Mari kita menganalisis dua jenis solusi sistem persamaan:
1. Menyelesaikan sistem dengan menggunakan metode substitusi.
2. Menyelesaikan sistem dengan penjumlahan (pengurangan) suku demi suku dari persamaan sistem.
Untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan metode substitusi Anda harus mengikuti algoritma sederhana:
1. Ekspres. Dari persamaan apa pun kami menyatakan satu variabel.
2. Pengganti. Kami mengganti nilai yang dihasilkan ke dalam persamaan lain, bukan variabel yang dinyatakan.
3. Selesaikan persamaan yang dihasilkan dengan satu variabel. Kami menemukan solusi untuk sistem.
Untuk memutuskan sistem dengan metode penjumlahan (pengurangan) suku demi suku perlu:
1. Pilih variabel yang akan kita buat koefisiennya sama.
2. Kita menambah atau mengurangi persamaan, sehingga menghasilkan persamaan dengan satu variabel.
3. Selesaikan persamaan linier yang dihasilkan. Kami menemukan solusi untuk sistem.
Penyelesaian sistem adalah titik potong grafik fungsi.
Mari kita pertimbangkan secara rinci solusi sistem menggunakan contoh.
Contoh #1:
Mari kita selesaikan dengan metode substitusi
Menyelesaikan sistem persamaan dengan menggunakan metode substitusi2x+5y=1 (1 persamaan)
x-10y=3 (persamaan ke-2)
1. Ekspres
Terlihat pada persamaan kedua terdapat variabel x dengan koefisien 1 yang berarti paling mudah untuk menyatakan variabel x dari persamaan kedua.
x=3+10y
2.Setelah kita menyatakannya, kita substitusikan 3+10y ke persamaan pertama sebagai pengganti variabel x.
2(3+10 tahun)+5 tahun=1
3. Selesaikan persamaan yang dihasilkan dengan satu variabel.
2(3+10y)+5y=1 (buka tanda kurung)
6+20 tahun+5 tahun=1
25 tahun= 1-6
25 tahun=-5 |: (25)
kamu=-5:25
kamu=-0,2
Penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah titik potong grafiknya, oleh karena itu kita perlu mencari x dan y, karena titik potongnya terdiri dari x dan y, carilah x, pada titik pertama yang kita nyatakan, kita substitusikan y ke sana .
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Biasanya untuk menulis poin, pertama kita tulis variabel x, dan kedua variabel y.
Jawaban: (1; -0,2)
Contoh #2:
Mari kita selesaikan dengan menggunakan metode penjumlahan (pengurangan) suku demi suku.
Menyelesaikan sistem persamaan menggunakan metode penjumlahan3x-2y=1 (1 persamaan)
2x-3y=-10 (persamaan ke-2)
1. Kita memilih suatu variabel, misalkan kita memilih x. Pada persamaan pertama, variabel x memiliki koefisien 3, pada persamaan kedua - 2. Kita perlu membuat koefisiennya sama, untuk ini kita berhak mengalikan persamaan atau membaginya dengan angka berapa pun. Kita mengalikan persamaan pertama dengan 2, dan persamaan kedua dengan 3 dan mendapatkan koefisien total 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. Kurangi persamaan kedua dari persamaan pertama untuk menghilangkan variabel x.
__6x-4y=2
5 tahun=32 | :5
kamu=6.4
3. Temukan x. Kita substitusikan y yang ditemukan ke dalam salah satu persamaan, misalkan ke dalam persamaan pertama.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4.6
Titik potongnya adalah x=4.6; kamu=6.4
Jawaban: (4.6; 6.4)
Apakah Anda ingin mempersiapkan ujian secara gratis? Guru daring gratis. Tidak ada lelucon.
Pada pelajaran matematika kelas 7 kita pertama kali bertemu persamaan dengan dua variabel, tetapi mereka dipelajari hanya dalam konteks sistem persamaan dengan dua hal yang tidak diketahui. Itulah sebabnya serangkaian masalah di mana kondisi tertentu diperkenalkan pada koefisien persamaan yang membatasinya tidak lagi terlihat. Selain itu, metode penyelesaian soal seperti “Menyelesaikan persamaan bilangan asli atau bilangan bulat” juga diabaikan, meskipun soal semacam ini semakin sering ditemukan pada materi Ujian Negara Bersatu dan ujian masuk.
Persamaan manakah yang disebut persamaan dengan dua variabel?
Jadi misalnya persamaan 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, atau xy = 12 adalah persamaan dua variabel.
Perhatikan persamaan 2x – y = 1. Menjadi benar jika x = 2 dan y = 3, sehingga pasangan nilai variabel ini merupakan penyelesaian dari persamaan yang dimaksud.
Jadi, penyelesaian persamaan apa pun dengan dua variabel adalah himpunan pasangan terurut (x; y), nilai-nilai variabel yang mengubah persamaan ini menjadi persamaan numerik yang sebenarnya.
Persamaan dengan dua hal yang tidak diketahui dapat:
A) punya satu solusi. Misalnya persamaan x 2 + 5y 2 = 0 mempunyai solusi unik (0; 0);
B) memiliki banyak solusi. Misalnya, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 mempunyai 4 penyelesaian: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);
V) tidak punya solusi. Misalnya, persamaan x 2 + y 2 + 1 = 0 tidak mempunyai solusi;
G) mempunyai banyak solusi yang tak terhingga. Misalnya, x + y = 3. Penyelesaian persamaan ini adalah bilangan-bilangan yang jumlahnya sama dengan 3. Himpunan penyelesaian persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk (k; 3 – k), dimana k adalah sembarang real nomor.
Metode utama penyelesaian persamaan dua variabel adalah metode yang didasarkan pada pemfaktoran ekspresi, isolasi kuadrat lengkap, penggunaan sifat-sifat persamaan kuadrat, ekspresi terbatas, dan metode estimasi. Persamaan tersebut biasanya diubah menjadi suatu bentuk yang dapat diperoleh sistem untuk menemukan hal-hal yang tidak diketahui.
Faktorisasi
Contoh 1.
Selesaikan persamaan: xy – 2 = 2x – y.
Larutan.
Kami mengelompokkan suku-suku untuk tujuan faktorisasi:
(xy + y) – (2x + 2) = 0. Dari setiap tanda kurung kita ambil faktor persekutuannya:
kamu(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y – 2) = 0. Kita mempunyai:
y = 2, x – sembarang bilangan real atau x = -1, y – sembarang bilangan real.
Dengan demikian, jawabannya semua pasangan bentuk (x; 2), x € R dan (-1; y), y € R.
Persamaan bilangan non-negatif dengan nol
Contoh 2.
Selesaikan persamaan: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
Larutan.
Pengelompokan:
(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Sekarang tiap tanda kurung bisa dijumlahkan menggunakan rumus selisih kuadrat.
(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.
Jumlah dua ekspresi non-negatif adalah nol hanya jika 3x – 2 = 0 dan 2y – 3 = 0.
Artinya x = 2/3 dan y = 3/2.
Jawaban: (2/3; 3/2).
Metode estimasi
Contoh 3.
Selesaikan persamaan: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.
Larutan.
Di setiap tanda kurung kami menyorot kotak lengkap:
((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Mari kita perkirakan 
arti ungkapan dalam tanda kurung.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 dan (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, maka ruas kiri persamaan selalu minimal 2. Kesetaraan dapat terjadi jika:
(x + 1) 2 + 1 = 1 dan (y – 2) 2 + 2 = 2, artinya x = -1, y = 2.
Jawaban: (-1; 2).
Mari berkenalan dengan metode lain untuk menyelesaikan persamaan dengan dua variabel derajat kedua. Metode ini terdiri dari memperlakukan persamaan sebagai persegi terhadap beberapa variabel.
Contoh 4.
Selesaikan persamaan: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.
Larutan.
Mari selesaikan persamaan tersebut sebagai persamaan kuadrat untuk x. Mari kita cari diskriminannya:
D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Persamaan tersebut akan mempunyai solusi hanya jika D = 0, yaitu jika y = 4. Kita substitusikan nilai y ke dalam persamaan awal dan temukan bahwa x = 3.
Jawaban: (3; 4).
Seringkali dalam persamaan dengan dua hal yang tidak diketahui, mereka menunjukkannya pembatasan variabel.
Contoh 5.
Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
Larutan.
Mari kita tulis ulang persamaan tersebut dalam bentuk x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Ruas kanan persamaan yang dihasilkan jika dibagi 5 memberikan sisa 2. Oleh karena itu, x 2 tidak habis dibagi 5. Tetapi kuadrat dari a bilangan yang tidak habis dibagi 5 mempunyai sisa 1 atau 4. Jadi persamaan tidak mungkin dan tidak ada penyelesaian.
Jawaban: tidak ada akar.
Contoh 6.
Selesaikan persamaan: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.
Larutan.
Mari kita soroti kotak lengkap di setiap tanda kurung:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Ruas kiri persamaan selalu lebih besar atau sama dengan 3. Persamaan dimungkinkan asalkan |x| – 2 = 0 dan y + 3 = 0. Jadi, x = ± 2, y = -3.
Jawaban: (2; -3) dan (-2; -3).
Contoh 7.
Untuk setiap pasangan bilangan bulat negatif (x;y) memenuhi persamaan
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, hitung jumlah (x + y). Harap sebutkan jumlah terkecil dalam jawaban Anda.
Larutan.
Mari kita pilih kotak lengkap:
(x 2 – 2xy + kamu 2) + (kamu 2 + 4kamu + 4) = 37;
(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Karena x dan y bilangan bulat, maka kuadratnya juga bilangan bulat. Kita mendapatkan jumlah kuadrat dua bilangan bulat sama dengan 37 jika kita menjumlahkan 1 + 36. Oleh karena itu:
(x – y) 2 = 36 dan (y + 2) 2 = 1 
(x – y) 2 = 1 dan (y + 2) 2 = 36.
Menyelesaikan sistem ini dan memperhitungkan bahwa x dan y negatif, kita menemukan solusi: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
Jawaban: -17.
Jangan putus asa jika Anda kesulitan menyelesaikan persamaan dengan dua hal yang tidak diketahui. Dengan sedikit latihan, Anda dapat menangani persamaan apa pun.
Masih ada pertanyaan? Tidak tahu cara menyelesaikan persamaan dua variabel?
Untuk mendapatkan bantuan dari tutor, daftarlah.
Pelajaran pertama gratis!
situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.
Persamaan dengan yang tidak diketahui, yang setelah membuka tanda kurung dan membawa suku-suku serupa, mengambil bentuk
kapak + b = 0, dimana a dan b adalah bilangan sembarang, disebut persamaan linier dengan satu yang tidak diketahui. Hari ini kita akan mencari cara untuk menyelesaikan persamaan linear ini.
Misalnya, semua persamaan:
2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - linier.
Nilai yang tidak diketahui yang mengubah persamaan menjadi persamaan yang benar disebut keputusan atau akar persamaan .
Misalnya, jika dalam persamaan 3x + 7 = 13 alih-alih x yang tidak diketahui kita mengganti angka 2, kita memperoleh persamaan yang benar 3 2 +7 = 13. Artinya nilai x = 2 adalah solusi atau akar dari persamaan tersebut.
Dan nilai x = 3 tidak mengubah persamaan 3x + 7 = 13 menjadi persamaan sejati, karena 3 2 +7 ≠ 13. Artinya nilai x = 3 bukan merupakan solusi atau akar persamaan.
Menyelesaikan persamaan linier apa pun direduksi menjadi penyelesaian persamaan bentuk
kapak + b = 0.
Mari kita pindahkan suku bebas dari ruas kiri persamaan ke kanan, ubah tanda di depan b menjadi kebalikannya, kita peroleh
Jika a ≠ 0, maka x = ‒ b/a .
Contoh 1. Selesaikan persamaan 3x + 2 =11.
Mari kita pindahkan 2 dari ruas kiri persamaan ke kanan, ubah tanda di depan 2 menjadi kebalikannya, kita peroleh
3x = 11 – 2.
Kalau begitu, mari kita lakukan pengurangan
3x = 9.
Untuk mencari x, Anda perlu membagi hasil kali dengan faktor yang diketahui, yaitu
x = 9:3.
Artinya nilai x = 3 merupakan solusi atau akar persamaan.
Jawaban: x = 3.
Jika a = 0 dan b = 0, maka kita mendapatkan persamaan 0x = 0. Persamaan ini memiliki banyak solusi yang tak terhingga, karena ketika kita mengalikan bilangan apa pun dengan 0 kita mendapatkan 0, tetapi b juga sama dengan 0. Penyelesaian persamaan ini adalah bilangan apa pun.
Contoh 2. Selesaikan persamaan 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1.
Mari kita perluas tanda kurungnya:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.
5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.
Berikut beberapa istilah serupa:
0x = 0.
Jawaban: x - nomor berapa saja.
Jika a = 0 dan b ≠ 0, maka kita mendapatkan persamaan 0x = - b. Persamaan ini tidak mempunyai solusi, karena ketika kita mengalikan bilangan apa pun dengan 0 kita mendapatkan 0, tetapi b ≠ 0.
Contoh 3. Selesaikan persamaan x + 8 = x + 5.
Mari kita kelompokkan suku-suku yang tidak diketahui di sisi kiri, dan suku-suku bebas di sisi kanan:
x – x = 5 – 8.
Berikut beberapa istilah serupa:
0х = ‒ 3.
Jawaban: tidak ada solusi.
Pada Gambar 1 menunjukkan diagram untuk menyelesaikan persamaan linier
Mari kita buat skema umum untuk menyelesaikan persamaan dengan satu variabel. Mari kita perhatikan solusi Contoh 4.
Contoh 4. Misalkan kita perlu menyelesaikan persamaan tersebut
1) Kalikan semua suku persamaan dengan kelipatan persekutuan terkecil penyebutnya, sama dengan 12.
2) Setelah pengurangan kita dapatkan
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)
3) Untuk memisahkan suku yang mengandung suku tidak diketahui dan suku bebas, buka tanda kurung:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.
4) Mari kita kelompokkan di satu bagian suku-suku yang mengandung hal-hal yang tidak diketahui, dan di bagian lain - suku-suku bebas:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.
5) Mari kita sajikan istilah serupa:
- 22x = - 154.
6) Bagi dengan – 22, Kita peroleh
x = 7.
Seperti yang Anda lihat, akar persamaannya adalah tujuh.
Umumnya seperti itu persamaan dapat diselesaikan dengan menggunakan skema berikut:
a) membawa persamaan ke bentuk bilangan bulatnya;
b) buka tanda kurung;
c) mengelompokkan suku-suku yang mengandung suku-suku yang tidak diketahui di satu bagian persamaan, dan suku-suku bebas di bagian lain;
d) mendatangkan anggota serupa;
e) menyelesaikan persamaan bentuk aх = b, yang diperoleh setelah membawa suku-suku sejenis.
Namun, skema ini tidak diperlukan untuk setiap persamaan. Saat menyelesaikan banyak persamaan sederhana, Anda harus memulai bukan dari persamaan pertama, tetapi dari persamaan kedua ( Contoh. 2), ketiga ( Contoh. 1, 3) dan bahkan dari tahap kelima, seperti pada contoh 5.
Contoh 5. Selesaikan persamaan 2x = 1/4.
Carilah x = 1/4:2 yang belum diketahui,
x = 1/8 .
Mari kita lihat penyelesaian beberapa persamaan linier yang ditemukan dalam ujian utama negara bagian.
Contoh 6. Selesaikan persamaan 2 (x + 3) = 5 – 6x.
2x + 6 = 5 – 6x
2x + 6x = 5 – 6
Jawaban: - 0,125
Contoh 7. Selesaikan persamaan – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.
– 30 + 18x = 8x – 7
18x – 8x = – 7 +30
Jawaban: 2.3
Contoh 8. Selesaikan persamaannya
3(3x – 4) = 4 7x + 24
9x – 12 = 28x + 24
9x – 28x = 24 + 12
Contoh 9. Tentukan f(6) jika f (x + 2) = 3 7
Larutan
Karena kita perlu mencari f(6), dan kita mengetahui f (x + 2),
maka x + 2 = 6.
Kita selesaikan persamaan linear x + 2 = 6,
kita mendapatkan x = 6 – 2, x = 4.
Jika x = 4 maka
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27
Jawaban: 27.
Jika Anda masih memiliki pertanyaan atau ingin memahami penyelesaian persamaan secara lebih menyeluruh, daftarlah untuk pelajaran saya di JADWAL. Saya akan dengan senang hati membantu Anda!
TutorOnline juga merekomendasikan menonton video pelajaran baru dari tutor kami Olga Alexandrovna, yang akan membantu Anda memahami persamaan linear dan lainnya.
situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.
