Tindakan berdasarkan probabilitas. Selesaikan sendiri soal perkalian probabilitas, lalu lihat solusinya. Penambahan peluang kejadian yang saling simultan

Teori Probabilitas dan Statistik Matematika

1. Pokok bahasan teori probabilitas dan pentingnya memecahkan masalah ekonomi dan teknis. Probabilitas dan definisinya

Untuk waktu yang lama, umat manusia hanya mempelajari dan menggunakan apa yang disebut pola deterministik dalam aktivitasnya. Namun, karena peristiwa-peristiwa acak masuk ke dalam hidup kita tanpa kita inginkan dan terus-menerus mengelilingi kita, dan terlebih lagi, karena hampir semua fenomena alam bersifat acak, maka perlu dipelajari bagaimana mempelajarinya dan mengembangkan metode pembelajaran untuk tujuan ini.

Menurut bentuk manifestasi hubungan sebab akibat, hukum alam dan masyarakat dibagi menjadi dua kelas: deterministik (ditentukan sebelumnya) dan statistik.

Misalnya, berdasarkan hukum mekanika langit, berdasarkan posisi planet-planet di tata surya yang diketahui saat ini, posisinya pada suatu titik waktu tertentu dapat diprediksi secara jelas, termasuk gerhana matahari dan bulan dapat diprediksi dengan sangat akurat. Ini adalah contoh hukum deterministik.

Namun tidak semua fenomena dapat diprediksi secara akurat. Oleh karena itu, perubahan iklim jangka panjang dan perubahan cuaca jangka pendek bukanlah objek keberhasilan peramalan, yaitu. banyak hukum dan pola yang kurang cocok dengan kerangka deterministik. Hukum semacam ini disebut hukum statistik. Menurut hukum-hukum ini, keadaan sistem di masa depan tidak ditentukan secara pasti, tetapi hanya dengan probabilitas tertentu.

Teori probabilitas, seperti ilmu matematika lainnya, dihidupkan kembali dan dikembangkan dari kebutuhan praktik. Dia mempelajari pola-pola yang melekat dalam peristiwa-peristiwa acak massal.

Teori probabilitas mempelajari sifat-sifat peristiwa acak massal yang dapat terulang berkali-kali ketika serangkaian kondisi tertentu direproduksi. Properti utama dari setiap peristiwa acak, terlepas dari sifatnya, adalah ukuran, atau kemungkinan terjadinya.

Peristiwa (fenomena) yang kita amati dapat dibagi menjadi tiga jenis: dapat diandalkan, tidak mungkin, dan acak.

Suatu peristiwa yang pasti terjadi disebut pasti. Mustahil adalah suatu peristiwa yang kita tahu tidak akan terjadi. Peristiwa acak (random event) adalah suatu peristiwa yang dapat terjadi atau tidak terjadi.

Teori probabilitas tidak menetapkan tugas untuk memprediksi apakah suatu peristiwa akan terjadi atau tidak, karena tidak mungkin memperhitungkan pengaruh semua sebab terhadap suatu peristiwa acak. Di sisi lain, ternyata sejumlah besar kejadian acak homogen, apapun sifat spesifiknya, tunduk pada pola tertentu, yaitu pola probabilistik.

Jadi, pokok bahasan teori probabilitas adalah studi tentang pola probabilistik dari kejadian acak homogen massal.

Beberapa masalah yang berkaitan dengan fenomena acak massa dicoba diselesaikan dengan menggunakan peralatan matematika yang sesuai pada awal abad ke-17. Mempelajari jalannya dan hasil berbagai permainan untung-untungan, B. Pascal, P. Fermat dan H. Huygens meletakkan dasar-dasar teori probabilitas klasik pada pertengahan abad ke-17. Dalam karyanya, mereka secara implisit menggunakan konsep probabilitas dan ekspektasi matematis dari variabel acak. Baru pada awal abad ke-18. J. Bernoulli merumuskan konsep probabilitas.

Teori probabilitas mendapat kesuksesan lebih lanjut dari Moivre, Laplace, Gauss, Poisson dan lain-lain.

Matematikawan Rusia dan Soviet seperti P.L. Chebyshev, A.A. Markov, SAYA. Lyapunov, S.N. Bernstein, SEBUAH. Kolmogorov, A.Ya. Khinchin, A. Prokhorov, dan lainnya.

Tempat khusus dalam pengembangan teori probabilitas adalah milik aliran Uzbekistan, yang perwakilan utamanya adalah akademisi V.I. Romanovsky, S.Kh. Sirazhdinov, T.A. Sarymsakov, T.A. Azlarov, Sh.K. Farmanov, profesor I.S. Badalbaev, M.U. Gafurov, Sh.A. Khashimov dan lainnya.

Sebagaimana telah disebutkan, kebutuhan praktik, yang berkontribusi pada munculnya teori probabilitas, mendorong perkembangannya sebagai ilmu pengetahuan, menyebabkan munculnya semakin banyak cabang dan bagiannya. Statistik matematika didasarkan pada teori probabilitas, yang tugasnya adalah merekonstruksi dari suatu sampel, dengan tingkat keandalan tertentu, karakteristik yang melekat pada populasi umum. Cabang-cabang ilmu pengetahuan seperti teori proses acak, teori antrian, teori informasi, teori reliabilitas, pemodelan ekonometrik, dan lain-lain telah dipisahkan dari teori probabilitas.

Bidang penerapan teori probabilitas yang paling penting meliputi ilmu ekonomi dan teknik. Saat ini, sulit membayangkan studi fenomena ekonomi dan teknis tanpa pemodelan berdasarkan teori probabilitas, tanpa model analisis korelasi dan regresi, kecukupan dan model adaptif yang “sensitif”.

Peristiwa yang terjadi pada arus lalu lintas, derajat keandalan komponen mesin, kecelakaan mobil di jalan raya, berbagai situasi dalam proses perancangan jalan karena ketidakpastiannya termasuk dalam rangkaian permasalahan yang dipelajari dengan menggunakan metode teori probabilitas.

Konsep dasar teori probabilitas adalah pengalaman atau eksperimen dan peristiwa. Kami menyebut tindakan yang dilakukan dalam kondisi dan keadaan tertentu sebagai eksperimen. Setiap implementasi spesifik dari suatu eksperimen disebut tes.

Setiap hasil percobaan yang dapat dibayangkan disebut kejadian dasar dan dilambangkan dengan. Kejadian acak terdiri dari sejumlah kejadian dasar tertentu dan dilambangkan dengan A, B, C, D,...

Serangkaian peristiwa dasar sedemikian rupa

1) sebagai hasil percobaan, salah satu peristiwa dasar selalu terjadi;

2) dalam satu percobaan hanya akan terjadi satu peristiwa dasar, yang disebut ruang peristiwa dasar dan dilambangkan dengan.

Jadi, setiap kejadian acak adalah bagian dari ruang kejadian dasar. Berdasarkan definisi ruang kejadian elementer, kejadian reliabel dapat dilambangkan dengan. Suatu peristiwa yang mustahil dilambangkan dengan.

Contoh 1: Sebuah dadu dilempar. Ruang kejadian dasar yang berhubungan dengan percobaan ini mempunyai bentuk sebagai berikut:

Contoh 2. Misalkan guci berisi 2 bola merah, 3 biru dan 1 putih, sehingga totalnya ada 6 bola. Percobaan ini terdiri dari pengambilan bola secara acak dari sebuah guci. Ruang kejadian dasar yang berhubungan dengan percobaan ini mempunyai bentuk sebagai berikut:

dimana kejadian dasar mempunyai arti sebagai berikut: - muncul bola putih; - bola merah muncul; - bola biru muncul. Perhatikan peristiwa berikut ini:

A - penampakan bola putih;

B -- penampakan bola merah;

C - penampakan bola biru;

D -- penampakan bola berwarna (bukan putih).

Di sini kita melihat bahwa masing-masing peristiwa ini memiliki satu atau beberapa tingkat kemungkinan: beberapa lebih besar, yang lain lebih kecil. Jelasnya, derajat kemungkinan kejadian B lebih besar daripada kemungkinan kejadian A; peristiwa C - daripada peristiwa B; peristiwa D - daripada peristiwa C. Untuk membandingkan secara kuantitatif peristiwa satu sama lain menurut derajat kemungkinannya, tentu saja perlu dikaitkan dengan setiap peristiwa sejumlah tertentu, yang semakin besar, semakin besar kemungkinan peristiwa tersebut.

Kita menyatakan bilangan ini dengan dan menyebutnya peluang kejadian A. Sekarang mari kita berikan definisi peluang.

Biarkan ruang kejadian dasar menjadi himpunan berhingga dan biarkan elemen-elemennya menjadi. Kita asumsikan bahwa kejadian-kejadian tersebut adalah kejadian-kejadian dasar yang sama-sama mungkin terjadi, yaitu. setiap peristiwa dasar tidak memiliki peluang lebih besar untuk terjadi dibandingkan peristiwa lainnya. Sebagaimana diketahui, setiap kejadian acak A terdiri dari kejadian-kejadian elementer sebagai himpunan bagian. Peristiwa dasar ini disebut menguntungkan bagi A.

Peluang kejadian A ditentukan oleh rumus

dimana m adalah banyaknya kejadian dasar yang disukai A, n adalah banyaknya semua kejadian dasar yang termasuk di dalamnya.

Jika pada contoh 1 A menyatakan kejadian munculnya banyak titik genap, maka

Dalam contoh 2, probabilitas suatu kejadian memiliki nilai sebagai berikut:

Sifat-sifat berikut mengikuti definisi probabilitas:

1. Peluang suatu kejadian yang dapat diandalkan sama dengan satu.

Memang benar, jika suatu peristiwa dapat diandalkan, maka semua peristiwa dasar mendukungnya. Dalam hal ini m=n dan oleh karena itu

2. Peluang suatu kejadian yang mustahil adalah nol.

Memang benar, jika suatu peristiwa tidak mungkin terjadi, maka tidak ada satu pun peristiwa mendasar yang mendukungnya. Dalam hal ini m=0 dan oleh karena itu

3. Peluang suatu kejadian acak adalah bilangan positif antara nol dan satu.

Memang benar, hanya sebagian dari jumlah total kejadian dasar yang mendukung kejadian acak. Dalam hal ini, dan oleh karena itu, dan oleh karena itu,

Jadi, probabilitas suatu kejadian memenuhi pertidaksamaan tersebut

Frekuensi relatif suatu kejadian adalah rasio jumlah percobaan dimana kejadian tersebut terjadi dengan jumlah percobaan yang sebenarnya dilakukan.

Jadi, frekuensi relatif kejadian A ditentukan oleh rumus

dimana m adalah banyaknya kejadian, n adalah jumlah percobaan.

Membandingkan definisi probabilitas dan frekuensi relatif, kami menyimpulkan: definisi probabilitas tidak mengharuskan pengujian benar-benar dilakukan; penentuan frekuensi relatif mengasumsikan bahwa pengujian benar-benar dilakukan.

Contoh 3. Dari 80 bagian identik yang dipilih secara acak, 3 bagian cacat teridentifikasi. Frekuensi relatif bagian yang rusak adalah

Contoh 4. Sepanjang tahun, 24 pemeriksaan dilakukan di salah satu fasilitas, dan tercatat 19 pelanggaran hukum. Frekuensi relatif pelanggaran hukum adalah

Pengamatan jangka panjang menunjukkan bahwa jika eksperimen dilakukan dalam kondisi yang sama, yang masing-masing jumlah pengujiannya cukup besar, maka frekuensi relatifnya sedikit berubah (semakin sedikit, semakin banyak pengujian yang dilakukan), berfluktuasi di sekitar konstanta tertentu. nomor. Ternyata angka konstan tersebut adalah peluang terjadinya suatu peristiwa.

Jadi, jika frekuensi relatif ditentukan secara eksperimental, maka angka yang dihasilkan dapat diambil sebagai perkiraan nilai probabilitas. Ini adalah definisi statistik dari probabilitas.

Sebagai kesimpulan, mari kita lihat definisi geometris dari probabilitas.

Jika ruang kejadian elementer dianggap sebagai luas tertentu pada suatu bidang atau ruang, dan A sebagai himpunan bagiannya, maka peluang kejadian A dianggap sebagai perbandingan luas atau volume A dan, dan akan dicari sesuai dengan rumus berikut:

Pertanyaan untuk pengulangan dan kontrol:

1. Hukum alam dan masyarakat dibagi menjadi kelas apa menurut bentuk manifestasi hubungan sebab akibat?

2. Jenis acara apa saja yang dapat dibedakan?

3. Apa pokok bahasan teori probabilitas?

4. Apa yang anda ketahui tentang sejarah perkembangan teori probabilitas?

5. Apa pentingnya teori probabilitas bagi permasalahan ekonomi dan teknis?

6. Apa yang dimaksud dengan eksperimen, tes, kejadian dasar, dan kejadian, bagaimana sebutannya?

7. Apa yang disebut dengan ruang kejadian dasar?

8. Bagaimana peluang suatu kejadian ditentukan?

9. Sifat-sifat probabilitas apa yang kamu ketahui?

10. Apa yang Anda ketahui tentang frekuensi relatif suatu peristiwa?

11. Apa inti dari definisi statistik tentang probabilitas?

12. Apa definisi geometri dari probabilitas?

Biografi dan karya A.N

Teori probabilitas dasar adalah bagian dari teori probabilitas di mana kita harus berhadapan dengan probabilitas sejumlah kejadian yang terbatas. Teori probabilitas sebagai disiplin matematika...

Ruang vektor. Memecahkan masalah pemrograman linier secara grafis

Sekarang mari kita lihat beberapa masalah pemrograman linier dan selesaikan secara grafis. Soal 1. maks Z = 1+ - , . Larutan. Perhatikan bahwa setengah bidang yang ditentukan oleh sistem pertidaksamaan masalah ini tidak memiliki titik persekutuan (Gambar 2, lalu F(X) = .

Membiarkan X Î ( B,+¥], lalu F(X) = = 0 + .

Mari kita cari mediannya X 0,5. Kita punya F(X 0,5) = 0,5, oleh karena itu

Jadi, median sebaran seragam bertepatan dengan titik tengah ruas tersebut. Gambar 1 menunjukkan grafik kepadatan R(X) dan fungsi distribusi F(X)

untuk pemerataan.

Distribusi normal

Definisi 7. Variabel acak kontinu mempunyai distribusi normal, dengan dua parameter a, s, if

, s>0. (5)

Fakta bahwa suatu variabel acak mempunyai distribusi normal akan dituliskan secara singkat dalam bentuk X ~ N(A;S).

Mari kita tunjukkan itu P(X) - kepadatan

(ditunjukkan pada kuliah 6).

Grafik kepadatan berdistribusi normal (Gbr. 3) disebut kurva normal (kurva Gaussian).

Kepadatan distribusinya simetris terhadap garis lurus X = A. Jika X® ¥, lalu R(X) ® 0. Dengan berkurangnya s, grafik “berkontraksi” terhadap sumbu simetri X = A.

Distribusi normal memainkan peran khusus dalam teori probabilitas dan penerapannya. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa, sesuai dengan teorema batas pusat teori probabilitas, ketika kondisi tertentu terpenuhi, jumlah sejumlah besar variabel acak memiliki distribusi normal “kira-kira”.

Karena – kepadatan hukum distribusi normal dengan parameter A= 0 dan s =1, maka fungsinya = F(X), yang digunakan untuk menghitung probabilitas , adalah fungsi distribusi dari distribusi normal dengan parameter A= 0 dan s =1.

Fungsi distribusi variabel acak X dengan parameter sewenang-wenang A, s dapat diungkapkan melalui F(X) – fungsi distribusi variabel acak normal dengan parameter A= 0 dan s =1.

Membiarkan X ~ N(A;s), lalu

. (6)

Mari kita ubah variabel di bawah tanda integral, kita dapatkan

=

F(X) = . (7)

Dalam penerapan praktis teori probabilitas, sering kali kita perlu mencari probabilitas suatu variabel acak akan mengambil nilai dari interval tertentu. Sesuai dengan rumus (7), probabilitas ini dapat dicari dari nilai tabulasi fungsi Laplace

Mari kita cari median dari variabel acak normal X ~ N(A;S). Karena kerapatan distribusi p(x) simetris terhadap sumbu X = A, Itu

R(X < A) = P(X > A) = 0,5.

Oleh karena itu, median dari variabel acak normal bertepatan dengan parameternya A:

X 0,5 = A.

Tugas 1. Kereta metro beroperasi setiap 2 menit. Penumpang memasuki peron pada suatu saat. Waktu X selama dia harus menunggu kereta adalah variabel acak yang terdistribusi dengan kepadatan seragam pada area (0, 2) menit. Tentukan peluang seorang penumpang harus menunggu tidak lebih dari 0,5 menit untuk kereta berikutnya.

Larutan. Jelas sekali hal(x)= 1/2. Maka, P 0,5 = R( 1,5 2) = = 0,25

Tugas 2. Pabrik Otomotif Volzhsky meluncurkan mesin baru. Diasumsikan rata-rata jarak tempuh sebuah mobil bermesin baru adalah 160 ribu km, dengan simpangan baku = 30 ribu km. Berapa probabilitas jumlah km sebelum perbaikan pertama? Jarak tempuh mobil akan berkisar 100 ribu km. hingga 180 ribu km.

Larutan. P(100000< X < 180000) = Ф(2/3)–Ф(–2) = 0,2454 + 0,4772 = 0,7226.

Sifat dispersi

1.Varians dari konstanta C sama dengan 0,DC = 0, DENGAN = konstanta.

Bukti.DC = M(DENGAN– M.C.) 2 = M(DENGAN– DENGAN) = 0.

2.D(CX) = DENGAN 2 DX.

Bukti. D(CX) = M(CX) 2 – M 2 (CX) = C 2 MX 2 – C 2 (MX) 2 = C 2 (MX 2 – M 2 X) = DENGAN 2 DX.

3. Jika X dan Y – variabel acak independen, Itu

Bukti.

4. Jika X 1 , X 2 , … tidak bergantung, kalau begitu .

Sifat ini dapat dibuktikan dengan induksi menggunakan Sifat 3.

Bukti. D(X – Y) = DX + D(–Y) = DX + (–1) 2 D(Y) = DX + D(Y).

6.

Bukti. D(C+X) = M(X+C–M(X+C)) 2 = M(X+C–MX–MC) 2 = M(X+C–MX–C) 2 = M(X– MX) 2 = DX.

Biarkan menjadi variabel acak independen, dan , .

Mari kita buat variabel acak baru, temukan ekspektasi matematis dan variansnya Y.

; .

Yaitu kapan N®¥ ekspektasi matematis dari mean aritmatika dari n variabel acak independen yang terdistribusi identik tetap tidak berubah, sama dengan ekspektasi matematis a, sedangkan variansnya cenderung nol.

Sifat stabilitas statistik rata-rata aritmatika ini mendasari hukum bilangan besar.

Distribusi normal

Membiarkan X mempunyai distribusi normal. Sebelumnya pada kuliah 11 (contoh 2) ditunjukkan bahwa jika

Kemudian Y ~ N(0,1).

Dari sini, lalu, jadi cari dulu DY.

Karena itu

DX= D(S Y+A) = s 2 DY= s 2 , s X= s. (2)

distribusi racun

Seperti yang diketahui

Karena itu,

Distribusi seragam

Diketahui bahwa .

Sebelumnya sudah kami tunjukkan, mari kita gunakan rumusnya.

Bukti.

Integral terakhir dalam rantai persamaan sama dengan 0, karena mengikuti kondisi soal itu p(MX+t) – bahkan berfungsi sehubungan dengan T (p(MX+t)= p(MX-t)), A t 2k +1– fungsi ganjil.

Karena massa jenis hukum distribusi normal dan seragam adalah simetris terhadap X= MX, maka semua momen sentral orde ganjil sama dengan 0.

Teorema 2. Jika X~N(A,s), lalu .

Semakin banyak momen suatu variabel acak diketahui, semakin detail pemahaman kita tentang hukum distribusi. Dalam teori probabilitas dan statistik matematika, dua karakteristik numerik berdasarkan momen sentral orde ke-3 dan ke-4 paling sering digunakan. Ini adalah koefisien skewness dan kurtosis dari variabel acak.

Definisi 3. Koefisien asimetri suatu variabel acak X adalah bilangan b = .

Koefisien asimetri adalah momen pusat dan awal dari variabel acak yang dinormalisasi Y, Di mana . Validitas pernyataan ini mengikuti hubungan berikut:

Kecondongan variabel acak X sama dengan asimetri variabel acak Y = α X + β

sampai tanda α, . Hal ini mengikuti fakta bahwa normalisasi variabel acak a X+b dan X mengarah ke variabel acak yang sama Y sampai untuk menandatangani

Jika distribusi probabilitasnya asimetris, dengan “bagian panjang” grafik terletak di sebelah kanan pusat pengelompokan, maka β( X) > 0; jika “bagian panjang” grafik terletak di sebelah kiri, maka β( X) < 0. Для нормального и равномерного распределений β = 0.

Konsep kurtosis digunakan untuk mengkarakterisasi tingkat “kehalusan” yang lebih besar atau lebih kecil dari kurva kepadatan atau poligon distribusi dibandingkan dengan kepadatan normal.

Definisi 4. Kurtosis suatu variabel acak X adalah kuantitasnya

Kurtosis variabel acak X sama dengan selisih antara momen awal dan momen sentral orde ke-4 variabel acak ternormalisasi dan bilangan3, yaitu . Mari kita tunjukkan ini:

Kurtosis variabel acak X sama dengan kurtosis variabel acak

Y = α X + β.

Mari kita cari kurtosis dari variabel acak normal X.

Jika X~N(A,s), lalu ~ (0,1).

Jadi, kurtosis suatu variabel acak yang terdistribusi normal sama dengan 0. Jika kepadatan distribusinya unimodal dan lebih “puncak” dibandingkan kepadatan distribusi normal dengan varian yang sama, maka g( X) > 0, jika pada kondisi yang sama kurang “puncaknya”, maka g( X) < 0.

Hukum Bilangan Besar

Hukum bilangan besar menetapkan kondisi konvergensi rata-rata aritmatika variabel acak ke rata-rata aritmatika ekspektasi matematis.

Definisi 1. Urutan variabel acak disebut konvergen dalam probabilitas p terhadap bilangan tersebut B, Jika

.

Mari kita lanjutkan ke batas di dalam pertidaksamaan ini dan peroleh

.

Estimasi interval

Jika estimasi titik dari suatu parameter yang tidak diketahui diperoleh dari suatu sampel, maka membicarakan estimasi yang diperoleh sebagai parameter sebenarnya cukup berisiko. Dalam beberapa kasus, lebih bijaksana, setelah memperoleh sebaran estimasi parameter, untuk membicarakan estimasi interval dari nilai sebenarnya dari parameter tersebut. Untuk mengilustrasikannya, mari kita perhatikan konstruksi interval kepercayaan untuk ekspektasi matematis dari distribusi normal.

Kami telah menunjukkan hal itu – perkiraan terbaik (benar sekali) untuk ekspektasi matematis MX= Q, oleh karena itu estimasi tersebut juga merupakan estimasi yang benar-benar tepat untuk parameter a = distribusi normal P, dimana T– nilai argumen fungsi Laplace di mana F(T) = , e = .

1. Kolemaev V.A., Staroverov O.V., Turundaevsky V.B. Teori probabilitas dan matematika

statistik matematika. M.: Sekolah Tinggi, 1991.

2. Eliseeva I.I., Knyazevsky V.S., Nivorozhkina L.I., Morozova Z.A. Teori statistika dengan dasar-dasar teori probabilitas. M.: Persatuan, 2001.

3. Szekely G. Paradoks dalam teori probabilitas dan statistik matematika. M.: Mir, 1990.

4. Kremer N.Sh. Teori Probabilitas dan Statistik Matematika. M.: Persatuan, 2001

5. Smirnov N.V. Dunin-Barkovsky I.V. Kursus teori probabilitas dan statistik matematika untuk aplikasi teknis. M.: Nauka, 1969.

6. Metode statistik untuk menyusun rumus empiris. M.: Sekolah Tinggi, 1988.


KULIAH 1. TEORI PROBABILITAS. SEJARAH. DEFINISI KLASIK PROBABILITAS.. 3

KULIAH 2. TEOREMA PENAMBAHAN DAN PERGANDAAN PROBABILITAS. DEFINISI PROBABILITAS SECARA STATISTIK DAN GEOMETRIS.. 8

KULIAH 3. KONSTRUKSI AKSIOMATIS TEORI PROBABILITAS. Aksiomatika KOLMOGOROV.. 14

KULIAH 4. VARIABEL ACAK. FUNGSI DISTRIBUSI... 17

KULIAH 5. DISTRIBUSI VARIABEL ACAK DISKRIT... 21

KULIAH 6. TEOREMA INTEGRAL MOIVRE–LAPLACE, TEOREMA BERNOULLI.. 26

KULIAH 7. VARIABEL ACAK TERUS MENERUS... 29

KULIAH 8. KONSEP VARIABEL ACAK MULTIDIMENSIONAL... 35

KULIAH 9. FUNGSI DISTRIBUSI VARIABEL ACAK MULTIDIMENSIONAL... 39

KULIAH 10. SIFAT-SIFAT KEPADATAN PROBABILITAS VARIABEL ACAK DUA DIMENSI 43

KULIAH 11. FUNGSI VARIABEL ACAK.. 48

KULIAH 12. TEOREMA KEPADATAN JUMLAH DUA VARIABEL ACAK.. 52

KULIAH 13. SISWA, DISTRIBUSI FISCHER

Sampai saat ini, bank terbuka berisi soal-soal Ujian Negara Bersatu dalam matematika (mathege.ru) disajikan, yang penyelesaiannya hanya didasarkan pada satu rumus, yaitu definisi klasik tentang probabilitas.

Cara termudah untuk memahami rumusnya adalah dengan contoh.
Contoh 1. Ada 9 bola merah dan 3 bola biru di dalam keranjang. Bola-bola tersebut hanya berbeda warnanya saja. Kami mengambil salah satunya secara acak (tanpa melihat). Berapa peluang terambilnya bola dengan cara ini berwarna biru?

Komentar. Dalam soal-soal dalam teori probabilitas, terjadi sesuatu (dalam hal ini, tindakan kita menarik bola) yang dapat memberikan hasil yang berbeda - suatu hasil. Perlu dicatat bahwa hasilnya dapat dilihat dengan cara yang berbeda. “Kami mengeluarkan semacam bola” juga merupakan hasil. “Kami mengeluarkan bola biru” - hasilnya. “Kami mengeluarkan bola ini dengan tepat dari semua kemungkinan bola” - pandangan hasil yang paling tidak umum ini disebut hasil dasar. Hasil dasar inilah yang dimaksudkan dalam rumus untuk menghitung probabilitas.

Larutan. Sekarang mari kita hitung peluang terambilnya bola biru.
Acara A: “bola yang dipilih ternyata berwarna biru”
Jumlah total semua kemungkinan hasil: 9+3=12 (jumlah semua bola yang dapat diambil)
Jumlah hasil yang menguntungkan untuk kejadian A: 3 (jumlah hasil di mana peristiwa A terjadi - yaitu, jumlah bola biru)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Jawaban: 0,25

Untuk soal yang sama, mari kita hitung peluang terambilnya bola merah.
Jumlah total hasil yang mungkin akan tetap sama, 12. Jumlah hasil yang diinginkan: 9. Probabilitas yang dicari: 9/12=3/4=0.75

Probabilitas suatu kejadian selalu terletak antara 0 dan 1.
Kadang-kadang dalam percakapan sehari-hari (tetapi tidak dalam teori probabilitas!), probabilitas suatu peristiwa diperkirakan dalam persentase. Transisi antara skor matematika dan percakapan dicapai dengan mengalikan (atau membagi) dengan 100%.
Jadi,
Selain itu, kemungkinan nol untuk peristiwa yang tidak dapat terjadi sungguh luar biasa. Misalnya, dalam contoh kita, ini adalah probabilitas terambilnya bola hijau dari keranjang. (Jumlah hasil yang diinginkan adalah 0, P(A)=0/12=0, jika dihitung menggunakan rumus)
Probabilitas 1 mempunyai kejadian yang pasti terjadi, tanpa pilihan. Misalnya, probabilitas “bola yang dipilih berwarna merah atau biru” adalah untuk tugas kita. (Jumlah hasil yang menguntungkan: 12, P(A)=12/12=1)

Kita melihat contoh klasik yang mengilustrasikan definisi probabilitas. Semua soal serupa dalam Ujian Negara Bersatu dalam teori probabilitas diselesaikan dengan menggunakan rumus ini.
Di tempat bola merah dan biru mungkin ada apel dan pir, anak laki-laki dan perempuan, tiket terpelajar dan tidak terpelajar, tiket berisi dan tidak berisi pertanyaan tentang topik tertentu (prototipe,), tas atau pompa taman yang rusak dan berkualitas tinggi (prototipe ,) - prinsipnya tetap sama.

Mereka sedikit berbeda dalam rumusan masalah teori probabilitas Unified State Examination, dimana Anda perlu menghitung probabilitas suatu peristiwa terjadi pada hari tertentu. ( , ) Seperti pada soal sebelumnya, Anda perlu menentukan hasil dasar, lalu menerapkan rumus yang sama.

Contoh 2. Konferensi ini berlangsung selama tiga hari. Pada hari pertama dan kedua pembicara berjumlah 15 orang, pada hari ketiga - 20 orang. Berapakah peluang laporan Profesor M. jatuh pada hari ketiga jika urutan laporan ditentukan dengan cara pengundian?

Apa hasil dasarnya di sini? – Menetapkan laporan profesor salah satu dari semua kemungkinan nomor seri pidato. 15+15+20=50 orang berpartisipasi dalam pengundian. Jadi, laporan Profesor M. mungkin menerima satu dari 50 terbitan. Artinya hanya ada 50 hasil dasar.
Apa hasil yang menguntungkan? - Yang ternyata profesor akan berbicara pada hari ketiga. Artinya, 20 angka terakhir.
Menurut rumus, peluang P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Jawaban: 0,4

Pengundian di sini melambangkan pembentukan korespondensi acak antara orang dan tempat yang teratur. Dalam Contoh 2, pencocokan dipertimbangkan dari sudut pandang kursi mana yang dapat ditempati oleh orang tertentu. Anda dapat mendekati situasi yang sama dari sisi lain: orang mana dengan probabilitas berapa yang dapat mencapai tempat tertentu (prototipe , , , ):

Contoh 3. Pengundian mencakup 5 orang Jerman, 8 orang Prancis, dan 3 orang Estonia. Berapa peluang orang pertama (/kedua/ketujuh/terakhir – tidak masalah) adalah orang Prancis.

Banyaknya hasil dasar adalah jumlah semua kemungkinan orang yang dapat memasuki suatu tempat dengan cara mengundi. 5+8+3=16 orang.
Hasil yang menguntungkan - Perancis. 8 orang.
Probabilitas yang diperlukan: 8/16=1/2=0,5
Jawaban: 0,5

Prototipenya sedikit berbeda. Masih ada masalah tentang koin () dan dadu (), yang terbilang lebih kreatif. Solusi untuk masalah ini dapat ditemukan di halaman prototipe.

Berikut beberapa contoh pelemparan koin atau dadu.

Contoh 4. Jika kita melempar sebuah mata uang logam, berapakah peluang munculnya kepala?
Ada 2 hasil – kepala atau ekor. (diyakini bahwa koin tidak pernah mendarat di tepinya) Hasil yang menguntungkan adalah ekor, 1.
Probabilitas 1/2=0,5
Jawaban: 0,5.

Contoh 5. Bagaimana jika kita melempar koin dua kali? Berapa probabilitas mendapatkan kepala kedua kali?
Hal utama adalah menentukan hasil dasar apa yang akan kita pertimbangkan ketika melempar dua koin. Setelah melempar dua koin, salah satu hasil berikut dapat terjadi:
1) PP – kedua kali muncul kepala
2) PO – head pertama kali, head kali kedua
3) OP – memimpin pertama kali, mengikuti kedua kalinya
4) OO – kepala muncul dua kali
Tidak ada jalan lain. Artinya ada 4 hasil dasar. Hanya yang pertama, 1, yang menguntungkan.
Probabilitas: 1/4=0,25
Jawaban: 0,25

Berapa peluang pelemparan dua buah uang logam menghasilkan angka?
Banyaknya hasil dasar sama, 4. Hasil yang disukai adalah hasil kedua dan ketiga, 2.
Peluang terambilnya satu ekor: 2/4=0,5

Dalam soal seperti itu, rumus lain mungkin berguna.
Jika dalam satu kali pelemparan sebuah koin kita mempunyai 2 pilihan hasil yang mungkin, maka untuk dua kali pelemparan hasilnya adalah 2 2 = 2 2 = 4 (seperti pada contoh 5), untuk tiga kali pelemparan 2 2 2 = 2 3 = 8, untuk empat kali pelemparan : 2·2·2·2=2 4 =16, ... untuk N gulungan hasil yang mungkin adalah 2·2·...·2=2 N .

Jadi, Anda dapat mengetahui peluang munculnya 5 gambar dari 5 pelemparan koin.
Jumlah total hasil dasar: 2 5 =32.
Hasil yang menguntungkan: 1. (RRRRRR – melakukan head semua 5 kali)
Probabilitas: 1/32=0,03125

Hal yang sama berlaku untuk dadu. Dengan satu lemparan, ada 6 kemungkinan hasil. Jadi, untuk dua lemparan: 6 6 = 36, untuk tiga 6 6 6 = 216, dst.

Contoh 6. Kami melempar dadu. Berapa peluang terambilnya bilangan genap?

Total hasil: 6, sesuai dengan jumlah sisinya.
Menguntungkan: 3 hasil. (2, 4, 6)
Kemungkinan: 3/6=0,5

Contoh 7. Kami melempar dua dadu. Berapa peluang terambilnya angka 10? (dibulatkan menjadi kelipatan seratus)

Untuk satu dadu ada 6 kemungkinan hasil. Artinya untuk dua, menurut aturan di atas, 6·6=36.
Hasil apa yang menguntungkan agar totalnya menjadi 10?
10 harus dipecah menjadi jumlah dua angka dari 1 sampai 6. Hal ini dapat dilakukan dengan dua cara: 10=6+4 dan 10=5+5. Artinya opsi berikut ini dimungkinkan untuk kubus:
(6 pada yang pertama dan 4 pada yang kedua)
(4 pada yang pertama dan 6 pada yang kedua)
(5 pada yang pertama dan 5 pada yang kedua)
Total, 3 pilihan. Probabilitas yang diperlukan: 3/36=1/12=0,08
Jawaban: 0,08

Jenis masalah B6 lainnya akan dibahas di artikel Cara Mengatasinya di masa mendatang.

Kemungkinan Peristiwa adalah rasio jumlah hasil dasar yang menguntungkan suatu peristiwa tertentu dengan jumlah semua kemungkinan hasil pengalaman yang sama di mana peristiwa tersebut dapat muncul. Probabilitas kejadian A dilambangkan dengan P(A) (di sini P adalah huruf pertama dari kata Perancis probabilite - probabilitas). Menurut definisinya
(1.2.1)
di mana banyaknya hasil dasar yang mendukung kejadian A; - jumlah semua kemungkinan hasil dasar percobaan yang sama, yang membentuk kelompok kejadian yang lengkap.
Definisi probabilitas ini disebut klasik. Itu muncul pada tahap awal pengembangan teori probabilitas.

Peluang suatu kejadian mempunyai ciri-ciri sebagai berikut:
1. Peluang suatu kejadian yang dapat diandalkan sama dengan satu. Mari kita nyatakan peristiwa yang dapat dipercaya dengan surat itu . Oleh karena itu, untuk acara tertentu
(1.2.2)
2. Peluang suatu kejadian yang mustahil adalah nol. Mari kita nyatakan peristiwa yang mustahil dengan huruf . Oleh karena itu, untuk peristiwa yang mustahil
(1.2.3)
3. Peluang suatu kejadian acak dinyatakan sebagai bilangan positif yang kurang dari satu. Karena untuk kejadian acak pertidaksamaan , atau , terpenuhi, maka
(1.2.4)
4. Probabilitas suatu kejadian memenuhi pertidaksamaan
(1.2.5)
Ini mengikuti relasi (1.2.2) - (1.2.4).

Contoh 1. Sebuah guci berisi 10 bola dengan ukuran dan berat yang sama, 4 bola berwarna merah dan 6 bola biru. Satu bola diambil dari guci. Berapa peluang terambilnya bola berwarna biru?

Larutan. Peristiwa “bola yang ditarik ternyata berwarna biru” dilambangkan dengan huruf A. Tes ini mempunyai 10 kemungkinan hasil dasar yang sama, dimana 6 diantaranya menguntungkan kejadian A. Sesuai dengan rumus (1.2.1), kita memperoleh

Contoh 2. Semua bilangan asli dari 1 sampai 30 ditulis pada kartu yang sama dan ditempatkan dalam sebuah guci. Setelah kartu dikocok seluruhnya, satu kartu dikeluarkan dari guci. Berapa peluang terambilnya angka pada kartu yang merupakan kelipatan 5?

Larutan. Mari kita nyatakan dengan A kejadian “angka pada kartu yang diambil adalah kelipatan 5”. Dalam tes ini terdapat 30 kemungkinan hasil dasar yang sama, dimana kejadian A disukai oleh 6 hasil (angka 5, 10, 15, 20, 25, 30). Karena itu,

Contoh 3. Dua dadu dilempar dan jumlah titik pada permukaan atasnya dihitung. Tentukan peluang kejadian B sehingga permukaan atas dadu berjumlah 9 buah.

Larutan. Dalam tes ini hanya terdapat 6 2 = 36 kemungkinan hasil dasar yang sama. Peristiwa B disukai oleh 4 hasil: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), oleh karena itu

Contoh 4. Suatu bilangan asli yang tidak lebih besar dari 10 dipilih secara acak. Berapa peluang terambilnya bilangan prima?

Larutan. Mari kita nyatakan kejadian “bilangan yang dipilih adalah bilangan prima” dengan huruf C. Dalam hal ini n = 10, m = 4 (bilangan prima 2, 3, 5, 7). Oleh karena itu, probabilitas yang diperlukan

Contoh 5. Dua buah uang logam simetris dilempar. Berapa peluang terdapat angka pada sisi atas kedua koin?

Larutan. Mari kita nyatakan dengan huruf D kejadian “ada angka di sisi atas setiap koin”. Dalam tes ini terdapat 4 kemungkinan hasil dasar yang sama: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Notasi (G, C) artinya uang logam pertama mempunyai lambang, uang logam kedua mempunyai nomor). Peristiwa D disukai oleh satu hasil dasar (C, C). Karena m = 1, n = 4, maka

Contoh 6. Berapa peluang terambilnya dua angka yang diambil secara acak mempunyai angka yang sama?

Larutan. Angka dua digit adalah angka dari 10 sampai 99; Total ada 90 angka seperti itu. 9 angka yang angkanya sama (yaitu angka 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Karena dalam hal ini m = 9, n = 90, maka
,
dimana A adalah kejadian “bilangan dengan digit yang identik”.

Contoh 7. Dari huruf kata diferensial Satu huruf dipilih secara acak. Berapa peluang terambilnya huruf tersebut: a) vokal, b) konsonan, c) huruf H?

Larutan. Kata diferensial mempunyai 12 huruf, 5 diantaranya vokal dan 7 konsonan. Surat H tidak ada dalam kata ini. Mari kita nyatakan peristiwanya: A - "huruf vokal", B - "huruf konsonan", C - "huruf H". Banyaknya hasil dasar yang menguntungkan: - untuk kejadian A, - untuk kejadian B, - untuk kejadian C. Karena n = 12, maka
, Dan .

Contoh 8. Dua buah dadu dilempar dan dicatat banyaknya titik pada puncak masing-masing dadu. Tentukan peluang terambilnya kedua dadu dengan jumlah poin yang sama.

Larutan. Mari kita nyatakan peristiwa ini dengan huruf A. Peristiwa A disukai oleh 6 hasil dasar: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6 ;6). Banyaknya kemungkinan hasil dasar yang sama yang membentuk sekelompok kejadian lengkap, dalam hal ini n=6 2 =36. Artinya probabilitas yang diperlukan

Contoh 9. Buku ini memiliki 300 halaman. Berapa peluang suatu halaman yang dibuka secara acak mempunyai nomor seri yang habis dibagi 5?

Larutan. Dari kondisi soal dapat disimpulkan bahwa semua kemungkinan hasil dasar yang sama yang membentuk kelompok kejadian lengkap adalah n = 300. Dari jumlah tersebut, m = 60 mendukung terjadinya kejadian tertentu. Memang, bilangan yang merupakan kelipatan 5 mempunyai bentuk 5k, dimana k adalah bilangan asli, dan , maka . Karena itu,
, dimana A - kejadian “halaman” mempunyai nomor urut yang merupakan kelipatan 5".

Contoh 10. Dua dadu dilempar dan jumlah titik pada permukaan atasnya dihitung. Mana yang lebih mungkin – mendapatkan total 7 atau 8?

Larutan. Mari kita nyatakan kejadiannya: A - “7 poin dilempar”, B – “8 poin dilempar”. Peristiwa A disukai oleh 6 hasil dasar: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), dan peristiwa B disukai dengan 5 hasil: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Semua kemungkinan hasil dasar yang sama adalah n = 6 2 = 36. Artinya Dan .

Jadi, P(A)>P(B), yaitu memperoleh total 7 poin lebih mungkin terjadi dibandingkan memperoleh total 8 poin.

Tugas

1. Sebuah bilangan asli yang tidak melebihi 30 dipilih secara acak. Berapa peluang terambilnya bilangan tersebut kelipatan 3?
2. Di dalam guci A merah dan B bola biru, ukuran dan beratnya sama. Berapa peluang terambilnya bola secara acak dari guci ini berwarna biru?
3. Suatu bilangan yang tidak melebihi 30 dipilih secara acak. Berapa peluang terambilnya bilangan tersebut adalah pembagi 30?
4. Di dalam guci A biru dan B bola merah, ukuran dan beratnya sama. Satu bola diambil dari guci ini dan disisihkan. Bola ini ternyata berwarna merah. Setelah itu, bola lain diambil dari guci. Tentukan peluang terambilnya bola kedua juga berwarna merah.
5. Sebuah bilangan nasional yang tidak melebihi 50 dipilih secara acak. Berapa peluang terambilnya bilangan prima?
6. Tiga buah dadu dilempar dan dihitung jumlah titik pada permukaan atasnya. Mana yang lebih mungkin - mendapatkan total 9 atau 10 poin?
7. Tiga buah dadu dilempar dan dihitung jumlah poinnya. Mana yang lebih mungkin - mendapatkan total 11 (peristiwa A) atau 12 poin (peristiwa B)?

Jawaban

1. 1/3. 2 . B/(A+B). 3 . 0,2. 4 . (B-1)/(A+B-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - kemungkinan mendapatkan total 9 poin; p 2 = 27/216 - kemungkinan mendapatkan total 10 poin; hal 2 > hal 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Pertanyaan

1. Peluang suatu kejadian disebut?
2. Berapakah probabilitas suatu kejadian yang dapat diandalkan?
3. Berapa peluang terjadinya suatu kejadian yang mustahil?
4. Berapakah batas peluang terjadinya suatu kejadian acak?
5. Berapa batas kemungkinan suatu kejadian?
6. Definisi probabilitas apa yang disebut klasik?

Catatan penting!
1. Jika Anda melihat gobbledygook dan bukan rumus, kosongkan cache Anda. Cara melakukan ini di browser Anda tertulis di sini:
2. Sebelum Anda mulai membaca artikel, perhatikan navigator kami untuk mendapatkan sumber daya yang paling berguna

Apa itu probabilitas?

Pertama kali saya menemukan istilah ini, saya tidak mengerti apa itu. Oleh karena itu, saya akan mencoba menjelaskannya secara gamblang.

Probabilitas adalah peluang terjadinya peristiwa yang kita inginkan.

Misalnya, Anda memutuskan untuk pergi ke rumah teman, Anda ingat pintu masuknya bahkan lantai tempat tinggalnya. Tapi saya lupa nomor dan lokasi apartemennya. Dan sekarang Anda berdiri di tangga, dan di depan Anda ada pintu untuk dipilih.

Berapa peluang (probabilitas) jika Anda membunyikan bel pintu pertama, teman Anda akan membukakan pintu untuk Anda? Hanya ada apartemen, dan seorang teman hanya tinggal di belakang salah satunya. Dengan peluang yang sama kita bisa memilih pintu mana saja.

Tapi peluang apa ini?

Pintunya, pintu kanan. Peluang menebak dengan membunyikan pintu pertama: . Artinya, satu dari tiga kali Anda akan menebak dengan akurat.

Kami ingin tahu, setelah menelepon sekali, seberapa sering kami akan menebak pintunya? Mari kita lihat semua opsi:

  1. Anda menelepon 1 pintu
  2. Anda menelepon ke-2 pintu
  3. Anda menelepon ke-3 pintu

Sekarang mari kita lihat semua opsi di mana seorang teman bisa berada:

A. Di belakang 1 pintu
B. Di belakang ke-2 pintu
V. Di belakang ke-3 pintu

Mari kita bandingkan semua opsi dalam bentuk tabel. Tanda centang menunjukkan opsi ketika pilihan Anda bertepatan dengan lokasi teman, tanda silang - jika tidak bertepatan.

Bagaimana Anda melihat semuanya Mungkin pilihan lokasi teman Anda dan pilihan pintu mana yang akan Anda hubungi.

A hasil yang menguntungkan bagi semuanya . Artinya, Anda akan menebak sekali dengan membunyikan bel pintu satu kali, yaitu. .

Ini adalah probabilitas - rasio hasil yang menguntungkan (bila pilihan Anda bertepatan dengan lokasi teman Anda) dengan jumlah kemungkinan kejadian.

Definisinya adalah rumusnya. Probabilitas biasanya dilambangkan dengan p, oleh karena itu:

Sangat tidak mudah untuk menulis rumus seperti itu, jadi kita akan mengambil - jumlah hasil yang diinginkan, dan untuk - jumlah total hasil.

Probabilitasnya dapat ditulis sebagai persentase; untuk melakukan ini, Anda perlu mengalikan hasilnya dengan:

Kata “hasil” mungkin menarik perhatian Anda. Karena ahli matematika menyebut berbagai tindakan (dalam kasus kami, tindakan seperti itu adalah bel pintu) sebagai eksperimen, hasil dari eksperimen tersebut biasanya disebut hasil.

Ya, ada hasil yang menguntungkan dan tidak menguntungkan.

Mari kita kembali ke contoh kita. Katakanlah kita membunyikan salah satu pintu, tetapi orang asing membukakannya untuk kita. Kami tidak menebak dengan benar. Berapa peluang jika kita membunyikan salah satu pintu yang tersisa, teman kita akan membukakannya untuk kita?

Jika Anda berpikir demikian, maka ini adalah sebuah kesalahan. Mari kita cari tahu.

Kami memiliki dua pintu tersisa. Jadi kami memiliki langkah-langkah yang mungkin:

1) Panggilan 1 pintu
2) Panggilan ke-2 pintu

Temannya, terlepas dari semua ini, pasti berada di belakang salah satu dari mereka (bagaimanapun juga, dia tidak berada di belakang orang yang kami panggil):

a) Teman untuk 1 pintu
b) Teman untuk ke-2 pintu

Mari kita menggambar tabelnya lagi:

Seperti yang Anda lihat, hanya ada pilihan yang menguntungkan. Artinya, kemungkinannya sama.

Mengapa tidak?

Situasi yang kami pertimbangkan adalah contoh kejadian dependen. Peristiwa pertama adalah bel pintu pertama, peristiwa kedua adalah bel pintu kedua.

Dan disebut ketergantungan karena mempengaruhi tindakan berikut. Lagi pula, jika setelah bunyi pertama bel pintu dijawab oleh seorang teman, berapa kemungkinan dia berada di belakang salah satu dari dua lainnya? Benar, .

Tapi kalau ada kejadian dependen, pasti ada juga mandiri? Benar, itu memang terjadi.

Contoh di buku teks adalah melempar koin.

  1. Melempar koin satu kali. Misalnya, berapa kemungkinan mendapatkan kepala? Itu benar - karena ada semua pilihan (baik kepala atau ekor, kita akan mengabaikan kemungkinan koin mendarat di tepinya), tapi itu hanya cocok untuk kita.
  2. Tapi itu muncul. Oke, ayo kita lempar lagi. Berapa kemungkinan mendapatkan perhatian sekarang? Tidak ada yang berubah, semuanya sama. Berapa banyak pilihan? Dua. Berapa banyak yang membuat kita bahagia? Satu.

Dan biarkan hal itu muncul setidaknya seribu kali berturut-turut. Kemungkinan mendapatkan kepala sekaligus akan sama. Selalu ada pilihan, dan ada pilihan yang menguntungkan.

Sangat mudah untuk membedakan peristiwa dependen dari peristiwa independen:

  1. Jika percobaan dilakukan satu kali (mereka melempar koin satu kali, membunyikan bel pintu satu kali, dan seterusnya), maka kejadiannya selalu independen.
  2. Jika suatu percobaan dilakukan beberapa kali (sebuah koin dilempar satu kali, bel pintu dibunyikan beberapa kali), maka kejadian pertama selalu bebas. Dan kemudian, jika jumlah yang menguntungkan atau jumlah semua hasil berubah, maka peristiwa-peristiwa tersebut bergantung, dan jika tidak, maka peristiwa-peristiwa tersebut independen.

Mari kita berlatih sedikit menentukan probabilitas.

Contoh 1.

Koin tersebut dilempar sebanyak dua kali. Berapa peluang terambilnya gambar dua kali berturut-turut?

Larutan:

Mari pertimbangkan semua opsi yang memungkinkan:

  1. Elang-elang
  2. Kepala-ekor
  3. Ekor-Kepala
  4. Ekor-ekor

Seperti yang Anda lihat, hanya ada pilihan. Dari jumlah tersebut, kami hanya puas. Artinya, kemungkinannya:

Jika kondisi hanya meminta Anda mencari peluang, maka jawabannya harus diberikan dalam bentuk pecahan desimal. Jika ditentukan bahwa jawabannya harus diberikan dalam persentase, maka kita kalikan dengan.

Menjawab:

Contoh 2.

Dalam sekotak coklat, semua coklat dikemas dalam satu bungkus yang sama. Namun, dari yang manis-manis - dengan kacang, dengan cognac, dengan ceri, dengan karamel, dan dengan nougat.

Berapa peluang terambilnya satu permen dan mendapat permen berisi kacang? Berikan jawaban Anda sebagai persentase.

Larutan:

Berapa banyak kemungkinan hasil yang ada? .

Artinya, jika Anda mengambil satu permen, itu akan menjadi salah satu yang tersedia di dalam kotak.

Berapa banyak hasil yang menguntungkan?

Karena kotaknya hanya berisi coklat dengan kacang.

Menjawab:

Contoh 3.

Di dalam sekotak balon. diantaranya berwarna putih dan hitam.

  1. Berapa peluang terambilnya bola putih?
  2. Kami menambahkan lebih banyak bola hitam ke dalam kotak. Berapakah peluang terambilnya bola putih sekarang?

Larutan:

a) Hanya ada bola di dalam kotak. Diantaranya berwarna putih.

Kemungkinannya adalah:

b) Sekarang ada lebih banyak bola di dalam kotak. Dan jumlah orang kulit putih yang tersisa sama banyaknya - .

Menjawab:

Kemungkinan total

Peluang semua kejadian yang mungkin terjadi sama dengan ().

Katakanlah ada bola merah dan hijau di dalam sebuah kotak. Berapa peluang terambilnya bola merah? Bola hijau? Bola merah atau hijau?

Peluang terambilnya bola merah

Bola hijau:

Bola merah atau hijau:

Seperti yang Anda lihat, jumlah semua kejadian yang mungkin sama dengan (). Memahami poin ini akan membantu Anda memecahkan banyak masalah.

Contoh 4.

Ada spidol di dalam kotak: hijau, merah, biru, kuning, hitam.

Berapa peluang terambilnya BUKAN spidol merah?

Larutan:

Mari kita hitung jumlahnya hasil yang menguntungkan.

BUKAN spidol merah, artinya hijau, biru, kuning atau hitam.

Peluang tidak terjadinya suatu peristiwa sama dengan dikurangi peluang terjadinya peristiwa tersebut.

Aturan untuk mengalikan peluang kejadian independen

Anda sudah tahu apa itu acara independen.

Bagaimana jika Anda perlu mencari peluang terjadinya dua (atau lebih) peristiwa independen secara berturut-turut?

Katakanlah kita ingin mengetahui berapa probabilitas jika kita melempar sebuah koin satu kali, kita akan melihat gambarnya dua kali?

Kami telah mempertimbangkan - .

Bagaimana jika kita melempar koin satu kali? Berapa peluang melihat elang dua kali berturut-turut?

Jumlah opsi yang memungkinkan:

  1. Elang-elang-elang
  2. Kepala-kepala-ekor
  3. Kepala-ekor-kepala
  4. Kepala-ekor-ekor
  5. Ekor-kepala-kepala
  6. Ekor-kepala-ekor
  7. Ekor-ekor-kepala
  8. Ekor-ekor-ekor

Saya tidak tahu tentang Anda, tetapi saya membuat kesalahan beberapa kali saat menyusun daftar ini. Wow! Dan satu-satunya pilihan (yang pertama) yang cocok untuk kita.

Untuk 5 lemparan, Anda dapat membuat sendiri daftar kemungkinan hasil. Namun matematikawan tidak pekerja keras seperti Anda.

Oleh karena itu, mereka pertama-tama memperhatikan dan kemudian membuktikan bahwa peluang suatu rangkaian kejadian independen tertentu setiap kali berkurang sebesar peluang satu kejadian.

Dengan kata lain,

Mari kita lihat contoh koin naas yang sama.

Kemungkinan mendapat tantangan? . Sekarang kita melempar koinnya satu kali.

Berapa peluang mendapatkan hasil berturut-turut?

Aturan ini tidak hanya berlaku jika kita diminta mencari peluang terjadinya peristiwa yang sama beberapa kali berturut-turut.

Jika kita ingin mencari barisan TAILS-HEADS-TAILS untuk pelemparan berturut-turut, kita akan melakukan hal yang sama.

Peluang terambilnya ekor adalah , kepala - .

Peluang terambilnya barisan TAILS-HEADS-TAILS-TAILS:

Anda bisa mengeceknya sendiri dengan membuat tabel.

Aturan untuk menambahkan probabilitas kejadian yang tidak kompatibel.

Jadi berhentilah! Definisi baru.

Mari kita cari tahu. Mari kita ambil koin kita yang sudah usang dan melemparkannya sekali.
Opsi yang memungkinkan:

  1. Elang-elang-elang
  2. Kepala-kepala-ekor
  3. Kepala-ekor-kepala
  4. Kepala-ekor-ekor
  5. Ekor-kepala-kepala
  6. Ekor-kepala-ekor
  7. Ekor-ekor-kepala
  8. Ekor-ekor-ekor

Jadi, peristiwa-peristiwa yang tidak sesuai adalah suatu rangkaian peristiwa yang pasti dan tertentu. - ini adalah peristiwa yang tidak kompatibel.

Jika kita ingin menentukan berapa peluang dua (atau lebih) kejadian yang tidak sesuai, maka kita tambahkan peluang kejadian tersebut.

Perlu Anda pahami bahwa head atau tail adalah dua peristiwa yang berdiri sendiri.

Jika kita ingin menentukan peluang terjadinya suatu barisan (atau barisan lainnya), maka kita menggunakan aturan mengalikan peluang.
Berapa peluang munculnya gambar kepala pada pelemparan pertama, dan hasil gambar pada pelemparan kedua dan ketiga?

Tetapi jika kita ingin mengetahui berapa probabilitas untuk mendapatkan salah satu dari beberapa urutan, misalnya ketika kepala muncul tepat satu kali, yaitu. pilihan dan, kemudian kita harus menjumlahkan probabilitas dari barisan ini.

Pilihan total cocok untuk kita.

Kita bisa mendapatkan hal yang sama dengan menjumlahkan peluang terjadinya setiap barisan:

Jadi, kita menambahkan probabilitas ketika kita ingin menentukan probabilitas dari rangkaian kejadian tertentu yang tidak konsisten.

Ada aturan bagus untuk membantu Anda menghindari kebingungan kapan harus mengalikan dan kapan harus menjumlahkan:

Mari kita kembali ke contoh di mana kita melempar koin satu kali dan ingin mengetahui probabilitas melihat kepala satu kali.
Apa yang akan terjadi?

Harus rontok:
(kepala DAN ekor DAN ekor) ATAU (ekor DAN kepala DAN ekor) ATAU (ekor DAN ekor DAN kepala).
Begini hasilnya:

Mari kita lihat beberapa contoh.

Contoh 5.

Ada pensil di dalam kotak. merah, hijau, oranye dan kuning dan hitam. Berapa peluang terambilnya pensil merah atau hijau?

Larutan:

Contoh 6.

Jika sebuah dadu dilempar dua kali, berapakah peluang munculnya mata dadu berjumlah 8?

Larutan.

Bagaimana kita bisa mendapatkan poin?

(dan) atau (dan) atau (dan) atau (dan) atau (dan).

Peluang terambilnya satu (setiap) wajah adalah .

Kami menghitung probabilitasnya:

Pelatihan.

Saya rasa sekarang Anda mengerti kapan Anda perlu menghitung probabilitas, kapan harus menjumlahkannya, dan kapan harus mengalikannya. Bukankah begitu? Mari berlatih sedikit.

Tugas:

Mari kita ambil setumpuk kartu yang berisi kartu termasuk sekop, hati, 13 tongkat, dan 13 berlian. Dari hingga As masing-masing setelan.

  1. Berapa peluang terambilnya tongkat secara berurutan (kita meletakkan kartu pertama yang ditarik kembali ke dalam tumpukan dan mengocoknya)?
  2. Berapa peluang terambilnya kartu hitam (sekop atau pentungan)?
  3. Berapa peluang terambilnya gambar (jack, queen, king atau ace)?
  4. Berapa peluang terambilnya dua gambar berturut-turut (kita mengeluarkan kartu pertama yang diambil dari tumpukan)?
  5. Berapa probabilitas, dengan mengambil dua kartu, untuk mengumpulkan kombinasi - (jack, queen atau king) dan kartu as?

Jawaban:

Jika Anda mampu menyelesaikan semua masalah sendiri, maka Anda hebat! Sekarang Anda akan memecahkan soal teori probabilitas dalam Ujian Negara Bersatu seperti orang gila!

TEORI PROBABILITAS. LEVEL RATA-RATA

Mari kita lihat sebuah contoh. Katakanlah kita melempar sebuah dadu. Tulang macam apa ini, tahukah kamu? Inilah yang mereka sebut kubus dengan angka di wajahnya. Berapa banyak wajah, begitu banyak angka: dari sampai berapa? Sebelum.

Jadi kita melempar dadu dan kita menginginkannya muncul atau. Dan kami mengerti.

Dalam teori probabilitas, mereka mengatakan apa yang terjadi peristiwa yang menguntungkan(jangan bingung dengan makmur).

Jika itu terjadi, acaranya juga akan menguntungkan. Secara total, hanya dua peristiwa menguntungkan yang bisa terjadi.

Berapa banyak yang tidak menguntungkan? Karena ada total kejadian yang mungkin terjadi, maka kejadian yang tidak menguntungkan adalah kejadian (ini jika atau rontok).

Definisi:

Probabilitas adalah perbandingan jumlah kejadian yang menguntungkan dengan jumlah semua kejadian yang mungkin terjadi. Artinya, probabilitas menunjukkan berapa proporsi semua kemungkinan kejadian yang menguntungkan.

Mereka menunjukkan probabilitas dengan huruf Latin (tampaknya dari kata bahasa Inggris probabilitas - probabilitas).

Merupakan kebiasaan untuk mengukur probabilitas sebagai persentase (lihat topik). Untuk melakukan ini, nilai probabilitas harus dikalikan. Dalam contoh dadu, probabilitas.

Dan dalam persentase: .

Contoh (putuskan sendiri):

  1. Berapa peluang munculnya kepala pada saat pelemparan sebuah koin? Berapa kemungkinan mendaratnya kepala?
  2. Berapa peluang terambilnya angka genap pada pelemparan sebuah dadu? Yang mana yang aneh?
  3. Di dalam kotak pensil sederhana, biru dan merah. Kami menggambar satu pensil secara acak. Berapa peluang terambilnya yang sederhana?

Solusi:

  1. Berapa banyak pilihan yang ada? Kepala dan ekor - hanya dua. Berapa banyak yang menguntungkan? Hanya satu yang seekor elang. Jadi kemungkinannya

    Sama halnya dengan ekor: .

  2. Pilihan total: (berapa banyak sisi yang dimiliki kubus, begitu banyak pilihan berbeda). Yang menguntungkan: (ini semua bilangan genap :).
    Kemungkinan. Tentu saja sama halnya dengan angka ganjil.
  3. Jumlah: . Menguntungkan: . Kemungkinan: .

Kemungkinan total

Semua pensil di dalam kotak berwarna hijau. Berapa peluang terambilnya pensil merah? Tidak ada peluang: probabilitas (bagaimanapun juga, peristiwa yang menguntungkan -).

Peristiwa seperti ini disebut mustahil.

Berapa peluang terambilnya pensil hijau? Jumlah peristiwa menguntungkan sama persis dengan jumlah peristiwa total (semua peristiwa menguntungkan). Jadi probabilitasnya sama dengan atau.

Peristiwa seperti ini disebut dapat diandalkan.

Jika sebuah kotak berisi pensil hijau dan merah, berapa peluang terambilnya pensil hijau atau merah? Sekali lagi. Perhatikan ini: peluang terambilnya warna hijau adalah sama, dan peluang terambilnya warna merah adalah sama.

Singkatnya, probabilitas ini sama persis. Itu adalah, jumlah peluang semua kejadian yang mungkin terjadi sama dengan atau.

Contoh:

Di dalam kotak pensil, di antaranya berwarna biru, merah, hijau, polos, kuning, dan selebihnya oranye. Berapa peluang terambilnya warna hijau?

Larutan:

Kami ingat bahwa semua kemungkinan bertambah. Dan kemungkinan menjadi hijau adalah sama. Artinya peluang tidak terambilnya warna hijau adalah sama.

Ingat trik ini: Peluang tidak terjadinya suatu peristiwa sama dengan dikurangi peluang terjadinya peristiwa tersebut.

Peristiwa bebas dan aturan perkalian

Anda melempar koin sekali dan ingin koin itu muncul dua kali. Seberapa besar kemungkinannya?

Mari kita lihat semua opsi yang memungkinkan dan tentukan berapa banyak yang ada:

Kepala-Kepala, Ekor-Kepala, Kepala-Ekor, Ekor-Ekor. Apa lagi?

Jumlah pilihan. Dari jumlah tersebut, hanya satu yang cocok untuk kita: Elang-Elang. Secara total, kemungkinannya sama.

Bagus. Sekarang mari kita melempar koin satu kali. Hitung sendiri. Telah terjadi? (menjawab).

Anda mungkin telah memperhatikan bahwa dengan penambahan setiap lemparan berikutnya, kemungkinannya berkurang setengahnya. Aturan umum disebut aturan perkalian:

Kemungkinan kejadian independen berubah.

Apa itu acara independen? Semuanya logis: inilah yang tidak bergantung satu sama lain. Misalnya, ketika kita melempar koin beberapa kali, setiap kali dilakukan lemparan baru, yang hasilnya tidak bergantung pada semua lemparan sebelumnya. Kita bisa dengan mudah melempar dua koin berbeda secara bersamaan.

Contoh lainnya:

  1. Dadu dilempar dua kali. Berapa peluang terambilnya kedua kali tersebut?
  2. Koin tersebut dilempar satu kali. Berapa probabilitas bahwa ia akan muncul pertama kali dan kemudian muncul dua kali?
  3. Pemain melempar dua dadu. Berapa peluang terambilnya angka-angka yang sama?

Jawaban:

  1. Peristiwa-peristiwa tersebut bersifat independen, yang berarti aturan perkalian berlaku: .
  2. Kemungkinan munculnya kepala adalah sama. Kemungkinan ekornya sama. Berkembang biak:
  3. 12 hanya dapat diperoleh jika dua -ki dilempar: .

Peristiwa yang tidak kompatibel dan aturan penambahan

Peristiwa yang saling melengkapi sampai pada titik kemungkinan penuh disebut tidak kompatibel. Seperti namanya, hal tersebut tidak bisa terjadi secara bersamaan. Misalnya, jika kita melempar koin, maka yang muncul adalah kepala atau ekor.

Contoh.

Di dalam kotak pensil, di antaranya berwarna biru, merah, hijau, polos, kuning, dan selebihnya oranye. Berapa peluang terambilnya warna hijau atau merah?

Solusi.

Peluang terambilnya pensil hijau adalah sama. Merah - .

Peristiwa yang menguntungkan secara keseluruhan: hijau + merah. Artinya peluang terambilnya warna hijau atau merah adalah sama.

Probabilitas yang sama dapat direpresentasikan dalam bentuk ini: .

Ini adalah aturan penjumlahan: kemungkinan kejadian yang tidak kompatibel bertambah.

Masalah tipe campuran

Contoh.

Koin tersebut dilempar sebanyak dua kali. Berapa peluang hasil pelemparannya berbeda?

Solusi.

Artinya, jika hasil pertama adalah kepala, maka hasil kedua harus ekor, dan sebaliknya. Ternyata ada dua pasang kejadian yang saling bebas, dan pasangan tersebut tidak cocok satu sama lain. Bagaimana agar tidak bingung dimana harus mengalikan dan dimana harus menambah.

Ada aturan sederhana untuk situasi seperti ini. Coba jelaskan apa yang akan terjadi dengan menggunakan kata sambung “DAN” atau “ATAU”. Misalnya dalam hal ini:

Seharusnya muncul (kepala dan ekor) atau (ekor dan kepala).

Jika ada konjungsi “dan” maka akan terjadi perkalian, dan jika ada “atau” maka akan terjadi penjumlahan:

Cobalah sendiri:

  1. Berapakah peluang jika sebuah mata uang logam dilempar dua kali, mata uang logam tersebut akan mendarat pada sisi yang sama pada kedua kali pelemparan tersebut?
  2. Dadu dilempar dua kali. Berapa peluang mendapatkan total poin?

Solusi:

Contoh lain:

Melempar koin satu kali. Berapa peluang munculnya kepala paling sedikit satu kali?

Larutan:

TEORI PROBABILITAS. SECARA SINGKAT TENTANG HAL-HAL UTAMA

Probabilitas adalah perbandingan jumlah kejadian yang menguntungkan dengan jumlah semua kejadian yang mungkin terjadi.

Acara independen

Dua kejadian dikatakan independen jika terjadinya salah satu kejadian tidak mengubah peluang terjadinya kejadian lainnya.

Kemungkinan total

Peluang semua kejadian yang mungkin terjadi sama dengan ().

Peluang tidak terjadinya suatu peristiwa sama dengan dikurangi peluang terjadinya peristiwa tersebut.

Aturan untuk mengalikan peluang kejadian independen

Peluang suatu rangkaian kejadian independen tertentu sama dengan hasil kali peluang setiap kejadian

Peristiwa yang tidak kompatibel

Peristiwa yang tidak kompatibel adalah peristiwa yang tidak mungkin terjadi secara bersamaan sebagai akibat dari suatu percobaan. Sejumlah peristiwa yang tidak kompatibel membentuk kelompok peristiwa yang lengkap.

Kemungkinan kejadian yang tidak kompatibel bertambah.

Setelah menjelaskan apa yang seharusnya terjadi, dengan menggunakan konjungsi “AND” atau “OR”, alih-alih “AND” kita beri tanda perkalian, dan sebagai ganti “OR” kita beri tanda penjumlahan.

Nah, topiknya sudah selesai. Jika Anda membaca baris-baris ini, itu berarti Anda sangat keren.

Karena hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu sendiri. Dan jika Anda membaca sampai akhir, Anda termasuk dalam 5% ini!

Sekarang hal yang paling penting.

Anda telah memahami teori tentang topik ini. Dan, saya ulangi, ini... ini luar biasa! Anda sudah lebih baik dari sebagian besar rekan Anda.

Masalahnya adalah ini mungkin tidak cukup...

Untuk apa?

Untuk berhasil lulus Ujian Negara Bersatu, untuk masuk perguruan tinggi dengan anggaran terbatas dan, YANG PALING PENTING, seumur hidup.

Saya tidak akan meyakinkan Anda tentang apa pun, saya hanya akan mengatakan satu hal...

Orang yang mendapat pendidikan yang baik memperoleh penghasilan lebih banyak daripada mereka yang tidak menerimanya. Ini adalah statistik.

Tapi ini bukanlah hal yang utama.

Yang penting mereka LEBIH BAHAGIA (ada penelitian seperti itu). Mungkin karena lebih banyak peluang terbuka di hadapan mereka dan kehidupan menjadi lebih cerah? Tidak tahu...

Tapi pikirkan sendiri...

Apa yang diperlukan untuk memastikan menjadi lebih baik dari orang lain dalam Ujian Negara Bersatu dan pada akhirnya menjadi... lebih bahagia?

DAPATKAN TANGAN ANDA DENGAN MEMECAHKAN MASALAH PADA TOPIK INI.

Anda tidak akan dimintai teori selama ujian.

Anda akan perlu memecahkan masalah melawan waktu.

Dan, jika Anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), Anda pasti akan membuat kesalahan bodoh di suatu tempat atau tidak punya waktu.

Ini seperti dalam olahraga - Anda harus mengulanginya berkali-kali agar bisa menang.

Temukan koleksinya di mana pun Anda mau, tentu dengan solusi, analisis rinci dan putuskan, putuskan, putuskan!

Anda dapat menggunakan tugas kami (opsional) dan tentu saja kami merekomendasikannya.

Untuk menjadi lebih baik dalam menggunakan tugas kami, Anda perlu membantu memperpanjang umur buku teks YouClever yang sedang Anda baca.

Bagaimana? Ada dua pilihan:

  1. Buka kunci semua tugas tersembunyi di artikel ini -
  2. Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di 99 artikel buku teks - Beli buku teks - 499 RUR

Ya, kami memiliki 99 artikel seperti itu di buku teks kami dan akses ke semua tugas dan semua teks tersembunyi di dalamnya dapat segera dibuka.

Akses ke semua tugas tersembunyi disediakan selama SELURUH umur situs.

Kesimpulannya...

Jika Anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Hanya saja, jangan berhenti pada teori.

“Dimengerti” dan “Saya bisa menyelesaikannya” adalah keterampilan yang sangat berbeda. Anda membutuhkan keduanya.

Temukan masalah dan selesaikan!