Ini adalah salah satu transformasi Fourier yang banyak digunakan dalam algoritma pemrosesan sinyal digital (modifikasinya digunakan dalam kompresi audio dalam MP3, kompresi gambar dalam JPEG, dll.), serta di bidang lain yang terkait dengan analisis frekuensi dalam diskrit (untuk Misalnya, sinyal analog digital. Transformasi Fourier diskrit memerlukan fungsi diskrit sebagai masukan. Fungsi seperti itu sering kali dibuat dengan sampling (mengambil sampel nilai dari fungsi berkelanjutan). Transformasi Fourier diskrit membantu menyelesaikan persamaan diferensial parsial dan melakukan operasi seperti konvolusi. Transformasi Fourier diskrit juga aktif digunakan dalam statistik, dalam analisis deret waktu. Transformasi dapat berupa satu dimensi, dua dimensi, bahkan tiga dimensi.
Konversi langsung:
Konversi terbalik:
Sebutan:
§ N- jumlah nilai sinyal yang diukur selama suatu periode, serta jumlah komponen dekomposisi;
§ - nilai sinyal terukur (pada titik waktu diskrit dengan angka , yang merupakan data masukan untuk konversi langsung dan data keluaran untuk konversi terbalik;
§ - N amplitudo kompleks sinyal sinusoidal yang menyusun sinyal asli; merupakan data keluaran untuk konversi langsung dan data masukan untuk konversi terbalik; karena amplitudo itu kompleks, amplitudo dan fase dapat dihitung darinya;
§ adalah amplitudo biasa (nyata) dari sinyal sinusoidal ke-k;
§ argumen( Xk) - fase sinyal sinusoidal ke-k (argumen bilangan kompleks);
§ k- frekuensi sinyal ke-k, sama dengan , di mana T- periode waktu selama data input diambil.
Dari yang terakhir jelas bahwa transformasi menguraikan sinyal menjadi komponen sinusoidal (yang disebut harmonik) dengan frekuensi dari N osilasi per periode hingga satu osilasi per periode. Karena frekuensi pengambilan sampel itu sendiri sama dengan N sampel per periode, komponen frekuensi tinggi tidak dapat ditampilkan dengan benar - terjadi efek moiré. Hal ini mengarah pada fakta bahwa paruh kedua dari amplitudo kompleks N sebenarnya merupakan bayangan cermin dari amplitudo pertama dan tidak membawa informasi tambahan.
Pertimbangkan beberapa sinyal periodik X(T) dengan periode sama dengan T. Mari kita kembangkan menjadi deret Fourier:
Mari kita mengambil sampel sinyal sehingga terdapat N sampel per periode. Mari kita nyatakan sinyal diskrit dalam bentuk sampel: xn = X(tn), dimana , maka pembacaan melalui deret Fourier tersebut akan dituliskan sebagai berikut:
Dengan menggunakan relasi: , kita peroleh:
Di mana 
Jadi kita dapat transformasi Fourier diskrit terbalik.
Sekarang mari kita kalikan persamaan untuk secara skalar xn aktif dan kita mendapatkan:
Di sini kita menggunakan: a) ekspresi jumlah sejumlah suku (eksponen) berhingga suatu barisan geometri, dan b) ekspresi simbol Kronecker sebagai limit rasio fungsi Euler untuk bilangan kompleks. Oleh karena itu:
Rumus ini menjelaskan transformasi Fourier diskrit langsung.
Dalam literatur, pengali biasanya ditulis dalam transformasi terbalik, oleh karena itu rumus transformasi biasanya ditulis dalam bentuk berikut:
Transformasi Fourier diskrit adalah transformasi linier yang mengubah vektor sampel waktu menjadi vektor sampel spektral dengan panjang yang sama. Jadi, transformasi dapat dilakukan dengan mengalikan matriks persegi dengan vektor:
Kami mempertimbangkan dua bentuk transformasi Fourier:
1) Transformasi Fourier dalam waktu kontinu dengan perubahan frekuensi terus menerus
2) Transformasi Fourier dalam waktu diskrit dengan perubahan frekuensi yang terus menerus.
Namun dalam situasi nyata, rangkaian waktu selalu memiliki durasi yang terbatas. Selain itu, kemungkinan pemrosesan data yang jauh lebih besar muncul jika Anda tidak menggunakan analog, tetapi konverter Fourier diskrit, yang juga mewakili karakteristik frekuensi dalam bentuk urutan numerik hingga. Pada saat yang sama, kualitas pemrosesan informasi dan kecepatan pemrosesannya meningkat karena adanya cara efektif untuk menghitung transformasi tersebut dalam bentuk diskrit dan, sebagai konsekuensinya, kemampuan untuk memproses array yang lebih besar. Metode merepresentasikan sinyal dalam bentuk rangkaian digital berhingga, sebagai hasil pengolahan yang juga menghasilkan rangkaian digital berhingga tertentu, merupakan inti dari pemrosesan sinyal digital. Dasar pemrosesan sinyal digital adalah bentuk khusus dari transformasi Fourier yang disebut transformasi Fourier diskrit(DFT). Seperti yang akan kita lihat di bawah, DFT adalah transformasi Fourier dari barisan waktu yang panjangnya berhingga, yang merupakan barisan berhingga, dan bukan fungsi kontinu, dan sesuai dengan sampel transformasi Fourier sinyal yang berjarak sama. Selain kepentingan teoretisnya, DFT memainkan peran sentral dalam pemrosesan sinyal karena adanya algoritma yang efisien untuk penghitungannya, yang disebut transformasi Fourier cepat(FFT) .
Mari kita perkenalkan DFT berdasarkan transformasi Fourier dalam waktu diskrit (2). Karena kita sekarang berurusan dengan barisan berhingga (panjang N), kita asumsikan barisan waktu x(n)=0 untuk n<0 и при n>N-1. Seperti yang akan dilihat di bawah, pengambilan sampel interval frekuensi, yaitu. menghitung transformasi Fourier hanya dalam kelipatan frekuensi juga akan menghasilkan kelanjutan periodik dari urutan waktu asli sepanjang sumbu waktu. Untuk sekali lagi menghindari tumpang tindih, dengan menggunakan analogi pengambilan sampel waktu, kami mengambil sampel sumbu frekuensi dengan suatu interval, di mana NT adalah interval waktu penuh untuk menentukan fungsi aslinya. Kemudian nilai frekuensi pada sampel frekuensi ke-k, dan k bervariasi dari 0 sampai N-1 (karena menurut teorema sampling). Jadi, jumlah sampel frekuensinya juga N.
Jika hal ini dilakukan, maka transformasi Fourier (2) akan berbentuk:
- 7.2 Ortogonalitas suatu sistem eksponensial kompleks pada himpunan titik-titik yang berjarak sama.
Untuk beralih dari transformasi Fourier langsung ke transformasi terbalik,
kami membuktikan ortogonalitas eksponensial kompleks
(atau yang sama, sistem sinus dan kosinus) pada himpunan N titik yang berjarak sama.
Dengan menyatakan selisih n-n' sebagai m, kita peroleh di sisi kanan (4) suatu barisan geometri dengan penyebut, dan perhatikan persamaan yang jelas. Menemukan jumlah barisan geometri ini menggunakan rumus terkenal, kita peroleh
Dalam melakukannya, kami menggunakan fakta itu
jika m=0,±N, ±2N,....
Seperti yang akan ditunjukkan di bawah, nilai-nilai ini menyebabkan efek aliasing atau substitusi frekuensi yang muncul ketika fungsi tersebut diambil sampelnya secara seragam.
Perhatikan bahwa sistem eksponensial tereduksi adalah ortogonal terhadap sistem N titik mana pun yang dihitung berturut-turut, apa pun pilihan titik awal. Memang, dengan mengambil indeks -l sebagai titik awal dan mengganti variabel penjumlahan k’=k+l, kita mendapatkan:
Karena , dan untuk sisa k nilai penjumlahannya adalah nol.
7.3 Transformasi Fourier diskrit terbalik
Mari beralih ke penerimaan transformasi Fourier diskrit terbalik (IDFT).
Mari kalikan kedua ruas ekspresi DFT (3) dengan dan jumlahkan k dari 0 hingga N-1.
Pada saat yang sama, kami memperhitungkan bahwa karena penjumlahan k dilakukan dalam rentang dari 0 hingga N-1, maka menurut (5), jumlahnya akan berbeda dari nol hanya jika n-n'= 0 yaitu ketika n=n'. Mendesain ulang n’ dengan n dan menyatakan x(n) dari (6), kita memperoleh ekspresi untuk ODFT, yang, bersama dengan ekspresi (3) untuk DFT, memberikan bentuk diskrit dari transformasi Fourier:
Karena Ketika memilih faktor konstanta untuk transformasi Fourier langsung dan terbalik, kondisi keteguhan produknya harus dipenuhi, kemudian untuk menyederhanakan notasi, kita akan membuang faktor T untuk langsung dan 1/T untuk transformasi terbalik, yang akan menghasilkan ke bentuk DFT berikut:
Setelah memperkenalkan notasi untuk eksponensial kompleks, kami merepresentasikan transformasi Fourier diskrit dalam bentuk:
Bentuk terakhir akan terlihat lebih sederhana dalam representasi matriks:
dimana elemen-elemen matriks T adalah eksponensial kompleks, dan matriksnya T’ .
Hubungan antara matriks T dan T' terlihat jelas:
Mari kita tuliskan, sebagai contoh, matriks transformasi Fourier langsung dan terbalik untuk barisan satu, dua, tiga, dan empat titik.
Mari kita membuat beberapa pernyataan penting mengenai transformasi Fourier diskrit.
- 1. Karena sistem eksponensial ortogonal pada himpunan N titik diskrit, apa pun pilihan titik awal himpunan ini, nilai awal indeks penjumlahan pada (7) dan (9) bisa berapa saja, asalkan karena selisih nilai awal dan akhir sama dengan N.
- 2. Barisan x(n) dan X(k), yang ditentukan oleh rumus 7 atau 9, di luar himpunan 0....N-1 adalah N-periodik, yaitu
di mana p adalah bilangan apa pun, n dan k adalah bilangan bulat dalam rentang 0 hingga N-1. Properti ini merupakan konsekuensi dari N-periodisitas eksponensial (8): Jadi, misalnya, untuk ODFT kita peroleh
3. Berdasarkan keterangan sebelumnya, X(-k)=X(n-k).
Benar-benar,
Itu. X(-1)=X(N-1);X(-2)=X(N-2), dst.
Jadi, paruh kedua transformasi Fourier, yaitu. nilai X(k) untuk k>N/2 sesuai dengan frekuensi negatif.
Untuk melihat analog kontinu transformasi Fourier, yang dihitung secara diskrit, ketika n dan k bervariasi dari 0 hingga N-1, Anda perlu “memotong” gambar Fourier diskrit pada titik N/2 dan menempatkan bagian X(k ) sesuai dengan k>N/2 di depan babak pertama. Selain itu, untuk berpindah ke nilai frekuensi sebenarnya saat membentuk sumbu frekuensi, Anda perlu mengalikan jumlah frekuensi k dengan nilai interval frekuensi dalam hertz. Dengan demikian, nilai frekuensi pada sampel ke-k adalah sama.
lalu x 3 (n)~X 3 (k), dimana X 3 (k)=X 1 (k)+X 2 (k).
Jika barisan x 1 (n) dan x 2 (n) mempunyai panjang yang berbeda, masing-masing N 1 dan N 2, maka panjang N 3 =maks(N 1,N 2).
Urutan durasi yang lebih pendek harus diisi dengan angka nol.
- 2. Properti geser.
- 2.1 Pergeseran domain waktu.
Jika x(n)~X(k) , maka x(n-h)~W -kh X(k)
Bukti:
Dengan menggunakan definisi DFT langsung dalam bentuk (9b) dan mengganti variabel penjumlahan n-h =r atau n=r+h, kita memperoleh:
2.2 Pergeseran domain frekuensi.
Jika x(n)~X(k) , maka x(n)W nf ~ X(k-f)
Pembuktian sifat ini, serupa dengan pembuktian sebelumnya, didasarkan pada definisi ODFT (7b) atau (9b).
3. Properti konjugasi kompleks
Jika x(n), dimana n=0,1,2,..N-1- n
urutan nyata *
bilangan, dan N genap, dan x(n)~X(k) , maka X(N/2+r)=X (N/2-r), di mana
Bukti:
1) Koefisien DFT barisan 8 bilangan real masing-masing sama dengan X(0)=5, X(1)=i, X(2)=1+i, X(3)=2+3i, X( 4)=2 .
Tentukan nilai koefisien X(k), k=5,6,7.
Jawaban: Menurut sifat (3) X(5)=2+3i,X(6)=1+i,X(7)=i.
2) Tunjukkan bahwa DFT dari barisan titik-N
(x(n))=(A,A,...A) adalah barisan titik-N (X(k))=(NA,0,0...)).
Menurut definisi DFT langsung (7a) dan sifat ortogonalitas eksponensial (4)
7.5 Teorema Parseval. Kekuatan spektrum
Teorema Parseval untuk barisan waktu berhingga berbentuk:
Ukuran
kami menyebutnya spektrum daya.
Karena sifat 3 konjugasi kompleks, spektrum daya akan simetris terhadap k=N/2. Karena N/2 nilai berkorespondensi dengan frekuensi negatif yang tidak mempunyai arti fisis, maka arti keseluruhan spektrum daya sebagai kontribusi terhadap daya total frekuensi tertentu terdapat pada paruh pertama spektrum tersebut, sesuai dengan frekuensi positif, mis. nilai 0 Fitur penting dari spektrum daya adalah invariannya terhadap pergeseran urutan waktu N-periodik x(n). Memang karena menurut properti shift 2.1 x(n-h) ~ W -kh X(k), lalu Dengan menggunakan spektrum daya, spektrum amplitudo ditentukan: Spektrum amplitudo juga invarian terhadap pergeseran barisan waktu x(n) karena p(k) seperti P(k) simetris terhadap k=N/2. Karena bayangan Fourier X(k) meskipun barisan nyata merupakan besaran kompleks, maka untuk menjaga semua informasi tentang barisan waktu asli, beserta spektrum amplitudonya, perlu dihitung spektrum fasanya, yang didefinisikan sebagai berikut: dimana I(k) dan R(k) adalah bagian real dan imajiner dari X(k). Berdasarkan sifat 3 konjugasi kompleks, R(N/2+r)=R(N/2-r), dan I(N/2+r)=-I(N/2-r). Oleh karena itu, spektrum fase ternyata merupakan Fungsi ganjil terhadap k=N/2 yaitu. (N/2+r)=-Ф(N/2-r). Dari (14), serta dari ekspresi DFT (7a-9a), berikut adalah sifat dasar spektrum fase, yang terdiri dari invariansinya terhadap perkalian dengan konstanta. Jika spektrum amplitudo (13) dan fase (14) sinyal diketahui, memungkinkan kita untuk bersama-sama menghitung gambar Fourier kemudian menggunakan ODFT (7b-9b) Anda dapat mengembalikan sinyal aslinya. 7.6 Konvolusi diskrit. Mari kita definisikan konvolusi dua barisan diskrit x(n) dan y(n), masing-masing panjangnya N ka ke jumlah berikutnya Dalam hal ini, argumen n-r mungkin berada di luar batas. Bergantung pada bagaimana kita mendefinisikan nilai x(n-r) atau y(n-r) dalam kasus ini, kita akan mendapatkan berbagai jenis konvolusi: siklik dan linier. Jika nilai tersebut ditemukan dari sifat N-periodisitas (siklisitas) barisan x(n) dan y(n), maka konvolusi yang dihasilkan disebut berhubung dgn putaran. Dalam hal ini, mereka mengatakan bahwa indeks n-i dipahami modulo N, yang berarti jika i-n=k+pN, maka x(i-n)=x(k),y(i-n)=y(k). Untuk menandai fakta ini, argumen n-i diapit dalam tanda kurung ganda, sekaligus ditandai dengan subskrip N: Gambar berikut mengilustrasikan esensi konvolusi siklik, Gambar.1 Konvolusi siklik. Suku-suku barisan y(i) disusun dalam urutan terbalik terhadap x(i), dengan x(0) terletak di seberang y(i). Satu nilai h(i) diperoleh dengan menjumlahkan semua hasil kali berpasangan dari nilai-nilai yang berlawanan. Mari kita perhatikan satu lagi fakta penting mengenai konvolusi siklik diskrit. Karena N-periodisitas barisan x(n) dan y(n), konvolusinya juga periodik dengan periode N. Memang benar Perhatikan bahwa jika barisan yang dilipat memiliki panjang yang berbeda, maka barisan yang lebih pendek harus diisi dengan angka nol pada barisan yang lebih panjang, dan konvolusi yang dihasilkan akan memiliki panjang yang sama. Jika kita berasumsi bahwa di luar batas 0....N-1 barisan x(n) dan y(n) sama dengan nol, sehingga x(i-n) dan y(i-n) sama dengan nol untuk nilai negatif Kemudian bentuk konvolusi yang dihasilkan disebut linier. Gambar 2 mengilustrasikan bagaimana konvolusi linier dihitung. Gambar.2 Konvolusi linier. Indeks barisan y(i) meningkat searah dengan penurunan indeks barisan x(i). Satu nilai h(i) diperoleh dengan menjumlahkan semua hasil kali berpasangan dari perpotongan nilai-nilai yang berlawanan. Dalam hal ini, tidak seperti siklik, barisan dengan panjang berbeda dapat dikonvolusi. Panjang konvolusi liniernya adalah N 1 + N 2 -1. Memang, untuk menghitung elemen konvolusi linier ke-n, kita mencari hasil kali elemen-elemen barisan yang akan dijumlahkan yang jumlah indeksnya sama dengan n. Oleh karena itu, indeks konvolusi linier minimum adalah 0, dan maksimum adalah N 1 -1+N 2 -1=N 1 +N 2 -2 dan jumlah elemennya adalah N 1 +N 2 +1. Perhitungan konvolusi linier barisan dengan panjang N 1 dan N 2 dapat direduksi menjadi perhitungan konvolusi siklik jika kedua barisan tersebut ditambah dengan panjang N 1 + N 2 -1 dengan menambahkan angka nol. Contoh 1: Hitung konvolusi barisan linier (x(n))=(1 2 3 4) dan (y(n))=(5 4 3 2 1 ). Menjawab: Contoh 2: Hitung konvolusi siklik barisan: (x(n))=(1,2,-1,3) dan (y(n))=(-1,1,4,1). h(0)=x(i)y(-i)=x(0)y(0)+x(1)y(-1)+x(2)y(-2)+x(3)y( -3)= x(0)y(0)+x(1)y(3)+x(2)y(2)+ h(1)=x(i)y(1-i)=x(0)y(1)+x(1)y(0)+x(2)y(-1)+x(3)y( -2)= x(0)y(1)+x(1)y(0)+x(2)y(3) h(2)= x(r)y(2-r) = x(0)y(2)+x(1)y(1)+x(2)y(0)+ x(3)y(- 1) = x(0)y(2)+x(1)y(1)+x(2)y(0)+ x(3)y(3) = 10 h(3)= x(r)y(3-r) = x(0)y(3)+x(1)y(2)+x(2)y(1)+ x(3)y(0 ) = Hal ini diperhitungkan, menurut sifat periodisitas Barisan 4 titik y(n) dengan periode N=4, y(-l)=y(4-l). Contoh 3: Hitung konvolusi barisan siklik dan linier: (x(n))=(1,1,1,1) dan (y(n))=(1,1,1,1). Teorema 1. x(n)*y(n)~X(k)Y(k). (14) Dengan kata lain, konvolusi barisan waktu x(n) dan y(n) dengan panjang N setara dengan mengalikan gambar DFT-nya. Bukti: Menggunakan definisi DFT maju (9a), konvolusi diskrit (12) dan Properti pergeseran DFT 2.1, kita mendapatkan: Teorema 2. x(n)~X(k) , y(n)~Y(k), di mana n,k=0,1,.....N-1. x(n)y(n)~X(k)*Y(k). (15) Bukti: Dalam melakukannya, kami menggunakan definisi DFT maju dan mundur (7-9), sifat ortogonalitas eksponensial kompleks pada sistem titik berjarak sama (4), serta definisi konvolusi. 7 .8 Transformasi Fourier diskrit dua dimensi. Transformasi Fourier diskrit dapat digeneralisasikan pada kasus banyak dimensi, dan generalisasi pada kasus dua dimensi adalah yang paling berguna, karena ini banyak digunakan dalam pemrosesan gambar. DFT 2D didefinisikan sebagai berikut: Array data membentuk matriks ukuran, mis. Mari kita perhatikan dalam ekspresi (16) jumlah internal, yang didefinisikan sebagai Ungkapan ini menyiratkan bahwa sisi kanan adalah DFT setiap kolom data. Oleh karena itu, kami memperkenalkan notasi tersebut Koefisien pada (20) dapat ditulis dalam bentuk matriks berukuran Sebagai hasil substitusi (20) ke (16) kita mendapatkan Artinya koefisien diperoleh dengan menghitung DFT setiap baris matriks yang ditentukan oleh ekspresi (21). Hasilnya adalah sekumpulan koefisien yang dapat dituliskan sebagai matriks Dari pertimbangan ini maka DFT dua dimensi dapat dianggap sebagai penggunaan ganda dari DFT satu dimensi. Perkenalan Selama pembelajaran di laboratorium, kemungkinan transformasi trigonometri diskrit (DTP) dipelajari dari sudut pandang berikut: 1. Kami memeriksa properti reversibilitas dari kecelakaan yang diberikan. 2. Linearitas dari kecelakaan yang diusulkan diselidiki. 3. Kami mempelajari ciri-ciri spektrum berulang dari kecelakaan yang diuji. 4. Kami menentukan adanya refleksi simetris spektrum pada suatu kecelakaan, yaitu 4.1. kehadiran simetri pusat, 4.2. adanya simetri aksial (vertikal). 5. Kami mempertimbangkan pengaruh pergeseran fasa sinyal terhadap kecelakaan yang diakibatkannya. 6. Memeriksa keberadaan properti kesamaan untuk transformasi yang diberikan. 7. Kami menyelidiki kemungkinan menyaring sinyal menggunakan kecelakaan tertentu. 8. Kami menguji secara eksperimental kekekalan energi pada kecelakaan lalu lintas yang diteliti. 9. Kami menemukan hubungan antara kecelakaan ini dan transformasi Fourier diskrit. Berbagai sinyal masukan juga dipertimbangkan untuk analisis yang lebih representatif. Transformasi fungsional diskrit yang paling terkenal adalah transformasi Fourier diskrit (DFT) Transformasi Fourier Diskrit Transformasi Fourier diskrit menentukan spektrum garis fungsi periodik waktu yang terdiskritisasi. Transformasi Fourier diskrit terbalik memungkinkan Anda merekonstruksi fungsi waktu dari spektrumnya. Transformasi ini biasanya disingkat DFT dan ODFT. DFT digunakan untuk menganalisis fungsi periodik dan dapat diperoleh dari teori deret Fourier. Misalkan x0(t) merupakan fungsi periodik kontinu dengan periode P dan frekuensi f0 = 1/P sehingga Fungsi x0(t) dapat diperluas menjadi deret Fourier: dimana koefisien muai X0(n) diberikan oleh rumus Biasanya x0(t) adalah fungsi nyata, dan kemudian X0(n) adalah fungsi kompleks (tetapi pembatasan ini tidak diperlukan). Karena kita menganggap x0 sebagai fungsi waktu, X0(n) dapat disebut spektrum kompleks dari x0(t). Dengan menggunakan bagian nyata dan imajiner dari X0(n), kita dapat mencari amplitudo dan fasa dari komponen-komponen yang membentuk osilasi x0(t). Mari kita perhatikan diskritisasi fungsi periodik x0(t). Agar fungsi ini dapat didiskritisasi dengan jelas, spektrumnya tidak boleh mengandung komponen dengan frekuensi lebih tinggi dari frekuensi tertentu f1, yaitu. dimana n1 adalah nilai integer dari n yang menentukan frekuensi f1. Pada gambar. Gambar 1 menunjukkan spektrum yang terbatas dan getaran yang berhubungan dengannya. interval pengambilan sampel T sama dengan jadi jumlah sampel per periode adalah Ara. 1. Fungsi periodik x0(t) dengan pita frekuensi terbatas dan spektrumnya X0(n). 1Sebagai hasil diskritisasi, kita memperoleh osilasi periodik yang dinormalisasi relatif terhadap T bentuk Osilasi ini didefinisikan pada interval yang sama dengan periodenya, yaitu. Karena x(t/T) merupakan fungsi periodik, relasi (2) digunakan untuk menghitung koefisien deret Fourier (Mengganti P dengan /V pada pembagi dan batas integrasi berhubungan dengan transisi ke variabel yang dinormalisasi.) Mengganti ekspresi (3), kita memperoleh Diketahui bahwa Akhirnya, dengan mempertimbangkan fakta bahwa menurut definisi Hubungan yang menghubungkan x(k) dengan X(n) dapat diperoleh langsung dari rumus (1), jika kita mensubstitusikan t=kT dan memperhitungkan bahwa dengan lebar spektrum fungsi x0(t) yang terbatas, jumlah berisi sejumlah suku yang terbatas. Jadi, Perlu dicatat bahwa x(k) adalah fungsi periodik, yaitu. dan demikian pula Fakta bahwa spektrum bersifat periodik dijelaskan oleh periodisitas spektrum dari setiap fungsi yang terdiskritisasi, dan sifat diskritnya disebabkan oleh fakta bahwa fungsi yang terdiskritisasi itu sendiri juga bersifat periodik. Jadi, ketika mendiskritisasi fungsi periodik x0(t), relasi (4) memungkinkan penggunaan sampel x0(t) untuk mencari spektrum X(n), yang pada interval 0 ≤ n ≤ N - 1 sama persis dengan spektrum X0 (n) dari fungsi periodik aslinya. Fungsi x(k) dan spektrumnya disajikan secara grafis pada Gambar. 2. Karena relasi (5.4) diperoleh berdasarkan teorema sampling, relasi tersebut merupakan ekuivalen yang akurat dan ekonomis (dalam perhitungan) dari relasi integral asli (2) dan dapat digunakan untuk menghitung koefisien muai di komputer. Kita akan menyebut relasi (4) dan (5) masing-masing sebagai transformasi Fourier diskrit (DFT) dan transformasi Fourier diskrit terbalik (IDFT). Perhatikan bahwa variabel n bervariasi di sini dari nol hingga N-1. Spektrum yang dihasilkan dapat diinterpretasikan sebagai berikut. Titik pertama (N/2-1) X(n) berhubungan dengan (N/2 - 1) garis spektrum X0(n) pada frekuensi positif, seperti ditunjukkan pada Gambar. 5.3, dan titik terakhir (N/2-1) X(n) berhubungan dengan (N/2-1) garis spektral pada frekuensi negatif. Pasangan transformasi yang diberikan oleh relasi (4) dan (5) juga terjadi dalam bentuk lain. Misalnya pengali 1/N dan tanda minus eksponen dapat dituliskan dalam transformasi langsung dan terbalik, arti umum tidak berubah. Secara alami, spektrum dalam hal ini tidak dapat langsung diidentifikasi dengan spektrum yang ditentukan oleh rumus (2). Terkadang kedua transformasi diberikan dengan faktor yang sama (1 / N)1/2. Ara. 2. Diskretisasi fungsi periodik x(k) dan spektrum periodiknya X(n). Ara. 3. Hubungan koefisien deret Fourier dengan DFT. Properti DFT Beberapa properti DFT memainkan peran penting dalam masalah praktis pemrosesan sinyal. Linearitas Jika xp(n) dan ur(n) adalah barisan periodik (dengan periode masing-masing N sampel), dan Xp(k) dan Yp(k) adalah DFTnya, maka transformasi Fourier diskrit dari barisan xp(n) + + kamu(n ) sama dengan Хр(k) + Yp(k). Hal ini juga berlaku untuk barisan yang panjangnya berhingga. Menggeser Jika barisan xp(n) periodik dengan periode N sampel, dan DFT-nya sama dengan Xp(k), maka DFT barisan periodik berbentuk xp(n-n0) adalah sama. Ara. 4. Menuju definisi DFT barisan bergeser. Saat menganalisis barisan yang panjangnya berhingga, sifat spesifik dari pergeseran waktu barisan tersebut perlu diperhitungkan. Jadi, pada Gambar. 4, a menunjukkan barisan berhingga x(n) dengan panjang N sampel. Di tempat yang sama, persilangan menggambarkan sampel barisan periodik ekuivalen xp(n), yang memiliki DFT yang sama dengan x(n). Mencari DFT barisan yang digeser x(n - n0), dan n0< N, следует рассмотреть сдвинутую периодическую последовательность Хр(n - n0) и в качестве эквивалентной сдвинутой конечной последовательности (имеющей ДПФ j принять отрезок последовательности хр(n - n0) в интервале 0 ≤ n ≤ N - 1. Таким образом, с точки зрения ДПФ последовательность х(n – n0) получается путем кругового сдвига элементов последовательности х(n) на n0 отсчетов Sifat simetri Jika suatu barisan periodik xp(n) dengan periode v/V sampel adalah real, maka DFT xp(k)-nya memenuhi kondisi simetri berikut: Persamaan serupa juga berlaku untuk barisan real berhingga x(n) yang memiliki DFT titik-N X(k). Jika kita memperkenalkan kondisi simetri tambahan untuk barisan xp(n), yaitu asumsikan bahwa lalu ternyata Xp(k) hanya nyata. Karena kita paling sering harus berurusan dengan barisan real, dengan menghitung satu DFT, kita bisa mendapatkan DFT dari dua barisan menggunakan sifat simetri (6). Mari kita perhatikan barisan periodik nyata xp(n) dan yp(n) dengan periode N sampel dan DFT titik N masing-masing Хр(k) dan Yp(k). Mari kita perkenalkan barisan kompleks zp(n) dari bentuk tersebut DFT-nya sama dengan Mengisolasi bagian real dan imajiner dari persamaan (10), kita peroleh Bagian nyata Xp(k) dan Yp(k) adalah simetris, dan bagian imajinernya antisimetris, sehingga dapat dengan mudah dipisahkan menggunakan operasi penjumlahan dan pengurangan: Jadi, dengan menghitung satu DFT titik-N, dimungkinkan untuk mentransformasikan dua barisan nyata dengan panjang N sampel sekaligus. Jika barisan ini juga simetris, maka jumlah operasi yang diperlukan untuk memperoleh DFT dapat dikurangi lebih jauh lagi. Informasi terkait. Teknologi komunikasi modern tidak dapat dibayangkan tanpa analisis spektral. Representasi sinyal dalam domain frekuensi diperlukan baik untuk analisis karakteristiknya maupun untuk analisis blok dan unit transceiver sistem komunikasi radio. Untuk mengubah sinyal menjadi domain frekuensi, digunakan transformasi Fourier langsung. Rumus umum transformasi Fourier langsung ditulis sebagai berikut: Seperti dapat dilihat dari rumus analisis frekuensi ini, ketergantungan korelasi antara sinyal yang disajikan dalam domain waktu dan eksponensial kompleks dengan frekuensi tertentu dihitung. Dalam hal ini, menurut rumus Euler, eksponensial kompleks didekomposisi menjadi bagian nyata dan imajiner: Sinyal yang direpresentasikan dalam domain frekuensi dapat diubah kembali menjadi domain waktu menggunakan transformasi Fourier terbalik. Rumus umum transformasi Fourier terbalik ditulis sebagai berikut: Rumus transformasi Fourier langsung menggunakan integrasi waktu dari minus tak terhingga hingga tak terhingga. Tentu saja ini adalah abstraksi matematis. Dalam kondisi nyata, kita dapat melakukan integrasi dari momen waktu tertentu, yang dapat kita nyatakan sebagai 0, hingga momen waktu T. Rumus transformasi Fourier langsung akan diubah menjadi bentuk berikut: Sebagai akibat sifat-sifat transformasi Fourier berubah secara signifikan. Spektrum sinyal bukan fungsi kontinu menjadi serangkaian nilai yang terpisah. Sekarang frekuensi minimum dan sekaligus langkah nilai frekuensi spektrum sinyal menjadi: Hanya sin dan cos yang berfungsi dengan frekuensi k/T akan saling ortogonal, dan ini merupakan kondisi yang sangat diperlukan untuk transformasi Fourier. Himpunan fungsi pertama ekspansi deret Fourier ditunjukkan pada Gambar 1. Dalam hal ini, durasi fungsi tersebut bertepatan dengan durasi analisis. T. Sekarang spektrum sinyal akan terlihat seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2. Dalam hal ini rumus menghitung transformasi Fourier langsung (4) diubah menjadi bentuk berikut: Rumus transformasi Fourier invers untuk kasus penentuan spektrum dalam periode waktu terbatas akan terlihat seperti ini: Dengan cara yang sama, Anda dapat menentukan rumus transformasi Fourier langsung untuk sampel sinyal digital. Mengingat bahwa alih-alih sinyal kontinu, sampel digitalnya digunakan, dalam ekspresi (6) integral diganti dengan jumlah. Dalam hal ini, durasi sinyal yang dianalisis ditentukan oleh jumlah sampel digital N. Transformasi Fourier untuk sampel sinyal digital disebut transformasi Fourier diskrit dan ditulis sebagai berikut: Sekarang mari kita lihat bagaimana sifat transformasi Fourier diskrit (DFT) berubah dibandingkan dengan transformasi Fourier langsung dalam interval waktu terbatas. Ketika kita melihat pengambilan sampel sinyal analog, kita mengetahui bahwa spektrum sinyal input harus dibatasi frekuensinya. Persyaratan ini membatasi jumlah komponen diskrit dari spektrum sinyal. Pada awalnya tampaknya kita dapat membatasi spektrum sinyal pada frekuensi F d/2, yang sesuai dengan jumlah komponen frekuensi K=N/2. Namun ternyata tidak. Meskipun spektrum sinyal untuk sampel sinyal nyata untuk frekuensi positif dan frekuensi negatif simetris sekitar 0, frekuensi negatif mungkin diperlukan untuk beberapa algoritma spektrum, seperti. Perbedaannya bahkan lebih besar ketika melakukan transformasi Fourier diskrit pada sampel sinyal input yang kompleks. Oleh karena itu, untuk menggambarkan spektrum sinyal digital secara lengkap, diperlukan N sampel frekuensi ( k = 0, ..., T/2). Pemfilteran gambar linier dapat dilakukan dalam domain spasial dan frekuensi. Frekuensi spasial "rendah" diyakini sesuai dengan konten utama gambar - latar belakang dan objek berukuran besar, dan frekuensi spasial "tinggi" - objek berukuran kecil, detail kecil berbentuk besar, dan komponen kebisingan. Secara tradisional, untuk berpindah ke domain frekuensi spasial, metode berdasarkan $\textit(Fourier transform)$ digunakan. Dalam beberapa tahun terakhir, metode berdasarkan $\textit(wavelet-transform)$ juga semakin banyak digunakan. Transformasi Fourier memungkinkan Anda untuk merepresentasikan hampir semua fungsi atau kumpulan data sebagai kombinasi fungsi trigonometri seperti sinus dan kosinus, yang memungkinkan Anda mengidentifikasi komponen periodik dalam data dan mengevaluasi kontribusinya terhadap struktur data asli atau bentuk data. fungsinya. Secara tradisional, terdapat tiga bentuk utama transformasi Fourier: transformasi Fourier integral, deret Fourier, dan transformasi Fourier diskrit. Transformasi integral Fourier mengubah suatu fungsi nyata menjadi sepasang fungsi nyata atau satu fungsi kompleks menjadi fungsi kompleks lainnya. Fungsi sebenarnya $f(x)$ dapat diperluas dalam sistem ortogonal fungsi trigonometri, yaitu direpresentasikan dalam bentuk $$ f\left(x \right)=\int\limits_0^\infty (A\left(\omega \right)) \cos \left((2\pi \omega x) \right)d\omega -\ int\limits_0^\infty (B\left(\omega \right)) \sin \left((2\pi \omega x) \right)d\omega , $$ dimana $A(\omega)$ dan $B(\omega)$ disebut transformasi kosinus dan sinus integral: $$ A\left(\omega \right)=2\int\limits_(-\infty )^(+\infty ) (f\left(x \right)) \cos \left((2\pi \omega x ) \kanan)dx; \quad B\left(\omega \right)=2\int\limits_(-\infty )^(+\infty ) (f\left(x \right)) \sin \left((2\pi \omega x )\kanan)dx. $$ Deret Fourier mewakili fungsi periodik $f(x)$, yang didefinisikan pada interval $$, sebagai deret tak hingga dalam sinus dan cosinus. Artinya, fungsi periodik $f(x)$ dikaitkan dengan barisan koefisien Fourier yang tak terhingga $$ f\left(x \right)=\frac(A_0 )(2)+\sum\limits_(n=1)^\infty (A_n ) \cos \left((\frac(2\pi xn)( b-a)) \kanan)+\jumlah\batas_(n=1)^\infty (B_n \sin \kiri((\frac(2\pi xn)(b-a)) \kanan)) , $$ $$ A_n =\frac(2)(b-a)\int\limits_a^b (f\left(x \kanan)) \cos \left((\frac(2\pi nx)(b-a)) \kanan)dx ; \quad B_n =\frac(2)(b-a)\int\limits_a^b (f\left(x \kanan)) \sin \left((\frac(2\pi nx)(b-a)) \kanan)dx . $$ Transformasi Fourier diskrit mengubah barisan bilangan real berhingga menjadi barisan koefisien Fourier berhingga. Misalkan $\left\( (x_i ) \right\), i= 0,\ldots, N-1 $ - barisan bilangan real - misalnya, kecerahan piksel dihitung sepanjang garis gambar. Barisan ini dapat direpresentasikan sebagai kombinasi jumlah berhingga dari bentuk tersebut $$ x_i =a_0 +\sum\limits_(n=1)^(N/2) (a_n ) \cos \left((\frac(2\pi ni)(N)) \kanan)+\sum\limits_ (n=1)^(N/2) (b_n \sin \kiri((\frac(2\pi ni)(N)) \kanan)) , $$ $$ a_0 =\frac(1)(N)\sum\limits_(i=0)^(N-1) (x_i ) , \quad a_(N/2) =\frac(1)(N)\sum \limits_(i=0)^(N-1) (x_i ) \kiri((-1) \kanan)^i, \quad a_k =\frac(2)(N)\sum\limits_(i=0) ^(N-1) (x_i \cos \kiri((\frac(2\pi ik)(N)) \kanan)), $$ $$ b_k =\frac(2)(N)\sum\limits_(i=0)^(N-1) (x_i \sin \left((\frac(2\pi ik)(N)) \kanan) ), \kuad i\le k Perbedaan utama antara ketiga bentuk transformasi Fourier adalah jika transformasi Fourier integral didefinisikan pada seluruh domain definisi fungsi $f(x)$, maka deret dan transformasi Fourier diskrit hanya didefinisikan pada himpunan diskrit. titik, tak terhingga untuk deret Fourier dan berhingga untuk transformasi diskrit. Seperti dapat dilihat dari definisi transformasi Fourier, transformasi Fourier diskrit adalah yang paling menarik dalam sistem pemrosesan sinyal digital. Data yang diterima dari media digital atau sumber informasi merupakan kumpulan bilangan terurut yang ditulis dalam bentuk vektor atau matriks. Biasanya diasumsikan bahwa data masukan untuk transformasi diskrit adalah sampel seragam dengan langkah $\Delta $, dengan nilai $T=N\Delta $ disebut panjang rekaman, atau periode fundamental. Frekuensi dasar adalah $1/T$. Jadi, transformasi Fourier diskrit menguraikan data masukan menjadi frekuensi yang merupakan kelipatan bilangan bulat dari frekuensi dasar. Frekuensi maksimum, ditentukan oleh dimensi data masukan, sama dengan $1/2 \Delta $ dan disebut $\it(Frekuensi Nyquist)$. Pertimbangan frekuensi Nyquist penting ketika menggunakan transformasi diskrit. Jika data masukan mempunyai komponen periodik yang frekuensinya lebih tinggi dari frekuensi Nyquist, maka transformasi Fourier diskrit akan mensubstitusi data frekuensi tinggi dengan frekuensi yang lebih rendah, sehingga dapat menimbulkan kesalahan dalam menginterpretasikan hasil transformasi diskrit. $\it(spektrum energi)$ juga merupakan alat penting untuk analisis data. Kekuatan sinyal pada frekuensi $\omega $ ditentukan sebagai berikut: $$ P \kiri(\omega \kanan)=\frac(1)(2)\kiri((A \kiri(\omega \kanan)^2+B \kiri(\omega \kanan)^2) \kanan ) . $$ Besaran ini sering disebut $\it(energi sinyal)$ pada frekuensi $\omega $. Menurut teorema Parseval, energi total sinyal masukan sama dengan jumlah energi pada semua frekuensi. $$ E=\jumlah\batas_(i=0)^(N-1) (x_i^2 ) =\jumlah\batas_(i=0)^(N/2) (P \kiri((\omega _i ) \Kanan)) . $$ Grafik daya versus frekuensi disebut spektrum energi atau spektrum daya. Spektrum energi memungkinkan seseorang untuk mengidentifikasi periodisitas tersembunyi dalam data masukan dan mengevaluasi kontribusi komponen frekuensi tertentu terhadap struktur data masukan. Selain bentuk trigonometri penulisan transformasi Fourier diskrit, $\it(representasi kompleks)$ banyak digunakan. Bentuk kompleks dari pencatatan transformasi Fourier banyak digunakan dalam analisis multidimensi dan khususnya dalam pemrosesan gambar. Peralihan dari bentuk trigonometri ke bentuk kompleks dilakukan berdasarkan rumus Euler $$ e^(j\omega t)=\cos \omega t+j\sin \omega t, \quad j=\sqrt (-1) . $$ Jika barisan masukannya adalah bilangan kompleks $N$, maka transformasi Fourier diskritnya adalah $$ G_m =\frac(1)(N)\sum\limits_(n=1)^(N-1) (x_n ) e^(\frac(-2\pi jmn)(N)), $$ dan transformasi terbalik $$ x_m =\sum\limits_(n=1)^(N-1) (G_n ) e^(\frac(2\pi jmn)(N)). $$ Jika barisan masukan adalah larik bilangan real, maka terdapat transformasi sinus-kosinus yang kompleks dan diskrit. Hubungan antara ide-ide tersebut diungkapkan sebagai berikut: $$ a_0 =G_0 , \quad G_k =\left((a_k -jb_k ) \kanan)/2, \quad 1\le k\le N/2; $$ nilai transformasi $N/2$ yang tersisa adalah konjugat kompleks dan tidak membawa informasi tambahan. Oleh karena itu, plot spektrum daya dari transformasi Fourier diskrit adalah simetris terhadap $N/2$. Cara paling sederhana untuk menghitung transformasi Fourier diskrit (DFT) adalah penjumlahan langsung, yang menghasilkan operasi $N$ pada setiap koefisien. Koefisien totalnya adalah $N$, jadi kompleksitas totalnya adalah $O\left((N^2) \right)$. Pendekatan ini tidak menarik secara praktis, karena ada cara yang jauh lebih efisien untuk menghitung DFT, yang disebut transformasi Fourier cepat (FFT), yang memiliki kompleksitas $O (N\log N)$. FFT hanya berlaku untuk barisan yang memiliki panjang (jumlah elemen) pangkat 2. Prinsip paling umum di balik algoritma FFT adalah membagi barisan masukan menjadi dua barisan setengah panjang. Barisan pertama diisi dengan data bernomor genap, dan baris kedua diisi dengan data bernomor ganjil. Hal ini memungkinkan penghitungan koefisien DFT melalui dua transformasi dimensi $N/2$. Mari kita nyatakan $\omega _m =e^(\frac(2\pi j)(m))$, lalu $G_m =\sum\limits_(n=1)^((N/2)-1) (x_ (2n ) ) \omega _(N/2)^(mn) +\sum\limits_(n=1)^((N/2)-1) (x_(2n+1) ) \omega _(N/ 2) ^(mn)\omega _N^m $. Untuk $m< N/2$ тогда можно записать $G_m =G_{\textrm{even}} \left(m \right)+G_{\textrm{odd}}
\left(m \right)\omega _N^m $. Учитывая, что элементы ДПФ с индексом
б ольшим, чем $N/2$, являются комплексно сопряженными к элементам с индексами
меньшими $N/2$, можно записать $G_{m+(N/2)} =G_{\textrm{even}} \left(m \right)-G_{\textrm{odd}}
\left(m \right)\omega _N^m $. Таким образом, можно вычислить БПФ длиной $N$,
используя два ДПФ длиной $N/2$. Полный алгоритм БПФ заключается в рекурсивном
выполнении вышеописанной процедуры, начиная с объединения одиночных элементов в пары,
затем в четверки и так до полного охвата исходного массива данных. Transformasi Fourier diskrit untuk array dua dimensi dengan ukuran $M\kali N$ didefinisikan sebagai berikut: $$ G_(uw) =\frac(1)(NM)\sum\limits_(n=1)^(N-1) (\sum\limits_(m=1)^(M-1) (x_(mn ) ) ) e^((-2\pi j\kiri[ (\frac(mu)(M)+\frac(nw)(N)) \kanan]) ), $$ dan transformasi terbalik $$ x_(mn) =\sum\limits_(u=1)^(N-1) (\sum\limits_(w=1)^(M-1) (G_(uw) ) ) e^( (2 \pi j\kiri[ (\frac(mu)(M)+\frac(nw)(N)) \kanan]) ). $$ Dalam kasus pemrosesan gambar, komponen transformasi Fourier dua dimensi disebut $\textit(frekuensi spasial)$. Sifat penting dari transformasi Fourier dua dimensi adalah kemampuan untuk menghitungnya menggunakan prosedur FFT satu dimensi: $$ G_(uw) =\frac(1)(N)\sum\limits_(n=1)^(N-1) ( \kiri[ (\frac(1)(M)\sum\limits_(m= 0)^(M-1) (x_(mn) e^(\frac(-2\pi jmw)(M))) ) \kanan] ) e^(\frac(-2\pi jnu)(N) ), $$ Di sini, ekspresi dalam tanda kurung siku adalah transformasi satu dimensi dari baris matriks data, yang dapat dilakukan dengan FFT satu dimensi. Jadi, untuk memperoleh transformasi Fourier dua dimensi, pertama-tama kita harus menghitung transformasi baris satu dimensi, menuliskan hasilnya ke dalam matriks asli, dan menghitung transformasi satu dimensi untuk kolom-kolom matriks yang dihasilkan. Saat menghitung transformasi Fourier dua dimensi, frekuensi rendah akan terkonsentrasi di sudut matriks, yang sangat tidak nyaman untuk pemrosesan lebih lanjut dari informasi yang diterima. Untuk menerjemahkan hingga memperoleh representasi transformasi Fourier 2D yang frekuensi rendah terkonsentrasi di tengah matriks, prosedur sederhana yang dapat dilakukan adalah mengalikan data asli dengan $-1^(m+n)$. Pada Gambar. Gambar 16 menunjukkan gambar asli dan transformasi Fouriernya. Gambar halftone dan transformasi Fouriernya (gambar diperoleh di sistem LabVIEW) Konvolusi fungsi $s(t)$ dan $r(t)$ didefinisikan sebagai $$ s\ast r\cong r\ast s\cong \int\limits_(-\infty )^(+\infty ) (s(\tau)) r(t-\tau)d\tau . $$ Dalam praktiknya, kita harus berurusan dengan konvolusi diskrit, di mana fungsi kontinu digantikan oleh kumpulan nilai pada node dari grid seragam (biasanya diambil grid integer): $$ (r\ast s)_j \cong \sum\limits_(k=-N)^P (s_(j-k) r_k ). $$ Di sini $-N$ dan $P$ menentukan rentang di luar $r(t) = 0$. Saat menghitung konvolusi menggunakan transformasi Fourier, properti transformasi Fourier digunakan, yang menyatakan bahwa produk gambar fungsi dalam domain frekuensi setara dengan konvolusi fungsi-fungsi ini dalam domain waktu. Untuk menghitung rekonsiliasi, data asli perlu diubah menjadi domain frekuensi, yaitu menghitung transformasi Fouriernya, mengalikan hasil transformasi, dan melakukan transformasi Fourier terbalik, mengembalikan representasi asli. Satu-satunya kehalusan dalam pengoperasian algoritme ini adalah karena dalam kasus transformasi Fourier diskrit (berlawanan dengan transformasi kontinu), dua fungsi periodik berbelit-belit, yaitu, kumpulan nilai kami menentukan dengan tepat periode fungsi-fungsi ini, dan bukan hanya nilai-nilai pada beberapa bagian sumbu yang terpisah. Artinya, algoritme meyakini bahwa titik $x_(N )$ tidak diikuti oleh nol, melainkan titik $x_(0)$, dan seterusnya dalam lingkaran. Oleh karena itu, agar konvolusi dapat dihitung dengan benar, perlu untuk menetapkan urutan nol yang cukup panjang pada sinyal. Metode penyaringan linier adalah salah satu metode terstruktur dengan baik yang skema komputasinya efisien berdasarkan algoritma konvolusi cepat dan analisis spektral telah dikembangkan. Secara umum, algoritma pemfilteran linier melakukan transformasi bentuk $$ f"(x,y) = \int\int f(\zeta -x, \eta -y)K (\zeta , \eta) d \zeta d \eta , $$ di mana $K(\zeta ,\eta)$ adalah inti dari transformasi linier. Dengan representasi sinyal yang diskrit, integral dalam rumus ini diubah menjadi jumlah sampel gambar asli yang tertimbang dalam aperture tertentu. Dalam hal ini, memilih kernel $K(\zeta ,\eta)$ sesuai dengan satu atau beberapa kriteria optimalitas dapat menghasilkan sejumlah properti yang berguna (Pemulusan Gaussian saat mengatur masalah diferensiasi numerik suatu gambar, dll.) . Metode pemrosesan linier paling efektif diterapkan dalam domain frekuensi. Penggunaan transformasi Fourier suatu gambar untuk melakukan operasi pemfilteran terutama disebabkan oleh kinerja operasi tersebut yang lebih tinggi. Biasanya, melakukan transformasi Fourier 2D maju dan mundur serta mengalikannya dengan koefisien gambar Fourier filter memerlukan waktu lebih sedikit dibandingkan melakukan konvolusi 2D pada gambar asli. Algoritme pemfilteran domain frekuensi didasarkan pada teorema konvolusi. Dalam kasus 2D, transformasi konvolusi terlihat seperti ini: $$ G\kiri((u,v) \kanan)=H\kiri((u,v) \kanan)F\kiri((u,v) \kanan), $$ dimana $G$ adalah transformasi Fourier hasil konvolusi, $H$ adalah transformasi Fourier dari filter, dan $F$ adalah transformasi Fourier dari gambar asli. Artinya, dalam domain frekuensi, konvolusi dua dimensi digantikan oleh perkalian elemen gambar dari gambar asli dan filter yang sesuai. Untuk melakukan konvolusi, Anda perlu melakukan hal berikut: Hubungan fungsi filter pada domain frekuensi dan domain spasial dapat ditentukan dengan menggunakan teorema konvolusi $$ \Phi \kiri[ (f\kiri((x,y) \kanan)\ast h(x,y)) \kanan]=F\kiri((u,v) \kanan)H\kiri(( kamu,v) \kanan), $$ $$ \Phi \kiri[ (f\kiri((x,y) \kanan)h(x,y)) \kanan]=F\kiri((u,v) \kanan)\ast H\kiri(( kamu,v)\kanan). $$ Konvolusi suatu fungsi dengan fungsi impuls dapat direpresentasikan sebagai berikut: $$ \jumlah\batas_(x=0)^M (\jumlah\batas_(y=0)^N (s\kiri((x,y) \kanan)) ) \delta \kiri((x-x_0 , y-y_0 )\kanan)=s(x_0 ,y_0). $$ Transformasi Fourier dari fungsi impuls $$ F\left((u,v) \right)=\frac(1)(MN)\sum\limits_(x=0)^M (\sum\limits_(y=0)^N (\delta \ kiri((x,y) \kanan) ) ) e^( (-2\pi j\kiri((\frac(ux)(M)+\frac(vy)(N)) \kanan)) ) =\ frak(1)(MN). $$ Misalkan $f(x,y) = \delta (x,y)$, lalu konvolusi $$ f\kiri((x,y) \kanan)\ast h(x,y)=\frac(1)(MN)h\kiri((x,y) \kanan), $$ $$ \Phi \kiri[ (\delta \kiri((x,y) \kanan)\ast h(x,y)) \kanan]=\Phi \kiri[ (\delta \kiri((x,y) \kanan)) \kanan]H\kiri((u,v) \kanan)=\frac(1)(MN)H\kiri((u,v) \kanan). $$ Dari ungkapan tersebut terlihat jelas bahwa fungsi filter pada domain frekuensi dan spasial saling berhubungan melalui transformasi Fourier. Untuk fungsi filter tertentu dalam domain frekuensi, selalu mungkin untuk menemukan filter yang sesuai dalam domain spasial dengan menerapkan transformasi Fourier terbalik. Hal serupa juga berlaku pada kasus sebaliknya. Dengan menggunakan hubungan ini, dimungkinkan untuk menentukan prosedur sintesis filter linier spasial. ($\textit(Filter low-pass ideal)$) $H(u,v)$ memiliki bentuk $$H(u,v) = 1, \quad \mbox(if )D(u,v)< D_0 ,$$
$$H(u,v) = 0, \quad \mbox{если }D(u,v) \ge D_0 ,$$
где $D\left({u,v} \right)=\sqrt {\left({u-\frac{M}{2}} \right)^2+\left({v-\frac{N}{2}} \right)^2}$ - расстояние от центра частотной плоскости. ($\textit(Filter high-pass ideal)$) diperoleh dengan membalikkan filter low-pass ideal: $$ H"(u,v) = 1-H(u,v).$$ Di sini, komponen frekuensi rendah ditekan sepenuhnya sementara komponen frekuensi tinggi dipertahankan. Namun, seperti halnya filter low-pass yang ideal, penggunaannya penuh dengan munculnya distorsi yang signifikan. Berbagai pendekatan digunakan untuk mensintesis filter dengan distorsi minimal. Salah satunya adalah sintesis filter berbasis eksponensial. Filter semacam itu menimbulkan distorsi minimal pada gambar yang dihasilkan dan nyaman untuk sintesis dalam domain frekuensi. Sekelompok filter berdasarkan fungsi Gaussian sebenarnya banyak digunakan dalam pemrosesan gambar. $\textit(filter Gaussian lolos rendah)$ memiliki bentuk $$ h\left(x \right)=\sqrt (2\pi ) \sigma Ae^(-2\left((\pi \sigma x) \right)^2) \mbox( dan ) H\left( u \kanan)=Ae^(-\frac(u^2)(2\sigma ^2)) $$ Semakin sempit profil filter dalam domain frekuensi (semakin besar $\sigma $), semakin luas pula profil filter tersebut dalam domain spasial. ($\textit(High-Pass Gaussian Filter)$) memiliki bentuk $$ h\left(x \right)=\sqrt (2\pi ) \sigma _A Ae^(-2\left((\pi \sigma _A x) \right)^2)-\sqrt (2\pi ) \sigma _B Menjadi^(-2\kiri((\pi \sigma _B x) \kanan)^2 ), $$ $$ H\kiri(u \kanan)=Ae^(-\frac(u^2)(2\sigma _A^2 ))-Be^(-\frac(u^2)(2\sigma _B^2 )). $$ Dalam kasus dua dimensi ($\it(low-pass)$), filter Gaussian terlihat seperti ini: $$ H\kiri((u,v) \kanan)=e^(-\frac(D^2\kiri((u,v) \kanan))(2D_0^2 )). $$ ($\it(High Pass)$) Filter Gaussian memiliki bentuk $$ H\kiri((u,v) \kanan)=1-e^(-\frac(D^2\kiri((u,v) \kanan))(2D_0^2 )). $$ Mari kita perhatikan contoh pemfilteran gambar (Gbr. 1) dalam domain frekuensi (Gbr. 17 - 22). Perhatikan bahwa pemfilteran frekuensi suatu gambar dapat memiliki arti penghalusan ($\textit(pemfilteran lolos rendah)$) dan menyorot kontur dan objek berukuran kecil ($\textit(pemfilteran lolos tinggi)$). Seperti yang dapat dilihat dari Gambar. 17, 19, seiring dengan peningkatan “kekuatan” pemfilteran pada komponen frekuensi rendah gambar, efek “pengaburan nyata” atau $\it(blur)$ pada gambar menjadi semakin jelas. Pada saat yang sama, sebagian besar konten informasi gambar secara bertahap masuk ke komponen frekuensi tinggi, di mana pada awalnya hanya kontur objek yang diamati (Gbr. 18, 20 - 22). Sekarang mari kita perhatikan perilaku filter high-pass dan low-pass (Gbr. 23 - 28) dengan adanya noise Gaussian tambahan pada gambar (Gbr. 7). Seperti yang dapat dilihat dari Gambar. 23, 25, sifat-sifat filter frekuensi rendah untuk menekan kebisingan acak aditif mirip dengan sifat-sifat filter linier yang dipertimbangkan sebelumnya - dengan daya filter yang cukup, kebisingan ditekan, tetapi harga untuk ini adalah pengaburan kontur yang kuat dan “pengaburan fokus ” dari keseluruhan gambar. Komponen frekuensi tinggi dari gambar noise tidak lagi bersifat informatif, karena selain informasi kontur dan objek, komponen noise kini juga hadir sepenuhnya di sana (Gbr. 27, 28). Penggunaan metode frekuensi paling tepat jika model statistik dari proses noise dan/atau fungsi transfer optik dari saluran transmisi gambar diketahui. Lebih mudah untuk mempertimbangkan data apriori tersebut dengan memilih filter terkontrol umum (berdasarkan parameter $\sigma$ dan $\mu$) dari bentuk berikut sebagai filter rekonstruksi: $$ F(w_1,w_2)= \kiri[ ( \frac (1) (P(w_1,w_2)) )\kanan] \cdot \kiri[ (\frac ((\vert P(w_1,w_2) \vert )^2) (\vert P(w_1,w_2) \vert ^2 + \alpha \vert Q(w_1,w_2) \vert ^2) )\kanan]. $$ di mana $0< \sigma < 1$, $0 < \mu < 1$ - назначаемые параметры фильтра,
$P(w_{1}$, $w_{2})$ - передаточная функция системы, $Q(w_{1}$, $w_{2})$ -
стабилизатор фильтра, согласованный с энергетическим спектром фона. Выбор
параметров $\sigma = 1$, $\mu = 0$ приводит к чисто инверсной фильтрации,
$\sigma =\mu = 1$ к \it{винеровской фильтрации}, что позволяет получить изображение, близкое к
истинному в смысле минимума СКО при условии, что спектры
плотности мощности
изображения и его шумовой компоненты априорно известны. Для дальнейшего
улучшения эффекта сглаживания в алгоритм линейной (винеровской) фильтрации
вводят адаптацию, основанную на оценке локальных статистик: математического
ожидания $M(P)$ и дисперсии $\sigma (P)$. Этот алгоритм эффективно фильтрует
засоренные однородные поверхности (области) фона. Однако при попадании в
скользящее окно обработки неоднородных участков фона импульсная
характеристика фильтра сужается ввиду резкого изменения локальных статистик,
и эти неоднородности (контуры, пятна) передаются практически без
расфокусировки, свойственной неадаптивным методам линейной фильтрации. Keuntungan metode penyaringan linier mencakup makna fisik yang jelas dan kemudahan analisis hasil. Namun, dengan penurunan tajam dalam rasio signal-to-noise, dengan kemungkinan varian noise area dan adanya noise impuls amplitudo tinggi, metode pra-pemrosesan linier mungkin tidak cukup. Dalam situasi ini, metode nonlinier jauh lebih ampuh.
(3)
(4)
, (5)
Gambar 1. Fungsi ekspansi deret Fourier 
Gambar 2. Spektrum fungsi X(T) bila dianalisis dalam interval waktu terbatas 
(6)
(7)
Transformasi Fourier.
Representasi kompleks dari transformasi Fourier.
Transformasi Fourier Cepat.
Transformasi Fourier dua dimensi.
Konvolusi menggunakan transformasi Fourier.
Memfilter gambar dalam domain frekuensi.
