Untuk menyelesaikan soal geometri, Anda perlu mengetahui rumus - seperti luas segitiga atau luas jajar genjang - serta teknik sederhana yang akan kita bahas.

Pertama, mari kita pelajari rumus luas bangun datar. Kami telah mengumpulkannya secara khusus di meja yang nyaman. Cetak, pelajari, dan terapkan!

Tentu saja, tidak semua rumus geometri ada di tabel kami. Misalnya, untuk menyelesaikan soal geometri dan stereometri pada bagian kedua profil Ujian Negara Terpadu matematika, digunakan rumus lain untuk luas segitiga. Kami pasti akan memberi tahu Anda tentangnya.

Tetapi bagaimana jika Anda tidak perlu mencari luas trapesium atau segitiga, tetapi luas suatu bangun kompleks? Ada cara universal! Kami akan menunjukkannya menggunakan contoh dari bank tugas FIPI.

1. Bagaimana cara mencari luas bangun datar? Misalnya, segi empat sembarang? Teknik sederhananya - mari kita bagi angka ini menjadi angka-angka yang kita ketahui semuanya, dan temukan luasnya - sebagai jumlah luas angka-angka ini.

Bagilah segiempat dengan garis mendatar ini menjadi dua segitiga yang alasnya sama dengan . Ketinggian segitiga-segitiga ini sama dengan dan . Maka luas segi empat sama dengan jumlah luas kedua segitiga: .

Menjawab: .

2. Dalam beberapa kasus, luas suatu bangun dapat direpresentasikan sebagai selisih beberapa luas.

Tidak mudah untuk menghitung berapa alas dan tinggi segitiga ini! Namun kita dapat mengatakan bahwa luasnya sama dengan selisih luas persegi dengan salah satu sisinya dan tiga segitiga siku-siku. Apakah Anda melihatnya di gambar? Kita mendapatkan: .

Menjawab: .

3. Terkadang dalam suatu tugas Anda perlu mencari luas bukan seluruh bangun, tetapi sebagian. Biasanya kita berbicara tentang luas suatu bidang – bagian lingkaran.Cari luas bidang suatu lingkaran yang berjari-jari yang panjang busurnya sama dengan .

Pada gambar ini kita melihat bagian dari sebuah lingkaran. Luas seluruh lingkaran adalah . Masih mencari tahu bagian mana dari lingkaran yang digambarkan. Karena panjang seluruh lingkaran adalah sama (karena), dan panjang busur suatu sektor tertentu juga sama, maka panjang busur adalah satu kali lebih kecil dari panjang seluruh lingkaran. Sudut di mana busur ini berada juga merupakan faktor yang kurang dari satu lingkaran penuh (yaitu derajat). Artinya luas sektor akan beberapa kali lebih kecil dari luas seluruh lingkaran.

Pada artikel ini kita akan mengetahui cara menghitungnya persegi angka.

Anda dapat membandingkan luas bangun-bangun yang berbeda menggunakan metode overlay. Lihatlah gambarnya. Kita melihat dua bentuk: segitiga dan persegi panjang. Untuk membandingkannya, kita dapat menempatkan gambar yang lebih kecil ke gambar yang lebih besar. Segitiga tersebut pas sepenuhnya di dalam persegi panjang, yang berarti segitiga tersebut lebih kecil dari persegi panjang.

Namun tidak selalu mungkin untuk membandingkan luas bangun-bangun dengan cara ini. Kemudian Anda dapat membagi gambar tersebut menjadi kotak-kotak yang sama besar dan menghitung jumlah kotak yang termasuk dalam gambar tersebut.

Gambar menunjukkan dua sosok. Tidak mungkin membandingkan angka-angka ini dengan superposisi. Kami membagi angka-angka ini menjadi kotak-kotak dengan luas yang sama. Sekarang Anda dapat menghitung jumlah kotak yang termasuk dalam angka-angka ini. Gambar pertama muat 6 kotak, dan gambar kedua 8 kotak. Artinya, luas gambar pertama lebih kecil dari luas gambar kedua.

Suatu bangun sama dengan banyaknya persegi satuan yang menyusun bangun tersebut.

Jika sebuah persegi mempunyai panjang sisi 1 cm, maka luas persegi tersebut adalah 1 sentimeter persegi (cm 2).

Luas persegi yang panjang sisinya 1 desimeter adalah 1 desimeter persegi(dm 2) atau 100 sentimeter persegi (cm 2).

Luas suatu bangun dilambangkan dengan huruf latin kapital S.

Katakanlah kita perlu mencari luas persegi panjang yang panjang sisinya 6 dan 4 cm, bagilah persegi panjang tersebut menjadi sentimeter persegi dan hitung luasnya.

Jadi, kalikan panjang persegi panjang dengan lebarnya dan dapatkan luasnya:

S = 6 × 4 = 24 cm 2

Untuk menghitung , Anda perlu mengukur panjang dan lebarnya dalam satuan ukuran yang sama dan mencari hasil kali keduanya.

Jika luas persegi panjang dan lebarnya diketahui, maka mudah untuk mencari panjangnya; Anda perlu membagi luas dengan panjang yang diketahui.

D = S 1 W

atau

W = S − D

Misalnya luas suatu persegi panjang adalah 15 cm2. Panjang persegi panjang tersebut adalah 5 cm. Hitunglah lebarnya:

L = 15 5 = 3 cm

Jika bangun tersebut rumit, misalnya seperti pada gambar, maka Anda dapat menghitung luasnya dengan membagi bangun tersebut menjadi persegi panjang, menghitung luasnya, lalu menjumlahkan luas yang dihasilkan.

Jadi kita dapat membagi gambar kita menjadi dua persegi panjang: yang pertama luasnya 2 cm 2, dan yang kedua luasnya 8 cm 2:

S = 2 × 1 + 4 × 2 = 10 cm 2

Bagaimana cara menemukannya? Untuk melakukan ini, Anda perlu melengkapi segitiga menjadi persegi panjang, seperti yang ditunjukkan pada gambar.

Sekarang mari kita cari luas persegi panjang yang dihasilkan dan bagi menjadi dua:

S = (3 × 6) 2 = 9 cm 2

Segalanya tampak sederhana jika segitiga itu siku-siku. Jika suatu segitiga tidak mempunyai sudut siku-siku, maka luasnya dapat dihitung sebagai berikut:

Pada gambar berikutnya kita melihat sebuah segitiga, yang luasnya perlu kita hitung, disorot dengan warna kuning. Mari kita masukkan ke dalam persegi panjang, seperti yang ditunjukkan pada gambar. Panjang persegi panjang yang dihasilkan adalah 5 cm, lebarnya 4 cm. Titik sudut segitiga membagi panjang persegi panjang menjadi 3 dan 2 cm.

Sekarang, untuk mencari luas segitiga kita, kita perlu menghitung luas dua segitiga siku-siku yang dihasilkan dan menjumlahkannya:

S1 = (3×4) 2 = 6 cm 2

S2 = (2 × 4) 2 = 4 cm 2

S = S1 + S2 = 6 + 4 = 10 cm 2

Luas bangun geometri adalah nilai numerik yang mencirikan ukurannya dalam ruang dua dimensi. Nilai ini dapat diukur dalam satuan sistem dan non sistem. Jadi, misalnya, satuan luas non-sistemik adalah seperseratus, satu hektar. Hal ini terjadi jika permukaan yang diukur adalah sebidang tanah. Satuan sistem luas adalah kuadrat panjang. Dalam sistem SI, satuan luas permukaan datar adalah meter persegi. Dalam GHS, satuan luas dinyatakan dalam sentimeter persegi.

Rumus geometri dan luas saling terkait erat. Hubungan ini terletak pada kenyataan bahwa penghitungan luas bangun datar didasarkan tepat pada penerapannya. Untuk banyak gambar, beberapa opsi diturunkan dari mana dimensi perseginya dihitung. Berdasarkan data dari rumusan masalah, kita dapat menentukan solusi yang paling sederhana. Hal ini akan memudahkan perhitungan dan meminimalkan kemungkinan kesalahan perhitungan. Untuk melakukan ini, pertimbangkan bidang utama bentuk dalam geometri.

Rumus mencari luas segitiga apa pun disajikan dalam beberapa pilihan:

1) Luas segitiga dihitung dari alas a dan tinggi h. Basis dianggap sebagai sisi gambar yang tingginya diturunkan. Maka luas segitiga tersebut adalah:

2) Luas segitiga siku-siku dihitung dengan cara yang sama jika sisi miring dianggap alasnya. Jika kita mengambil kaki sebagai alasnya, maka luas segitiga siku-siku akan sama dengan hasil kali kaki-kakinya dibelah dua.

Rumus untuk menghitung luas segitiga apa pun tidak berakhir di situ. Ekspresi lain berisi sisi a,b dan fungsi sinusoidal dari sudut γ antara a dan b. Nilai sinus ditemukan di tabel. Anda juga bisa mengetahuinya menggunakan kalkulator. Maka luas segitiga tersebut adalah:

Dengan menggunakan persamaan ini, Anda juga dapat memastikan bahwa luas segitiga siku-siku ditentukan melalui panjang kaki-kakinya. Karena sudut γ merupakan sudut siku-siku, sehingga luas segitiga siku-siku dihitung tanpa dikalikan dengan fungsi sinus.

3) Pertimbangkan kasus khusus - segitiga beraturan, yang sisi anya diketahui dengan syarat atau panjangnya dapat ditemukan saat menyelesaikannya. Tidak ada lagi yang diketahui tentang gambar dalam soal geometri. Lalu bagaimana cara mencari luas pada kondisi seperti ini? Dalam hal ini, rumus luas segitiga beraturan diterapkan:

Persegi panjang

Bagaimana cara mencari luas persegi panjang dan menggunakan dimensi sisi-sisi yang mempunyai titik sudut yang sama? Ekspresi perhitungannya adalah:

Jika Anda perlu menggunakan panjang diagonal untuk menghitung luas persegi panjang, Anda memerlukan fungsi sinus sudut yang terbentuk pada perpotongannya. Rumus luas persegi panjang ini adalah:

Persegi

Luas persegi ditentukan sebagai pangkat dua dari panjang sisinya:

Buktinya mengikuti definisi bahwa persegi adalah persegi panjang. Semua sisi yang membentuk persegi mempunyai ukuran yang sama. Oleh karena itu, menghitung luas persegi panjang seperti itu berarti mengalikan satu dengan yang lain, yaitu pangkat kedua sisinya. Dan rumus menghitung luas persegi akan mengambil bentuk yang diinginkan.

Luas persegi dapat dicari dengan cara lain, misalnya menggunakan diagonal:

Bagaimana cara menghitung luas bangun datar yang dibentuk oleh bagian bidang yang dibatasi lingkaran? Untuk menghitung luas, rumusnya adalah:

Genjang

Untuk jajar genjang, rumusnya berisi dimensi linier sisi, tinggi, dan operasi matematika - perkalian. Jika tingginya tidak diketahui, lalu bagaimana cara mencari luas jajar genjang? Ada cara lain untuk menghitung. Diperlukan nilai tertentu, yang diambil dari fungsi trigonometri sudut yang dibentuk oleh sisi-sisi yang berdekatan, serta panjangnya.

Rumus luas jajar genjang adalah:

Belah ketupat

Bagaimana cara mencari luas segi empat yang disebut belah ketupat? Luas belah ketupat ditentukan dengan menggunakan matematika sederhana dengan diagonal. Pembuktiannya didasarkan pada kenyataan bahwa ruas diagonal pada d1 dan d2 berpotongan tegak lurus. Tabel sinus menunjukkan bahwa untuk sudut siku-siku fungsi ini sama dengan satu. Oleh karena itu, luas belah ketupat dihitung sebagai berikut:

Luas belah ketupat juga dapat dicari dengan cara lain. Hal ini juga tidak sulit untuk dibuktikan, mengingat panjang sisi-sisinya sama. Kemudian substitusikan hasil perkaliannya ke dalam ekspresi serupa untuk jajar genjang. Bagaimanapun, kasus khusus dari figur khusus ini adalah belah ketupat. Di sini γ adalah sudut dalam belah ketupat. Luas belah ketupat ditentukan sebagai berikut:

Trapesium

Bagaimana cara mencari luas trapesium melalui alas (a dan b), jika soal menunjukkan panjangnya? Di sini, tanpa nilai tinggi dan panjang h yang diketahui, tidak mungkin menghitung luas trapesium tersebut. Karena nilai ini berisi ekspresi untuk perhitungan:

Luas persegi trapesium persegi panjang juga dapat dihitung dengan cara yang sama. Perlu diperhatikan bahwa dalam trapesium persegi panjang, konsep tinggi dan sisi digabungkan. Oleh karena itu, untuk trapesium persegi panjang, Anda perlu menentukan panjang sisinya, bukan tingginya.

Silinder dan paralelepiped

Mari kita pertimbangkan apa yang diperlukan untuk menghitung permukaan seluruh silinder. Luas bangun datar ini adalah sepasang lingkaran yang disebut alas dan permukaan samping. Lingkaran yang membentuk lingkaran mempunyai panjang jari-jari sama dengan r. Untuk luas silinder dilakukan perhitungan sebagai berikut:

Bagaimana cara mencari luas jajar genjang yang terdiri dari tiga pasang muka? Pengukurannya cocok dengan pasangan tertentu. Wajah yang berlawanan memiliki parameter yang sama. Pertama, carilah S(1), S(2), S(3) - dimensi persegi dari sisi-sisi yang tidak sama. Maka luas permukaan parallelepiped adalah:

Cincin

Dua lingkaran yang mempunyai pusat yang sama membentuk sebuah cincin. Mereka juga membatasi luas cincin. Dalam hal ini, kedua rumus perhitungan memperhitungkan dimensi masing-masing lingkaran. Yang pertama, menghitung luas cincin, berisi jari-jari R yang lebih besar dan jari-jari r yang lebih kecil. Lebih sering mereka disebut eksternal dan internal. Dalam persamaan kedua, luas cincin dihitung melalui diameter D yang lebih besar dan diameter d yang lebih kecil. Jadi, luas cincin berdasarkan jari-jari yang diketahui dihitung sebagai berikut:

Luas cincin, dengan menggunakan panjang diameternya, ditentukan sebagai berikut:

Poligon

Bagaimana cara mencari luas poligon yang bentuknya tidak beraturan? Tidak ada rumus umum untuk luas bangun-bangun tersebut. Namun jika digambarkan pada bidang koordinat, misalnya kertas kotak-kotak, lalu bagaimana cara mencari luas permukaan dalam kasus ini? Di sini mereka menggunakan metode yang tidak memerlukan pengukuran angka secara kasar. Mereka melakukan ini: jika mereka menemukan titik-titik yang berada di sudut sel atau memiliki koordinat bilangan bulat, maka hanya titik tersebut yang diperhitungkan. Untuk kemudian mengetahui luasnya, gunakan rumus yang telah dibuktikan oleh Peake. Jumlah titik yang terletak di dalam garis putus-putus harus dijumlahkan dengan setengah titik terletak di atasnya, dan dikurangi satu, yaitu dihitung sebagai berikut:

dimana B, G - masing-masing jumlah titik yang terletak di dalam dan di seluruh garis putus-putus.

Integral pasti. Cara menghitung luas suatu bangun

Mari kita beralih ke penerapan kalkulus integral. Dalam pelajaran ini kita akan menganalisis tugas yang umum dan paling umum – cara menggunakan integral tertentu untuk menghitung luas bangun datar. Akhirnya, mereka yang mencari makna dalam matematika tingkat tinggi – semoga menemukannya. Kau tak pernah tahu. Dalam kehidupan nyata, Anda harus memperkirakan plot dacha menggunakan fungsi dasar dan mencari luasnya menggunakan integral tertentu.

Agar berhasil menguasai materi, Anda harus:

1) Memahami integral tak tentu setidaknya pada tingkat menengah. Oleh karena itu, orang bodoh harus membaca pelajarannya terlebih dahulu Bukan.

2) Mampu menerapkan rumus Newton-Leibniz dan menghitung integral tentu. Anda dapat menjalin hubungan persahabatan yang hangat dengan integral tertentu di halaman Integral pasti. Contoh solusi.

Sebenarnya, untuk mencari luas suatu bangun, Anda tidak memerlukan banyak pengetahuan tentang integral tak tentu dan integral pasti. Tugas “menghitung luas menggunakan integral tertentu” selalu melibatkan pembuatan gambar, jadi pengetahuan dan keterampilan menggambar Anda akan menjadi masalah yang jauh lebih mendesak. Berkaitan dengan hal tersebut, berguna untuk menyegarkan ingatan Anda tentang grafik fungsi dasar dasar, dan minimal mampu membuat garis lurus, parabola, dan hiperbola. Hal ini dapat dilakukan (bagi banyak orang, hal ini perlu) dengan bantuan materi metodologis dan artikel tentang transformasi geometri grafik.

Sebenarnya semua orang sudah familiar dengan tugas mencari luas menggunakan integral tertentu sejak sekolah, dan kita tidak akan membahas lebih jauh dari kurikulum sekolah. Artikel ini mungkin tidak ada sama sekali, tetapi faktanya masalahnya terjadi pada 99 dari 100 kasus, ketika seorang siswa menderita sekolah yang dibenci dan dengan antusias menguasai mata pelajaran matematika yang lebih tinggi.

Materi workshop ini disajikan secara sederhana, detail dan minim teori.

Mari kita mulai dengan trapesium melengkung.

Trapesium lengkung adalah bangun datar yang dibatasi oleh sumbu, garis lurus, dan grafik suatu fungsi kontinu pada suatu interval yang tidak berubah tanda pada interval tersebut. Biarkan angka ini ditemukan tidak kurang sumbu x:

Kemudian luas trapesium lengkung secara numerik sama dengan integral tertentu. Setiap integral tertentu (yang ada) mempunyai arti geometri yang sangat baik. Di pelajaran Integral pasti. Contoh solusi Saya mengatakan bahwa integral tertentu adalah bilangan. Dan sekarang saatnya menyatakan fakta bermanfaat lainnya. Dari sudut pandang geometri, integral tentu adalah AREA.

Itu adalah, integral tertentu (jika ada) secara geometris bersesuaian dengan luas suatu bangun tertentu. Misalnya, pertimbangkan integral tertentu. Integran mendefinisikan suatu kurva pada bidang yang terletak di atas sumbu (siapa pun dapat membuat gambar), dan integral tertentu itu sendiri secara numerik sama dengan luas trapesium lengkung yang bersangkutan.

Contoh 1

Ini adalah pernyataan tugas yang khas. Poin pertama dan terpenting dalam pengambilan keputusan adalah pembuatan gambar. Selain itu, gambarnya harus dibuat BENAR.

Saat membuat gambar, saya merekomendasikan urutan berikut: pertama lebih baik membuat semua garis lurus (jika ada) dan hanya Kemudian– parabola, hiperbola, grafik fungsi lainnya. Lebih menguntungkan untuk membuat grafik fungsi poin demi poin, teknik konstruksi titik demi titik dapat ditemukan pada bahan referensi Grafik dan sifat-sifat fungsi dasar. Di sana Anda juga dapat menemukan materi yang sangat berguna untuk pelajaran kita - cara cepat membuat parabola.

Dalam masalah ini, solusinya mungkin terlihat seperti ini.
Mari kita menggambarnya (perhatikan bahwa persamaan mendefinisikan sumbu):

Saya tidak akan membuat bayangan trapesium melengkung; di sini jelas area mana yang sedang kita bicarakan. Solusinya berlanjut seperti ini:

Pada segmen tersebut terdapat grafik fungsi di atas sumbu, Itu sebabnya:

Menjawab:

Yang mengalami kesulitan dalam menghitung integral tentu dan menerapkan rumus Newton-Leibniz , lihat kuliahnya Integral pasti. Contoh solusi.

Setelah tugas selesai, selalu berguna untuk melihat gambarnya dan mencari tahu apakah jawabannya nyata. Dalam hal ini, kami menghitung jumlah sel dalam gambar "dengan mata" - yah, akan ada sekitar 9, sepertinya benar. Sangat jelas bahwa jika kita mendapat, katakanlah, jawabannya: 20 unit persegi, maka jelas ada kesalahan yang terjadi di suatu tempat - 20 sel jelas tidak sesuai dengan gambar yang dimaksud, paling banyak selusin. Jika jawabannya negatif, maka tugas tersebut juga diselesaikan dengan salah.

Contoh 2

Menghitung luas bangun yang dibatasi oleh garis,, dan sumbu

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Apa yang harus dilakukan jika ada trapesium melengkung di bawah poros?

Contoh 3

Hitung luas bangun yang dibatasi garis dan sumbu koordinat.

Larutan: Mari kita membuat gambar:

Jika terdapat trapesium lengkung di bawah poros(atau setidaknya tidak lebih tinggi sumbu tertentu), maka luasnya dapat dicari dengan rumus:
Pada kasus ini:

Perhatian! Kedua jenis tugas ini tidak boleh disamakan:

1) Jika Anda diminta menyelesaikan integral tertentu tanpa makna geometri apa pun, maka integral tersebut mungkin negatif.

2) Jika diminta mencari luas suatu bangun dengan menggunakan integral tertentu, maka luasnya selalu positif! Itu sebabnya minus muncul pada rumus yang baru saja dibahas.

Dalam praktiknya, paling sering gambar tersebut terletak di setengah bidang atas dan bawah, dan oleh karena itu, dari soal sekolah yang paling sederhana, kita beralih ke contoh yang lebih bermakna.

Contoh 4

Hitunglah luas bangun datar yang dibatasi oleh garis , .

Larutan: Pertama, Anda perlu menyelesaikan gambarnya. Secara umum, ketika membuat gambar dalam soal luas, kita paling tertarik pada titik potong garis. Mari kita cari titik potong parabola dan garis lurus. Hal ini dapat dilakukan dengan dua cara. Metode pertama adalah analitis. Kami memecahkan persamaan:

Artinya batas bawah integrasi adalah , batas atas integrasi adalah .
Jika memungkinkan, lebih baik tidak menggunakan cara ini..

Jauh lebih menguntungkan dan lebih cepat untuk membangun garis titik demi titik, dan batas integrasi menjadi jelas “dengan sendirinya”. Teknik konstruksi titik demi titik untuk berbagai grafik dibahas secara rinci dalam bantuan Grafik dan sifat-sifat fungsi dasar. Namun demikian, metode analitis untuk mencari limit terkadang masih harus digunakan jika, misalnya, grafiknya cukup besar, atau konstruksi detailnya tidak mengungkapkan limit integrasi (bisa berupa pecahan atau irasional). Dan kami juga akan mempertimbangkan contoh seperti itu.

Mari kita kembali ke tugas kita: lebih rasional untuk membuat garis lurus terlebih dahulu, baru kemudian parabola. Mari kita membuat gambarnya:

Saya ulangi bahwa ketika membangun secara pointwise, batas integrasi paling sering ditemukan “secara otomatis”.

Dan sekarang rumus kerjanya: Jika terdapat fungsi kontinu pada segmen tersebut lebih dari atau sama dengan suatu fungsi kontinu , maka luas bangun yang dibatasi oleh grafik fungsi tersebut dan garis , , dapat dicari dengan menggunakan rumus:

Di sini Anda tidak perlu lagi memikirkan di mana letak gambar tersebut - di atas sumbu atau di bawah sumbu, dan, secara kasar, yang penting grafik mana yang LEBIH TINGGI(relatif terhadap grafik lain), dan mana yang DI BAWAH.

Pada contoh yang dibahas, terlihat jelas bahwa pada ruas parabola terletak di atas garis lurus, oleh karena itu perlu dilakukan pengurangan dari

Solusi lengkapnya mungkin terlihat seperti ini:

Bentuk yang diinginkan dibatasi oleh parabola di atas dan garis lurus di bawah.
Di segmen tersebut, sesuai dengan rumus yang sesuai:

Menjawab:

Faktanya, rumus sekolah untuk luas trapesium lengkung pada setengah bidang bawah (lihat contoh sederhana No. 3) merupakan kasus khusus dari rumus tersebut. . Karena sumbu ditentukan oleh persamaan, dan grafik fungsinya berada tidak lebih tinggi kapak, kalau begitu

Dan sekarang beberapa contoh untuk solusi Anda sendiri

Contoh 5

Contoh 6

Temukan luas gambar yang dibatasi oleh garis , .

Saat menyelesaikan soal penghitungan luas menggunakan integral tertentu, terkadang terjadi kejadian lucu. Gambarnya dibuat dengan benar, perhitungannya benar, tetapi karena kecerobohan... ditemukan luas bangun yang salah, inilah tepatnya yang dilakukan hambamu yang rendah hati beberapa kali. Inilah kasus kehidupan nyata:

Contoh 7

Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis , , , .

Larutan: Pertama, mari kita buat gambarnya:

...Eh, gambarnya jelek sekali, tapi sepertinya semuanya bisa terbaca.

Gambar yang luasnya perlu kita cari diberi warna biru(perhatikan baik-baik kondisinya - betapa terbatasnya angka tersebut!). Namun dalam prakteknya, karena kurang perhatian, sering terjadi “kesalahan” sehingga Anda perlu mencari luas bangun yang diarsir warna hijau!

Contoh ini juga berguna karena menghitung luas suatu bangun menggunakan dua integral tertentu. Benar-benar:

1) Pada ruas di atas sumbu terdapat grafik garis lurus;

2) Pada ruas di atas sumbu terdapat grafik hiperbola.

Jelas sekali bahwa area tersebut dapat (dan harus) ditambahkan, oleh karena itu:

Menjawab:

Mari beralih ke tugas penting lainnya.

Contoh 8

Menghitung luas bangun yang dibatasi garis,
Mari kita sajikan persamaan dalam bentuk “sekolah” dan buatlah gambar poin demi poin:

Dari gambar tersebut terlihat jelas bahwa batas atas kita “baik”: .
Tapi berapa batas bawahnya?! Jelas bahwa ini bukan bilangan bulat, tapi apa itu? Mungkin ? Tapi di manakah jaminan bahwa gambar itu dibuat dengan akurasi yang sempurna, bisa jadi... Atau akarnya. Bagaimana jika kita salah membuat grafik?

Dalam kasus seperti itu, Anda harus meluangkan waktu tambahan dan memperjelas batasan integrasi secara analitis.

Mari kita cari titik potong garis lurus dan parabola.
Untuk melakukan ini, kita selesaikan persamaan:


,

Benar-benar, .

Penyelesaian selanjutnya adalah hal yang sepele, yang utama jangan sampai bingung dalam substitusi dan tanda; perhitungan di sini bukan yang paling sederhana.

Di segmen tersebut , menurut rumus yang sesuai:

Menjawab:

Nah, sebagai penutup pelajaran, mari kita lihat dua tugas yang lebih sulit.

Contoh 9

Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis , ,

Larutan: Mari kita gambarkan sosok ini dalam gambar.

Sial, saya lupa menandatangani jadwalnya, dan maaf, saya tidak ingin mengulang gambarnya. Bukan hari menggambar, singkatnya, hari ini adalah harinya =)

Untuk konstruksi titik demi titik, kenampakan sinusoidal perlu diketahui (dan secara umum berguna untuk mengetahui grafik semua fungsi dasar), serta beberapa nilai sinus, dapat ditemukan di tabel trigonometri. Dalam beberapa kasus (seperti dalam kasus ini), dimungkinkan untuk membuat gambar skema, di mana grafik dan batas integrasi pada dasarnya harus ditampilkan dengan benar.

Tidak ada masalah dengan batas integrasi di sini; mereka mengikuti langsung dari kondisi: “x” berubah dari nol menjadi “pi”. Mari kita buat keputusan lebih lanjut:

Pada segmen tersebut grafik fungsinya terletak di atas sumbu, oleh karena itu:

Kita harus menghadapi konsep seperti area dalam kehidupan kita sehari-hari. Jadi, misalnya saat membangun rumah, Anda perlu mengetahuinya agar bisa menghitung jumlah material yang dibutuhkan. Besar kecilnya petak taman juga akan ditandai dengan luasnya. Bahkan renovasi pada sebuah apartemen tidak dapat dilakukan tanpa definisi ini. Oleh karena itu, pertanyaan tentang cara mencari luas persegi panjang sangat sering muncul dan penting tidak hanya bagi anak sekolah.

Bagi yang belum tahu, persegi panjang adalah bangun datar yang sisi-sisinya berhadapan sama besar dan sudutnya 90 derajat. Untuk menyatakan luas dalam matematika digunakan huruf bahasa Inggris S. Diukur dalam satuan persegi: meter, sentimeter, dan sebagainya.

Sekarang kami akan mencoba memberikan jawaban detail atas pertanyaan bagaimana cara mencari luas persegi panjang. Ada beberapa cara untuk menentukan nilai ini. Paling sering kita menjumpai metode menentukan luas dengan menggunakan lebar dan panjang.

Mari kita ambil sebuah persegi panjang dengan lebar b dan panjang k. Untuk menghitung luas persegi panjang tertentu, Anda perlu mengalikan lebar dengan panjangnya. Semua ini dapat direpresentasikan dalam bentuk rumus yang akan terlihat seperti ini: S = b * k.

Sekarang mari kita lihat metode ini menggunakan contoh spesifik. Perlu ditentukan luas sebidang kebun dengan lebar 2 meter dan panjang 7 meter.

S = 2 * 7 = 14 m2

Dalam matematika, khususnya matematika, kita harus menentukan luas dengan cara lain, karena dalam banyak kasus kita tidak mengetahui panjang atau lebar persegi panjang. Pada saat yang sama, ada besaran lain yang diketahui. Bagaimana cara mencari luas persegi panjang dalam kasus ini?

• Jika kita mengetahui panjang diagonal dan salah satu sudut yang membentuk diagonal dengan salah satu sisi persegi panjang, maka dalam hal ini kita perlu mengingat luasnya dua segitiga siku-siku yang sama besar. Jadi, mari kita kembali ke nilai yang ditentukan. Pertama, Anda perlu menentukan kosinus sudut. Kalikan nilai yang dihasilkan dengan panjang diagonal. Hasilnya, kita mendapatkan panjang salah satu sisi persegi panjang. Demikian pula, tetapi dengan menggunakan definisi sinus, Anda dapat menentukan panjang sisi kedua. Bagaimana cara mencari luas persegi panjang sekarang? Ya, sederhana sekali, kalikan nilai yang dihasilkan.

Dalam bentuk rumusnya akan terlihat seperti ini:

S = cos(a) * sin(a) * d2, dimana d adalah panjang diagonalnya

• Cara lain untuk menentukan luas persegi panjang adalah melalui lingkaran yang terdapat di dalamnya. Digunakan jika persegi panjang berbentuk persegi. Untuk menggunakan cara ini, Anda perlu mengetahui Bagaimana cara menghitung luas persegi panjang dengan cara ini? Tentu saja sesuai rumus. Kami tidak akan membuktikannya. Dan tampilannya seperti ini: S = 4 * r2, dimana r adalah jari-jarinya.

Kebetulan alih-alih jari-jari, kita mengetahui diameter lingkaran yang tertulis. Maka rumusnya akan terlihat seperti ini:

S=d2, di mana d adalah diameternya.

• Jika salah satu sisi dan kelilingnya diketahui, lalu bagaimana cara mengetahui luas persegi panjang dalam kasus ini? Untuk melakukan ini, Anda perlu melakukan serangkaian perhitungan sederhana. Seperti yang kita ketahui, sisi-sisi yang berhadapan pada suatu persegi panjang adalah sama besar, sehingga panjang yang diketahui dikalikan dua harus dikurangi dengan nilai kelilingnya. Bagilah hasilnya dengan dua dan dapatkan panjang sisi kedua. Nah, selanjutnya teknik standarnya adalah dengan mengalikan kedua sisinya dan mendapatkan luas persegi panjang tersebut. Dalam bentuk rumusnya akan terlihat seperti ini:

S=b* (P - 2*b), dengan b adalah panjang sisinya, P adalah kelilingnya.

Seperti yang Anda lihat, luas persegi panjang dapat ditentukan dengan berbagai cara. Itu semua tergantung pada jumlah yang kita ketahui sebelum mempertimbangkan masalah ini. Tentu saja, metode kalkulus terkini praktis tidak pernah ditemui dalam kehidupan, namun dapat berguna untuk memecahkan banyak masalah di sekolah. Mungkin artikel ini bermanfaat untuk mengatasi masalah Anda.