Diferensial hasil kali dua fungsi adalah sama. Invarian bentuk diferensial. Arti geometris dari fungsi diferensial

Mari kita ganti nama pertambahan variabel bebas x menjadi diferensial dari variabel ini, menyatakannya sebagai dx, yaitu, untuk variabel bebas, menurut definisi, kita asumsikan

Mari kita menelepon diferensial ekspresi fungsi y=f(x).

Dengan melambangkannya dengan simbol mati atau df(x) menurut definisi kita akan memilikinya

Rumus terakhir disebut “bentuk” dari diferensial “pertama”. Ke depan, kami akan menyajikan dan menjelaskan sifat “penting secara arsip” dari diferensial - yang disebut invarian (kekekalan) dari bentuknya. Jadi

Bentuk diferensial tidak bergantung (invarian) Apakah X variabel independen, atau ini X- variabel terikat - fungsi.

Memang benar, biarlah
, yaitu, y adalah fungsi kompleks “dari t.” Berdasarkan definisi diferensial, kita mempunyai
. Tetapi

,

artinya, ia lagi-lagi mempunyai bentuk yang sama.

Namun, “esensi” (bukan bentuk) perbedaan dalam kedua kasus ini berbeda. Untuk menjelaskan hal ini, pertama-tama mari kita perjelas arti geometri dari diferensial dan beberapa sifat lainnya. Dari gambar di bawah terlihat bahwa diferensial merupakan bagian dari kenaikan ∆y. Dapat ditunjukkan bahwa dy merupakan bagian utama dan linier dari ∆у. Utama dalam arti selisih ∆у – dy merupakan besaran yang sangat kecil dari orde tertinggi, bahwa ∆х berada pada orde kecil, dan linier dalam arti linearitas ketergantungannya pada ∆х.

Kita juga dapat mengatakan bahwa diferensialnya adalah (lihat gambar) kenaikan ordinat garis singgung yang bersesuaian. Kini perbedaan esensi dan makna bentuk diferensial dengan argumen independen dan dependen juga dapat dijelaskan. Dalam kasus pertama, dx adalah keseluruhan pertambahan ∆x. Dengan bantuan definisi tersebut mudah untuk dibuktikan

Sifat aritmatika diferensial


Sekarang mari kita definisikan

Derivatif dan diferensial dari orde yang lebih tinggi.

A-priori
- turunan kedua;
- turunan ketiga dan secara umum
- turunan ke-n dari fungsi tersebut
.

Persis sama menurut definisinya

; - diferensial kedua;
- diferensial ketiga dan secara umum - diferensial fungsi ke-n
. Bisa

tunjukkan apa

Penerapan turunan untuk mempelajari fungsi.

DI DALAM

Teorema terpenting yang mendasari hampir semua metode mempelajari fungsi adalah teorema Langrange: Jika suatu fungsi f(h) kontinu pada segmen (a, b) dan terdiferensiasi di semua titik interiornya, maka terdapat suatu titik di mana

Secara geometris (Gbr. 6) teorema menyatakan bahwa pada interval yang bersesuaian
ada benarnya sedemikian rupa sehingga kemiringan garis singgung grafik di titik tersebut
sama dengan koefisien sudut garis potong yang melalui titik-titik tersebut
Dan
.

Dengan kata lain, untuk “bagian” grafik fungsi yang dijelaskan dalam teorema, terdapat garis singgung yang sejajar dengan garis potong yang melalui titik batas bagian tersebut. Dari teorema ini secara khusus mengikuti aturan yang luar biasa untuk mengungkapkan ketidakpastian jenisnya -yang disebut aturan Marquis L'Hopital: Jika fungsinyaf(x ) Dang(x) terdiferensiasi pada titik a dan beberapa lingkungannyaf(a) = g(a) = 0, sebuahf"(a) Dang"(a) tidak sama dengan nol pada saat yang bersamaan
.

Keterangan: Dapat ditunjukkan bahwa 1. Aturan ini juga berlaku untuk mengungkapkan ketidakpastian jenis ; 2. Jika f"(a) = g"(a)= 0 atau ∞, dan f""(a) Dan g""(a) ada dan tidak sama dengan nol pada saat yang sama
.

DENGAN Dengan menggunakan teorema Langrange, seseorang dapat membuktikan uji monotonisitas suatu fungsi berikut:

Jika
pada interval (a,b) makaf(x ) meningkat (menurun) selama interval ini.

Perlu dicatat bahwa keteguhan turunan juga merupakan tanda penting dari monotonisitas. Dan dari tanda-tanda ini kita dapat menyimpulkan:

A) tanda penting dari keberadaan ekstrem

Agar titik x 0 menjadi titik maksimum (minimum), diperlukan hal tersebut f"(x 0 ) adalah nol atau tidak ada. Titik-titik tersebut x 0 di mana f"(x 0 ) = 0 atau tidak ada disebut kritis.

B ) merupakan tanda cukup adanya ekstrem:

Jika (lihat gambar) ketika melewati titik kritis x 0 turunannya f"(x) suatu fungsi berubah tanda, maka titik tersebut merupakan titik ekstrem. Jika, pada saat yang sama, f"(x) berubah tanda dari “+” menjadi “-“, maka x 0 adalah titik maksimum, dan jika dari “-“ menjadi “+”, maka x 0 adalah titik minimum.

Dan terakhir, kami menyajikan satu kriteria lagi dengan menggunakan konsep turunan. Ini

D tanda sisa konveksitas (cekung) pada grafik fungsi “di atas” interval (a, b).

Jika pada interval (a, b) turunannya f""(x)>0 maka grafiknya f(x) cekung, dan jika f""(x)< 0, то график является выпуклым «над» этим интервалом.

Skema studi fungsi lengkap sekarang mungkin terlihat seperti ini:

Skema studi fungsi lengkap

    Daerah penentuan interval tanda konstan.

    Diferensial... Bagi sebagian orang, ini adalah kata yang indah dan jauh, tetapi bagi yang lain, ini adalah kata yang tidak dapat dipahami terkait dengan matematika. Namun jika ini adalah hadiah berat Anda, artikel kami akan membantu Anda mengetahui cara "menyiapkan" diferensial dengan benar dan dengan apa "menyajikannya".

    Dalam matematika, diferensial dipahami sebagai bagian linier dari kenaikan suatu fungsi. Konsep diferensial terkait erat dengan notasi turunan menurut Leibniz f′(x 0) = df/dx·x 0. Berdasarkan hal ini, diferensial orde pertama untuk suatu fungsi f yang terdefinisi pada himpunan X mempunyai bentuk sebagai berikut: d x0 f = f′(x 0)·d x0 x. Seperti yang Anda lihat, untuk mendapatkan diferensial, Anda harus bisa mencari turunannya dengan bebas. Oleh karena itu, akan berguna jika mengulangi aturan penghitungan derivatif untuk memahami apa yang akan terjadi di masa depan. Jadi, mari kita lihat lebih dekat diferensiasi menggunakan contoh. Kita perlu mencari diferensial suatu fungsi yang diberikan dalam bentuk ini: y = x 3 -x 4. Pertama, cari turunan dari fungsi tersebut: y′= (x 3 -x 4)′ = (x 3)′-(x 4)′ = 3x 2 -4x 3. Nah, sekarang mendapatkan diferensialnya semudah mengupas buah pir: df = (3x 3 -4x 3) dx. Sekarang kita telah menerima diferensial dalam bentuk rumus; dalam praktiknya, kita sering juga tertarik pada nilai digital diferensial untuk parameter tertentu x dan ∆x. Ada kasus ketika suatu fungsi dinyatakan secara implisit dalam x. Misalnya, y = x²-y x. Turunan fungsi tersebut berbentuk sebagai berikut: 2x-(y x)′. Tapi bagaimana cara mendapatkan (yx)′? Fungsi seperti ini disebut kompleks dan dibedakan menurut aturan terkait: df/dx = df/dy·dy/dx. Dalam hal ini: df/dy = x·y x-1 , dan dy/dx = y′. Sekarang kita gabungkan semuanya: y′ = 2x-(x·y x-1 ·y′). Kita kelompokkan semua permainan dalam satu arah: (1+x·y x-1)·y′ = 2x, dan sebagai hasilnya kita mendapatkan: y′ = 2x/(1+x·y x-1) = dy/ dx. Berdasarkan hal ini, dy = 2x dx/(1+x y x-1). Tentu saja, ada baiknya jika tugas seperti itu jarang terjadi. Tapi sekarang Anda juga siap menghadapinya. Selain diferensial orde pertama yang dipertimbangkan, ada juga diferensial orde tinggi. Mari kita coba mencari diferensial untuk fungsi d /D(x 3 )· (x 3 – 2 x 6 – x 9 ), yang merupakan diferensial orde kedua untuk f(x). Berdasarkan rumus f′(u) = d/du·f(u), dimana u = f(x), kita ambil u = x 3 . Kita peroleh: d/d(u)·(u-2u 2 -u 3) = (u-2u 2 -u 3)′ = 1-4u-3u 2. Kami mengembalikan penggantinya dan mendapatkan jawabannya - 1 – x 3 – x 6 , x≠0. Layanan online juga dapat membantu Anda menemukan perbedaannya. Tentu saja, Anda tidak akan menggunakannya pada ujian atau ujian. Namun ketika secara mandiri memeriksa kebenaran suatu keputusan, perannya sulit untuk ditaksir terlalu tinggi. Selain hasil itu sendiri, ini juga menunjukkan solusi antara, grafik dan integral tak tentu dari fungsi diferensial, serta akar-akar persamaan diferensial. Satu-satunya kelemahan adalah bahwa fungsinya ditulis dalam satu baris saat Anda mengetik, tetapi seiring waktu Anda akan terbiasa dengan hal ini. Tentu saja, layanan seperti itu tidak dapat mengatasi fungsi-fungsi yang rumit, tetapi segala sesuatu yang lebih sederhana terserah padanya. Diferensial ini menemukan penerapan praktis terutama dalam fisika dan ekonomi. Jadi, dalam fisika, masalah yang berkaitan dengan penentuan kecepatan dan turunannya, percepatan, sering kali diselesaikan dengan diferensiasi. Dan dalam ilmu ekonomi, diferensial merupakan bagian integral dari penghitungan efisiensi suatu perusahaan dan kebijakan fiskal negara, misalnya pengaruh leverage keuangan.

    Artikel ini membahas masalah diferensiasi yang khas. Mata kuliah matematika tingkat tinggi untuk mahasiswa seringkali juga berisi tugas-tugas penggunaan diferensial dalam perhitungan perkiraan, serta pencarian solusi persamaan diferensial. Namun yang terpenting adalah dengan pemahaman yang jelas tentang dasar-dasarnya, Anda dapat dengan mudah menangani semua tugas baru.

    Dapat dibuktikan bahwa jika suatu fungsi mempunyai limit yang sama dengan suatu bilangan berhingga untuk suatu basis tertentu, maka fungsi tersebut dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari bilangan tersebut dan nilai yang sangat kecil untuk basis yang sama (dan sebaliknya): .

    Mari kita terapkan teorema ini pada fungsi terdiferensiasi: .

    Jadi, kenaikan fungsi у terdiri dari dua suku: 1) linier relatif terhadap х, yaitu f`(x)х; 2) relatif nonlinier х, yaitu (x)х. Pada saat yang sama, sejak itu
    , suku kedua ini adalah suku yang sangat kecil dan berorde lebih tinggi daripada x (karena x cenderung ke nol, maka ia cenderung ke nol lebih cepat lagi).

    Diferensial suatu fungsi disebut bagian utama, linier terhadap x dari kenaikan fungsi, sama dengan produk turunannya dan kenaikan variabel bebas dy = f`(x)x.

    Mari kita cari diferensial dari fungsi y = x.

    Karena dy=f`(x)х =x`х =х, maka dx=х, yaitu. diferensial suatu variabel bebas sama dengan kenaikan variabel tersebut.

    Oleh karena itu, rumus diferensial suatu fungsi dapat ditulis dalam bentuk dy=f`(x)dх. Oleh karena itu, salah satu notasi turunannya adalah pecahan dy/dx.

    Arti geometris dari diferensial diilustrasikan pada Gambar 3.11. Mari kita ambil titik sembarang M(x, y) pada grafik fungsi y = f(x). Mari kita beri argumen x kenaikan x. Maka fungsi y = f(x) akan mendapat kenaikany = f(x +x) - f(x). Mari kita menggambar garis singgung grafik fungsi di titik M yang membentuk sudut  dengan arah sumbu absis positif, yaitu f`(x) = tan. Dari segitiga siku-siku MKNKN=MN*tg=х*tg=f`(x)х =dy.

    Jadi, diferensial suatu fungsi adalah pertambahan ordinat garis singgung yang ditarik ke grafik fungsi tersebut pada suatu titik tertentu ketika x menerima pertambahan x.

    Sifat diferensial pada dasarnya mirip dengan sifat-sifat turunan:

    3. d(u ± v) = du ± dv.

    4. d(uv) = v du + kamu dv.

    5. d(kamu/v) = (v du - kamu dv)/v 2.

    Namun, ada sifat penting dari diferensial suatu fungsi yang tidak dimiliki turunannya - yaitu invarian bentuk diferensial.

    Dari definisi diferensial untuk fungsi y= f(x) differentialdy=f`(x)dх. Jika fungsi y ini kompleks, yaitu y= f(u), di mana u=(x), maka y= f[(x)] dan f`(x) = f`(u)*u`. Maka dy= f `(u)*u`dх. Namun untuk fungsi u=(x) diferensialnya adalah du=u`dх. Oleh karena itu dy= f `(u)*du.

    Membandingkan persamaan dy=f`(x)dх dan dy= f`(u)*du, kita pastikan bahwa rumus diferensial tidak berubah jika alih-alih fungsi dari variabel bebas x kita mempertimbangkan fungsi dari variabel terikat kamu. Sifat diferensial ini disebut invarian (yaitu, kekekalan) dari bentuk (atau rumus) diferensial.

    Namun, masih terdapat perbedaan dalam kedua rumus ini: pada rumus pertama, selisih variabel bebas sama dengan kenaikan variabel tersebut, yaitu. dx = x, dan yang kedua, diferensial fungsi du hanyalah bagian linier dari kenaikan fungsi ini u dan hanya untuk x duu yang kecil.

    Penerapan diferensial dalam perhitungan perkiraan

    Telah ditunjukkan di atas, yaitu. kenaikan fungsi у berbeda dari diferensialnya dy dengan nilai yang sangat kecil dengan orde yang lebih tinggi dari х.

    Oleh karena itu, untuk nilai хуdy atau f(x +х) - f(x)f`(x)х yang cukup kecil, maka f(x +х)f(x) +f`( x)x. Rumus yang dihasilkan akan semakin akurat jika semakin kecil x.

    Misalnya, mari kita temukan

    Jadi, y=f(x) =x 1/3. Misalkan x = 125, x = 0,27.

    f`(x) = (x 1/3)`= 1/(3x 2/3)

    f(125,27) =f(125 + 0,27)f(125) +f`(125)*(0,27) =
    = 5 + 0,27/(3*25) = 5,0036

    Misalnya, cari tg 46 o.

    Jadi, y=f(x) =tgx. Misalkan x= 45 o =/4,х = 1 o =/180.

    f`(x) = (tgx)`= 1/cos 2 x

    f(46 o) = f(/4 + /180)  f(/4) + f `(/4)*(/180) = tan(/4) + + (1/ cos 2 (/4))*(/180) = 1 + (1/(2/2) 2)*(/180) = 1 + /90 ( 1,035)

    Selain itu, dengan menggunakan diferensial, masalah penentuan kesalahan absolut dan relatif suatu fungsi berdasarkan kesalahan tertentu dalam mencari (mengukur) argumen dapat diselesaikan.

    Misalkan perlu menghitung nilai fungsi tertentu y = f(x) untuk nilai argumen tertentu x 1, yang nilai sebenarnya tidak diketahui, dan hanya nilai perkiraannya x yang diketahui dengan kesalahan absolut | x| = |x - x 1 |. Jika alih-alih nilai sebenarnya f(x 1) kita mengambil nilai f(x), maka kesalahan absolut fungsi tersebut akan sama dengan |f(x 1) -f(x)| = |y|dy=f`(x)х.

    Dalam hal ini, kesalahan relatif dari fungsi  y = |y/y| untuk cukup kecil x akan sama dengan, dimana E x (y) adalah elastisitas fungsi, a x = |x/x| - kesalahan relatif dari argumen.

    Rumus fungsi diferensial berbentuk

    dimana adalah diferensial dari variabel bebas.

    Misalkan sekarang diberikan fungsi kompleks (dapat dibedakan), dimana,. Kemudian dengan menggunakan rumus turunan fungsi kompleks kita temukan

    Karena .

    Jadi, , yaitu. Rumus diferensial memiliki bentuk yang sama untuk variabel bebas dan argumen perantara, yang merupakan fungsi terdiferensiasi.

    Properti ini biasa disebut properti invarian suatu rumus atau bentuk diferensial. Perhatikan bahwa turunannya tidak memiliki sifat ini.

      Hubungan antara kontinuitas dan diferensiasi.

    Dalil (kondisi yang diperlukan untuk diferensiasi suatu fungsi). Jika suatu fungsi terdiferensiasi di suatu titik, maka fungsi tersebut kontinu di titik tersebut.

    Bukti. Biarkan fungsinya kamu=F(X) dapat dibedakan pada intinya X 0 . Pada titik ini kami memberikan argumen tambahan X. Fungsinya akan bertambah pada. Mari kita temukan.

    Karena itu, kamu=F(X) kontinu pada suatu titik X 0 .

    Konsekuensi. Jika X 0 adalah titik diskontinuitas fungsi tersebut, maka fungsi pada titik tersebut tidak terdiferensiasi.

    Kebalikan dari teorema tersebut tidak benar. Kontinuitas tidak berarti dapat dibedakan.

      Diferensial. Arti geometris. Penerapan diferensial pada perhitungan perkiraan.

    Definisi

    Diferensial fungsi disebut bagian relatif linier dari kenaikan fungsi. Itu disebut kakili. Dengan demikian:

    Komentar

    Diferensial suatu fungsi merupakan bagian terbesar dari kenaikannya.

    Komentar

    Seiring dengan konsep diferensial fungsi, konsep diferensial argumen juga diperkenalkan. A-priori perbedaan argumen adalah kenaikan argumen:

    Komentar

    Rumus diferensial suatu fungsi dapat dituliskan sebagai:

    Dari sini kita mendapatkan itu

    Jadi, ini berarti turunannya dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa - rasio selisih suatu fungsi dan argumen.

    Arti geometris dari diferensial

    Diferensial suatu fungsi di suatu titik sama dengan pertambahan ordinat garis singgung yang ditarik ke grafik fungsi di titik ini, sesuai dengan pertambahan argumen.

      Aturan dasar diferensiasi. Turunan dari suatu konstanta, turunan dari suatu jumlah.

    Biarkan fungsi tersebut memiliki turunan di suatu titik. Kemudian

    1. Konstan dapat dikeluarkan dari tanda turunannya.

    5. Konstanta diferensial sama dengan nol.

    2. Turunan dari jumlah/selisih.

    Turunan jumlah/selisih dua fungsi sama dengan jumlah/selisih turunan masing-masing fungsi.

      Aturan dasar diferensiasi. Turunan dari produk.

    3. Turunan dari produk.

      Aturan dasar diferensiasi. Turunan dari fungsi kompleks dan invers.

    5. Turunan dari fungsi kompleks.

    Turunan fungsi kompleks sama dengan turunan fungsi ini terhadap argumen perantara, dikalikan dengan turunan argumen perantara terhadap argumen utama.