Dua sudut disebut berdekatan jika kedua sudut tersebut mempunyai satu sisi yang sama, dan sisi-sisi yang lain dari sudut-sudut tersebut merupakan sinar-sinar yang saling berkomplementer. Pada Gambar 20, sudut AOB dan BOC berdekatan.
Jumlah sudut-sudut yang berdekatan adalah 180°
Teorema 1. Jumlah sudut-sudut yang berdekatan adalah 180°.
Bukti. Balok OB (lihat Gambar 1) melewati antara sisi-sisi sudut yang tidak dilipat. Itu sebabnya ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.
Dari Teorema 1 dapat disimpulkan bahwa jika dua sudut sama besar, maka sudut-sudut yang berdekatan juga sama besar.
Sudut vertikal sama besar
Dua sudut disebut vertikal jika sisi-sisi sudut yang satu merupakan sinar-sinar yang saling melengkapi dari sisi-sisi sudut yang lain. Sudut AOB dan COD, BOD dan AOC yang terbentuk pada perpotongan dua garis lurus adalah vertikal (Gbr. 2).
Teorema 2. Sudut vertikal sama besar.
Bukti. Mari kita perhatikan sudut vertikal AOB dan COD (lihat Gambar 2). Sudut BOD berdekatan dengan masing-masing sudut AOB dan COD. Berdasarkan Teorema 1 ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.
Dari sini kita menyimpulkan bahwa ∠ AOB = ∠ COD.
Akibat wajar 1. Sudut yang berdekatan dengan sudut siku-siku adalah sudut siku-siku.
Perhatikan dua garis lurus AC dan BD yang berpotongan (Gbr. 3). Mereka membentuk empat sudut. Jika salah satunya lurus (sudut 1 pada Gambar 3), maka sudut-sudut lainnya juga siku-siku (sudut 1 dan 2, 1 dan 4 berdekatan, sudut 1 dan 3 vertikal). Dalam hal ini dikatakan bahwa garis-garis tersebut berpotongan tegak lurus dan disebut tegak lurus (atau saling tegak lurus). Garis tegak lurus AC dan BD dinotasikan sebagai berikut: AC ⊥ BD.
Garis bagi yang tegak lurus suatu ruas adalah garis yang tegak lurus ruas tersebut dan melalui titik tengahnya.
AN - tegak lurus terhadap garis
Mari kita perhatikan garis lurus a dan titik A yang tidak terletak padanya (Gbr. 4). Mari kita hubungkan titik A dengan sebuah ruas ke titik H dengan garis lurus a. Ruas AN disebut tegak lurus yang ditarik dari titik A ke garis a jika garis AN dan a tegak lurus. Titik H disebut alas tegak lurus.
Menggambar persegi
Teorema berikut ini benar.
Teorema 3. Dari titik mana pun yang tidak terletak pada suatu garis, dimungkinkan untuk menggambar garis tegak lurus terhadap garis ini, dan terlebih lagi, hanya satu.
Untuk menggambar garis tegak lurus dari suatu titik ke garis lurus dalam sebuah gambar, gunakan gambar persegi (Gbr. 5).
Komentar. Rumusan teorema biasanya terdiri dari dua bagian. Satu bagian berbicara tentang apa yang diberikan. Bagian ini disebut kondisi teorema. Bagian lainnya berbicara tentang apa yang perlu dibuktikan. Bagian ini disebut kesimpulan teorema. Misalnya, syarat Teorema 2 adalah sudutnya vertikal; kesimpulannya - sudut-sudut ini sama besar.
Teorema apa pun dapat diungkapkan secara rinci dengan kata-kata sehingga syaratnya diawali dengan kata “jika” dan kesimpulannya dengan kata “maka”. Misalnya, Teorema 2 dapat dinyatakan secara rinci sebagai berikut: “Jika dua sudut tegak lurus, maka keduanya sama besar.”
Contoh 1. Salah satu sudut yang berdekatan adalah 44°. Apa yang setara dengan yang lain?
Larutan.
Mari kita nyatakan besar derajat sudut lain dengan x, maka menurut Teorema 1.
44° + x = 180°.
Memecahkan persamaan yang dihasilkan, kita menemukan bahwa x = 136°. Jadi, sudut lainnya adalah 136°.
Contoh 2. Misalkan sudut COD pada Gambar 21 adalah 45°. Berapakah sudut AOB dan AOC?
Larutan.
Sudut COD dan AOB adalah vertikal, oleh karena itu menurut Teorema 1.2 sama besar, yaitu ∠ AOB = 45°. Sudut AOC berdekatan dengan sudut COD yang artinya menurut Teorema 1.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.
Contoh 3. Temukan sudut yang berdekatan jika salah satunya 3 kali lebih besar dari yang lain.
Larutan.
Mari kita nyatakan besar derajat sudut yang lebih kecil dengan x. Maka besar derajat sudut yang lebih besar adalah 3x. Karena jumlah sudut-sudut yang berdekatan sama dengan 180° (Teorema 1), maka x + 3x = 180°, maka x = 45°.
Artinya sudut-sudut yang berdekatan adalah 45° dan 135°.
Contoh 4. Jumlah dua sudut vertikal adalah 100°. Temukan ukuran masing-masing dari empat sudut.
Larutan.
Misalkan Gambar 2 memenuhi kondisi soal. Sudut vertikal COD ke AOB adalah sama (Teorema 2), yang berarti besar derajatnya juga sama. Jadi, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (jumlahnya menurut syarat adalah 100°). Sudut BOD (juga sudut AOC) berdekatan dengan sudut COD, dan oleh karena itu, menurut Teorema 1
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.
BAB I.
KONSEP DASAR.
§sebelas. SUDUT BERDEKATAN DAN VERTIKAL.
1. Sudut-sudut yang berdekatan.
Jika kita memanjangkan sisi suatu sudut melampaui titik sudutnya, kita mendapatkan dua sudut (Gbr. 72): / Dan matahari dan / SVD, yang satu sisi BC bersekutu, dan dua sisi lainnya A dan BD membentuk garis lurus.
Dua sudut yang salah satu sisinya bersekutu dan dua sisi lainnya membentuk garis lurus disebut sudut berdekatan.
Sudut-sudut yang berdekatan juga dapat diperoleh dengan cara ini: jika kita menggambar sinar dari suatu titik pada suatu garis (tidak terletak pada suatu garis tertentu), kita akan memperoleh sudut-sudut yang berdekatan.
Misalnya, /
ADF dan /
FDВ - sudut yang berdekatan (Gbr. 73).
Sudut yang berdekatan dapat memiliki berbagai macam posisi (Gbr. 74).
Sudut-sudut yang berdekatan dijumlahkan menjadi sudut lurus, jadi umma dua sudut yang berdekatan sama besar 2D.
Oleh karena itu, sudut siku-siku dapat didefinisikan sebagai sudut yang sama dengan sudut yang berdekatan.
Dengan mengetahui besar salah satu sudut yang berdekatan, kita dapat mengetahui besar sudut lain yang berdekatan dengannya.
Misal salah satu sudut yang berdekatan adalah 3/5 D, maka sudut kedua akan sama dengan:
2D- 3 / 5 D= aku 2 / 5 D.
2. Sudut vertikal.
Jika kita memanjangkan sisi-sisi sudut melewati titik sudutnya, kita mendapatkan sudut vertikal. Pada gambar 75, sudut EOF dan AOC adalah vertikal; sudut AOE dan COF juga vertikal.
Dua sudut disebut vertikal jika sisi-sisi sudut yang satu merupakan kelanjutan dari sisi-sisi sudut yang lain.
Membiarkan / 1 = 7 / 8 D(Gambar 76). Berdekatan dengannya / 2 akan sama dengan 2 D- 7 / 8 D, yaitu 1 1/8 D.
Dengan cara yang sama Anda dapat menghitung persamaannya /
3 dan /
4.
/
3 = 2D - 1 1 / 8 D = 7 / 8 D; /
4 = 2D - 7 / 8 D = 1 1 / 8 D(Diagram 77).
Kami melihatnya / 1 = / 3 dan / 2 = / 4.
Anda dapat menyelesaikan beberapa soal yang sama lagi, dan setiap kali Anda mendapatkan hasil yang sama: sudut vertikalnya sama besar.
Namun, untuk memastikan bahwa sudut vertikal selalu sama besar, tidak cukup hanya dengan mempertimbangkan contoh numerik satu per satu, karena kesimpulan yang diambil dari contoh tertentu terkadang bisa salah.
Keabsahan sifat-sifat sudut vertikal perlu dibuktikan dengan penalaran, pembuktian.
Pembuktiannya dapat dilakukan sebagai berikut (Gbr. 78):
/
sebuah+/
C = 2D;
/
b+/
C = 2D;
(karena jumlah sudut yang berdekatan adalah 2 D).
/ sebuah+/ C = / b+/ C
(karena ruas kiri persamaan ini juga sama dengan 2 D, dan ruas kanannya juga sama dengan 2 D).
Persamaan ini mencakup sudut yang sama Dengan.
Jika kita mengurangkan jumlah yang sama dari jumlah yang sama, maka jumlah yang sama akan tetap ada. Hasilnya adalah: / A = / B, yaitu sudut-sudut vertikalnya sama besar.
Ketika membahas masalah sudut vertikal, terlebih dahulu kita jelaskan sudut mana yang disebut sudut vertikal, yaitu sudut vertikal. definisi sudut vertikal.
Kemudian kami membuat penilaian (pernyataan) tentang persamaan sudut vertikal dan yakin akan keabsahan penilaian tersebut melalui pembuktian. Penilaian yang demikian, yang keabsahannya harus dibuktikan, disebut teorema. Oleh karena itu, pada bagian ini kami memberikan definisi sudut vertikal, serta menyatakan dan membuktikan teorema tentang sifat-sifatnya.
Di masa depan, ketika mempelajari geometri, kita harus selalu menemukan definisi dan pembuktian teorema.
3. Jumlah sudut yang mempunyai titik sudut yang sama.
Pada gambar 79 /
1, /
2, /
3 dan /
4 terletak pada salah satu sisi suatu garis dan mempunyai titik sudut yang sama pada garis tersebut. Singkatnya, sudut-sudut ini membentuk sudut lurus, yaitu.
/
1+ /
2+/
3+ /
4 = 2D.
Pada gambar 80 / 1, / 2, / 3, / 4 dan / 5 mempunyai simpul yang sama. Singkatnya, sudut-sudut ini membentuk sudut penuh, yaitu. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4D.
Latihan.
1. Salah satu sudut yang berdekatan adalah 0,72 D. Hitunglah sudut yang dibentuk oleh garis bagi sudut-sudut yang berdekatan tersebut.
2. Buktikan bahwa garis bagi dua sudut yang berdekatan membentuk sudut siku-siku.
3. Buktikan bahwa jika dua sudut sama besar, maka sudut-sudut yang berdekatan juga sama besar.
4. Berapa pasang sudut yang berdekatan pada gambar 81?
5. Dapatkah sepasang sudut yang berdekatan terdiri dari dua sudut lancip? dari dua sudut tumpul? dari sudut siku-siku dan tumpul? dari sudut siku-siku dan lancip?
6. Jika salah satu sudut yang berdekatan siku-siku, apa yang dapat dikatakan tentang besar sudut yang berdekatan dengannya?
7. Jika pada perpotongan dua garis lurus salah satu sudutnya siku-siku, lalu apa yang dapat dikatakan tentang besar ketiga sudut yang lain?
Dalam proses pembelajaran mata kuliah geometri, konsep “sudut”, “sudut vertikal”, “sudut berdekatan” cukup sering muncul. Memahami setiap istilah akan membantu Anda memahami masalah dan menyelesaikannya dengan benar. Berapakah sudut-sudut yang berdekatan dan bagaimana cara menentukannya?
Sudut yang berdekatan - definisi konsep
Istilah “sudut-sudut yang berdekatan” mencirikan dua sudut yang dibentuk oleh sinar persekutuan dan dua garis setengah tambahan yang terletak pada satu garis lurus. Ketiga sinar tersebut keluar dari titik yang sama. Setengah garis persekutuan sekaligus merupakan sisi dari salah satu sudut dan sudut lainnya.
Sudut yang berdekatan - sifat dasar
1. Berdasarkan rumusan sudut-sudut yang berdekatan, mudah diketahui bahwa jumlah sudut-sudut tersebut selalu membentuk sudut terbalik yang besar derajatnya adalah 180°:
- Jika μ dan η merupakan sudut-sudut yang berdekatan, maka μ + η = 180°.
- Mengetahui besar salah satu sudut yang berdekatan (misalnya, μ), Anda dapat dengan mudah menghitung besaran derajat sudut kedua (η) menggunakan persamaan η = 180° – μ.
2. Sifat sudut ini memungkinkan kita menarik kesimpulan sebagai berikut: sudut yang berdekatan dengan sudut siku-siku juga akan siku-siku.
3. Mengingat fungsi trigonometri (sin, cos, tg, ctg), berdasarkan rumus reduksi sudut yang berdekatan μ dan η, berlaku hal berikut:
- sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
- cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
- tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
- ctgη = ctg(180° – μ) = -ctgμ.
Sudut yang berdekatan - contoh
Contoh 1
Diberikan sebuah segitiga dengan titik sudut M, P, Q – ΔMPQ. Tentukan sudut yang berdekatan dengan sudut ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.
- Mari kita perpanjang setiap sisi segitiga dengan garis lurus.
- Mengetahui bahwa sudut-sudut yang berdekatan saling melengkapi hingga membentuk sudut terbalik, kita mengetahui bahwa:
berdekatan dengan sudut ∠QMP adalah ∠LMP,
berdekatan dengan sudut ∠MPQ adalah ∠SPQ,
berdekatan dengan sudut ∠PQM adalah ∠HQP.
Contoh 2
Nilai salah satu sudut yang berdekatan adalah 35°. Berapa besar derajat sudut kedua yang berdekatan?
- Dua sudut yang berdekatan berjumlah 180°.
- Jika ∠μ = 35°, maka didekatnya ∠η = 180° – 35° = 145°.
Contoh 3
Tentukan nilai sudut-sudut yang berdekatan jika diketahui besar derajat salah satunya tiga kali lebih besar dari besar sudut yang lain.
- Mari kita nyatakan besarnya satu sudut (lebih kecil) dengan – ∠μ = λ.
- Kemudian sesuai dengan kondisi soal, nilai sudut kedua akan sama dengan ∠η = 3λ.
- Berdasarkan sifat dasar sudut berdekatan, μ + η = 180° sebagai berikut
λ + 3λ = μ + η = 180°,
= 180°/4 = 45°.
Artinya sudut pertama adalah ∠μ = λ = 45°, dan sudut kedua adalah ∠η = 3λ = 135°.
Kemampuan menggunakan terminologi, serta pengetahuan tentang sifat dasar sudut yang berdekatan, akan membantu Anda memecahkan banyak masalah geometri.
Sudut-sudut yang salah satu sisinya bersekutu dan sisi-sisi lainnya terletak pada satu garis lurus (pada gambar, sudut 1 dan 2 berdekatan). Beras. untuk Seni. Sudut yang berdekatan... Ensiklopedia Besar Soviet
SUDUT YANG BERDEKATAN- sudut-sudut yang mempunyai titik sudut yang sama dan satu sisi yang sama, serta kedua sisinya yang lain terletak pada satu garis lurus... Ensiklopedia Politeknik Besar
Lihat Sudut... Kamus Ensiklopedis Besar
SUDUT BERDEKATAN, dua sudut yang besarnya 180°. Masing-masing sudut saling melengkapi dengan sudut penuh... Kamus ensiklopedis ilmiah dan teknis
Lihat Sudut. * * * SUDUT BERDEKATAN SUDUT BERDEKATAN, lihat Sudut (lihat SUDUT) ... kamus ensiklopedis
- (Sudut-sudut yang berdekatan) yang mempunyai titik sudut yang sama dan sisi yang sama. Pada dasarnya nama ini mengacu pada sudut C. tersebut, dua sisi lainnya terletak pada arah yang berlawanan dari satu garis lurus yang ditarik melalui titik sudut ... Kamus Ensiklopedis F.A. Brockhaus dan I.A. Efron
Lihat Sudut... Ilmu pengetahuan Alam. kamus ensiklopedis
Dua garis lurus berpotongan membentuk sepasang sudut vertikal. Satu pasang terdiri dari sudut A dan B, pasangan lainnya terdiri dari C dan D. Dalam geometri, dua sudut disebut vertikal jika dibuat oleh perpotongan dua ... Wikipedia
Sepasang sudut yang saling melengkapi sampai dengan 90 derajat adalah sepasang sudut yang saling melengkapi sampai dengan 90 derajat. Jika dua sudut yang saling melengkapi berdekatan (yaitu keduanya mempunyai titik sudut yang sama dan hanya dipisahkan... ... Wikipedia
Sepasang sudut yang saling berkomplemen sampai dengan 90 derajat Sudut berkomplemen adalah sepasang sudut yang saling berkomplemen sampai dengan 90 derajat. Jika dua sudut yang saling melengkapi berada pada... Wikipedia
Buku
- Tentang pembuktian geometri, A.I. Fetisov Buku ini akan diproduksi sesuai pesanan Anda dengan menggunakan teknologi Print-on-Demand. Suatu hari, di awal tahun ajaran, saya mendengar percakapan antara dua gadis. Yang tertua di antara mereka...
- Buku catatan komprehensif untuk memantau pengetahuan. Geometri. kelas 7. Standar Pendidikan Negara Federal, Babenko Svetlana Pavlovna, Markova Irina Sergeevna. Manual ini menyajikan materi kontrol dan pengukuran (CMM) dalam geometri untuk melakukan pengendalian kualitas pengetahuan saat ini, tematik dan akhir siswa kelas 7. Isi panduan...
Geometri adalah ilmu yang sangat beragam. Ini mengembangkan logika, imajinasi dan kecerdasan. Tentu saja, karena kerumitannya dan banyaknya teorema dan aksioma, anak sekolah tidak selalu menyukainya. Selain itu, ada kebutuhan untuk terus-menerus membuktikan kesimpulan Anda dengan menggunakan standar dan aturan yang berlaku umum.
Sudut yang berdekatan dan vertikal merupakan bagian integral dari geometri. Pastinya banyak anak sekolah yang memujanya karena khasiatnya yang jelas dan mudah dibuktikan.
Pembentukan sudut
Setiap sudut dibentuk dengan memotong dua garis lurus atau menggambar dua sinar dari satu titik. Mereka dapat disebut satu atau tiga huruf, yang secara berurutan menunjukkan titik-titik di mana sudut dibangun.
Sudut diukur dalam derajat dan dapat (tergantung nilainya) disebut berbeda. Jadi, ada sudut siku-siku, lancip, tumpul, dan terbuka. Masing-masing nama sesuai dengan ukuran derajat tertentu atau intervalnya.
Sudut lancip adalah sudut yang besarnya tidak melebihi 90 derajat.
Sudut tumpul adalah sudut yang besarnya lebih dari 90 derajat.
Suatu sudut disebut siku-siku bila besar derajatnya 90.
Apabila dibentuk oleh satu garis lurus bersambung dan besar derajatnya 180, disebut diperluas.
Sudut-sudut yang mempunyai satu sisi yang sama, yang kedua sisinya bersambung, disebut bertetangga. Mereka bisa tajam atau tumpul. Perpotongan garis tersebut membentuk sudut-sudut yang berdekatan. Properti mereka adalah sebagai berikut:
- Jumlah sudut-sudut ini akan sama dengan 180 derajat (ada teorema yang membuktikan hal ini). Oleh karena itu, seseorang dapat dengan mudah menghitung salah satunya jika yang lain diketahui.
- Dari poin pertama dapat disimpulkan bahwa sudut-sudut yang berdekatan tidak dapat dibentuk oleh dua sudut tumpul atau dua sudut lancip.
Berkat sifat-sifat ini, selalu dimungkinkan untuk menghitung besaran derajat suatu sudut dengan mengetahui nilai sudut lainnya, atau setidaknya rasio di antara keduanya.
Sudut vertikal
Sudut yang sisi-sisinya merupakan kelanjutan satu sama lain disebut vertikal. Varietas apa pun dapat bertindak sebagai pasangan seperti itu. Sudut vertikal selalu sama besar satu sama lain.
Mereka terbentuk ketika garis lurus berpotongan. Bersamaan dengan itu, sudut-sudut yang berdekatan selalu ada. Suatu sudut dapat berdekatan secara bersamaan untuk satu sudut dan vertikal untuk sudut lainnya.
Saat melintasi garis sembarang, beberapa jenis sudut lainnya juga dipertimbangkan. Garis seperti itu disebut garis potong, dan membentuk sudut-sudut yang bersesuaian, satu sisi, dan bersilangan. Mereka setara satu sama lain. Mereka dapat dilihat berdasarkan sifat-sifat yang dimiliki sudut vertikal dan sudut yang berdekatan.
Dengan demikian, topik tentang sudut nampaknya cukup sederhana dan mudah dimengerti. Semua khasiatnya mudah diingat dan dibuktikan. Menyelesaikan soal tidaklah sulit selama sudut-sudutnya mempunyai nilai numerik. Nanti, ketika studi tentang sin dan cos dimulai, Anda harus menghafal banyak rumus rumit, kesimpulan dan konsekuensinya. Sampai saat itu tiba, Anda dapat menikmati teka-teki mudah yang mengharuskan Anda menemukan sudut yang berdekatan.
