Jika mengikuti definisi tersebut, maka turunan suatu fungsi di suatu titik adalah limit rasio kenaikan fungsi tersebut Δ kamu dengan kenaikan argumen Δ X:
Segalanya tampak jelas. Tapi coba gunakan rumus ini untuk menghitung, katakanlah, turunan suatu fungsi F(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X dosa X. Jika Anda melakukan semuanya sesuai definisi, maka setelah beberapa halaman perhitungan Anda akan tertidur. Oleh karena itu, ada cara yang lebih sederhana dan efektif.
Pertama-tama, kita perhatikan bahwa dari seluruh ragam fungsi kita dapat membedakan apa yang disebut fungsi dasar. Ini adalah ekspresi yang relatif sederhana, yang turunannya telah lama dihitung dan ditabulasikan. Fungsi seperti itu cukup mudah diingat - beserta turunannya.
Turunan dari fungsi dasar
Semua fungsi dasar tercantum di bawah ini. Turunan dari fungsi-fungsi tersebut harus dihafal. Selain itu, menghafalnya sama sekali tidak sulit - itulah mengapa mereka bersifat dasar.
Jadi, turunan dari fungsi dasar:
| Nama | Fungsi | Turunan |
| Konstan | F(X) = C, C ∈ R | 0 (ya, nol!) |
| Kekuatan dengan eksponen rasional | F(X) = X N | N · X N − 1 |
| Sinus | F(X) = dosa X | karena X |
| Kosinus | F(X) = karena X | −dosa X(dikurangi sinus) |
| Garis singgung | F(X) = tg X | 1/karena 2 X |
| Kotangens | F(X) = ctg X | − 1/dosa 2 X |
| Logaritma natural | F(X) = catatan X | 1/X |
| Logaritma sewenang-wenang | F(X) = catatan A X | 1/(X dalam A) |
| Fungsi eksponensial | F(X) = e X | e X(Tidak ada yang berubah) |
Jika suatu fungsi dasar dikalikan dengan konstanta sembarang, maka turunan dari fungsi baru tersebut juga mudah dihitung:
(C · F)’ = C · F ’.
Secara umum, konstanta dapat dikeluarkan dari tanda turunannya. Misalnya:
(2X 3)’ = 2 · ( X 3)' = 2 3 X 2 = 6X 2 .
Jelasnya, fungsi-fungsi dasar dapat dijumlahkan, dikalikan, dibagi - dan masih banyak lagi. Dengan demikian akan muncul fungsi-fungsi baru, tidak lagi bersifat dasar, tetapi juga dibedakan menurut aturan-aturan tertentu. Aturan-aturan ini dibahas di bawah.
Turunan dari jumlah dan selisih
Biarkan fungsinya diberikan F(X) Dan G(X), yang turunannya kita ketahui. Misalnya, Anda dapat mengambil fungsi dasar yang dibahas di atas. Kemudian Anda dapat mencari turunan dari jumlah dan selisih fungsi berikut:
- (F + G)’ = F ’ + G ’
- (F − G)’ = F ’ − G ’
Jadi, turunan jumlah (selisih) dua fungsi sama dengan jumlah (selisih) turunannya. Mungkin ada lebih banyak istilah. Misalnya, ( F + G + H)’ = F ’ + G ’ + H ’.
Sebenarnya, tidak ada konsep “pengurangan” dalam aljabar. Ada konsep “elemen negatif”. Oleh karena itu perbedaannya F − G dapat ditulis ulang sebagai jumlah F+ (−1) G, dan kemudian hanya satu rumus yang tersisa - turunan dari jumlah tersebut.
F(X) = X 2 + dosa x; G(X) = X 4 + 2X 2 − 3.
Fungsi F(X) adalah jumlah dari dua fungsi dasar, oleh karena itu:
F ’(X) = (X 2 + dosa X)’ = (X 2)' + (dosa X)’ = 2X+ karena x;
Kami beralasan serupa untuk fungsinya G(X). Hanya saja sudah ada tiga suku (dari sudut pandang aljabar):
G ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).
Menjawab:
F ’(X) = 2X+ karena x;
G ’(X) = 4X · ( X
2 + 1).
Turunan dari produk
Matematika merupakan ilmu logika, sehingga banyak orang yang meyakini bahwa jika turunan suatu penjumlahan sama dengan jumlah turunannya, maka turunan dari hasil perkaliannya memukul">sama dengan hasil kali turunan. Tapi persetan! Turunan suatu hasil kali dihitung menggunakan rumus yang sama sekali berbeda. Yaitu:
(F · G) ’ = F ’ · G + F · G ’
Rumusnya sederhana, namun sering dilupakan. Dan tidak hanya anak sekolah, tapi juga pelajar. Hasilnya adalah masalah yang diselesaikan secara tidak benar.
Tugas. Temukan turunan fungsi: F(X) = X 3 karena x; G(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .
Fungsi F(X) adalah produk dari dua fungsi dasar, jadi semuanya sederhana:
F ’(X) = (X 3 karena X)’ = (X 3)' karena X + X 3 (kos X)’ = 3X 2 karena X + X 3 (− dosa X) = X 2 (3ko X − X dosa X)
Fungsi G(X) pengali pertama sedikit lebih rumit, tetapi skema umumnya tidak berubah. Jelasnya, faktor pertama adalah fungsinya G(X) adalah polinomial dan turunannya merupakan turunan dari jumlah tersebut. Kita punya:
G ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)’ · e X + (X 2 + 7X− 7) · ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .
Menjawab:
F ’(X) = X 2 (3ko X − X dosa X);
G ’(X) = X(X+ 9) · e
X
.
Perlu diketahui bahwa pada langkah terakhir turunannya difaktorkan. Secara formal, hal ini tidak perlu dilakukan, tetapi sebagian besar turunan tidak dihitung sendiri, melainkan untuk menguji fungsinya. Artinya, selanjutnya turunannya akan disamakan dengan nol, ditentukan tanda-tandanya, dan seterusnya. Untuk kasus seperti ini, lebih baik ekspresi difaktorkan.
Jika ada dua fungsi F(X) Dan G(X), Dan G(X) ≠ 0 pada himpunan yang kita minati, kita dapat mendefinisikan fungsi baru H(X) = F(X)/G(X). Untuk fungsi seperti itu, Anda juga dapat mencari turunannya:
Tidak lemah, ya? Minusnya dari mana? Mengapa G 2? Dan seperti ini! Ini adalah salah satu formula yang paling rumit - Anda tidak dapat mengetahuinya tanpa botol. Oleh karena itu, lebih baik mempelajarinya dengan contoh-contoh spesifik.
Tugas. Temukan turunan fungsi:
Pembilang dan penyebut setiap pecahan mengandung fungsi dasar, jadi yang kita perlukan hanyalah rumus turunan dari hasil bagi:
Menurut tradisi, mari kita memfaktorkan pembilangnya - ini akan sangat menyederhanakan jawabannya:
Fungsi kompleks belum tentu merupakan rumus yang panjangnya setengah kilometer. Misalnya saja mengambil fungsinya saja F(X) = dosa X dan ganti variabelnya X, katakanlah, aktif X 2 + ln X. Ini akan berhasil F(X) = dosa ( X 2 + ln X) - ini adalah fungsi yang kompleks. Ia juga memiliki turunannya, tetapi tidak mungkin menemukannya menggunakan aturan yang dibahas di atas.
Apa yang harus saya lakukan? Dalam kasus seperti ini, mengganti variabel dan rumus dengan turunan fungsi kompleks akan membantu:
F ’(X) = F ’(T) · T', Jika X digantikan oleh T(X).
Biasanya, situasi pemahaman rumus ini bahkan lebih menyedihkan dibandingkan dengan turunan hasil bagi. Oleh karena itu, ada baiknya juga menjelaskannya dengan menggunakan contoh spesifik, dengan penjelasan rinci setiap langkahnya.
Tugas. Temukan turunan fungsi: F(X) = e 2X + 3 ; G(X) = dosa ( X 2 + ln X)
Perhatikan bahwa jika dalam fungsinya F(X) alih-alih ekspresi 2 X+3 akan mudah X, maka kita mendapatkan fungsi dasar F(X) = e X. Oleh karena itu, kami melakukan penggantian: misalkan 2 X + 3 = T, F(X) = F(T) = e T. Kita mencari turunan fungsi kompleks menggunakan rumus:
F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (e T)’ · T ’ = e T · T ’
Dan sekarang - perhatian! Kami melakukan penggantian terbalik: T = 2X+ 3. Kita mendapatkan:
F ’(X) = e T · T ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3
Sekarang mari kita lihat fungsinya G(X). Jelas itu perlu diganti X 2 + ln X = T. Kita punya:
G ’(X) = G ’(T) · T’ = (dosa T)’ · T' = karena T · T ’
Penggantian terbalik: T = X 2 + ln X. Kemudian:
G ’(X) = karena ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X)’ = cos ( X 2 + ln X) · (2 X + 1/X).
Itu saja! Seperti dapat dilihat dari ekspresi terakhir, seluruh masalah direduksi menjadi menghitung jumlah turunan.
Menjawab:
F ’(X) = 2 · e
2X + 3 ;
G ’(X) = (2X + 1/X) karena ( X 2 + ln X).
Seringkali dalam pelajaran saya, alih-alih menggunakan istilah “turunan”, saya menggunakan kata “prima”. Misalnya, pukulan dari penjumlahan sama dengan jumlah pukulan. Apakah itu lebih jelas? Itu bagus.
Jadi, penghitungan turunannya dilakukan untuk menghilangkan goresan yang sama sesuai dengan aturan yang dibahas di atas. Sebagai contoh terakhir, mari kita kembali ke pangkat turunan dengan eksponen rasional:
(X N)’ = N · X N − 1
Hanya sedikit orang yang mengetahui peran tersebut N mungkin merupakan bilangan pecahan. Misalnya, akarnya adalah X 0,5. Bagaimana jika ada sesuatu yang mewah di bawah akarnya? Sekali lagi, hasilnya akan menjadi fungsi yang kompleks - mereka suka memberikan konstruksi seperti itu dalam ujian dan ujian.
Tugas. Temukan turunan dari fungsi tersebut:
Pertama, mari kita tulis ulang akar sebagai pangkat dengan eksponen rasional:
F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .
Sekarang kita buat penggantinya: biarkan X 2 + 8X − 7 = T. Kami menemukan turunannya menggunakan rumus:
F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (T 0,5)' · T' = 0,5 · T−0,5 · T ’.
Mari lakukan penggantian terbalik: T = X 2 + 8X− 7. Kita mempunyai:
F ’(X) = 0,5 · ( X 2 + 8X− 7) −0,5 · ( X 2 + 8X− 7)' = 0,5 · (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .
Terakhir, kembali ke akar:
Tugas akhir berupa UN Unified State untuk siswa kelas XI tentu memuat tugas-tugas menghitung limit, interval penurunan dan kenaikan turunan suatu fungsi, mencari titik ekstrem, dan membuat grafik. Pengetahuan yang baik tentang topik ini memungkinkan Anda menjawab beberapa pertanyaan ujian dengan benar dan tidak mengalami kesulitan dalam pelatihan profesional lebih lanjut.
Dasar-dasar kalkulus diferensial adalah salah satu topik utama matematika sekolah modern. Dia mempelajari penggunaan turunan untuk mempelajari ketergantungan variabel - melalui turunan seseorang dapat menganalisis kenaikan dan penurunan suatu fungsi tanpa menggunakan gambar.
Persiapan lulusan yang komprehensif untuk lulus Ujian Negara Bersatu di portal pendidikan Shkolkovo akan membantu Anda memahami secara mendalam prinsip-prinsip diferensiasi - memahami teori secara mendetail, mempelajari contoh-contoh pemecahan masalah umum, dan mencoba pekerjaan mandiri. Kami akan membantu Anda menutup kesenjangan dalam pengetahuan - memperjelas pemahaman Anda tentang konsep leksikal topik dan ketergantungan kuantitas. Siswa dapat meninjau kembali cara mencari interval monotonisitas yang berarti turunan suatu fungsi naik atau turun pada suatu ruas tertentu ketika titik-titik batas termasuk dan tidak termasuk dalam interval yang ditemukan.
Sebelum Anda mulai menyelesaikan masalah tematik secara langsung, sebaiknya Anda terlebih dahulu membuka bagian “Latar Belakang Teoritis” dan mengulangi definisi konsep, aturan, dan rumus tabel. Di sini Anda dapat membaca cara mencari dan menuliskan setiap interval fungsi naik dan turun pada grafik turunan.
Semua informasi yang ditawarkan disajikan dalam bentuk yang paling mudah dipahami, praktis dari awal. Situs ini menyediakan materi untuk persepsi dan asimilasi dalam beberapa bentuk berbeda - membaca, menonton video, dan pelatihan langsung di bawah bimbingan guru berpengalaman. Guru profesional akan memberi tahu Anda secara rinci cara mencari interval kenaikan dan penurunan turunan suatu fungsi menggunakan metode analitis dan grafis. Selama webinar, Anda dapat mengajukan pertanyaan apa pun yang Anda minati, baik mengenai teori maupun pemecahan masalah tertentu.
Setelah mengingat poin-poin utama topik, lihatlah contoh peningkatan turunan suatu fungsi, mirip dengan tugas-tugas pada pilihan ujian. Untuk mengkonsolidasikan apa yang telah Anda pelajari, lihat “Katalog” - di sini Anda akan menemukan latihan praktis untuk kerja mandiri. Tugas-tugas di bagian ini dipilih pada tingkat kesulitan yang berbeda, dengan mempertimbangkan pengembangan keterampilan. Misalnya masing-masing disertai dengan algoritma penyelesaian dan jawaban yang benar.
Dengan memilih bagian “Konstruktor”, siswa akan dapat berlatih mempelajari kenaikan dan penurunan turunan suatu fungsi pada Unified State Examination versi nyata, yang terus diperbarui dengan memperhatikan perubahan dan inovasi terkini.
Mempelajari suatu fungsi menggunakan turunannya. Pada artikel ini kita akan menganalisis beberapa tugas yang berkaitan dengan studi grafik suatu fungsi. Dalam soal seperti itu diberikan grafik fungsi y = f (x) dan diajukan pertanyaan-pertanyaan yang berkaitan dengan penentuan banyaknya titik yang turunan fungsi tersebut positif (atau negatif), serta lain-lain. Mereka diklasifikasikan sebagai tugas penerapan turunan pada studi fungsi.
Pemecahan masalah-masalah tersebut, dan masalah-masalah umum yang berkaitan dengan penelitian, hanya mungkin dilakukan dengan pemahaman yang utuh tentang sifat-sifat turunan untuk mempelajari grafik fungsi dan turunannya. Oleh karena itu, saya sangat menyarankan Anda mempelajari teori yang relevan. Anda dapat mempelajari dan juga menonton (tetapi berisi ringkasan singkat).
Kami juga akan membahas soal grafik turunan yang diberikan di artikel mendatang, jangan sampai ketinggalan! Jadi, tugasnya:
Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y = f (x), yang didefinisikan pada interval (−6; 8). Mendefinisikan:
1. Banyaknya titik bilangan bulat yang turunan fungsinya negatif;
2. Banyaknya titik yang garis singgung grafik fungsi tersebut sejajar dengan garis lurus y = 2;
1. Turunan suatu fungsi bernilai negatif pada interval penurunan fungsi, yaitu pada interval (−6; –3), (0; 4.2), (6.9; 8). Mereka berisi bilangan bulat poin −5, −4, 1, 2, 3, 4, dan 7. Kita mendapat 7 poin.
2. Langsung kamu= 2 sejajar sumbuOhkamu= 2 hanya pada titik ekstrim (pada titik dimana grafik berubah perilakunya dari naik ke turun atau sebaliknya). Ada empat poin tersebut: –3; 0; 4.2; 6.9
Putuskan sendiri:
Tentukan banyaknya titik bilangan bulat yang turunan fungsinya positif.
Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y = f (x), yang didefinisikan pada interval (−5; 5). Mendefinisikan:
2. Banyaknya titik bilangan bulat yang garis singgung grafik fungsi tersebut sejajar dengan garis lurus y = 3;
3. Banyaknya titik yang turunannya nol;
1. Dari sifat-sifat turunan suatu fungsi diketahui bernilai positif pada interval kenaikan fungsi, yaitu pada interval (1.4; 2.5) dan (4.4; 5). Mereka hanya berisi satu titik bilangan bulat x = 2.
2. Langsung kamu= 3 sejajar sumbuOh. Garis singgungnya akan sejajar dengan gariskamu= 3 hanya pada titik ekstrim (pada titik dimana grafik berubah perilakunya dari naik ke turun atau sebaliknya).
Ada empat poin tersebut: –4.3; 1.4; 2.5; 4.4
3. Turunannya sama dengan nol di empat titik (di titik ekstrem), kami telah menunjukkannya.
Putuskan sendiri:
Tentukan banyak titik bilangan bulat yang turunan fungsi f(x) negatif.
Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y = f (x), yang didefinisikan pada interval (−2; 12). Menemukan:
1. Banyaknya titik bilangan bulat yang turunan fungsinya positif;
2. Banyaknya titik bilangan bulat yang turunan fungsinya negatif;
3. Banyaknya titik bilangan bulat yang garis singgung grafik fungsi tersebut sejajar dengan garis lurus y = 2;
4. Banyaknya titik yang turunannya nol.
1. Dari sifat-sifat turunan suatu fungsi diketahui bernilai positif pada interval kenaikan fungsi, yaitu pada interval (–2; 1), (2; 4), (7; 9) dan ( 10; 11). Mereka berisi poin bilangan bulat: –1, 0, 3, 8. Totalnya ada empat.
2. Turunan suatu fungsi bernilai negatif pada interval dimana fungsi tersebut menurun, yaitu pada interval (1; 2), (4; 7), (9; 10), (11; 12). Mereka berisi poin bilangan bulat 5 dan 6. Kami mendapat 2 poin.
3. Langsung kamu= 2 sejajar sumbuOh. Garis singgungnya akan sejajar dengan gariskamu= 2 hanya pada titik ekstrim (pada titik dimana grafik berubah perilakunya dari naik ke turun atau sebaliknya). Ada tujuh poin tersebut: 1; 2; 4; 7; 9; 10; sebelas.
4. Turunannya sama dengan nol di tujuh titik (di titik ekstrem), kami telah menunjukkannya.
Operasi mencari turunan disebut diferensiasi.
Sebagai hasil dari penyelesaian masalah mencari turunan dari fungsi yang paling sederhana (dan tidak terlalu sederhana) dengan mendefinisikan turunan sebagai limit rasio kenaikan terhadap kenaikan argumen, tabel turunan dan aturan diferensiasi yang ditentukan secara tepat muncul. . Orang pertama yang bekerja di bidang pencarian turunan adalah Isaac Newton (1643-1727) dan Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Oleh karena itu, saat ini, untuk mencari turunan suatu fungsi, Anda tidak perlu menghitung batas rasio kenaikan fungsi dan kenaikan argumen yang disebutkan di atas, tetapi Anda hanya perlu menggunakan tabel turunan dan aturan diferensiasi. Algoritma berikut ini cocok untuk mencari turunannya.
Untuk mencari turunannya, Anda memerlukan ekspresi di bawah tanda prima memecah fungsi sederhana menjadi komponen-komponen dan menentukan tindakan apa (produk, jumlah, hasil bagi) fungsi-fungsi ini saling terkait. Selanjutnya, kita menemukan turunan dari fungsi dasar di tabel turunan, dan rumus turunan dari hasil kali, jumlah, dan hasil bagi - dalam aturan diferensiasi. Tabel turunan dan aturan diferensiasi diberikan setelah dua contoh pertama.
Contoh 1. Temukan turunan suatu fungsi
Larutan. Dari aturan diferensiasi kita mengetahui bahwa turunan dari suatu jumlah fungsi adalah jumlah dari turunan dari suatu fungsi, yaitu.
Dari tabel turunan kita mengetahui bahwa turunan dari "x" sama dengan satu, dan turunan dari sinus sama dengan kosinus. Kami mengganti nilai-nilai ini ke dalam jumlah turunan dan mencari turunan yang diperlukan oleh kondisi masalah:
Contoh 2. Temukan turunan suatu fungsi
Larutan. Kita bedakan sebagai turunan suatu jumlah yang suku kedua mempunyai faktor konstan; dapat dikeluarkan dari tanda turunannya:
Jika pertanyaan masih muncul tentang dari mana sesuatu berasal, biasanya pertanyaan tersebut akan terjawab setelah Anda memahami tabel turunan dan aturan diferensiasi yang paling sederhana. Kami sedang beralih ke mereka sekarang.
Tabel turunan fungsi sederhana
| 1. Turunan dari suatu konstanta (angka). Bilangan apa pun (1, 2, 5, 200...) yang ada dalam ekspresi fungsi. Selalu sama dengan nol. Hal ini sangat penting untuk diingat, karena sering kali diperlukan | |
| 2. Turunan dari variabel bebas. Paling sering "X". Selalu sama dengan satu. Hal ini juga penting untuk diingat dalam jangka waktu yang lama | |
| 3. Turunan derajat. Saat menyelesaikan masalah, Anda perlu mengubah akar non-kuadrat menjadi pangkat. | |
| 4. Turunan suatu variabel pangkat -1 | |
| 5. Turunan dari akar kuadrat | |
| 6. Turunan dari sinus | |
| 7. Turunan dari kosinus |  |
| 8. Turunan dari garis singgung |  |
| 9. Turunan dari kotangen |  |
| 10. Turunan dari arcsinus |  |
| 11. Turunan dari arccosine |  |
| 12. Turunan dari arctangent |  |
| 13. Turunan dari kotangen busur |  |
| 14. Turunan dari logaritma natural | |
| 15. Turunan dari fungsi logaritma |  |
| 16. Turunan dari eksponen | |
| 17. Turunan dari fungsi eksponensial |
Aturan diferensiasi
| 1. Turunan dari suatu jumlah atau selisih |  |
| 2. Turunan dari produk |  |
| 2a. Turunan suatu ekspresi dikalikan dengan faktor konstan | |
| 3. Turunan dari hasil bagi |  |
| 4. Turunan dari fungsi kompleks |  |
Aturan 1.Jika fungsinya
terdiferensiasi pada suatu titik, maka fungsi-fungsi tersebut terdiferensiasi pada titik yang sama
Dan
itu. turunan dari jumlah aljabar fungsi sama dengan jumlah aljabar turunan dari fungsi tersebut.
Konsekuensi. Jika dua fungsi terdiferensiasi berbeda sukunya konstan, maka turunannya sama, yaitu
Aturan 2.Jika fungsinya
terdiferensiasi pada suatu titik, maka hasil kali mereka terdiferensiasi pada titik yang sama
Dan
itu. Turunan hasil kali dua fungsi sama dengan jumlah hasil kali masing-masing fungsi tersebut dan turunan fungsi lainnya.
Akibat wajar 1. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda turunannya:
Akibat wajar 2. Turunan hasil kali beberapa fungsi terdiferensiasi sama dengan jumlah hasil kali turunan masing-masing faktor dan faktor lainnya.
Misalnya, untuk tiga pengganda:
Aturan 3.Jika fungsinya
dapat dibedakan pada suatu saat Dan , maka pada titik ini hasil bagi mereka juga terdiferensiasiu/v , dan
itu. turunan hasil bagi dua fungsi sama dengan pecahan, yang pembilangnya adalah selisih antara hasil kali penyebut dan turunan pembilang dan pembilang serta turunan penyebutnya, dan penyebutnya adalah kuadrat dari pembilang sebelumnya.
Di mana mencari sesuatu di halaman lain
Saat mencari turunan suatu hasil perkalian dan hasil bagi dalam permasalahan nyata, selalu perlu menerapkan beberapa aturan diferensiasi sekaligus, sehingga contoh turunan tersebut lebih banyak terdapat di artikel."Turunan dari hasil kali dan hasil bagi fungsi".
Komentar. Anda tidak boleh mengacaukan konstanta (yaitu bilangan) sebagai suku dalam penjumlahan dan sebagai faktor konstan! Dalam kasus suatu suku, turunannya sama dengan nol, dan dalam kasus suatu faktor konstan, turunannya dikeluarkan dari tanda turunannya. Ini adalah kesalahan umum yang terjadi pada tahap awal mempelajari turunan, tetapi ketika rata-rata siswa menyelesaikan beberapa contoh satu dan dua bagian, dia tidak lagi melakukan kesalahan ini.
Dan jika, ketika membedakan suatu produk atau hasil bagi, Anda memiliki istilah kamu"ay, di mana kamu- suatu bilangan, misalnya 2 atau 5, yaitu suatu konstanta, maka turunan bilangan tersebut akan sama dengan nol dan oleh karena itu, seluruh sukunya akan sama dengan nol (kasus ini dibahas pada contoh 10).
Kesalahan umum lainnya adalah menyelesaikan turunan fungsi kompleks secara mekanis sebagai turunan fungsi sederhana. Itu sebabnya turunan dari fungsi kompleks artikel terpisah dikhususkan. Tapi pertama-tama kita akan belajar mencari turunan dari fungsi sederhana.
Sepanjang prosesnya, Anda tidak dapat melakukannya tanpa mengubah ekspresi. Untuk melakukan ini, Anda mungkin perlu membuka manual di jendela baru. Tindakan dengan kekuatan dan akar Dan Operasi dengan pecahan .
Jika Anda mencari solusi turunan pecahan yang mempunyai pangkat dan akar, yaitu seperti apa bentuknya 
, lalu ikuti pelajaran “Menurunkan jumlah pecahan yang mempunyai pangkat dan akar”.
Jika Anda memiliki tugas seperti 
, selanjutnya anda akan mengambil pelajaran “Turunan fungsi trigonometri sederhana”.
Contoh langkah demi langkah - cara mencari turunannya
Contoh 3. Temukan turunan suatu fungsi
Larutan. Kami mendefinisikan bagian-bagian dari ekspresi fungsi: seluruh ekspresi mewakili produk, dan faktor-faktornya adalah jumlah, yang salah satu sukunya mengandung faktor konstan. Kami menerapkan aturan diferensiasi perkalian: turunan perkalian dua fungsi sama dengan jumlah perkalian masing-masing fungsi tersebut dengan turunan fungsi lainnya:
Selanjutnya, kita menerapkan aturan diferensiasi jumlah: turunan dari jumlah aljabar suatu fungsi sama dengan jumlah aljabar dari turunan fungsi tersebut. Dalam kasus kita, pada setiap penjumlahan, suku kedua mempunyai tanda minus. Dalam setiap penjumlahan kita melihat variabel bebas, yang turunannya sama dengan satu, dan sebuah konstanta (angka), yang turunannya sama dengan nol. Jadi, “X” berubah menjadi satu, dan minus 5 menjadi nol. Pada ekspresi kedua, "x" dikalikan dengan 2, jadi kita mengalikan dua dengan satuan yang sama dengan turunan dari "x". Kami memperoleh nilai turunan berikut:
Kami mengganti turunan yang ditemukan ke dalam jumlah produk dan mendapatkan turunan dari seluruh fungsi yang diperlukan oleh kondisi masalah:
Contoh 4. Temukan turunan suatu fungsi
Larutan. Kita diharuskan mencari turunan dari hasil bagi tersebut. Kita terapkan rumus untuk membedakan hasil bagi: turunan dari hasil bagi dua fungsi sama dengan pecahan, yang pembilangnya adalah selisih antara hasil kali penyebut dan turunan dari pembilang dan pembilangnya serta turunan dari penyebutnya, dan penyebutnya adalah kuadrat dari pembilang sebelumnya. Kita mendapatkan:
Kita telah menemukan turunan faktor pembilang pada contoh 2. Jangan lupa juga bahwa hasil kali, yang merupakan faktor kedua pembilang pada contoh saat ini, diambil dengan tanda minus:
Jika Anda mencari solusi untuk soal yang mengharuskan Anda mencari turunan suatu fungsi, yang terdapat tumpukan akar dan pangkat yang kontinu, seperti, misalnya, 
, lalu selamat datang di kelas "Turunan dari jumlah pecahan yang mempunyai pangkat dan akar" .
Jika Anda perlu mempelajari lebih lanjut tentang turunan sinus, kosinus, garis singgung, dan fungsi trigonometri lainnya, yaitu bagaimana fungsi tersebut terlihat seperti , maka pelajaran untukmu "Turunan fungsi trigonometri sederhana" .
Contoh 5. Temukan turunan suatu fungsi
Larutan. Dalam fungsi ini kita melihat hasil kali, salah satu faktornya adalah akar kuadrat dari variabel bebas, yang turunannya telah kita pelajari di tabel turunannya. Dengan menggunakan aturan diferensiasi produk dan nilai tabel turunan akar kuadrat, kita memperoleh:
Contoh 6. Temukan turunan suatu fungsi
Larutan. Dalam fungsi ini kita melihat hasil bagi yang dividennya merupakan akar kuadrat dari variabel bebas. Dengan menggunakan aturan diferensiasi hasil bagi, yang kita ulangi dan terapkan pada contoh 4, dan nilai tabulasi turunan akar kuadrat, kita peroleh:
Untuk menghilangkan pecahan pada pembilangnya, kalikan pembilang dan penyebutnya dengan .
Isi artikel
TURUNAN– turunan dari fungsi tersebut kamu = F(X), diberikan pada selang waktu tertentu ( A, B) pada titik X interval ini disebut batas di mana rasio kenaikan fungsi cenderung F pada titik ini ke kenaikan argumen yang sesuai ketika kenaikan argumen cenderung nol.
Turunannya biasanya dilambangkan sebagai berikut:
Sebutan lain juga banyak digunakan:
Kecepatan instan.
Biarkan intinya M bergerak dalam garis lurus. Jarak S titik bergerak, dihitung dari suatu posisi awal M 0 , tergantung waktu T, yaitu S ada fungsi waktu T: S= F(T). Biarkan suatu saat nanti T titik bergerak M berada di kejauhan S dari posisi awal M 0, dan pada saat berikutnya T+D T menemukan dirinya dalam posisi M 1 - pada jarak S+D S dari posisi awal ( lihat gambar.).
Jadi, dalam kurun waktu tertentu D T jarak S diubah sebesar D S. Dalam hal ini mereka mengatakan bahwa selama selang waktu D T besarnya S menerima kenaikan D S.
Kecepatan rata-rata dalam semua kasus tidak dapat secara akurat mencirikan kecepatan pergerakan suatu titik M pada suatu saat T. Jika, misalnya, benda berada di awal interval D T bergerak sangat cepat, dan pada akhirnya sangat lambat, maka kecepatan rata-rata tidak akan mampu mencerminkan ciri-ciri pergerakan titik yang ditunjukkan dan memberikan gambaran tentang kecepatan sebenarnya dari pergerakannya saat ini. T. Untuk menyatakan kecepatan sebenarnya dengan lebih akurat menggunakan kecepatan rata-rata, Anda perlu mengambil periode waktu yang lebih singkat D T. Paling lengkap mencirikan kecepatan pergerakan suatu titik saat ini T batas kecenderungan kecepatan rata-rata pada D T® 0. Batasan ini disebut kecepatan arus:
Jadi, kecepatan gerak pada suatu momen tertentu disebut batas rasio pertambahan lintasan D S untuk menambah waktu D T, ketika pertambahan waktu cenderung nol. Karena
Arti geometris dari turunan. Bersinggungan dengan grafik suatu fungsi.
Konstruksi garis singgung merupakan salah satu permasalahan yang menyebabkan lahirnya kalkulus diferensial. Karya terbitan pertama terkait kalkulus diferensial, yang ditulis oleh Leibniz, diberi judul Metode baru tentang maxima dan minima, serta garis singgung, yang tidak menjadi hambatan bagi besaran pecahan maupun irasional, dan jenis kalkulus khusus untuk ini.
Biarkan kurva menjadi grafik fungsi kamu =F(X) dalam sistem koordinat persegi panjang ( cm. beras.).
Pada nilai tertentu X fungsi penting kamu =F(X). Nilai-nilai ini X Dan kamu titik pada kurva tersebut bersesuaian M 0(X, kamu). Jika argumennya X memberi kenaikan D X, maka nilai argumen yang baru X+D X sesuai dengan nilai fungsi baru kamu+ D kamu = F(X + D X). Titik yang sesuai pada kurva akan menjadi titiknya M 1(X+D X,kamu+D kamu). Jika Anda menggambar garis potong M 0M 1 dan dilambangkan dengan j sudut yang dibentuk oleh garis transversal dengan arah sumbu positif Sapi, langsung terlihat jelas dari gambar itu.
Kalau sekarang D X cenderung nol, maka intinya M 1 bergerak sepanjang kurva, mendekati suatu titik M 0, dan sudut J berubah dengan D X. Pada Dx® 0 sudut j cenderung pada batas tertentu a dan garis lurus melalui titik tersebut M 0 dan komponen dengan arah sumbu x positif, sudut a, akan menjadi garis singgung yang diinginkan. Kemiringannya adalah:
Karena itu, F´( X) = tidak
itu. nilai turunan F´( X) untuk nilai argumen tertentu X sama dengan garis singgung sudut yang dibentuk oleh garis singgung grafik fungsi tersebut F(X) pada titik yang sesuai M 0(X,kamu) dengan arah sumbu positif Sapi.
Diferensiabilitas fungsi.
Definisi. Jika fungsinya kamu = F(X) mempunyai turunan pada titik tersebut X = X 0, maka fungsinya terdiferensiasi pada titik ini.
Kontinuitas suatu fungsi yang mempunyai turunan. Dalil.
Jika fungsinya kamu = F(X) dapat terdiferensiasi pada titik tertentu X = X 0, maka kontinu pada titik ini.
Jadi, fungsi tersebut tidak dapat mempunyai turunan pada titik diskontinuitas. Kesimpulan sebaliknya salah, yaitu. dari kenyataan bahwa pada suatu saat X = X 0 fungsi kamu = F(X) kontinu bukan berarti dapat terdiferensiasi pada saat ini. Misalnya saja fungsinya kamu = |X| berkelanjutan untuk semua orang X(–Ґ x x = 0 tidak mempunyai turunan. Pada titik ini tidak ada garis singgung pada grafik. Ada garis singgung kanan dan kiri, tetapi tidak berhimpitan.
Beberapa teorema tentang fungsi terdiferensiasi. Teorema akar-akar turunan (teorema Rolle). Jika fungsinya F(X) kontinu pada segmen tersebut [A,B], terdiferensiasi di semua titik dalam segmen ini dan di ujungnya X = A Dan X = B menjadi nol ( F(A) = F(B) = 0), lalu di dalam segmen [ A,B] setidaknya ada satu poin X= Dengan, A c b, yang merupakan turunannya Fў( X) menjadi nol, mis. Fў( C) = 0.
Teorema pertambahan hingga (teorema Lagrange). Jika fungsinya F(X) kontinu pada interval [ A, B] dan terdiferensiasi di semua titik dalam segmen ini, kemudian di dalam segmen [ A, B] setidaknya ada satu poin Dengan, A cb itu
F(B) – F(A) = Fў( C)(B– A).
Teorema perbandingan pertambahan dua fungsi (teorema Cauchy). Jika F(X) Dan G(X) – dua fungsi kontinu pada segmen tersebut [A, B] dan terdiferensiasi di semua titik interior segmen ini, dan Gў( X) tidak hilang dimanapun di dalam segmen ini, lalu di dalam segmen [ A, B] ada benarnya X = Dengan, A cb itu
Turunan dari berbagai ordo.
Biarkan fungsinya kamu =F(X) terdiferensiasi pada interval tertentu [ A, B]. Nilai turunan F ў( X), secara umum, bergantung pada X, yaitu turunan F ў( X) juga merupakan fungsi dari X. Saat mendiferensiasikan fungsi ini, kita memperoleh apa yang disebut turunan kedua dari fungsi tersebut F(X), yang dilambangkan F ўў ( X).
Turunan N- urutan fungsi F(X) disebut turunan (orde pertama) dari turunan tersebut N- 1- th dan dilambangkan dengan simbol kamu(N) = (kamu(N– 1))ў.
Diferensiasi berbagai ordo.
Diferensial fungsi kamu = F(X), Di mana X– variabel independen, ya mati = F ў( X)dx, beberapa fungsi dari X, tapi dari X hanya faktor pertama yang dapat bergantung F ў( X), faktor kedua ( dx) adalah pertambahan variabel bebas X dan tidak bergantung pada nilai variabel ini. Karena mati ada fungsi dari X, maka kita dapat menentukan diferensial dari fungsi tersebut. Diferensial dari diferensial suatu fungsi disebut diferensial kedua atau diferensial orde kedua dari fungsi ini dan dilambangkan D 2kamu:
D(dx) = D 2kamu = F ўў( X)(dx) 2 .
Diferensial N- orde pertama disebut diferensial pertama dari diferensial tersebut N- 1- urutan ke-:
d n y = D(dn–1kamu) = F(N)(X)dx(N).
Turunan parsial.
Jika suatu fungsi tidak bergantung pada satu, tetapi pada beberapa argumen x saya(Saya bervariasi dari 1 hingga N,Saya= 1, 2,… N),F(X 1,X 2,… xn), kemudian dalam kalkulus diferensial diperkenalkan konsep turunan parsial, yang mencirikan laju perubahan suatu fungsi beberapa variabel ketika hanya satu argumen yang berubah, misalnya, x saya. Turunan parsial orde pertama terhadap x saya didefinisikan sebagai turunan biasa, dan diasumsikan bahwa semua argumen kecuali x saya, pertahankan nilai konstan. Untuk turunan parsial, notasi diperkenalkan
Turunan parsial orde pertama yang didefinisikan dengan cara ini (sebagai fungsi dari argumen yang sama), pada gilirannya, juga dapat memiliki turunan parsial, yaitu turunan parsial orde kedua, dan seterusnya. Turunan yang diambil dari argumen berbeda disebut campuran. Turunan campuran kontinu berorde sama tidak bergantung pada orde diferensiasi dan setara satu sama lain.
Anna Chugainova
