Apa itu hypercube dan ruang empat dimensi
Ruang kita yang biasa memiliki tiga dimensi. Dari sudut pandang geometris, ini berarti dapat ditunjukkan tiga garis yang saling tegak lurus. Artinya, untuk garis apa pun, Anda dapat menemukan garis kedua yang tegak lurus dengan garis pertama, dan untuk sepasang garis ketiga yang tegak lurus dengan dua garis pertama. Tidak mungkin lagi menemukan garis keempat yang tegak lurus dengan tiga garis yang ada.
Ruang empat dimensi berbeda dari ruang kita hanya karena ia memiliki satu arah tambahan lagi. Jika Anda sudah memiliki tiga garis yang saling tegak lurus, carilah garis keempat yang tegak lurus ketiganya.
Hypercube hanyalah sebuah kubus dalam ruang empat dimensi.
Mungkinkah membayangkan ruang empat dimensi dan hypercube?
Pertanyaan ini terkait dengan pertanyaan: “mungkinkah membayangkan Perjamuan Terakhir dengan melihat lukisan berjudul sama (1495-1498) karya Leonardo da Vinci (1452-1519)?”
Di satu sisi, tentu saja Anda tidak akan membayangkan apa yang dilihat Yesus (Ia duduk menghadap penonton), apalagi Anda tidak akan mencium aroma taman di luar jendela dan mencicipi makanan di atas meja, Anda tidak akan mendengar kicauan burung. bernyanyi... Anda tidak akan mendapatkan gambaran lengkap tentang apa yang terjadi malam itu, tetapi tidak dapat dikatakan bahwa Anda tidak akan mempelajari sesuatu yang baru dan gambar tersebut tidak menarik.
Situasi serupa dengan pertanyaan tentang hypercube. Mustahil untuk membayangkannya sepenuhnya, tetapi Anda bisa lebih memahami seperti apa rasanya.
Konstruksi hypercube
kubus 0 dimensi
Mari kita mulai dari awal - dengan kubus 0 dimensi. Kubus ini berisi 0 sisi yang saling tegak lurus, yaitu hanya sebuah titik.
kubus 1 dimensi
Dalam ruang satu dimensi, kita hanya mempunyai satu arah. Kami memindahkan titik ke arah ini dan mendapatkan segmen.
Ini adalah kubus satu dimensi.
kubus 2 dimensi
Kami memiliki dimensi kedua, kami menggeser kubus (segmen) satu dimensi kami ke arah dimensi kedua dan kami mendapatkan persegi.
Ini adalah kubus dalam ruang dua dimensi.
kubus 3 dimensi
Dengan munculnya dimensi ketiga, kita melakukan hal yang sama: kita memindahkan persegi dan mendapatkan kubus tiga dimensi biasa.
Kubus 4 dimensi (hiperkubus)
Sekarang kita memiliki dimensi keempat. Artinya, kita memiliki arah yang tegak lurus terhadap ketiga arah sebelumnya. Mari kita gunakan dengan cara yang persis sama. Kubus empat dimensi akan terlihat seperti ini.
Secara alami, kubus tiga dimensi dan empat dimensi tidak dapat digambarkan pada bidang layar dua dimensi. Yang saya gambar adalah proyeksi. Kita akan membahas proyeksinya nanti, namun untuk saat ini kita akan membahas beberapa fakta dan angka.
Jumlah simpul, tepi, muka
Ciri-ciri kubus dengan berbagai ukuran
ruang 1 dimensi
2 jumlah simpul
3 jumlah tepi
4-jumlah wajah
0 (titik) 1 0 0
1 (segmen) 2 1 2 (poin)
2 (persegi) 4 4 4 (segmen)
3 (kubus) 8 12 6 (kotak)
4 (hiperkubus) 16 32 8 (kubus)
N (rumus umum) 2N N 2N-1 2 N
Harap dicatat bahwa wajah hypercube adalah kubus tiga dimensi biasa. Jika Anda melihat lebih dekat pada gambar hypercube, Anda sebenarnya dapat menemukan delapan kubus.
Proyeksi dan visi penghuni ruang empat dimensi
Beberapa kata tentang visi
Kita hidup di dunia tiga dimensi, namun kita melihatnya sebagai dunia dua dimensi. Hal ini disebabkan karena retina mata kita terletak pada bidang yang hanya mempunyai dua dimensi. Inilah sebabnya kita dapat melihat gambar dua dimensi dan menganggapnya mirip dengan kenyataan. (Tentu saja, berkat akomodasi, mata dapat memperkirakan jarak ke suatu objek, tetapi ini adalah efek samping yang terkait dengan optik yang terpasang pada mata kita.)
Mata penghuni ruang empat dimensi harus memiliki retina tiga dimensi. Makhluk seperti itu dapat langsung melihat keseluruhan sosok tiga dimensi: seluruh wajah dan interiornya. (Dengan cara yang sama, kita dapat melihat sosok dua dimensi, seluruh wajah dan interiornya.)
Jadi, dengan bantuan organ penglihatan kita, kita tidak dapat melihat kubus empat dimensi seperti yang dilihat oleh penghuni ruang empat dimensi. Sayang. Yang tersisa hanyalah mengandalkan mata pikiran dan imajinasi Anda, yang untungnya tidak memiliki batasan fisik.
Namun, ketika menggambarkan hypercube pada sebuah bidang, saya terpaksa membuat proyeksinya ke dalam ruang dua dimensi. Pertimbangkan fakta ini saat mempelajari gambarnya.
Persimpangan tepi
Secara alami, tepi hypercube tidak berpotongan. Persimpangan hanya muncul dalam gambar. Namun, hal ini tidak mengherankan, karena tepi kubus biasa pada gambar juga berpotongan.
Panjang tulang rusuk
Perlu dicatat bahwa semua permukaan dan tepi kubus empat dimensi adalah sama. Pada gambar mereka ternyata tidak sama hanya karena letaknya pada sudut yang berbeda terhadap arah pandang. Namun, hypercube dapat diputar sehingga semua proyeksi memiliki panjang yang sama.
Ngomong-ngomong, dalam gambar ini delapan kubus, yang merupakan wajah dari hypercube, terlihat jelas.
Hypercube kosong di dalamnya
Sulit dipercaya, tapi di antara kubus yang mengikat hypercube, terdapat semacam ruang (sebuah pecahan ruang empat dimensi).
Untuk memahami hal ini dengan lebih baik, mari kita lihat proyeksi dua dimensi dari kubus tiga dimensi biasa (saya sengaja membuatnya agak skematis).
Dapatkah Anda menebak bahwa ada ruang di dalam kubus? Ya, tapi hanya dengan menggunakan imajinasi Anda. Mata tidak melihat ruang ini. Hal ini terjadi karena sisi-sisi yang terletak pada dimensi ketiga (yang tidak dapat digambarkan dalam gambar datar) kini telah berubah menjadi ruas-ruas yang terletak pada bidang gambar. Mereka tidak lagi memberikan volume.
Kotak-kotak yang melingkupi ruang kubus saling tumpang tindih. Namun dapat dibayangkan bahwa pada gambar aslinya (kubus tiga dimensi), persegi-persegi ini terletak pada bidang-bidang yang berbeda, dan tidak bertumpuk pada bidang yang sama, seperti yang terjadi pada gambar.
Situasinya persis sama dengan hypercube. Wajah kubus dari hypercube sebenarnya tidak tumpang tindih, seperti yang terlihat pada proyeksi, tetapi terletak di ruang empat dimensi.
Menyapu
Jadi, penghuni ruang empat dimensi dapat melihat benda tiga dimensi dari semua sisi secara bersamaan. Bisakah kita melihat kubus tiga dimensi dari semua sisi secara bersamaan? Dengan mata - tidak. Namun orang-orang telah menemukan cara untuk menggambarkan semua permukaan kubus tiga dimensi secara bersamaan pada gambar datar. Gambar seperti ini disebut scan.
Pengembangan kubus tiga dimensi
Semua orang mungkin tahu bagaimana perkembangan kubus tiga dimensi terbentuk. Proses ini ditampilkan dalam animasi.
Untuk kejelasan, tepi permukaan kubus dibuat tembus cahaya.
Perlu dicatat bahwa kita dapat melihat gambar dua dimensi ini hanya berkat imajinasi kita. Jika kita mempertimbangkan fase-fase yang terjadi dari sudut pandang dua dimensi, prosesnya akan tampak aneh dan sama sekali tidak jelas.
Ini terlihat seperti kemunculan bertahap dari pertama-tama garis besar kotak yang terdistorsi, dan kemudian garis tersebut merayap ke tempatnya sekaligus mengambil bentuk yang diinginkan.
Jika Anda melihat kubus yang sedang terbuka ke arah salah satu sisinya (dari sudut pandang ini kubus tampak seperti persegi), maka proses pembentukan lipatan tersebut menjadi kurang jelas. Semuanya tampak seperti kotak yang merambat keluar dari kotak awal (bukan kubus yang tidak dilipat).
Namun pemindaian tersebut tidak hanya bersifat visual pada mata. Berkat imajinasi Anda, Anda dapat memperoleh banyak informasi darinya.
Pengembangan kubus empat dimensi
Tidak mungkin membuat proses animasi pembukaan hypercube setidaknya menjadi visual. Namun proses ini bisa dibayangkan. (Untuk melakukan ini, Anda perlu melihatnya melalui mata makhluk empat dimensi.)
Pemindaiannya terlihat seperti ini.
Kedelapan kubus yang membatasi hypercube terlihat di sini.
Tepi yang seharusnya sejajar saat dilipat dicat dengan warna yang sama. Wajah yang pasangannya tidak terlihat dibiarkan berwarna abu-abu. Setelah dilipat, permukaan paling atas dari kubus atas harus sejajar dengan tepi bawah kubus bawah. (Pembukaan kubus tiga dimensi diciutkan dengan cara yang sama.)
Harap dicatat bahwa setelah konvolusi, semua permukaan delapan kubus akan bersentuhan, menutup hypercube. Dan terakhir, ketika membayangkan proses pelipatan, jangan lupa bahwa pada pelipatan yang terjadi bukanlah kubus-kubus yang bertumpuk, melainkan lilitannya pada suatu bidang empat dimensi (hiperkubik) tertentu.
Salvador Dali (1904-1989) menggambarkan penyaliban berkali-kali, dan salib muncul di banyak lukisannya. Lukisan “The Crucifixion” (1954) menggunakan pemindaian hypercube.
Ruang-waktu dan ruang empat dimensi Euclidean
Saya harap Anda bisa membayangkan hypercube. Namun apakah Anda berhasil memahami cara kerja ruang-waktu empat dimensi tempat kita hidup? Sayangnya, kurang tepat.
Di sini kita berbicara tentang ruang empat dimensi Euclidean, tetapi ruang-waktu memiliki sifat yang sangat berbeda. Khususnya, selama rotasi apa pun, segmen selalu tetap miring terhadap sumbu waktu, baik pada sudut kurang dari 45 derajat, atau pada sudut lebih besar dari 45 derajat.
SUMBER 2
Tesseract adalah hypercube empat dimensi, analog dengan kubus dalam ruang empat dimensi. Menurut Kamus Oxford, kata "tesseract" diciptakan dan digunakan pada tahun 1888 oleh Charles Howard Hinton (1853-1907) dalam bukunya A New Age of Thought. Belakangan, beberapa orang menyebut sosok yang sama sebagai "tetracube".
Mari kita coba bayangkan seperti apa bentuk hypercube tanpa meninggalkan ruang tiga dimensi.
Dalam "ruang" satu dimensi - pada sebuah garis - kita memilih segmen AB dengan panjang L. Pada bidang dua dimensi pada jarak L dari AB, kita menggambar segmen DC sejajar dengannya dan menghubungkan ujung-ujungnya. Hasilnya adalah persegi ABCD. Mengulangi operasi ini dengan bidang, kita memperoleh kubus tiga dimensi ABCDHEFG. Dan dengan menggeser kubus pada dimensi keempat (tegak lurus terhadap tiga dimensi pertama) sejauh L, kita mendapatkan hypercube ABCDEFGHIJKLMNOP.
Segmen satu dimensi AB berfungsi sebagai muka persegi dua dimensi ABCD, persegi tersebut berfungsi sebagai sisi kubus ABCDHEFG, yang selanjutnya akan menjadi sisi hypercube empat dimensi. Ruas garis lurus mempunyai dua titik batas, persegi mempunyai empat titik sudut, dan kubus mempunyai delapan titik. Dalam hypercube empat dimensi, akan ada 16 simpul: 8 simpul dari kubus asal dan 8 simpul yang digeser pada dimensi keempat. Ia memiliki 32 sisi - 12 masing-masing memberikan posisi awal dan akhir kubus asli, dan 8 sisi lainnya "menggambar" delapan simpulnya, yang telah berpindah ke dimensi keempat. Alasan yang sama dapat dilakukan untuk wajah hypercube. Dalam ruang dua dimensi hanya ada satu (persegi itu sendiri), sebuah kubus memiliki 6 buah (dua sisi dari persegi yang dipindahkan dan empat lagi yang menggambarkan sisi-sisinya). Hypercube empat dimensi memiliki 24 sisi persegi - 12 kotak kubus asli di dua posisi dan 12 kotak dari dua belas tepinya.
Dengan cara yang sama, kita dapat melanjutkan penalaran kita tentang hypercube dengan jumlah dimensi yang lebih besar, namun jauh lebih menarik untuk melihat bagaimana hypercube empat dimensi akan terlihat bagi kita, penghuni ruang tiga dimensi. Untuk ini kita akan menggunakan metode analogi yang sudah dikenal.
Mari kita ambil kubus kawat ABCDHEFG dan melihatnya dengan satu mata dari sisi tepinya. Kita akan melihat dan dapat menggambar dua kotak pada bidang (tepi dekat dan jauhnya), dihubungkan oleh empat garis - tepi samping. Demikian pula, hypercube empat dimensi dalam ruang tiga dimensi akan terlihat seperti dua “kotak” kubik yang disisipkan satu sama lain dan dihubungkan oleh delapan sisi. Dalam hal ini, "kotak" itu sendiri - wajah tiga dimensi - akan diproyeksikan ke ruang "kita", dan garis yang menghubungkannya akan meregang di dimensi keempat. Anda juga dapat mencoba membayangkan kubus bukan dalam proyeksi, tetapi dalam gambar spasial.
Sama seperti kubus tiga dimensi yang dibentuk oleh persegi yang digeser panjang sisinya, kubus yang digeser ke dimensi keempat akan membentuk hiperkubus. Itu dibatasi oleh delapan kubus, yang dalam perspektif akan terlihat seperti sosok yang agak rumit. Bagian yang tersisa di ruang “kita” digambar dengan garis padat, dan bagian yang masuk ke dalam hyperspace digambar dengan garis putus-putus. Hypercube empat dimensi itu sendiri terdiri dari kubus yang jumlahnya tak terhingga, sama seperti kubus tiga dimensi yang dapat “dipotong” menjadi kotak datar yang jumlahnya tak terhingga.
Dengan memotong enam sisi kubus tiga dimensi, Anda dapat menguraikannya menjadi bangun datar - sebuah pengembangan. Ini akan memiliki persegi di setiap sisi wajah aslinya, ditambah satu lagi - wajah di seberangnya. Dan pengembangan tiga dimensi dari hypercube empat dimensi akan terdiri dari kubus asli, enam kubus yang “tumbuh” darinya, ditambah satu lagi - “hyperface” terakhir. Sifat-sifat tesseract merupakan kelanjutan dari sifat-sifat bangun geometri berdimensi lebih rendah ke dalam ruang empat dimensi.
Nama lain
Heksadekakoron
segi delapan
Tetracube
4-Kubus
Hypercube (jika jumlah dimensi tidak ditentukan)
ruang 10 dimensi
Bagi yang belum tahu, gambarnya cukup jelas
Http://www.skillopedia.ru/material.php?id=1338
Evolusi otak manusia terjadi dalam ruang tiga dimensi. Oleh karena itu, sulit bagi kita membayangkan ruang yang dimensinya lebih besar dari tiga. Faktanya, otak manusia tidak dapat membayangkan benda geometris yang dimensinya lebih besar dari tiga. Dan pada saat yang sama, kita dapat dengan mudah membayangkan benda-benda geometris yang tidak hanya berdimensi tiga, tetapi juga berdimensi dua dan satu.
Perbedaan dan analogi ruang satu dimensi dan dua dimensi, serta perbedaan dan analogi ruang dua dimensi dan tiga dimensi, memungkinkan kita sedikit membuka tabir misteri yang memagari kita dari ruang berdimensi lebih tinggi. Untuk memahami bagaimana analogi ini digunakan, perhatikan objek empat dimensi yang sangat sederhana - hypercube, yaitu kubus empat dimensi. Untuk lebih spesifiknya, misalkan kita ingin menyelesaikan suatu masalah tertentu, yaitu menghitung jumlah sisi persegi sebuah kubus empat dimensi. Semua pertimbangan lebih lanjut akan sangat lemah, tanpa bukti apa pun, hanya berdasarkan analogi.
Untuk memahami bagaimana hypercube dibuat dari kubus biasa, Anda harus terlebih dahulu melihat bagaimana kubus biasa dibuat dari persegi biasa. Demi orisinalitas dalam penyajian materi ini, di sini kami akan menyebut persegi biasa sebagai SubCube (dan tidak akan bingung dengan succubus).
Untuk membuat kubus dari subkubus, Anda perlu memanjangkan subkubus ke arah tegak lurus bidang subkubus ke arah dimensi ketiga. Dalam hal ini, dari setiap sisi subkubus awal akan tumbuh subkubus, yaitu sisi muka dua dimensi kubus, yang akan membatasi volume tiga dimensi kubus pada empat sisi, dua tegak lurus setiap arah pada kubus. bidang subkubus. Dan di sepanjang sumbu ketiga yang baru juga terdapat dua subkubus yang membatasi volume tiga dimensi kubus. Ini adalah muka dua dimensi tempat subkubus kita awalnya berada dan muka kubus dua dimensi tempat subkubus berada di akhir konstruksi kubus.
Apa yang baru saja Anda baca disajikan dengan sangat detail dan banyak klarifikasi. Dan untuk alasan yang bagus. Sekarang kita akan melakukan trik seperti itu, secara formal kita akan mengganti beberapa kata pada teks sebelumnya dengan cara ini:
kubus -> hiperkubus
subkubus -> kubus
bidang -> volume
ketiga -> keempat
dua dimensi -> tiga dimensi
empat -> enam
tiga dimensi -> empat dimensi
dua -> tiga
pesawat -> luar angkasa
Hasilnya, kami mendapatkan teks bermakna berikut ini, yang sepertinya tidak lagi terlalu detail.
Untuk membuat hypercube dari sebuah kubus, Anda perlu memanjangkan kubus tersebut ke arah tegak lurus volume kubus ke arah dimensi keempat. Dalam hal ini, sebuah kubus akan tumbuh dari setiap sisi kubus aslinya, yang merupakan sisi tiga dimensi hiperkubus, yang akan membatasi volume empat dimensi hiperkubus pada enam sisi, tiga tegak lurus terhadap setiap arah dalam kubus tersebut. ruang kubus. Dan di sepanjang sumbu keempat yang baru juga terdapat dua kubus yang membatasi volume empat dimensi hypercube. Ini adalah permukaan tiga dimensi tempat kubus kita awalnya berada dan permukaan tiga dimensi hypercube tempat kubus berada di akhir konstruksi hypercube.
Mengapa kami begitu yakin bahwa kami telah menerima gambaran yang benar tentang konstruksi hypercube? Ya, karena dengan substitusi kata formal yang persis sama kita memperoleh gambaran konstruksi kubus dari deskripsi konstruksi persegi. (Lihat sendiri.)
Sekarang jelas bahwa jika kubus tiga dimensi lainnya tumbuh dari setiap sisi kubus, maka sebuah permukaan harus tumbuh dari setiap tepi kubus awal. Secara total, kubus memiliki 12 sisi, yang berarti akan muncul 12 wajah baru (subkubus) tambahan pada 6 kubus yang membatasi volume empat dimensi sepanjang tiga sumbu ruang tiga dimensi. Dan masih ada dua kubus lagi yang membatasi volume empat dimensi ini dari bawah dan atas sepanjang sumbu keempat. Masing-masing kubus ini memiliki 6 sisi.
Secara total, kita menemukan bahwa hypercube memiliki 12+6+6=24 sisi persegi.
Gambar berikut menunjukkan struktur logis dari hypercube. Ini seperti proyeksi hypercube ke dalam ruang tiga dimensi. Ini menghasilkan bingkai tulang rusuk tiga dimensi. Pada gambar, tentu saja, Anda melihat proyeksi bingkai ini ke bidang.
Pada bingkai ini, kubus bagian dalam seperti kubus awal tempat konstruksi dimulai dan membatasi volume empat dimensi hypercube sepanjang sumbu keempat dari bawah. Kami meregangkan kubus awal ini ke atas sepanjang sumbu pengukuran keempat dan masuk ke kubus terluar. Jadi kubus luar dan dalam dari gambar ini membatasi hypercube sepanjang sumbu pengukuran keempat.
Dan di antara dua kubus ini Anda dapat melihat 6 kubus baru lagi, yang bersentuhan dengan dua kubus pertama. Keenam kubus ini mengikat hypercube kita sepanjang tiga sumbu ruang tiga dimensi. Seperti yang Anda lihat, mereka tidak hanya bersentuhan dengan dua kubus pertama, yang merupakan kubus dalam dan luar pada bingkai tiga dimensi ini, tetapi mereka juga bersentuhan satu sama lain.
Anda dapat menghitung langsung pada gambar dan memastikan bahwa hypercube benar-benar memiliki 24 wajah. Namun pertanyaan ini muncul. Bingkai hypercube dalam ruang tiga dimensi ini diisi dengan delapan kubus tiga dimensi tanpa ada celah. Untuk membuat hypercube nyata dari proyeksi tiga dimensi hypercube ini, Anda perlu membalik bingkai ini ke luar sehingga semua 8 kubus mengikat volume 4 dimensi.
Ini dilakukan seperti ini. Kami mengundang penghuni ruang empat dimensi untuk mengunjungi kami dan memintanya membantu kami. Dia mengambil kubus bagian dalam bingkai ini dan memindahkannya ke arah dimensi keempat, yang tegak lurus dengan ruang tiga dimensi kita. Dalam ruang tiga dimensi kita, kita melihatnya seolah-olah seluruh kerangka bagian dalam telah hilang dan hanya kerangka kubus luar yang tersisa.
Selanjutnya, asisten empat dimensi kami menawarkan bantuannya di rumah sakit bersalin untuk melahirkan tanpa rasa sakit, namun wanita hamil kami takut dengan kemungkinan bayi akan hilang begitu saja dari perut dan berakhir di ruang tiga dimensi paralel. Oleh karena itu, orang empat dimensi ditolak dengan sopan.
Dan kami dibingungkan oleh pertanyaan apakah beberapa kubus kami terlepas saat kami membalikkan bingkai hypercube. Lagi pula, jika beberapa kubus tiga dimensi yang mengelilingi hypercube menyentuh tetangganya pada bingkai dengan sisinya, apakah kubus tersebut juga akan bersentuhan dengan sisi yang sama jika kubus empat dimensi membalikkan bingkai ke dalam?
Mari kita kembali ke analogi dengan ruang berdimensi lebih rendah. Bandingkan gambar bingkai hypercube dengan proyeksi kubus tiga dimensi pada bidang yang ditunjukkan pada gambar berikut.
Penghuni ruang dua dimensi membangun bingkai di atas bidang untuk memproyeksikan kubus ke bidang dan mengundang kami, penghuni tiga dimensi, untuk membalikkan bingkai ini. Kami mengambil empat simpul dari kotak bagian dalam dan memindahkannya tegak lurus terhadap bidang. Penghuni dua dimensi melihat hilangnya seluruh bingkai bagian dalam, dan yang tersisa hanyalah bingkai kotak bagian luar. Dengan operasi ini, semua kotak yang bersentuhan dengan tepinya terus bersentuhan dengan tepi yang sama.
Oleh karena itu, kita berharap skema logika hypercube juga tidak dilanggar ketika frame hypercube dibalik, dan jumlah permukaan persegi hypercube tidak bertambah dan tetap sama dengan 24. Ini, tentu saja Tentu saja, ini bukan bukti sama sekali, melainkan murni dugaan dengan analogi.
Setelah semua yang Anda baca di sini, Anda dapat dengan mudah menggambar kerangka logis kubus lima dimensi dan menghitung jumlah simpul, sisi, permukaan, kubus, dan hiperkubus yang dimilikinya. Ini tidak sulit sama sekali.
19 September 2009
Tesseract (dari bahasa Yunani kuno τέσσερες ἀκτῖνες - empat sinar) adalah hypercube empat dimensi - analog dari kubus dalam ruang empat dimensi.
Bayangan merupakan proyeksi (perspektif) kubus empat dimensi ke dalam ruang tiga dimensi.
Menurut Kamus Oxford, kata "tesseract" diciptakan dan digunakan pada tahun 1888 oleh Charles Howard Hinton (1853–1907) dalam bukunya A New Age of Thought. Belakangan, beberapa orang menyebut sosok yang sama sebagai "tetracube".
Geometri
Tesseract biasa dalam ruang empat dimensi Euclidean didefinisikan sebagai kumpulan titik cembung (±1, ±1, ±1, ±1). Dengan kata lain, dapat direpresentasikan sebagai himpunan berikut:
Tesseract dibatasi oleh delapan hyperplanes, yang perpotongannya dengan Tesseract itu sendiri menentukan wajah tiga dimensinya (yang merupakan kubus biasa). Setiap pasang wajah 3D yang tidak sejajar berpotongan membentuk wajah 2D (persegi), dan seterusnya. Terakhir, tesseract memiliki 8 permukaan 3D, 24 permukaan 2D, 32 tepi, dan 16 simpul.
Deskripsi populer
Mari kita coba bayangkan seperti apa bentuk hypercube tanpa meninggalkan ruang tiga dimensi.
Dalam "ruang" satu dimensi - pada sebuah garis - kita memilih segmen AB dengan panjang L. Pada bidang dua dimensi pada jarak L dari AB, kita menggambar segmen DC sejajar dengannya dan menghubungkan ujung-ujungnya. Hasilnya adalah persegi ABCD. Mengulangi operasi ini dengan bidang, kita memperoleh kubus tiga dimensi ABCDHEFG. Dan dengan menggeser kubus pada dimensi keempat (tegak lurus terhadap tiga dimensi pertama) sejauh L, kita mendapatkan hypercube ABCDEFGHIJKLMNOP.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Construction_tesseract.PNG
Segmen satu dimensi AB berfungsi sebagai sisi persegi dua dimensi ABCD, persegi - sebagai sisi kubus ABCDHEFG, yang selanjutnya akan menjadi sisi hypercube empat dimensi. Ruas garis lurus mempunyai dua titik batas, persegi mempunyai empat titik sudut, dan kubus mempunyai delapan titik batas. Dalam hypercube empat dimensi, akan ada 16 simpul: 8 simpul dari kubus asal dan 8 simpul yang digeser pada dimensi keempat. Ia memiliki 32 sisi - 12 masing-masing memberikan posisi awal dan akhir kubus asli, dan 8 sisi lainnya "menggambar" delapan simpulnya, yang telah berpindah ke dimensi keempat. Alasan yang sama dapat dilakukan untuk wajah hypercube. Dalam ruang dua dimensi hanya ada satu (persegi itu sendiri), sebuah kubus memiliki 6 buah (dua sisi dari persegi yang dipindahkan dan empat lagi yang menggambarkan sisi-sisinya). Hypercube empat dimensi memiliki 24 sisi persegi - 12 kotak kubus asli di dua posisi dan 12 kotak dari dua belas tepinya.
Dengan cara yang sama, kita dapat melanjutkan penalaran kita tentang hypercube dengan jumlah dimensi yang lebih besar, namun jauh lebih menarik untuk melihat bagaimana hypercube empat dimensi akan terlihat bagi kita, penghuni ruang tiga dimensi. Untuk ini kita akan menggunakan metode analogi yang sudah dikenal.
Tesseract membuka bungkusnya
Mari kita ambil kubus kawat ABCDHEFG dan melihatnya dengan satu mata dari sisi tepinya. Kita akan melihat dan dapat menggambar dua kotak pada bidang (tepi dekat dan jauhnya), dihubungkan oleh empat garis - tepi samping. Demikian pula, hypercube empat dimensi dalam ruang tiga dimensi akan terlihat seperti dua “kotak” kubik yang disisipkan satu sama lain dan dihubungkan oleh delapan sisi. Dalam hal ini, "kotak" itu sendiri - wajah tiga dimensi - akan diproyeksikan ke ruang "kita", dan garis yang menghubungkannya akan meregang di dimensi keempat. Anda juga dapat mencoba membayangkan kubus bukan dalam proyeksi, tetapi dalam gambar spasial.
Sama seperti kubus tiga dimensi yang dibentuk oleh persegi yang digeser panjang sisinya, kubus yang digeser ke dimensi keempat akan membentuk hiperkubus. Itu dibatasi oleh delapan kubus, yang dalam perspektif akan terlihat seperti sosok yang agak rumit. Bagian yang tersisa di ruang “kita” digambar dengan garis padat, dan bagian yang masuk ke dalam hyperspace digambar dengan garis putus-putus. Hypercube empat dimensi itu sendiri terdiri dari kubus yang jumlahnya tak terhingga, sama seperti kubus tiga dimensi yang dapat “dipotong” menjadi kotak datar yang jumlahnya tak terhingga.
Dengan memotong enam sisi kubus tiga dimensi, Anda dapat menguraikannya menjadi bangun datar - sebuah pengembangan. Ini akan memiliki persegi di setiap sisi wajah aslinya, ditambah satu lagi - wajah yang berlawanan dengannya. Dan pengembangan tiga dimensi dari hypercube empat dimensi akan terdiri dari kubus asli, enam kubus yang “tumbuh” darinya, ditambah satu lagi - “hyperface” terakhir.
Sifat-sifat tesseract merupakan kelanjutan dari sifat-sifat bangun geometri berdimensi lebih rendah ke dalam ruang empat dimensi.
Proyeksi
Ke ruang dua dimensi
Struktur ini sulit untuk dibayangkan, tetapi Tesseract dapat diproyeksikan ke dalam ruang dua dimensi atau tiga dimensi. Selain itu, memproyeksikan ke bidang memudahkan untuk memahami lokasi simpul hypercube. Dengan cara ini, dimungkinkan untuk memperoleh gambar yang tidak lagi mencerminkan hubungan spasial dalam tesseract, tetapi menggambarkan struktur koneksi titik, seperti pada contoh berikut:
Ke ruang tiga dimensi
Proyeksi tesseract ke ruang tiga dimensi terdiri dari dua kubus tiga dimensi yang bersarang, simpul-simpul yang bersesuaian dihubungkan oleh segmen. Kubus dalam dan kubus luar mempunyai ukuran yang berbeda dalam ruang tiga dimensi, tetapi dalam ruang empat dimensi keduanya adalah kubus yang sama besar. Untuk memahami kesetaraan semua kubus Tesseract, model Tesseract yang berputar telah dibuat.
Enam piramida terpotong di sepanjang tepi tesseract adalah gambar enam kubus yang sama besarnya.
Pasangan stereo
Sepasang stereo tesseract digambarkan sebagai dua proyeksi ke ruang tiga dimensi. Gambar Tesseract ini dirancang untuk mewakili kedalaman sebagai dimensi keempat. Pasangan stereo dilihat sehingga setiap mata hanya melihat satu dari gambar-gambar ini, gambar stereoskopis muncul yang mereproduksi kedalaman tesseract.
Tesseract membuka bungkusnya
Permukaan tesseract dapat dibentangkan menjadi delapan kubus (mirip dengan bagaimana permukaan kubus dapat dibentangkan menjadi enam kotak). Ada 261 desain Tesseract yang berbeda. Pembukaan tesseract dapat dihitung dengan memplot sudut-sudut yang terhubung pada grafik.
Tesseract dalam seni
Dalam "New Abbott Plain" karya Edwina A., hypercube bertindak sebagai narator.
Dalam salah satu episode Petualangan Jimmy Neutron: "Boy Genius", Jimmy menciptakan hypercube empat dimensi yang identik dengan kotak lipat dari novel Glory Road karya Heinlein tahun 1963.
Robert E. Heinlein telah menyebutkan hypercubes setidaknya dalam tiga cerita fiksi ilmiah. Dalam Rumah Empat Dimensi (Rumah yang Dibangun Teal) (1940), ia menggambarkan sebuah rumah yang dibangun seperti tesseract yang tidak terbungkus.
Novel Glory Road karya Heinlein menggambarkan hidangan berukuran sangat besar yang bagian dalamnya lebih besar daripada bagian luarnya.
Kisah Henry Kuttner "Mimsy Were the Borogoves" menggambarkan mainan edukatif untuk anak-anak dari masa depan yang jauh, strukturnya mirip dengan tesseract.
Dalam novel karya Alex Garland (1999), istilah "tesseract" digunakan untuk pengembangan tiga dimensi dari hypercube empat dimensi, bukan hypercube itu sendiri. Ini adalah metafora yang dirancang untuk menunjukkan bahwa sistem kognitif harus lebih luas dari apa yang dapat diketahui.
Plot Cube 2: Hypercube berpusat pada delapan orang asing yang terperangkap dalam "hypercube", atau jaringan kubus yang terhubung.
Serial televisi Andromeda menggunakan generator tesseract sebagai perangkat plot. Mereka terutama dirancang untuk memanipulasi ruang dan waktu.
Lukisan “Penyaliban” (Corpus Hypercubus) oleh Salvador Dali (1954)
Buku komik Nextwave menggambarkan sebuah kendaraan yang mencakup 5 zona tesseract.
Di album Voivod Nothingface salah satu komposisinya berjudul "In my hypercube".
Dalam novel Route Cube karya Anthony Pearce, salah satu bulan yang mengorbit Asosiasi Pembangunan Internasional disebut tesseract yang telah dikompresi menjadi 3 dimensi.
Pada serial “Black Hole School” musim ketiga terdapat episode “Tesseract”. Lucas menekan tombol rahasia dan sekolah mulai berbentuk seperti tesseract matematika.
Istilah “tesseract” dan istilah turunannya “tesserate” ditemukan dalam cerita “A Wrinkle in Time” karya Madeleine L’Engle.
Doktrin ruang multidimensi mulai muncul pada pertengahan abad ke-19. Ide ruang empat dimensi dipinjam dari para ilmuwan oleh penulis fiksi ilmiah. Dalam karyanya, mereka menceritakan kepada dunia tentang keajaiban menakjubkan dari dimensi keempat.
Para pahlawan karyanya, dengan memanfaatkan sifat ruang empat dimensi, dapat memakan isi telur tanpa merusak cangkangnya, dan meminum minuman tanpa membuka tutup botol. Para pencuri mengambil harta karun dari brankas melalui dimensi keempat. Ahli bedah melakukan operasi pada organ dalam tanpa memotong jaringan tubuh pasien.
Tesseract
Dalam geometri, hiperkubus adalah analogi berdimensi n dari persegi (n = 2) dan kubus (n = 3). Analog empat dimensi dari kubus 3 dimensi biasa kita dikenal sebagai tesseract. Tesseractnya terhadap kubus seperti halnya kubus terhadap persegi. Secara lebih formal, tesseract dapat digambarkan sebagai polihedron empat dimensi cembung beraturan yang batasnya terdiri dari delapan sel kubik.
Setiap pasang wajah 3D yang tidak sejajar berpotongan membentuk wajah 2D (persegi), dan seterusnya. Terakhir, tesseract memiliki 8 permukaan 3D, 24 permukaan 2D, 32 tepi, dan 16 simpul.
Ngomong-ngomong, menurut Kamus Oxford, kata tesseract diciptakan dan digunakan pada tahun 1888 oleh Charles Howard Hinton (1853-1907) dalam bukunya A New Age of Thought. Belakangan, beberapa orang menyebut gambar yang sama sebagai tetracube (Yunani tetra - empat) - kubus empat dimensi.
Konstruksi dan deskripsi
Mari kita coba bayangkan seperti apa bentuk hypercube tanpa meninggalkan ruang tiga dimensi.
Dalam "ruang" satu dimensi - pada sebuah garis - kita memilih segmen AB dengan panjang L. Pada bidang dua dimensi pada jarak L dari AB, kita menggambar segmen DC sejajar dengannya dan menghubungkan ujung-ujungnya. Hasilnya adalah CDBA persegi. Mengulangi operasi ini dengan bidang, kita memperoleh CDBAGHFE kubus tiga dimensi. Dan dengan menggeser kubus pada dimensi keempat (tegak lurus terhadap tiga dimensi pertama) sejauh L, kita mendapatkan hypercube CDBAGHFEKLJIOPNM.
Dengan cara yang sama, kita dapat melanjutkan penalaran kita tentang hypercube dengan jumlah dimensi yang lebih besar, namun jauh lebih menarik untuk melihat bagaimana hypercube empat dimensi akan terlihat bagi kita, penghuni ruang tiga dimensi.
Mari kita ambil kubus kawat ABCDHEFG dan melihatnya dengan satu mata dari sisi tepinya. Kita akan melihat dan dapat menggambar dua kotak pada bidang (tepi dekat dan jauhnya), dihubungkan oleh empat garis - tepi samping. Demikian pula, hypercube empat dimensi dalam ruang tiga dimensi akan terlihat seperti dua “kotak” kubik yang disisipkan satu sama lain dan dihubungkan oleh delapan sisi. Dalam hal ini, "kotak" itu sendiri - wajah tiga dimensi - akan diproyeksikan ke ruang "kita", dan garis yang menghubungkannya akan meregang ke arah sumbu keempat. Anda juga dapat mencoba membayangkan kubus bukan dalam proyeksi, tetapi dalam gambar spasial.
Sama seperti kubus tiga dimensi yang dibentuk oleh persegi yang digeser panjang sisinya, kubus yang digeser ke dimensi keempat akan membentuk hiperkubus. Itu dibatasi oleh delapan kubus, yang dalam perspektif akan terlihat seperti sosok yang agak rumit. Hypercube empat dimensi itu sendiri dapat dibagi menjadi kubus yang jumlahnya tak terhingga, sama seperti kubus tiga dimensi yang dapat “dipotong” menjadi kotak datar yang jumlahnya tak terhingga.
Dengan memotong enam sisi kubus tiga dimensi, Anda dapat menguraikannya menjadi bangun datar - sebuah pengembangan. Ini akan memiliki persegi di setiap sisi wajah aslinya ditambah satu lagi - wajah yang berlawanan dengannya. Dan pengembangan tiga dimensi dari hypercube empat dimensi akan terdiri dari kubus asli, enam kubus yang “tumbuh” darinya, ditambah satu lagi - “hyperface” terakhir.
Hypercube dalam seni
Tesseract adalah sosok yang sangat menarik sehingga berulang kali menarik perhatian para penulis dan pembuat film.
Robert E. Heinlein menyebutkan hypercubes beberapa kali. Dalam The House That Teal Built (1940), ia menggambarkan sebuah rumah yang dibangun sebagai tesseract yang tidak terbungkus dan kemudian, akibat gempa bumi, "dilipat" dalam dimensi keempat menjadi tesseract yang "nyata". Novel Glory Road karya Heinlein menggambarkan sebuah kotak berukuran sangat besar yang bagian dalamnya lebih besar daripada bagian luarnya.
Kisah Henry Kuttner "All Tenali Borogov" menggambarkan mainan edukatif untuk anak-anak dari masa depan yang jauh, strukturnya mirip dengan tesseract.
Plot Cube 2: Hypercube berpusat pada delapan orang asing yang terperangkap dalam "hypercube", atau jaringan kubus yang terhubung.
Dunia paralel
Abstraksi matematika memunculkan gagasan tentang keberadaan dunia paralel. Hal ini dipahami sebagai realitas yang ada bersamaan dengan realitas kita, namun independen dari realitas tersebut. Dunia paralel dapat memiliki ukuran yang berbeda-beda: dari wilayah geografis yang kecil hingga seluruh alam semesta. Di dunia paralel, peristiwa terjadi dengan caranya sendiri; mungkin berbeda dari dunia kita, baik dalam detail individu maupun dalam hampir semua hal. Terlebih lagi, hukum fisika dunia paralel belum tentu sama dengan hukum alam semesta kita.
Topik ini merupakan lahan subur bagi para penulis fiksi ilmiah.
Lukisan Salvador Dali "Penyaliban" menggambarkan sebuah tesseract. “Penyaliban atau Tubuh Hiperkubik” adalah lukisan karya seniman Spanyol Salvador Dali, yang dilukis pada tahun 1954. Menggambarkan Yesus Kristus yang disalibkan pada pemindaian tesseract. Lukisan itu disimpan di Metropolitan Museum of Art di New York
Semuanya dimulai pada tahun 1895, ketika H.G. Wells, dengan ceritanya “The Door in the Wall,” menemukan keberadaan dunia paralel untuk fiksi ilmiah. Pada tahun 1923, Wells kembali ke gagasan dunia paralel dan menempatkan di salah satunya sebuah negara utopis tempat karakter dalam novel Men Like Gods pergi.
Novel ini tidak luput dari perhatian. Pada tahun 1926, cerita G. Dent “Kaisar Negara “Jika”” muncul untuk pertama kalinya dalam cerita Dent, muncul gagasan bahwa mungkin ada negara (dunia) yang sejarahnya bisa berbeda dari sejarah negara sebenarnya. di dunia kita. Dan dunia ini tidak kalah nyatanya dengan dunia kita.
Pada tahun 1944, Jorge Luis Borges menerbitkan cerita “The Garden of Forking Paths” dalam bukunya Fictional Stories. Di sini gagasan percabangan waktu akhirnya diungkapkan dengan sangat jelas.
Terlepas dari kemunculan karya-karya yang tercantum di atas, gagasan tentang banyak dunia mulai berkembang secara serius dalam fiksi ilmiah hanya pada akhir empat puluhan abad ke-20, kira-kira pada saat yang sama ketika gagasan serupa muncul dalam fisika.
Salah satu pelopor arah baru dalam fiksi ilmiah adalah John Bixby, yang mengemukakan dalam cerita “One Way Street” (1954) bahwa antar dunia Anda hanya dapat bergerak dalam satu arah - begitu Anda berpindah dari dunia Anda ke dunia paralel, Anda tidak akan kembali, tetapi Anda akan berpindah dari satu dunia ke dunia berikutnya. Namun, kembali ke dunianya sendiri juga tidak dikecualikan - untuk ini sistem dunia perlu ditutup.
Novel Clifford Simak, A Ring Around the Sun (1982) menggambarkan banyak planet di Bumi, masing-masing ada di dunianya sendiri, tetapi dalam orbit yang sama, dan dunia-dunia ini serta planet-planet ini berbeda satu sama lain hanya dengan sedikit pergeseran waktu (mikrodetik). Banyaknya Bumi yang dikunjungi oleh pahlawan novel ini membentuk satu sistem dunia.
Alfred Bester mengungkapkan pandangan menarik tentang percabangan dunia dalam ceritanya “The Man Who Killed Mohammed” (1958). “Dengan mengubah masa lalu,” sang pahlawan dalam cerita tersebut berpendapat, “Anda hanya mengubahnya untuk diri Anda sendiri.” Dengan kata lain, setelah terjadi perubahan di masa lalu, timbullah suatu cabang sejarah yang di dalamnya hanya bagi tokoh yang melakukan perubahan itulah perubahan itu ada.
Kisah Strugatsky bersaudara “Monday Begins on Saturday” (1962) menggambarkan perjalanan karakter ke berbagai versi masa depan yang dijelaskan oleh penulis fiksi ilmiah - berbeda dengan perjalanan ke berbagai versi masa lalu yang sudah ada dalam fiksi ilmiah.
Namun, bahkan membuat daftar sederhana semua karya yang menyentuh tema dunia paralel akan memakan banyak waktu. Dan meskipun penulis fiksi ilmiah, pada umumnya, tidak secara ilmiah mendukung postulat multidimensi, mereka benar tentang satu hal - ini adalah hipotesis yang berhak untuk ada.
Dimensi keempat Tesseract masih menunggu untuk kita kunjungi.
Victor Savinov
Mari kita mulai dengan menjelaskan apa itu ruang empat dimensi.
Ini adalah ruang satu dimensi, yaitu sumbu OX. Setiap titik di atasnya dicirikan oleh satu koordinat.
Sekarang mari kita menggambar sumbu OY tegak lurus terhadap sumbu OX. Jadi kita mendapatkan ruang dua dimensi, yaitu bidang XOY. Setiap titik di atasnya dicirikan oleh dua koordinat - absis dan ordinat.
Mari kita menggambar sumbu OZ tegak lurus terhadap sumbu OX dan OY. Hasilnya adalah ruang tiga dimensi di mana setiap titik memiliki absis, ordinat, dan aplikasi.
Adalah logis bahwa sumbu keempat, OQ, harus tegak lurus terhadap sumbu OX, OY dan OZ secara bersamaan. Namun kita tidak dapat secara akurat membangun sumbu seperti itu, dan oleh karena itu kita hanya dapat mencoba membayangkannya. Setiap titik dalam ruang empat dimensi memiliki empat koordinat: x, y, z dan q.
Sekarang mari kita lihat bagaimana kubus empat dimensi muncul.
Gambar menunjukkan gambar dalam ruang satu dimensi - sebuah garis.
Jika Anda membuat translasi paralel dari garis ini sepanjang sumbu OY, dan kemudian menghubungkan ujung-ujung yang sesuai dari dua garis yang dihasilkan, Anda akan mendapatkan sebuah persegi.
Demikian pula, jika Anda membuat translasi paralel persegi sepanjang sumbu OZ dan menghubungkan simpul-simpul yang bersesuaian, Anda akan mendapatkan sebuah kubus.
Dan jika kita membuat translasi paralel kubus sepanjang sumbu OQ dan menghubungkan titik sudut kedua kubus tersebut, maka kita akan mendapatkan kubus empat dimensi. Ngomong-ngomong, itu namanya tesseract.
Untuk menggambar kubus di pesawat, Anda memerlukannya proyek. Secara visual terlihat seperti ini: 
Bayangkan benda itu tergantung di udara di atas permukaan model rangka gambar kubus, seolah-olah “terbuat dari kawat”, dan di atasnya ada bola lampu. Jika Anda menyalakan bola lampu, menelusuri bayangan kubus dengan pensil, lalu mematikan bola lampu, proyeksi kubus akan tergambar di permukaan.
Mari beralih ke sesuatu yang sedikit lebih kompleks. Lihat lagi gambar bola lampu: seperti yang Anda lihat, semua sinar berkumpul di satu titik. Itu disebut titik hilang dan digunakan untuk membangun proyeksi perspektif(dan juga terjadi paralel, ketika semua sinar sejajar satu sama lain. Hasilnya tidak tercipta sensasi volume, tetapi lebih ringan, apalagi jika titik hilang cukup jauh dari objek yang diproyeksikan, maka perbedaan antara kedua proyeksi ini sedikit terlihat). Untuk memproyeksikan suatu titik tertentu ke bidang tertentu menggunakan titik hilang, Anda perlu menggambar garis lurus yang melalui titik hilang dan titik tertentu, lalu mencari titik potong garis lurus yang dihasilkan dan bidang tersebut. Dan untuk memproyeksikan gambar yang lebih kompleks, katakanlah, sebuah kubus, Anda perlu memproyeksikan setiap simpulnya, dan kemudian menghubungkan titik-titik yang bersesuaian. Perlu dicatat bahwa algoritma untuk memproyeksikan ruang ke subruang dapat digeneralisasikan ke kasus 4D->3D, bukan hanya 3D->2D.
Seperti yang saya katakan, kita tidak dapat membayangkan secara pasti seperti apa sumbu OQ, seperti halnya Tesseract. Namun gambarannya terbatas jika kita memproyeksikannya ke dalam volume dan kemudian menggambarnya di layar komputer!
Sekarang mari kita bicara tentang proyeksi Tesseract.
Di sebelah kiri adalah proyeksi kubus ke bidang, dan di sebelah kanan adalah tesseract ke volume. Mereka sangat mirip: proyeksi sebuah kubus terlihat seperti dua kotak, kecil dan besar, satu di dalam yang lain, dan titik-titik yang bersesuaian dihubungkan oleh garis. Dan proyeksi tesseract tampak seperti dua kubus, kecil dan besar, satu di dalam yang lain, dan simpul-simpul yang bersesuaian saling terhubung. Namun kita semua pernah melihat kubus, dan kita dapat mengatakan dengan yakin bahwa persegi kecil dan persegi besar, serta keempat trapesium di atas, bawah, kanan dan kiri persegi kecil, sebenarnya adalah persegi, dan keduanya sama besar. . Dan tesseract memiliki hal yang sama. Dan sebuah kubus besar, dan sebuah kubus kecil, dan enam piramida terpotong di sisi-sisi kubus kecil - semuanya adalah kubus, dan keduanya sama besar.
Program saya tidak hanya dapat menggambar proyeksi tesseract ke suatu volume, tetapi juga memutarnya. Mari kita lihat bagaimana hal ini dilakukan.
Pertama, saya akan memberi tahu Anda apa itu putaran sejajar bidang.
Bayangkan kubus berputar mengelilingi sumbu OZ. Kemudian masing-masing simpulnya menggambarkan lingkaran di sekitar sumbu OZ. 
Lingkaran adalah bangun datar. Dan bidang-bidang dari masing-masing lingkaran ini sejajar satu sama lain, dan dalam hal ini sejajar dengan bidang XOY. Artinya, kita tidak hanya berbicara tentang rotasi pada sumbu OZ, tetapi juga tentang rotasi sejajar bidang XOY. Seperti yang kita lihat, untuk titik-titik yang berputar sejajar sumbu XOY, hanya absis dan ordinat yang berubah, sedangkan penerapannya tetap. tidak berubah. Dan sebenarnya, kita hanya dapat membicarakan rotasi pada garis lurus jika kita berhadapan dengan ruang tiga dimensi. Dalam ruang dua dimensi segala sesuatu berputar mengelilingi suatu titik, dalam ruang empat dimensi segala sesuatu berputar mengelilingi suatu bidang, dalam ruang lima dimensi kita berbicara tentang rotasi pada suatu volume. Dan jika kita dapat membayangkan rotasi pada suatu titik, maka rotasi pada bidang dan volume adalah sesuatu yang tidak terpikirkan. Dan jika kita berbicara tentang rotasi sejajar bidang, maka dalam ruang berdimensi n mana pun suatu titik dapat berputar sejajar bidang.
Banyak dari Anda mungkin pernah mendengar tentang matriks rotasi. Mengalikan titik dengan itu, kita mendapatkan sebuah titik yang diputar sejajar dengan bidang dengan sudut phi. Untuk ruang dua dimensi tampilannya seperti ini: 
Cara mengalikan: x suatu titik yang diputar oleh sudut phi = kosinus sudut phi*ix titik asal dikurangi sinus sudut phi*ig titik asal;
ig suatu titik yang diputar membentuk sudut phi = sinus sudut phi * ix titik asal ditambah kosinus sudut phi * ig titik asal.
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ya
Ya`=sinф*Xa + cosф*Ya
, dimana Xa dan Ya adalah absis dan ordinat dari titik yang akan diputar, Xa` dan Ya` adalah absis dan ordinat dari titik yang sudah diputar.
Untuk ruang tiga dimensi, matriks ini digeneralisasikan sebagai berikut: 
Rotasi sejajar bidang XOY. Seperti yang Anda lihat, koordinat Z tidak berubah, hanya X dan Y yang berubah
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ya + Za*0
Ya`=sinф*Xa +cosф*Ya + Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (intinya, Za`=Za)
Rotasi sejajar dengan bidang XOZ. Tidak ada yang baru,
Xa`=cosф*Xa + Ya*0 - sinф*Za
Ya`=Xa*0 + Ya*1 + Za*0 (intinya, Ya`=Ya)
Za`=sinф*Xa + Ya*0 + cosф*Za
Dan matriks ketiga.
Xa`=Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (intinya, Xa`=Xa)
Ya`=Xa*0 + cosф*Ya - sinф*Za
Za`=Xa*0 + sinф*Ya + cosф*Za
Dan untuk dimensi keempat terlihat seperti ini: 
Saya rasa Anda sudah paham harus mengalikan dengan apa, jadi saya tidak akan membahasnya secara detail lagi. Namun saya perhatikan bahwa ia melakukan hal yang sama seperti matriks untuk rotasi sejajar dengan bidang dalam ruang tiga dimensi! Keduanya hanya mengubah ordinat dan aplikasinya saja, dan tidak menyentuh koordinat lainnya, sehingga dapat digunakan dalam kasus tiga dimensi, cukup dengan tidak memperhatikan koordinat keempat.
Namun dengan rumus proyeksi, tidak semuanya sesederhana itu. Tidak peduli berapa banyak forum yang saya baca, tidak ada metode proyeksi yang berhasil untuk saya. Yang paralel tidak cocok untuk saya, karena proyeksinya tidak terlihat tiga dimensi. Dalam beberapa rumus proyeksi, untuk menemukan suatu titik, Anda perlu menyelesaikan sistem persamaan (dan saya tidak tahu cara mengajari komputer untuk menyelesaikannya), yang lain saya tidak mengerti... Secara umum, saya memutuskan untuk datang dengan caraku sendiri. Untuk tujuan ini, pertimbangkan proyeksi 2D->1D.
pov berarti "Sudut pandang", ptp berarti "Titik ke proyek" (titik yang akan diproyeksikan), dan ptp` adalah titik yang diinginkan pada sumbu OX.
Sudut povptpB dan ptpptp`A sama besar (garis putus-putus sejajar sumbu OX, garis lurus povptp adalah garis potong).
X titik ptp` sama dengan x titik ptp dikurangi panjang ruas ptp`A. Ruas ini dapat dicari dari segitiga ptpptp`A: ptp`A = ptpA/tangen sudut ptpptp`A. Kita dapat mencari garis singgung ini dari segitiga povptpB: tangen ptpptp`A = (Ypov-Yptp)(Xpov-Xptp).
Jawaban: Xptp`=Xptp-Yptp/tangen sudut ptpptp`A.
Saya tidak menjelaskan algoritma ini secara rinci di sini, karena ada banyak kasus khusus ketika rumusnya agak berubah. Jika ada yang tertarik, lihat kode sumber programnya, semuanya dijelaskan di komentar.
Untuk memproyeksikan suatu titik dalam ruang tiga dimensi ke sebuah bidang, kita cukup mempertimbangkan dua bidang - XOZ dan YOZ, dan menyelesaikan masalah ini untuk masing-masing bidang tersebut. Dalam kasus ruang empat dimensi, tiga bidang perlu dipertimbangkan: XOQ, YOQ dan ZOQ.
Dan terakhir, tentang programnya. Cara kerjanya seperti ini: inisialisasi enam belas simpul tesseract -> tergantung pada perintah yang dimasukkan oleh pengguna, putar -> proyeksikan ke volume -> tergantung pada perintah yang dimasukkan oleh pengguna, putar proyeksinya -> proyeksikan ke pesawat -> menggambar.
Saya sendiri yang menulis proyeksi dan rotasinya. Mereka bekerja sesuai dengan rumus yang baru saja saya jelaskan. Pustaka OpenGL menggambar garis dan juga menangani pencampuran warna. Dan koordinat simpul Tesseract dihitung dengan cara ini:
Koordinat titik-titik suatu garis yang berpusat di titik asal dan panjang 2 - (1) dan (-1);
- " - " - persegi - " - " - dan dengan panjang rusuk 2:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) dan (-1; -1);
- " - " - kubus - " - " -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
Seperti yang Anda lihat, persegi adalah satu garis di atas sumbu OY dan satu garis di bawah sumbu OY; sebuah kubus terletak satu persegi di depan bidang XOY, dan satu lagi di belakangnya; Tesseract adalah satu kubus di sisi lain volume XOYZ, dan satu lagi di sisi ini. Tetapi akan lebih mudah untuk melihat pergantian satu dan minus ini jika ditulis dalam kolom
1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1
Di kolom pertama, satu dan minus satu bergantian. Di kolom kedua, pertama ada dua plus, lalu dua minus. Yang ketiga - empat plus satu, dan kemudian empat minus. Ini adalah simpul kubus. Tesseract memilikinya dua kali lebih banyak, dan oleh karena itu perlu menulis loop untuk mendeklarasikannya, jika tidak maka akan sangat mudah untuk menjadi bingung.
Program saya juga bisa menggambar anaglyph. Pemilik kacamata 3D yang bahagia dapat mengamati gambar stereoskopis. Tidak ada yang rumit dalam menggambar; Anda cukup menggambar dua proyeksi pada bidang, untuk mata kanan dan kiri. Namun program ini menjadi jauh lebih visual dan menarik, dan yang terpenting, memberikan gambaran yang lebih baik tentang dunia empat dimensi.
Fungsi yang kurang signifikan adalah penerangan salah satu tepinya dengan warna merah sehingga belokan dapat terlihat lebih baik, serta kemudahan kecil - pengaturan koordinat titik "mata", menambah dan mengurangi kecepatan belok.
Arsipkan dengan program, kode sumber, dan petunjuk penggunaan.
