Di kelas VIII, siswa diperkenalkan dengan persamaan kuadrat dan cara menyelesaikannya. Pada saat yang sama, seperti yang ditunjukkan oleh pengalaman, sebagian besar siswa hanya menggunakan satu metode ketika menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap - rumus akar persamaan kuadrat. Bagi siswa yang mempunyai kemampuan mental aritmatika yang baik, cara ini jelas tidak rasional. Siswa sering kali harus menyelesaikan persamaan kuadrat bahkan di sekolah menengah, dan sangat disayangkan menghabiskan waktu menghitung diskriminan. Menurut pendapat saya, ketika mempelajari persamaan kuadrat, lebih banyak waktu dan perhatian harus diberikan pada penerapan teorema Vieta (menurut program A.G. Mordkovich Aljabar-8, hanya direncanakan dua jam untuk mempelajari topik “Teorema Vieta. Penguraian kuadrat trinomial menjadi faktor linier”).
Di sebagian besar buku teks aljabar, teorema ini dirumuskan untuk persamaan kuadrat tereduksi dan menyatakan bahwa jika persamaan mempunyai akar-akar dan , maka persamaan , , terpenuhi. Kemudian dirumuskan pernyataan yang berlawanan dengan teorema Vieta, dan sejumlah contoh diberikan untuk mempraktekkan topik ini.
Mari kita ambil contoh spesifik dan menelusuri logika solusi menggunakan teorema Vieta.
Contoh 1. Selesaikan persamaannya.
Katakanlah persamaan ini mempunyai akar-akar yaitu, dan . Kemudian, menurut teorema Vieta, persamaan harus berlaku secara bersamaan:
Perlu diketahui bahwa hasil kali akar adalah bilangan positif. Artinya akar-akar persamaannya bertanda sama. Dan karena jumlah akar-akarnya juga merupakan bilangan positif, maka kita menyimpulkan bahwa kedua akar persamaan tersebut positif. Mari kita kembali lagi ke produk akarnya. Anggaplah akar-akar persamaannya adalah bilangan bulat positif. Maka persamaan pertama yang benar hanya dapat diperoleh dengan dua cara (sampai urutan faktornya): atau . Mari kita periksa pasangan bilangan yang diusulkan, kelayakan pernyataan kedua teorema Vieta: 
. Jadi, angka 2 dan 3 memenuhi kedua persamaan tersebut, dan oleh karena itu merupakan akar dari persamaan yang diberikan.
Jawaban: 2; 3.
Mari kita soroti tahapan utama penalaran saat menyelesaikan persamaan kuadrat di atas menggunakan teorema Vieta:
| tuliskan pernyataan teorema Vieta | (*) |
- tentukan tanda-tanda akar-akar persamaan (Jika hasil kali dan jumlah akar-akarnya positif, maka kedua akarnya bilangan positif. Jika hasil kali akar-akarnya bilangan positif, dan jumlah akar-akarnya negatif, maka kedua akar bilangan negatif. Jika hasil kali akar-akarnya bilangan negatif, maka akar-akarnya mempunyai tanda yang berbeda. Apalagi jika jumlah akar-akarnya positif, maka akar yang modulusnya lebih besar adalah bilangan positif, dan jika jumlah akar-akarnya kurang dari nol, maka akar yang modulusnya lebih besar adalah bilangan negatif);
- pilih pasangan bilangan bulat yang hasil perkaliannya memberikan persamaan pertama yang benar dalam notasi (*);
- dari pasangan bilangan yang ditemukan, pilihlah pasangan yang jika disubstitusikan ke persamaan kedua dalam notasi (*), akan memberikan persamaan yang benar;
- tunjukkan dalam jawaban Anda akar-akar persamaan yang ditemukan.
Mari kita berikan lebih banyak contoh.
Contoh 2: Selesaikan persamaannya 
.
Larutan.
Misalkan dan menjadi akar persamaan yang diberikan. Kemudian, berdasarkan teorema Vieta, kita mengetahui bahwa hasil perkaliannya positif, dan jumlahnya adalah bilangan negatif. Artinya kedua akarnya adalah bilangan negatif. Kami memilih pasangan faktor yang menghasilkan produk 10 (-1 dan -10; -2 dan -5). Pasangan angka kedua berjumlah -7. Artinya bilangan -2 dan -5 merupakan akar-akar persamaan tersebut.
Menjawab: -2; -5.
Contoh 3: Selesaikan persamaannya 
.
Larutan.
Misalkan dan menjadi akar persamaan yang diberikan. Kemudian, berdasarkan teorema Vieta, kita mengetahui bahwa hasil kali tersebut negatif. Artinya akar-akarnya mempunyai tanda yang berbeda-beda. Jumlah akar-akarnya juga merupakan bilangan negatif. Artinya akar dengan modulus terbesar adalah negatif. Kami memilih pasangan faktor yang menghasilkan produk -10 (1 dan -10; 2 dan -5). Pasangan angka kedua berjumlah -3. Artinya angka 2 dan -5 merupakan akar persamaan tersebut.
Menjawab: 2; -5.
Perhatikan bahwa teorema Vieta, pada prinsipnya, dapat dirumuskan untuk persamaan kuadrat lengkap: jika persamaan kuadrat 
mempunyai akar dan , maka persamaan , , dipenuhi untuknya. Namun penerapan teorema ini cukup bermasalah, karena dalam persamaan kuadrat lengkap setidaknya salah satu akarnya (jika ada, tentu saja) adalah bilangan pecahan. Dan bekerja dengan memilih pecahan itu panjang dan sulit. Namun masih ada jalan keluarnya.
Perhatikan persamaan kuadrat lengkap . Kalikan kedua ruas persamaan dengan koefisien pertama A dan tulis persamaannya dalam bentuk 
. Mari kita perkenalkan variabel baru dan dapatkan persamaan kuadrat tereduksi, yang akar-akarnya dan (jika tersedia) dapat ditemukan menggunakan teorema Vieta. Maka akar-akar persamaan aslinya adalah . Harap dicatat bahwa membuat persamaan tereduksi bantu sangat sederhana: koefisien kedua dipertahankan, dan koefisien ketiga sama dengan hasil kali ac. Dengan keterampilan tertentu, siswa segera membuat persamaan bantu, mencari akar-akarnya menggunakan teorema Vieta, dan menunjukkan akar-akar persamaan lengkap yang diberikan. Mari kita beri contoh.
Contoh 4: Selesaikan persamaannya 
.
Mari kita buat persamaan bantu 
dan menggunakan teorema Vieta kita akan menemukan akarnya. Artinya akar-akar persamaan aslinya 
.
Menjawab: .
Contoh 5: Selesaikan persamaannya 
.
Persamaan bantu berbentuk . Menurut teorema Vieta, akar-akarnya adalah . Menemukan akar-akar persamaan awal 
.
Menjawab: .
Dan satu kasus lagi ketika penerapan teorema Vieta memungkinkan Anda menemukan akar persamaan kuadrat lengkap secara verbal. Tidak sulit untuk membuktikannya angka 1 adalah akar persamaan , jika dan hanya jika. Akar persamaan kedua ditemukan dengan teorema Vieta dan sama dengan . Pernyataan lain: sehingga angka –1 adalah akar persamaan perlu dan cukup untuk. Maka akar kedua persamaan menurut teorema Vieta adalah sama dengan . Pernyataan serupa dapat dirumuskan untuk persamaan kuadrat yang diberikan.
Contoh 6: Selesaikan persamaannya.
Perhatikan bahwa jumlah koefisien persamaannya adalah nol. Jadi, akar persamaannya 
.
Menjawab: .
Contoh 7. Selesaikan persamaannya.
Koefisien persamaan ini memenuhi sifat tersebut
(memang, 1-(-999)+(-1000)=0). Jadi, akar persamaannya 
.
Menjawab: ..
Contoh penerapan teorema Vieta
Tugas 1. Selesaikan persamaan kuadrat yang diberikan menggunakan teorema Vieta.
1. 
6. 
11. 16. 
2. 7. 
12. 17. 
3. 
8. 
13. 
18. 
4. 
9. 
14. 
19. 
5. 
10. 
15. 
20. 
Tugas 2. Selesaikan persamaan kuadrat lengkap dengan meneruskan ke persamaan kuadrat tereduksi bantu.
1. 
6. 
11. 
16. 
2. 
7. 
12. 
17. 
3. 
8. 
13. 
18. 
4. 
9. 
14. 
19. 
5. 
10. 
15. 
20. 
Tugas 3. Selesaikan persamaan kuadrat menggunakan properti.
Salah satu cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat adalah dengan menggunakan rumus VIET, yang dinamai FRANCOIS VIETTE.
Dia adalah seorang pengacara terkenal yang melayani raja Perancis pada abad ke-16. Di waktu luangnya ia belajar astronomi dan matematika. Dia membangun hubungan antara akar dan koefisien persamaan kuadrat.
Keuntungan rumusnya:
1 . Dengan menerapkan rumus tersebut, Anda dapat dengan cepat menemukan solusinya. Karena koefisien kedua tidak perlu dimasukkan ke dalam kuadrat, lalu kurangi 4ac, cari diskriminannya, dan substitusikan nilainya ke dalam rumus untuk mencari akar-akarnya.
2 . Tanpa solusi, Anda dapat menentukan tanda-tanda akar dan memilih nilai-nilai akar.
3 . Setelah memecahkan sistem dua catatan, tidak sulit untuk menemukan akarnya sendiri. Pada persamaan kuadrat di atas, jumlah akar-akarnya sama dengan nilai koefisien kedua yang bertanda minus. Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat di atas sama dengan nilai koefisien ketiga.
4 . Dengan menggunakan akar-akar ini, tuliskan persamaan kuadrat, yaitu selesaikan soal inversnya. Misalnya, metode ini digunakan ketika memecahkan masalah mekanika teoretis.
5 . Akan lebih mudah untuk menggunakan rumus ketika koefisien utama sama dengan satu.
Kekurangan:
1
. Rumusnya tidak universal.
Teorema Vieta kelas 8
Rumus
Jika x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan kuadrat tereduksi x 2 + px + q = 0, maka:
Contoh
x 1 = -1; x 2 = 3 - akar persamaan x 2 - 2x - 3 = 0.
P = -2, q = -3.
X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p,
X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.
Teorema kebalikan
Rumus
Jika bilangan x 1, x 2, p, q dihubungkan dengan syarat:
Maka x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan x 2 + px + q = 0.
Contoh
Mari kita buat persamaan kuadrat menggunakan akar-akarnya:
X 1 = 2 - ? 3 dan x 2 = 2 + ? 3.
P = x 1 + x 2 = 4; hal = -4; q = x 1 x 2 = (2 - ? 3 )(2 + ? 3 ) = 4 - 3 = 1.
Persamaan yang diperlukan berbentuk: x 2 - 4x + 1 = 0.
Antara akar dan koefisien persamaan kuadrat, selain rumus akar, terdapat hubungan berguna lainnya yang diberikan teorema Vieta. Pada artikel kali ini kami akan memberikan rumusan dan pembuktian teorema Vieta untuk persamaan kuadrat. Selanjutnya kita perhatikan teorema kebalikan dari teorema Vieta. Setelah ini, kami akan menganalisis solusi dari contoh yang paling umum. Terakhir, kami menuliskan rumus Vieta yang mendefinisikan hubungan antara akar-akar real persamaan aljabar derajat n dan koefisiennya.
Navigasi halaman.
Teorema Vieta, rumusan, pembuktian
Dari rumus akar-akar persamaan kuadrat a·x 2 +b·x+c=0 yang berbentuk D=b 2 −4·a·c, diperoleh relasi sebagai berikut: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 ·x 2 = c/a . Hasil ini dikonfirmasi teorema Vieta:
Dalil.
Jika x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan kuadrat a x 2 +b x+c=0, maka jumlah akar-akarnya sama dengan perbandingan koefisien b dan a, diambil dengan tanda berlawanan, dan hasil kali dari akar-akarnya sama dengan perbandingan koefisien c dan a, yaitu .
Bukti.
Kita akan melakukan pembuktian teorema Vieta sesuai dengan skema berikut: kita menyusun jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat menggunakan rumus akar yang diketahui, kemudian kita mengubah ekspresi yang dihasilkan dan memastikan bahwa keduanya sama dengan −b/ a dan c/a, masing-masing.
Mari kita mulai dengan menjumlahkan akar-akarnya dan menyusunnya. Sekarang kita membawa pecahan ke penyebut yang sama, kita punya. Di pembilang pecahan yang dihasilkan, setelah itu :. Akhirnya, setelah pada tanggal 2, kita mendapatkan . Ini membuktikan hubungan pertama teorema Vieta untuk jumlah akar persamaan kuadrat. Mari kita beralih ke yang kedua.
Kami menyusun produk dari akar-akar persamaan kuadrat: . Menurut aturan mengalikan pecahan, hasil kali terakhir dapat ditulis sebagai . Sekarang kita mengalikan tanda kurung dengan tanda kurung pada pembilangnya, tetapi akan lebih cepat untuk menciutkan hasil kali ini rumus selisih kuadrat, Jadi . Kemudian, mengingatnya, kami melakukan transisi berikutnya. Dan karena diskriminan persamaan kuadrat sesuai dengan rumus D=b 2 −4·a·c, maka alih-alih D pada pecahan terakhir kita dapat mensubstitusikan b 2 −4·a·c, kita mendapatkan. Setelah membuka tanda kurung dan membawa suku-suku serupa, kita sampai pada pecahan , dan pengurangannya sebesar 4·a menghasilkan . Ini membuktikan hubungan kedua teorema Vieta untuk hasil kali akar.
Jika kita menghilangkan penjelasannya, maka bukti teorema Vieta akan berbentuk singkat:
,
.
Perlu dicatat bahwa jika diskriminan sama dengan nol, persamaan kuadrat memiliki satu akar. Namun, jika kita berasumsi bahwa persamaan dalam kasus ini mempunyai dua akar yang identik, maka persamaan dari teorema Vieta juga berlaku. Memang, ketika D=0 akar persamaan kuadrat sama dengan , maka dan , dan karena D=0, yaitu, b 2 −4·a·c=0, maka b 2 =4·a·c, maka .
Dalam praktiknya, teorema Vieta paling sering digunakan dalam kaitannya dengan persamaan kuadrat tereduksi (dengan koefisien terdepan a sama dengan 1) dalam bentuk x 2 +p·x+q=0. Kadang-kadang dirumuskan untuk persamaan kuadrat jenis ini saja, yang tidak membatasi keumumannya, karena persamaan kuadrat apa pun dapat diganti dengan persamaan ekuivalen dengan membagi kedua ruasnya dengan bilangan bukan nol a. Mari kita berikan rumusan teorema Vieta yang sesuai:
Dalil.
Jumlah akar-akar persamaan kuadrat tereduksi x 2 +p x+q=0 sama dengan koefisien x yang bertanda berlawanan, dan hasil kali akar-akarnya sama dengan suku bebas, yaitu x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 = q.
Teorema kebalikan dari teorema Vieta
Rumusan kedua teorema Vieta yang diberikan pada paragraf sebelumnya menunjukkan bahwa jika x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan kuadrat tereduksi x 2 +p x+q=0, maka relasi x 1 +x 2 =−p , x 1 x 2 =q. Sebaliknya, dari relasi tertulis x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q maka x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x 2 +p x+q=0. Dengan kata lain, kebalikan dari teorema Vieta benar. Mari kita rumuskan dalam bentuk teorema dan buktikan.
Dalil.
Jika bilangan x 1 dan x 2 sedemikian rupa sehingga x 1 +x 2 =−p dan x 1 · x 2 =q, maka x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan kuadrat tereduksi x 2 +p · x+q =0.
Bukti.
Setelah koefisien p dan q pada persamaan x 2 +p·x+q=0 diganti dengan persamaannya melalui x 1 dan x 2, maka persamaan tersebut diubah menjadi persamaan ekuivalen.
Mari kita substitusikan bilangan x 1 sebagai ganti x ke dalam persamaan yang dihasilkan, dan kita mendapatkan persamaannya x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, yang untuk setiap x 1 dan x 2 mewakili persamaan numerik yang benar 0=0, karena x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Oleh karena itu, x 1 adalah akar persamaan x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, artinya x 1 adalah akar persamaan ekuivalen x 2 +p·x+q=0.
Jika dalam persamaan x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0 gantikan bilangan x 2 dengan x, kita peroleh persamaannya x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. Ini adalah persamaan yang sebenarnya x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Oleh karena itu, x 2 juga merupakan akar persamaan x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, dan oleh karena itu persamaan x 2 +p·x+q=0.
Ini melengkapi pembuktian teorema yang bertentangan dengan teorema Vieta.
Contoh penggunaan teorema Vieta
Saatnya berbicara tentang penerapan praktis teorema Vieta dan teorema kebalikannya. Pada bagian ini kita akan menganalisis solusi untuk beberapa contoh yang paling umum.
Mari kita mulai dengan menerapkan teorema kebalikan dari teorema Vieta. Lebih mudah digunakan untuk memeriksa apakah dua bilangan tertentu merupakan akar persamaan kuadrat tertentu. Dalam hal ini, jumlah dan selisihnya dihitung, setelah itu validitas hubungan diperiksa. Jika kedua hubungan ini terpenuhi, maka berdasarkan teorema kebalikan dari teorema Vieta, disimpulkan bahwa bilangan-bilangan tersebut adalah akar-akar persamaan. Jika setidaknya salah satu hubungan tidak terpenuhi, maka bilangan-bilangan tersebut bukan akar-akar persamaan kuadrat. Pendekatan ini dapat digunakan ketika menyelesaikan persamaan kuadrat untuk memeriksa akar-akar yang ditemukan.
Contoh.
Pasangan bilangan 1) x 1 =−5, x 2 =3, atau 2) atau 3) manakah yang merupakan pasangan akar persamaan kuadrat 4 x 2 −16 x+9=0?
Larutan.
Koefisien persamaan kuadrat 4 x 2 −16 x+9=0 adalah a=4, b=−16, c=9. Menurut teorema Vieta, jumlah akar-akar persamaan kuadrat harus sama dengan −b/a, yaitu 16/4=4, dan hasil kali akar-akarnya harus sama dengan c/a, yaitu 9 /4.
Sekarang mari kita hitung jumlah dan hasil kali angka-angka di masing-masing dari tiga pasangan yang diberikan, dan bandingkan dengan nilai yang baru saja kita peroleh.
Dalam kasus pertama kita memiliki x 1 +x 2 =−5+3=−2. Nilai yang dihasilkan berbeda dengan 4 sehingga tidak dapat dilakukan verifikasi lebih lanjut, namun dengan menggunakan teorema kebalikan dari teorema Vieta, kita dapat langsung menyimpulkan bahwa pasangan bilangan pertama bukanlah pasangan akar persamaan kuadrat yang diberikan.
Mari beralih ke kasus kedua. Di sini, syarat pertama terpenuhi. Kami memeriksa kondisi kedua: nilai yang dihasilkan berbeda dari 9/4. Oleh karena itu, pasangan bilangan kedua tersebut bukan merupakan pasangan akar persamaan kuadrat.
Masih ada satu kasus terakhir. Di sini dan . Kedua syarat tersebut terpenuhi, jadi bilangan x 1 dan x 2 ini adalah akar-akar persamaan kuadrat yang diberikan.
Menjawab:
Kebalikan teorema Vieta dapat digunakan dalam praktik untuk mencari akar persamaan kuadrat. Biasanya, akar bilangan bulat dari persamaan kuadrat tertentu dengan koefisien bilangan bulat dipilih, karena dalam kasus lain hal ini cukup sulit dilakukan. Dalam hal ini, mereka menggunakan fakta bahwa jika jumlah dua bilangan sama dengan koefisien kedua persamaan kuadrat, diambil dengan tanda minus, dan hasil kali bilangan-bilangan tersebut sama dengan suku bebas, maka bilangan-bilangan tersebut adalah akar persamaan kuadrat ini. Mari kita pahami ini dengan sebuah contoh.
Mari kita ambil persamaan kuadrat x 2 −5 x+6=0. Agar bilangan x 1 dan x 2 menjadi akar-akar persamaan ini, dua persamaan harus dipenuhi: x 1 + x 2 =5 dan x 1 · x 2 =6. Yang tersisa hanyalah memilih nomor tersebut. Dalam hal ini, caranya cukup mudah: bilangan tersebut adalah 2 dan 3, karena 2+3=5 dan 2·3=6. Jadi, 2 dan 3 adalah akar-akar persamaan kuadrat ini.
Teorema kebalikan dari teorema Vieta sangat mudah digunakan untuk mencari akar kedua dari persamaan kuadrat tertentu ketika salah satu akar sudah diketahui atau jelas. Dalam hal ini, akar kedua dapat ditemukan dari relasi mana pun.
Sebagai contoh, mari kita ambil persamaan kuadrat 512 x 2 −509 x −3=0. Di sini mudah untuk melihat bahwa kesatuan adalah akar persamaan, karena jumlah koefisien persamaan kuadrat ini sama dengan nol. Jadi x 1 =1. Akar kedua x 2 dapat dicari, misalnya, dari relasi x 1 ·x 2 =c/a. Kita mempunyai 1 x 2 =−3/512, dan x 2 =−3/512. Beginilah cara kami menentukan kedua akar persamaan kuadrat: 1 dan −3/512.
Jelas bahwa pemilihan akar hanya disarankan dalam kasus yang paling sederhana. Dalam kasus lain, untuk mencari akar-akarnya, Anda dapat menerapkan rumus akar-akar persamaan kuadrat melalui diskriminan.
Penerapan praktis lainnya dari kebalikan teorema Vieta adalah membuat persamaan kuadrat dengan akar-akar x 1 dan x 2 . Untuk melakukannya, cukup menghitung jumlah akar-akar yang menghasilkan koefisien x dengan tanda kebalikan dari persamaan kuadrat yang diberikan, dan hasil kali akar-akar yang menghasilkan suku bebas.
Contoh.
Tulis persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah −11 dan 23.
Larutan.
Mari kita nyatakan x 1 =−11 dan x 2 =23. Kita menghitung jumlah dan hasil kali bilangan-bilangan berikut: x 1 +x 2 =12 dan x 1 ·x 2 =−253. Oleh karena itu, bilangan-bilangan yang ditunjukkan adalah akar-akar persamaan kuadrat tereduksi dengan koefisien kedua −12 dan suku bebas −253. Artinya, x 2 −12·x−253=0 adalah persamaan yang diperlukan.
Menjawab:
x 2 −12·x−253=0 .
Teorema Vieta sangat sering digunakan ketika menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan tanda-tanda akar persamaan kuadrat. Bagaimana hubungan teorema Vieta dengan tanda-tanda akar persamaan kuadrat tereduksi x 2 +p·x+q=0? Berikut dua pernyataan yang relevan:
- Jika titik potong q adalah bilangan positif dan persamaan kuadrat mempunyai akar real, maka keduanya positif atau keduanya negatif.
- Jika suku bebas q bilangan negatif dan persamaan kuadrat mempunyai akar-akar real, maka tanda-tandanya berbeda, dengan kata lain akar yang satu positif dan akar yang lain negatif.
Pernyataan-pernyataan ini mengikuti rumus x 1 · x 2 =q, serta aturan mengalikan bilangan positif, negatif, dan bilangan yang berbeda tandanya. Mari kita lihat contoh penerapannya.
Contoh.
R itu positif. Dengan menggunakan rumus diskriminan kita mencari D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, nilai dari ekspresi r 2 +8 positif untuk sembarang r nyata, jadi D>0 untuk sembarang r nyata. Akibatnya, persamaan kuadrat asli memiliki dua akar untuk setiap nilai nyata dari parameter r.
Sekarang mari kita cari tahu kapan akarnya memiliki tanda yang berbeda. Jika tanda-tanda akar-akarnya berbeda, maka hasil kali keduanya negatif, dan menurut teorema Vieta, hasil kali akar-akar persamaan kuadrat tereduksi sama dengan suku bebas. Oleh karena itu, kami tertarik pada nilai r yang suku bebasnya r−1 negatif. Jadi, untuk mencari nilai r yang kita minati, kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan linier r−1<0 , откуда находим r<1 .
Menjawab:
di sungai<1 .
rumus Vieta
Di atas kita berbicara tentang teorema Vieta untuk persamaan kuadrat dan menganalisis hubungan yang ditegaskannya. Namun ada rumus yang menghubungkan akar real dan koefisien tidak hanya persamaan kuadrat, tetapi juga persamaan kubik, persamaan derajat keempat, dan secara umum, persamaan aljabar derajat n. Mereka disebut Rumus Vieta.
Mari kita tulis rumus Vieta untuk persamaan aljabar derajat n berbentuk, dan asumsikan persamaan tersebut mempunyai n akar real x 1, x 2, ..., x n (di antara mereka mungkin ada yang bertepatan): 
Rumus Vieta bisa didapatkan teorema penguraian polinomial menjadi faktor linier, serta definisi polinomial yang sama melalui persamaan semua koefisien yang bersesuaian. Jadi polinomial dan perluasannya menjadi faktor linier bentuknya adalah sama. Membuka tanda kurung pada hasil kali terakhir dan menyamakan koefisien yang sesuai, kita memperoleh rumus Vieta.
Khususnya, untuk n=2 kita mempunyai rumus Vieta yang sudah familiar untuk persamaan kuadrat.
Untuk persamaan kubik, rumus Vieta berbentuk 
Perlu dicatat bahwa di sisi kiri rumus Vieta terdapat apa yang disebut rumus dasar polinomial simetris.
Bibliografi.
- Aljabar: buku pelajaran untuk kelas 8. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; diedit oleh S.A.Telyakovsky. - edisi ke-16. - M.: Pendidikan, 2008. - 271 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 8. Dalam 2 jam. Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan umum / A.G. Mordkovich. - Edisi ke-11, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Aljabar dan awal analisis matematis. kelas 10: buku teks. untuk pendidikan umum institusi: dasar dan profil. level / [Yu. M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin]; diedit oleh A.B.Zhizhchenko. - edisi ke-3. - M.: Pendidikan, 2010.- 368 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-022771-1.
Ada sejumlah hubungan dalam persamaan kuadrat. Yang utama adalah hubungan antara akar dan koefisien. Juga dalam persamaan kuadrat terdapat sejumlah hubungan yang diberikan oleh teorema Vieta.
Pada topik kali ini, kami akan menyajikan teorema Vieta itu sendiri dan pembuktiannya terhadap persamaan kuadrat, teorema kebalikan dari teorema Vieta, serta menganalisis sejumlah contoh penyelesaian masalah. Dalam materi ini kita akan memberikan perhatian khusus pada pertimbangan rumus Vieta, yang mendefinisikan hubungan antara akar real persamaan derajat aljabar N dan koefisiennya.
Yandex.RTB RA-339285-1
Rumusan dan pembuktian teorema Vieta
Rumus akar-akar persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 berbentuk x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a, dimana D = b 2 − 4 a c, menjalin hubungan x 1 + x 2 = - ba, x 1 x 2 = ca. Hal ini dikonfirmasi oleh teorema Vieta.
Teorema 1
Dalam persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0, Di mana x 1 Dan x 2– akar-akar, jumlah akar-akarnya akan sama dengan rasio koefisiennya B Dan A, yang diambil dengan tanda berlawanan, dan hasil kali akar-akarnya akan sama dengan rasio koefisiennya C Dan A, yaitu. x 1 + x 2 = - ba, x 1 x 2 = ca.
Bukti 1
Kami menawarkan kepada Anda skema berikut untuk melakukan pembuktian: ambil rumus akar-akar, buatlah jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat, lalu ubah ekspresi yang dihasilkan untuk memastikan bahwa keduanya sama -b a Dan c a masing-masing.
Mari kita jumlahkan akar-akarnya x 1 + x 2 = - b + D 2 · a + - b - D 2 · a. Mari kita bawa pecahan ke penyebut yang sama - b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a. Mari kita buka tanda kurung pada pembilang pecahan yang dihasilkan dan menyajikan suku-suku serupa: - b + D + - b - D 2 · a = - b + D - b - D 2 · a = - 2 · b 2 · a . Mari kita kurangi pecahannya dengan: 2 - b a = - b a.
Beginilah cara kami membuktikan relasi pertama teorema Vieta, yang berkaitan dengan jumlah akar-akar persamaan kuadrat.
Sekarang mari kita beralih ke hubungan kedua.
Untuk melakukannya, kita perlu membuat hasil kali akar-akar persamaan kuadrat: x 1 · x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a.
Mari kita ingat aturan perkalian pecahan dan tulis hasil kali terakhirnya sebagai berikut: - b + D · - b - D 4 · a 2.
Kalikan tanda kurung dengan tanda kurung pada pembilang pecahan, atau gunakan rumus selisih kuadrat untuk mengubah hasil kali ini lebih cepat: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2.
Mari kita gunakan definisi akar kuadrat untuk melakukan transisi berikut: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 . Rumus D = b 2 − 4 a c sesuai dengan diskriminan persamaan kuadrat, oleh karena itu, menjadi pecahan, bukan D dapat diganti b 2 − 4 a c:
b 2 - D 4 a 2 = b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2
Mari kita buka tanda kurung, tambahkan suku serupa dan dapatkan: 4 · a · c 4 · a 2 . Jika kita menyingkatnya menjadi 4a, maka yang tersisa adalah c a . Beginilah cara kami membuktikan hubungan kedua teorema Vieta untuk hasil kali akar.
Pembuktian teorema Vieta dapat ditulis dalam bentuk yang sangat singkat jika penjelasannya dihilangkan:
x 1 + x 2 = - b + D 2 a + - b - D 2 a = - b + D + - b - D 2 a = - 2 b 2 a = - ba , x 1 x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a = - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 = = D = b 2 - 4 · a · c = b 2 - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a .
Jika diskriminan persamaan kuadrat sama dengan nol, maka persamaan tersebut hanya mempunyai satu akar. Untuk dapat menerapkan teorema Vieta pada persamaan tersebut, kita dapat berasumsi bahwa persamaan tersebut, dengan diskriminan sama dengan nol, mempunyai dua akar yang identik. Memang kapan D=0 akar persamaan kuadratnya adalah: - b 2 · a, maka x 1 + x 2 = - b 2 · a + - b 2 · a = - b + (- b) 2 · a = - 2 · b 2 · a = - b a dan x 1 · x 2 = - b 2 · a · - b 2 · a = - b · - b 4 · a 2 = b 2 4 · a 2 , dan karena D = 0, maka b 2 - 4 · a · c = 0, maka b 2 = 4 · a · c, maka b 2 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a.
Paling sering dalam praktiknya, teorema Vieta diterapkan pada bentuk persamaan kuadrat tereduksi x 2 + p x + q = 0, dimana koefisien terdepan a sama dengan 1. Dalam hal ini, teorema Vieta dirumuskan khusus untuk persamaan jenis ini. Hal ini tidak membatasi keumuman karena persamaan kuadrat apa pun dapat diganti dengan persamaan ekuivalen. Untuk melakukan ini, Anda perlu membagi kedua bagiannya dengan angka selain nol.
Mari kita berikan rumusan lain dari teorema Vieta.
Teorema 2
Jumlah akar-akar persamaan kuadrat yang diberikan x 2 + p x + q = 0 akan sama dengan koefisien x, yang diambil dengan tanda berlawanan, produk dari akar-akarnya akan sama dengan suku bebas, yaitu x 1 + x 2 = − hal, x 1 x 2 = q.
Teorema kebalikan dari teorema Vieta
Jika Anda memperhatikan rumusan kedua teorema Vieta dengan cermat, Anda dapat melihatnya pada akarnya x 1 Dan x 2 persamaan kuadrat tereduksi x 2 + p x + q = 0 hubungan berikut ini valid: x 1 + x 2 = − p, x 1 · x 2 = q. Dari hubungan ini x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q maka x 1 Dan x 2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x 2 + p x + q = 0. Jadi kita sampai pada pernyataan yang merupakan kebalikan dari teorema Vieta.
Kami sekarang mengusulkan untuk meresmikan pernyataan ini sebagai teorema dan melakukan pembuktian.
Teorema 3
Jika angkanya x 1 Dan x 2 adalah seperti itu x 1 + x 2 = − hal Dan x 1 x 2 = q, Itu x 1 Dan x 2 adalah akar-akar persamaan kuadrat tereduksi x 2 + p x + q = 0.
Bukti 2
Mengganti peluang P Dan Q untuk ekspresi mereka melalui x 1 Dan x 2 memungkinkan Anda mengubah persamaan x 2 + p x + q = 0 menjadi setara .
Jika kita mengganti angka tersebut ke dalam persamaan yang dihasilkan x 1 alih-alih X, maka kita mendapatkan kesetaraan x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. Ini adalah kesetaraan bagi siapa pun x 1 Dan x 2 berubah menjadi persamaan numerik yang sebenarnya 0 = 0 , Karena x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. Artinya x 1- akar persamaan x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, Terus x 1 juga merupakan akar persamaan ekuivalen x 2 + p x + q = 0.
Substitusi ke dalam persamaan x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0 angka x 2 alih-alih x memungkinkan kita memperoleh kesetaraan x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. Kesetaraan ini dapat dianggap benar karena x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 − x 1 x 2 − x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Ternyata itu x 2 adalah akar persamaan x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, dan karenanya persamaannya x 2 + p x + q = 0.
Kebalikan teorema Vieta telah terbukti.
Contoh penggunaan teorema Vieta
Sekarang mari kita mulai menganalisis contoh paling umum mengenai topik tersebut. Mari kita mulai dengan menganalisis masalah yang memerlukan penerapan teorema kebalikan dari teorema Vieta. Ini dapat digunakan untuk memeriksa angka-angka yang dihasilkan oleh perhitungan untuk melihat apakah angka-angka tersebut merupakan akar-akar persamaan kuadrat tertentu. Untuk melakukannya, Anda perlu menghitung jumlah dan selisihnya, lalu memeriksa validitas relasi x 1 + x 2 = - ba, x 1 · x 2 = a c.
Pemenuhan kedua relasi tersebut menunjukkan bahwa bilangan-bilangan yang diperoleh selama perhitungan merupakan akar-akar persamaan. Jika kita melihat bahwa setidaknya salah satu syarat tidak terpenuhi, maka bilangan-bilangan tersebut tidak dapat menjadi akar-akar persamaan kuadrat yang diberikan dalam rumusan masalah.
Contoh 1
Pasangan bilangan manakah yang 1) x 1 = − 5, x 2 = 3, atau 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3, atau 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2 adalah pasangan akar persamaan kuadrat 4 x 2 − 16 x + 9 = 0?
Larutan
Mari kita cari koefisien persamaan kuadratnya 4 x 2 − 16 x + 9 = 0. Ini adalah a = 4, b = − 16, c = 9. Menurut teorema Vieta, jumlah akar-akar persamaan kuadrat harus sama dengan -b a, itu adalah, 16 4 = 4 , dan hasil kali akar-akarnya harus sama c a, itu adalah, 9 4 .
Mari kita periksa bilangan yang diperoleh dengan menghitung jumlah dan hasil kali bilangan dari tiga pasangan tertentu dan membandingkannya dengan nilai yang diperoleh.
Dalam kasus pertama x 1 + x 2 = − 5 + 3 = − 2. Nilai ini berbeda dengan 4 sehingga pemeriksaan tidak perlu dilanjutkan. Berdasarkan teorema kebalikan dari teorema Vieta, kita dapat langsung menyimpulkan bahwa pasangan bilangan pertama bukanlah akar-akar persamaan kuadrat tersebut.
Dalam kasus kedua, x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. Kami melihat bahwa kondisi pertama terpenuhi. Namun syarat kedua tidak: x 1 · x 2 = 1 - 3 · 3 + 3 = 3 + 3 - 3 · 3 - 3 = - 2 · 3. Nilai yang kami dapatkan berbeda dengan 9 4 . Artinya pasangan bilangan kedua bukanlah akar-akar persamaan kuadrat.
Mari kita beralih ke pasangan ketiga. Disini x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 dan x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4. Kedua syarat tersebut terpenuhi, artinya demikian x 1 Dan x 2 adalah akar-akar persamaan kuadrat tertentu.
Menjawab: x 1 = 2 + 7 2 , x 2 = 2 - 7 2
Kita juga dapat menggunakan kebalikan dari teorema Vieta untuk mencari akar persamaan kuadrat. Cara termudah adalah dengan memilih akar bilangan bulat dari persamaan kuadrat tertentu dengan koefisien bilangan bulat. Pilihan lain dapat dipertimbangkan. Namun hal ini dapat mempersulit penghitungan secara signifikan.
Untuk memilih akar-akar, kita menggunakan fakta bahwa jika jumlah dua bilangan sama dengan koefisien kedua persamaan kuadrat, yang diberi tanda minus, dan hasil kali bilangan-bilangan tersebut sama dengan suku bebasnya, maka bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan akar persamaan kuadrat ini.
Contoh 2
Sebagai contoh, kita menggunakan persamaan kuadrat x 2 − 5 x + 6 = 0. Angka x 1 Dan x 2 dapat menjadi akar persamaan ini jika dua persamaan terpenuhi x 1 + x 2 = 5 Dan x 1 x 2 = 6. Mari kita pilih nomor-nomor ini. Ini adalah nomor 2 dan 3, karena 2 + 3 = 5 Dan 2 3 = 6. Ternyata 2 dan 3 adalah akar-akar persamaan kuadrat tersebut.
Kebalikan dari teorema Vieta dapat digunakan untuk mencari akar kedua jika akar pertama diketahui atau jelas. Untuk melakukan ini, kita dapat menggunakan relasi x 1 + x 2 = - ba, x 1 · x 2 = c a.
Contoh 3
Pertimbangkan persamaan kuadrat 512 x 2 − 509 x − 3 = 0. Akar persamaan ini perlu dicari.
Larutan
Akar persamaan kuadrat pertama adalah 1, karena jumlah koefisien persamaan kuadrat ini adalah nol. Ternyata itu x 1 = 1.
Sekarang mari kita cari akar kedua. Untuk ini, Anda dapat menggunakan relasi x 1 x 2 = ca. Ternyata itu 1 x 2 = − 3,512, Di mana x 2 = - 3,512.
Menjawab: akar persamaan kuadrat yang ditentukan dalam rumusan masalah 1 Dan - 3 512 .
Pemilihan akar dapat dilakukan dengan menggunakan teorema invers teorema Vieta hanya pada kasus sederhana. Dalam kasus lain, lebih baik mencari menggunakan rumus akar-akar persamaan kuadrat melalui diskriminan.
Berkat kebalikan dari teorema Vieta, kita juga dapat membuat persamaan kuadrat menggunakan akar-akar yang ada x 1 Dan x 2. Untuk melakukan ini, kita perlu menghitung jumlah akar-akarnya, yang menghasilkan koefisien X dengan tanda kebalikan dari persamaan kuadrat yang diberikan, dan hasil kali akar-akarnya, yang menghasilkan suku bebas.
Contoh 4
Tulislah persamaan kuadrat yang akar-akarnya berupa bilangan − 11 Dan 23 .
Larutan
Mari kita asumsikan itu x 1 = − 11 Dan x 2 = 23. Jumlah dan hasil kali bilangan-bilangan ini akan sama: x 1 + x 2 = 12 Dan x 1 x 2 = − 253. Artinya koefisien kedua adalah 12, suku bebasnya − 253.
Mari kita buat persamaan: x 2 − 12 x − 253 = 0.
Menjawab: x 2 − 12 x − 253 = 0 .
Kita dapat menggunakan teorema Vieta untuk menyelesaikan permasalahan yang melibatkan tanda-tanda akar persamaan kuadrat. Keterkaitan teorema Vieta berkaitan dengan tanda-tanda akar persamaan kuadrat tereduksi x 2 + p x + q = 0 dengan cara berikut:
- jika persamaan kuadrat mempunyai akar real dan suku potongnya Q adalah bilangan positif, maka akar-akar tersebut akan mempunyai tanda “+” atau “-” yang sama;
- jika persamaan kuadrat mempunyai akar-akar dan suku potongnya Q adalah bilangan negatif, maka salah satu akarnya adalah “+”, dan akar kedua adalah “-”.
Kedua pernyataan ini merupakan konsekuensi dari rumus tersebut x 1 x 2 = q dan aturan perkalian bilangan positif dan negatif, serta bilangan yang berbeda tandanya.
Contoh 5
Merupakan akar-akar persamaan kuadrat x 2 − 64 x − 21 = 0 positif?
Larutan
Menurut teorema Vieta, akar-akar persamaan ini tidak bisa keduanya positif, karena keduanya harus memenuhi persamaan x 1 x 2 = − 21. Ini tidak mungkin dilakukan dengan hal positif x 1 Dan x 2.
Menjawab: TIDAK
Contoh 6
Pada nilai parameter apa R persamaan kuadrat x 2 + (r + 2) x + r − 1 = 0 akan mempunyai dua akar real yang tandanya berbeda.
Larutan
Mari kita mulai dengan mencari nilai yang mana R, yang persamaannya mempunyai dua akar. Mari kita temukan pembedanya dan lihat apa R itu akan mengambil nilai-nilai positif. D = (r + 2) 2 − 4 1 (r − 1) = r 2 + 4 r + 4 − 4 r + 4 = r 2 + 8. Nilai ekspresi r 2 + 8 positif untuk apa pun yang nyata R, oleh karena itu, diskriminannya akan lebih besar dari nol untuk real apa pun R. Artinya, persamaan kuadrat asli akan memiliki dua akar untuk setiap nilai riil parameternya R.
Sekarang mari kita lihat jika akar-akarnya mempunyai tanda yang berbeda. Hal ini dimungkinkan jika produk mereka negatif. Menurut teorema Vieta, hasil kali akar-akar persamaan kuadrat tereduksi sama dengan suku bebas. Artinya, solusi yang tepat adalah nilai-nilai tersebut R, yang suku bebasnya r − 1 negatif. Mari kita selesaikan pertidaksamaan linier r − 1< 0 , получаем r < 1 .
Menjawab: di sungai< 1 .
rumus Vieta
Ada sejumlah rumus yang dapat diterapkan untuk melakukan operasi dengan akar dan koefisien tidak hanya persamaan kuadrat, tetapi juga persamaan kubik dan jenis persamaan lainnya. Itu disebut formula Vieta.
Untuk persamaan derajat aljabar N berbentuk a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 x + a n = 0 persamaan tersebut dianggap ada N akar nyata x 1 , x 2 , … , xn, di antaranya mungkin sama:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n = - a 1 a 0 , x 1 · x 2 + x 1 · x 3 + . . . + x n - 1 · x n = a 2 a 0 , x 1 · x 2 · x 3 + x 1 · x 2 · x 4 + . . . + x n - 2 · x n - 1 · x n = - a 3 a 0 , . . . x 1 · x 2 · x 3 · . . . · x n = (- 1) n · a n a 0
Definisi 1
Rumus Vieta membantu kita memperoleh:
- teorema penguraian polinomial menjadi faktor linier;
- penentuan polinomial yang sama melalui persamaan semua koefisien yang bersesuaian.
Jadi, polinomial a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n dan perluasannya menjadi faktor linier berbentuk a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (x - x n) sama.
Jika kita membuka tanda kurung pada hasil kali terakhir dan menyamakan koefisien yang sesuai, kita memperoleh rumus Vieta. Dengan mengambil n = 2, kita dapat memperoleh rumus Vieta untuk persamaan kuadrat: x 1 + x 2 = - a 1 a 0, x 1 · x 2 = a 2 a 0.
Definisi 2
Rumus Vieta untuk persamaan kubik:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0 , x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0 , x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0
Sisi kiri rumus Vieta berisi apa yang disebut polinomial simetris dasar.
Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter
Teorema Vieta adalah konsep yang akrab bagi hampir semua orang sejak masa sekolah. Tapi apakah itu benar-benar “akrab”? Hanya sedikit orang yang menemukannya dalam kehidupan sehari-hari. Namun tidak semua orang yang mempelajari matematika terkadang memahami sepenuhnya makna mendalam dan signifikansi besar dari teorema ini.
Teorema Vieta sangat memudahkan proses penyelesaian sejumlah besar masalah matematika, yang pada akhirnya menghasilkan solusi:
Setelah memahami pentingnya alat matematika yang sederhana dan efektif, Anda pasti memikirkan orang yang pertama kali menemukannya.
Seorang ilmuwan Perancis terkenal yang memulai karirnya sebagai pengacara. Tapi yang jelas, matematika adalah panggilannya. Saat bertugas di kerajaan sebagai penasihat, ia menjadi terkenal karena mampu membaca pesan terenkripsi yang disadap dari Raja Spanyol ke Belanda. Hal ini memberi kesempatan kepada raja Prancis Henry III untuk mengetahui semua niat lawan-lawannya.
Secara bertahap menjadi akrab dengan pengetahuan matematika, François Viète sampai pada kesimpulan bahwa harus ada hubungan erat antara penelitian terbaru para “ahli aljabar” pada waktu itu dan warisan geometris yang mendalam dari zaman dahulu. Dalam perjalanan penelitian ilmiahnya, ia mengembangkan dan merumuskan hampir semua aljabar dasar. Dia adalah orang pertama yang memperkenalkan penggunaan besaran huruf ke dalam peralatan matematika, dengan jelas membedakan konsep: bilangan, besaran, dan hubungannya. Viet membuktikan bahwa dengan melakukan operasi dalam bentuk simbolik, masalah untuk kasus umum dapat diselesaikan, untuk hampir semua nilai besaran tertentu.
Penelitiannya untuk menyelesaikan persamaan derajat yang lebih tinggi dari yang kedua menghasilkan teorema yang sekarang dikenal sebagai teorema Vieta yang digeneralisasi. Ini memiliki signifikansi praktis yang besar, dan penggunaannya memungkinkan penyelesaian persamaan tingkat tinggi dengan cepat.
Salah satu sifat teorema ini adalah sebagai berikut: hasil kali semua pangkat ke-n sama dengan suku bebasnya. Sifat ini sering digunakan ketika menyelesaikan persamaan derajat ketiga atau keempat untuk mengurangi orde polinomial. Jika suatu polinomial derajat ke-n memiliki akar-akar bilangan bulat, maka akar-akar tersebut dapat dengan mudah ditentukan dengan seleksi sederhana. Dan kemudian dengan membagi polinomial dengan ekspresi (x-x1), kita memperoleh polinomial berderajat (n-1).
Sebagai kesimpulan, saya ingin mencatat bahwa teorema Vieta adalah salah satu teorema paling terkenal dalam kursus aljabar sekolah. Dan namanya menempati tempat yang layak di antara nama-nama ahli matematika hebat.
