Bekerja untuk mengisi kesenjangan dalam pengetahuan siswa.
(Kioseva E.N.,
guru bahasa dan sastra Rusia)
Salah satu masalah utama yang harus dipecahkan oleh guru kita adalah
sekolah bekerja dengan siswa yang berkinerja rendah. Mereka yang berprestasi rendah
siswa dianggap memiliki kemampuan mental yang lemah dan
kemampuan dan keterampilan belajar yang lemah, tingkat memori yang rendah atau mereka yang
tidak ada motif efektif untuk mengajar. Bukan rahasia lagi kalau siswa seperti itu
sekolah ada. Untuk mencegah kategori siswa ini diklasifikasikan sebagai
kerja yang kurang berprestasi dan sistematis dengan
siswa yang berprestasi rendah. Saya ingin berhenti bekerja dengannya
siswa tertinggal dalam bahasa Rusia.
“Bekerja dengan siswa yang tertinggal dalam bahasa Rusia dan mencegahnya
kegagalan"
V
Dalam masalah besar dan penting dalam memerangi kegagalan siswa dan
peningkatan kualitas pengetahuan, saya melihat dua sisi: masalah pencegahan
rendahnya prestasi dan masalah menutup kesenjangan dalam pengetahuan siswa.
Kegagalan siswa disebabkan oleh banyak dan beragam
alasannya tergantung baik pada guru itu sendiri (pengalamannya, pelatihannya, miliknya
metode) dan dari siswa itu sendiri. Untuk menghilangkan sebab, akibat
yang merupakan akibat dari rendahnya prestasi siswa, maka upaya harus diarahkan
semua guru. Pencegahan kegagalan akademik dilakukan dengan pengaturan
kelas
secara umum.
Bekerja dengan siswa tertinggal memerlukan individu wajib
pendekatan kepada siswa, serta tugas individu untuk siswa secara individu.
Tugas-tugas ini harus dianggap sebagai tambahan terhadap apa yang diberikan
semuanya
kelas.
Orang yang lamban harus melakukan lebih banyak pekerjaan daripada
siswa yang sukses. Oleh karena itu, tugas-tugas ini harus kecil.
Misalnya,
kartu kecil yang terbuat dari materi pendidikan.
Di setiap kelas, seperti diketahui, ada siswa yang serius
kesenjangan dalam pengetahuan dan keterampilan. Siswa-siswa ini mengalami kesulitan yang besar
mengerjakan materi pendidikan dan membutuhkan perhatian terus-menerus pada diri mereka sendiri
dari pihak guru baik di dalam kelas maupun di luar kelas. Hanya dalam kondisi ini seperti itu
siswa dapat menutup kesenjangan pengetahuan dan naik ke tingkat yang sama
Total
kelas.
Hal pertama yang dimulai dengan pekerjaan individu adalah mempelajari siswa,
kesenjangan dalam pengetahuan mereka dan alasan kesenjangan tersebut, bersifat psikologis
Dan
fitur
D.
Saat mempelajari murid-murid saya dengan cermat, saya melihat bahwa beberapa di antaranya tidak stabil
perhatian, sulit berkonsentrasi pada materi pendidikan, dan lain-lain
berusaha untuk menghafal aturan dan kesimpulan secara mekanis, dan lain-lain
lambat
bekerja.
Beberapa siswa memiliki memori visual yang lebih berkembang, yang lain memiliki lebih banyak memori pendengaran,
motorik ketiga. Di kelas mana pun pasti ada siswa yang tidak berbicara
disiplin kerja mental. Ini juga memanifestasikan dirinya selama presentasi atau
pengulangan materi dan terlebih lagi dalam proses mandiri
bekerja. Tugas guru adalah mempelajari karakteristik individu siswa dan
memberi mereka bantuan tepat waktu, memfasilitasi pekerjaan mereka di bidang akademik
bahan. Saat mengatur pekerjaan individu dengan siswa, tantangannya penting
minat mereka pada kelas dan keinginan untuk menghilangkan kesenjangan dalam pengetahuan, dan untuk
Untuk melakukan ini, perlu untuk menanamkan kepercayaan pada kekuatan mereka sendiri. Perlu dibuka sebelumnya
siswa mengetahui alasan ketertinggalan mereka dan menunjukkan cara untuk menutup kesenjangan tersebut,
perlu untuk memantau siswa dengan cermat, membantu mereka dalam pelajaran dan dalam
pekerjaan rumah, rayakan keberhasilan terkecil mereka. Keinginan untuk belajar
terbentuk dalam proses keberhasilan pengerjaan materi, sehingga penting
mengatur bantuan individu sedemikian rupa sehingga siswa
Saya terus-menerus merasakan kemajuan saya. Pengalaman sering menunjukkan hal itu
bahkan sedikit kemajuan ke depan menginspirasi siswa, menggairahkan
bekerja lebih intensif dan meningkatkan minat pada kelas, dan ini memastikan
mereka agar berhasil menguasai materi. Beberapa orang percaya pada individu itu
Membantu siswa hanya berarti bekerja dengan mereka di luar kelas. Ini, tentu saja,
salah. Pekerjaan individu dengan siswa, pertama-tama, adalah
perhatian terus-menerus kepada masing-masing dari mereka selama pelajaran: selama survei
siswa, dalam proses penyajian dan pemantapan materi, serta pada saat
penjelasan
tugas.
Kelas tambahan berkelompok hanya diselenggarakan di sebagian besar
luar biasa
kasus.
rumah
Kelompok semacam itu harus berukuran kecil dalam hal jumlah peserta di dalamnya.
siswa. Ini terutama adalah siswa yang tidak masuk kelas
untuk alasan apa pun atau seseorang yang tidak memahami sesuatu.
Bagaimana cara mengatur pekerjaan individu dengan siswa?
Pertama-tama saya mencoba mengidentifikasi kelemahan dan kelebihan masing-masing siswa,
Saya melacak siswa mana yang tertinggal dalam bidang apa, dan peraturan mana yang membuat kesalahan.
Saat mengerjakan latihan tertulis, saat memeriksa pekerjaan rumah
Saya memberikan perhatian khusus kepada mereka yang tertinggal: Saya memberi mereka tugas individu,
Saya bekerja dengan setiap siswa berdasarkan kesalahan mereka. Saat menguraikan kesalahan
Saya paling memperhatikan kesalahan umum yang terjadi
banyak siswa dalam dikte kontrol. Kami melihat kesalahan ini di kelas.
Hal utama adalah pekerjaan individu dengan masing-masing tertinggal. Untuk memperhitungkan kesalahan
–
Saya mendapatkan buku catatan khusus untuk bahasa Rusia, di mana sebuah halaman dialokasikan,
dimana topik pelajarannya tetap (yang sulit bagi anak dan diberikan + atau –
di sebelah setiap nama keluarga). Setelah mengetahui kesalahan apa yang dilakukan seseorang
Siswa, saya memberikan tugas dari buku teks atau dari kartu tentang aturan ini. Setelah
masing-masing mengontrol kata-kata dikte sesuai dengan aturan yang sudah dimiliki siswa
dikuasai, dicoret pada kartunya, dan kata-kata baru dieja
kesalahan yang dibuat dalam dikte dimasukkan ke dalam kartu. Berharga dalam hal ini
bentuk pengorganisasian pekerjaan rumah individu untuk siswa dalam bahasa Rusia
bahasanya adalah tidak memerlukan akuntansi yang rumit. Mempersiapkan ini
pekerjaan tersebut juga tidak memakan banyak tenaga bagi guru. Dalam pekerjaan saya, saya
Saya juga menggunakan kartu individual. Tambahan individu
Hasil karya siswa mempunyai pengaruh yang besar. Tapi itu membutuhkan kerja keras
siswa dan guru, karena siswa perlu melakukan pekerjaan tambahan, dan
Kepada guru
memeriksa.
Teknik yang sangat baik untuk mengatasi kesalahan, menurut pendapat saya,
metode ini. Saya menuliskan kesalahan dari 2 - 3 dikte kontrol dari mereka
penjelasan. Setelah anak-anak memahami aturan dan mempelajari kata-katanya secara bermakna,
Jika mereka melakukan kesalahan, mereka diberi tugas mandiri: menulis
dikte atau esai kreatif menggunakan kata dan kalimat dengan
kesalahan.
Tes pekerjaan berdasarkan kesalahan Anda sangat berguna. Bentuk dan metode
Pekerjaan individu dalam pelajaran bahasa Rusia beragam. Pada
Dalam persiapan untuk pelajaran, saya merencanakan siswa mana yang akan saya berikan
lebih banyak waktu untuk persiapan, dan lebih sedikit waktu, siapa yang harus ditanyai di meja, di
papan,
kartu.
Saat mewawancarai 1 siswa, saya fokus pada bagian praktis materi, yaitu
kemampuan menerapkan suatu aturan, saya menuntut penjelasan dari orang lain tentang arti aturan tersebut,
dari 3 – mencapai penceritaan kembali yang jelas dan konsisten sesuai rencana. Sebagai
materi tambahan 1 – analisis komposisi, 2 – penjelasan
mengeja kata,
3 – kemunduran atau konjugasi kata.
Pekerjaan individu dengan siswa memainkan peran penting selama
penjelasan materinya. Dia bisa mengambil yang terbaik berbeda bentuk: untuk satu
Saya mengajukan pertanyaan kepada siswa, saya mengajak orang lain untuk memberikan contoh,
Saya melibatkan orang lain dalam analisis ilustrasi. Ini mengaktifkan pembelajaran
proses, melibatkan semua siswa dalam pekerjaan dan membantu mereka yang tertinggal untuk belajar
bahan. Saya memutuskan siswa mana yang harus diberi tugas apa.
Sama
fitur.
Jika seorang siswa dicirikan oleh ketidakstabilan perhatian, yaitu lalai,
Saya menoleh kepadanya dengan pertanyaan, melibatkan dia dalam menganalisis contoh,
Saya mengusulkan untuk mengulangi ketentuan terkait kepada siswa yang
mengingat materi secara mekanis, saya sarankan memilih contoh sendiri,
jelaskan ejaan atau tanda baca, ceritakan kembali aturannya sendiri
kata-kata.
individu
mempertimbangkan
milik mereka
Pertama,
Saya menggunakan sebagai bahan didaktik selama presentasi
contoh siswa melakukan kesalahan dalam pekerjaan tertulis.
Menguasai ejaan adalah proses yang kompleks. Cara menguasai ejaan
beragam. Mereka tidak hanya berasal dari materi pendidikan yang spesifik, tetapi juga
dan dari karakteristik psikologis anak. Guru harus mempertimbangkan hal ini
fitur dan,
semua jenis memori siswa.
Dalam praktiknya, hal ini berarti bahwa dalam proses penjelasan guru harus
memadukan kata dengan visual, cerita dengan unsur percakapan, analisis
contoh ditulis di papan tulis, dengan analisis contoh yang dipilih
siswa, karena anak memiliki ingatan yang berbeda-beda: visual, auditori, motorik.
Konsolidasi materi ejaan adalah salah satu yang paling penting
tahapan
pelajaran.
Salah satu kelemahan umum dalam mengajar bahasa Rusia adalah
adalah meremehkan tugas pendengaran, terutama selama konsolidasi. Melaksanakan
kelas atau pekerjaan rumah, yang biasanya dirasakan oleh siswa
mengeja secara visual, memperkuat gambaran visualnya hanya dengan motorik
persepsi. Gambar suara, sebagai suatu peraturan, tidak ikut serta dalam proses ini. Bukan
Oleh karena itu, mengejutkan bahwa bahkan siswa yang sukses pun melakukan kesalahan
dikte pendengaran tentang aturan ini. Penjelasannya sederhana: dalam proses
mengerjakan materi, siswa fokus pada visual dan
persepsi motorik ejaan, dan selama dikte - pendengaran, yaitu
untuk jenis memori yang tidak terlibat dalam pengerjaan materi. Dari sini
yang jelas: ketika mengerjakan ejaan, guru harus menggabungkan tugas sedemikian rupa
sedemikian rupa sehingga semua jenis memori siswa berpartisipasi dalam asimilasinya. Dengan ini
tujuan, saya berlatih pra-pengucapan kata-kata individual (kata-kata dengan
konsonan yang tidak dapat diucapkan, vokal yang tidak dapat diverifikasi, dll.) Saya habiskan
peringatan,
dikte.
Saya juga memberikan pendekatan individual kepada siswa ketika mempersiapkan diri
pekerjaan tes. Saya mulai mempersiapkan dikte beberapa hari sebelumnya
implementasinya. Sebelum dikte, saya informasikan kepada Anda apa yang perlu diulang secara spesifik.
Saya memberikan kata-kata untuk dihafal yang sulit dan dapat ditemukan dalam dikte,
Saya sedang berlatih tanda baca, memilah kata menurut
komposisi. Ketika dikte ditulis, siswa memeriksanya. Memeriksa
dilakukan dengan sengaja, di bawah kepemimpinan saya. Misalnya, saya menawarkannya
pertama temukan dan periksa ejaan semua kata benda, lalu
menemukan kata sifat dan kata kerja. Setelah pemeriksaan ini, baca kembali teks tersebut
dan menyerahkan buku catatan. Terkadang, saat pekerjaan diserahkan, saya menanyakan pendapat Anda
yang paling sulit. Lalu saya menuliskan ejaan yang sulit di papan tulis. Oleh
Dengan jejak baru, ejaan yang benar lebih baik disimpan dalam memori
siswa.
Saya memulai pekerjaan individu dengan siswa sejak awal sekolah.
di tahun ini. Dan saya mengadakan kelas sepulang sekolah hanya ketika siswanya banyak
ketinggalan atau tidak memahami materi. Jika siswa berperilaku dengan itikad buruk
penjelasan
untuk menyelesaikan suatu tugas, dari orang seperti itu saya kadang-kadang menuntut penyelesaian kedua
Saya meninggalkannya setelah kelas. Dalam kasus lain, saya melakukan pekerjaan secara individu.
dengan setiap siswa yang berjuang. Saya berlatih menyimpan buku catatan untuk
Pekerjaan tambahan. Bergantung pada sifat kesalahannya, saya berinvestasi
buku catatan siswa, kartu tugas. Anda tidak boleh memberikan beberapa sekaligus.
kartu - agar tidak membebani siswa dengan pekerjaan. Siswa dengan sukarela
perbaiki kesalahan mereka dengan bantuan kartu tugas. Setiap
pekerjaan mandiri untuk memperbaiki kesalahan diperiksa oleh guru dan
jurnal harus memberikan nilai yang sama dengan nilai
kontrol
bekerja.
ATURAN UNTUK GURU
SISWA “PERFORMA LEBIH RENDAH”.
BEKERJA
bergegas
bahan.
1. Percaya pada kemampuan siswa yang “berkinerja buruk” dan berusaha menyampaikannya
untuk dia
keyakinan.
2. Ingatlah bahwa dibutuhkan waktu bagi mereka yang “berprestasi rendah” untuk memahaminya
lulus
miliknya.
3. Setiap pelajaran merupakan kelanjutan dari pelajaran sebelumnya. Pengulangan berulang-ulang
materi utama salah satu metode bekerja dengan “orang yang kurang berprestasi”
siswa.
4. Menanamkan harapan pada anak agar lebih sering mengingat dan memahami materi
Beri mereka jenis tugas yang sama (dengan guru, dengan kelas, secara mandiri).
5. Bekerja dengan anak-anak yang “berkinerja rendah” membutuhkan banyak kerja keras dan kesabaran.
Perkembangan bertahap memori, logika, pemikiran, minat belajar.
6. Jangan mengejar banyak informasi baru. Pilih dari
Yang penting pelajari materinya, ulangi berkali-kali dan perkuat.
7. Tahu cara memenangkan hati anak-anak seperti itu. Komunikasi adalah komponen utama
teknik apa pun. Hanya dengan begitu Anda akan menerima hasil pelatihan Anda.
8. Pelajari cara mengelola kelas Anda. Kalau begitu, pelajarannya harus bervariasi
Perhatian siswa akan terfokus pada materi yang dipelajari.
9. Saat Anda mulai dengan sengaja menangani anak-anak yang “berkinerja rendah”, ingatlah:
setelah beberapa waktu, kelompok mereka akan kembali terpecah menjadi mampu, rata-rata
Dan...
"kurang berprestasi"
10. Belajarlah untuk melibatkan anak-anak yang “berkinerja rendah” dalam mengajar lebih banyak
orang-orang kuat. Menyajikan materi, mewawancarai yang kuat, memenjarakan mereka
"lemah",
studi.
berlanjut
membiarkan
1. Saat melakukan survei, siswa yang “berkinerja rendah” harus diberikan algoritma
negara
secara berurutan
menjawab; mengizinkan penggunaan rencana yang dibuat selama persiapan
pekerjaan rumah; memberikan lebih banyak waktu untuk mempersiapkan jawaban di papan tulis;
izinkan membuat catatan awal, gunakan alat bantu visual
manfaat.
2. Jika memungkinkan, ajukan pertanyaan panduan kepada siswa yang akan membantu
mereka
bahan.
3. Mengecek secara sistematis penguasaan materi pada topik pelajaran, pada
dimana siswa tersebut tidak hadir karena satu dan lain hal.
4. Selama survei dan ketika menganalisis hasilnya, ciptakan suasana
niat baik.
5. Dalam proses pembelajaran materi baru, perhatian “berprestasi rendah”
siswa dihadapkan pada bagian paling kompleks dari topik yang sedang dipelajari.
Penting untuk menghubungi mereka lebih sering dengan pertanyaan untuk memperjelas pemahaman
materi pendidikan, merangsang pertanyaan dari siswa jika mengalami kesulitan
asimilasi
bahan.
6. Selama kerja mandiri di kelas, siswa berprestasi rendah
Disarankan untuk memberikan latihan yang bertujuan menghilangkan kesalahan,
diperbolehkan oleh mereka dalam jawaban lisan atau dalam karya tulis.
7. Perlu diperhatikan aspek-aspek positif dalam pekerjaan mereka, kesulitan dan
menunjukkan cara untuk menghilangkannya, memberikan bantuan secara simultan
perkembangan
pengajaran.
kemerdekaan
baru
V
Subjek
Penyebab
Oleh
(guru menunjukkan alasan yang diidentifikasi secara mandiri)
kegagalan akademis
tema
Jenis survei
Batas waktu pengiriman materi
Informasi untuk orang tua (tanggal)
Hasil pekerjaan
F.
Kelas
Meja individu
murid _____________________________________________________
Fungsi F(X ) ditelepon antiturunan untuk fungsi F(X) pada interval tertentu, jika untuk semua X dari interval ini persamaan berlaku
F"(X ) = F(X ) .
Misalnya saja fungsinya F(x) = x 2 F(X ) = 2X , Karena
F"(x) = (x 2 )" = 2x = f(x). ◄
Properti utama antiturunan
Jika F(x) - antiturunan suatu fungsi f(x) pada interval tertentu, maka fungsinya f(x) memiliki banyak sekali antiturunan, dan semua antiturunan ini dapat ditulis dalam bentuk F(x) + C, Di mana DENGAN adalah konstanta yang berubah-ubah.
Misalnya. Fungsi F(x) = x 2 + 1 merupakan antiturunan dari fungsi tersebut F(X ) = 2X , Karena F"(x) = (x 2 + 1 )" = 2 x = f(x); fungsi F(x) = x 2 - 1 merupakan antiturunan dari fungsi tersebut F(X ) = 2X , Karena F"(x) = (x 2 - 1)" = 2x = f(x) ; fungsi F(x) = x 2 - 3 merupakan antiturunan dari fungsi tersebut F(X) = 2X , Karena F"(x) = (x 2 - 3)" = 2 x = f(x); fungsi apa pun F(x) = x 2 + DENGAN , Di mana DENGAN - konstanta sembarang, dan hanya fungsi seperti itu yang merupakan antiturunan dari fungsi tersebut F(X) = 2X . ◄ |
Aturan untuk menghitung antiturunan
- Jika F(x) - antiturunan untuk f(x) , A G(x) - antiturunan untuk g(x) , Itu F(x) + G(x) - antiturunan untuk f(x) + g(x) . Dengan kata lain, antiturunan dari jumlah tersebut sama dengan jumlah antiturunan .
- Jika F(x) - antiturunan untuk f(x) , Dan k - konstan, kalau begitu k · F(x) - antiturunan untuk k · f(x) . Dengan kata lain, faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda turunannya .
- Jika F(x) - antiturunan untuk f(x) , Dan k,B- konstan, dan k ≠ 0 , Itu 1 / k F( k x+ B ) - antiturunan untuk F(k x+ B) .
Integral tak tentu
Integral tak tentu dari fungsi f(x) disebut ekspresi F(x) + C, yaitu himpunan semua antiturunan dari suatu fungsi tertentu f(x) . Integral tak tentu dilambangkan sebagai berikut:
∫ f(x) dx = F(x) + C ,
f(x)- mereka memanggil fungsi integral ;
f(x)dx- mereka memanggil integrand ;
X - mereka memanggil variabel integrasi ;
F(x) - salah satu fungsi primitif f(x) ;
DENGAN adalah konstanta yang berubah-ubah.
Misalnya, ∫ 2 x dx =X 2 + DENGAN , ∫ karenax dx = dosa X + DENGAN dan seterusnya. ◄
Kata "integral" berasal dari kata Latin bilangan bulat , yang berarti "dipulihkan". Mengingat integral tak tentu dari 2 X, sepertinya kami mengembalikan fungsinya X 2 , yang turunannya sama dengan 2 X. Memulihkan suatu fungsi dari turunannya, atau, yang sama, mencari integral tak tentu pada integral tertentu disebut integrasi fungsi ini. Integrasi adalah operasi kebalikan dari diferensiasi. Untuk memeriksa apakah integrasi telah dilakukan dengan benar, cukup dengan membedakan hasilnya dan memperoleh integran.
Sifat dasar integral tak tentu
- Turunan integral tak tentu sama dengan integral:
- Faktor konstanta integral dapat dikeluarkan dari tanda integral:
- Integral jumlah (selisih) fungsi sama dengan jumlah (selisih) integral fungsi tersebut:
- Jika k,B- konstan, dan k ≠ 0 , Itu
(∫ f(x)dx )" = f(x) .
∫ k · f(x)dx = k · ∫ f(x)dx .
∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x ) dx .
∫ F ( k x+ B) dx = 1 / k F( k x+ B ) + C .
Tabel antiturunan dan integral tak tentu
| f(x)
| F(x) + C
| ∫
f(x) dx = F(x) + C
|
|
| SAYA. | $$0$$ | $$C$$ | $$\int 0dx=C$$ |
| II. | $$k$$ | $$kx+C$$ | $$\int kdx=kx+C$$ |
| AKU AKU AKU. | $$x^n~(n\neq-1)$$ | $$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$ | $$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$ |
| IV. | $$\frac(1)(x)$$ | $$\ln |x|+C$$ | $$\int\frac(dx)(x)=\ln |x|+C$$ |
| V. | $$\dosa x$$ | $$-\cos x+C$$ | $$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$ |
| VI. | $$\karena x$$ | $$\dosa x+C$$ | $$\int\cos x~dx=\sin x+C$$ |
| VII. | $$\frac(1)(\cos^2x)$$ | $$\teksrm(tg) ~x+C$$ | $$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$ |
| VIII. | $$\frac(1)(\sin^2x)$$ | $$-\textrm(ctg) ~x+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$ |
| IX. | $$e^x$$ | $$e^x+C$$ | $$\int e^xdx=e^x+C$$ |
| X. | $$a^x$$ | $$\frac(a^x)(\ln a)+C$$ | $$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$ |
| XI. | $$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$ | $$\arcsin x +C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$ |
| XII. | $$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$ | $$\arcsin \frac(x)(a)+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$ |
| XIII. | $$\frac(1)(1+x^2)$$ | $$\teksrm(arctg) ~x+C$$ | $$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$ |
| XIV. | $$\frac(1)(a^2+x^2)$$ | $$\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$ | $$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$ |
| XV. | $$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$ | $$\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$ |
| XVI. | $$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$ | $$\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(xa)(x+a)\end(vmatrix)+C$$ | $$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ C$$ |
| XVII. | $$\teksrm(tg) ~x$$ | $$-\ln |\cos x|+C$$ | $$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$ |
| XVIII. | $$\teksrm(ctg) ~x$$ | $$\ln |\dosa x|+C$$ | $$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln |\sin x|+C$$ |
| XIX. | $$ \frac(1)(\sin x) $$ | $$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$ | $$\int \frac(dx)(\sin x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$ |
| XX. | $$ \frac(1)(\cos x) $$ | $$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \kanan) \end(vmatrix)+C $$ | $$\int \frac(dx)(\cos x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \kanan ) \end(vmatrix)+C $$ |
| Integral antiturunan dan integral tak tentu yang diberikan dalam tabel ini biasanya disebut antiturunan tabel
Dan integral tabel
. |
|||
Integral pasti
Biarkan di antara keduanya [A; B] fungsi kontinu diberikan kamu = f(x) , Kemudian integral tertentu dari a ke b fungsi f(x) disebut kenaikan antiturunan F(x) fungsi ini, yaitu
$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$
Angka A Dan B dipanggil sebagaimana mestinya lebih rendah Dan atas batasan integrasi.
Aturan dasar menghitung integral tertentu
1.\(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);
2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);
3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) di mana k - konstan;
4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x)dx\);
5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);
6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\), dimana f(x) — fungsi genap;
7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\), di mana f(x) adalah fungsi ganjil.
Komentar . Dalam semua kasus, diasumsikan bahwa integran dapat diintegralkan pada interval numerik, yang batas-batasnya merupakan limit integrasi.
Arti geometris dan fisis integral tertentu
| Arti geometris integral tertentu | Arti fisik
integral tertentu |
 |  |
Persegi S trapesium lengkung (gambar yang dibatasi oleh grafik positif kontinu pada interval [A; B] fungsi f(x) , sumbu Sapi dan lurus x=sebuah , x=b ) dihitung dengan rumus $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$ | Jalur S, yang telah diatasi oleh titik material, bergerak lurus dengan kecepatan yang bervariasi menurut hukum v(t)
, untuk jangka waktu tertentu a ;
B] , maka luas bangun tersebut dibatasi oleh grafik fungsi tersebut dan garis lurus x = sebuah
, x = b
, dihitung dengan rumus $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$ |
 | Misalnya. Mari kita hitung luas bangun yang dibatasi garis kamu = x 2 Dan kamu= 2- X . Mari kita gambarkan secara skematis grafik fungsi-fungsi ini dan sorot dengan warna berbeda gambar yang luasnya perlu dicari. Untuk mencari limit integrasi, kita selesaikan persamaan: X 2 = 2- X ; X 2 + X- 2 = 0 ; X 1 = -2, X 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$ |
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\kiri (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \kanan )\besar|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄ |
|
Volume sebuah badan revolusi
 | Jika suatu benda diperoleh sebagai hasil rotasi terhadap suatu sumbu Sapi trapesium lengkung yang dibatasi oleh grafik kontinu dan tidak negatif pada intervalnya [A; B] fungsi kamu = f(x) dan lurus x = sebuah Dan x = b , lalu disebut tubuh rotasi . Volume benda rotasi dihitung dengan rumus $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ Jika suatu benda revolusi diperoleh sebagai hasil rotasi suatu bangun datar yang dibatasi atas dan bawah oleh grafik fungsi kamu = f(x) Dan kamu = g(x) , karenanya $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$ |
 | Misalnya. Mari kita hitung volume kerucut dengan jari-jari R
dan tinggi badan H
. Mari kita posisikan kerucut pada sistem koordinat persegi panjang sehingga sumbunya berimpit dengan sumbunya Sapi
, dan pusat pangkalan terletak di titik asal. Rotasi generator AB mendefinisikan kerucut. Sejak persamaan AB $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$ |
| dan untuk volume kerucut yang kita punya $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\kiri (0-\frac(1)(3) \kanan)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄ |
|
Arti fisis integral sangat sederhana.
Arti fisis dari integral (aa aa) adalah menggambarkan gaya tolak menolak antara dua elektron yang berasal dari pusat atom yang sama.
Arti fisis integral Aris hanya dapat dijelaskan secara kurang lebih; namun, selalu berguna untuk memvisualisasikan faktor-faktor yang terlibat dalam persamaan ketinggian yang setara dengan pelat teoritis. Secara kasar, integrasi pada t memberikan waktu yang bertambah seiring bertambahnya ukuran kolom. Hal ini dapat dijelaskan oleh fakta bahwa seiring bertambahnya ukuran kolom, jarak difusi molekul juga meningkat. Namun demikian, nilai sebenarnya H (x) ditentukan oleh kecepatan efektif, yang nilainya selanjutnya ditentukan oleh profil kecepatan.
Mari kita perhatikan arti fisis integral dalam persamaan ini. Integral pertama menyatakan penurunan laju aliran kedua melalui suatu bagian pada lapisan batas ketinggian 8, karena pengaruh viskositas.
Untuk kesimpulan selanjutnya, integral ini tidak perlu diberi arti fisis, tetapi mudah dipahami bahwa integral ini menyatakan kerja ganda beban eksternal dalam proses deformasi benda, jika beban ini meningkat sangat lambat dari keadaan alami awal tubuh.
Sekarang mari kita perhatikan lebih detail sifat dan arti fisis integral semacam ini.
Tujuan dari pekerjaan ini adalah untuk mempelajari fenomena dasar yang menunjukkan hukum umum dinamika sistem titik dan makna fisis integral gerak. Dalam kasus umum, masalahnya adalah nonlinier, dan tidak mungkin mendapatkan solusi analitis. Pada saat yang sama, melakukan serangkaian percobaan mesin memungkinkan seseorang memperoleh gambaran yang cukup lengkap dan jelas tentang ciri-ciri gerak sistem mekanik yang sedang dipelajari. Kekhususan pengaturan eksperimen mesin dimanifestasikan, pertama, dalam perlunya penilaian awal terhadap karakteristik waktu proses untuk pengorganisasian yang benar dari keluaran hasil pemecahan masalah. Penilaian ini ditentukan dengan menentukan nilai tertentu dari parameter sistem dan kondisi awal dan dilakukan oleh siswa terlebih dahulu sebelum setiap input data awal. Kedua, pengaturan parameter atau kondisi awal yang salah dapat menyebabkan gangguan darurat pada solusi yang tidak berhubungan dengan esensi masalah dan ditentukan oleh implementasi spesifiknya pada mesin. Siswa juga yakin bahwa keakuratan solusi bergantung pada pilihan algoritma dan data awal. Tidak sulit untuk menelusuri, misalnya, bagaimana integral gerak mengubah nilai numeriknya jika langkah integrasi persamaan diferensial yang relatif besar dipilih.
Pada saat yang sama, untuk banyak aplikasi, yang paling signifikan adalah / Atheory, yang, khususnya, dijelaskan oleh makna fisik integral modulus kuadrat.
Terlebih lagi, keberadaan limit (4) untuk fungsi berhingga yang didefinisikan pada domain berhingga dapat dibuktikan secara matematis, tanpa mengacu pada arti fisis integralnya.
Pada Gambar. 1 a dan 1, b menunjukkan contoh tipikal; pada Gambar. Gambar 1c menunjukkan bahwa dua kurva dapat diaktifkan bahkan ketika koefisien pengikatannya nol, dan solenoid pada Gambar. Gambar 1d menunjukkan arti fisis integral Gauss sebagai kerja perpindahan kutub magnet satuan sepanjang kurva tertutup dalam medan magnet yang disebabkan oleh aliran arus listrik satuan sepanjang kurva lain.
Rumus (2.27) adalah prinsip Huygens-Fresnel yang dimodifikasi dalam optik nonlinier. Arti fisis integral (2.27) cukup sederhana.
Generalisasi lebih lanjut dari integral Mohr dimungkinkan jika tidak hanya faktor gaya tunggal yang diterapkan, namun sistem gaya tunggal. Arti fisis dari integral Mohr berasal dari fakta bahwa integral tersebut mewakili kemungkinan kerja suatu sistem satuan gaya pada perpindahan sistem utama.
Halaman: 1
Munculnya konsep integral disebabkan oleh kebutuhan untuk mencari fungsi antiturunan dari turunannya, serta untuk menentukan besarnya usaha, luas bangun kompleks, jarak yang ditempuh, dengan parameter yang digambarkan oleh kurva yang dijelaskan. dengan rumus nonlinier.
dan usaha itu sama dengan hasil kali gaya dan jarak. Jika seluruh gerakan terjadi dengan kecepatan konstan atau jarak yang ditempuh dengan gaya yang sama, maka semuanya jelas, Anda hanya perlu mengalikannya. Apa integral dari konstanta? dari bentuk y=kx+c.
Tetapi kekuatannya bisa berubah sepanjang pekerjaan, dan dalam beberapa jenis ketergantungan alami. Situasi yang sama terjadi dengan perhitungan jarak yang ditempuh jika kecepatannya tidak konstan.
Jadi sudah jelas mengapa integral diperlukan. Definisinya sebagai jumlah perkalian nilai-nilai suatu fungsi dengan pertambahan argumen yang sangat kecil sepenuhnya menggambarkan makna utama konsep ini sebagai luas bangun yang dibatasi di bagian atas oleh garis fungsi, dan di tepinya dengan batas definisi.
Jean Gaston Darboux, seorang matematikawan Perancis, pada paruh kedua abad ke-19, dengan sangat gamblang menjelaskan apa itu integral. Ia menegaskan, secara umum tidak akan sulit bagi seorang siswa SMP sekalipun untuk memahami permasalahan ini.
Katakanlah ada fungsi dengan bentuk kompleks apa pun. Sumbu ordinat di mana nilai-nilai argumen diplot dibagi menjadi interval-interval kecil, idealnya sangat kecil, tetapi karena konsep tak terhingga cukup abstrak, cukup dengan membayangkan segmen-segmen kecil, yang nilainya biasanya dilambangkan dengan huruf Yunani Δ (delta).
Fungsinya ternyata “dipotong” menjadi batu bata kecil.
Setiap nilai argumen berhubungan dengan titik pada sumbu ordinat, di mana nilai fungsi terkait diplot. Namun karena area yang dipilih memiliki dua batas, maka akan terdapat dua nilai fungsi, lebih besar dan lebih kecil.
Jumlah hasil kali nilai-nilai yang lebih besar dengan pertambahan Δ disebut jumlah Darboux besar, dan dilambangkan dengan S. Oleh karena itu, nilai-nilai yang lebih kecil dalam luas terbatas, dikalikan dengan Δ, semuanya membentuk jumlah Darboux kecil s . Bagian itu sendiri menyerupai trapesium persegi panjang, karena kelengkungan garis fungsi dengan kenaikan yang sangat kecil dapat diabaikan. Cara termudah untuk mencari luas bangun geometri tersebut adalah dengan menjumlahkan hasil kali nilai fungsi yang lebih besar dan lebih kecil dengan kenaikan Δ dan membaginya dengan dua, yaitu menentukannya sebagai mean aritmatika.
Inilah yang dimaksud dengan integral Darboux:
s=Σf(x) Δ - jumlah kecil;
S= Σf(x+Δ)Δ adalah jumlah yang besar.
Jadi apa yang dimaksud dengan integral? Luas yang dibatasi oleh garis fungsi dan batas definisinya adalah:
f(x)dx = ((S+s)/2) +c
Artinya, rata-rata aritmatika jumlah Darboux besar dan kecil adalah nilai konstan yang disetel ulang selama diferensiasi.
Berdasarkan ekspresi geometri konsep ini, makna fisis integral menjadi jelas. digariskan oleh fungsi kecepatan, dan dibatasi oleh selang waktu sepanjang sumbu x, adalah panjang jarak yang ditempuh.
L = ∫f(x)dx pada interval dari t1 sampai t2,
f(x) adalah fungsi kecepatan, yaitu rumus yang berubah seiring waktu;
L - panjang jalur;
t1 - waktu mulai perjalanan;
t2 adalah waktu akhir perjalanan.
Prinsip yang persis sama digunakan untuk menentukan besarnya usaha, hanya jarak yang akan diplot sepanjang absis, dan jumlah gaya yang diterapkan pada setiap titik tertentu akan diplot sepanjang ordinat.
instruksi
Integrasi adalah operasi yang merupakan kebalikan dari diferensiasi. Oleh karena itu, jika Anda ingin mempelajari cara berintegrasi dengan baik, maka Anda perlu mempelajari terlebih dahulu cara mencari turunan dari suatu fungsi. Anda dapat mempelajarinya dengan cukup cepat. Toh ada turunannya yang khusus. Dengan bantuannya sudah dimungkinkan untuk melakukan integral sederhana. Terdapat juga tabel integral tak tentu dasar. Hal ini ditunjukkan pada gambar.
Saat mencari jumlah dua fungsi, Anda hanya perlu membedakannya satu per satu dan menjumlahkan hasilnya: (u+v)" = u"+v";
Untuk mencari turunan hasil kali dua fungsi, turunan fungsi pertama harus dikalikan dengan fungsi kedua dan dikalikan turunan fungsi kedua dengan fungsi pertama dijumlahkan: (u*v)" = u"*v +v"*kamu;
Untuk mencari turunan hasil bagi dua fungsi, perlu mengurangkan hasil kali turunan pembagi dikalikan fungsi pembagi dengan hasil kali turunan pembagi dikalikan fungsi pembagi, dan membaginya semua ini dengan fungsi pembagi kuadrat. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Jika diberikan fungsi kompleks, maka perlu mengalikan turunan fungsi dalam dan turunan fungsi luar. Misalkan y=u(v(x)), maka y"(x)=y"(u)*v"(x).
Dengan menggunakan hasil yang diperoleh di atas, Anda dapat membedakan hampir semua fungsi. Jadi mari kita lihat beberapa contoh:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
Ada juga masalah yang melibatkan penghitungan turunan pada suatu titik. Misalkan fungsi y=e^(x^2+6x+5) diberikan, Anda perlu mencari nilai fungsi di titik x=1.
1) Temukan turunan dari fungsi tersebut: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Hitung nilai fungsi pada titik tertentu y"(1)=8*e^0=8
