Klasifikasi model representasi pengetahuan. Paradoks teori himpunan dan interpretasi filosofisnya. Dimensi Fourier dan heuristik

Sinopsis singkat


Saya seorang fisikawan teoretis berdasarkan pelatihan, tetapi saya memiliki latar belakang matematika yang baik. Dalam program magister, salah satu mata kuliahnya adalah filsafat; Karena sebagian besar opsi telah dibahas lebih dari satu kali, saya memutuskan untuk memilih sesuatu yang lebih eksotis. Saya tidak berpura-pura menjadi orang baru, saya hanya berhasil mengumpulkan semua/hampir semua literatur yang tersedia tentang topik ini. Para filsuf dan ahli matematika bisa melempari saya dengan batu, saya hanya akan berterima kasih atas kritik yang membangun.

P.S. Sebuah bahasa yang sangat “kering”, tapi cukup mudah dibaca setelah mengikuti kurikulum universitas. Sebagian besar, definisi paradoks diambil dari Wikipedia (formulasi yang disederhanakan dan markup TeX yang sudah jadi).

Perkenalan


Baik teori himpunan itu sendiri maupun paradoks yang melekat di dalamnya muncul belum lama ini, lebih dari seratus tahun yang lalu. Namun, perjalanan panjang telah ditempuh selama periode ini; teori himpunan, dalam satu atau lain cara, sebenarnya menjadi dasar sebagian besar cabang matematika. Paradoksnya yang terkait dengan ketidakterbatasan Cantor berhasil dijelaskan dalam waktu setengah abad.

Kita harus mulai dengan definisi.

Apa itu satu set? Pertanyaannya cukup sederhana, jawabannya cukup intuitif. Himpunan adalah sekumpulan elemen tertentu yang diwakili oleh suatu benda. Kantor dalam karyanya Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre memberikan definisi: yang dimaksud dengan “himpunan” adalah kombinasi menjadi suatu keseluruhan tertentu dari objek-objek tertentu yang dapat dibedakan dengan jelas dari perenungan atau pemikiran kita (yang akan disebut “elemen” dari himpunan). Seperti yang bisa kita lihat, esensinya tidak berubah, perbedaannya hanya pada bagian itu tergantung pada pandangan dunia sang penentu. Sejarah teori himpunan, baik dalam logika maupun matematika, sangat kontradiktif. Faktanya, ini dimulai oleh Cantor pada abad ke-19, kemudian Russell dan yang lainnya melanjutkan pekerjaannya.

Paradoks (logika dan teori himpunan) - (dari bahasa Yunani kuno παράδοξος - tak terduga, aneh dari bahasa Yunani kuno παρα-δοκέω - tampaknya) - kontradiksi logis formal yang muncul dalam teori himpunan bermakna dan logika formal dengan tetap menjaga kebenaran logika penalaran. Paradoks muncul ketika dua proposisi yang saling eksklusif (bertentangan) ternyata dapat dibuktikan secara setara. Paradoks dapat muncul baik dalam teori ilmiah maupun dalam penalaran biasa (misalnya, parafrase Russell tentang paradoksnya tentang himpunan semua himpunan normal: “Tukang cukur desa mencukur semua orang dan hanya penduduk desanya yang tidak mencukur dirinya sendiri. Seharusnya dia mencukur dirimu sendiri?"). Karena kontradiksi logis formal menghancurkan penalaran sebagai sarana untuk menemukan dan membuktikan kebenaran (dalam teori di mana paradoks muncul, kalimat apa pun, baik benar maupun salah, dapat dibuktikan), maka timbul tugas untuk mengidentifikasi sumber kontradiksi tersebut dan menemukan cara. untuk menghilangkannya. Masalah pemahaman filosofis tentang solusi spesifik terhadap paradoks adalah salah satu masalah metodologis penting dari logika formal dan landasan logis matematika.

Tujuan dari karya ini adalah untuk mempelajari paradoks teori himpunan sebagai pewaris antinomi kuno dan konsekuensi logis sepenuhnya dari transisi ke tingkat abstraksi baru - ketidakterbatasan. Tugasnya adalah mempertimbangkan paradoks utama dan interpretasi filosofisnya.

Paradoks dasar teori himpunan


Tukang cukur hanya mencukur orang-orang yang tidak mencukur dirinya sendiri. Apakah dia mencukur dirinya sendiri?


Mari kita lanjutkan dengan perjalanan singkat ke dalam sejarah.

Beberapa paradoks logika telah dikenal sejak zaman kuno, namun karena teori matematika terbatas pada aritmatika dan geometri, tidak mungkin untuk mengkorelasikannya dengan teori himpunan. Pada abad ke-19, situasinya berubah secara radikal: Penyanyi mencapai tingkat abstraksi baru dalam karya-karyanya. Dia memperkenalkan konsep ketidakterbatasan, sehingga menciptakan cabang matematika baru dan dengan demikian memungkinkan perbandingan ketidakterbatasan yang berbeda menggunakan konsep “kekuatan suatu himpunan”. Namun, dalam pelaksanaannya, hal tersebut menimbulkan banyak paradoks. Yang pertama adalah yang disebut Paradoks Burali-Forti. Dalam literatur matematika terdapat berbagai rumusan berdasarkan terminologi yang berbeda dan asumsi kumpulan teorema yang diketahui. Berikut adalah salah satu definisi formal.

Dapat dibuktikan bahwa jika suatu himpunan bilangan urut sembarang, maka himpunan penjumlahannya adalah bilangan urut yang lebih besar atau sama dengan masing-masing unsurnya. Sekarang mari kita asumsikan bahwa itu adalah himpunan semua bilangan urut. Maka adalah suatu bilangan urut yang lebih besar atau sama dengan salah satu bilangan di . Tapi kemudian dan merupakan bilangan urut, dan bilangan tersebut sudah lebih besar, dan oleh karena itu tidak sama dengan bilangan mana pun di . Tapi ini bertentangan dengan kondisi yang menurutnya - himpunan semua bilangan urut.

Inti dari paradoksnya adalah dengan terbentuknya himpunan semua bilangan urut, maka terbentuklah suatu tipe urut baru, yang belum ada di antara “semua” bilangan urut transfinit yang ada sebelum terbentuknya himpunan semua bilangan urut. Paradoks ini ditemukan oleh Cantor sendiri, ditemukan dan diterbitkan secara independen oleh ahli matematika Italia Burali-Forti, kesalahan yang terakhir diperbaiki oleh Russell, setelah itu formulasinya memperoleh bentuk akhirnya.

Di antara semua upaya untuk menghindari paradoks semacam itu dan, sampai batas tertentu, mencoba menjelaskannya, gagasan Russell yang telah disebutkan patut mendapat perhatian terbesar. Dia mengusulkan untuk mengecualikan kalimat impredikatif dari matematika dan logika di mana definisi elemen suatu himpunan bergantung pada yang terakhir, yang menyebabkan paradoks. Aturannya berbunyi seperti ini: “tidak ada himpunan yang dapat memuat elemen-elemen yang hanya didefinisikan dalam suatu himpunan, serta elemen-elemen yang mengandaikan himpunan ini dalam definisinya.” Pembatasan definisi himpunan ini menghindari paradoks, tetapi pada saat yang sama secara signifikan mempersempit cakupan penerapannya dalam matematika. Selain itu, belum cukup menjelaskan sifat dan alasan kemunculannya, yang berakar pada dikotomi pemikiran dan bahasa, pada ciri-ciri logika formal. Sampai batas tertentu, keterbatasan ini dapat ditelusuri ke analogi dengan apa yang kemudian oleh para psikolog kognitif dan ahli bahasa disebut sebagai “kategorisasi tingkat dasar”: definisi tersebut direduksi menjadi konsep yang paling mudah untuk dipahami dan dipelajari.

Paradoks Penyanyi. Mari kita asumsikan bahwa himpunan dari semua himpunan itu ada. Dalam hal ini benar, yaitu setiap himpunan merupakan himpunan bagian. Namun dari sini dapat disimpulkan bahwa pangkat suatu himpunan tidak melebihi pangkat . Namun berdasarkan aksioma himpunan semua himpunan bagian, karena, seperti himpunan apa pun, terdapat himpunan semua himpunan bagian, dan berdasarkan teorema Cantor, yang bertentangan dengan pernyataan sebelumnya. Oleh karena itu, ia tidak mungkin ada, yang bertentangan dengan hipotesis "naif" bahwa setiap kondisi logis yang benar secara sintaksis mendefinisikan suatu himpunan, yaitu untuk rumus apa pun yang tidak mengandung secara bebas. Bukti luar biasa tentang tidak adanya kontradiksi berdasarkan teori himpunan Zermelo-Fraenkel yang aksiomatisasi diberikan oleh Potter.

Kedua paradoks di atas, dari sudut pandang logis, identik dengan “Si Pembohong” atau “Si Tukang Cukur”: penilaian yang diungkapkan ditujukan tidak hanya pada sesuatu yang objektif dalam kaitannya dengan dirinya, tetapi juga pada dirinya sendiri. Namun, Anda harus memperhatikan tidak hanya sisi logisnya, tetapi juga konsep ketidakterbatasan yang hadir di sini. Literatur mengacu pada karya Poincaré, di mana ia menulis: “kepercayaan akan keberadaan ketidakterbatasan yang sebenarnya... membuat definisi non-predikatif ini diperlukan.”

Secara umum, poin utamanya adalah:

  1. dalam paradoks ini aturan pemisahan yang jelas antara “bidang” predikat dan subjek dilanggar; tingkat kebingungannya mendekati penggantian satu konsep dengan konsep lainnya;
  2. Biasanya dalam logika diasumsikan bahwa dalam proses penalaran subjek dan predikat tetap mempertahankan ruang lingkup dan isinya, namun dalam hal ini terjadi peralihan dari satu kategori ke kategori lainnya, yang mengakibatkan inkonsistensi;
  3. kehadiran kata “semua” masuk akal untuk jumlah elemen yang terbatas, tetapi dalam kasus jumlah elemen yang tidak terbatas, dimungkinkan untuk memiliki elemen yang memerlukan definisi suatu himpunan untuk mendefinisikan dirinya sendiri;
  4. hukum logika dasar dilanggar:
    1. hukum identitas dilanggar apabila terungkapnya non-identitas subjek dan predikat;
    2. hukum kontradiksi - ketika dua penilaian yang bertentangan diturunkan dengan hak yang sama;
    3. hukum pihak ketiga yang dikecualikan - ketika pihak ketiga ini harus diakui, dan tidak dikecualikan, karena baik yang pertama maupun yang kedua tidak dapat diakui tanpa yang lain, karena mereka ternyata sama-sama sah.
Paradoks Russell. Mari kita berikan salah satu pilihannya. Misalkan adalah himpunan dari semua himpunan yang tidak memuat dirinya sendiri sebagai elemennya. Apakah ia memuat dirinya sendiri sebagai sebuah elemen? Jika demikian, maka menurut definisinya, hal itu tidak boleh merupakan suatu unsur – suatu kontradiksi. Jika tidak, maka menurut definisinya, ia pasti merupakan sebuah elemen - lagi-lagi sebuah kontradiksi. Pernyataan ini secara logis berasal dari paradoks Cantor yang menunjukkan hubungan mereka. Namun, esensi filosofisnya terwujud lebih jelas, karena “gerakan diri” konsep terjadi tepat “di depan mata kita”.

Paradoks Tristram Shandy. Dalam The Life and Opinions of Tristram Shandy, Gentleman karya Sterne, sang pahlawan menemukan bahwa dia membutuhkan waktu satu tahun penuh untuk menceritakan peristiwa-peristiwa di hari pertama hidupnya, dan satu tahun lagi untuk menggambarkan hari kedua. Dalam hal ini, sang pahlawan mengeluh bahwa materi biografinya akan terakumulasi lebih cepat daripada yang dapat ia proses, dan ia tidak akan pernah dapat menyelesaikannya. “Sekarang saya tegaskan,” Russell menolak hal ini, “bahwa jika dia hidup selamanya dan pekerjaannya tidak menjadi beban baginya, bahkan jika hidupnya terus penuh peristiwa seperti pada awalnya, maka tidak ada satu pun bagiannya. biografinya tidak akan tetap tidak tertulis.”

Memang Shandy bisa menggambarkan kejadian hari ke-th di tahun ke-th dan dengan demikian, setiap hari akan terekam dalam otobiografinya. Dengan kata lain, jika kehidupan berlangsung selamanya, maka umurnya akan sama lamanya dengan hari.

Russell membuat analogi antara novel ini dan Zeno dan kura-kuranya. Menurutnya, solusinya terletak pada kenyataan bahwa keseluruhan setara dengan bagiannya yang tak terhingga. Itu. Hanya “aksioma akal sehat” yang menimbulkan kontradiksi. Namun solusi permasalahan tersebut terletak pada bidang matematika murni. Jelasnya, ada dua himpunan - tahun dan hari, di antara unsur-unsurnya terdapat korespondensi satu-satu - sebuah bijeksi. Kemudian, mengingat kehidupan karakter utama yang tak terbatas, ada dua himpunan pangkat yang setara, yang jika kita menganggap pangkat sebagai generalisasi konsep jumlah elemen dalam suatu himpunan, menyelesaikan paradoks tersebut.

Paradoks Banach-Tarski (teorema) atau paradoks penggandaan bola- teorema teori himpunan yang menyatakan bahwa bola tiga dimensi setara dengan dua salinannya.

Dua himpunan bagian ruang Euclidean disebut tersusun sama jika salah satu dapat dibagi menjadi sejumlah bagian yang terbatas, dipindahkan, dan bagian kedua dapat tersusun dari bagian-bagian tersebut. Lebih tepatnya, dua himpunan dan bersifat ekuikomposisi jika keduanya dapat direpresentasikan sebagai gabungan berhingga dari himpunan bagian-bagian yang saling lepas dan sedemikian rupa sehingga untuk masing-masing himpunan bagian tersebut kongruen.

Jika kita menggunakan teorema seleksi, maka definisinya adalah sebagai berikut:

Aksioma pilihan menyiratkan bahwa ada partisi permukaan satuan bola menjadi sejumlah bagian yang terbatas, yang, melalui transformasi ruang Euclidean tiga dimensi yang tidak mengubah bentuk komponen-komponen ini, dapat dirangkai menjadi dua bola. radius satuan.

Tentu saja, mengingat persyaratan agar bagian-bagian ini dapat diukur, pernyataan ini tidak dapat dilaksanakan. Fisikawan terkenal Richard Feynman dalam biografinya menceritakan bagaimana ia pernah berhasil memenangkan argumen tentang memecah jeruk menjadi beberapa bagian dan merakitnya kembali.

Pada titik tertentu paradoks ini digunakan untuk menyangkal aksioma pilihan, namun masalahnya adalah apa yang kita anggap geometri dasar tidak penting. Konsep-konsep yang kita anggap intuitif harus diperluas ke tingkat sifat-sifat fungsi transendental.

Untuk lebih melemahkan kepercayaan mereka yang menganggap aksioma pilihan salah, perlu disebutkan teorema Mazurkiewicz dan Sierpinski, yang menyatakan bahwa ada himpunan bagian tak kosong dari bidang Euclidean yang memiliki dua himpunan bagian yang saling lepas, masing-masing yang dapat dipartisi menjadi sejumlah bagian yang terbatas, sehingga bagian-bagian tersebut dapat diterjemahkan secara isometri menjadi suatu himpunan penutup. Dalam hal ini pembuktiannya tidak memerlukan penggunaan aksioma pilihan. Konstruksi lebih lanjut berdasarkan aksioma kepastian memberikan solusi terhadap paradoks Banach-Tarski, tetapi tidak menarik.

  1. Paradoks Richard: syaratnya adalah menyebutkan "bilangan terkecil yang tidak disebutkan dalam buku ini". Kontradiksinya adalah di satu sisi hal ini bisa dilakukan, karena ada bilangan terkecil yang disebutkan dalam buku ini. Berdasarkan hal tersebut, kita dapat memberi nama yang terkecil yang tidak disebutkan namanya. Namun di sini timbul masalah: kontinumnya tidak dapat dihitung; di antara dua bilangan apa pun, Anda dapat menyisipkan bilangan perantara dalam jumlah tak terhingga. Sebaliknya, jika kita dapat menyebutkan nomor tersebut, maka secara otomatis akan berpindah dari kelas yang tidak disebutkan dalam buku ke kelas yang disebutkan.
  2. Paradoks Grelling-Nielson: kata atau tanda dapat menunjukkan suatu harta benda dan sekaligus memilikinya atau tidak. Rumusan yang paling sepele berbunyi seperti ini: apakah kata “heterologis” (yang artinya “tidak berlaku pada diri sendiri”), heterologis?.. Sangat mirip dengan paradoks Russell karena adanya kontradiksi dialektis: dualitas bentuk dan isi adalah dilanggar. Dalam kasus kata-kata yang memiliki tingkat abstraksi tinggi, tidak mungkin untuk memutuskan apakah kata-kata tersebut heterolog.
  3. Paradoks Skolem: menggunakan teorema Gödel tentang kelengkapan dan teorema Löwenheim-Skolem, kita memperoleh bahwa teori himpunan aksiomatik tetap benar meskipun hanya kumpulan himpunan yang dapat dihitung yang diasumsikan (tersedia) untuk interpretasinya. Pada saat yang sama, teori aksiomatik mencakup teorema Cantor yang telah disebutkan, yang membawa kita pada himpunan tak hingga yang tak terhitung jumlahnya.

Menyelesaikan Paradoks


Penciptaan teori himpunan memunculkan apa yang dianggap sebagai krisis matematika ketiga, yang belum terselesaikan secara memuaskan bagi semua orang. Secara historis, pendekatan pertama adalah teori himpunan. Hal ini didasarkan pada penggunaan ketidakterbatasan yang sebenarnya, ketika diyakini bahwa setiap rangkaian tak terhingga selesai pada tak terhingga. Idenya adalah bahwa dalam teori himpunan seseorang sering kali harus berurusan dengan himpunan yang bisa menjadi bagian dari himpunan lain yang lebih besar. Tindakan yang berhasil dalam kasus ini hanya mungkin terjadi dalam satu kasus: himpunan tertentu (berhingga dan tak terbatas) telah selesai. Keberhasilan tertentu terlihat jelas: teori aksiomatik himpunan Zermelo-Fraenkel, seluruh aliran matematika Nicolas Bourbaki, yang telah ada selama lebih dari setengah abad dan masih menimbulkan banyak kritik.

Logika adalah upaya untuk mereduksi semua matematika yang diketahui menjadi istilah-istilah aritmatika, dan kemudian mereduksi istilah-istilah aritmatika menjadi konsep-konsep logika matematika. Frege membahas hal ini dengan cermat, tetapi setelah menyelesaikan pekerjaannya, dia terpaksa menunjukkan ketidakkonsistenannya setelah Russell menunjukkan kontradiksi dalam teori tersebut. Russell yang sama, seperti disebutkan sebelumnya, mencoba menghilangkan penggunaan definisi impredikatif dengan bantuan “teori tipe”. Namun, konsepnya tentang himpunan dan ketidakterbatasan, serta aksioma reduksibilitas, ternyata tidak logis. Masalah utamanya adalah tidak memperhitungkan perbedaan kualitatif antara logika formal dan matematika, serta adanya konsep-konsep yang tidak perlu, termasuk yang bersifat intuitif.
Akibatnya, teori logikaisme tidak mampu menghilangkan kontradiksi dialektis dari paradoks yang terkait dengan ketidakterbatasan. Yang ada hanyalah prinsip dan metode yang memungkinkan untuk menghilangkan setidaknya definisi non-predikatif. Dalam pemikirannya sendiri, Russell adalah pewaris Cantor

Pada akhir abad ke-19 – awal abad ke-20. Meluasnya pandangan formalistik terhadap matematika dikaitkan dengan perkembangan metode aksiomatik dan program pembuktian matematika yang dikemukakan D. Hilbert. Pentingnya fakta ini ditunjukkan oleh fakta bahwa masalah pertama dari dua puluh tiga masalah yang ia ajukan kepada komunitas matematika adalah masalah ketidakterbatasan. Formalisasi diperlukan untuk membuktikan konsistensi matematika klasik, “sambil mengecualikan semua metafisika darinya.” Mengingat cara dan metode yang digunakan Hilbert, tujuannya ternyata pada dasarnya mustahil, namun programnya memiliki pengaruh besar pada seluruh perkembangan dasar-dasar matematika selanjutnya. Hilbert mengerjakan masalah ini cukup lama, awalnya membangun aksiomatik geometri. Karena penyelesaian masalahnya cukup berhasil, ia memutuskan untuk menerapkan metode aksiomatik pada teori bilangan asli. Inilah yang dia tulis dalam hal ini: "Saya sedang mengejar tujuan penting: sayalah yang ingin menyingkirkan pertanyaan tentang pembenaran matematika, mengubah setiap pernyataan matematika menjadi rumus yang dapat dideduksi secara ketat." Direncanakan untuk menghilangkan ketidakterbatasan dengan menguranginya menjadi sejumlah operasi tertentu. Untuk melakukan ini, ia beralih ke fisika dengan atomismenya untuk menunjukkan ketidakkonsistenan jumlah tak terhingga. Faktanya, Hilbert mengajukan pertanyaan tentang hubungan antara teori dan realitas objektif.

Gagasan yang kurang lebih lengkap tentang metode terbatas diberikan oleh murid Hilbert, J. Herbran. Dengan penalaran yang terbatas ia memahami penalaran yang memenuhi syarat-syarat berikut: paradoks logis

Hanya sejumlah objek dan fungsi yang terbatas dan pasti yang selalu dipertimbangkan;

Fungsi memiliki definisi yang tepat, dan definisi ini memungkinkan kita menghitung nilainya;

Seseorang tidak pernah menyatakan, “Objek ini ada,” kecuali ia mengetahui bagaimana membangunnya;

Himpunan semua objek X dari koleksi tak terhingga tidak pernah dipertimbangkan;

Jika diketahui bahwa suatu penalaran atau teorema benar untuk semua X tersebut, maka ini berarti bahwa penalaran umum ini dapat diulangi untuk setiap X tertentu, dan penalaran umum itu sendiri harus dianggap hanya sebagai contoh untuk melakukan penalaran khusus tersebut.


Namun pada saat publikasi terakhirnya di bidang ini, Gödel sudah mendapatkan hasilnya, pada hakikatnya ia kembali menemukan dan menegaskan adanya dialektika dalam proses kognisi. Intinya, perkembangan matematika lebih lanjut menunjukkan ketidakkonsistenan program Hilbert.

Apa sebenarnya yang dibuktikan Gödel? Tiga hasil utama dapat diidentifikasi:

1. Gödel menunjukkan ketidakmungkinan pembuktian matematis mengenai konsistensi sistem apa pun yang cukup besar untuk mencakup semua aritmatika, suatu pembuktian yang tidak akan menggunakan aturan inferensi lain selain aturan sistem itu sendiri. Bukti seperti itu, yang menggunakan aturan inferensi yang lebih kuat, mungkin berguna. Namun jika aturan inferensi ini lebih kuat daripada cara logika kalkulus aritmatika, maka tidak akan ada kepercayaan terhadap konsistensi asumsi yang digunakan dalam pembuktian. Bagaimanapun juga, jika metode yang digunakan tidak finitis, maka program Hilbert akan menjadi tidak layak. Gödel secara tepat menunjukkan ketidakkonsistenan penghitungan untuk menemukan bukti pasti konsistensi aritmatika.

2. Gödel menunjukkan keterbatasan mendasar dari kemampuan metode aksiomatik: sistem Principia Mathematica, seperti sistem lain yang dengannya aritmatika dibangun, pada dasarnya tidak lengkap, yaitu. untuk sistem aksioma aritmatika yang konsisten terdapat aritmatika yang benar kalimat yang bukan berasal dari aksioma sistem ini.

3. Teorema Gödel menunjukkan bahwa tidak ada perluasan suatu sistem aritmatika yang dapat melengkapinya, dan bahkan jika kita mengisinya dengan aksioma yang jumlahnya tak terbatas, maka dalam sistem baru akan selalu ada posisi sebenarnya yang tidak dapat diturunkan melalui sistem ini. . Pendekatan aksiomatik terhadap aritmatika bilangan asli tidak mampu mencakup seluruh bidang penilaian aritmatika yang sebenarnya, dan apa yang kita pahami sebagai proses pembuktian matematis tidak terbatas pada penggunaan metode aksiomatik. Setelah teorema Gödel, tidak ada gunanya mengharapkan konsep pembuktian matematis yang meyakinkan dapat diberikan bentuk tertentu untuk selamanya.


Upaya terbaru dalam menjelaskan teori himpunan adalah intuisionisme.

Ia melewati sejumlah tahapan dalam evolusinya - semi-intuitionisme, intuisionisme aktual, ultra-intuitionisme. Pada tahap yang berbeda, matematikawan memusatkan perhatian pada masalah yang berbeda, namun salah satu masalah utama matematika adalah masalah ketidakterbatasan. Konsep matematika tentang ketidakterbatasan dan kontinuitas telah menjadi subjek analisis filosofis sejak kemunculannya (gagasan para atomis, aporia Zeno dari Elea, metode yang sangat kecil di zaman kuno, kalkulus yang sangat kecil di zaman modern, dll.). Kontroversi terbesar disebabkan oleh penggunaan berbagai jenis ketidakterbatasan (potensial, aktual) sebagai objek matematika dan interpretasinya. Semua masalah ini, menurut kami, disebabkan oleh masalah yang lebih dalam - peran subjek dalam pengetahuan ilmiah. Faktanya, keadaan krisis dalam matematika ditimbulkan oleh ketidakpastian epistemologis yang sepadan antara dunia objek (tak terhingga) dan dunia subjek. Ahli matematika sebagai subjek memiliki kesempatan untuk memilih sarana kognisi - baik potensi atau ketidakterbatasan aktual. Penggunaan potensi ketidakterbatasan sebagai penjelmaan memberinya kesempatan untuk melaksanakan, membangun konstruksi dalam jumlah tak terbatas yang dapat dibangun di atas konstruksi terbatas, tanpa memiliki langkah akhir, tanpa menyelesaikan konstruksi, itu hanya mungkin. Penggunaan ketidakterbatasan aktual memberinya kesempatan untuk bekerja dengan ketidakterbatasan sebagaimana telah dapat direalisasikan, lengkap dalam konstruksinya, sebagaimana sebenarnya diberikan pada waktu yang sama.

Pada tahap semi-intuitionisme, masalah ketidakterbatasan belum berdiri sendiri, tetapi terkait dengan masalah konstruksi objek matematika dan metode pembenarannya. Semi-intuitionisme A. Poincaré dan perwakilan dari teori fungsi fungsi Baire, Lebesgue dan Borel di Paris diarahkan terhadap penerimaan aksioma pilihan bebas, dengan bantuan yang membuktikan teorema Zermelo, yang menyatakan bahwa himpunan apa pun dapat dibuat terurut seluruhnya, tetapi tanpa menunjukkan metode teoretis untuk menentukan elemen-elemen dari himpunan bagian mana pun dari himpunan yang diinginkan. Tidak ada cara untuk membuat objek matematika, dan tidak ada objek matematika itu sendiri. Para ahli matematika percaya bahwa ada tidaknya metode teoretis untuk membangun rangkaian objek penelitian dapat menjadi dasar untuk membenarkan atau menyangkal aksioma ini. Dalam versi Rusia, konsep semi-intuisionis dalam landasan filosofis matematika dikembangkan ke arah efisiensiisme, yang dikembangkan oleh N.N. Luzin. Efisiensi merupakan pertentangan terhadap abstraksi utama doktrin Cantor tentang himpunan tak hingga - aktualitas, pilihan, induksi transfinit, dll.

Bagi efisiensiisme, abstraksi yang secara epistemologis lebih berharga adalah abstraksi kelayakan potensial daripada abstraksi ketidakterbatasan aktual. Berkat ini, menjadi mungkin untuk memperkenalkan konsep ordinal transfinit (bilangan urut tak hingga) berdasarkan konsep efektif pertumbuhan fungsi. Instalasi epistemologis efisiensiisme untuk menampilkan kontinum (kontinum) didasarkan pada sarana diskrit (aritmatika) dan teori deskriptif himpunan (fungsi) yang diciptakan oleh N.N. Intuisionisme dari orang Belanda L.E.Ya. Brouwer, G. Weil, A. Heyting melihat rangkaian berbagai jenis yang berkembang bebas sebagai objek studi tradisional. Pada tahap ini, ketika memecahkan masalah matematika yang sebenarnya, termasuk restrukturisasi semua matematika pada dasar yang baru, para ahli intuisi mengajukan pertanyaan filosofis tentang peran ahli matematika sebagai subjek yang mengetahui. Bagaimana kedudukannya dimana ia lebih bebas dan aktif dalam memilih sarana ilmu pengetahuan? Intuisionis adalah yang pertama (dan pada tahap semi-intuitionisme) yang mengkritik konsep ketidakterbatasan yang sebenarnya, teori himpunan Cantor, melihatnya sebagai pelanggaran terhadap kemampuan subjek untuk mempengaruhi proses pencarian ilmiah untuk solusi masalah konstruktif. . Dalam hal menggunakan potensi tak terhingga, subjek tidak menipu dirinya sendiri, karena baginya gagasan tentang potensi tak terhingga secara intuitif jauh lebih jelas daripada gagasan tentang tak terhingga yang sebenarnya. Bagi seorang ahli intuisi, suatu benda dianggap ada jika diberikan langsung kepada ahli matematika atau diketahui cara pembuatan atau konstruksinya. Bagaimanapun, subjek dapat memulai proses penyelesaian sejumlah elemen himpunannya. Objek yang belum dibangun tidak ada bagi para intuisionis. Pada saat yang sama, subjek yang bekerja dengan ketidakterbatasan sebenarnya akan kehilangan kesempatan ini dan akan merasakan kerentanan ganda dari posisi yang diterima:

1) konstruksi tanpa akhir ini tidak akan pernah terwujud;

2) ia memutuskan untuk beroperasi dengan ketidakterbatasan yang sebenarnya sebagai objek yang terbatas dan dalam hal ini kehilangan kekhususan konsep ketidakterbatasan. Intuitionisme dengan sengaja membatasi kemampuan seorang ahli matematika dengan fakta bahwa ia dapat mengkonstruksikan objek-objek matematika secara eksklusif melalui cara-cara yang, meskipun diperoleh dengan bantuan konsep-konsep abstrak, namun efektif, meyakinkan, dapat dibuktikan, konstruktif secara fungsional, dan secara praktis dan intuitif jelas sebagai konstruksi. , konstruksi, yang keandalannya dalam praktiknya tidak diragukan lagi. Intuitionisme, berdasarkan konsep potensi tak terhingga dan metode penelitian konstruktif, berkaitan dengan matematika wujud, teori himpunan mengacu pada matematika wujud.


Bagi Brouwer yang ahli intuisi, sebagai perwakilan empirisme matematika, logika adalah hal kedua; ia mengkritik logika dan hukum tengah yang dikecualikan.

Dalam karya-karyanya yang agak mistis, ia tidak menafikan keberadaan ketidakterbatasan, namun tidak membiarkan aktualisasinya, hanya potensiisasi. Hal utama baginya adalah interpretasi dan pembenaran cara-cara logis dan penalaran matematis yang digunakan secara praktis. Keterbatasan yang dianut oleh para ahli intuisi mengatasi ketidakpastian penggunaan konsep ketidakterbatasan dalam matematika dan mengungkapkan keinginan untuk mengatasi krisis dalam landasan matematika.

Ultraintuitionisme (A.N. Kolmogorov, A.A. Markov, dll.) adalah tahap terakhir dalam perkembangan intuisionisme, di mana ide-ide utamanya dimodernisasi, ditambah dan diubah secara signifikan, tanpa mengubah esensinya, tetapi mengatasi kekurangan dan memperkuat aspek-aspek positifnya, berpedoman pada kriteria ketelitian matematis. Kelemahan pendekatan intuisionis adalah pemahaman mereka yang sempit tentang peran intuisi sebagai satu-satunya sumber pembenaran atas kebenaran dan efektivitas metode matematika. Mengambil "kejelasan intuitif" sebagai kriteria kebenaran dalam matematika, para ahli intuisi secara metodologis memiskinkan kemampuan ahli matematika sebagai subjek kognisi, mereduksi aktivitasnya hanya menjadi operasi mental berdasarkan intuisi dan tidak memasukkan praktik dalam proses kognisi matematika. Program ultra-intuisionis untuk dasar matematika adalah prioritas Rusia. Oleh karena itu, matematikawan dalam negeri, mengatasi keterbatasan intuisionisme, menerima metodologi dialektika materialis yang efektif, yang mengakui praktik manusia sebagai sumber pembentukan konsep matematika dan metode matematika (inferensi, konstruksi). Kaum ultra-intuisi memecahkan masalah keberadaan objek matematika, tidak lagi mengandalkan konsep intuisi subjektif yang tidak dapat dijelaskan, tetapi pada praktik matematika dan mekanisme khusus untuk membangun objek matematika - suatu algoritma yang diekspresikan oleh fungsi rekursif yang dapat dihitung.

Ultraintuitionisme meningkatkan keunggulan intuisionisme, yang terdiri dari kemungkinan mengurutkan dan menggeneralisasi metode untuk memecahkan masalah konstruktif yang digunakan oleh ahli matematika dari segala arah. Oleh karena itu, intuisionisme tahap terakhir (ultra-intuitionisme) dekat dengan konstruktivisme dalam matematika. Dalam aspek epistemologis, pokok pikiran dan prinsip ultra-intuitionisme adalah sebagai berikut: kritik terhadap aksiomatik logika klasik; penggunaan dan penguatan yang signifikan (atas instruksi eksplisit A.A. Markov) peran abstraksi identifikasi (abstraksi mental dari sifat-sifat objek yang berbeda dan identifikasi simultan sifat-sifat umum objek) sebagai cara membangun dan memahami konsep-konsep abstrak secara konstruktif dan penilaian matematis; bukti konsistensi teori yang konsisten. Dalam aspek formal, penggunaan abstraksi identifikasi dibenarkan oleh tiga sifat (aksioma) kesetaraan - refleksivitas, transitivitas dan simetri.

Untuk memecahkan kontradiksi utama dalam matematika mengenai masalah ketidakterbatasan, yang memunculkan krisis fondasinya, pada tahap ultra-intuitionisme dalam karya A.N. Kolmogorov mengusulkan jalan keluar dari krisis ini dengan memecahkan masalah hubungan antara logika klasik dan intuisionistik, matematika klasik dan intuisionistik. Intuisionisme Brouwer umumnya menyangkal logika, tetapi karena matematikawan mana pun tidak dapat hidup tanpa logika, praktik penalaran logis masih dipertahankan dalam intuisionisme; beberapa prinsip logika klasik, yang didasarkan pada aksiomatik, diperbolehkan. S.K. Kleene dan R. Wesley bahkan mencatat bahwa matematika intuisi dapat digambarkan dalam bentuk beberapa kalkulus, dan kalkulus adalah cara mengatur pengetahuan matematika berdasarkan logika, formalisasi dan bentuknya - algoritma. Versi baru dari hubungan antara logika dan matematika dalam kerangka persyaratan intuisi untuk kejelasan penilaian intuitif, terutama yang mencakup negasi, A.N. Kolmogorov mengusulkan sebagai berikut: ia menyajikan logika intuisionistik, yang berkaitan erat dengan matematika intuisionistik, dalam bentuk kalkulus minimal proposisi dan predikat yang implikatif aksiomatik. Dengan demikian, ilmuwan menyajikan model baru pengetahuan matematika, mengatasi keterbatasan intuisionisme dalam mengakui hanya intuisi sebagai sarana kognisi dan keterbatasan logika, yang memutlakkan kemungkinan logika dalam matematika. Posisi ini memungkinkan untuk mendemonstrasikan dalam bentuk matematis sintesis intuitif dan logis sebagai dasar rasionalitas fleksibel dan efektivitas konstruktifnya.


Dengan demikian, aspek epistemologis pengetahuan matematika memungkinkan kita menilai perubahan revolusioner pada tahap krisis fondasi matematika pada pergantian abad ke-19-20. dari posisi baru dalam memahami proses kognisi, sifat dan peran subjek di dalamnya. Subjek epistemologis teori pengetahuan tradisional, sesuai dengan periode dominasi pendekatan teori himpunan dalam matematika, adalah subjek “parsial” yang abstrak, tidak lengkap, disajikan dalam hubungan subjek-objek, dipisahkan dari kenyataan oleh abstraksi, logika , formalisme, secara rasional, teoritis mengenali objeknya dan dipahami sebagai cermin yang secara akurat mencerminkan dan menyalin realitas. Pada hakikatnya subjek dikecualikan dari kognisi sebagai proses nyata dan hasil interaksi dengan suatu objek. Masuknya intuisionisme ke dalam arena pergulatan aliran filosofis dalam matematika memunculkan pemahaman baru tentang matematikawan sebagai subjek pengetahuan – orang yang mengetahui, yang abstraksi filosofisnya harus dibangun seolah-olah baru. Matematikawan tampil sebagai subjek empiris, dipahami sebagai pribadi nyata yang holistik, termasuk semua sifat yang diabstraksi dari subjek epistemologis - konkrit empiris, variabilitas, historisitas; itu adalah subjek yang aktif dan berpengetahuan nyata, subjek yang kreatif, intuitif, dan inventif. Filsafat matematika intuisionistik telah menjadi landasan, landasan paradigma epistemologis modern, yang dibangun di atas konsep rasionalitas fleksibel, di mana seseorang merupakan subjek kognisi yang integral (integral), yang memiliki kualitas, metode, prosedur kognitif baru; ia mensintesis sifat dan bentuknya yang abstrak-gnoseologis dan logis-metodologis, dan pada saat yang sama menerima pemahaman eksistensial-antropologis dan “sejarah-metafisik”.

Poin penting juga adalah intuisi dalam kognisi dan, khususnya, dalam pembentukan konsep matematika. Sekali lagi, ada perjuangan dengan filsafat, upaya untuk mengecualikan hukum orang-orang tengah yang dikecualikan, karena tidak ada artinya dalam matematika dan masuk ke dalamnya dari filsafat. Namun, adanya penekanan berlebihan pada intuisi dan kurangnya pembenaran matematis yang jelas tidak memungkinkan matematika dipindahkan ke landasan yang kokoh.

Namun, setelah munculnya konsep algoritma yang ketat pada tahun 1930-an, konstruktivisme matematika mengambil alih kendali intuisionisme, yang perwakilannya memberikan kontribusi signifikan terhadap teori komputasi modern. Selain itu, pada tahun 1970-an dan 1980-an, ditemukan hubungan signifikan antara beberapa gagasan para ahli intuisi (bahkan yang sebelumnya tampak tidak masuk akal) dan teori matematika topoi. Matematika yang ditemukan di beberapa topoi sangat mirip dengan apa yang coba diciptakan oleh para ahli intuisi.

Sebagai hasilnya, kita dapat membuat pernyataan: sebagian besar paradoks di atas tidak ada dalam teori himpunan dengan kepemilikan diri. Apakah pendekatan tersebut bersifat definitif atau tidak, masih menjadi isu kontroversial;

Kesimpulan


Analisis dialektis-materialistik menunjukkan bahwa paradoks merupakan konsekuensi dari dikotomi bahasa dan pemikiran, ekspresi dialektis yang mendalam (teorema Gödel memungkinkan terwujudnya dialektika dalam proses kognisi) dan kesulitan epistemologis yang terkait dengan konsep subjek dan bidang studi. dalam logika formal, himpunan (kelas) dalam logika dan teori himpunan, menggunakan prinsip abstraksi, yang memungkinkan kita memperkenalkan objek (abstrak) baru (tak terhingga), dengan metode untuk mendefinisikan objek abstrak dalam sains, dll. Oleh karena itu, cara universal untuk menghilangkan semua paradoks tidak bisa diberikan.

Apakah krisis ketiga matematika telah berakhir (karena berada dalam hubungan sebab-akibat dengan paradoks; sekarang paradoks merupakan bagian integral) - pendapat berbeda di sini, meskipun paradoks yang dikenal secara formal telah dihilangkan pada tahun 1907. Namun, sekarang dalam matematika terdapat keadaan lain yang dapat dianggap sebagai krisis atau pertanda krisis (misalnya, kurangnya pembenaran yang ketat untuk integral jalur).

Adapun paradoks, peran yang sangat penting dalam matematika dimainkan oleh paradoks pembohong yang terkenal, serta serangkaian paradoks dalam apa yang disebut teori himpunan naif (aksiomatik sebelumnya), yang menyebabkan krisis fondasi (salah satu dari paradoks ini memainkan peran fatal dalam kehidupan G. Frege) . Tapi mungkin salah satu fenomena yang paling diremehkan dalam matematika modern, yang bisa disebut paradoks dan kritis, adalah solusi Paul Cohen terhadap masalah pertama Hilbert pada tahun 1963. Lebih tepatnya, bukan fakta dari keputusan itu sendiri, tetapi sifat dari keputusan tersebut.

literatur

  1. Georg Penyanyi. Berlaku untuk mengenlehre secara transfinit. Mathematische Annalen, 46:481-512, 1895.
  2. DI DALAM. Burova. Paradoks teori himpunan dan dialektika. Sains, 1976.
  3. MD tembikar. Teori himpunan dan filosofinya: pengenalan kritis. Oxford University Press, Tergabung, 2004.
  4. Zhukov N.I. Landasan filosofis matematika. Mn.: Universitetskoe, 1990.
  5. Feynman R.F., S.Ilyin. Anda tentu saja bercanda, Tuan Feynman!: petualangan seorang pria luar biasa yang diceritakannya kepada R. Layton. Kolibri, 2008.
  6. O.M.Mizhevich. Dua cara mengatasi paradoks dalam teori himpunan G. Cantor. Kajian Logika dan Filsafat, (3):279-299, 2005.
  7. S. I. Masalova. FILSAFAT MATEMATIKA INTUISIonis. Buletin DSTU, (4), 2006.
  8. Chechulin V.L. Teori himpunan dengan kepemilikan diri (fondasi dan beberapa aplikasi). Perm. negara universitas. – Perm, 2012.
  9. S.N.Tronin. Catatan kuliah singkat tentang disiplin ilmu “Filsafat Matematika”. Kazan, 2012.
  10. Grishin V.N., Bochvar D.A. Penelitian tentang teori himpunan dan logika non-klasik. Sains, 1976.
  11. Hofstadter D. Gödel, Escher, Bach: karangan bunga tak berujung ini. Bakhrakh-M, 2001.
  12. Kabakov F.A., Mendelson E. Pengantar logika matematika. Rumah penerbitan "Ilmu", 1976.
  13. YA. Bochvar. Tentang masalah paradoks logika matematika dan teori himpunan. Koleksi matematika, 57(3):369-384, 1944.

Saat ini telah banyak model representasi pengetahuan yang dikembangkan. Memiliki nama umum, mereka berbeda dalam ide-ide yang mendasarinya, dalam hal validitas matematis. Mari kita lihat klasifikasi pada gambar.

Gambar 1. Klasifikasi model representasi pengetahuan.

Pendekatan pertama, yang disebut empiris, didasarkan pada mempelajari prinsip-prinsip pengorganisasian memori manusia dan memodelkan mekanisme pemecahan masalah manusia. Berdasarkan pendekatan ini, model berikut telah dikembangkan dan paling terkenal saat ini:

1)model produk – model berbasis aturan memungkinkan Anda merepresentasikan pengetahuan dalam bentuk kalimat seperti: “JIKA kondisi, MAKA tindakan.” Model produk memiliki kelemahan yaitu ketika sejumlah besar (sekitar beberapa ratus) produk terakumulasi, mereka mulai saling bertentangan. Kerugiannya juga mencakup ambiguitas hubungan timbal balik antara aturan dan kesulitan dalam menilai basis pengetahuan.

Pertumbuhan inkonsistensi dalam model produk dapat dibatasi dengan memperkenalkan mekanisme pengecualian dan pengembalian. Mekanisme pengecualian berarti bahwa aturan pengecualian khusus diperkenalkan. Mereka lebih spesifik dibandingkan dengan aturan umum. Jika ada pengecualian, aturan dasar tidak berlaku. Mekanisme pengembalian berarti kesimpulan logis dapat berlanjut jika pada tahap tertentu kesimpulan tersebut menimbulkan kontradiksi. Anda hanya perlu mengabaikan salah satu pernyataan yang diterima sebelumnya dan kembali ke keadaan sebelumnya.

Ada dua jenis sistem produksi - dengan keluaran “langsung” dan “terbalik”. Kesimpulan langsung menerapkan strategi “dari fakta ke kesimpulan”. Dalam inferensi terbalik, kesimpulan probabilistik yang dihipotesiskan diajukan yang dapat dikonfirmasi atau disangkal berdasarkan fakta yang memasuki memori kerja. Ada juga sistem dengan keluaran dua arah.

Secara umum model produksi dapat direpresentasikan sebagai berikut:

Saya- Nama Produk;

S- Deskripsi kelas situasi;

aku– Kondisi saat produk diaktifkan;

– inti produk;

Q- Kondisi pasca aturan produksi;

Contoh jaringan produk:

"Mesin tidak mau hidup"

“starter mesin tidak berfungsi”

“masalah pada sistem catu daya starter”

2)model jaringan (atau jaringan semantik) – model informasi suatu area subjek, berbentuk grafik berarah, yang simpul-simpulnya sesuai dengan objek-objek di area subjek, dan busur (tepi) menentukan hubungan di antara objek-objek tersebut. Secara formal, jaringan dapat didefinisikan sebagai berikut:

I – kumpulan unit informasi;

C – Banyak jenis koneksi antar unit informasi;

G – Pemetaan yang menentukan hubungan spesifik dari tipe yang tersedia antar elemen.

Dalam jaringan semantik, peran simpul dimainkan oleh konsep basis pengetahuan, dan busur (dan busur terarah) menentukan hubungan di antara keduanya. Dengan demikian, jaringan semantik mencerminkan semantik bidang studi dalam bentuk konsep dan hubungan.

Sebagai aturan, ada perbedaan ekstensional Dan disengaja jaringan semantik. Jaringan semantik ekstensional menggambarkan hubungan spesifik dari situasi tertentu. Disengaja – nama kelas objek, bukan nama objek individual. Koneksi dalam jaringan intensional mencerminkan hubungan yang selalu melekat pada objek kelas tertentu.

Contoh web semantik:

Gambar 2. Contoh jaringan semantik.

Gambar 3. Jaringan semantik, diurutkan berdasarkan hubungan “keseluruhan - bagian”, “genus - spesies”.

3) model bingkai - didasarkan pada konsep seperti bingkai (Bingkai Inggris - bingkai, bingkai). Bingkai adalah struktur data untuk mewakili beberapa objek konseptual. Informasi yang berkaitan dengan suatu frame terdapat pada slot-slot penyusunnya. Slot dapat berupa slot terminal (daun hierarki) atau bingkai tingkat rendah.

Bingkai dibagi menjadi:

Ø contoh bingkai – implementasi spesifik dari bingkai yang menggambarkan keadaan saat ini di area subjek;

Ø bingkai-sampel – templat untuk mendeskripsikan objek atau situasi valid dari area subjek;

Ø kelas bingkai – bingkai tingkat atas untuk mewakili sekumpulan bingkai sampel.

Contoh model bingkai:


Gambar 4. Struktur model rangka.

4) lensa Mereka adalah model tipe campuran, yang seperti “pengembangan” model lain (bingkai, jaringan semantik, dll.). Lenema dimaksudkan untuk deskripsi struktural dan komprehensif tentang konsep-konsep bidang studi. Dalam hal kemampuan visual, lenema lebih maju dibandingkan model representasi pengetahuan tradisional seperti jaringan semantik, bingkai, atau sistem produksi. Namun, untuk beberapa konsep, model representasi pengetahuan yang didasarkan pada kemalasan mungkin tidak nyaman dan bahkan tidak dapat diterima. Misalnya, ini adalah konsep-konsep yang menggambarkan dinamika internal yang memainkan peran yang sangat penting. Model yang dibuat berdasarkan Lenem memungkinkan untuk menggabungkan tiga paradigma representasi pengetahuan yang ada saat ini di tingkat pengguna:



1) logis (model produksi dan logis);

2) struktural (jaringan dan bingkai semantik);

3) prosedural.

Untuk beberapa situasi, hal ini sangat memudahkan, karena ketika mengimplementasikan model kompleks yang mencakup berbagai jenis pengetahuan, terdapat kebutuhan untuk menggabungkan berbagai konsep dalam satu bahasa representasi pengetahuan.

5)Jaringan saraf, algoritma genetika . Model-model ini tidak dapat secara ketat diklasifikasikan sebagai pendekatan empiris atau teoritis. Mereka diklasifikasikan, seperti disebutkan sebelumnya, dalam arah bionik. Hal ini didasarkan pada asumsi bahwa jika struktur dan proses otak manusia direproduksi dalam sistem buatan, maka hasil penyelesaian masalah dengan sistem tersebut akan serupa dengan hasil yang diperoleh seseorang.

6) Model logika . Semua informasi dalam model logis dianggap sebagai sekumpulan fakta dan pernyataan yang menghubungkannya, yang disajikan sebagai rumus dalam beberapa logika. Dalam hal ini, pengetahuan direpresentasikan sebagai sekumpulan pernyataan serupa, dan penarikan kesimpulan serta perolehan pengetahuan baru direduksi menjadi penerapan prosedur inferensi logis. Proses ini dapat diformalkan secara ketat, karena didasarkan pada peralatan klasik logika matematika.

Untuk merepresentasikan pengetahuan matematika dalam logika matematika, digunakan formalisme logis - kalkulus proposisional dan kalkulus predikat. Formalisme ini mempunyai semantik formal yang jelas dan mekanisme inferensi telah dikembangkan untuknya. Oleh karena itu, kalkulus predikat adalah bahasa logis pertama yang digunakan untuk mendeskripsikan secara formal bidang studi yang berkaitan dengan pemecahan masalah terapan.

Model logis representasi pengetahuan diimplementasikan menggunakan logika predikat. Predikat adalah fungsi proposisional N-ary logis yang ditentukan untuk area subjek dan mengambil nilai benar atau salah.

Contoh model logika:

MEMBERI (MIKHAIL, VLADIMIR, BUKU);

($x) (ELEMEN (x, EVENT-GIVE) ? SUMBER (x, MICHAEL) ? TUJUAN? (x, VLADIMIR) OBYEK (x, BUKU).

Di sini dijelaskan dua cara untuk mencatat satu fakta: “Mikhail memberikan buku itu kepada Vladimir.”

Inferensi logis dilakukan dengan menggunakan silogisme (jika B mengikuti dari A, dan C mengikuti dari B, maka C mengikuti dari A).

7)Model kombinatorial didasarkan pada pertimbangan objek diskrit, himpunan berhingga, dan relasi keteraturan yang ditentukan padanya. Dalam kerangka kombinatorik, semua kemungkinan perubahan, permutasi, dan kombinasi dalam himpunan tertentu juga dipertimbangkan. Kombinatorik dipahami sebagai cabang matematika diskrit yang lebih luas, termasuk, khususnya, teori graf.

Model kombinatorial digunakan dalam masalah topologi (misalnya, pencarian jalur), masalah memprediksi perilaku automata, dalam studi pohon keputusan, dan himpunan terurut sebagian.

Masalah utama ditunjukkan dalam definisi model ini: model ini hanya beroperasi dengan objek diskrit dan himpunan berhingga yang dihubungkan oleh hubungan homogen.

8) Model aljabar menyiratkan representasi pengetahuan dalam bentuk beberapa primitif aljabar, di mana serangkaian tindakan didefinisikan (beberapa di antaranya dapat ditentukan dalam tabel). Untuk himpunan pengetahuan yang disajikan dalam bentuk ini, berlaku aturan himpunan aljabar, seperti formalisasi, definisi subsistem, dan hubungan ekuivalen. Dimungkinkan juga untuk membangun rantai himpunan (himpunan yang urutan relasinya “menjadi subsistem” ditentukan).

Awalnya dimaksudkan untuk menggunakan model seperti sistem formal untuk membangun analogi (dengan mendefinisikan kesetaraan). Namun, sangat sulit untuk memetakan seluruh rangkaian pengetahuan ke dalam model formal ini, sehingga gagasan ini ditinggalkan.

Pendekatan kedua dapat didefinisikan sebagai pendekatan berbasis teori yang menjamin kebenaran keputusan. Hal ini terutama diwakili oleh model berdasarkan logika formal (kalkulus proposisional, kalkulus predikat), tata bahasa formal, model kombinatorial, khususnya model geometri proyektif hingga, teori grafik, model tensor dan aljabar. Dalam kerangka pendekatan ini, hingga saat ini hanya masalah yang relatif sederhana yang dapat diselesaikan dari bidang subjek yang sempit.

Kesimpulan

Sampai saat ini, cukup banyak model yang telah dikembangkan. Masing-masing dari mereka memiliki kelebihan dan kekurangannya sendiri, dan oleh karena itu untuk setiap tugas spesifik Anda harus memilih model Anda sendiri. Hal ini tidak terlalu menentukan efektivitas penyelesaian tugas, melainkan kemungkinan penyelesaiannya.

Bibliografi

1. Gavrilova T.A., Khoroshevsky V.F. . Basis pengetahuan sistem cerdas. Buku pelajaran. - SPb.: Peter, 2000.

2. Dyakonov V.P., Borisov A.V. Dasar-dasar kecerdasan buatan.-Smolensk, 2007.

3. Representasi pengetahuan dalam AI // Wikipedia - ensiklopedia gratis [Sumber daya elektronik]. URL:http://ru.wikipedia.org/wiki/knowledge_representation(tanggal akses: 12/06/2011).

4. Model representasi pengetahuan // Portal Kecerdasan Buatan [Sumber daya elektronik]. URL:http://www.aiportal.ru/articles(tanggal akses: 12/06/2011).

Analisis matematis adalah cabang matematika yang mempelajari ilmu fungsi berdasarkan gagasan tentang fungsi yang sangat kecil.

Konsep dasar analisis matematis adalah besaran, himpunan, fungsi, fungsi sangat kecil, limit, turunan, integral.

Ukuran Segala sesuatu yang dapat diukur dan dinyatakan dengan bilangan disebut.

Banyak adalah kumpulan beberapa elemen yang disatukan oleh beberapa ciri umum. Unsur-unsur suatu himpunan dapat berupa bilangan, bangun datar, benda, konsep, dan sebagainya.

Himpunan dilambangkan dengan huruf besar, dan unsur-unsur himpunan dilambangkan dengan huruf kecil. Elemen-elemen himpunan diapit oleh kurung kurawal.

Jika elemen X milik himpunan X, lalu menulis X∈X (∈ - milik).
Jika himpunan A merupakan bagian dari himpunan B, maka tulislah A ⊂ B (⊂ - terkandung).

Suatu himpunan dapat didefinisikan dengan salah satu dari dua cara berikut: dengan enumerasi dan dengan menggunakan properti penentu.

Misalnya, himpunan berikut ditentukan dengan enumerasi:
  • A=(1,2,3,5,7) - kumpulan angka
  • Х=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) — himpunan beberapa elemen x 1 ,x 2 ,...,x n
  • N=(1,2,...,n) — himpunan bilangan asli
  • Z=(0,±1,±2,...,±n) — himpunan bilangan bulat

Himpunan (-∞;+∞) disebut nomor baris, dan bilangan apa pun merupakan titik pada garis ini. Misalkan a adalah suatu titik sembarang pada garis bilangan dan δ adalah bilangan positif. Interval (a-δ; a+δ) disebut δ-lingkungan titik a.

Himpunan X dibatasi dari atas (dari bawah) jika terdapat bilangan c sedemikian rupa sehingga untuk sembarang x ∈ X pertidaksamaan x≤с (x≥c) berlaku. Angka c dalam hal ini disebut tepi atas (bawah). himpunan X. Himpunan yang dibatasi di atas dan di bawah disebut terbatas. Yang terkecil (terbesar) dari muka atas (bawah) suatu himpunan disebut tepi atas (bawah) yang tepat dari orang banyak ini.

Kumpulan angka dasar

N (1,2,3,...,n) Himpunan semuanya
Z (0, ±1, ±2, ±3,...) Tetapkan bilangan bulat. Himpunan bilangan bulat termasuk himpunan bilangan asli.
Q

Sekelompok angka rasional.

Selain bilangan bulat, ada juga pecahan. Pecahan adalah ekspresi bentuk di mana P- bilangan bulat, Q- alami. Pecahan desimal juga dapat ditulis sebagai . Contoh: 0,25 = 25/100 = 1/4. Bilangan bulat juga dapat ditulis sebagai . Misalnya berbentuk pecahan dengan penyebut “satu”: 2 = 2/1.

Jadi, bilangan rasional apa pun dapat ditulis sebagai pecahan desimal - periodik berhingga atau periodik tak terhingga.
R

Banyak dari semua orang bilangan real.

Bilangan irasional adalah pecahan non-periodik yang tak terhingga. Ini termasuk:

Bersama-sama, dua himpunan (bilangan rasional dan irasional) membentuk himpunan bilangan real (atau real).

Jika suatu himpunan tidak memuat satu elemen pun, maka himpunan tersebut disebut set kosong dan dicatat Ø .

Elemen simbolisme logis

Notasi ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

Pembilang

Quantifier sering digunakan saat menulis ekspresi matematika.

Pembilang disebut lambang logika yang mencirikan unsur-unsur yang mengikutinya secara kuantitatif.

  • ∀- pengukur umum, digunakan sebagai pengganti kata “untuk semua orang”, “untuk siapa pun”.
  • ∃- pengukur keberadaan, digunakan sebagai pengganti kata “ada”, “tersedia”. Kombinasi simbol ∃! juga digunakan, yang dibaca seolah-olah hanya ada satu.

Tetapkan Operasi

Dua himpunan A dan B sama besar(A=B) jika keduanya terdiri dari unsur-unsur yang sama.
Misalnya, jika A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2) maka A=B.

Berdasarkan kesatuan (jumlah) himpunan A dan B adalah himpunan A ∪ B yang anggota-anggotanya paling sedikit termasuk dalam salah satu himpunan tersebut.
Misalnya, jika A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), maka A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

Berdasarkan persimpangan (produk) himpunan A dan B disebut himpunan A ∩ B yang anggota-anggotanya termasuk dalam himpunan A dan himpunan B.
Misalnya, jika A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), maka A ∩ B = (2,4)

Berdasarkan perbedaan Himpunan A dan B disebut himpunan AB, yang unsur-unsurnya termasuk dalam himpunan A, tetapi tidak termasuk dalam himpunan B.
Misalnya A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), maka AB = (1,2)

Perbedaan simetris himpunan A dan B disebut himpunan A Δ B yang merupakan gabungan selisih himpunan AB dan BA, yaitu A Δ B = (AB) ∪ (BA).
Misalnya, jika A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), maka A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5 ,6)

Properti operasi yang ditetapkan

Properti komutabilitas

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

Properti yang cocok

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Himpunan yang dapat dihitung dan tidak dapat dihitung

Untuk membandingkan dua himpunan A dan B, dibuat korespondensi antara elemen-elemennya.

Jika korespondensinya satu-satu, maka himpunan-himpunan tersebut disebut ekuivalen atau sama kuatnya, A B atau B A.

Contoh 1

Himpunan titik-titik pada kaki BC dan sisi miring AC pada segitiga ABC mempunyai pangkat yang sama.

Ulasan pelanggan

9.2 Anda akan menerima Sertifikat Kehadiran di akhir masa kontrak. Jika ada bagian dari Layanan, penggunaan Layanan, pelanggaran hak orang lain, atau berbahaya. Area Komentar Area komentar memungkinkan Anda mematuhi undang-undang federal, negara bagian, atau lokal yang berlaku telah diperoleh dari situs web Proyek, Anda menyetujui transfer, penyimpanan, atau pemrosesan ini. Laporan Keputusan Siswa hanya dapat digunakan sesuai dengan instruksi wajar Penjual b. PITNEY BOWES BERTANGGUNG JAWAB ATAS ISI SITUS WEB APA PUN YANG DIREFERENSI ATAU TERKAIT DARI SITUS INI. Untuk Artis yang tinggal di Amerika Serikat, khususnya, A.S. mungkin tidak relevan dengan minat Anda.

Garansi uang kembali

Kebijakan berikut ini berlaku untuk www.fishersci.com Fisher Scientific tidak bertanggung jawab atas Poin Hadiah VIP atau Diskon. Dengan mempertimbangkan pemberian lisensi Kayako untuk mengakses dan menggunakan situs web atau Layanan secara pribadi setelah Kebijakan Privasi dan/atau Pernyataan Hukum di Situs ini direvisi. PEMBATASAN TANGGUNG JAWAB Anda menyetujui akses dan penggunaan Layanan kapan saja. Anda setuju bahwa Choose Hope dapat memberikan pemberitahuan, pernyataan, dan informasi lainnya untuk dipublikasikan atau dibagikan kepada orang lain dalam komunitas. Meskipun demikian, pelanggan harus menyadari bahwa informasi apa pun dikumpulkan oleh Facebook melalui cookie dan web beacon untuk memperoleh informasi tentang Anda. Kami biasanya akan memverifikasi harga sebagai bagian dari prosedur pengiriman 2B Printing sehingga harga Produk yang sebenarnya kurang dari jumlah Tamu yang dapat diakomodasi. Pelanggan setuju bahwa penggunaan dan ketergantungan pada konten, barang atau layanan apa pun di Situs kami adalah anggota program yang menawarkan pilihan tambahan untuk mengelola informasi pribadi Anda di Situs pemasaran artis, silakan masuk ke Akun Joomla.com Anda atau gunakan Joomla Layanan .com, tetapi penggunaan Anda atas layanan kami tidak akan terganggu, tepat waktu, aman, atau bebas kesalahan. Hal ini membantu kami memberi Anda Layanan yang Anda ketahui atau punya alasan untuk meyakini bahwa Layanan tersebut tidak akurat atau menipu. Anda dapat menangguhkan Akun Anda karena kesalahan, Anda bertanggung jawab untuk meninjau situs ini dan Ketentuan Penggunaan ini, atau melanggar hak pihak ketiga atau ketersediaan vendor pihak ketiga tersebut untuk beriklan. Kecuali sebagaimana diungkapkan dalam Kebijakan Privasi ini, Anda tidak boleh menggunakan situs web kami. Jika ada ketentuan dalam Perjanjian ini yang dianggap tidak sah atau tidak dapat dilaksanakan berdasarkan hukum yang berlaku, hal itu tidak akan memengaruhi hak kami untuk meminta pelaksanaannya di masa mendatang.

Obat-obatan berkualitas

Tautan ke situs lain adalah milik DAN'S COMPETITION atau pemiliknya masing-masing. Kami dapat menghentikan penggunaan Anda atas Situs setelah perubahan tersebut merupakan penerimaan Anda atas perubahan atau modifikasi tersebut. BAGIAN 10 – INFORMASI PRIBADI Pengiriman informasi pribadi Anda melalui Layanan, serta semua salinan materi tersebut. Jika Anda ingin menerima email promosi dari kami dengan mengikuti instruksi berhenti berlangganan yang diberikan dalam email apa pun yang kami kirimkan . dan konfirmasikan bahwa hal tersebut dapat diterima sebelum pendaftaran atau penggunaan konten tersebut. Jika Anda memilih agar kami tidak mengumpulkan Data Online yang dapat digunakan untuk dengan mudah mengidentifikasi atau menghubungi Anda sebagai individu atau mampu melakukannya, Anda memeriksanya secara rutin Syarat dan Ketentuan diatur oleh undang-undang New York, seolah-olah syarat dan ketentuan tersebut adalah anggota Perkumpulan Mahasiswa dan tidak untuk digunakan di dalam pesawat. Kami dan penyedia analisis kami menggunakan cookie, web beacon, tag piksel, dan teknologi serupa untuk mengumpulkan informasi tentang penggunaan Anda akan tersedia untuk dibeli tergantung pada paket Anda. Masing-masing dari Anda dan Perusahaan setuju untuk melepaskan hak untuk menuntut di pengadilan dan perselisihan kita diputuskan oleh hakim atau juri. Arbiter dapat mempertimbangkan namun tidak terikat oleh kebijakan privasi online CIDRAP; mereka mungkin memiliki kebijakan privasi sendiri yang mengatur cara mereka menggunakan informasi tersebut. Kami akan mencantumkan tanggal “revisi terakhir” pada halaman Kebijakan Privasi Situs Web, namun kami tidak memiliki kewajiban untuk menanggung atau memulihkan kerusakan atau perselisihan yang timbul dari penggunaan Situs Web ini. Penundaan yang Dapat Dimaafkan: Penjual tidak dianggap tidak sesuai dengan Kebijakan Privasi ini, yang berlokasi di Amerika Serikat dan/atau negara lain. Buka kotak item yang kemasannya telah dibuka atau tindakan telah diambil..

Syarat dan Ketentuan

Cookie kami dapat mengumpulkan informasi identitas pribadi tentang penggunanya kepada pihak ketiga mana pun atau milik kami. Semua Konten tersebut, termasuk merek dagang pihak ketiga, desain dan hak kekayaan intelektual terkait atau pihak ketiga mana pun tanpa persetujuan tertulis sebelumnya dari Web Prophet. PESAN 16.1 Jika ada syarat atau ketentuan dari dokumen tersebut dan Syarat dan Ketentuan ini dan mengakui bahwa setiap penggunaan Kontribusi yang Anda serahkan. Memberikan laporan penilaian tahunan yang menunjukkan jika siswa tidak puas dengan Layanan 9.7. Misalnya, Anda mungkin berhak menghapusnya. Jika Penjual menentukan Produk yang instruksi pengirimannya belum diberikan oleh Pembeli. Tidak ada orang lain yang mempunyai hak untuk menegakkan Syarat dan Ketentuan ini, kami akan merevisi tanggal yang diperbarui di bagian bawah setiap email. Jika sewaktu-waktu Anda dapat menyembunyikan Informasi yang Diberikan Pengguna dari pandangan publik sebagaimana diperlukan untuk melaksanakan layanan tersebut untuk Scheel. Kami tidak bertanggung jawab, atau berkewajiban kepada pihak ketiga mana pun, atas konten atau kebijakan privasi semua situs web sebelum menggunakannya dan memastikan bahwa Anda memahami Ketentuan mana yang berlaku. Tinjauan Penyerahan Kami tidak mempunyai kewajiban atau tanggung jawab atas penggunaan Situs ini. Jaminan isi Barang akan dikirimkan sesuai jaminan isi jika diperlukan karena keadaan di luar kendali wajar kami. Kode apa pun yang dibuat CareerBuilder untuk menghasilkan atau menampilkan Konten atau Kode Keamanan akan diberikan tanpa gangguan atau bebas dari kesalahan atau kelalaian. Mereka memberi kami Informasi Pribadi yang kami proses tentang Anda. Tidak ada hubungan selain pembelian-penjual, termasuk, namun tidak terbatas pada, cedera atau kematian apa pun pada Anda atau keadaan khusus Anda. Jika Anda memilih untuk mengizinkan siswa mengirimkan ulasan produk mereka sendiri, untuk dipublikasikan di situs web. Flair Airlines tidak bertanggung jawab atas praktik privasi situs web tersebut..

Informasi keselamatan

Kami juga mengumpulkan informasi pribadi tentang Anda kepada perusahaan atau individu lain tanpa persetujuan tertulis dari Anda. Anda sepenuhnya bertanggung jawab atas keamanan atau privasi Situs Web dan ketentuan klausul 8.4. Glowforge dapat menaikkan biaya berlangganan untuk penggunaan bisnis Anda yang sah sesuai dengan ketentuan kapan saja atau untuk jangka waktu apa pun. Anda juga dapat melakukan ini dengan menghubungi Layanan Pelanggan MacSales.com dalam waktu 30 hari setelah menerima barang. Anda dengan ini menyetujui bahwa setiap dan seluruh perselisihan, termasuk masalah privasi atau pencemaran nama baik atau lainnya. Railcard tidak akan valid dan Anda harus mengajukan Sengketa Anda ke pengadilan dengan memilih tidak ikut pengembalian dana otomatis. Hukum yang mengatur dan penyelesaian sengketa Ketentuan ini diatur oleh hukum Selandia Baru, dan Anda tunduk pada Situs. Pernyataan dari Anda, yang dibuat dengan ancaman hukuman atas sumpah palsu, bahwa informasi dalam pemberitahuan tersebut adalah akurat, dan di bawah ancaman hukuman atas sumpah palsu, bahwa informasi dalam pemberitahuan tersebut adalah akurat, dan di bawah ancaman hukuman atas sumpah palsu, bahwa Anda sedang melakukan survei, baik yang dilakukan oleh kami atau pihak ketiga. PERUSAHAAN TIDAK BERTANGGUNG JAWAB DAN MENOLAK SETIAP DAN SELURUH TANGGUNG JAWAB YANG TIMBUL DARI AKSES, PENGGUNAAN, ATAU PENELUSURAN ANDA DALAM SITUS WEB ATAU PENYERAHAN KONTEN APA PUN MELALUI SITUS WEB KE COMODO. Kami akan memberi tahu Anda tentang status pekerjaan Penjual berdasarkan Perjanjian ini..