Apa yang dimaksud dengan fungsi genap, periodik, monotonik. Batas-batas fungsi monotonik Kondisi yang cukup bagi suatu fungsi untuk menjadi monotonik pada suatu interval

Penerapan turunan dalam studi fungsi.

§1. Menambah dan mengurangi fungsi.

Teorema (kriteria monotonisitas suatu fungsi terdiferensiasi). Biarkan fungsi tersebut kontinu pada interval tersebut
dan terdiferensiasi pada semua titik interiornya. Kemudian:

Agar suatu fungsi meningkat secara monoton, hal itu perlu dan cukup

0;

Agar suatu fungsi menurun secara monoton, hal itu perlu dan cukup (a,c)
0;

Agar suatu fungsi menjadi konstan, maka itu perlu dan cukup (a,c)
=0.

Dokumen. Mari kita buktikan kecukupan fungsi yang meningkat. Mari kita pilih poin acak
. Menurut teorema Lagrange, ada benarnya

, seperti yang . Karena maka kedua faktor di sisi kanan adalah non-negatif
, yaitu
. Oleh karena itu, fungsinya meningkat secara monoton.

Mari kita buktikan perlunya fungsi yang meningkat. Biarkan f (X) – meningkat secara monoton. Kemudian
, karena itu
V (a,c).

Untuk fungsi menurun, pembuktiannya serupa.

Mari kita buktikan perlunya fungsi konstan. Jika F(X)= konstanta V (a,c), Itu
.

Mari kita buktikan kecukupan fungsi konstan. Membiarkan
V (A, B) . Terlebih lagi
V (A, B) . Kemudian, berdasarkan bukti di atas, fungsi tersebut meningkat secara monoton (A, B) , yaitu . Di sisi lain, jika
V (A, B) , terlebih lagi
V (A, B) . Kemudian, berdasarkan bukti di atas, fungsinya menurun secara monoton (A, B) , yaitu . Pemenuhan syarat-syarat ini secara simultan hanya mungkin jika
.▲

Contoh. Temukan interval monotonisitas suatu fungsi
.

Mari kita cari turunannya
. Jelasnya, bila turunannya
, fungsinya semakin meningkat. Pada
turunan
, fungsinya menurun.

§2. Ekstrem suatu fungsi.

Biarkan fungsinya
diberikan pada interval tersebut
.

ODA. Dot disebut titik maksimum lokal dari fungsi tersebut F(X)
.

ODA. Dot disebut titik minimum lokal dari fungsi tersebut F(X) , jika di beberapa lingkungannya kondisi berikut terpenuhi:
.

Nilai fungsi pada titik minimum dan maksimum lokal disebut minimum dan maksimum fungsi tersebut. Minimum dan maksimum suatu fungsi digabungkan menjadi konsep “fungsi ekstrem”

(ekstra F).

Perhatikan perbedaan antara ekstrem lokal dan global.

Teorema (kondisi yang diperlukan untuk ekstrem lokal). Jika fungsi yang didiferensiasikan mempunyai titik ekstrem , maka turunannya pada titik ini sama dengan nol:
.

Dokter. Jika adalah titik ekstrem dari fungsi terdiferensiasi, maka terdapat lingkungan tertentu pada titik tersebut yang memenuhi syarat teorema Fermat. Lalu turunannya
.

Komentar. Suatu fungsi juga dapat memiliki titik ekstrem pada titik-titik yang tidak dapat terdiferensiasi (jika titik-titik tersebut termasuk dalam domain definisi). Misalnya saja fungsinya
memiliki titik ekstrem pada titik tersebut x=0, tetapi tidak dapat dibedakan di dalamnya.

Titik yang turunannya nol atau tidak ada disebut tidak bergerak atau kritis titik. Berdasarkan teorema bahwa titik ekstrem lokal suatu fungsi adalah titik kritisnya. Pernyataan sebaliknya tidak benar. Misalnya saja fungsinya
memiliki turunan non-negatif, yaitu meningkat sepanjang seluruh sumbu numerik, oleh karena itu tidak memiliki titik ekstrem. Dalam waktu yang bersamaan,
adalah titik kritisnya.

Teorema (kondisi cukup untuk ekstrem lokal). Jika, saat melewati titik kritis turunan fungsi terdiferensiasi tersebut berubah tanda dari “+” menjadi “-”, maka - titik maksimum lokal, jika dari “-” ke “+”, maka - titik minimum lokal.

Dokter. Berdasarkan kondisi monotonisitas yang cukup, fungsinya bertambah ke kiri dan mengecil dari kanan, maka karena kelangsungan fungsinya, adalah titik maksimum. Alasan serupa untuk minimum.

Komentar. Jika turunannya tidak berubah tanda ketika melewati titik kritis, maka tidak ada ekstrem dari fungsi tersebut pada titik tersebut.

Teorema (2 kondisi cukup untuk ekstrem lokal). Agar suatu fungsi mempunyai maksimum (minimum) lokal pada suatu titik kritis , cukuplah bahwa di beberapa lingkungan titik ini terdapat turunan kedua kontinu dan
(
).

(tanpa dokumen).

Contoh. Temukan ekstrem dari fungsinya
;

Turunannya:
.

Mari kita tentukan titik kritisnya:
,
- titik kritis.

Mari kita tentukan tanda turunannya di sekitar titik kritis.

- poin minimum,
- fungsi minimum;

- titik maksimum,
- Fungsi maksimal.

§3. Nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi pada suatu segmen.

Saat menyelesaikan masalah terapan, mungkin perlu mencari ekstrem global suatu fungsi pada interval tertentu. Jika interval ini berupa segmen, maka fungsinya dapat mencapai titik ekstrem baik di titik ekstrem maupun di ujung segmen.

Contoh. Temukan nilai terbesar dari suatu fungsi
pada segmen tersebut
.

Larutan. Fungsi ini kontinu pada suatu segmen tertentu (karena penyebutnya tidak hilang), dan oleh karena itu dapat mengambil nilai ekstrem baik di titik ekstrem maupun di ujung segmen. Mari kita hitung turunannya:

. Maka titik kritisnya adalah poinnya x=0 Dan x=-2. Segmen ini hanya berisi satu titik x=0. Mari kita hitung nilai fungsi di titik ekstrem dan di ujung ruas:

,
,
. Membandingkan nilai-nilai ini, kami menyimpulkan bahwa nilai fungsi tertinggi dicapai pada titik tersebut x=0.

§4. Konveksitas fungsi. Titik belok.

Def. Suatu fungsi disebut cembung ke atas (cembung) pada interval X jika
. Grafik suatu fungsi cembung pada interval X terletak di atas salah satu garis potongnya (dan di bawah salah satu garis singgungnya) pada interval ini.

Definisi fungsi cembung ke bawah (cekung) diperkenalkan dengan cara yang sama.

cembung (atas) cekung (cembung ke bawah)

Teorema (kriteria konveksitas suatu fungsi). Biarkan fungsinya
terdiferensiasi dalam intervalnya (a,c). Maka agar fungsinya cembung ke bawah perlu dan cukup itu
meningkat secara monoton selama interval ini. Agar suatu fungsi menjadi cembung ke atas, itu perlu dan cukup
menurun secara monoton selama interval ini.

Akibat wajar (kondisi yang cukup untuk konveksitas). Jika turunan kedua suatu fungsi yang terdiferensiasi dua kali adalah non-negatif (non-positif) dalam suatu interval tertentu, maka fungsi tersebut cembung ke bawah (ke atas) pada interval tersebut.

ODA. Titik-titik di mana grafik suatu fungsi berubah arah konveksitasnya disebut titik belok grafik fungsi tersebut.

Absis titik belok merupakan titik ekstrem turunan pertama.

Teorema (kondisi yang diperlukan untuk titik belok). Turunan kedua fungsi terdiferensiasi dua kali pada titik belok sama dengan nol:
.

Absis titik-titik yang memenuhi kondisi yang diperlukan disebut titik kritis jenis kedua. Jika terjadi infleksi pada grafik, maka hanya pada titik tersebut.

Teorema (kondisi cukup untuk titik belok). Membiarkan
- dua kali terdiferensiasi dalam interval tersebut (a,c). Lalu turunan kedua ketika melewati titik kritis jenis kedua tanda berubah, lalu tunjuk
adalah titik belok grafik fungsi.

Komentar. Jika tanda turunan keduanya tidak berubah, maka tidak ada infleksi pada grafik di titik tersebut.

Contoh.
,
;
- titik belok.

Jadi, untuk mencari interval konveksitas suatu fungsi, Anda memerlukan:

1. Temukan turunan kedua dari fungsi tersebut.

2. Temukan titik-titiknya
atau tidak ada.

3. Selidiki tanda turunan kedua di kiri dan kanan titik yang ditemukan dan tarik kesimpulan tentang arah titik cembung dan belok berdasarkan kondisi cukup.

§5. Asimtot grafik suatu fungsi.

Grafik beberapa fungsi terletak pada bidang sedemikian rupa sehingga pada jarak tak terbatas dari titik asal, mendekati garis lurus tertentu tanpa batas, tetapi tidak memotongnya. Garis seperti ini disebut asimtot fungsi.

Asimtotnya bisa horizontal, vertikal, atau miring.

Lurus kamu= A disebut asimtot horizontal grafik fungsi kamu= F(X)
.

Lurus X= B disebut asimtot vertikal grafik fungsi kamu= F(X) , jika ada batas yang terbatas
.

Asimtot vertikal harus dicari pada titik diskontinuitas fungsi atau pada ujung domain definisi.

Jika suatu fungsi tidak memiliki asimtot horizontal, maka fungsi tersebut mungkin memiliki asimtot miring.

Asimtot miring pada grafik suatu fungsi ada jika terdapat bilangan berhingga Ke Dan V, dihitung dengan rumus:

,
. Kemudian asimtot miring diberikan oleh persamaan kamu= kx+ B. Jika setidaknya salah satu angkanya Ke Dan V tidak tepat, maka grafik fungsi tersebut tidak mempunyai asimtot miring.

§6. Skema umum penelitian fungsi.

SAYA. 1. Ruang lingkup definisi.

2. Titik potong dengan sumbu koordinat.

3. Paritas.

4. Frekuensi.

5. kontinuitas.

6. Asimtot.

II. 7. Monoton.

8. Titik ekstrem, ekstrem.

10. Titik belok grafik.

IV.sebelas. Poin tambahan.

12. Membangun grafik.

Yang tidak berubah tanda, yaitu selalu non-negatif atau selalu non-positif. Jika pertambahan tidak sama dengan nol, maka fungsi tersebut dipanggil sangat monoton. Fungsi monotonik adalah fungsi yang perubahannya searah.

Suatu fungsi bertambah jika nilai argumen yang lebih besar berhubungan dengan nilai fungsi yang lebih besar. Suatu fungsi berkurang jika nilai argumen yang lebih besar berhubungan dengan nilai fungsi yang lebih kecil.

Definisi

Biarkan fungsinya diberikan

. . . .

Fungsi (secara ketat) naik atau turun disebut (secara ketat) monotonik.

Terminologi lain

Terkadang fungsi yang meningkat disebut tidak menurun, dan penurunan fungsi tidak meningkat. Fungsi yang meningkat secara ketat disebut fungsi yang meningkat, dan fungsi yang sangat menurun disebut fungsi yang menurun.

Sifat-sifat fungsi monotonik

Kondisi suatu fungsi menjadi monotonik

Secara umum, hal sebaliknya tidak benar. Turunan dari fungsi yang sangat monoton bisa hilang. Akan tetapi, himpunan titik yang turunannya tidak sama dengan nol harus padat pada intervalnya

Demikian pula, penurunan ketat pada suatu interval jika dan hanya jika dua kondisi berikut terpenuhi:

Contoh

Lihat juga

Yayasan Wikimedia. 2010.

Lihat apa itu “Fungsi Monoton” di kamus lain:

Fungsi monoton- adalah fungsi f(x), yang dapat meningkat pada interval tertentu (yaitu, semakin besar nilai argumen pada interval ini, semakin besar nilai fungsinya), atau menurun (dalam kasus sebaliknya) .... ...

Suatu fungsi yang, ketika argumennya bertambah, selalu bertambah (atau setidaknya tidak berkurang), atau selalu berkurang (tidak bertambah) ... Kamus Ensiklopedis Besar

- (fungsi monoton) Suatu fungsi yang, seiring bertambahnya nilai argumen, nilai fungsi selalu berubah ke arah yang sama. Oleh karena itu, jika y=f(x), maka dy/dx 0 untuk semua nilai x, dalam hal ini y meningkat... ... Kamus ekonomi

- (dari bahasa Yunani monótonos monokromatik) suatu fungsi yang pertambahannya Δf(x) = f(x') f(x) untuk Δx = x' x > 0 tidak berubah tanda, yaitu selalu non-negatif atau selalu non-positif. Untuk mengungkapkannya tidak sepenuhnya tepat, M.f. ini adalah fungsi yang berubah di... ... Ensiklopedia Besar Soviet

Suatu fungsi yang, ketika argumennya bertambah, selalu bertambah (atau setidaknya tidak berkurang), atau selalu berkurang (tidak bertambah). * * * FUNGSI MONOTONE FUNGSI MONOTONE, suatu fungsi yang jika argumennya bertambah, selalu bertambah (atau... ... kamus ensiklopedis

Suatu fungsi dari satu variabel, yang didefinisikan pada subset bilangan real tertentu, kenaikan grupnya tidak berubah tanda, yaitu selalu nonnegatif atau selalu nonpositif. Jika lebih besar (kurang dari) nol, maka M.f. ditelepon... ... Ensiklopedia Matematika

Suatu fungsi yang, ketika argumennya bertambah, selalu bertambah (atau setidaknya tidak berkurang), atau selalu berkurang (tidak bertambah) ... Ilmu pengetahuan Alam. kamus ensiklopedis

Ini adalah barisan yang elemen-elemennya tidak berkurang seiring bertambahnya bilangan, atau sebaliknya, tidak bertambah. Urutan seperti itu sering dijumpai dalam penelitian dan memiliki sejumlah ciri khas dan sifat tambahan.... ... Wikipedia

fungsi- Sebuah tim atau sekelompok orang, dan alat atau sumber daya lain yang mereka gunakan untuk melakukan satu atau lebih proses atau aktivitas. Misalnya, dukungan pelanggan. Istilah ini juga mempunyai arti lain: ... ... Panduan Penerjemah Teknis

Fungsi- 1. Variabel terikat; 2. Korespondensi y=f(x) antara besaran variabel, yang karenanya setiap nilai yang dipertimbangkan dari suatu besaran x (argumen atau variabel bebas) bersesuaian dengan nilai tertentu... ... Kamus ekonomi dan matematika

Pengertian fungsi naik dan turun

Misalkan \(y = f\left(x \right)\) adalah fungsi terdiferensiasi pada interval \(\left((a,b) \right).\) Fungsi tersebut disebut meningkat (atau tidak menurun ) pada interval tertentu jika untuk sembarang titik \((x_1),(x_2) \di \kiri((a,b) \kanan),\) sehingga \((x_1)
Jika ketimpangan ini sangat ketat, mis. \(f\left(((x_1)) \right) \lt f\left(((x_2)) \right),\) maka dikatakan bahwa fungsi \(y = f\left(x \right)\ ) adalah meningkat secara ketat pada interval \(\kiri((a,b) \kanan).\)

Didefinisikan serupa menurun(atau tidak meningkat ) Dan sangat menurun fungsi.

Konsep-konsep yang diperkenalkan dapat dirumuskan dalam bentuk yang lebih kompak. Fungsi \(y = f\left(x \right)\) dipanggil

meningkat (tidak menurun
meningkat secara ketat pada interval \(\left((a,b) \right),\) if \[ (\forall\;(x_1),(x_2) \in \left((a,b) \right):\; ) ((x_1)
menurun (tidak meningkat ) pada interval \(\left((a,b) \right),\) jika \[ (\forall\;(x_1),(x_2) \in \left((a,b) \right):\ ; ) ((x_1)
sangat menurun pada interval \(\left((a,b) \right),\) if \[ (\forall\;(x_1),(x_2) \in \left((a,b) \right):\; ) ((x_1) Jelas bahwa fungsi tak menurun dapat berisi area dengan kenaikan ketat dan interval di mana fungsinya konstan. Hal ini diilustrasikan secara skematis pada Gambar \(1-4\).

Gambar.1

Gambar.2

Gambar.3

Gambar.4

Jika fungsi \(f\left(x \right)\) dapat terdiferensiasi pada interval \(\left((a,b) \right)\) dan termasuk dalam salah satu dari empat tipe yang dipertimbangkan (yakni fungsi tersebut meningkat, meningkat secara ketat, menurun atau menurun secara ketat), maka fungsi seperti itu disebut membosankan pada interval ini.
Konsep fungsi naik dan turun juga dapat didefinisikan untuk satu titik \((x_0).\) Dalam hal ini, kita mempertimbangkan lingkungan \(\delta\)- kecil \(\left(((x_0) - \ delta ,(x_0) + \delta ) \kanan)\) dari titik ini. Fungsi \(y = f\left(x \right)\) adalah meningkat secara ketat pada titik \((x_0),\) jika ada bilangan \(\delta > 0,\) sehingga \[\forall\;x \in \left(((x_0) - \delta ,(x_0) ) \ kanan) \Panah Kanan f\kiri(x \kanan) f\kiri(((x_0)) \kanan).\] Penurunan tajam fungsi \(y = f\kiri(x \kanan)\) pada intinya \((x_0).\)
Kriteria kenaikan dan penurunan fungsi
Mari kita perhatikan kembali fungsi \(y = f\left(x \right),\) mengingat fungsi tersebut terdiferensiasi pada interval tertentu \(\left((a,b) \right).\) Kenaikan atau penurunan a fungsi pada interval ditentukan oleh tanda turunan pertama fungsi.
Teorema 1 .
Agar fungsi \(y = f\left(x \right)\) menjadi meningkat pada interval \(\left((a,b) \right),\) turunan pertama fungsi tersebut harus non-negatif di mana pun pada interval ini: \ Kriteria serupa berlaku untuk kasus a fungsi menurun pada interval \(\left((a,b) \right):\) \ Mari kita buktikan kedua bagian teorema (kebutuhan dan kecukupan) untuk kasus fungsi naik.
Prasyarat .
Misalkan sebuah titik sembarang \((x_0) \in \left((a,b) \right).\) Jika fungsi \(y = f\left(x \right)\) bertambah sebesar \(\left(( a, b) \right),\) maka menurut definisi kita dapat menulis bahwa \[\forall\;x \in \left((a,b) \right):x > (x_0) \Rightarrow f\left(x \kanan ) > f\kiri(((x_0)) \kanan);\] \[\untuk semua\;x \dalam \kiri((a,b) \kanan):x
Mari kita pertimbangkan kondisi cukup , yaitu pernyataan sebaliknya.
Misalkan turunan \(f"\left(x \right)\) dari fungsi \(y = f\left(x \right)\) bernilai non-negatif pada interval \(\left((a,b) \kanan):\) \ Jika \((x_1)\) dan \((x_2)\) adalah dua titik sembarang pada interval tertentu sehingga \((x_1) teorema Lagrange dapat ditulis: \ di mana \(c \in \left[ ((x_1),(x_2)) \right],\;\; \Rightarrow c \in \left((a,b) \right).\)
Karena \(f"\left(c \right) \ge 0,\) maka ruas kanan persamaan tersebut adalah non-negatif. Oleh karena itu, \yaitu fungsi \(y = f\left(x \right) \) bertambah pada interval \(\left((a,b) \right).\)
Sekarang mari kita pertimbangkan kasus-kasus tersebut meningkat secara ketat Dan penurunan yang ketat fungsi. Ada teorema serupa di sini yang menjelaskan kondisi perlu dan cukup. Dengan menghilangkan buktinya, kami merumuskannya untuk kasus fungsi yang meningkat secara ketat.
Teorema 2 .
Agar suatu fungsi terdiferensiasi pada interval \(\left((a,b) \right)\) menjadi meningkat secara ketat pada interval ini, kondisi berikut perlu dan cukup dipenuhi:
Kondisi \(1\) terdapat dalam teorema \(1\) dan merupakan tanda fungsi tak menurun. Kondisi tambahan \(2\) diperlukan untuk mengecualikan area fungsi konstan yang turunan fungsi \(f\left(x \right)\) sama dengan nol.
Dalam praktiknya (ketika mencari interval monotonisitas) biasanya digunakan kondisi yang cukup untuk peningkatan yang ketat atau penurunan yang ketat fungsi. Dari Teorema \(2\) berikut rumusan kriteria cukup:
Jika untuk semua \(x \in \left((a,b) \right)\) kondisi \(f"\left(x \right) > 0\) terpenuhi di seluruh interval \(\left(( a,b ) \right),\) kecuali mungkin hanya beberapa titik individual di mana \(f"\left(x \right) = 0,\) maka fungsi \(f\left(x \right)\) adalah meningkat secara ketat .
Dengan demikian, kondisi \(f"\left(x \right) sangat menurun fungsi.
Banyaknya titik di mana \(f"\left(x \right) = 0,\) biasanya berhingga. Menurut teorema \(2\), titik-titik tersebut tidak dapat mengisi celah apa pun dalam interval \( \ kiri((a,b) \kanan).\)
Kami juga memberikan tes untuk kenaikan (penurunan) suatu fungsi pada suatu titik:
Teorema 3 .
Misalkan \((x_0) \di \kiri((a,b) \kanan).\)
Sifat-sifat fungsi monotonik
Fungsi naik dan turun memiliki sifat aljabar tertentu yang berguna dalam mempelajari fungsi. Mari kita daftar beberapa di antaranya:

Fungsi F (X) disebut meningkat diantara D, jika untuk nomor apa pun X 1 dan X 2 dari antara D seperti yang X 1 < X 2, ketimpangan tetap ada F (X 1) < F (X 2).

Fungsi F (X) disebut menurun diantara D, jika untuk nomor apa pun X 1 dan X 2 dari antara D seperti yang X 1 < X 2, ketimpangan tetap ada F (X 1) > F (X 2).

Gambar 1.3.5.1. Interval fungsi naik dan turun

Pada grafik yang ditunjukkan pada gambar, fungsinya kamu = F (X), meningkat pada setiap interval [ A; X 1) dan ( X 2 ; B] dan berkurang pada interval ( X 1 ; X 2). Harap dicatat bahwa fungsi meningkat pada setiap interval [ A; X 1) dan ( X 2 ; B], tetapi tidak pada gabungan interval

Jika suatu fungsi bertambah atau berkurang dalam selang waktu tertentu, maka disebut membosankan pada interval ini.

Perhatikan bahwa jika F- fungsi monotonik pada interval D (F (X)), maka persamaannya F (X) = const tidak boleh memiliki lebih dari satu root pada interval ini.

Memang benar jika X 1 < X 2 - akar persamaan ini pada interval D (F(X)), Itu F (X 1) = F (X 2) = 0, yang bertentangan dengan kondisi monotonisitas.

Mari kita daftar sifat-sifat fungsi monotonik (diasumsikan bahwa semua fungsi terdefinisi pada interval tertentu D).

Pernyataan serupa dapat dirumuskan untuk fungsi menurun.

Dot A disebut titik maksimum fungsi F A itu untuk siapa pun X F (A) ≥ F (X).

Dot A disebut titik minimum fungsi F, jika terdapat lingkungan ε pada titik tersebut A itu untuk siapa pun X dari lingkungan ini ketimpangan terus terjadi F (A) ≤ F (X).

Titik dimana maksimum atau minimum suatu fungsi tercapai disebut titik ekstrem .

Pada titik ekstrem, sifat monotonisitas fungsi berubah. Jadi, di sebelah kiri titik ekstrem fungsinya bisa bertambah, dan di sebelah kanannya bisa berkurang. Menurut definisi tersebut, titik ekstrem harus merupakan titik internal domain definisi.

Jika untuk apa pun ( X ≠ A) ketimpangan tetap ada F (X) ≤ F (A) lalu tunjuk A ditelepon titik nilai terbesar fungsi di lokasi syuting D:

Titik nilai terbesar atau terkecil dapat menjadi titik ekstrem suatu fungsi, namun tidak harus menjadi titik ekstrem suatu fungsi.

Titik nilai terbesar (terkecil) suatu fungsi kontinu pada suatu ruas harus dicari di antara titik ekstrem fungsi tersebut dan nilainya di ujung-ujung ruas tersebut.

Jadwal 1.3.5.1. Fungsi dibatasi dari atas

Jadwal 1.3.5.2. Fungsi dibatasi di bawah

Jadwal 1.3.5.3. Fungsi dibatasi pada suatu himpunan D.

Nilai terbesar dan terkecil dari fungsi y=f(x) pada [a,b].

Fungsi monoton adalah fungsi yang berubah ke arah yang sama.

Fungsi meningkat , jika nilai argumen yang lebih besar berhubungan dengan nilai fungsi yang lebih besar. Dengan kata lain, jika nilainya meningkat X arti kamu juga meningkat, maka fungsi tersebut meningkat.

Fungsi berkurang , jika nilai argumen yang lebih besar berhubungan dengan nilai fungsi yang lebih kecil. Dengan kata lain, jika nilainya meningkat X arti kamu berkurang, maka fungsi tersebut merupakan fungsi menurun.

Jika suatu fungsi bertambah atau berkurang pada suatu interval tertentu, maka disebut monotonik pada interval tersebut.

Fungsi konstan (tidak monoton) , jika tidak berkurang atau bertambah.

Dalil(tanda penting dari monoton):

1. Jika fungsi terdiferensiasi f(x) bertambah pada suatu interval tertentu, maka turunannya pada interval tersebut adalah non-negatif, yaitu.

2. Jika fungsi terdiferensiasi f(x) menurun pada suatu interval tertentu, maka turunannya pada interval tersebut adalah non-positif, .

3. Jika fungsinya tidak berubah, maka turunannya sama dengan nol, yaitu .

Dalil(tanda yang cukup monoton):

Misalkan f(x) kontinu pada interval (a;b) dan mempunyai turunan di semua titik, maka:

1. Jika di dalam (a;b) positif, maka f(x) bertambah.

2. Jika di dalam (a;b) negatif, maka f(x) berkurang.

3. Jika , maka f(x) konstan.

Studi tentang fungsi ekstrem.

Ekstrim- nilai maksimum atau minimum suatu fungsi pada himpunan tertentu. Titik dimana titik ekstrim tercapai disebut titik ekstrim. Oleh karena itu, jika tercapai titik minimum maka titik ekstremnya disebut titik minimum, dan jika tercapai maksimum disebut titik maksimum.

1. Temukan domain fungsi dan interval kontinuitas fungsi tersebut.

2. Temukan turunannya.

3. Temukan titik kritisnya, mis. titik dimana turunan suatu fungsi sama dengan nol atau tidak ada.

4. Pada setiap interval yang daerah definisinya dibagi dengan titik-titik kritis, tentukan tanda turunannya dan sifat perubahan fungsinya.

5. Untuk setiap titik kritis, tentukan apakah titik tersebut merupakan titik maksimum, minimum, atau bukan titik ekstrem.

Tuliskan hasil mempelajari interval fungsi monotonisitas dan ekstrem.

Nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi.

Skema untuk mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi kontinu pada suatu segmen.

1. Temukan turunannya.

2. Temukan titik-titik kritis pada segmen ini.

3. Hitung nilai fungsi pada titik kritis dan ujung segmen.

4. Dari nilai yang dihitung, pilih yang terkecil dan terbesar.

Cembung dan cekung fungsi.

Suatu busur disebut cembung jika memotong salah satu garis potongnya pada tidak lebih dari dua titik.

Garis yang dibentuk cembung ke atas disebut cembung, dan yang dibentuk cembung ke bawah disebut cekung.

Secara geometris jelas bahwa busur cembung terletak di bawah salah satu garis singgungnya, dan busur cekung terletak di atas garis singgungnya.

Titik belok fungsi.

Titik belok adalah titik pada garis yang memisahkan busur cembung dengan busur cekung.

Pada titik belok garis singgung memotong garis; di sekitar titik ini garis terletak pada kedua sisi garis singgung.

Interval penurunan turunan pertama sesuai dengan bagian konveksitas grafik fungsi, dan interval kenaikan sesuai dengan bagian cekung.

Dalil(tentang titik belok):

Jika turunan keduanya negatif di semua titik pada interval tersebut, maka busur garis y = f(x) yang bersesuaian dengan interval tersebut adalah cembung. Jika turunan keduanya positif di semua titik interval, maka busur garis y = f(x) yang bersesuaian dengan interval tersebut adalah cekung.

Tanda titik belok yang diperlukan:

Jika adalah absis titik belok, maka ada atau tidak ada.

Tanda yang cukup untuk titik belok:

Titik tersebut merupakan titik belok garis y = f(x), jika , dan ;

Apabila terdapat daerah cembung di sebelah kiri, daerah cekung di sebelah kanan, dan daerah cekung di sebelah kiri, serta daerah cembung di sebelah kanan.

Asimtot.

Definisi.

Asimtot grafik suatu fungsi adalah garis lurus yang mempunyai sifat bahwa jarak suatu titik pada grafik suatu fungsi ke garis lurus tersebut cenderung nol karena titik grafik tersebut bergerak tak terhingga dari titik asal.

Jenis asimtot:

1. Garis lurus disebut asimtot vertikal dari grafik fungsi y=f(x) jika paling sedikit salah satu nilai langsungnya atau sama dengan atau .