus. Dan kemudian Anda dapat membuat rantai asosiasi. Misalnya yang ini:

Cosinus→sentuh→sentuh→berdekatan;

Kotangen→sentuh→sentuh→berdekatan.

Pertama-tama, perlu diingat bahwa sinus, cosinus, tangen, dan kotangen sebagai perbandingan sisi-sisi suatu segitiga tidak bergantung pada panjang sisi-sisi tersebut (pada sudut yang sama). Tidak percaya? Kemudian pastikan dengan melihat gambar:

Misalnya, cosinus sudut \(\beta \) . Menurut definisi, dari segitiga \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), namun kita dapat menghitung kosinus sudut \(\beta \) dari segitiga \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Soalnya, panjang sisinya berbeda-beda, tetapi nilai cosinus salah satu sudutnya sama. Jadi, nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen hanya bergantung pada besar sudut.

Jika Anda memahami definisinya, lanjutkan dan gabungkan!

Untuk segitiga \(ABC \) yang ditunjukkan pada gambar di bawah, kita temukan \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(array) \)

Nah, apakah kamu mengerti? Kemudian coba sendiri: hitung hal yang sama untuk sudut \(\beta \) .

Jawaban: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Lingkaran satuan (trigonometri).

Memahami konsep derajat dan radian, kita menganggap lingkaran dengan jari-jari sama dengan \(1\) . Lingkaran seperti ini disebut lajang. Ini akan sangat berguna ketika mempelajari trigonometri. Oleh karena itu, mari kita lihat lebih detail.

Seperti yang Anda lihat, lingkaran ini dibangun dalam sistem koordinat Cartesian. Jari-jari lingkaran sama dengan satu, sedangkan pusat lingkaran terletak di titik asal koordinat, posisi awal vektor jari-jari tetap sepanjang arah positif sumbu \(x\) (dalam contoh kita, ini adalah jari-jari \(AB\)).

Setiap titik pada lingkaran berhubungan dengan dua angka: koordinat sepanjang sumbu \(x\) dan koordinat sepanjang sumbu \(y\). Berapakah bilangan koordinat tersebut? Dan secara umum, apa hubungannya dengan topik yang sedang dibahas? Untuk melakukan ini, kita perlu mengingat tentang segitiga siku-siku yang dianggap. Pada gambar di atas, Anda dapat melihat dua segitiga siku-siku utuh. Perhatikan segitiga \(ACG\) . Berbentuk persegi panjang karena \(CG\) tegak lurus terhadap sumbu \(x\).

Berapakah \(\cos \ \alpha \) dari segitiga \(ACG \)? Itu benar \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Selain itu, kita mengetahui bahwa \(AC\) adalah jari-jari lingkaran satuan, yang artinya \(AC=1\) . Mari kita substitusikan nilai ini ke dalam rumus kosinus kita. Inilah yang terjadi:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Berapakah \(\sin \ \alpha \) dari segitiga \(ACG \)? Ya, tentu saja, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Substitusikan nilai jari-jari \(AC\) ke dalam rumus ini dan dapatkan:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Jadi, bisakah kamu mengetahui koordinat titik \(C\) yang termasuk dalam lingkaran? Ya, tidak mungkin? Bagaimana jika Anda menyadari bahwa \(\cos \ \alpha \) dan \(\sin \alpha \) hanyalah angka? Koordinat manakah yang sesuai dengan \(\cos \alpha \)? Tentu saja koordinatnya \(x\)! Dan koordinat \(\sin \alpha \) berhubungan dengan apa? Benar, koordinat \(y\)! Jadi intinya \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Lalu \(tg \alpha \) dan \(ctg \alpha \) sama dengan apa? Itu benar, mari kita gunakan definisi yang sesuai dari tangen dan kotangen dan dapatkan itu \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Bagaimana jika sudutnya lebih besar? Misalnya saja seperti pada gambar ini:

Apa yang berubah dalam contoh ini? Mari kita cari tahu. Untuk melakukan ini, mari kita kembali ke segitiga siku-siku. Misalkan segitiga siku-siku \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : sudut (berdekatan dengan sudut \(\beta \) ). Berapakah nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen suatu sudut \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Itu benar, kami mematuhi definisi fungsi trigonometri yang sesuai:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \sudut ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)

Seperti yang Anda lihat, nilai sinus sudut masih sesuai dengan koordinat \(y\) ; nilai kosinus sudut – koordinat \(x\) ; dan nilai tangen dan kotangen terhadap perbandingan yang bersangkutan. Jadi, hubungan ini berlaku untuk setiap rotasi vektor radius.

Telah disebutkan bahwa posisi awal vektor jari-jari adalah sepanjang arah positif sumbu \(x\). Sejauh ini kita telah memutar vektor ini berlawanan arah jarum jam, tetapi apa yang terjadi jika kita memutarnya searah jarum jam? Tidak ada yang luar biasa, Anda juga akan mendapatkan sudut dengan nilai tertentu, tetapi hanya negatif. Jadi, ketika vektor jari-jari diputar berlawanan arah jarum jam, kita mendapatkan sudut positif, dan ketika berputar searah jarum jam – negatif.

Jadi, kita tahu bahwa seluruh putaran vektor jari-jari pada lingkaran adalah \(360()^\circ \) atau \(2\pi \) . Apakah mungkin untuk memutar vektor radius sebesar \(390()^\circ \) atau sebesar \(-1140()^\circ \)? Ya, tentu saja bisa! Dalam kasus pertama, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), dengan demikian, vektor jari-jari akan membuat satu putaran penuh dan berhenti pada posisi \(30()^\circ \) atau \(\dfrac(\pi )(6) \) .

Dalam kasus kedua, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), yaitu vektor jari-jari akan membuat tiga putaran penuh dan berhenti pada posisi \(-60()^\circ \) atau \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Jadi, dari contoh di atas kita dapat menyimpulkan bahwa sudut-sudut yang berbeda sebesar \(360()^\circ \cdot m \) atau \(2\pi \cdot m \) (dengan \(m \) adalah bilangan bulat ), sesuai dengan posisi yang sama dari vektor radius.

Gambar di bawah menunjukkan sudut \(\beta =-60()^\circ \) . Gambar yang sama berhubungan dengan sudut \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) dll. Daftar ini dapat dilanjutkan tanpa batas waktu. Semua sudut ini dapat ditulis dengan rumus umum \(\beta +360()^\circ \cdot m\) atau \(\beta +2\pi \cdot m \) (dengan \(m \) adalah bilangan bulat apa pun)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

Nah, setelah mengetahui definisi fungsi dasar trigonometri dan menggunakan lingkaran satuan, coba jawab berapa nilainya:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\teks(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

Berikut lingkaran satuan untuk membantu Anda:

Mengalami kesulitan? Kalau begitu mari kita cari tahu. Jadi kita tahu bahwa:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(array)\)

Dari sini, kita menentukan koordinat titik-titik yang bersesuaian dengan besar sudut tertentu. Baiklah, mari kita mulai secara berurutan: sudut ke dalam \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) bersesuaian dengan suatu titik dengan koordinat \(\left(0;1 \right) \) , oleh karena itu:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Panah Kanan \text(tg)\ 90()^\circ \)- tidak ada;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Selanjutnya, dengan mengikuti logika yang sama, kita menemukan bahwa sudut-sudutnya masuk \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) sesuai dengan titik-titik dengan koordinat \(\kiri(-1;0 \kanan),\teks( )\kiri(0;-1 \kanan),\teks( )\kiri(1;0 \kanan),\teks( )\kiri(0 ;1 \kanan) \), masing-masing. Mengetahui hal ini, mudah untuk menentukan nilai fungsi trigonometri pada titik-titik yang bersesuaian. Cobalah sendiri terlebih dahulu, lalu periksa jawabannya.

Jawaban:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Panah Kanan \text(ctg)\ \pi \)- tidak ada

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\teks(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Panah Kanan \teks(tg)\ 270()^\circ \)- tidak ada

\(\teks(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\teks(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Panah Kanan \teks(ctg)\ 2\pi \)- tidak ada

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \kanan)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \kanan)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\teks(tg)\ 450()^\circ =\teks(tg)\ \kiri(360()^\circ +90()^\circ \kanan)=\teks(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Panah Kanan \teks(tg)\ 450()^\circ \)- tidak ada

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \kanan)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Dengan demikian, kita dapat membuat tabel berikut:

Tidak perlu mengingat semua nilai-nilai ini. Cukup mengingat korespondensi antara koordinat titik-titik pada lingkaran satuan dan nilai fungsi trigonometri:

\(\kiri.\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Anda harus ingat atau bisa mengeluarkannya!! \) !}

Namun nilai fungsi trigonometri sudut dalam dan \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) diberikan pada tabel di bawah ini, Anda harus ingat:

Jangan takut, sekarang kami akan menunjukkan kepada Anda salah satu contoh menghafal nilai-nilai terkait yang cukup sederhana:

Untuk menggunakan metode ini, penting untuk mengingat nilai sinus untuk ketiga ukuran sudut ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), serta nilai garis singgung sudut pada \(30()^\circ \) . Mengetahui nilai \(4\) ini, cukup mudah untuk mengembalikan seluruh tabel - nilai kosinus ditransfer sesuai dengan panah, yaitu:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(array) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), mengetahui hal ini, Anda dapat mengembalikan nilainya \(\teks(tg)\ 45()^\circ , \teks(tg)\ 60()^\circ \). Pembilang "\(1 \)" akan sesuai dengan \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) dan penyebut "\(\sqrt(\text(3)) \)" akan sesuai dengan \(\teks (tg)\ 60()^\circ \ \) . Nilai kotangen ditransfer sesuai dengan panah yang ditunjukkan pada gambar. Jika Anda memahami hal ini dan mengingat diagram dengan panah, maka cukup mengingat nilai \(4\) saja dari tabel.

Koordinat suatu titik pada lingkaran

Mungkinkah mencari suatu titik (koordinatnya) pada lingkaran dengan mengetahui koordinat pusat lingkaran, jari-jarinya, dan sudut rotasinya? Ya, tentu saja bisa! Mari kita turunkan rumus umum untuk mencari koordinat suatu titik. Misalnya, berikut adalah lingkaran di depan kita:

Kita diberikan poin itu \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- pusat lingkaran. Jari-jari lingkaran adalah \(1,5\) . Kita perlu mencari koordinat titik \(P\) yang diperoleh dengan memutar titik \(O\) sebesar \(\delta \) derajat.

Terlihat dari gambar, koordinat \(x\) titik \(P\) sesuai dengan panjang segmen \(TP=UQ=UK+KQ\) . Panjang ruas \(UK\) sesuai dengan koordinat \(x\) pusat lingkaran, yaitu sama dengan \(3\) . Panjang segmen \(KQ\) dapat dinyatakan dengan menggunakan definisi kosinus:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Panah Kanan KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Kemudian kita mendapatkan koordinat titik \(P\). \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Dengan menggunakan logika yang sama, kita mencari nilai koordinat y untuk titik \(P\) . Dengan demikian,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Jadi, secara umum koordinat titik ditentukan dengan rumus:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), Di mana

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - koordinat pusat lingkaran,

\(r\) - jari-jari lingkaran,

\(\delta \) - sudut rotasi jari-jari vektor.

Seperti yang Anda lihat, untuk lingkaran satuan yang sedang kita pertimbangkan, rumus ini dikurangi secara signifikan, karena koordinat pusatnya sama dengan nol, dan jari-jarinya sama dengan satu:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

Javascript dinonaktifkan di browser Anda.
Untuk melakukan penghitungan, Anda harus mengaktifkan kontrol ActiveX!

Konsep sinus(), cosinus(), tangen(), kotangen() tidak dapat dipisahkan dengan konsep sudut. Untuk memiliki pemahaman yang baik tentang konsep-konsep yang tampaknya kompleks ini (yang menyebabkan kengerian pada banyak anak sekolah), dan untuk memastikan bahwa “iblis tidak seburuk yang dilukiskannya,” mari kita mulai dari sangat awal dan memahami konsep sudut.

Konsep sudut: radian, derajat

Mari kita lihat gambarnya. Vektor telah “berputar” relatif terhadap suatu titik dengan jumlah tertentu. Jadi ukuran rotasi ini relatif terhadap posisi awalnya adalah sudut.

Apa lagi yang perlu Anda ketahui tentang konsep sudut? Tentu saja, satuan sudut!

Sudut, baik dalam geometri maupun trigonometri, dapat diukur dalam derajat dan radian.

Sudut (satu derajat) adalah sudut pusat lingkaran yang dibatasi oleh busur lingkaran yang sama dengan bagian lingkaran. Jadi, seluruh lingkaran terdiri dari “potongan” busur lingkaran, atau sudut yang dibatasi lingkaran adalah sama besar.

Artinya, gambar di atas menunjukkan sudut yang sama besar, yaitu sudut tersebut bertumpu pada busur lingkaran yang besarnya keliling.

Sudut dalam radian adalah sudut pusat lingkaran yang dibatasi oleh busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari lingkaran. Nah, apakah Anda sudah mengetahuinya? Jika tidak, mari kita cari tahu dari gambarnya.

Jadi, pada gambar tersebut terdapat sudut yang sama dengan radian, yaitu sudut tersebut bertumpu pada busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari lingkaran (panjangnya sama dengan panjang atau jari-jarinya sama dengan jari-jarinya. panjang busur). Jadi, panjang busur dihitung dengan rumus:

Dimana sudut pusat dalam radian.

Nah, dengan mengetahui hal tersebut, bisakah kamu menjawab berapa jumlah radian yang terdapat pada sudut yang dibatasi lingkaran? Ya, untuk ini Anda perlu mengingat rumus keliling. Ini dia:

Nah, sekarang mari kita korelasikan kedua rumus ini dan temukan bahwa sudut yang dibatasi lingkaran adalah sama besar. Artinya, dengan mengkorelasikan nilai dalam derajat dan radian, kita memperolehnya. Masing-masing, . Seperti yang Anda lihat, tidak seperti "derajat", kata "radian" dihilangkan, karena satuan pengukuran biasanya jelas dari konteksnya.

Ada berapa radian? Itu benar!

Mengerti? Kemudian lanjutkan dan perbaiki:

Mengalami kesulitan? Lalu lihat jawaban:

Segitiga siku-siku: sinus, cosinus, tangen, kotangen sudut

Jadi, kami menemukan konsep sudut. Tapi apa yang dimaksud dengan sinus, cosinus, tangen, dan kotangen suatu sudut? Mari kita cari tahu. Untuk melakukan ini, segitiga siku-siku akan membantu kita.

Sisi-sisi segitiga siku-siku disebut apa? Benar, sisi miring dan kaki: sisi miring adalah sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku (dalam contoh kita ini adalah sisinya); kaki adalah dua sisi yang tersisa dan (yang berdekatan dengan sudut siku-siku), dan jika kita menganggap kaki relatif terhadap sudut, maka kaki adalah kaki yang berdekatan, dan kaki adalah kebalikannya. Nah, sekarang mari kita jawab pertanyaannya: apa yang dimaksud dengan sinus, cosinus, tangen, dan kotangen suatu sudut?

Sinus sudut- ini adalah perbandingan kaki yang berlawanan (jauh) dengan sisi miring.

Di segitiga kita.

Kosinus sudut- ini adalah rasio kaki yang berdekatan (dekat) dengan sisi miring.

Di segitiga kita.

Garis singgung sudut- ini adalah perbandingan sisi yang berlawanan (jauh) dengan sisi yang berdekatan (dekat).

Di segitiga kita.

Kotangen sudut- ini adalah perbandingan kaki yang berdekatan (dekat) dengan kaki yang berlawanan (jauh).

Di segitiga kita.

Cosinus→sentuh→sentuh→berdekatan;

Kotangen→sentuh→sentuh→berdekatan.

Misalnya, cosinus suatu sudut. Menurut definisinya, dari sebuah segitiga: , tetapi kita dapat menghitung kosinus suatu sudut dari sebuah segitiga: . Soalnya, panjang sisinya berbeda-beda, tetapi nilai cosinus salah satu sudutnya sama. Jadi, nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen hanya bergantung pada besar sudut.

Jika Anda memahami definisinya, lanjutkan dan gabungkan!

Untuk segitiga yang ditunjukkan pada gambar di bawah, kita temukan.

Nah, apakah kamu mengerti? Kemudian coba sendiri: hitung hal yang sama untuk sudutnya.

Lingkaran satuan (trigonometri).

Memahami konsep derajat dan radian, kita menganggap lingkaran dengan jari-jari sama dengan. Lingkaran seperti ini disebut lajang. Ini akan sangat berguna ketika mempelajari trigonometri. Oleh karena itu, mari kita lihat lebih detail.

Seperti yang Anda lihat, lingkaran ini dibangun dalam sistem koordinat Cartesian. Jari-jari lingkaran sama dengan satu, sedangkan pusat lingkaran terletak di titik asal koordinat, posisi awal vektor jari-jari tetap sepanjang arah sumbu positif (dalam contoh kita, ini adalah jari-jari).

Setiap titik pada lingkaran berhubungan dengan dua angka: koordinat sumbu dan koordinat sumbu. Berapakah bilangan koordinat tersebut? Dan secara umum, apa hubungannya dengan topik yang sedang dibahas? Untuk melakukan ini, kita perlu mengingat tentang segitiga siku-siku yang dianggap. Pada gambar di atas, Anda dapat melihat dua segitiga siku-siku utuh. Pertimbangkan sebuah segitiga. Berbentuk persegi panjang karena tegak lurus terhadap sumbunya.

Segitiga itu sama dengan apa? Itu benar. Selain itu kita mengetahui bahwa itu adalah jari-jari lingkaran satuan yang artinya . Mari kita substitusikan nilai ini ke dalam rumus kosinus kita. Inilah yang terjadi:

Segitiga itu sama dengan apa? Tentu saja! Gantikan nilai radius ke dalam rumus ini dan dapatkan:

Jadi, bisakah kamu mengetahui koordinat titik yang termasuk dalam lingkaran? Ya, tidak mungkin? Bagaimana jika Anda menyadarinya dan itu hanyalah angka? Koordinat manakah yang sesuai? Tentu saja koordinatnya! Dan koordinat apa yang sesuai dengannya? Benar, koordinat! Jadi, titik.

Lalu apa yang dimaksud dan disamakan? Itu benar, mari kita gunakan definisi yang sesuai dari tangen dan kotangen dan dapatkan, a.

Bagaimana jika sudutnya lebih besar? Misalnya saja seperti pada gambar ini:

Apa yang berubah dalam contoh ini? Mari kita cari tahu. Untuk melakukan ini, mari kita kembali ke segitiga siku-siku. Pertimbangkan segitiga siku-siku: sudut (yang berdekatan dengan sudut). Berapakah nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen suatu sudut? Itu benar, kami mematuhi definisi fungsi trigonometri yang sesuai:

Seperti yang Anda lihat, nilai sinus sudut masih sesuai dengan koordinat; nilai kosinus sudut - koordinat; dan nilai tangen dan kotangen terhadap perbandingan yang bersangkutan. Jadi, hubungan ini berlaku untuk setiap rotasi vektor radius.

Telah disebutkan bahwa posisi awal vektor jari-jari adalah sepanjang arah sumbu positif. Sejauh ini kita telah memutar vektor ini berlawanan arah jarum jam, tetapi apa yang terjadi jika kita memutarnya searah jarum jam? Tidak ada yang luar biasa, Anda juga akan mendapatkan sudut dengan nilai tertentu, tetapi hanya negatif. Jadi, ketika vektor jari-jari diputar berlawanan arah jarum jam, kita mendapatkan sudut positif, dan ketika berputar searah jarum jam - negatif.

Jadi, kita mengetahui bahwa seluruh putaran vektor jari-jari mengelilingi lingkaran adalah atau. Apakah mungkin untuk memutar vektor jari-jari ke atau ke? Ya, tentu saja bisa! Oleh karena itu, dalam kasus pertama, vektor jari-jari akan membuat satu putaran penuh dan berhenti pada posisi atau.

Dalam kasus kedua, yaitu vektor jari-jari akan membuat tiga putaran penuh dan berhenti pada posisi atau.

Jadi, dari contoh di atas kita dapat menyimpulkan bahwa sudut-sudut yang berbeda sebesar atau (jika ada bilangan bulat) berhubungan dengan posisi vektor jari-jari yang sama.

Gambar di bawah menunjukkan sebuah sudut. Gambar yang sama berhubungan dengan sudut, dll. Daftar ini dapat dilanjutkan tanpa batas waktu. Semua sudut ini dapat ditulis dengan rumus umum atau (dimana bilangan bulatnya)

Nah, setelah mengetahui definisi fungsi dasar trigonometri dan menggunakan lingkaran satuan, coba jawab berapa nilainya:

Berikut lingkaran satuan untuk membantu Anda:

Mengalami kesulitan? Kalau begitu mari kita cari tahu. Jadi kita tahu bahwa:

Dari sini, kita menentukan koordinat titik-titik yang bersesuaian dengan besar sudut tertentu. Baiklah, mari kita mulai secara berurutan: sudut di berhubungan dengan suatu titik dengan koordinat, oleh karena itu:

Tidak ada;

Selanjutnya, dengan mengikuti logika yang sama, kita menemukan bahwa sudut-sudut di masing-masing bersesuaian dengan titik-titik dengan koordinat. Mengetahui hal ini, mudah untuk menentukan nilai fungsi trigonometri pada titik-titik yang bersesuaian. Cobalah sendiri terlebih dahulu, lalu periksa jawabannya.

Jawaban:

Tidak ada

Dengan demikian, kita dapat membuat tabel berikut:

Tidak perlu mengingat semua nilai-nilai ini. Cukup mengingat korespondensi antara koordinat titik-titik pada lingkaran satuan dan nilai fungsi trigonometri:

Namun nilai fungsi trigonometri sudut dalam dan, diberikan pada tabel di bawah, harus diingat:

Jangan takut, sekarang kami akan menunjukkan satu contohnya cukup sederhana untuk mengingat nilai-nilai yang sesuai:

Untuk menggunakan metode ini, penting untuk mengingat nilai sinus untuk ketiga ukuran sudut (), serta nilai tangen sudut. Mengetahui nilai-nilai ini, memulihkan seluruh tabel cukup sederhana - nilai kosinus ditransfer sesuai dengan panah, yaitu:

Mengetahui hal ini, Anda dapat mengembalikan nilainya. Pembilang " " akan cocok dan penyebut " " akan cocok. Nilai kotangen ditransfer sesuai dengan panah yang ditunjukkan pada gambar. Jika Anda memahami hal ini dan mengingat diagram dengan panah, maka cukup mengingat semua nilai dari tabel.

Koordinat suatu titik pada lingkaran

Apakah mungkin menemukan suatu titik (koordinatnya) pada sebuah lingkaran, mengetahui koordinat pusat lingkaran, jari-jarinya dan sudut putarannya?

Ya, tentu saja bisa! Mari kita keluarkan rumus umum untuk mencari koordinat suatu titik.

Misalnya, berikut adalah lingkaran di depan kita:

Diketahui bahwa titik adalah pusat lingkaran. Jari-jari lingkarannya sama. Koordinat suatu titik perlu dicari dengan memutar titik tersebut sebesar derajat.

Terlihat dari gambar, koordinat titik sesuai dengan panjang ruas. Panjang ruas sesuai dengan koordinat pusat lingkaran, yaitu sama. Panjang suatu segmen dapat dinyatakan dengan menggunakan definisi kosinus:

Lalu kita punya itu untuk koordinat titik.

Dengan menggunakan logika yang sama, kita mencari nilai koordinat y untuk titik tersebut. Dengan demikian,

Jadi, secara umum koordinat titik ditentukan dengan rumus:

Koordinat pusat lingkaran,

Jari-jari lingkaran,

Sudut rotasi jari-jari vektor.

Seperti yang Anda lihat, untuk lingkaran satuan yang sedang kita pertimbangkan, rumus ini dikurangi secara signifikan, karena koordinat pusatnya sama dengan nol, dan jari-jarinya sama dengan satu:

Baiklah, mari kita coba rumus-rumus tersebut dengan berlatih mencari titik pada lingkaran?

1. Temukan koordinat suatu titik pada lingkaran satuan yang diperoleh dengan memutar titik tersebut.

2. Carilah koordinat suatu titik pada lingkaran satuan yang diperoleh dengan memutar titik tersebut.

3. Carilah koordinat suatu titik pada lingkaran satuan yang diperoleh dengan memutar titik tersebut.

4. Titik merupakan pusat lingkaran. Jari-jari lingkarannya sama. Kita perlu mencari koordinat titik yang diperoleh dengan memutar vektor jari-jari awal sebesar.

5. Titik merupakan pusat lingkaran. Jari-jari lingkarannya sama. Kita perlu mencari koordinat titik yang diperoleh dengan memutar vektor jari-jari awal sebesar.

Kesulitan mencari koordinat suatu titik pada lingkaran?

Pecahkan lima contoh ini (atau jadilah ahli dalam memecahkannya) dan Anda akan belajar menemukannya!

Anda bisa memperhatikannya. Tapi kita tahu apa yang berhubungan dengan revolusi penuh dari titik awal. Dengan demikian, titik yang diinginkan akan berada pada posisi yang sama seperti saat diputar. Mengetahui hal ini, kami menemukan koordinat titik yang diperlukan:

2. Lingkaran satuan berpusat pada suatu titik, artinya kita dapat menggunakan rumus yang disederhanakan:

Anda bisa memperhatikannya. Kita tahu apa yang berhubungan dengan dua putaran penuh pada titik awal. Dengan demikian, titik yang diinginkan akan berada pada posisi yang sama seperti saat diputar. Mengetahui hal ini, kami menemukan koordinat titik yang diperlukan:

Sinus dan kosinus adalah nilai tabel. Kami mengingat maknanya dan mendapatkan:

Jadi, titik yang diinginkan memiliki koordinat.

3. Lingkaran satuan berpusat pada suatu titik, artinya kita dapat menggunakan rumus yang disederhanakan:

Anda bisa memperhatikannya. Mari kita gambarkan contoh yang dimaksud pada gambar:

Jari-jari membuat sudut sama dengan dan terhadap sumbu. Mengetahui bahwa nilai tabel cosinus dan sinus adalah sama, dan setelah menentukan bahwa kosinus di sini bernilai negatif dan sinus bernilai positif, kita memperoleh:

Contoh-contoh tersebut dibahas lebih rinci ketika mempelajari rumus-rumus pengurangan fungsi trigonometri pada topik.

Jadi, titik yang diinginkan memiliki koordinat.

Sudut rotasi jari-jari vektor (sesuai kondisi)

Untuk menentukan tanda-tanda sinus dan kosinus yang bersesuaian, kita membuat lingkaran dan sudut satuan:

Seperti yang Anda lihat, nilainya positif, dan nilainya negatif. Mengetahui nilai tabel dari fungsi trigonometri yang bersesuaian, kita memperoleh bahwa:

Mari kita substitusikan nilai yang diperoleh ke dalam rumus kita dan temukan koordinatnya:

Jadi, titik yang diinginkan memiliki koordinat.

5. Untuk menyelesaikan masalah ini, kami menggunakan rumus dalam bentuk umum, dimana

Koordinat pusat lingkaran (dalam contoh kita,

Jari-jari lingkaran (sesuai syarat)

Sudut rotasi jari-jari vektor (sesuai kondisi).

Mari kita substitusikan semua nilai ke dalam rumus dan dapatkan:

dan - nilai tabel. Mari kita ingat dan substitusikan ke dalam rumus:

Jadi, titik yang diinginkan memiliki koordinat.

RINGKASAN DAN FORMULA DASAR

Sinus suatu sudut adalah perbandingan kaki yang berhadapan (jauh) dengan sisi miring.

Kosinus suatu sudut adalah perbandingan kaki yang berdekatan (dekat) dengan sisi miring.

Garis singgung suatu sudut adalah perbandingan sisi yang berhadapan (jauh) dengan sisi yang berdekatan (dekat).

Kotangen suatu sudut adalah perbandingan sisi yang berdekatan (dekat) dengan sisi yang berhadapan (jauh).

Kita akan memulai pembelajaran trigonometri dengan segitiga siku-siku. Mari kita definisikan apa itu sinus dan kosinus, serta garis singgung dan kotangen sudut lancip. Ini adalah dasar-dasar trigonometri.

Mari kita ingat hal itu sudut kanan adalah sudut yang besarnya sama dengan 90 derajat. Dengan kata lain, setengah sudut berubah.

Sudut tajam- kurang dari 90 derajat.

Sudut tumpul- lebih besar dari 90 derajat. Sehubungan dengan sudut seperti itu, “tumpul” bukanlah sebuah penghinaan, melainkan istilah matematika :-)

Mari kita menggambar segitiga siku-siku. Sudut siku-siku biasanya dilambangkan dengan . Perlu diketahui bahwa sisi yang berhadapan dengan sudut ditandai dengan huruf yang sama, hanya kecil. Jadi, sisi yang berhadapan dengan sudut A disebut .

Sudut dilambangkan dengan huruf Yunani yang sesuai.

Sisi miring segitiga siku-siku adalah sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku.

Kaki- sisi-sisi yang berhadapan dengan sudut lancip.

Kaki yang terletak berhadapan dengan sudut disebut di depan(relatif terhadap sudut). Kaki lainnya yang terletak pada salah satu sisi sudut disebut bersebelahan.

Sinus Sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah perbandingan sisi berhadapan dengan sisi miring:

Kosinus sudut lancip dalam segitiga siku-siku - rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring:

Garis singgung sudut lancip pada segitiga siku-siku - perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan:

Definisi lain (yang setara): garis singgung sudut lancip adalah perbandingan sinus sudut dengan kosinusnya:

Kotangens sudut lancip dalam segitiga siku-siku - perbandingan sisi yang berdekatan dengan sisi yang berlawanan (atau, yang sama, perbandingan kosinus dan sinus):

Perhatikan hubungan dasar sinus, cosinus, tangen, dan kotangen di bawah ini. Mereka akan berguna bagi kita ketika memecahkan masalah.

Mari kita buktikan beberapa di antaranya.

Oke, kami sudah memberikan definisi dan menuliskan rumusnya. Tapi kenapa kita masih membutuhkan sinus, cosinus, tangen dan kotangen?

Kami tahu itu jumlah sudut suatu segitiga sama dengan.

Kita tahu hubungan antara keduanya Para Pihak segitiga siku-siku. Ini adalah teorema Pythagoras: .

Ternyata dengan mengetahui dua sudut dalam sebuah segitiga, Anda bisa menemukan sudut ketiga. Mengetahui kedua sisi segitiga siku-siku, Anda dapat menemukan sisi ketiga. Artinya sudut-sudutnya mempunyai perbandingannya sendiri-sendiri, dan sisi-sisinya mempunyai perbandingannya sendiri-sendiri. Namun apa yang harus dilakukan jika dalam segitiga siku-siku Anda mengetahui satu sudut (kecuali sudut siku-siku) dan satu sisi, tetapi Anda perlu mencari sisi lainnya?

Hal inilah yang ditemui orang-orang di masa lalu ketika membuat peta wilayah dan langit berbintang. Lagi pula, tidak selalu mungkin untuk mengukur semua sisi segitiga secara langsung.

Sinus, kosinus, dan tangen - disebut juga fungsi sudut trigonometri- berikan hubungan antar Para Pihak Dan sudut segi tiga. Mengetahui sudut, Anda dapat mengetahui semua fungsi trigonometrinya menggunakan tabel khusus. Dan dengan mengetahui sinus, cosinus, dan garis singgung sudut segitiga dan salah satu sisinya, Anda dapat mengetahui sisanya.

Kami juga akan menggambar tabel nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen untuk sudut “baik” dari ke.

Harap perhatikan dua garis merah pada tabel. Pada nilai sudut yang sesuai, garis singgung dan kotangen tidak ada.

Mari kita lihat beberapa soal trigonometri dari Bank Tugas FIPI.

1. Dalam suatu segitiga, sudutnya adalah , . Menemukan .

Masalahnya terpecahkan dalam empat detik.

Karena , .

2. Sudut dalam segitiga adalah , , . Menemukan .

Mari kita cari menggunakan teorema Pythagoras.

Masalah terpecahkan.

Seringkali dalam soal ada segitiga dengan sudut dan atau dengan sudut dan. Ingat rasio dasar mereka dengan hati!

Untuk segitiga yang sudutnya dan kaki yang berhadapan dengan sudut di sama dengan setengah dari sisi miring.

Segitiga yang mempunyai sudut dan sama kaki. Di dalamnya, sisi miringnya beberapa kali lebih besar dari kakinya.

Kami melihat masalah penyelesaian segitiga siku-siku - yaitu, menemukan sisi atau sudut yang tidak diketahui. Tapi bukan itu saja! Banyak sekali soal-soal UN matematika yang menyangkut sinus, cosinus, tangen atau kotangen sudut luar suatu segitiga. Lebih lanjut tentang ini di artikel berikutnya.

Perbandingan sisi berhadapan dengan sisi miring disebut sinus sudut lancip segitiga siku-siku.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Kosinus sudut lancip segitiga siku-siku

Perbandingan kaki yang berdekatan dengan sisi miring disebut cosinus sudut lancip segitiga siku-siku.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Garis singgung sudut lancip segitiga siku-siku

Perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan disebut garis singgung sudut lancip segitiga siku-siku.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Kotangen sudut lancip segitiga siku-siku

Perbandingan sisi yang berdekatan dengan sisi yang berhadapan disebut kotangen sudut lancip segitiga siku-siku.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Sinus sudut sembarang

Ordinat suatu titik pada lingkaran satuan yang bersesuaian dengan sudut \alfa disebut sinus dari sudut sembarang rotasi \alpha .

\dosa \alfa=y

Kosinus sudut sembarang

Absis suatu titik pada lingkaran satuan yang bersesuaian dengan sudut \alfa disebut kosinus sudut sembarang rotasi \alpha .

\cos \alfa=x

Garis singgung sudut sembarang

Perbandingan sinus sudut rotasi sembarang \alfa terhadap kosinusnya disebut garis singgung suatu sudut sembarang rotasi \alpha .

tan \alfa = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Kotangen dari sudut sembarang

Rasio kosinus sudut rotasi sembarang \alfa terhadap sinusnya disebut kotangen dari sudut sembarang rotasi \alpha .

ctg\alfa =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Contoh mencari sudut sembarang

Jika \alpha adalah suatu sudut AOM, dimana M adalah sebuah titik pada lingkaran satuan, maka

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Misalnya jika \sudut AOM = -\frac(\pi)(4), maka: ordinat titik M sama dengan -\frac(\sqrt(2))(2), absisnya sama \frac(\sqrt(2))(2) dan itulah kenapa

\sin \kiri (-\frac(\pi)(4) \kanan)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \kiri (\frac(\pi)(4) \kanan)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \kiri (-\frac(\pi)(4) \kanan)=-1.

Tabel nilai sinus cosinus tangen kotangen

Nilai sudut utama yang sering muncul diberikan dalam tabel:

	0^(\circ) (0)	30^(\circ)\kiri(\frac(\pi)(6)\kanan)	45^(\circ)\kiri(\frac(\pi)(4)\kanan)	60^(\circ)\kiri(\frac(\pi)(3)\kanan)	90^(\circ)\kiri(\frac(\pi)(2)\kanan)	180^(\circ)\kiri(\pi\kanan)	270^(\circ)\kiri(\frac(3\pi)(2)\kanan)	360^(\circ)\kiri(2\pi\kanan)
\dosa\alfa	0	\frac12	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac(\sqrt 3)(2)	1	0	−1	0
\cos\alpha	1	\frac(\sqrt 3)(2)	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac12	0	−1	0	1
tg\alpha	0	\frac(\sqrt 3)(3)	1	\sqrt3	—	0	—	0
ctg\alpha	—	\sqrt3	1	\frac(\sqrt 3)(3)	0	—	0	—