Masalah matematika dapat diterapkan dalam banyak ilmu pengetahuan. Ini tidak hanya mencakup fisika, kimia, teknologi dan ekonomi, tetapi juga kedokteran, ekologi dan disiplin ilmu lainnya. Salah satu konsep penting yang harus dikuasai untuk menemukan solusi atas dilema penting adalah turunan suatu fungsi. Makna fisiknya sama sekali tidak sulit untuk dijelaskan seperti yang terlihat bagi mereka yang belum mengetahui inti permasalahannya. Cukup dengan menemukan contoh yang cocok dalam kehidupan nyata dan situasi sehari-hari. Faktanya, setiap pengendara mobil mengatasi tugas serupa setiap hari ketika dia melihat speedometer, menentukan kecepatan mobilnya pada waktu tertentu dalam waktu tertentu. Lagi pula, parameter inilah yang mengandung esensi makna fisik turunan.
Bagaimana menemukan kecepatan
Setiap siswa kelas lima dapat dengan mudah menentukan kecepatan seseorang di jalan, mengetahui jarak yang ditempuh dan waktu tempuh. Untuk melakukan ini, bagi nilai pertama dengan nilai kedua. Namun tidak semua matematikawan muda mengetahui bahwa mereka saat ini sedang menemukan rasio pertambahan suatu fungsi dan argumen. Memang jika kita bayangkan pergerakannya dalam bentuk grafik, plot lintasan sepanjang sumbu ordinat dan waktu sepanjang absis, akan persis seperti ini.
Namun, kecepatan pejalan kaki atau benda lain apa pun, yang kita tentukan pada sebagian besar jalan, mengingat pergerakannya seragam, mungkin saja berubah. Ada banyak bentuk gerak yang dikenal dalam fisika. Hal ini dapat terjadi tidak hanya dengan percepatan konstan, tetapi juga melambat dan meningkat secara sewenang-wenang. Perlu diperhatikan bahwa dalam hal ini garis yang menggambarkan pergerakan tidak lagi menjadi garis lurus. Secara grafis, ini dapat mengambil konfigurasi yang paling rumit. Namun untuk titik mana pun pada grafik, kita selalu dapat menggambar garis singgung, yang diwakili oleh fungsi linier.
Untuk memperjelas parameter perubahan perpindahan tergantung waktu, perlu dilakukan pemendekan segmen yang diukur. Ketika kecepatannya menjadi sangat kecil, kecepatan yang dihitung akan menjadi seketika. Pengalaman ini membantu kita mendefinisikan turunan. Makna fisiknya juga secara logis mengikuti penalaran tersebut.
Dari sudut pandang geometri
Diketahui bahwa semakin besar kecepatan suatu benda, semakin curam grafik ketergantungan perpindahan terhadap waktu, dan oleh karena itu juga sudut kemiringan garis singgung grafik pada suatu titik tertentu. Indikator perubahan tersebut dapat berupa garis singgung sudut antara sumbu absis dan garis singgung. Hal inilah yang menentukan nilai turunannya dan dihitung dengan perbandingan panjang kaki yang berhadapan dengan kaki yang berdekatan pada segitiga siku-siku yang dibentuk oleh garis tegak lurus yang dijatuhkan dari suatu titik tertentu ke sumbu absis.
Inilah arti geometri dari turunan pertama. Fisika terungkap dalam kenyataan bahwa nilai sisi yang berlawanan dalam kasus kita mewakili jarak yang ditempuh, dan sisi yang berdekatan mewakili waktu. Dalam hal ini, rasionya adalah kecepatan. Dan sekali lagi kita sampai pada kesimpulan bahwa kecepatan sesaat, yang ditentukan ketika kedua interval cenderung sangat kecil, adalah intinya, yang menunjukkan makna fisiknya. Turunan kedua dalam contoh ini adalah percepatan benda, yang selanjutnya menunjukkan derajat perubahan kecepatan.
Contoh mencari turunan dalam fisika
Turunannya adalah indikator laju perubahan fungsi apa pun, meskipun kita tidak berbicara tentang gerak dalam arti sebenarnya. Untuk menunjukkan hal ini dengan jelas, kami akan memberikan beberapa contoh spesifik. Misalkan kekuatan arus, tergantung waktu, berubah menurut hukum berikut: SAYA= 0,4t 2 . Nilai kecepatan perubahan parameter ini harus dicari pada akhir detik ke-8 proses. Perhatikan bahwa nilai yang diinginkan, seperti yang dapat dinilai dari persamaan, terus meningkat.
Untuk menyelesaikannya, perlu dicari turunan pertama yang arti fisisnya telah dibahas sebelumnya. Di Sini dI/ dt = 0,8 T. Selanjutnya kita akan menemukannya di T=8 , kami menemukan bahwa laju terjadinya perubahan saat ini adalah sama dengan 6,4 A/ C. Di sini dianggap bahwa kekuatan arus diukur dalam ampere, dan waktu, dalam hitungan detik.
Semuanya bisa berubah
Dunia nyata di sekitarnya, yang terdiri dari materi, terus-menerus mengalami perubahan, karena berbagai proses yang terjadi di dalamnya bergerak. Berbagai parameter dapat digunakan untuk menggambarkannya. Jika disatukan oleh suatu ketergantungan, maka dituliskan secara matematis dalam bentuk fungsi yang secara jelas menunjukkan perubahannya. Dan di mana ada gerakan (dalam bentuk apa pun yang diungkapkan), di situ juga terdapat turunannya, yang makna fisiknya sedang kita pertimbangkan saat ini.
Contoh berikut adalah tentang hal ini. Katakanlah suhu tubuh berubah menurut hukum T=0,2 T 2 . Anda akan mengetahui laju pemanasannya pada akhir detik ke-10. Masalahnya diselesaikan dengan cara yang mirip dengan yang dijelaskan dalam kasus sebelumnya. Artinya, kita mencari turunannya dan mensubstitusikan nilainya T= 10 , kita mendapatkan T= 0,4 T= 4. Artinya jawaban akhirnya adalah 4 derajat per detik, yaitu proses pemanasan dan perubahan suhu, diukur dalam derajat, terjadi tepat pada kecepatan ini.
Memecahkan masalah praktis
Tentu saja, dalam kehidupan nyata segala sesuatunya bisa menjadi jauh lebih rumit daripada masalah teoretis. Dalam prakteknya, nilai besaran biasanya ditentukan selama percobaan. Dalam hal ini digunakan instrumen yang memberikan pembacaan selama pengukuran dengan kesalahan tertentu. Oleh karena itu, saat menghitung, Anda harus berurusan dengan perkiraan nilai parameter dan menggunakan pembulatan angka yang tidak tepat, serta penyederhanaan lainnya. Setelah mempertimbangkan hal ini, mari kita kembali ke soal makna fisis turunan, dengan mengingat bahwa turunan tersebut hanyalah sejenis model matematika dari proses paling kompleks yang terjadi di alam.
Letusan
Bayangkan saja gunung berapi sedang meletus. Seberapa berbahayanya dia? Untuk memperjelas masalah ini, banyak faktor yang perlu dipertimbangkan. Kami akan mencoba mempertimbangkan salah satunya.
Dari mulut "monster api" batu-batu dilemparkan secara vertikal ke atas, dengan kecepatan awal sejak keluar. Penting untuk menghitung berapa ketinggian maksimum yang dapat mereka capai.
Untuk mencari nilai yang diinginkan, kita akan membuat persamaan ketergantungan tinggi H, diukur dalam meter, pada nilai lainnya. Ini termasuk kecepatan dan waktu awal. Kami menganggap nilai percepatan diketahui dan kira-kira sama dengan 10 m/s 2 .
Turunan parsial
Sekarang mari kita perhatikan arti fisis turunan suatu fungsi dari sudut yang sedikit berbeda, karena persamaan itu sendiri mungkin tidak hanya memuat satu, tetapi beberapa variabel. Misalnya pada soal sebelumnya, ketergantungan ketinggian naiknya batu yang keluar dari mulut gunung berapi tidak hanya ditentukan oleh perubahan karakteristik waktu, tetapi juga oleh nilai kecepatan awal. Yang terakhir ini dianggap sebagai nilai yang konstan dan tetap. Namun dalam masalah lain dengan kondisi yang sangat berbeda, segalanya bisa saja berbeda. Jika ada beberapa besaran yang bergantung pada suatu fungsi kompleks, perhitungan dilakukan menggunakan rumus di bawah ini.
Arti fisis dari turunan frekuensi harus ditentukan seperti dalam kasus biasa. Ini adalah laju perubahan suatu fungsi pada titik tertentu seiring dengan meningkatnya parameter variabel. Dihitung sedemikian rupa sehingga semua komponen lainnya dianggap konstan, hanya satu yang dianggap sebagai variabel. Kemudian semuanya terjadi sesuai aturan biasa.
Memahami makna fisis turunan, tidaklah sulit untuk memberikan contoh penyelesaian masalah yang rumit dan kompleks, yang jawabannya dapat ditemukan dengan pengetahuan tersebut. Jika kita memiliki fungsi yang menggambarkan konsumsi bahan bakar tergantung pada kecepatan mobil, kita dapat menghitung pada parameter mana konsumsi bensin paling sedikit.
Dalam dunia kedokteran, kita dapat memprediksi bagaimana reaksi tubuh manusia terhadap obat yang diresepkan oleh dokter. Mengkonsumsi obat mempengaruhi berbagai indikator fisiologis. Ini termasuk perubahan tekanan darah, detak jantung, suhu tubuh dan banyak lagi. Semuanya bergantung pada dosis obat yang diminum. Perhitungan ini membantu memprediksi jalannya pengobatan, baik dalam manifestasi yang menguntungkan maupun dalam kejadian yang tidak diinginkan yang dapat berdampak fatal pada perubahan pada tubuh pasien.
Tidak diragukan lagi, penting untuk memahami makna fisik turunan dalam hal teknis, khususnya di bidang teknik elektro, elektronik, desain dan konstruksi.
Jarak pengereman
Mari kita pertimbangkan masalah selanjutnya. Bergerak dengan kecepatan tetap, mobil yang mendekati jembatan terpaksa mengerem 10 detik sebelum pintu masuk, karena pengemudi melihat rambu jalan yang melarang pergerakan dengan kecepatan lebih dari 36 km/jam. Apakah pengemudi melanggar peraturan jika jarak pengeremannya dapat dijelaskan dengan rumus S = 26t - t 2?
Setelah menghitung turunan pertama, kita mencari rumus kecepatan, kita mendapatkan v = 28 - 2t. Selanjutnya, kita substitusikan nilai t=10 ke dalam ekspresi yang ditunjukkan.
Karena nilai ini dinyatakan dalam detik, maka kecepatannya menjadi 8 m/s, yang berarti 28,8 km/jam. Hal ini memungkinkan untuk memahami bahwa pengemudi mulai mengerem tepat waktu dan tidak melanggar peraturan lalu lintas, dan oleh karena itu batas kecepatan ditunjukkan pada rambu tersebut.
Hal ini membuktikan pentingnya makna fisis dari turunan. Contoh penyelesaian masalah ini menunjukkan luasnya penerapan konsep ini dalam berbagai bidang kehidupan. Termasuk dalam situasi sehari-hari.
Derivatif dalam bidang ekonomi
Hingga abad ke-19, sebagian besar ekonom beroperasi dengan rata-rata, baik produktivitas tenaga kerja maupun harga produk manufaktur. Namun pada titik tertentu, nilai batas menjadi semakin diperlukan untuk membuat perkiraan yang efektif di bidang ini. Ini mungkin termasuk utilitas marjinal, pendapatan atau biaya. Pemahaman ini memberi dorongan pada penciptaan alat penelitian ekonomi yang benar-benar baru, yang telah ada dan dikembangkan selama lebih dari seratus tahun.
Untuk menyusun perhitungan seperti itu, yang didominasi oleh konsep minimum dan maksimum, Anda hanya perlu memahami arti geometri dan fisis dari turunan tersebut. Di antara pencipta landasan teori disiplin ilmu ini adalah ekonom Inggris dan Austria terkemuka seperti W. S. Jevons, K. Menger dan lain-lain. Tentu saja, tidak selalu mudah menggunakan nilai batas dalam perhitungan ekonomi. Dan, misalnya, laporan triwulanan belum tentu sesuai dengan skema yang ada, namun penerapan teori semacam itu dalam banyak kasus berguna dan efektif.
Turunan suatu fungsi - gagasan kalkulus diferensial Newton dan Leibniz - memiliki makna fisis yang sangat pasti jika kita perhatikan lebih dalam.
Arti umum dari turunan
Turunan suatu fungsi adalah batas di mana rasio kenaikan nilai suatu fungsi terhadap kenaikan argumen cenderung nol. Bagi orang yang tidak siap, ini terdengar sangat abstrak. Jika Anda melihatnya, akan terlihat jelas bahwa ini tidak benar. Untuk mencari turunan suatu fungsi, ambil fungsi sembarang - ketergantungan "y" pada "x". Dalam ekspresi fungsi ini, ganti argumennya dengan pertambahan argumen dan bagi ekspresi yang dihasilkan dengan pertambahan itu sendiri. Anda akan mendapatkan sebagian kecil. Selanjutnya, Anda perlu melakukan operasi pembatas. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengarahkan pertambahan argumen ke nol dan mengamati ke mana arah pecahan Anda dalam kasus ini. Biasanya, nilai akhir tersebut adalah turunan dari fungsi tersebut. Harap dicatat bahwa dalam ekspresi turunan suatu fungsi tidak akan ada lagi kenaikan apa pun, karena Anda menetapkannya ke nol, sehingga hanya variabel itu sendiri dan (atau) konstanta yang tersisa kenaikan fungsi dengan kenaikan argumen. Apa arti dari nilai seperti itu? Misalnya, jika Anda mencari turunan suatu fungsi linier, Anda akan melihat bahwa turunannya konstan. Selain itu, konstanta dalam ekspresi fungsi itu sendiri hanya dikalikan dengan argumennya. Selanjutnya, jika Anda memplot fungsi ini untuk nilai turunan yang berbeda, cukup dengan mengubahnya berulang kali, Anda akan melihat bahwa pada nilai yang lebih tinggi kemiringan garis menjadi lebih besar, dan sebaliknya. Jika Anda tidak berurusan dengan fungsi linier, maka nilai turunan pada suatu titik tertentu akan menunjukkan kemiringan garis singgung yang ditarik pada titik tertentu pada fungsi tersebut. Jadi, nilai turunan suatu fungsi menunjukkan laju pertumbuhan fungsi tersebut pada suatu titik tertentu.Arti fisis dari turunan
Sekarang, untuk memahami arti fisik dari turunan, cukup dengan mengganti fungsi abstrak Anda dengan fungsi berbasis fisik. Misalnya, Anda memiliki ketergantungan jalur pergerakan suatu benda terhadap waktu. Maka turunan dari fungsi tersebut akan memberi tahu Anda tentang kecepatan gerak benda. Jika diperoleh nilai konstan, maka kita dapat mengatakan bahwa benda bergerak beraturan, yaitu dengan kecepatan konstan. Jika diperoleh persamaan turunan yang bergantung linier terhadap waktu, maka akan terlihat jelas bahwa geraknya dipercepat secara beraturan, karena turunan keduanya, yaitu turunan dari turunan tersebut, akan konstan, yang sebenarnya berarti keteguhan. kecepatan benda, dan ini adalah percepatannya. Anda dapat mengambil fungsi fisik lainnya dan melihat bahwa turunannya akan memberi Anda makna fisik.hukum Avogadro: pada tekanan dan suhu tetap, gas-gas yang volumenya sama mengandung jumlah molekul yang sama.
Proses isotermal
6. Merumuskan akibat utama hukum Avogadro. Kondisi apa yang dianggap normal dan berapa volume molar gas pada kondisi tersebut?
Akibat wajar dari hukum Avogadro: satu mol gas apa pun, dalam kondisi yang sama, menempati volume yang sama. Khususnya, dalam kondisi normal, mis. pada 0 °C (273 K) dan 101,3 kPa, volume 1 mol gas adalah 22,4 liter. Volume ini disebut volume molar gas Vm.
7.Apa yang menjadi ciri kepadatan relatif suatu gas dibandingkan dengan gas lainnya? Bagaimana massa jenis gas dihitung dan apa arti fisisnya?
Perbandingan massa dua gas yang volumenya sama pada kondisi yang sama disebut massa jenis suatu gas terhadap gas lainnya, yaitu.
8. Merumuskan hukum Boyle-Mariotte dan Gay-Lussac dan menuliskan persamaan matematisnya.
Hukum Boyle-Mariotte mencerminkan hubungan antara tekanan p dan volume V sejumlah gas pada suhu konstan: pada suhu konstan, tekanan yang dihasilkan oleh massa gas tertentu berbanding terbalik dengan volume gas: pV = konstanta. Dengan kata lain, ketika suatu gas bertransisi dari keadaan dengan parameter p 1 dan V 1 ke keadaan dengan parameter p 2 dan V 2 (pada T, n = const), kondisi berikut terpenuhi: p 1 V 1 = p 2 V 2 .
Rasio ini digunakan dalam perhitungan.
Hukum Gay-Lussac menghubungkan volume gas V dengan suhu T (pada p = konstanta): pada tekanan konstan, volume gas berubah berbanding lurus dengan suhu absolut:
P 
Dalam perhitungan biasanya digunakan relasi
9. Merumuskan hukum gas terpadu dan menuliskan ekspresi matematikanya. Dalam perhitungan apa yang digunakan?
Berdasarkan prinsip Boyle-Mariotte, Gay-Lussac dan Avogadro, gabungan gas dihilangkan:
= konstanta. Untuk perhitungannya digunakan rasio sebagai berikut: . Arti fisis dari hukum tersebut adalah sebagai berikut: perubahan salah satu parameter p, V, T selama transisi dari keadaan 1 ke keadaan 2 menyebabkan perubahan pada parameter lain, tetapi hubungannya 
- nilainya konstan. Terlihat bahwa pada T = const (T 1 = T 2) kita memperoleh hukum Boyle-Mariotte (p 1 V 1 = p 2 V 2), dan pada p = const (p 1 = p 2) - Gay -Hukum Lussac-Charles 
, yaitu undang-undang ini merupakan kasus khusus dari hukum gas gabungan. Nilai gabungan digunakan untuk menghitung parameter gas selama transisi dari satu keadaan ke keadaan lain dan, paling sering, salah satu dari keadaan ini sesuai dengan kondisi standar. Kondisi standar diambil pada tekanan 101325 Pa (1 atm) dan suhu 273,15 K (0 °C). Untuk perhitungan biasanya digunakan nilai perkiraan: 1 10 s Pa dan 273 K.
10.Tuliskan persamaan Clayperon-Mendeleev. Apa arti fisika dari konstanta gas universal? Nilai apa yang dapat diambilnya dan bergantung pada apa nilainya?
Hukum gas gabungan berlaku untuk berapa pun jumlah gas. Untuk gas ideal 1 mol, perbandingannya 
dilambangkan dengan R. Besaran ini merupakan konstanta fisika dasar dan disebut konstanta gas universal (molar). Untuk 1 mol gas pV m = RT, dan untuk n mol pV = nRT. Dengan memperhitungkan n, persamaan yang dihasilkan berbentuk
pV = 
RT.
Persamaan terakhir dikenal sebagai persamaan Mendeleev-Clapeyron dan paling sering digunakan dalam perhitungan. Ini menetapkan hubungan antara tekanan, volume, suhu dan kuantitas suatu zat. Persamaan Mendeleev-Clapeyron berlaku untuk gas ideal, tetapi memungkinkan perhitungan parameter gas nyata dalam kondisi fisik mendekati normal, atau lebih tepatnya, pada tekanan tidak terlalu tinggi dan suhu tidak terlalu rendah.
R=8,32*Pa*m 3 /mol*K
