properti utama.
- logax + logay = loga(x y);
- logax − logay = loga (x: y).
alasan yang identik
Log6 4 + log6 9.
Sekarang mari kita mempersulit tugas ini sedikit.
Contoh penyelesaian logaritma
Bagaimana jika basis atau argumen suatu logaritma adalah suatu pangkat? Maka eksponen derajat tersebut dapat dikeluarkan dari tanda logaritma dengan aturan sebagai berikut:
Tentu saja, semua aturan ini masuk akal jika ODZ logaritma diperhatikan: a > 0, a ≠ 1, x >
Tugas. Temukan arti dari ungkapan:
Transisi ke fondasi baru
Biarkan logaritma logax diberikan. Maka untuk sembarang bilangan c sehingga c > 0 dan c ≠ 1, persamaannya benar:
Tugas. Temukan arti dari ungkapan:
Lihat juga:
Sifat dasar logaritma
1.
2.
3.
4.
5. 
6.
7.
8.
9.
10.
11. 
12.
13.
14. 
15.
Eksponennya adalah 2,718281828…. Untuk mengingat eksponen, Anda dapat mempelajari aturannya: eksponen sama dengan 2,7 dan dua kali tahun kelahiran Leo Nikolaevich Tolstoy.
Sifat dasar logaritma
Mengetahui aturan ini, Anda akan mengetahui nilai pasti eksponen dan tanggal lahir Leo Tolstoy.
Contoh logaritma
Ekspresi logaritma
Contoh 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).
Menggunakan properti 3.5 kami menghitung 
2.
3. 
4. 
Di mana 
.
Contoh 2. Temukan x jika
Contoh 3. Biarkan nilai logaritma diberikan
Hitung log(x) jika
Sifat dasar logaritma
Logaritma, seperti bilangan lainnya, dapat dijumlahkan, dikurangi, dan diubah dengan segala cara. Tetapi karena logaritma bukanlah bilangan biasa, ada aturan di sini yang disebut properti utama.
Anda pasti perlu mengetahui aturan-aturan ini - tidak ada satu pun masalah logaritma serius yang dapat diselesaikan tanpa aturan tersebut. Selain itu, jumlahnya sangat sedikit - Anda dapat mempelajari semuanya dalam satu hari. Jadi mari kita mulai.
Penjumlahan dan pengurangan logaritma
Pertimbangkan dua logaritma dengan basis yang sama: logax dan logay. Kemudian mereka dapat dijumlahkan dan dikurangkan, dan:
- logax + logay = loga(x y);
- logax − logay = loga (x: y).
Jadi, jumlah logaritma sama dengan logaritma hasil kali, dan selisihnya sama dengan logaritma hasil bagi. Harap dicatat: poin kuncinya di sini adalah alasan yang identik. Jika alasannya berbeda, aturan ini tidak berlaku!
Rumus ini akan membantu Anda menghitung ekspresi logaritma meskipun bagian-bagian individualnya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran “Apa itu logaritma”). Lihatlah contohnya dan lihat:
Karena logaritma mempunyai basis yang sama, kita menggunakan rumus penjumlahan:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.
Tugas. Temukan nilai ekspresi: log2 48 − log2 3.
Basisnya sama, kita gunakan rumus selisihnya:
log2 48 − log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.
Tugas. Temukan nilai ekspresi: log3 135 − log3 5.
Sekali lagi basisnya sama, jadi kita punya:
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.
Seperti yang Anda lihat, ekspresi aslinya terdiri dari logaritma “buruk”, yang tidak dihitung secara terpisah. Tetapi setelah transformasi, diperoleh angka yang sepenuhnya normal. Banyak tes didasarkan pada fakta ini. Ya, ekspresi seperti ujian ditawarkan dengan sangat serius (terkadang hampir tidak ada perubahan) pada Ujian Negara Bersatu.
Mengekstraksi eksponen dari logaritma
Sangat mudah untuk melihat bahwa aturan terakhir mengikuti dua aturan pertama. Namun lebih baik mengingatnya - dalam beberapa kasus ini akan mengurangi jumlah perhitungan secara signifikan.
Tentu saja, semua aturan ini masuk akal jika ODZ logaritma diperhatikan: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Dan satu hal lagi: belajar menerapkan semua rumus tidak hanya dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya , yaitu Anda dapat memasukkan angka sebelum tanda logaritma ke dalam logaritma itu sendiri. Inilah yang paling sering dibutuhkan.
Tugas. Temukan nilai ekspresi: log7 496.
Mari kita hilangkan derajat argumen menggunakan rumus pertama:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
Tugas. Temukan arti dari ungkapan:
Perhatikan bahwa penyebutnya berisi logaritma, yang basis dan argumennya merupakan pangkat eksak: 16 = 24; 49 = 72. Kita mempunyai:
Saya pikir contoh terakhir memerlukan beberapa klarifikasi. Kemana perginya logaritma? Hingga saat-saat terakhir kami hanya bekerja dengan penyebutnya.
Rumus logaritma. Contoh penyelesaian logaritma.
Kami menyajikan basis dan argumen logaritma dalam bentuk pangkat dan mengeluarkan eksponennya - kami mendapatkan pecahan "tiga lantai".
Sekarang mari kita lihat pecahan utamanya. Pembilang dan penyebutnya mengandung bilangan yang sama: log2 7. Karena log2 7 ≠ 0, kita dapat mengurangi pecahan tersebut - 2/4 akan tetap berada di penyebutnya. Menurut aturan aritmatika, empat dapat dipindahkan ke pembilang, itulah yang telah dilakukan. Hasilnya adalah jawabannya: 2.
Transisi ke fondasi baru
Berbicara tentang aturan penjumlahan dan pengurangan logaritma, saya secara khusus menekankan bahwa aturan tersebut hanya bekerja dengan basis yang sama. Bagaimana jika alasannya berbeda? Bagaimana jika keduanya bukan pangkat eksak dari bilangan yang sama?
Formula untuk transisi ke yayasan baru datang untuk menyelamatkan. Mari kita rumuskan dalam bentuk teorema:
Biarkan logaritma logax diberikan. Maka untuk sembarang bilangan c sehingga c > 0 dan c ≠ 1, persamaannya benar:
Secara khusus, jika kita menetapkan c = x, kita mendapatkan:
Dari rumus kedua dapat disimpulkan bahwa basis dan argumen logaritma dapat ditukar, tetapi dalam kasus ini seluruh ekspresi “dibalik”, yaitu. logaritma muncul di penyebut.
Rumus ini jarang ditemukan dalam ekspresi numerik biasa. Anda dapat menilai betapa mudahnya hal tersebut hanya ketika menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritma.
Namun ada permasalahan yang tidak bisa diselesaikan sama sekali kecuali dengan pindah ke yayasan baru. Mari kita lihat beberapa di antaranya:
Tugas. Temukan nilai ekspresi: log5 16 log2 25.
Perhatikan bahwa argumen kedua logaritma mengandung pangkat yang pasti. Mari kita keluarkan indikatornya: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
Sekarang mari kita “membalikkan” logaritma kedua:
Karena hasil kali tidak berubah ketika mengatur ulang faktornya, kami dengan tenang mengalikan empat dan dua, lalu menangani logaritma.
Tugas. Temukan nilai ekspresi: log9 100 lg 3.
Basis dan argumen logaritma pertama adalah pangkat eksak. Mari kita tuliskan ini dan hilangkan indikatornya:
Sekarang mari kita hilangkan logaritma desimal dengan berpindah ke basis baru:
Identitas logaritma dasar
Seringkali dalam proses penyelesaian, suatu bilangan perlu direpresentasikan sebagai logaritma ke basis tertentu. Dalam hal ini, rumus berikut akan membantu kita:
Dalam kasus pertama, bilangan n menjadi eksponen dalam argumen. Angka n bisa berupa apa saja, karena hanya berupa nilai logaritma.
Rumus kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasekan. Itulah sebutannya: .
Faktanya, apa yang terjadi jika bilangan b dipangkatkan sedemikian rupa sehingga bilangan b yang dipangkatkan tersebut menghasilkan bilangan a? Betul sekali: hasilnya sama dengan bilangan a. Baca kembali paragraf ini dengan cermat - banyak orang terjebak di dalamnya.
Seperti rumus untuk berpindah ke basis baru, identitas logaritma dasar terkadang merupakan satu-satunya solusi yang mungkin.
Tugas. Temukan arti dari ungkapan:
Perhatikan bahwa log25 64 = log5 8 - cukup ambil kuadrat dari basis dan argumen logaritma. Dengan memperhatikan aturan perkalian pangkat dengan basis yang sama, kita peroleh:
Kalau ada yang belum tahu, ini tugas nyata dari Unified State Examination :)
Satuan logaritma dan logaritma nol
Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identitas yang hampir tidak dapat disebut properti - melainkan merupakan konsekuensi dari definisi logaritma. Mereka terus-menerus muncul dalam masalah dan, yang mengejutkan, menciptakan masalah bahkan bagi siswa “mahir”.
- logaa = 1 adalah. Ingat sekali dan untuk selamanya: logaritma untuk setiap basis a dari basis itu sendiri sama dengan satu.
- loga 1 = 0 adalah. Basis a dapat berupa apa saja, tetapi jika argumen berisi satu, logaritmanya sama dengan nol! Karena a0 = 1 merupakan konsekuensi langsung dari definisi tersebut.
Itu semua propertinya. Pastikan untuk berlatih mempraktikkannya! Unduh lembar contekan di awal pelajaran, cetak, dan selesaikan soal.
Lihat juga:
Logaritma dari b ke basis a menunjukkan ekspresi. Menghitung logaritma berarti mencari pangkat x () yang memenuhi persamaan
Sifat dasar logaritma
Sifat-sifat di atas perlu diketahui, karena hampir semua masalah dan contoh yang berkaitan dengan logaritma diselesaikan berdasarkan sifat-sifat tersebut. Sifat eksotik lainnya dapat diperoleh melalui manipulasi matematis dengan rumus ini
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Saat menghitung rumus jumlah dan selisih logaritma (3.4) cukup sering Anda jumpai. Sisanya agak rumit, namun dalam sejumlah tugas mereka sangat diperlukan untuk menyederhanakan ekspresi kompleks dan menghitung nilainya.
Kasus umum logaritma
Beberapa logaritma yang paling umum adalah logaritma yang basisnya sama dengan sepuluh, eksponensial atau dua.
Logaritma ke basis sepuluh biasanya disebut logaritma desimal dan dilambangkan dengan lg(x).
Dari rekaman terlihat jelas bahwa dasar-dasarnya tidak tertulis dalam rekaman. Misalnya
Logaritma natural adalah logaritma yang basisnya berupa eksponen (dilambangkan dengan ln(x)).
Eksponennya adalah 2,718281828…. Untuk mengingat eksponen, Anda dapat mempelajari aturannya: eksponen sama dengan 2,7 dan dua kali tahun kelahiran Leo Nikolaevich Tolstoy. Mengetahui aturan ini, Anda akan mengetahui nilai pasti eksponen dan tanggal lahir Leo Tolstoy.
Dan logaritma penting lainnya ke basis dua dilambangkan dengan
Turunan logaritma suatu fungsi sama dengan satu dibagi variabelnya
Logaritma integral atau antiturunan ditentukan oleh hubungan
Materi yang diberikan cukup bagi Anda untuk menyelesaikan berbagai macam soal yang berkaitan dengan logaritma dan logaritma. Untuk membantu Anda memahami materi, saya hanya akan memberikan beberapa contoh umum dari kurikulum sekolah dan universitas.
Contoh logaritma
Ekspresi logaritma
Contoh 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).
Menggunakan properti 3.5 kami menghitung
2.
Berdasarkan sifat perbedaan logaritma yang kita miliki
3.
Menggunakan properti 3.5 kami temukan
4. Di mana .
Ekspresi yang tampaknya rumit disederhanakan menjadi bentuk menggunakan sejumlah aturan
Menemukan nilai logaritma
Contoh 2. Temukan x jika
Larutan. Untuk perhitungannya, kami menerapkan properti suku 5 dan 13 terakhir
Kami mencatatnya dan berduka
Karena basisnya sama, kita menyamakan persamaannya
Logaritma. Tingkat pertama.
Biarkan nilai logaritma diberikan
Hitung log(x) jika
Solusi: Mari kita ambil logaritma variabel untuk menuliskan logaritma melalui jumlah suku-sukunya
Ini hanyalah awal dari perkenalan kita dengan logaritma dan sifat-sifatnya. Latih perhitungan, perkaya keterampilan praktis Anda - Anda akan segera membutuhkan pengetahuan yang Anda peroleh untuk menyelesaikan persamaan logaritma. Setelah mempelajari metode dasar untuk menyelesaikan persamaan tersebut, kami akan memperluas pengetahuan Anda ke topik lain yang sama pentingnya - pertidaksamaan logaritma...
Sifat dasar logaritma
Logaritma, seperti bilangan lainnya, dapat dijumlahkan, dikurangi, dan diubah dengan segala cara. Tetapi karena logaritma bukanlah bilangan biasa, ada aturan di sini yang disebut properti utama.
Anda pasti perlu mengetahui aturan-aturan ini - tidak ada satu pun masalah logaritma serius yang dapat diselesaikan tanpa aturan tersebut. Selain itu, jumlahnya sangat sedikit - Anda dapat mempelajari semuanya dalam satu hari. Jadi mari kita mulai.
Penjumlahan dan pengurangan logaritma
Pertimbangkan dua logaritma dengan basis yang sama: logax dan logay. Kemudian mereka dapat dijumlahkan dan dikurangkan, dan:
- logax + logay = loga(x y);
- logax − logay = loga (x: y).
Jadi, jumlah logaritma sama dengan logaritma hasil kali, dan selisihnya sama dengan logaritma hasil bagi. Harap dicatat: poin kuncinya di sini adalah alasan yang identik. Jika alasannya berbeda, aturan ini tidak berlaku!
Rumus ini akan membantu Anda menghitung ekspresi logaritma meskipun bagian-bagian individualnya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran “Apa itu logaritma”). Lihatlah contohnya dan lihat:
Tugas. Temukan nilai ekspresi: log6 4 + log6 9.
Karena logaritma mempunyai basis yang sama, kita menggunakan rumus penjumlahan:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.
Tugas. Temukan nilai ekspresi: log2 48 − log2 3.
Basisnya sama, kita gunakan rumus selisihnya:
log2 48 − log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.
Tugas. Temukan nilai ekspresi: log3 135 − log3 5.
Sekali lagi basisnya sama, jadi kita punya:
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.
Seperti yang Anda lihat, ekspresi aslinya terdiri dari logaritma “buruk”, yang tidak dihitung secara terpisah. Tetapi setelah transformasi, diperoleh angka yang sepenuhnya normal. Banyak tes didasarkan pada fakta ini. Ya, ekspresi seperti ujian ditawarkan dengan sangat serius (terkadang hampir tidak ada perubahan) pada Ujian Negara Bersatu.
Mengekstraksi eksponen dari logaritma
Sekarang mari kita mempersulit tugas ini sedikit. Bagaimana jika basis atau argumen suatu logaritma adalah suatu pangkat? Maka eksponen derajat tersebut dapat dikeluarkan dari tanda logaritma dengan aturan sebagai berikut:
Sangat mudah untuk melihat bahwa aturan terakhir mengikuti dua aturan pertama. Namun lebih baik mengingatnya - dalam beberapa kasus ini akan mengurangi jumlah perhitungan secara signifikan.
Tentu saja, semua aturan ini masuk akal jika ODZ logaritma diperhatikan: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Dan satu hal lagi: belajar menerapkan semua rumus tidak hanya dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya , yaitu Anda dapat memasukkan angka sebelum tanda logaritma ke dalam logaritma itu sendiri.
Cara menyelesaikan logaritma
Inilah yang paling sering dibutuhkan.
Tugas. Temukan nilai ekspresi: log7 496.
Mari kita hilangkan derajat argumen menggunakan rumus pertama:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
Tugas. Temukan arti dari ungkapan:
Perhatikan bahwa penyebutnya berisi logaritma, yang basis dan argumennya merupakan pangkat eksak: 16 = 24; 49 = 72. Kita mempunyai:
Saya pikir contoh terakhir memerlukan beberapa klarifikasi. Kemana perginya logaritma? Hingga saat-saat terakhir kami hanya bekerja dengan penyebutnya. Kami menyajikan basis dan argumen logaritma dalam bentuk pangkat dan mengeluarkan eksponennya - kami mendapatkan pecahan "tiga lantai".
Sekarang mari kita lihat pecahan utamanya. Pembilang dan penyebutnya mengandung bilangan yang sama: log2 7. Karena log2 7 ≠ 0, kita dapat mengurangi pecahan tersebut - 2/4 akan tetap berada di penyebutnya. Menurut aturan aritmatika, empat dapat dipindahkan ke pembilang, itulah yang telah dilakukan. Hasilnya adalah jawabannya: 2.
Transisi ke fondasi baru
Berbicara tentang aturan penjumlahan dan pengurangan logaritma, saya secara khusus menekankan bahwa aturan tersebut hanya bekerja dengan basis yang sama. Bagaimana jika alasannya berbeda? Bagaimana jika keduanya bukan pangkat eksak dari bilangan yang sama?
Formula untuk transisi ke yayasan baru datang untuk menyelamatkan. Mari kita rumuskan dalam bentuk teorema:
Biarkan logaritma logax diberikan. Maka untuk sembarang bilangan c sehingga c > 0 dan c ≠ 1, persamaannya benar:
Secara khusus, jika kita menetapkan c = x, kita mendapatkan:
Dari rumus kedua dapat disimpulkan bahwa basis dan argumen logaritma dapat ditukar, tetapi dalam kasus ini seluruh ekspresi “dibalik”, yaitu. logaritma muncul di penyebut.
Rumus ini jarang ditemukan dalam ekspresi numerik biasa. Anda dapat menilai betapa mudahnya hal tersebut hanya ketika menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritma.
Namun ada permasalahan yang tidak bisa diselesaikan sama sekali kecuali dengan pindah ke yayasan baru. Mari kita lihat beberapa di antaranya:
Tugas. Temukan nilai ekspresi: log5 16 log2 25.
Perhatikan bahwa argumen kedua logaritma mengandung pangkat yang pasti. Mari kita keluarkan indikatornya: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
Sekarang mari kita “membalikkan” logaritma kedua:
Karena hasil kali tidak berubah ketika mengatur ulang faktornya, kami dengan tenang mengalikan empat dan dua, lalu menangani logaritma.
Tugas. Temukan nilai ekspresi: log9 100 lg 3.
Basis dan argumen logaritma pertama adalah pangkat eksak. Mari kita tuliskan ini dan hilangkan indikatornya:
Sekarang mari kita hilangkan logaritma desimal dengan berpindah ke basis baru:
Identitas logaritma dasar
Seringkali dalam proses penyelesaian, suatu bilangan perlu direpresentasikan sebagai logaritma ke basis tertentu. Dalam hal ini, rumus berikut akan membantu kita:
Dalam kasus pertama, bilangan n menjadi eksponen dalam argumen. Angka n bisa berupa apa saja, karena hanya berupa nilai logaritma.
Rumus kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasekan. Itulah sebutannya: .
Faktanya, apa yang terjadi jika bilangan b dipangkatkan sedemikian rupa sehingga bilangan b yang dipangkatkan tersebut menghasilkan bilangan a? Betul sekali: hasilnya sama dengan bilangan a. Baca kembali paragraf ini dengan cermat - banyak orang terjebak di dalamnya.
Seperti rumus untuk berpindah ke basis baru, identitas logaritma dasar terkadang merupakan satu-satunya solusi yang mungkin.
Tugas. Temukan arti dari ungkapan:
Perhatikan bahwa log25 64 = log5 8 - cukup ambil kuadrat dari basis dan argumen logaritma. Dengan memperhatikan aturan perkalian pangkat dengan basis yang sama, kita peroleh:
Kalau ada yang belum tahu, ini tugas nyata dari Unified State Examination :)
Satuan logaritma dan logaritma nol
Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identitas yang hampir tidak dapat disebut properti - melainkan merupakan konsekuensi dari definisi logaritma. Mereka terus-menerus muncul dalam masalah dan, yang mengejutkan, menciptakan masalah bahkan bagi siswa “mahir”.
- logaa = 1 adalah. Ingat sekali dan untuk selamanya: logaritma untuk setiap basis a dari basis itu sendiri sama dengan satu.
- loga 1 = 0 adalah. Basis a dapat berupa apa saja, tetapi jika argumen berisi satu, logaritmanya sama dengan nol! Karena a0 = 1 merupakan konsekuensi langsung dari definisi tersebut.
Itu semua propertinya. Pastikan untuk berlatih mempraktikkannya! Unduh lembar contekan di awal pelajaran, cetak, dan selesaikan soal.
Salah satu unsur aljabar tingkat primitif adalah logaritma. Nama tersebut berasal dari bahasa Yunani yang berasal dari kata “bilangan” atau “pangkat” yang berarti pangkat yang harus dipangkatkan pada bilangan dasar untuk mencari bilangan akhir.
Jenis logaritma
- log a b – logaritma bilangan b ke basis a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
- log b – logaritma desimal (logaritma ke basis 10, a = 10);
- ln b – logaritma natural (logaritma ke basis e, a = e).
Bagaimana cara menyelesaikan logaritma?
Logaritma b ke basis a adalah eksponen yang mengharuskan b dipangkatkan ke basis a. Hasil yang diperoleh diucapkan seperti ini: “logaritma b ke basis a.” Solusi untuk masalah logaritma adalah Anda perlu menentukan pangkat tertentu dari angka-angka yang ditentukan. Ada beberapa aturan dasar untuk menentukan atau menyelesaikan logaritma, serta mengubah notasi itu sendiri. Dengan menggunakannya, persamaan logaritma diselesaikan, turunan ditemukan, integral diselesaikan, dan banyak operasi lainnya dilakukan. Pada dasarnya, penyelesaian logaritma itu sendiri adalah notasinya yang disederhanakan. Di bawah ini adalah rumus dan properti dasar:
Untuk setiap a ; sebuah > 0; a ≠ 1 dan untuk sembarang x ; kamu > 0.
- a log a b = b – identitas logaritma dasar
- log a 1 = 0
- loga a = 1
- log a (x y) = log a x + log a y
- log ax/ y = log ax – log ay
- log a 1/x = -log ax
- log a x p = p log a x
- log a k x = 1/k log a x , untuk k ≠ 0
- log a x = log a c x c
- log a x = log b x/ log b a – rumus pindah ke pangkalan baru
- log a x = 1/log x a
Cara menyelesaikan logaritma - petunjuk langkah demi langkah untuk menyelesaikannya
- Pertama, tuliskan persamaan yang diperlukan.
Harap diperhatikan: jika logaritma dasar adalah 10, entri tersebut dipersingkat sehingga menghasilkan logaritma desimal. Jika ada bilangan asli e, maka kita tuliskan, lalu direduksi menjadi logaritma natural. Artinya hasil semua logaritma adalah pangkat dari bilangan dasar yang dipangkatkan sehingga diperoleh bilangan b.
Secara langsung, solusinya terletak pada penghitungan derajat ini. Sebelum menyelesaikan suatu ekspresi dengan logaritma, harus disederhanakan menurut aturannya, yaitu menggunakan rumus. Anda dapat menemukan identitas utamanya dengan melihat kembali sedikit artikel tersebut.
Saat menjumlahkan dan mengurangkan logaritma dengan dua bilangan berbeda tetapi memiliki basis yang sama, gantilah dengan satu logaritma dengan hasil kali atau pembagian bilangan b dan c berturut-turut. Dalam hal ini, Anda dapat menerapkan rumus untuk berpindah ke pangkalan lain (lihat di atas).
Jika Anda menggunakan ekspresi untuk menyederhanakan logaritma, ada beberapa batasan yang perlu dipertimbangkan. Artinya: basis logaritma a hanyalah bilangan positif, tetapi tidak sama dengan satu. Angka b, seperti a, harus lebih besar dari nol.
Ada kalanya, dengan menyederhanakan suatu ekspresi, Anda tidak akan dapat menghitung logaritma secara numerik. Kebetulan ungkapan seperti itu tidak masuk akal, karena banyak pangkat adalah bilangan irasional. Dalam kondisi ini, biarkan pangkat bilangan tersebut sebagai logaritma.
Soal B7 memberikan beberapa ekspresi yang perlu disederhanakan. Hasilnya harus berupa angka biasa yang dapat dituliskan pada lembar jawaban Anda. Semua ekspresi secara konvensional dibagi menjadi tiga jenis:
- Logaritma,
- Indikatif,
- Gabungan.
Ekspresi eksponensial dan logaritma dalam bentuk murninya praktis tidak pernah ditemukan. Namun, mengetahui cara menghitungnya mutlak diperlukan.
Secara umum, masalah B7 diselesaikan dengan cukup sederhana dan berada dalam kemampuan rata-rata lulusan. Kurangnya algoritma yang jelas dikompensasi oleh standarisasi dan monotonnya. Anda dapat belajar memecahkan masalah seperti itu hanya melalui banyak pelatihan.
Ekspresi Logaritma
Sebagian besar soal B7 melibatkan logaritma dalam satu atau lain bentuk. Topik ini secara tradisional dianggap sulit, karena pembelajarannya biasanya terjadi di kelas 11 - era persiapan massal untuk ujian akhir. Akibatnya, banyak lulusan yang memiliki pemahaman yang sangat kabur tentang logaritma.
Namun dalam tugas ini tidak ada yang membutuhkan pengetahuan teoritis yang mendalam. Kita hanya akan menjumpai ungkapan-ungkapan paling sederhana yang memerlukan penalaran sederhana dan mudah dikuasai secara mandiri. Di bawah ini adalah rumus dasar yang perlu Anda ketahui untuk mengatasi logaritma:
Selain itu, Anda harus bisa mengganti akar dan pecahan dengan pangkat dengan eksponen rasional, jika tidak, dalam beberapa ekspresi tidak akan ada yang bisa diambil dari bawah tanda logaritma. Rumus pengganti:
Tugas. Temukan arti ekspresi:
catatan 6 270 − catatan 6 7.5
catatan 5 775 − catatan 5 6.2
Dua ekspresi pertama diubah sebagai selisih logaritma:
log 6 270 − log 6 7,5 = log 6 (270: 7,5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 − log 5 6,2 = log 5 (775: 6,2) = log 5 125 = 3.
Untuk menghitung ekspresi ketiga, Anda harus mengisolasi pangkat - baik di basis maupun di argumen. Pertama, mari kita cari logaritma internalnya:
Lalu - eksternal:
Konstruksi bentuk log a log b x tampak rumit dan disalahpahami oleh banyak orang. Sementara itu, ini hanyalah logaritma dari logaritma, yaitu. catatan a (catatan b x ). Pertama, logaritma internal dihitung (masukkan log b x = c), dan kemudian logaritma eksternal: log a c.
Ekspresi Demonstratif
Kita akan menyebut ekspresi eksponensial sebagai konstruksi bentuk apa pun a k, di mana bilangan a dan k adalah konstanta sembarang, dan a > 0. Metode untuk mengerjakan ekspresi seperti itu cukup sederhana dan dibahas dalam pelajaran aljabar kelas 8.
Di bawah ini adalah rumus dasar yang pasti perlu Anda ketahui. Penerapan rumus-rumus ini dalam praktiknya, pada umumnya, tidak menimbulkan masalah.
- sebuah · am = sebuah n + m ;
- sebuah n / am = sebuah n − m ;
- (sebuah ) m = sebuah · m ;
- (a · b ) n = a n · b n ;
- (a : b ) n = an : b n .
Jika Anda menemukan ekspresi kompleks dengan pangkat, dan tidak jelas bagaimana cara mendekatinya, gunakan teknik universal - penguraian menjadi faktor-faktor sederhana. Akibatnya, sejumlah besar basis kekuasaan digantikan oleh elemen yang sederhana dan mudah dipahami. Maka yang tersisa hanyalah menerapkan rumus di atas - dan masalahnya akan terpecahkan.
Tugas. Temukan nilai ekspresi: 7 9 · 3 11: 21 8, 24 7: 3 6: 16 5, 30 6: 6 5: 25 2.
Larutan. Mari kita menguraikan semua basis kekuatan menjadi faktor-faktor sederhana:
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7:3 6:16 5 = (3 2 3) 7:3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21:3 6:2 20 = 3 2 = 6.
30 6:6 5:25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6:3 5:2 5:5 4 = 5 2 3 2 = 150 .
Tugas gabungan
Jika Anda mengetahui rumusnya, maka semua ekspresi eksponensial dan logaritma dapat diselesaikan secara harfiah dalam satu baris. Namun pada Soal B7 pangkat dan logaritma dapat digabungkan sehingga membentuk kombinasi yang cukup kuat.
Seperti yang Anda ketahui, saat mengalikan ekspresi dengan pangkat, eksponennya selalu dijumlahkan (a b *a c = a b+c). Hukum matematika ini diturunkan oleh Archimedes, dan kemudian, pada abad ke-8, ahli matematika Virasen membuat tabel eksponen bilangan bulat. Merekalah yang berperan dalam penemuan logaritma lebih lanjut. Contoh penggunaan fungsi ini dapat ditemukan hampir di semua tempat yang memerlukan penyederhanaan perkalian rumit dengan penjumlahan sederhana. Jika Anda menghabiskan 10 menit membaca artikel ini, kami akan menjelaskan kepada Anda apa itu logaritma dan bagaimana cara menggunakannya. Dalam bahasa yang sederhana dan mudah diakses.
Definisi dalam matematika
Logaritma adalah ekspresi dalam bentuk berikut: log a b=c, yaitu, logaritma bilangan non-negatif (yaitu, bilangan positif apa pun) “b” dengan basis “a” dianggap sebagai pangkat “c ” yang mana basis “a” perlu dinaikkan untuk mendapatkan nilai “b”. Mari kita analisa logaritma menggunakan contoh, misalkan ada ekspresi log 2 8. Bagaimana cara mencari jawabannya? Ini sangat sederhana, Anda perlu mencari pangkat sedemikian rupa sehingga dari 2 hingga pangkat yang dibutuhkan Anda mendapatkan 8. Setelah melakukan beberapa perhitungan di kepala Anda, kita mendapatkan angka 3! Dan itu benar, karena 2 pangkat 3 memberikan jawaban 8.
Jenis logaritma
Bagi banyak siswa dan pelajar, topik ini tampaknya rumit dan tidak dapat dipahami, tetapi sebenarnya logaritma tidak begitu menakutkan, yang utama adalah memahami arti umum dan mengingat sifat-sifatnya serta beberapa aturannya. Ada tiga jenis ekspresi logaritma yang terpisah:
- Logaritma natural ln a, dengan basis bilangan Euler (e = 2,7).
- Desimal a yang basisnya 10.
- Logaritma bilangan b apa pun dengan basis a>1.
Masing-masing diselesaikan dengan cara standar, termasuk penyederhanaan, reduksi, dan selanjutnya reduksi menjadi satu logaritma menggunakan teorema logaritma. Untuk mendapatkan nilai logaritma yang benar, Anda harus mengingat propertinya dan urutan tindakan saat menyelesaikannya.
Aturan dan beberapa batasan
Dalam matematika, ada beberapa aturan-batasan yang diterima sebagai aksioma, yaitu tidak perlu dibicarakan dan merupakan kebenaran. Misalnya, tidak mungkin membagi bilangan dengan nol, dan juga tidak mungkin mengekstrak akar genap dari bilangan negatif. Logaritma juga memiliki aturannya sendiri, berikut ini Anda dapat dengan mudah mempelajari cara bekerja bahkan dengan ekspresi logaritma yang panjang dan luas:
- Basis “a” harus selalu lebih besar dari nol, dan tidak sama dengan 1, jika tidak, ungkapan tersebut akan kehilangan maknanya, karena “1” dan “0” pada derajat apa pun selalu sama dengan nilainya;
- jika a > 0, maka a b >0, ternyata “c” juga harus lebih besar dari nol.
Bagaimana cara menyelesaikan logaritma?
Misalnya diberikan tugas untuk mencari jawaban persamaan 10 x = 100. Caranya sangat mudah, Anda perlu memilih suatu pangkat dengan menaikkan angka sepuluh sehingga kita mendapatkan 100. Tentu saja, ini adalah 10 2 = 100.
Sekarang mari kita nyatakan ekspresi ini dalam bentuk logaritma. Kita mendapatkan log 10 100 = 2. Saat menyelesaikan logaritma, semua tindakan secara praktis menyatu untuk mencari pangkat yang diperlukan untuk memasukkan basis logaritma untuk mendapatkan bilangan tertentu.
Untuk menentukan secara akurat nilai derajat yang tidak diketahui, Anda perlu mempelajari cara bekerja dengan tabel derajat. Ini terlihat seperti ini:
Seperti yang Anda lihat, beberapa eksponen dapat ditebak secara intuitif jika Anda memiliki pemikiran teknis dan pengetahuan tentang tabel perkalian. Namun, untuk nilai yang lebih besar, Anda memerlukan tabel pangkat. Ini dapat digunakan bahkan oleh mereka yang tidak tahu apa-apa tentang topik matematika yang rumit. Kolom kiri berisi bilangan (basis a), baris bilangan paling atas adalah nilai pangkat c yang dipangkatkan bilangan a. Pada titik potongnya, sel-sel tersebut berisi nilai bilangan yang menjadi jawabannya (ac =b). Mari kita ambil, misalnya, sel pertama dengan angka 10 dan mengkuadratkannya, kita mendapatkan nilai 100, yang ditunjukkan pada perpotongan kedua sel kita. Semuanya begitu sederhana dan mudah sehingga bahkan humanis paling sejati pun akan memahaminya!
Persamaan dan pertidaksamaan
Ternyata dalam kondisi tertentu eksponennya adalah logaritma. Oleh karena itu, ekspresi numerik matematika apa pun dapat ditulis sebagai persamaan logaritma. Misalnya, 3 4 =81 dapat ditulis sebagai logaritma basis 3 dari 81 sama dengan empat (log 3 81 = 4). Untuk pangkat negatif aturannya sama: 2 -5 = 1/32 kita tuliskan sebagai logaritma, kita peroleh log 2 (1/32) = -5. Salah satu bagian matematika yang paling menarik adalah topik “logaritma”. Kita akan melihat contoh dan solusi persamaan di bawah ini, segera setelah mempelajari sifat-sifatnya. Sekarang mari kita lihat seperti apa pertidaksamaan dan bagaimana membedakannya dari persamaan.
Ekspresi berikut diberikan: log 2 (x-1) > 3 - ini adalah pertidaksamaan logaritma, karena nilai “x” yang tidak diketahui berada di bawah tanda logaritma. Dan juga dalam ekspresi dua besaran dibandingkan: logaritma bilangan yang diinginkan ke basis dua lebih besar dari bilangan tiga.
Perbedaan terpenting antara persamaan logaritma dan pertidaksamaan adalah persamaan dengan logaritma (misalnya logaritma 2 x = √9) menyiratkan satu atau lebih nilai numerik tertentu dalam jawabannya, sedangkan ketika menyelesaikan pertidaksamaan, keduanya merupakan rentang yang dapat diterima. nilai dan poin ditentukan dengan melanggar fungsi ini. Konsekuensinya, jawabannya bukanlah himpunan bilangan tunggal yang sederhana, seperti pada jawaban suatu persamaan, melainkan rangkaian atau himpunan bilangan yang berkesinambungan.
Teorema dasar tentang logaritma
Saat menyelesaikan tugas primitif untuk menemukan nilai logaritma, propertinya mungkin tidak diketahui. Namun, jika menyangkut persamaan atau pertidaksamaan logaritma, pertama-tama, kita perlu memahami dengan jelas dan menerapkan semua sifat dasar logaritma dalam praktik. Kita akan melihat contoh persamaannya nanti; pertama-tama mari kita lihat masing-masing properti secara lebih rinci.
- Identitas utama terlihat seperti ini: a logaB =B. Ini hanya berlaku jika a lebih besar dari 0, tidak sama dengan satu, dan B lebih besar dari nol.
- Logaritma hasil kali dapat direpresentasikan dalam rumus berikut: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Dalam hal ini, syarat wajibnya adalah: d, s 1 dan s 2 > 0; a≠1. Anda dapat memberikan bukti rumus logaritma ini, beserta contoh dan solusinya. Misalkan log a s 1 = f 1 dan log a s 2 = f 2, maka a f1 = s 1, a f2 = s 2. Kita peroleh bahwa s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (sifat-sifat dari derajat ), dan kemudian menurut definisi: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, yang perlu dibuktikan.
- Logaritma hasil bagi terlihat seperti ini: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Teorema dalam bentuk rumus berbentuk sebagai berikut: log a q b n = n/q log a b.
Rumus ini disebut “properti derajat logaritma”. Ini menyerupai sifat-sifat derajat biasa, dan ini tidak mengherankan, karena semua matematika didasarkan pada postulat alam. Mari kita lihat buktinya.
Misalkan log a b = t, ternyata at =b. Jika kita menaikkan kedua bagian ke pangkat m: a tn = b n ;
tetapi karena a tn = (a q) nt/q = b n, maka log a q b n = (n*t)/t, maka log a q b n = n/q log a b. Teorema tersebut telah terbukti.
Contoh masalah dan kesenjangan
Jenis soal logaritma yang paling umum adalah contoh persamaan dan pertidaksamaan. Mereka ditemukan di hampir semua buku soal, dan juga merupakan bagian wajib dalam ujian matematika. Untuk memasuki universitas atau lulus ujian masuk matematika, Anda perlu mengetahui cara menyelesaikan tugas-tugas tersebut dengan benar.
Sayangnya, tidak ada rencana atau skema tunggal untuk menyelesaikan dan menentukan nilai logaritma yang tidak diketahui, namun aturan tertentu dapat diterapkan pada setiap pertidaksamaan matematika atau persamaan logaritma. Pertama-tama, Anda harus mencari tahu apakah ekspresi tersebut dapat disederhanakan atau direduksi menjadi bentuk umum. Anda dapat menyederhanakan ekspresi logaritma panjang jika Anda menggunakan propertinya dengan benar. Mari kita kenali mereka dengan cepat.
Saat menyelesaikan persamaan logaritma, kita harus menentukan jenis logaritma yang kita miliki: contoh ekspresi mungkin berisi logaritma natural atau desimal.
Berikut contoh ln100, ln1026. Solusi mereka bermuara pada fakta bahwa mereka perlu menentukan pangkat yang mana basis 10 masing-masing akan sama dengan 100 dan 1026. Untuk menyelesaikan logaritma natural, Anda perlu menerapkan identitas logaritma atau propertinya. Mari kita lihat contoh penyelesaian berbagai jenis masalah logaritma.
Cara menggunakan rumus logaritma: beserta contoh dan solusi
Jadi, mari kita lihat contoh penggunaan teorema dasar tentang logaritma.
- Properti logaritma suatu produk dapat digunakan dalam tugas-tugas di mana perlu untuk menguraikan nilai besar dari bilangan b menjadi faktor-faktor yang lebih sederhana. Misalnya log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Jawabannya adalah 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - seperti yang Anda lihat, dengan menggunakan properti keempat dari pangkat logaritma, kami berhasil menyelesaikan ekspresi yang tampaknya rumit dan tidak dapat dipecahkan. Anda hanya perlu memfaktorkan basisnya lalu mengeluarkan nilai eksponennya dari tanda logaritma.
Tugas dari Ujian Negara Bersatu
Logaritma sering ditemukan dalam ujian masuk, terutama banyak soal logaritma pada Unified State Exam (ujian negara untuk semua lulusan sekolah). Biasanya, tugas-tugas ini hadir tidak hanya di bagian A (bagian ujian yang paling mudah), tetapi juga di bagian C (tugas yang paling rumit dan paling banyak). Ujian ini membutuhkan pengetahuan yang akurat dan sempurna tentang topik “Logaritma natural”.
Contoh dan solusi masalah diambil dari Unified State Exam versi resmi. Mari kita lihat bagaimana tugas-tugas tersebut diselesaikan.
Diketahui log 2 (2x-1) = 4. Penyelesaian:
mari kita tulis ulang ekspresinya, sederhanakan sedikit log 2 (2x-1) = 2 2, berdasarkan definisi logaritma kita mendapatkan bahwa 2x-1 = 2 4, oleh karena itu 2x = 17; x = 8,5.
- Yang terbaik adalah mereduksi semua logaritma ke basis yang sama agar penyelesaiannya tidak rumit dan membingungkan.
- Semua ekspresi di bawah tanda logaritma dinyatakan positif, oleh karena itu, jika eksponen dari ekspresi yang berada di bawah tanda logaritma dan sebagai basisnya diambil sebagai pengali, ekspresi yang tersisa di bawah logaritma harus positif.
Saat mengonversi ekspresi dengan logaritma, persamaan yang tercantum digunakan baik dari kanan ke kiri maupun dari kiri ke kanan.
Perlu dicatat bahwa tidak perlu menghafal konsekuensi dari properti: saat melakukan transformasi, Anda dapat bertahan dengan properti dasar logaritma dan fakta lainnya (misalnya, fakta bahwa untuk b≥0), dari mana konsekuensi yang sesuai akan menyusul. Satu-satunya “efek samping” dari pendekatan ini adalah bahwa solusinya akan memakan waktu lebih lama. Misalnya untuk melakukan tanpa akibat yang dinyatakan dengan rumus 
, dan hanya mulai dari sifat dasar logaritma, Anda harus melakukan rangkaian transformasi dalam bentuk berikut: 
.
Hal yang sama dapat dikatakan tentang properti terakhir dari daftar di atas, yang dijawab dengan rumus 
, karena ini juga mengikuti sifat dasar logaritma. Hal utama yang harus dipahami adalah bahwa pangkat bilangan positif dengan logaritma dalam eksponen selalu memungkinkan untuk menukar basis pangkat dan bilangan di bawah tanda logaritma. Agar adil, kami mencatat bahwa contoh-contoh yang menyiratkan penerapan transformasi semacam ini jarang terjadi dalam praktiknya. Kami akan memberikan beberapa contoh di bawah ini dalam teks.
Mengonversi ekspresi numerik dengan logaritma
Kita sudah mengingat sifat-sifat logaritma, sekarang saatnya mempelajari cara menerapkannya dalam praktik untuk mentransformasikan ekspresi. Wajar jika memulai dengan mengonversi ekspresi numerik daripada ekspresi dengan variabel, karena lebih mudah dan mudah untuk mempelajari dasar-dasarnya. Inilah yang akan kita lakukan, dan kita akan mulai dengan contoh-contoh yang sangat sederhana untuk mempelajari cara memilih properti logaritma yang diinginkan, namun secara bertahap kita akan memperumit contoh-contoh tersebut, sampai pada titik di mana untuk mendapatkan hasil akhir yang kita perlukan. untuk menerapkan beberapa properti berturut-turut.
Memilih properti logaritma yang diinginkan
Ada banyak properti logaritma, dan jelas bahwa Anda harus bisa memilih salah satu yang sesuai, yang dalam kasus khusus ini akan memberikan hasil yang diinginkan. Biasanya hal ini tidak sulit dilakukan dengan membandingkan jenis logaritma atau ekspresi yang dikonversi dengan jenis bagian kiri dan kanan rumus yang menyatakan sifat-sifat logaritma. Jika ruas kiri atau kanan salah satu rumus bertepatan dengan logaritma atau ekspresi tertentu, kemungkinan besar properti inilah yang harus digunakan selama transformasi. Contoh berikut dengan jelas menunjukkan hal ini.
Mari kita mulai dengan contoh transformasi ekspresi menggunakan definisi logaritma, yang sesuai dengan rumus a log a b =b, a>0, a≠1, b>0.
Contoh.
Hitung, jika memungkinkan: a) 5 log 5 4, b) 10 log(1+2·π), c) 
, d) 2 catatan 2 (−7) , e) .
Larutan.
Pada contoh di bawah huruf a) struktur a log a b terlihat jelas, dimana a=5, b=4. Angka-angka ini memenuhi kondisi a>0, a≠1, b>0, sehingga Anda dapat menggunakan persamaan a log a b =b dengan aman. Kami memiliki 5 log 5 4=4 .
b) Di sini a=10, b=1+2·π, kondisi a>0, a≠1, b>0 terpenuhi. Dalam hal ini, persamaan 10 log(1+2·π) =1+2·π terjadi.
c) Dan dalam contoh ini kita berurusan dengan derajat dalam bentuk a log a b, dimana dan b=ln15. Jadi 
.
Meskipun termasuk dalam tipe yang sama a log a b (di sini a=2, b=−7), ekspresi di bawah huruf g) tidak dapat dikonversi menggunakan rumus a log a b =b. Alasannya tidak ada artinya karena mengandung angka negatif di bawah tanda logaritma. Selain itu, bilangan b=−7 tidak memenuhi syarat b>0, sehingga tidak mungkin menggunakan rumus a log a b =b, karena memerlukan terpenuhinya syarat a>0, a≠1, b> 0. Jadi, kita tidak bisa membicarakan tentang menghitung nilai 2 log 2 (−7) . Dalam hal ini, penulisan 2 log 2 (−7) =−7 akan menjadi kesalahan.
Demikian pula pada contoh pada huruf e) tidak mungkin memberikan penyelesaian dalam bentuk 
, karena ungkapan aslinya tidak masuk akal.
Menjawab:
a) 5 log 5 4 =4, b) 10 log(1+2·π) =1+2·π, c) , d), e) ekspresi tidak masuk akal.
Transformasi sering kali berguna ketika bilangan positif direpresentasikan sebagai pangkat dari bilangan positif dan non-unitas dengan logaritma dalam eksponennya. Hal ini didasarkan pada definisi yang sama dari logaritma a log a b =b, a>0, a≠1, b>0, tetapi rumusnya diterapkan dari kanan ke kiri, yaitu dalam bentuk b=a log a b . Misalnya, 3=e ln3 atau 5=5 log 5 5 .
Mari beralih menggunakan properti logaritma untuk mentransformasikan ekspresi.
Contoh.
Tentukan nilai persamaan: a) log −2 1, b) log 1 1, c) log 0 1, d) log 7 1, e) ln1, f) log1, g) log 3.75 1, h) log 5 π 7 1 .
Larutan.
Pada contoh di bawah huruf a), b) dan c) diberikan ekspresi log −2 1, log 1 1, log 0 1, yang tidak masuk akal, karena basis logaritma tidak boleh mengandung bilangan negatif, nol atau satu, karena kita telah mendefinisikan logaritma hanya untuk basis yang positif dan berbeda dari kesatuan. Oleh karena itu, dalam contoh a) - c) tidak ada pertanyaan untuk menemukan arti dari ungkapan tersebut.
Dalam semua soal lainnya, tentu saja, basis logaritma berisi bilangan positif dan non-unitas masing-masing 7, e, 10, 3,75 dan 5·π 7, dan di bawah tanda logaritma terdapat satuan di mana-mana. Dan kita mengetahui sifat logaritma kesatuan: log a 1=0 untuk sembarang a>0, a≠1. Jadi, nilai ekspresi b) – e) sama dengan nol.
Menjawab:
a), b), c) ekspresi tidak masuk akal, d) log 7 1=0, e) ln1=0, f) log1=0, g) log 3.75 1=0, h) log 5 e 7 1= 0 .
Contoh.
Hitung: a) , b) lne , c) lg10 , d) catatan 5 π 3 −2 (5 π 3 −2), e) catatan −3 (−3) , f) catatan 1 1 .
Larutan.
Jelas bahwa kita harus menggunakan properti logaritma basis, yang sesuai dengan rumus log a a=1 untuk a>0, a≠1. Memang, dalam soal di bawah semua huruf, angka di bawah tanda logaritma bertepatan dengan basisnya. Jadi, saya ingin segera mengatakan bahwa nilai setiap ekspresi yang diberikan adalah 1. Namun, Anda tidak boleh terburu-buru mengambil kesimpulan: dalam tugas di bawah huruf a) - d) nilai ekspresi benar-benar sama dengan satu, dan dalam tugas e) dan f) ekspresi aslinya tidak masuk akal, jadi itu tidak dapat dikatakan bahwa nilai ekspresi ini sama dengan 1.
Menjawab:
a) , b) lne=1 , c) lg10=1 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2)=1, e), f) ekspresi tidak masuk akal.
Contoh.
Tentukan nilainya: a) log 3 3 11, b) 
, c) , d) catatan −10 (−10) 6 .
Larutan.
Jelasnya, di bawah tanda logaritma ada beberapa pangkat dasar. Berdasarkan hal ini, kita memahami bahwa di sini kita memerlukan sifat derajat alas: log a a p =p, di mana a>0, a≠1 dan p adalah sembarang bilangan real. Dengan mempertimbangkan hal ini, kita mendapatkan hasil sebagai berikut: a) log 3 3 11 =11, b) 
, V) 
. Apakah mungkin untuk menulis persamaan serupa untuk contoh di bawah huruf d) dalam bentuk log −10 (−10) 6 =6? Tidak, Anda tidak bisa, karena ekspresi log −10 (−10) 6 tidak masuk akal.
Menjawab:
a) catatan 3 3 11 =11, b) , V) , d) ungkapan tersebut tidak masuk akal.
Contoh.
Sajikan persamaan tersebut sebagai jumlah atau selisih logaritma dengan menggunakan basis yang sama: a) 
, b) , c) catatan((−5)·(−12)) .
Larutan.
a) Di bawah tanda logaritma terdapat suatu hasil kali, dan kita mengetahui sifat logaritma dari hasil kali tersebut log a (x·y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0 , kamu>0. Dalam kasus kami, angka-angka dalam basis logaritma dan angka-angka dalam produk adalah positif, yaitu memenuhi kondisi properti yang dipilih, oleh karena itu, kami dapat menerapkannya dengan aman: 
.
b) Di sini kita menggunakan sifat logaritma hasil bagi, di mana a>0, a≠1, x>0, y>0. Dalam kasus kita, basis logaritma adalah bilangan positif e, pembilang dan penyebutnya positif, yang berarti memenuhi syarat sifat, jadi kita berhak menggunakan rumus yang dipilih: 
.
c) Pertama, perhatikan bahwa ekspresi log((−5)·(−12)) masuk akal. Namun pada saat yang sama, untuk itu kita tidak berhak menerapkan rumus logaritma hasil kali log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0, y >0, karena bilangan tersebut −5 dan −12 – negatif dan tidak memenuhi ketentuan x>0, y>0. Artinya, Anda tidak dapat melakukan transformasi seperti itu: log((−5)·(−12))=log(−5)+log(−12). Jadi apa yang harus kita lakukan? Dalam kasus seperti itu, ekspresi asli memerlukan transformasi awal untuk menghindari bilangan negatif. Kami akan membahas secara rinci tentang kasus serupa dalam mengubah ekspresi dengan bilangan negatif di bawah tanda logaritma di salah satu artikel, tetapi untuk saat ini kami akan memberikan solusi untuk contoh ini, yang sudah jelas sebelumnya dan tanpa penjelasan: log((−5)·(−12))=log(5·12)=log5+lg12.
Menjawab:
A) , B) , c) log((−5)·(−12))=log5+lg12.
Contoh.
Sederhanakan ekspresi: a) log 3 0.25+log 3 16+log 3 0.5, b) .
Larutan.
Di sini kita akan terbantu oleh semua sifat logaritma hasil kali dan logaritma hasil bagi yang kita gunakan pada contoh sebelumnya, hanya saja sekarang kita akan menerapkannya dari kanan ke kiri. Artinya, kita mengubah jumlah logaritma menjadi logaritma hasil kali, dan selisih logaritma menjadi logaritma hasil bagi. Kita punya
A) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 (0,25 16 0,5)=log 3 2.
B) 
.
Menjawab:
A) catatan 3 0,25+catatan 3 16+catatan 3 0,5=catatan 3 2, B) 
.
Contoh.
Hilangkan derajat di bawah tanda logaritma: a) log 0,7 5 11, b) 
, c) catatan 3 (−5) 6 .
Larutan.
Sangat mudah untuk melihat bahwa kita berhadapan dengan ekspresi bentuk log a b p . Properti logaritma yang bersesuaian memiliki bentuk log a b p =p·log a b, di mana a>0, a≠1, b>0, p - bilangan real apa pun. Artinya, jika kondisi a>0, a≠1, b>0 terpenuhi, dari logaritma logaritma pangkat a b p kita dapat melanjutkan ke hasil kali p·log a b. Mari kita lakukan transformasi ini dengan ekspresi yang diberikan.
a) Dalam hal ini a=0,7, b=5 dan p=11. Jadi log 0,7 5 11 =11·log 0,7 5.
b) Di sini kondisi a>0, a≠1, b>0 terpenuhi. Itu sebabnya 
c) Ekspresi log 3 (−5) 6 memiliki struktur yang sama log a b p , a=3 , b=−5 , p=6 . Namun untuk b kondisi b>0 tidak terpenuhi, sehingga rumus log a b p =p·log a b tidak mungkin diterapkan. Jadi apa, Anda tidak bisa mengatasi tugas itu? Itu mungkin, tetapi transformasi awal dari ekspresi tersebut diperlukan, yang akan kita bahas secara rinci di bawah dalam paragraf di bawah judul. Solusinya akan seperti ini: log 3 (−5) 6 =log 3 5 6 =6 log 3 5.
Menjawab:
a) catatan 0,7 5 11 =11 catatan 0,7 5 ,
B)
c) log 3 (−5) 6 =6 log 3 5.
Seringkali, ketika melakukan transformasi, rumus logaritma suatu pangkat harus diterapkan dari kanan ke kiri dalam bentuk p·log a b=log a b p (kondisi yang sama harus dipenuhi untuk a, b dan p). Misalnya, 3·ln5=ln5 3 dan log2·log 2 3=log 2 3 lg2.
Contoh.
a) Hitung nilai log 2 5 jika diketahui log2≈0.3010 dan log5≈0.6990. b) Nyatakan pecahan sebagai logaritma ke basis 3.
Larutan.
a) Rumus transisi ke basis logaritma baru memungkinkan kita untuk menyajikan logaritma ini sebagai rasio logaritma desimal, yang nilainya kita ketahui: . Yang tersisa hanyalah melakukan perhitungan, yang kita punya 
.
b) Di sini cukup menggunakan rumus pindah ke pangkalan baru, dan menerapkannya dari kanan ke kiri, yaitu dalam bentuk 
. Kita mendapatkan 
.
Menjawab:
a) catatan 2 5≈2.3223, b) .
Pada tahap ini, kita telah mempelajari secara menyeluruh transformasi ekspresi paling sederhana menggunakan sifat dasar logaritma dan definisi logaritma. Dalam contoh ini, kami harus menerapkan satu properti dan tidak lebih. Sekarang, dengan hati nurani yang bersih, kita dapat beralih ke contoh, yang transformasinya memerlukan penggunaan beberapa properti logaritma dan transformasi tambahan lainnya. Kami akan membahasnya di paragraf berikutnya. Namun sebelum itu, mari kita lihat sekilas contoh penerapan konsekuensi dari sifat dasar logaritma.
Contoh.
a) Hilangkan akar di bawah tanda logaritma. b) Ubahlah pecahan tersebut menjadi logaritma basis 5. c) Bebaskan diri Anda dari pangkat di bawah tanda logaritma dan basisnya. d) Hitung nilai ekspresi 
. e) Gantikan ekspresi dengan pangkat dengan basis 3.
Larutan.
a) Jika kita mengingat akibat wajar dari sifat logaritma derajat 
, maka anda bisa langsung memberikan jawabannya: 
.
b) Disini kita menggunakan rumusnya 
dari kanan ke kiri, kita punya 
.
c) Dalam hal ini rumusnya mengarah pada hasil . Kita mendapatkan 
.
d) Dan di sini cukup menerapkan akibat wajar yang sesuai dengan rumus tersebut 
. Jadi 
.
e) Properti logaritma memungkinkan kita mencapai hasil yang diinginkan: 
.
Menjawab:
A) . B) . V) 
. G) 
. D) .
Penerapan beberapa properti berturut-turut
Tugas nyata dalam mengubah ekspresi menggunakan properti logaritma biasanya lebih rumit daripada yang telah kita bahas di paragraf sebelumnya. Di dalamnya, sebagai suatu peraturan, hasilnya tidak diperoleh dalam satu langkah, tetapi solusinya sudah terdiri dari penerapan berurutan dari satu properti ke properti lainnya, bersama dengan transformasi identik tambahan, seperti membuka tanda kurung, membawa suku-suku serupa, mengurangi pecahan, dll. . Jadi mari kita lihat lebih dekat contoh-contoh tersebut. Tidak ada yang rumit dalam hal ini, yang utama adalah bertindak hati-hati dan konsisten, memperhatikan urutan tindakan.
Contoh.
Hitung nilai suatu ekspresi (catatan 3 15−catatan 3 5) 7 catatan 7 5.
Larutan.
Selisih logaritma dalam tanda kurung, menurut sifat logaritma hasil bagi, dapat diganti dengan logaritma log 3 (15:5), kemudian dihitung nilainya log 3 (15:5)=log 3 3=1. Dan nilai ekspresi 7 log 7 5 menurut definisi logaritma adalah 5. Mengganti hasil ini ke dalam ekspresi aslinya, kita mendapatkan (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =1 5=5.
Berikut ini solusi tanpa penjelasan:
(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =log 3 (15:5) 5=
=catatan 3 3·5=1·5=5 .
Menjawab:
(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =5.
Contoh.
Berapa nilai ekspresi numerik log 3 log 2 2 3 −1?
Larutan.
Pertama-tama kita ubah logaritma di bawah tanda logaritma menggunakan rumus logaritma pangkat: log 2 2 3 =3. Jadi, log 3 log 2 2 3 =log 3 3 dan kemudian log 3 3=1. Jadi log 3 log 2 2 3 −1=1−1=0 .
Menjawab:
log 3 log 2 2 3 −1=0 .
Contoh.
Sederhanakan ekspresi tersebut.
Larutan.
Rumus untuk berpindah ke basis logaritma baru memungkinkan rasio logaritma ke satu basis direpresentasikan sebagai log 3 5. Dalam hal ini, ekspresi aslinya akan berbentuk . Menurut definisi logaritma 3 log 3 5 =5, yaitu 
, dan nilai ekspresi yang dihasilkan, berdasarkan definisi logaritma yang sama, sama dengan dua.
Berikut adalah versi singkat dari solusi yang biasanya diberikan: 
.
Menjawab:
.
Untuk memudahkan transisi ke informasi di paragraf berikutnya, mari kita lihat ekspresi 5 2+log 5 3, dan log0.01. Strukturnya tidak sesuai dengan sifat logaritma apa pun. Lalu apa jadinya, tidak bisa dikonversi menggunakan sifat logaritma? Hal ini dimungkinkan jika Anda melakukan transformasi awal yang mempersiapkan ekspresi ini untuk penerapan sifat-sifat logaritma. Jadi 5 2+log 5 3 =5 2 5 log 5 3 =25 3=75, 
dan log0,01=log10 −2 =−2. Selanjutnya kita akan melihat secara detail bagaimana persiapan ekspresi tersebut dilakukan.
Mempersiapkan Ekspresi untuk Menggunakan Properti Logaritma
Logaritma dalam ekspresi yang dikonversi seringkali berbeda dalam struktur notasi dari bagian kiri dan kanan rumus yang sesuai dengan sifat-sifat logaritma. Namun yang tidak kalah seringnya, transformasi ekspresi ini melibatkan penggunaan properti logaritma: penggunaannya hanya memerlukan persiapan awal. Dan persiapan ini terdiri dari melakukan transformasi identik tertentu yang membawa logaritma ke bentuk yang sesuai untuk menerapkan properti.
Agar adil, kami mencatat bahwa hampir semua transformasi ekspresi dapat bertindak sebagai transformasi awal, mulai dari reduksi dangkal suku-suku serupa hingga penggunaan rumus trigonometri. Hal ini dapat dimengerti, karena ekspresi yang dikonversi dapat berisi objek matematika apa pun: tanda kurung, modul, pecahan, akar, pangkat, dll. Oleh karena itu, seseorang harus bersiap untuk melakukan transformasi apa pun yang diperlukan agar dapat lebih memanfaatkan sifat-sifat logaritma.
Katakanlah segera bahwa pada titik ini kita tidak menetapkan tugas untuk mengklasifikasikan dan menganalisis semua transformasi awal yang memungkinkan kita untuk selanjutnya menerapkan sifat-sifat logaritma atau definisi logaritma. Di sini kita hanya akan fokus pada empat di antaranya, yang paling umum dan paling sering ditemui dalam praktik.
Dan sekarang tentang masing-masingnya secara rinci, setelah itu, dalam kerangka topik kita, yang tersisa hanyalah memahami transformasi ekspresi dengan variabel di bawah tanda logaritma.
Identifikasi pangkat di bawah tanda logaritma dan berdasarkan tandanya
Mari kita mulai dengan sebuah contoh. Mari kita buat logaritma. Jelasnya, dalam bentuk ini strukturnya tidak kondusif untuk penggunaan sifat-sifat logaritma. Apakah mungkin untuk mengubah ekspresi ini untuk menyederhanakannya, dan bahkan menghitung nilainya dengan lebih baik? Untuk menjawab pertanyaan ini, mari kita lihat lebih dekat angka 81 dan 1/9 dalam konteks contoh kita. Di sini mudah untuk melihat bahwa angka-angka ini dapat direpresentasikan sebagai pangkat 3, yaitu 81 = 3 4 dan 1/9 = 3 −2. Dalam hal ini, logaritma asli disajikan dalam bentuk dan rumus dapat diterapkan . Jadi, 
.
Analisis contoh yang dianalisis memunculkan pemikiran berikut: jika memungkinkan, Anda dapat mencoba mengisolasi derajat di bawah tanda logaritma dan basisnya untuk menerapkan properti logaritma derajat atau konsekuensinya. Tinggal mencari cara untuk membedakan derajat ini. Mari kita berikan beberapa rekomendasi mengenai masalah ini.
Kadang-kadang cukup jelas bahwa bilangan di bawah tanda logaritma dan/atau pada basisnya mewakili suatu pangkat bilangan bulat, seperti pada contoh yang dibahas di atas. Hampir selalu kita harus berurusan dengan pangkat dua, yang sudah familiar: 4=2 2, 8=2 3, 16=2 4, 32=2 5, 64=2 6, 128=2 7, 256=2 8 , 512= 2 9, 1024=2 10. Hal yang sama dapat dikatakan tentang pangkat tiga: 9 = 3 2, 27 = 3 3, 81 = 3 4, 243 = 3 5, ... Secara umum, tidak ada salahnya jika Anda memilikinya di depan mata Anda tabel pangkat bilangan asli dalam selusin. Juga tidak sulit untuk bekerja dengan pangkat bilangan bulat sepuluh, seratus, ribu, dst.
Contoh.
Hitung nilainya atau sederhanakan persamaan: a) log 6 216, b) , c) log 0,000001 0,001.
Larutan.
a) Jelasnya, 216=6 3, jadi log 6 216=log 6 6 3 =3.
b) Tabel pangkat bilangan asli memungkinkan Anda menyatakan bilangan 343 dan 1/243 masing-masing sebagai pangkat 7 3 dan 3 −4. Oleh karena itu, transformasi logaritma tertentu berikut ini dimungkinkan: 
c) Karena 0,000001=10 −6 dan 0,001=10 −3, maka log 0,000001 0,001=log 10 −6 10 −3 =(−3)/(−6)=1/2.
Menjawab:
a) catatan 6 216=3, b) 
, c) catatan 0,000001 0,001=1/2.
Dalam kasus yang lebih kompleks, untuk mengisolasi pangkat angka, Anda harus menggunakan cara tersebut.
Contoh.
Ubah ekspresi tersebut ke bentuk yang lebih sederhana log 3 648 · log 2 3 .
Larutan.
Mari kita lihat apa itu faktorisasi 648:
Artinya, 648=2 3 ·3 4. Dengan demikian, catatan 3 648 catatan 2 3=catatan 3 (2 3 3 4) catatan 2 3.
Sekarang kita mengubah logaritma hasil kali menjadi jumlah logaritma, setelah itu kita menerapkan sifat-sifat logaritma pangkat:
log 3 (2 3 3 4)log 2 3=(log 3 2 3 +log 3 3 4)log 2 3=
=(3·log 3 2+4)·log 2 3 .
Berdasarkan akibat wajar dari sifat logaritma pangkat, yang sesuai dengan rumus , hasil kali log32·log23 adalah hasil kali dari , dan, seperti diketahui, hasilnya sama dengan satu. Dengan mempertimbangkan hal ini, kami mendapatkan 3 catatan 3 2 catatan 2 3+4 catatan 2 3=3 1+4 catatan 2 3=3+4 catatan 2 3.
Menjawab:
catatan 3 648 catatan 2 3=3+4 catatan 2 3.
Seringkali, ekspresi di bawah tanda logaritma dan basisnya mewakili produk atau rasio akar dan/atau pangkat dari beberapa bilangan, misalnya, , . Ekspresi seperti itu bisa dinyatakan sebagai kekuatan. Untuk melakukan ini, transisi dibuat dari akar ke pangkat, dan digunakan. Transformasi ini memungkinkan untuk mengisolasi pangkat di bawah tanda logaritma dan basisnya, dan kemudian menerapkan sifat-sifat logaritma.
Contoh.
Hitung: a) 
, B) .
Larutan.
a) Ekspresi dalam basis logaritma adalah hasil kali pangkat dengan basis yang sama dengan sifat pangkat yang kita miliki 5 2 ·5 −0,5 ·5 −1 =5 2−0,5−1 =5 0,5.
Sekarang mari kita ubah pecahan di bawah tanda logaritma: kita akan berpindah dari akar ke pangkat, setelah itu kita akan menggunakan properti rasio pangkat dengan basis yang sama: 
.
Tetap mengganti hasil yang diperoleh ke dalam ekspresi aslinya, gunakan rumus dan selesaikan transformasi: 
b) Karena 729 = 3 6 dan 1/9 = 3 −2, persamaan aslinya dapat ditulis ulang menjadi .
Selanjutnya, kita menerapkan properti akar suatu pangkat, berpindah dari akar ke pangkat, dan menggunakan properti rasio pangkat untuk mengubah basis logaritma menjadi pangkat: 
.
Dengan mempertimbangkan hasil terakhir, kita punya 
.
Menjawab:
A) 
, B) .
Jelas bahwa dalam kasus umum, untuk memperoleh pangkat di bawah tanda logaritma dan basisnya, mungkin diperlukan berbagai transformasi berbagai ekspresi. Mari kita berikan beberapa contoh.
Contoh.
Apa arti dari ungkapan: a) 
, B) 
.
Larutan.
Kami selanjutnya mencatat bahwa ekspresi yang diberikan memiliki bentuk log A B p , di mana A=2, B=x+1 dan p=4. Kami mengubah ekspresi numerik jenis ini sesuai dengan properti logaritma pangkat log a b p =p·log a b , oleh karena itu, dengan ekspresi yang diberikan saya ingin melakukan hal yang sama, dan berpindah dari log 2 (x+1) 4 ke 4·catatan 2 (x+1) . Sekarang mari kita hitung nilai ekspresi asli dan ekspresi yang diperoleh setelah transformasi, misalnya ketika x=−2. Kita mempunyai log 2 (−2+1) 4 =log 2 1=0 , dan 4 log 2 (−2+1)=4 log 2 (−1)- ekspresi yang tidak berarti. Hal ini menimbulkan pertanyaan logis: “Kesalahan apa yang kami lakukan?”
Dan alasannya adalah ini: kami melakukan transformasi log 2 (x+1) 4 =4·log 2 (x+1) , berdasarkan rumus log a b p =p·log a b , tetapi kami berhak menerapkan rumus ini hanya jika kondisinya a >0, a≠1, b>0, p - bilangan real apa pun. Artinya, transformasi yang kita lakukan terjadi jika x+1>0, yang sama dengan x>−1 (untuk A dan p, syaratnya terpenuhi). Namun, dalam kasus kami, ODZ variabel x untuk ekspresi asli tidak hanya terdiri dari interval x>−1, tetapi juga interval x<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.
Perlunya memperhitungkan DL
Mari kita lanjutkan menganalisis transformasi ekspresi yang telah kita pilih log 2 (x+1) 4 , dan sekarang mari kita lihat apa yang terjadi pada ODZ ketika berpindah ke ekspresi 4 · log 2 (x+1) . Di paragraf sebelumnya, kita menemukan ODZ dari ekspresi asli - ini adalah himpunan (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Sekarang mari kita cari kisaran nilai yang dapat diterima dari variabel x untuk ekspresi 4·log 2 (x+1) . Hal ini ditentukan oleh kondisi x+1>0, yang sesuai dengan himpunan (−1, +∞). Jelas sekali bahwa ketika berpindah dari log 2 (x+1) 4 ke 4·log 2 (x+1), kisaran nilai yang diizinkan menyempit. Dan kami sepakat untuk menghindari transformasi yang mengarah pada penyempitan DL, karena dapat menimbulkan berbagai konsekuensi negatif.
Di sini perlu dicatat sendiri bahwa berguna untuk mengontrol OA pada setiap langkah transformasi dan mencegah penyempitannya. Dan jika tiba-tiba pada tahap transformasi tertentu terjadi penyempitan DL, maka perlu dicermati baik-baik apakah transformasi ini boleh dan apakah kita berhak melaksanakannya.
Agar adil, katakanlah dalam praktiknya kita biasanya harus bekerja dengan ekspresi yang ODZ variabelnya sedemikian rupa sehingga, ketika melakukan transformasi, kita dapat menggunakan properti logaritma tanpa batasan dalam bentuk yang sudah kita ketahui, baik dari kiri ke kanan dan dari kanan ke kiri. Anda dengan cepat terbiasa dengan hal ini, dan Anda mulai melakukan transformasi secara mekanis, tanpa memikirkan apakah mungkin untuk melaksanakannya. Dan pada saat-saat seperti itu, semoga beruntung, contoh-contoh yang lebih kompleks lolos di mana penerapan sifat-sifat logaritma yang ceroboh menyebabkan kesalahan. Sehingga perlu selalu waspada dan memastikan tidak terjadi penyempitan ODZ.
Tidak ada salahnya untuk menyoroti secara terpisah transformasi utama berdasarkan sifat-sifat logaritma, yang harus dilakukan dengan sangat hati-hati, yang dapat menyebabkan penyempitan OD, dan akibatnya, kesalahan:
Beberapa transformasi ekspresi berdasarkan sifat logaritma juga dapat menyebabkan kebalikannya - perluasan ODZ. Misalnya, transisi dari 4·log 2 (x+1) ke log 2 (x+1) 4 memperluas ODZ dari himpunan (−1, +∞) ke (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Transformasi seperti itu terjadi jika kita tetap berada dalam kerangka ekspresi aslinya. Jadi transformasi 4·log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 yang baru saja disebutkan terjadi pada ODZ variabel x untuk ekspresi asli 4·log 2 (x+1), yaitu untuk x+1> 0, yang sama dengan (−1, +∞).
Sekarang kita telah membahas nuansa yang perlu Anda perhatikan saat mentransformasikan ekspresi dengan variabel menggunakan properti logaritma, tinggal mencari cara untuk melakukan transformasi ini dengan benar.
X+2>0 . Apakah ini berhasil dalam kasus kami? Untuk menjawab pertanyaan ini, mari kita lihat ODZ variabel x. Hal ini ditentukan oleh sistem ketimpangan 
, yang setara dengan kondisi x+2>0 (jika perlu, lihat artikel menyelesaikan sistem ketidaksetaraan). Dengan demikian, kita dapat dengan aman menerapkan properti logaritma pangkat.
Kita punya
3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =
=3·7·log(x+2)−log(x+2)−5·4·log(x+2)=
=21 log(x+2)−log(x+2)−20 log(x+2)=
=(21−1−20)·log(x+2)=0 .
Anda dapat bertindak berbeda, karena ODZ memungkinkan Anda melakukan ini, misalnya seperti ini: 
Menjawab:
3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =0.
Namun apa yang harus dilakukan jika kondisi yang menyertai properti logaritma tidak terpenuhi di ODZ? Kami akan memahami ini dengan contoh.
Mari kita menyederhanakan ekspresi log(x+2) 4 − log(x+2) 2 . Transformasi ekspresi ini, berbeda dengan ekspresi dari contoh sebelumnya, tidak memungkinkan penggunaan properti logaritma pangkat secara bebas. Mengapa? ODZ variabel x dalam hal ini adalah gabungan dua interval x>−2 dan x<−2 . При x>−2 kita dapat dengan mudah menerapkan properti logaritma suatu pangkat dan bertindak seperti pada contoh di atas: log(x+2) 4 −log(x+2) 2 =4 · log(x+2)−2 · log(x+2)=2 · log(x+2). Namun ODZ berisi satu interval lagi x+2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к log(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2 dan selanjutnya karena sifat-sifat derajat k lg|x+2| 4 −lg|x+2| 2. Ekspresi yang dihasilkan dapat diubah menggunakan properti logaritma suatu pangkat, karena |x+2|>0 untuk nilai variabel apa pun. Kita punya catatan|x+2| 4 −lg|x+2| 2 =4·lg|x+2|−2·lg|x+2|=2·lg|x+2|. Sekarang Anda dapat melepaskan diri dari modul karena modul telah melakukan tugasnya. Karena kita melakukan transformasi pada x+2<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .
Mari kita lihat satu contoh lagi agar bekerja dengan modul menjadi familiar. Mari kita bayangkan dari ungkapan tersebut 
lanjutkan ke jumlah dan selisih logaritma binomial linier x−1, x−2 dan x−3. Pertama kita temukan ODZ: 
Pada interval (3, +∞) nilai ekspresi x−1, x−2 dan x−3 adalah positif, sehingga kita dapat dengan mudah menerapkan sifat-sifat logaritma jumlah dan selisih: 
Dan pada interval (1, 2) nilai ekspresi x−1 adalah positif, dan nilai ekspresi x−2 dan x−3 adalah negatif. Oleh karena itu, pada interval yang dipertimbangkan kita merepresentasikan x−2 dan x−3 menggunakan modulus sebagai −|x−2| dan −|x−3| masing-masing. Di mana 
Sekarang kita dapat menerapkan sifat-sifat logaritma hasil kali dan hasil bagi, karena pada interval yang dipertimbangkan (1, 2) nilai ekspresi x−1 , |x−2| dan |x−3| - positif.
Kita punya 
Hasil yang diperoleh dapat digabungkan:
Secara umum, alasan serupa memungkinkan, berdasarkan rumus logaritma produk, rasio dan derajat, untuk memperoleh tiga hasil praktis yang berguna, yang cukup nyaman untuk digunakan:
- Logaritma hasil kali dua ekspresi sembarang X dan Y dalam bentuk log a (X·Y) dapat diganti dengan jumlah logaritma log a |X|+log a |Y| , a>0 , a≠1 .
- Logaritma suatu bentuk tertentu log a (X:Y) dapat diganti dengan selisih logaritma log a |X|−log a |Y| , a>0, a≠1, X dan Y adalah ekspresi arbitrer.
- Dari logaritma beberapa ekspresi B ke pangkat genap p dalam bentuk log a B p kita dapat menuju ke ekspresi p·log a |B| , dimana a>0, a≠1, p adalah bilangan genap dan B adalah ekspresi arbitrer.
Hasil serupa diberikan, misalnya, dalam petunjuk penyelesaian persamaan eksponensial dan logaritma dalam kumpulan soal matematika bagi mereka yang masuk perguruan tinggi, diedit oleh M. I. Skanavi.
Contoh.
Sederhanakan ekspresi tersebut 
.
Larutan.
Sebaiknya terapkan sifat-sifat logaritma pangkat, jumlah, dan selisih. Tapi bisakah kita melakukan ini di sini? Untuk menjawab pertanyaan ini kita perlu mengetahui DZ.
Mari kita definisikan: 
Sangat jelas terlihat bahwa ekspresi x+4, x−2 dan (x+4) 13 dalam kisaran nilai yang diizinkan dari variabel x dapat mengambil nilai positif dan negatif. Oleh karena itu, kita harus beroperasi melalui modul. 
Properti modul memungkinkan Anda untuk menulis ulang sebagai , jadi 
Selain itu, tidak ada yang menghalangi Anda untuk menggunakan properti logaritma suatu pangkat, dan kemudian membawa suku serupa: 
Urutan transformasi lainnya menghasilkan hasil yang sama: 
dan karena pada ODZ ekspresi x−2 dapat bernilai positif dan negatif, maka ketika menempatkan eksponen genap 14
