Saat ini terdapat kontradiksi antara kebutuhan siswa SMA untuk menunjukkan kreativitas, keaktifan, kemandirian, realisasi diri dengan terbatasnya waktu dalam pembelajaran matematika. Sejak tahun 2006, saya telah menggunakan buku teks “Aljabar 7, 8, 9” dengan kajian matematika yang mendalam oleh Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov untuk siswa di kelas matematika untuk membuat pilihan yang tepat oleh siswa. dari profil pendidikan, memberikan siswa kesempatan untuk bekerja pada tingkat persyaratan matematika yang meningkat, mengembangkan motivasi belajar mereka.
Bagaimana cara mengikutsertakan siswa dalam kegiatan penelitian mandiri, sehingga mereka sendiri “menemukan” sifat dan hubungan baru, dan tidak menerimanya dari guru dalam bentuk yang sudah jadi? Pengalaman kerja bertahun-tahun dan keinginan untuk mengubah gagasan tradisional tentang pengajaran mendorong saya untuk menggunakan kegiatan penelitian dalam pelajaran matematika saya. Tentu saja, mengubah metode kerja, struktur pembelajaran dan mengambil fungsi sebagai penyelenggara proses pembelajaran, fungsi yang menjamin keikutsertaan sistematis setiap siswa, apapun tingkat intelektualnya, dalam kegiatan dasar, mengharuskan saya untuk melakukannya. memiliki pengetahuan dan kesiapan tertentu untuk pengembangan diri.
Menurut saya, keterlibatan siswa dalam kegiatan mempengaruhi kedalaman dan kekuatan perolehan pengetahuannya, serta pembentukan sistem nilainya, yaitu pendidikan mandiri. Kemampuan siswa untuk mengembangkan diri dan mendidik diri sendiri akan memungkinkan mereka berhasil beradaptasi dengan kondisi eksternal yang terus berubah tanpa menimbulkan konflik dengan masyarakat.
Topik bagian:"Properti fungsi".
Topik pelajaran:"Menambah dan mengurangi fungsi."
Jenis pelajaran: pelajaran dalam mempelajari dan awalnya menerapkan materi baru.
Tujuan dasar:
- Untuk mempromosikan pembentukan konsep baru tentang fungsi monotonik pada siswa;
- Menumbuhkan sikap positif terhadap pengetahuan, kemampuan bekerja berpasangan;
- Untuk mempromosikan pengembangan pemikiran analitis, keterampilan aktivitas kognitif pencarian parsial.
SELAMA KELAS
I. Pemutakhiran pengetahuan referensi
– Tentukan fungsinya.
– Rumus apa yang mendefinisikan fungsi-fungsi yang grafiknya ditunjukkan pada gambar. (Lampiran 2)
II. Pembentukan pengetahuan baru
- Fungsi f(x) disebut meningkat pada himpunan X jika untuk dua nilai argumen mana pun X 1 dan X 2 set X sedemikian rupa X 2 > X f(x 2 ) > f(x 1 ) .
- Fungsi (X) disebut menurun pada himpunan X jika untuk dua nilai argumen mana pun X 1 dan X 2 set X sedemikian rupa X 2 > X 1, ketimpangan tetap ada f(x 2 ) <f(x 1 ) .
- Suatu fungsi yang bertambah pada himpunan X atau berkurang pada himpunan X disebut fungsi monoton pada himpunan X.
Mari kita cari tahu sifat monotonisitas beberapa jenis fungsi: (Lampiran 4)
Fungsi f(x)= – meningkat. Mari kita buktikan.
Ungkapan tersebut hanya masuk akal jika X >
0. Oleh karena itu D (F)= . Untuk ganjil n fungsinya f(x) = xn meningkat pada seluruh domain definisi, yaitu pada interval (– ; +). (Lampiran 7)
Proporsionalitas terbalik, yaitu fungsinya f(x)= pada masing-masing interval (– ; 0) dan (0; + ) pada k> 0 berkurang, dan kapan k < 0 возрастает.
(Приложение 8)
Mari kita perhatikan beberapa sifat fungsi monotonik (Lampiran 9):
IV. Pembentukan keterampilan praktis
Berikut contoh penggunaan sifat-sifat fungsi monotonik:
Mari kita cari tahu berapa banyak titik garis lurus tersebut pada= 9 memotong grafik fungsi f(x) = + + .
Larutan:
Fungsi pada= , у = dan у = merupakan fungsi naik (sifat 4). Jumlah fungsi yang bertambah adalah fungsi yang bertambah (sifat 3). Dan fungsi menaik mengambil setiap nilainya hanya untuk satu nilai argumen (properti 1). Jadi jika garis lurus y = 9 mempunyai titik-titik yang sama dengan grafik fungsinya f(x)= + + , maka hanya satu poin.
Melalui seleksi seseorang dapat menemukannya f(x)= jam 9 X= 3. Jadi lurus pada= 9 memotong grafik fungsi f(x)= ++ di titik M(3; 9).
Mari kita selesaikan persamaannya X 3 – + = 0.
Larutan:
Sangat mudah untuk melihatnya X= 1 – akar persamaan. Mari kita tunjukkan bahwa persamaan ini tidak memiliki akar lain. Memang, domain definisi fungsi kamu = x 3 – + – himpunan bilangan positif. Pada himpunan ini fungsinya bertambah, karena masing-masing fungsinya pada = X 3 , pada= – dan pada= bertambah pada interval (0; +). Oleh karena itu, persamaan ini memiliki akar selain X= 1, tidak punya.
Informasi yang sangat penting tentang perilaku suatu fungsi disediakan oleh interval naik dan turun. Menemukannya adalah bagian dari proses memeriksa fungsi dan membuat grafik. Selain itu, titik ekstrim dimana terjadi perubahan dari naik ke turun atau dari turun ke naik mendapat perhatian khusus ketika mencari nilai fungsi terbesar dan terkecil pada interval tertentu.
Pada artikel ini kami akan memberikan definisi yang diperlukan, merumuskan kriteria cukup untuk kenaikan dan penurunan suatu fungsi pada interval dan kondisi cukup untuk keberadaan ekstrem, dan menerapkan keseluruhan teori ini untuk memecahkan contoh dan masalah.
Navigasi halaman.
Fungsi naik dan turun pada suatu interval.
Definisi fungsi meningkat.
Fungsi y=f(x) bertambah pada interval X jika untuk sembarang dan 
ketimpangan tetap terjadi. Dengan kata lain, nilai argumen yang lebih besar berarti nilai fungsi yang lebih besar.
Definisi fungsi menurun.
Fungsi y=f(x) berkurang pada interval X jika untuk sembarang dan ketimpangan tetap terjadi 
. Dengan kata lain, nilai argumen yang lebih besar berarti nilai fungsi yang lebih kecil.
CATATAN: jika fungsi terdefinisi dan kontinu pada ujung interval naik atau turun (a;b), yaitu pada x=a dan x=b, maka titik-titik tersebut termasuk dalam interval naik atau turun. Hal ini tidak bertentangan dengan definisi fungsi naik dan turun pada interval X.
Misalnya, dari sifat-sifat fungsi dasar dasar kita mengetahui bahwa y=sinx terdefinisi dan kontinu untuk semua nilai riil argumen. Oleh karena itu, dari kenaikan fungsi sinus pada interval tersebut, kita dapat menyatakan bahwa fungsi tersebut meningkat pada interval tersebut.
Titik ekstrem, ekstrem suatu fungsi.
Intinya disebut titik maksimum fungsi y=f(x) jika pertidaksamaan tersebut benar untuk semua x di lingkungannya. Nilai fungsi pada titik maksimum disebut maksimal dari fungsinya dan menunjukkan .
Intinya disebut poin minimum fungsi y=f(x) jika pertidaksamaan tersebut benar untuk semua x di lingkungannya. Nilai fungsi pada titik minimum disebut fungsi minimal dan menunjukkan .
Lingkungan suatu titik dipahami sebagai interval 
, dimana merupakan bilangan positif yang cukup kecil.
Poin minimum dan maksimum disebut titik ekstrim, dan nilai fungsi yang sesuai dengan titik ekstrem disebut ekstrem dari fungsi tersebut.
Jangan bingung membedakan ekstrem suatu fungsi dengan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi.
Pada gambar pertama nilai fungsi terbesar pada ruas dicapai pada titik maksimum dan sama dengan maksimum fungsi, dan pada gambar kedua nilai fungsi terbesar dicapai pada titik x=b , yang bukan merupakan titik maksimal.
Kondisi yang cukup untuk menambah dan mengurangi fungsi.
Berdasarkan kondisi (tanda) cukup bagi kenaikan dan penurunan suatu fungsi, dicari interval kenaikan dan penurunan fungsi tersebut.
Berikut rumusan tanda kenaikan dan penurunan fungsi pada suatu interval:
- jika turunan fungsi y=f(x) positif untuk sembarang x dari interval X, maka fungsinya bertambah sebesar X;
- jika turunan fungsi y=f(x) negatif untuk sembarang x dari interval X, maka fungsinya menurun pada X.
Jadi, untuk menentukan interval kenaikan dan penurunan suatu fungsi, perlu:
Mari kita perhatikan contoh mencari interval fungsi naik dan turun untuk menjelaskan algoritmanya.
Contoh.
Temukan interval fungsi naik dan turun.
Larutan.
Langkah pertama adalah mencari domain definisi fungsi. Dalam contoh kita, ekspresi penyebutnya tidak boleh nol, oleh karena itu, .
Mari kita lanjutkan mencari turunan dari fungsi tersebut: 
Untuk menentukan interval kenaikan dan penurunan suatu fungsi berdasarkan kriteria cukup, kita menyelesaikan pertidaksamaan pada domain definisi. Mari kita gunakan generalisasi metode interval. Satu-satunya akar real dari pembilangnya adalah x = 2, dan penyebutnya menjadi nol pada x=0. Titik-titik ini membagi domain definisi menjadi interval-interval di mana turunan fungsi tersebut mempertahankan tandanya. Mari tandai titik-titik ini pada garis bilangan. Kami secara konvensional menyatakan dengan plus dan minus interval di mana turunannya positif atau negatif. Panah di bawah secara skematis menunjukkan kenaikan atau penurunan fungsi pada interval yang sesuai. 
Dengan demikian, 
Dan 
.
Pada intinya Fungsi x=2 terdefinisi dan kontinu, sehingga harus ditambahkan ke interval naik dan turun. Pada titik x=0 fungsinya tidak terdefinisi, jadi kami tidak memasukkan titik ini ke dalam interval yang diperlukan.
Kami menyajikan grafik fungsi untuk membandingkan hasil yang diperoleh dengannya.
Menjawab:
Fungsinya meningkat sebagai 
, menurun pada interval (0;2] .
Kondisi cukup untuk ekstrem suatu fungsi.
Untuk mencari maxima dan minima suatu fungsi, Anda dapat menggunakan salah satu dari tiga tanda ekstrem, tentunya jika fungsi tersebut memenuhi kondisinya. Yang paling umum dan nyaman adalah yang pertama.
Kondisi cukup pertama untuk kondisi ekstrem.
Misalkan fungsi y=f(x) terdiferensialkan di lingkungan -titik dan kontinu di titik itu sendiri.
Dengan kata lain:
Algoritma untuk mencari titik ekstrem berdasarkan tanda pertama ekstrem suatu fungsi.
- Kami menemukan domain definisi fungsi.
- Kami menemukan turunan fungsi pada domain definisi.
- Kita tentukan angka nol pada pembilangnya, angka nol pada penyebut turunannya, dan titik-titik pada daerah definisi yang tidak ada turunannya (semua titik yang terdaftar disebut titik-titik ekstrem yang mungkin terjadi, melewati titik-titik tersebut, turunannya bisa saja berubah tandanya).
- Titik-titik ini membagi domain definisi fungsi menjadi interval-interval di mana turunannya mempertahankan tandanya. Kita menentukan tanda-tanda turunan pada setiap interval (misalnya dengan menghitung nilai turunan suatu fungsi pada titik mana pun dalam interval tertentu).
- Kami memilih titik-titik di mana fungsinya kontinu dan, melaluinya, turunannya berubah tanda - ini adalah titik ekstrem.
Terlalu banyak kata, mari kita lihat beberapa contoh mencari titik ekstrem dan ekstrem suatu fungsi menggunakan kondisi cukup pertama untuk ekstrem suatu fungsi.
Contoh.
Temukan ekstrem dari fungsinya.
Larutan.
Domain suatu fungsi adalah seluruh himpunan bilangan real kecuali x=2.
Menemukan turunannya: 
Angka nol pada pembilangnya adalah titik x=-1 dan x=5, penyebutnya menjadi nol di x=2. Tandai titik-titik ini pada sumbu bilangan 
Kita menentukan tanda-tanda turunannya pada setiap interval; untuk melakukannya, kita menghitung nilai turunan di salah satu titik pada setiap interval, misalnya pada titik x=-2, x=0, x=3 dan x=6.
Oleh karena itu, pada interval tersebut turunannya positif (pada gambar kita memberi tanda tambah pada interval ini). Juga 
Oleh karena itu, kami menempatkan minus di atas interval kedua, minus di atas interval ketiga, dan plus di atas interval keempat.
Tetap memilih titik-titik di mana fungsinya kontinu dan turunannya berubah tanda. Ini adalah titik ekstremnya.
Pada intinya x=-1 fungsinya kontinu dan turunannya berubah tanda dari plus ke minus, oleh karena itu, menurut tanda ekstrem pertama, x=-1 adalah titik maksimum, maksimum fungsi yang sesuai dengannya 
.
Pada intinya x=5 fungsinya kontinu dan turunannya berubah tanda dari minus menjadi plus, oleh karena itu, x=-1 adalah titik minimum, minimum fungsi tersebut sesuai dengannya 
.
Ilustrasi grafis.
Menjawab:
HARAP DICATAT: kriteria cukup pertama untuk suatu ekstrem tidak memerlukan diferensiasi fungsi pada titik itu sendiri.
Contoh.
Temukan titik ekstrem dan ekstrem fungsi 
.
Larutan.
Domain suatu fungsi adalah seluruh himpunan bilangan real. Fungsinya sendiri dapat ditulis sebagai: 
Mari kita cari turunan dari fungsi tersebut: 
Pada intinya x=0 turunannya tidak ada, karena nilai limit satu sisi tidak bertepatan ketika argumen cenderung nol: 
Pada saat yang sama, fungsi aslinya kontinu di titik x=0 (lihat bagian mempelajari fungsi kontinuitas): 
Mari kita cari nilai argumen yang turunannya menjadi nol: 
Mari kita tandai semua titik yang diperoleh pada garis bilangan dan menentukan tanda turunannya pada setiap interval. Untuk melakukan ini, kami menghitung nilai turunan pada titik sembarang di setiap interval, misalnya di x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.
Itu adalah, 
Jadi, menurut tanda pertama suatu ekstrem, titik minimumnya adalah 
, poin maksimalnya adalah 
.
Kami menghitung fungsi minimum yang sesuai 
Kami menghitung maksimum fungsi yang sesuai 
Ilustrasi grafis.
Menjawab:
.
Tanda kedua dari ekstrem suatu fungsi.
Seperti yang Anda lihat, tanda ekstrem suatu fungsi ini memerlukan adanya turunan setidaknya hingga orde kedua di titik tersebut.
Fungsi bertambah dan berkurang fungsi kamu = F(X) disebut bertambah pada interval [ A, B], jika untuk sepasang titik mana pun X Dan X", a ≤ x pertidaksamaan berlaku F(X) ≤
F (X"), dan meningkat secara ketat - jika terjadi ketimpangan F (X) F(X"). Fungsi menurun dan fungsi menurun didefinisikan dengan cara yang sama. Misalnya saja fungsinya pada = X 2 (beras.
, a) meningkat tajam pada segmen tersebut , dan (beras.
, b) menurun tajam pada segmen ini. Peningkatan fungsi ditunjuk F (X), dan menurun F (X)↓. Agar fungsinya dapat terdiferensiasi F (X) meningkat pada segmen [ A, B], perlu dan cukup turunannya F"(X) tidak negatif pada [ A, B]. Seiring dengan kenaikan dan penurunan suatu fungsi pada suatu ruas, kita perhatikan kenaikan dan penurunan suatu fungsi pada suatu titik. Fungsi pada = F (X) disebut meningkat pada titik tersebut X 0 jika terdapat interval (α, β) yang memuat titik tersebut X 0, yang untuk titik mana pun X dari (α, β), x> X 0 , pertidaksamaan berlaku F (X 0) ≤
F (X), dan untuk titik mana pun X dari (α, β), x 0 , pertidaksamaan berlaku F (X) ≤ f (X 0). Peningkatan ketat suatu fungsi pada suatu titik didefinisikan dengan cara yang sama X 0 . Jika F"(X 0) >
0, maka fungsinya F(X) meningkat secara ketat pada titik tersebut X 0 . Jika F (X) meningkat pada setiap titik interval ( A, B), kemudian meningkat selama interval ini. S.B.Stechkin.
Ensiklopedia Besar Soviet. - M.: Ensiklopedia Soviet. 1969-1978 .
Lihat apa itu “Fungsi menambah dan mengurangi” di kamus lain:
Konsep analisis matematis. Fungsi f(x) disebut perbandingan jumlah kelompok umur penduduk yang berbeda yang bertambah pada segmen STRUKTUR USIA PENDUDUK. Tergantung pada angka kelahiran dan kematian, harapan hidup masyarakat... Kamus Ensiklopedis Besar
Konsep analisis matematis. Suatu fungsi f(x) dikatakan meningkat pada ruas tersebut jika untuk sembarang pasangan titik x1 dan x2, a≤x1 ... kamus ensiklopedis
Konsep matematika. analisis. Fungsi f(x) dipanggil. bertambah pada ruas [a, b], jika untuk sembarang pasangan titik x1 dan x2, dan<или=х1 <х<или=b, выполняется неравенство f(x1)
Cabang matematika yang mempelajari turunan dan diferensial fungsi serta penerapannya dalam studi fungsi. Desain D. dan. menjadi disiplin matematika yang mandiri dikaitkan dengan nama I. Newton dan G. Leibniz (paruh kedua tahun 17 ... Ensiklopedia Besar Soviet
Cabang matematika yang mempelajari konsep turunan dan diferensial serta penerapannya dalam studi fungsi. Perkembangan D. dan. erat kaitannya dengan perkembangan kalkulus integral. Isinya juga tidak dapat dipisahkan. Bersama-sama mereka membentuk dasar...... Ensiklopedia Matematika
Istilah ini memiliki arti lain, lihat fungsinya. Permintaan "Tampilan" dialihkan ke sini; lihat juga arti lainnya... Wikipedia
Aristoteles dan Peripatetik- Pertanyaan Aristoteles Kehidupan Aristoteles Aristoteles lahir pada tahun 384/383. SM e. di Stagira, di perbatasan dengan Makedonia. Ayahnya, bernama Nicomachus, adalah seorang dokter yang melayani raja Makedonia Amyntas, ayah Philip. Bersama keluarganya, Aristoteles muda... ... Filsafat Barat dari asal usulnya hingga saat ini
- (QCD), teori medan kuantum tentang interaksi kuat quark dan gluon, dibangun berdasarkan citra kuantum. elektrodinamika (QED) berdasarkan simetri pengukur "warna". Berbeda dengan QED, fermion di QCD memiliki sifat yang saling melengkapi. derajat kebebasan kuantum nomor,… … Ensiklopedia fisik
I Jantung Jantung (Latin cor, Yunani cardia) adalah organ fibromuskular berongga yang berfungsi sebagai pompa, memastikan pergerakan darah dalam sistem peredaran darah. Anatomi Jantung terletak di mediastinum anterior (Mediastinum) di Perikardium antara... ... Ensiklopedia kedokteran
Kehidupan tumbuhan, seperti organisme hidup lainnya, merupakan serangkaian proses kompleks yang saling terkait; Yang paling penting di antaranya, seperti diketahui, adalah pertukaran zat dengan lingkungan. Lingkungan adalah sumber dari mana... ... Ensiklopedia biologi
Definisi fungsi meningkat.
Fungsi kamu=f(x) meningkat selama interval tersebut X, jika untuk apapun dan 
ketimpangan tetap terjadi. Dengan kata lain, nilai argumen yang lebih besar berarti nilai fungsi yang lebih besar.
Definisi fungsi menurun.
Fungsi kamu=f(x) berkurang pada intervalnya X, jika untuk apapun dan 
ketimpangan tetap terjadi 
. Dengan kata lain, nilai argumen yang lebih besar berarti nilai fungsi yang lebih kecil.
CATATAN: jika fungsi terdefinisi dan kontinu di ujung interval naik atau turun (a;b), yaitu kapan x=sebuah Dan x=b, maka titik-titik tersebut termasuk dalam interval kenaikan atau penurunan. Hal ini tidak bertentangan dengan definisi fungsi naik dan turun pada interval X.
Misalnya dari sifat-sifat fungsi dasar dasar kita mengetahui hal itu y=sinx didefinisikan dan berkelanjutan untuk semua nilai argumen yang sebenarnya. Oleh karena itu, dari kenaikan fungsi sinus pada interval tersebut, kita dapat menyatakan bahwa fungsi tersebut meningkat pada interval tersebut.
Titik ekstrem, ekstrem suatu fungsi.
Intinya disebut titik maksimum fungsi kamu=f(x), jika untuk semua orang X dari lingkungannya ketimpangan tersebut valid. Nilai fungsi pada titik maksimum disebut maksimal dari fungsinya dan menunjukkan .
Intinya disebut poin minimum fungsi kamu=f(x), jika untuk semua orang X dari lingkungannya ketimpangan tersebut valid. Nilai fungsi pada titik minimum disebut fungsi minimal dan menunjukkan .
Lingkungan suatu titik dipahami sebagai interval 
, dimana merupakan bilangan positif yang cukup kecil.
Poin minimum dan maksimum disebut titik ekstrim, dan nilai fungsi yang sesuai dengan titik ekstrem disebut ekstrem dari fungsi tersebut.
Jangan bingung membedakan ekstrem suatu fungsi dengan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi.
Pada gambar pertama, nilai fungsi terbesar pada segmen tersebut tercapai pada titik maksimum dan sama dengan maksimum fungsi, dan pada gambar kedua - nilai fungsi tertinggi dicapai pada titik tersebut x=b, yang bukan merupakan titik maksimal.
Kondisi yang cukup untuk menambah dan mengurangi fungsi.
Berdasarkan kondisi (tanda) cukup bagi kenaikan dan penurunan suatu fungsi, dicari interval kenaikan dan penurunan fungsi tersebut.
Berikut rumusan tanda fungsi naik dan turun pada suatu interval:
jika turunan dari fungsi tersebut kamu=f(x) positif bagi siapa pun X dari interval X, maka fungsinya bertambah sebesar X;
jika turunan dari fungsi tersebut kamu=f(x) negatif bagi siapa pun X dari interval X, maka fungsinya berkurang sebesar X.
Jadi, untuk menentukan interval kenaikan dan penurunan suatu fungsi, perlu:
Mari kita perhatikan contoh mencari interval fungsi naik dan turun untuk menjelaskan algoritmanya.
Contoh.
Temukan interval fungsi naik dan turun.
Larutan.
Langkah pertama adalah mencari definisi fungsi. Dalam contoh kita, ekspresi penyebutnya tidak boleh nol, oleh karena itu, .
Mari kita lanjutkan mencari turunan dari fungsi tersebut: 
Untuk menentukan interval kenaikan dan penurunan suatu fungsi berdasarkan kriteria cukup, kita menyelesaikan pertidaksamaan pada domain definisi. Mari kita gunakan generalisasi metode interval. Satu-satunya akar real dari pembilangnya adalah x = 2, dan penyebutnya menjadi nol di x=0. Titik-titik ini membagi domain definisi menjadi interval-interval di mana turunan fungsi tersebut mempertahankan tandanya. Mari tandai titik-titik ini pada garis bilangan. Kami secara konvensional menyatakan dengan plus dan minus interval di mana turunannya positif atau negatif. Panah di bawah secara skematis menunjukkan kenaikan atau penurunan fungsi pada interval yang sesuai. 
Dengan demikian, 
Dan 
.
Pada intinya x=2 fungsinya terdefinisi dan kontinu, sehingga harus ditambahkan pada interval naik dan turun. Pada intinya x=0 fungsinya tidak terdefinisi, jadi kami tidak memasukkan titik ini ke dalam interval yang diperlukan.
Kami menyajikan grafik fungsi untuk membandingkan hasil yang diperoleh dengannya.
Menjawab:
fungsinya meningkat dengan 
, menurun pada interval (0;2]
.
