Ekspresi energi kinetik benda yang berputar, dengan memperhitungkan bahwa kecepatan linier suatu titik material sembarang yang menyusun benda relatif terhadap sumbu rotasi adalah sama, memiliki bentuk

di mana adalah momen inersia benda terhadap sumbu rotasi yang dipilih, kecepatan sudutnya terhadap sumbu tersebut, dan momentum sudut benda terhadap sumbu rotasi.

Jika suatu benda mengalami gerak rotasi translasi, maka perhitungan energi kinetik bergantung pada pilihan kutub yang menggambarkan gerak benda tersebut. Hasil akhirnya akan sama. Jadi, jika sebuah benda berbentuk bulat menggelinding dengan kecepatan v tanpa tergelincir dengan jari-jari R dan koefisien inersia k, kutubnya diambil pada CM-nya, di titik C, maka momen inersianya adalah , dan kecepatan sudut rotasinya terhadap sumbu C adalah . Maka energi kinetik benda tersebut adalah .

Jika kutub diambil pada titik kontak O antara benda dan permukaan yang dilalui sumbu rotasi sesaat benda, maka momen inersianya terhadap sumbu O akan menjadi sama. . Maka energi kinetik benda, dengan memperhitungkan bahwa kecepatan sudut rotasi benda relatif sama terhadap sumbu sejajar dan benda melakukan rotasi murni mengelilingi sumbu O, akan sama dengan . Hasilnya sama.

Teorema energi kinetik suatu benda yang melakukan gerak kompleks akan mempunyai bentuk yang sama dengan gerak translasinya: .

Contoh 1. Sebuah benda bermassa m diikat pada ujung seutas benang yang dililitkan pada balok berjari-jari R dan bermassa M. Benda diangkat setinggi h dan dilepaskan (Gbr. 65). Setelah sentakan benang yang tidak elastis, benda dan balok segera mulai bergerak bersamaan. Berapa banyak panas yang akan dilepaskan selama sentakan? Berapakah percepatan benda dan tegangan benang setelah sentakan? Berapakah kelajuan benda tersebut dan jarak yang ditempuh benda tersebut setelah tarikan benang setelah waktu t?

Diberikan: M, R, m, jam, g, t. Menemukan: Q -?,a - ?, T - ?,v -?, s - ?

Larutan: Kecepatan badan sebelum benang tersentak. Setelah benang tersentak, balok dan benda akan melakukan gerak rotasi relatif terhadap sumbu balok O dan akan berperilaku seperti benda dengan momen inersia terhadap sumbu tersebut sama dengan dan . Momen inersia totalnya terhadap sumbu rotasi.

Sentakan benang adalah proses yang cepat dan selama sentakan, berlaku hukum kekekalan momentum sudut sistem benda-balok, yang karena benda dan balok segera setelah sentakan mulai bergerak bersama, berbentuk : . Dari manakah asal kecepatan sudut awal rotasi balok? , dan kecepatan linier awal benda .

Energi kinetik sistem, karena kekekalan momentum sudutnya, segera setelah benang tersentak, sama dengan . Panas yang dilepaskan selama sentakan menurut hukum kekekalan energi

Persamaan dinamis gerak benda-benda sistem setelah sentakan benang tidak bergantung pada kecepatan awalnya. Untuk sebuah blok mempunyai bentuk atau, dan untuk tubuh. Menambahkan dua persamaan ini, kita mendapatkan . Dari manakah percepatan gerak benda berasal? Ketegangan benang

Persamaan kinematik gerak benda setelah sentakan akan berbentuk , di mana semua parameter diketahui.

Menjawab: . .

Contoh 2. Dua benda bulat dengan koefisien inersia (silinder berongga) dan (bola) terletak pada alas bidang miring dengan sudut kemiringan α laporkan kecepatan awal yang identik yang diarahkan ke atas sepanjang bidang miring. Sampai ketinggian berapa dan jam berapa benda akan naik ke ketinggian tersebut? Berapa percepatan benda naik? Berapa kali perbedaan ketinggian, waktu dan percepatan benda naik? Benda bergerak sepanjang bidang miring tanpa tergelincir.

Diberikan: . Menemukan:

Larutan: Benda dikenai aksi oleh: gravitasi m G, reaksi bidang miring N, dan gaya gesekan kopling (Gbr. 67). Kerja reaksi normal dan gaya gesekan adhesi (tidak ada selip dan tidak ada panas yang dilepaskan pada titik adhesi benda dan bidang.) sama dengan nol: , oleh karena itu, untuk menggambarkan gerak benda dapat digunakan hukum kekekalan energi: . Di mana .

Kita akan mencari waktu dan percepatan gerak benda dari persamaan kinematik . Di mana , . Perbandingan tinggi badan, waktu dan percepatan benda naik:

Menjawab: , , , .

Contoh 3. Sebuah peluru bermassa , terbang dengan kecepatan, mengenai pusat bola bermassa M dan berjari-jari R, diikatkan pada ujung batang bermassa m dan panjang l, digantung di titik O pada ujung kedua, dan terbang keluar dari bola tersebut. dengan kecepatan (Gbr. 68). Temukan kecepatan sudut rotasi sistem batang-bola segera setelah tumbukan dan sudut defleksi batang setelah tumbukan peluru.

Diberikan: . Menemukan:

Larutan: Momen inersia batang dan bola relatif terhadap titik suspensi O batang menurut teorema Steiner: dan . Momen inersia total sistem batang-bola . Tumbukan peluru merupakan proses yang cepat, dan hukum kekekalan momentum sudut sistem batang peluru-bola terjadi (benda setelah tumbukan melakukan gerak rotasi): . Dari manakah datangnya kecepatan sudut gerak sistem batang-bola segera setelah tumbukan?

Posisi CM sistem rod-ball relatif terhadap titik suspensi O: . Hukum kekekalan energi CM suatu sistem setelah tumbukan, dengan memperhatikan hukum kekekalan momentum sudut sistem pada tumbukan, berbentuk . Dari manakah ketinggian CM sistem setelah terjadinya tumbukan? . Sudut defleksi batang setelah tumbukan ditentukan oleh kondisi .

Menjawab: , , .

Contoh 4. Sebuah balok ditekan dengan gaya N pada sebuah benda bulat bermassa m dan berjari-jari R, dengan koefisien inersia k, berputar dengan kecepatan sudut . Berapa lama waktu yang dibutuhkan silinder untuk berhenti dan berapa banyak panas yang akan dilepaskan ketika bantalan bergesekan dengan silinder selama waktu tersebut? Koefisien gesek antara balok dan silinder adalah .

Diberikan: Menemukan:

Larutan: Usaha yang dilakukan gaya gesek sebelum benda berhenti menurut teorema energi kinetik adalah sama dengan . Panas dilepaskan selama rotasi .

Persamaan gerak rotasi suatu benda berbentuk . Dari mana datangnya percepatan sudut rotasi lambatnya? . Waktu yang diperlukan suatu benda untuk berputar hingga berhenti.

Menjawab: , .

Contoh 5. Sebuah benda bulat bermassa m dan berjari-jari R dengan koefisien inersia k diputar dengan kecepatan sudut berlawanan arah jarum jam dan ditempatkan pada permukaan horizontal yang berdekatan dengan dinding vertikal (Gbr. 70). Berapa lama waktu yang dibutuhkan benda untuk berhenti dan berapa putaran yang dilakukan sebelum berhenti? Berapa jumlah panas yang dilepaskan ketika tubuh bergesekan dengan permukaan selama waktu tersebut? Koefisien gesekan benda terhadap permukaan sama dengan .

Diberikan: . Menemukan:

Larutan: Kalor yang dilepaskan selama perputaran suatu benda sampai berhenti sama dengan kerja gaya gesek, yang dapat dicari dengan menggunakan teorema energi kinetik suatu benda. Kita punya.

Reaksi bidang horizontal. Gaya gesekan yang bekerja pada benda dari permukaan horizontal dan vertikal adalah sama: dan .Dari sistem kedua persamaan ini kita peroleh dan .

Dengan memperhatikan hubungan-hubungan ini, persamaan gerak rotasi suatu benda berbentuk (. Maka percepatan sudut rotasi benda sama dengan. Maka waktu rotasi benda sebelum berhenti, dan jumlah putarannya membuat.

Menjawab: , , , .

Contoh 6. Sebuah benda bulat dengan koefisien inersia k menggelinding tanpa tergelincir dari puncak belahan berjari-jari R berdiri pada permukaan horizontal (Gbr. 71). Pada ketinggian berapa dan kecepatan berapa ia akan melepaskan diri dari belahan bumi dan pada kecepatan berapa ia akan jatuh ke permukaan horizontal?

Diberikan: k, g, R. Menemukan:

Larutan: Gaya-gaya yang bekerja pada benda . Usaha dan 0, (tidak ada selip dan tidak ada panas yang dilepaskan pada titik pertemuan belahan bumi dan bola) oleh karena itu, untuk menggambarkan gerak suatu benda dapat digunakan hukum kekekalan energi. Hukum kedua Newton untuk CM suatu benda pada titik pemisahannya dari belahan bumi, dengan memperhatikan bahwa pada titik tersebut berbentuk , dari mana . Hukum kekekalan energi untuk titik awal dan titik pisah benda berbentuk . Dimana tinggi dan kecepatan pemisahan benda dari belahan bumi adalah sama, .

Setelah benda terlepas dari belahan bumi, hanya energi kinetik translasinya saja yang berubah, sehingga hukum kekekalan energi pada titik pisah dan jatuhnya benda ke tanah berbentuk . Dari mana, dengan memperhitungkan kita dapatkan . Untuk benda yang meluncur sepanjang permukaan belahan bumi tanpa gesekan, k=0 dan , , .

Menjawab: , , .

Energi kinetik benda yang berputar sama dengan jumlah energi kinetik semua partikel benda:

Massa suatu partikel, kecepatan liniernya (melingkar), sebanding dengan jarak partikel tersebut dari sumbu rotasi. Mengganti persamaan ini dan mengeluarkan kecepatan sudut o yang umum untuk semua partikel dari tanda penjumlahan, kita mendapatkan:

Rumus energi kinetik benda yang berputar ini dapat dibawa ke bentuk yang mirip dengan ekspresi energi kinetik gerak translasi jika kita memasukkan nilai yang disebut momen inersia benda. Momen inersia suatu titik material adalah hasil kali massa titik tersebut dengan kuadrat jaraknya terhadap sumbu rotasi. Momen inersia suatu benda adalah jumlah momen inersia semua titik material pada benda tersebut:

Jadi, energi kinetik benda yang berputar ditentukan dengan rumus berikut:

Rumus (2) berbeda dengan rumus yang menentukan energi kinetik suatu benda selama gerak translasi karena massa benda memuat momen inersia I dan kecepatan kelompok sebagai ganti kecepatan.

Energi kinetik yang besar dari roda gila yang berputar digunakan dalam teknologi untuk menjaga keseragaman kerja alat berat di bawah beban yang berubah secara tiba-tiba. Pada awalnya, untuk memutar roda gila yang mempunyai momen inersia besar, diperlukan usaha yang besar dari mesin, namun ketika beban besar tiba-tiba dihidupkan, mesin tidak berhenti dan melakukan kerja dengan menggunakan gaya kinetik. cadangan energi roda gila.

Roda gila yang sangat besar terutama digunakan di pabrik rolling yang digerakkan oleh motor listrik. Berikut penjelasan salah satu roda tersebut: “Roda tersebut mempunyai diameter 3,5 m dan berat. Pada kecepatan normal 600 rpm, cadangan energi kinetik roda sedemikian rupa sehingga pada saat roda berputar menghasilkan gilingan. kekuatan 20.000 liter. Dengan. Gesekan pada bantalan dikurangi seminimal mungkin dengan gaya di bawah tekanan, dan untuk menghindari efek berbahaya dari gaya inersia sentrifugal, roda diseimbangkan sehingga beban yang ditempatkan pada keliling roda membuatnya tidak lagi diam. "

Mari kita sajikan (tanpa melakukan perhitungan) nilai momen inersia beberapa benda (diasumsikan bahwa masing-masing benda tersebut mempunyai massa jenis yang sama di semua luasnya).

Momen inersia sebuah cincin tipis terhadap sumbu yang melalui pusatnya dan tegak lurus terhadap bidangnya (Gbr. 55):

Momen inersia piringan (atau silinder) melingkar terhadap sumbu yang melalui pusatnya dan tegak lurus terhadap bidangnya (momen inersia kutub piringan; Gambar 56):

Momen inersia piringan bundar tipis terhadap sumbu yang bertepatan dengan diameternya (momen inersia ekuator piringan; Gambar 57):

Momen inersia bola terhadap sumbu yang melalui pusat bola:

Momen inersia lapisan bola tipis berjari-jari terhadap sumbu yang melalui pusat:

Momen inersia lapisan bola tebal (bola berongga yang mempunyai jari-jari permukaan luar dan jari-jari rongga) terhadap sumbu yang melalui pusat:

Momen inersia benda dihitung dengan menggunakan kalkulus integral. Untuk memberikan gambaran tentang kemajuan perhitungan tersebut, mari kita cari momen inersia batang relatif terhadap sumbu yang tegak lurus (Gbr. 58). Biarkan ada penampang batang, kepadatan. Mari kita pilih bagian kecil dasar batang, yang memiliki panjang dan terletak pada jarak x dari sumbu rotasi. Maka massanya Karena terletak pada jarak x dari sumbu rotasi, momen inersianya terintegrasi dalam rentang dari nol hingga I:

Momen inersia suatu persegi panjang sejajar terhadap sumbu simetri (Gbr. 59)

Momen inersia cincin torus (Gbr. 60)

Mari kita perhatikan bagaimana energi rotasi suatu benda yang menggelinding (tanpa meluncur) sepanjang bidang berhubungan dengan energi gerak translasi benda tersebut,

Energi gerak translasi suatu benda yang menggelinding sama dengan , dimana adalah massa benda dan kecepatan gerak translasi. Misalkan kecepatan sudut rotasi benda menggelinding dan jari-jari benda. Mudah untuk dipahami bahwa kecepatan gerak translasi suatu benda yang menggelinding tanpa meluncur sama dengan kecepatan keliling benda pada titik-titik kontak benda dengan bidang (selama benda melakukan satu putaran, pusatnya gravitasi benda berpindah jarak, oleh karena itu,

Dengan demikian,

Energi rotasi

karena itu,

Mengganti nilai momen inersia di atas di sini, kita menemukan bahwa:

a) energi gerak rotasi suatu lingkaran yang menggelinding sama dengan energi gerak translasinya;

b) energi rotasi piringan homogen yang menggelinding sama dengan setengah energi gerak translasi;

c) energi rotasi bola homogen yang menggelinding adalah energi gerak translasi.

Ketergantungan momen inersia pada posisi sumbu rotasi. Misalkan batang (Gbr. 61) yang pusat gravitasinya di titik C berputar dengan kecepatan sudut (o mengelilingi sumbu O, tegak lurus terhadap bidang gambar. Misalkan dalam selang waktu tertentu ia telah berpindah dari posisinya A B ke dan pusat gravitasi menggambarkan busur. Pergerakan batang ini dapat dianggap seolah-olah batang mula-mula bergerak secara translasi (yaitu tetap sejajar dengan dirinya sendiri) ke posisinya dan kemudian diputar mengelilingi C ke posisi. Mari kita nyatakan (jaraknya). pusat gravitasi dari sumbu rotasi) sebesar a, dan sudut sebesar Ketika batang berpindah dari posisi A ke posisi B, maka pergerakan setiap partikelnya sama dengan pergerakan pusat gravitasi, yaitu sama dengan atau Untuk mendapatkan gerak sebenarnya dari batang, kita dapat mengasumsikan bahwa kedua gerakan yang ditunjukkan terjadi secara bersamaan. Sesuai dengan ini, energi kinetik batang yang berputar dengan kecepatan sudut bagian.

Energi kinetik rotasi

Kuliah 3. Dinamika benda kaku

Garis besar kuliah

3.1. Momen kekuasaan.

3.2. Persamaan dasar gerak rotasi. Momen inersia.

3.3. Energi kinetik rotasi.

3.4. Momen impulsif. Hukum kekekalan momentum sudut.

3.5. Analogi antara gerak translasi dan rotasi.

Momen kekuasaan

Mari kita perhatikan gerak benda tegar mengelilingi sumbu tetap. Misalkan benda tegar mempunyai sumbu rotasi tetap OO ( Gambar.3.1) dan gaya sewenang-wenang diterapkan padanya.

Beras. 3.1

Mari kita menguraikan gaya menjadi dua komponen gaya, gaya terletak pada bidang rotasi, dan gaya sejajar dengan sumbu rotasi. Kemudian kita akan menguraikan gaya menjadi dua komponen: – bekerja sepanjang vektor jari-jari dan – tegak lurus terhadapnya.

Tidak semua gaya yang diterapkan pada suatu benda akan memutarnya. Gaya tersebut menciptakan tekanan pada bantalan, tetapi tidak memutarnya.

Suatu gaya mungkin atau mungkin juga tidak membuat suatu benda menjadi tidak seimbang, tergantung di mana gaya tersebut diterapkan pada vektor jari-jarinya. Oleh karena itu, konsep momen gaya terhadap suatu sumbu diperkenalkan. Momen penuh kekuatan relatif terhadap sumbu rotasi disebut hasil kali vektor vektor jari-jari dan gaya.

Vektor diarahkan sepanjang sumbu rotasi dan ditentukan oleh aturan perkalian silang atau aturan sekrup kanan atau aturan gimlet.

Modulus momen gaya

dimana α adalah sudut antara vektor dan .

Dari Gambar 3.1. sudah jelas itu .

r 0– jarak terpendek dari sumbu rotasi ke garis kerja gaya disebut bahu gaya. Maka momen gaya dapat dituliskan

M = F r 0 . (3.3)

Dari Gambar. 3.1.

Di mana F– proyeksi vektor ke arah tegak lurus vektor jari-jari. Dalam hal ini, momen gaya sama dengan

. (3.4)

Jika beberapa gaya bekerja pada suatu benda, maka momen gaya yang dihasilkan sama dengan jumlah vektor momen masing-masing gaya, tetapi karena semua momen diarahkan sepanjang sumbu, maka momen tersebut dapat diganti dengan jumlah aljabar. Momen dianggap positif jika memutar benda searah jarum jam dan negatif jika berputar berlawanan arah jarum jam. Jika semua momen gaya () sama dengan nol, maka benda berada dalam keadaan setimbang.

Konsep torsi dapat didemonstrasikan dengan menggunakan "kumparan berubah-ubah". Gulungan benang ditarik dengan ujung benang yang bebas ( beras. 3.2).

Beras. 3.2

Tergantung pada arah ketegangan benang, gulungan menggelinding ke satu arah atau lainnya. Jika ditarik secara miring α , maka momen gaya terhadap sumbu TENTANG(tegak lurus terhadap gambar) memutar kumparan berlawanan arah jarum jam dan menggulung kembali. Jika terjadi ketegangan pada suatu sudut β torsi diarahkan berlawanan arah jarum jam dan gulungan berputar ke depan.

Dengan menggunakan kondisi kesetimbangan (), dimungkinkan untuk membangun mekanisme sederhana yang merupakan “transformator” gaya, yaitu. Dengan menerapkan lebih sedikit tenaga, Anda dapat mengangkat dan memindahkan beban dengan beban berbeda. Prinsip ini didasarkan pada tuas, gerobak dorong, dan berbagai jenis balok yang banyak digunakan dalam konstruksi. Untuk menjaga kondisi keseimbangan pada crane konstruksi untuk mengimbangi momen gaya yang disebabkan oleh berat beban, selalu ada sistem penyeimbang yang menciptakan momen gaya yang berlawanan tanda.

3.2. Persamaan dasar rotasi
gerakan. Momen inersia

Pertimbangkan benda yang benar-benar kaku yang berputar mengelilingi sumbu tetap OO(Gambar.3.3). Mari kita secara mental membagi benda ini menjadi elemen-elemen yang bermassa Δ m 1, Δ m 2, …, Δ M N. Ketika diputar, elemen-elemen ini akan menggambarkan lingkaran dengan jari-jari r 1,r 2 , …,tidak. Gaya bertindak sesuai dengan setiap elemen F 1,F 2 , …,Fn. Rotasi suatu benda pada suatu sumbu OO terjadi di bawah pengaruh torsi penuh M.

M = M 1 + M 2 + … + M n (3.4)

Di mana M 1 = F 1 r 1, M 2 = F 2 r 2, ..., M n = F n r n

Menurut hukum II Newton, setiap gaya F, bekerja pada elemen bermassa D M, menyebabkan percepatan elemen ini A, yaitu.

F saya = D aku aku aku (3.5)

Mengganti nilai yang sesuai ke dalam (3.4), kita memperoleh

Beras. 3.3

Mengetahui hubungan percepatan sudut linier ε () dan agar percepatan sudut sama untuk semua elemen, rumus (3.6) akan berbentuk

M = (3.7)

=SAYA (3.8)

SAYA– momen inersia benda terhadap sumbu tetap.

Maka kita akan mendapatkan

M = saya ε (3.9)

Atau dalam bentuk vektor

(3.10)

Persamaan ini merupakan persamaan dasar dinamika gerak rotasi. Bentuknya mirip dengan persamaan II hukum Newton. Dari (3.10) momen inersia sama dengan

Jadi, momen inersia suatu benda adalah perbandingan momen gaya dengan percepatan sudut yang ditimbulkannya. Dari (3.11) jelas bahwa momen inersia adalah ukuran inersia suatu benda terhadap gerak rotasi. Momen inersia mempunyai peranan yang sama dengan massa dalam gerak translasi. satuan SI [ SAYA] = kg m 2. Dari rumus (3.7) dapat disimpulkan bahwa momen inersia mencirikan distribusi massa partikel suatu benda relatif terhadap sumbu rotasi.

Jadi, momen inersia suatu unsur bermassa ∆m yang bergerak dalam lingkaran berjari-jari r sama dengan

saya = r 2 D M (3.12)

saya= (3.13)

Dalam kasus distribusi massa kontinu, jumlahnya dapat diganti dengan integral

Saya= ∫ r 2 dm (3.14)

di mana integrasi dilakukan pada seluruh massa tubuh.

Hal ini menunjukkan bahwa momen inersia suatu benda bergantung pada massa dan distribusinya relatif terhadap sumbu rotasi. Hal ini dapat dibuktikan secara eksperimental ( Gambar.3.4).

Beras. 3.4

Dua silinder bundar, satu berongga (misalnya logam), yang lain padat (kayu) dengan panjang, jari-jari, dan massa yang sama mulai menggelinding secara bersamaan. Silinder berongga yang mempunyai momen inersia besar akan tertinggal dibandingkan silinder padat.

Momen inersia dapat dihitung jika massanya diketahui M dan distribusinya relatif terhadap sumbu rotasi. Kasus paling sederhana adalah sebuah cincin, ketika semua elemen massa terletak sama dari sumbu rotasi ( beras. 3.5):

saya = (3.15)

Beras. 3.5

Mari kita sajikan ekspresi momen inersia berbagai benda bermassa simetris M.

1. Momen inersia cincin, silinder berongga berdinding tipis relatif terhadap sumbu rotasi yang berimpit dengan sumbu simetri.

, (3.16)

R– jari-jari cincin atau silinder

2. Untuk silinder dan piringan padat, momen inersia terhadap sumbu simetri

(3.17)

3. Momen inersia bola terhadap sumbu yang melalui titik pusat

(3.18)

R– radius bola

4. Momen inersia batang tipis yang panjangnya panjang aku relatif terhadap sumbu yang tegak lurus batang dan melewati bagian tengahnya

(3.19)

aku– panjang batang.

Jika sumbu rotasi tidak melewati pusat massa, maka momen inersia benda terhadap sumbu tersebut ditentukan oleh teorema Steiner.

(3.20)

Menurut teorema ini, momen inersia terhadap sumbu sembarang O’O’ ( ) sama dengan momen inersia terhadap sumbu sejajar yang melalui pusat massa benda ( ) ditambah hasil kali massa benda dikalikan kuadrat jarak A antar sumbu ( beras. 3.6).

Beras. 3.6

Energi kinetik rotasi

Mari kita perhatikan rotasi benda tegar mutlak di sekitar sumbu tetap OO dengan kecepatan sudut ω (beras. 3.7). Mari kita pecahkan benda padat menjadi N massa dasar ∆ saya saya. Setiap elemen massa berputar sepanjang radius lingkaran r i dengan kecepatan linier (). Energi kinetik terdiri dari energi kinetik masing-masing unsur.

(3.21)

Beras. 3.7

Mari kita ingat dari (3.13) itu – momen inersia terhadap sumbu OO.

Jadi, energi kinetik benda yang berputar

E k = (3.22)

Kami mempertimbangkan energi kinetik rotasi pada sumbu tetap. Jika suatu benda terlibat dalam dua gerak: gerak translasi dan gerak rotasi, maka energi kinetik benda tersebut terdiri dari energi kinetik gerak translasi dan energi kinetik rotasi.

Misalnya saja bola bermassa M Gulungan; pusat massa bola bergerak secara translasi dengan kecepatan tertentu kamu (beras. 3.8).

Beras. 3.8

Energi kinetik total bola akan sama dengan

(3.23)

3.4. Momen impulsif. Hukum Konservasi
momentum sudut

Besaran fisis sama dengan hasil kali momen inersia SAYA ke kecepatan sudut ω , disebut momentum sudut (momentum sudut) L relatif terhadap sumbu rotasi.

– momentum sudut merupakan besaran vektor dan arahnya berimpit dengan arah kecepatan sudut.

Membedakan persamaan (3.24) terhadap waktu, kita peroleh

Di mana, M– momen total gaya luar. Dalam sistem terisolasi tidak ada momen gaya luar ( M=0) dan

Tugas

1. Tentukan berapa kali massa efektif lebih besar dari massa gravitasi kereta api bermassa 4000 ton, jika massa rodanya 15% massa kereta. Misalkan roda adalah piringan yang diameternya 1,02 m. Bagaimanakah jawabannya berubah jika diameter rodanya setengahnya?

2. Tentukan percepatan yang dialami sepasang roda bermassa 1200 kg ketika menggelinding menuruni bukit yang kemiringannya 0,08. Anggaplah roda sebagai cakram. Koefisien tahanan gelinding 0,004. Tentukan gaya adhesi antara roda dan rel.

3. Tentukan percepatan sepasang roda yang massanya 1400 kg menggelinding ke atas bukit dengan kemiringan 0,05. Koefisien resistensi 0,002. Berapakah koefisien adhesi agar roda tidak tergelincir? Anggaplah roda sebagai cakram.

4. Tentukan percepatan berapa sebuah mobil bermassa 40 ton menggelinding menuruni bukit dengan kemiringan 0,020, jika mempunyai delapan roda bermassa 1200 kg dan diameter 1,02 m. Tentukan gaya lekat roda pada rel. Koefisien resistensi 0,003.

5. Tentukan gaya tekanan bantalan rem pada ban jika sebuah kereta api bermassa 4000 ton direm dengan percepatan 0,3 m/s 2 . Momen inersia satu pasang roda adalah 600 kg m 2, jumlah sumbu 400, koefisien gesek geser bantalan 0,18, dan koefisien tahanan gelinding 0,004.

6. Tentukan gaya pengereman yang bekerja pada mobil berporos empat bermassa 60 ton pada platform pengereman sebuah punuk jika kecepatan pada lintasan 30 m berkurang dari 2 m/s menjadi 1,5 m/s. Momen inersia sepasang roda adalah 500 kg m2.

7. Alat pengukur kecepatan lokomotif menunjukkan peningkatan kecepatan kereta api dalam waktu satu menit dari 10 m/s menjadi 60 m/s. Kemungkinan pasangan roda penggeraknya tergelincir. Tentukan momen gaya yang bekerja pada jangkar motor listrik. Momen inersia wheelset 600 kg m 2, armature 120 kg m 2. Rasio roda gigi adalah 4,2. Gaya tekanan pada rel adalah 200 kN, koefisien gesekan geser roda pada rel adalah 0,10.

11. ENERGI KINETIK ROTASI

GERAKAN

Mari kita turunkan rumus energi kinetik gerak rotasi. Biarkan benda berputar dengan kecepatan sudut ω relatif terhadap sumbu tetap. Setiap partikel kecil suatu benda mengalami gerak translasi melingkar dengan kecepatan berapa aku – jarak ke sumbu rotasi, jari-jari orbit. Energi kinetik partikel massa saya saya sama dengan . Energi kinetik total suatu sistem partikel sama dengan jumlah energi kinetiknya. Mari kita rangkum rumus energi kinetik partikel suatu benda dan ambil setengah kuadrat kecepatan sudut, yang sama untuk semua partikel, sebagai tanda penjumlahannya, . Jumlah hasil kali massa partikel dengan kuadrat jaraknya terhadap sumbu rotasi adalah momen inersia benda terhadap sumbu rotasi. . Jadi, energi kinetik suatu benda yang berputar terhadap sumbu tetap sama dengan setengah hasil kali momen inersia benda terhadap sumbu dan kuadrat kecepatan sudut rotasi:

Dengan bantuan benda yang berputar, energi mekanik dapat disimpan. Benda-benda seperti itu disebut roda gila. Biasanya ini adalah badan-badan revolusi. Penggunaan roda gila pada roda gerabah telah dikenal sejak zaman dahulu kala. Pada mesin pembakaran internal, selama langkah tenaga, piston memberikan energi mekanik ke roda gila, yang kemudian melakukan kerja memutar poros mesin selama tiga langkah berikutnya. Dalam cetakan dan pengepresan, roda gila digerakkan oleh motor listrik berdaya relatif rendah, mengumpulkan energi mekanik selama hampir satu putaran penuh dan, pada saat tumbukan singkat, melepaskannya ke pekerjaan pengepresan.

Ada banyak upaya untuk menggunakan roda gila yang berputar untuk menggerakkan kendaraan: mobil, bus. Mereka disebut mahomobile, gyromobile. Banyak mesin eksperimental yang diciptakan. Penggunaan roda gila untuk mengumpulkan energi selama pengereman kereta listrik akan menjanjikan untuk menggunakan energi yang terakumulasi selama akselerasi berikutnya. Penyimpanan energi roda gila diketahui digunakan di kereta bawah tanah Kota New York.

Karena benda tegar adalah kasus khusus dari sistem titik material, energi kinetik benda ketika berputar mengelilingi sumbu Z tetap akan sama dengan jumlah energi kinetik semua titik materialnya, yaitu

Semua titik material suatu benda tegar dalam hal ini berputar dalam lingkaran dengan jari-jari dan kecepatan sudut yang sama. Kecepatan linier setiap titik material benda tegar adalah sama dengan . Energi kinetik benda padat akan berbentuk

Jumlah di sisi kanan ekspresi ini, sesuai dengan (4.4), mewakili momen inersia suatu benda terhadap sumbu rotasi tertentu. Oleh karena itu, rumus untuk menghitung energi kinetik benda tegar yang berputar relatif terhadap sumbu tetap akan mengambil bentuk akhirnya:

. (4.21)

Di sini diperhitungkan bahwa

Menghitung energi kinetik benda tegar dalam kasus gerak sewenang-wenang menjadi jauh lebih rumit. Mari kita perhatikan gerak bidang ketika lintasan semua titik material suatu benda terletak pada bidang sejajar. Kecepatan setiap titik material suatu benda tegar, menurut (1.44), dapat direpresentasikan dalam bentuk

,

dimana sebagai sumbu rotasi sesaat kita memilih sumbu yang melalui pusat inersia benda yang tegak lurus terhadap bidang lintasan titik mana pun pada benda tersebut. Dalam hal ini, dalam ekspresi terakhir ini mewakili kecepatan pusat inersia benda, jari-jari lingkaran di mana titik-titik benda berputar dengan kecepatan sudut di sekitar sumbu yang melalui pusat inersianya. Karena dengan gerak ^ seperti itu, vektor sama dengan terletak pada bidang lintasan titik tersebut.

Berdasarkan penjelasan di atas, energi kinetik suatu benda selama gerak bidangnya adalah sama dengan

.

Dengan mengkuadratkan ekspresi dalam tanda kurung dan mengambil nilai konstanta untuk semua titik tubuh dari tanda penjumlahan, kita memperoleh

Di sini diperhitungkan bahwa ^.

Mari kita pertimbangkan setiap suku di sisi kanan ekspresi terakhir secara terpisah. Suku pertama, dengan persamaan yang jelas, adalah sama dengan

Suku kedua sama dengan nol, karena penjumlahannya menentukan vektor jari-jari pusat inersia (3,5), yang dalam hal ini terletak pada sumbu rotasi. Dengan memperhatikan (4.4), suku terakhir akan berbentuk . Sekarang, akhirnya, energi kinetik selama gerak sembarang tetapi datar suatu benda tegar dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari dua suku:

, (4.23)

dimana suku pertama menyatakan energi kinetik suatu titik material yang massanya sama dengan massa benda dan bergerak dengan kecepatan pusat massa benda;

suku kedua menyatakan energi kinetik suatu benda yang berputar pada suatu sumbu (bergerak dengan kecepatan) melewati pusat inersianya.

Kesimpulan: Jadi, energi kinetik suatu benda tegar selama rotasinya pada sumbu tetap dapat dihitung menggunakan salah satu hubungan (4.21), dan dalam kasus gerak bidang menggunakan (4.23).

Pertanyaan kontrol.

4.4. Dalam kasus apa (4.23) berubah menjadi (4.21)?

4.5. Bagaimana rumus energi kinetik suatu benda ketika bergerak pada bidang datar jika sumbu rotasi sesaat tidak melalui pusat inersia? Apa arti dari besaran-besaran yang termasuk dalam rumus tersebut?

4.6. Tunjukkan bahwa usaha yang dilakukan oleh gaya-gaya dalam selama rotasi suatu benda tegar adalah nol.