Kalau begitu, apakah sama di semua tempat
Ja = ρ ∫ (V) r 2 d V . (\displaystyle J_(a)=\rho \int \batas _((V))r^(2)dV.)Teorema Huygens - Steiner
Momen inersia suatu benda padat terhadap suatu sumbu bergantung pada massa, bentuk dan ukuran benda, serta pada posisi benda relatif terhadap sumbu tersebut. Menurut teorema Huygens-Steiner, momen inersia suatu benda J relatif terhadap sumbu sembarang sama dengan jumlah momen inersia benda tertentu Jc relatif terhadap sumbu yang melalui pusat massa benda yang sejajar dengan sumbu yang ditinjau, dan hasil kali massa benda M per kuadrat jarak D antar sumbu:
J = J c + m d 2 , (\displaystyle J=J_(c)+md^(2),)Di mana M- berat badan total.
Misalnya, momen inersia suatu batang terhadap sumbu yang melalui ujungnya sama dengan:
J = J c + m d 2 = 1 12 m l 2 + m (l 2) 2 = 1 3 m l 2. (\displaystyle J=J_(c)+md^(2)=(\frac (1)(12))ml^(2)+m\kiri((\frac (l)(2))\kanan)^ (2)=(\frac (1)(3))ml^(2).)Momen aksial inersia beberapa benda
| Tubuh | Keterangan | Posisi sumbu A | Momen inersia J a |
|---|---|---|---|
| Massa titik material M | Dari jarak jauh R dari suatu titik, stasioner | ||
| Silinder berongga berdinding tipis atau cincin radius R dan massa M | Sumbu silinder | m r 2 (\displaystyle mr^(2)) | |
| Silinder padat atau cakram radius R dan massa M | Sumbu silinder | 1 2 m r 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))mr^(2)) | |
| Silinder massa berongga berdinding tebal M dengan radius luar R 2 dan radius dalam R 1 | Sumbu silinder | m r 2 2 + r 1 2 2 (\displaystyle m(\frac (r_(2)^(2)+r_(1)^(2))(2))) | |
| Panjang silinder padat aku, radius R dan massa M | 1 4 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \over 4)m\cdot r^(2)+(1 \over 12)m\cdot l^(2)) | ||
| Panjang silinder (cincin) berdinding tipis berongga aku, radius R dan massa M | Sumbunya tegak lurus terhadap silinder dan melewati pusat massanya | 1 2 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \over 2)m\cdot r^(2)+(1 \over 12)m\cdot l^(2)) | |
| Batang Panjang Tipis Lurus aku dan massa M | Sumbunya tegak lurus terhadap batang dan melewati pusat massanya | 1 12 m l 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ml^(2)) | |
| Batang Panjang Tipis Lurus aku dan massa M | Sumbunya tegak lurus terhadap batang dan melewati ujungnya | 1 3 m l 2 (\displaystyle (\frac (1)(3))ml^(2)) | |
| Bola radius berdinding tipis R dan massa M | Sumbu melewati pusat bola | 2 3 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(3))mr^(2)) | |
| Bola radius R dan massa M | Sumbu melewati bagian tengah bola | 2 5 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(5))mr^(2)) | |
| Kerucut radius R dan massa M | Sumbu kerucut | 3 10 m r 2 (\displaystyle (\frac (3)(10))mr^(2)) | |
| Segitiga sama kaki dengan ketinggian H, dasar A dan massa M | Sumbunya tegak lurus terhadap bidang segitiga dan melalui titik sudut | 1 24 m (a 2 + 12 jam 2) (\displaystyle (\frac (1)(24))m(a^(2)+12h^(2))) | |
| Segitiga beraturan dengan sisi A dan massa M | Sumbunya tegak lurus terhadap bidang segitiga dan melalui pusat massa | 1 12 m a 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ma^(2)) | |
| Persegi dengan sisi A dan massa M | Sumbunya tegak lurus terhadap bidang persegi dan melalui pusat massa | 1 6 m a 2 (\displaystyle (\frac (1)(6))ma^(2)) | |
| Persegi panjang dengan sisi A Dan B dan massa M | Sumbunya tegak lurus terhadap bidang persegi panjang dan melalui pusat massa | 1 12 m (a 2 + b 2) (\displaystyle (\frac (1)(12))m(a^(2)+b^(2))) | |
| Jari-jari n-gon beraturan R dan massa M | Sumbunya tegak lurus terhadap bidang dan melalui pusat massa | m r 2 6 [ 1 + 2 cos (π / n) 2 ] (\displaystyle (\frac (mr^(2))(6))\kiri) | |
| Torus (berongga) dengan radius lingkaran pemandu R, jari-jari lingkaran pembangkit R dan massa M | Sumbunya tegak lurus terhadap bidang lingkaran pemandu torus dan melalui pusat massa | I = m (3 4 r 2 + R 2) (\displaystyle I=m\kiri((\frac (3)(4))\,r^(2)+R^(2)\kanan)) |
Mendapatkan rumus
Silinder berdinding tipis (cincin, lingkaran)
Penurunan rumus
Momen inersia suatu benda sama dengan jumlah momen inersia bagian-bagian penyusunnya. Mari kita membagi silinder berdinding tipis menjadi elemen-elemen yang bermassa dm dan momen inersia DJ saya. Kemudian
J = ∑ d J i = ∑ R i 2 dm . (1) .(\displaystyle J=\jumlah dJ_(i)=\jumlah R_(i)^(2)dm.\qquad (1).)
Karena semua elemen silinder berdinding tipis berada pada jarak yang sama dari sumbu rotasi, rumus (1) diubah menjadi bentukJ = ∑ R 2 d m = R 2 ∑ d m = m R 2 . (\displaystyle J=\jumlah R^(2)dm=R^(2)\jumlah dm=mR^(2).)
Penurunan rumus
Silinder berdinding tebal (cincin, simpai) R Misalkan ada cincin homogen dengan jari-jari luar R, radius dalam H 1, tebal dan kepadatan ρ. Mari kita pecah menjadi cincin tipis yang tebal dr R. Massa dan momen inersia cincin berjari-jari tipis
akand m = ρ d V = ρ ⋅ 2 π r h d r ; d J = r 2 d m = 2 π ρ jam r 3 d r . (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot 2\pi rhdr;\qquad dJ=r^(2)dm=2\pi \rho jam^(3)dr.)
J = ∫ R 1 R d J = 2 π ρ h ∫ R 1 R r 3 d r = (\displaystyle J=\int _(R_(1))^(R)dJ=2\pi \rho h\int _ (R_(1))^(R)r^(3)dr=) = 2 π ρ jam 4 4 | R 1 R = 1 2 π ρ h (R 4 − R 1 4) = 1 2 π ρ h (R 2 − R 1 2) (R 2 + R 1 2) . (\displaystyle =2\pi \rho h\kiri.(\frac (r^(4))(4))\kanan|_(R_(1))^(R)=(\frac (1)(2 ))\pi \rho h\kiri(R^(4)-R_(1)^(4)\kanan)=(\frac (1)(2))\pi \rho h\kiri(R^(2 )-R_(1)^(2)\kanan)\kiri(R^(2)+R_(1)^(2)\kanan).)Karena volume dan massa cincin adalah sama
V = π (R 2 − R 1 2) h ; m = ρ V = π ρ (R 2 − R 1 2) h , (\displaystyle V=\pi \left(R^(2)-R_(1)^(2)\right)h;\qquad m= \rho V=\pi \rho \kiri(R^(2)-R_(1)^(2)\kanan)h,)kita memperoleh rumus akhir momen inersia cincin
J = 1 2 m (R 2 + R 1 2) . (\displaystyle J=(\frac (1)(2))m\kiri(R^(2)+R_(1)^(2)\kanan).)Cakram homogen (silinder padat)
Penurunan rumus
Mengingat silinder (cakram) sebagai cincin dengan jari-jari dalam nol ( R 1 = 0 ), kita peroleh rumus momen inersia silinder (cakram):
J = 1 2 m R 2 . (\displaystyle J=(\frac (1)(2))mR^(2).)Kerucut padat
Penurunan rumus
Mari kita pecahkan kerucut menjadi cakram tipis dengan ketebalan dh, tegak lurus terhadap sumbu kerucut. Jari-jari disk tersebut sama dengan
r = R h H , (\displaystyle r=(\frac (Rh)(H)),)Di mana R– jari-jari alas kerucut, H– tinggi kerucut, H– jarak dari puncak kerucut ke piringan. Massa dan momen inersia piringan tersebut adalah
d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R h H) 4 d h ; (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \kiri((\frac (Rh)(H))\kanan)^(4)dh;)Mengintegrasikan, kita dapatkan
J = ∫ 0 H d J = 1 2 π ρ (R H) 4 ∫ 0 H h 4 d h = 1 2 π ρ (R H) 4 jam 5 5 | 0 H == 1 10 π ρ R 4 H = (ρ ⋅ 1 3 π R 2 H) 3 10 R 2 = 3 10 m R 2 . (\displaystyle (\begin(sejajar)J=\int _(0)^(H)dJ=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H)) \kanan)^(4)\int _(0)^(H)h^(4)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \kiri((\frac (R)(H) )\kanan)^(4)\kiri.(\frac (h^(5))(5))\kanan|_(0)^(H)==(\frac (1)(10))\pi \rho R^(4)H=\kiri(\rho \cdot (\frac (1)(3))\pi R^(2)H\kanan)(\frac (3)(10))R^( 2)=(\frac (3)(10))mR^(2).\end(sejajar)))Bola homogen padat
Penurunan rumus
Mari kita pecahkan bola menjadi cakram tipis yang tebalnya dh, tegak lurus terhadap sumbu rotasi. Jari-jari piringan tersebut terletak pada ketinggian H dari pusat bola kita mencarinya menggunakan rumus
r = R 2 − h 2 . (\displaystyle r=(\sqrt (R^(2)-h^(2))).)Massa dan momen inersia piringan tersebut adalah
d m = ρ d V = ρ ⋅ π r 2 d h ; (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot \pi r^(2)dh;) d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R 2 − h 2) 2 d h = 1 2 π ρ (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h . (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \kiri(R^(2)-h^(2)\kanan)^(2)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \kiri(R^( 4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\kanan)dh.)Kita mencari momen inersia bola dengan integrasi:
J = ∫ − R R d J = 2 ∫ 0 R d J = π ρ ∫ 0 R (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h = = π ρ (R 4 h − 2 3 R 2 h 3 + 1 5 jam 5) | 0 R = π ρ (R 5 − 2 3 R 5 + 1 5 R 5) = 8 15 π ρ R 5 = = (4 3 π R 3 ρ) ⋅ 2 5 R 2 = 2 5 m R 2 . (\displaystyle (\begin(selaras)J&=\int _(-R)^(R)dJ=2\int _(0)^(R)dJ=\pi \rho \int _(0)^(R )\kiri(R^(4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\kanan)dh=\\&=\pi \rho \kiri.\kiri(R^(4) h-(\frac (2)(3))R^(2)h^(3)+(\frac (1)(5))h^(5)\kanan)\kanan|_(0)^( R)=\pi \rho \kiri(R^(5)-(\frac (2)(3))R^(5)+(\frac (1)(5))R^(5)\kanan) =(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5)=\\&=\kiri((\frac (4)(3))\pi R^(3)\rho \kanan) \cdot (\frac (2)(5))R^(2)=(\frac (2)(5))mR^(2).\end(sejajar)))Bola berdinding tipis
Penurunan rumus
Untuk memperolehnya, kita menggunakan rumus momen inersia bola berjari-jari homogen R :
J 0 = 2 5 M R 2 = 8 15 π ρ R 5 . (\displaystyle J_(0)=(\frac (2)(5))MR^(2)=(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5).)Mari kita hitung berapa banyak momen inersia bola akan berubah jika, pada kepadatan konstan ρ, jari-jarinya bertambah sangat kecil dr .
J = d J 0 d R d R = d d R (8 15 π ρ R 5) d R = = 8 3 π ρ R 4 d R = (ρ ⋅ 4 π R 2 d R) 2 3 R 2 = 2 3 m R 2 . (\displaystyle (\begin(sejajar)J&=(\frac (dJ_(0))(dR))dR=(\frac (d)(dR))\left((\frac (8)(15))\ pi \rho R^(5)\kanan)dR=\\&=(\frac (8)(3))\pi \rho R^(4)dR=\kiri(\rho \cdot 4\pi R^ (2)dR\kanan)(\frac (2)(3))R^(2)=(\frac (2)(3))mR^(2).\end(sejajar)))Batang tipis (sumbu melewati tengah)
Penurunan rumus
Mari kita pecahkan batang menjadi potongan-potongan kecil yang panjangnya dan kepadatan ρ. Mari kita pecah menjadi cincin tipis yang tebal. Massa dan momen inersia pecahan tersebut adalah sama
d m = m d r aku ; d J = r 2 d m = m r 2 d r l . (\displaystyle dm=(\frac (mdr)(l));\qquad dJ=r^(2)dm=(\frac (mr^(2)dr)(l)).)Mengintegrasikan, kita dapatkan
J = ∫ − l / 2 l / 2 d J = 2 ∫ 0 l / 2 d J = 2 ml l ∫ 0 l / 2 r 2 d r = 2 ml r 3 3 | 0 l / 2 = 2 ml l l 3 24 = 1 12 m l 2 . (\displaystyle J=\int _(-l/2)^(l/2)dJ=2\int _(0)^(l/2)dJ=(\frac (2m)(l))\int _ (0)^(l/2)r^(2)dr=(\frac (2m)(l))\kiri.(\frac (r^(3))(3))\kanan|_(0) ^(l/2)=(\frac (2m)(l))(\frac (l^(3))(24))=(\frac (1)(12))ml^(2.)Batang tipis (sumbu melewati ujung)
Penurunan rumus
Ketika sumbu rotasi bergerak dari tengah batang ke ujungnya, pusat gravitasi batang bergerak relatif terhadap sumbu sejauh tertentu. aku ⁄ 2. Menurut teorema Steiner, momen inersia baru akan sama dengan
J = J 0 + m r 2 = J 0 + m (l 2) 2 = 1 12 m l 2 + 1 4 m l 2 = 1 3 m l 2 . (\displaystyle J=J_(0)+mr^(2)=J_(0)+m\kiri((\frac (l)(2))\kanan)^(2)=(\frac (1)( 12))ml^(2)+(\frac (1)(4))ml^(2)=(\frac (1)(3))ml^(2.)Momen inersia planet dan satelit tanpa dimensi
Momen inersia tak berdimensinya sangat penting untuk studi struktur internal planet dan satelitnya. Momen inersia tak berdimensi suatu benda berjari-jari R dan massa M sama dengan perbandingan momen inersia terhadap sumbu rotasi dengan momen inersia suatu titik material bermassa sama terhadap sumbu rotasi tetap yang terletak pada jarak tertentu. R(sama dengan Tn. 2). Nilai ini mencerminkan distribusi massa terhadap kedalaman. Salah satu metode untuk mengukurnya di dekat planet dan satelit adalah dengan menentukan pergeseran Doppler dari sinyal radio yang ditransmisikan oleh AMS yang terbang di dekat planet atau satelit tertentu. Untuk bola berdinding tipis, momen inersia tak berdimensi sama dengan 2/3 (~0,67), untuk bola homogen - 0,4, dan secara umum, semakin kecil, semakin besar massa benda terkonsentrasi di pusatnya. Misalnya, Bulan mempunyai momen inersia tak berdimensi mendekati 0,4 (sama dengan 0,391), sehingga diasumsikan relatif homogen, kerapatannya sedikit berubah terhadap kedalaman. Momen inersia Bumi tak berdimensi lebih kecil dari momen inersia bumi (sama dengan 0,335), yang merupakan argumen yang mendukung keberadaan inti padat.
Momen inersia sentrifugal
Momen inersia sentrifugal suatu benda terhadap sumbu sistem koordinat kartesius persegi panjang adalah besaran sebagai berikut:
J x y = ∫ (m) x y d m = ∫ (V) x y ρ d V , (\displaystyle J_(xy)=\int \limits _((m))xydm=\int \limits _((V))xy\ rho dV,) J x z = ∫ (m) x z d m = ∫ (V) x z ρ d V , (\displaystyle J_(xz)=\int \limits _((m))xzdm=\int \limits _((V))xz\ rho dV,) J y z = ∫ (m) y z d m = ∫ (V) y z ρ d V , (\displaystyle J_(yz)=\int \limits _((m))yzdm=\int \limits _((V))yz\ rho dV,)Di mana X , kamu Dan z- Koordinat elemen benda kecil dengan volume dV, kepadatan ρ dan massa dm .
Sumbu OX disebut sumbu utama inersia benda, jika momen inersia sentrifugal Jxy Dan Jxz secara bersamaan sama dengan nol. Tiga sumbu inersia utama dapat ditarik melalui setiap titik pada benda. Sumbu-sumbu ini saling tegak lurus satu sama lain. Momen inersia benda relatif terhadap tiga sumbu inersia utama yang ditarik pada suatu titik sembarang HAI tubuh disebut momen inersia utama dari tubuh ini.
Sumbu inersia utama yang melalui pusat massa suatu benda disebut sumbu pusat utama inersia benda, dan momen inersia terhadap sumbu tersebut adalah momennya momen inersia sentral utama. Sumbu simetri benda homogen selalu merupakan salah satu sumbu inersia pusat utamanya.
Momen inersia geometris
Momen inersia geometrik volume
J V a = ∫ (V) r 2 d V , (\displaystyle J_(Va)=\int \limits _((V))r^(2)dV,)dimana, seperti sebelumnya R- jarak dari elemen dV ke sumbu A .
Momen inersia geometri suatu luas relatif terhadap sumbu - karakteristik geometris benda, dinyatakan dengan rumus:
J S a = ∫ (S) r 2 d S , (\displaystyle J_(Sa)=\int \limits _((S))r^(2)dS,)di mana integrasi dilakukan di atas permukaan S, A dS- elemen permukaan ini.
Dimensi JSa- panjang pangkat empat ( d i m J S a = L 4 (\displaystyle \mathrm (redup) J_(Sa)=\mathrm (L^(4)) )), masing-masing, satuan pengukuran SI adalah 4. Dalam perhitungan konstruksi, literatur dan bermacam-macam logam canai, sering kali ditunjukkan dalam cm 4.
Momen hambatan penampang dinyatakan melalui momen inersia geometrik luas:
W = J S a r m a x . (\displaystyle W=(\frac (J_(Sa))(r_(maks))).)Di Sini r maks- jarak maksimum dari permukaan ke sumbu.
| Momen inersia geometrik luas suatu bangun datar | |
|---|---|
| Tinggi persegi panjang h (\gaya tampilan h) dan lebar b (\gaya tampilan b): | J y = b h 3 12 (\displaystyle J_(y)=(\frac (bh^(3))(12)))
J z = h b 3 12 (\displaystyle J_(z)=(\frac (hb^(3))(12))) |
| Bagian kotak persegi panjang dengan tinggi dan lebar sepanjang kontur luar H (\gaya tampilan H) Dan B (\gaya tampilan B), dan untuk internal h (\gaya tampilan h) Dan b (\gaya tampilan b) masing-masing | J z = B H 3 12 − b h 3 12 = 1 12 (B H 3 − b h 3) (\displaystyle J_(z)=(\frac (BH^(3))(12))-(\frac (bh^( 3))(12))=(\frac (1)(12))(BH^(3)-bh^(3)))
J y = H B 3 12 − h b 3 12 = 1 12 (H B 3 − h b 3) (\displaystyle J_(y)=(\frac (HB^(3))(12))-(\frac (hb^( 3))(12))=(\frac (1)(12))(HB^(3)-hb^(3))) |
| Diameter lingkaran d (\gaya tampilan d) | J y = J z = π d 4 64 (\displaystyle J_(y)=J_(z)=(\frac (\pi d^(4))(64))) |
Momen inersia terhadap bidang
Momen inersia suatu benda tegar terhadap suatu bidang tertentu adalah besaran skalar yang sama dengan jumlah hasil kali massa setiap titik benda dengan kuadrat jarak dari titik tersebut ke bidang yang bersangkutan.
Jika melalui titik sembarang O (\gaya tampilan O) menggambar sumbu koordinat x , y , z (\gaya tampilan x,y,z), maka momen inersia terhadap bidang koordinat x O y (\gaya tampilan xOy), y O z (\gaya tampilan yOz) Dan z O x (\displaystyle zOx) akan dinyatakan dengan rumus:
J x O y = ∑ i = 1 n m i z i 2 , (\displaystyle J_(xOy)=\jumlah _(i=1)^(n)m_(i)z_(i)^(2)\ ,) J y O z = ∑ i = 1 n m i x i 2 , (\displaystyle J_(yOz)=\jumlah _(i=1)^(n)m_(i)x_(i)^(2)\ ,) J z O x = ∑ i = 1 n m i y i 2 . (\displaystyle J_(zOx)=\jumlah _(i=1)^(n)m_(i)y_(i)^(2)\ .)Dalam kasus benda padat, penjumlahan diganti dengan integrasi.
Momen inersia sentral
Momen inersia sentral (momen inersia terhadap titik O, momen inersia terhadap kutub, momen inersia kutub) J O (\gaya tampilan J_(O)) adalah kuantitas yang ditentukan oleh ekspresi:
J a = ∫ (m) r 2 d m = ∫ (V) ρ r 2 d V , (\displaystyle J_(a)=\int \limits _((m))r^(2)dm=\int \limits _((V))\rho r^(2)dV,)Momen inersia sentral dapat dinyatakan dalam momen inersia aksial utama, serta momen inersia terhadap bidang:
J O = 1 2 (J x + J y + J z) , (\displaystyle J_(O)=(\frac (1)(2))\left(J_(x)+J_(y)+J_(z) \Kanan),) J HAI = J x O y + J y O z + J x O z . (\gaya tampilan J_(O)=J_(xOy)+J_(yOz)+J_(xOz).)Tensor inersia dan ellipsoid inersia
Momen inersia suatu benda terhadap sumbu sembarang yang melalui pusat massa dan mempunyai arah yang ditentukan oleh vektor satuan s → = ‖ s x , s y , s z ‖ T , | s → | = 1 (\displaystyle (\vec (s))=\left\Vert s_(x),s_(y),s_(z)\right\Vert ^(T),\left\vert (\vec (s) )\kanan\vert =1), dapat direpresentasikan dalam bentuk kuadrat (bilinear):
Saya s = s → T ⋅ J ^ ⋅ s → , (\displaystyle I_(s)=(\vec (s))^(T)\cdot (\hat (J))\cdot (\vec (s)) ,\qquad) (1)di mana tensor inersia. Matriks tensor inersia berbentuk simetris dan berdimensi 3 × 3 (\gaya tampilan 3\kali 3) dan terdiri dari komponen momen sentrifugal:
Dengan memilih sistem koordinat yang sesuai, matriks tensor inersia dapat direduksi menjadi bentuk diagonal. Untuk melakukan ini, Anda perlu menyelesaikan masalah nilai eigen untuk matriks tensor J ^ (\displaystyle (\hat (J))):
Di mana Q ^ (\displaystyle (\hat (Q)))- matriks transisi ortogonal ke basis tensor inersia sendiri. Pada dasarnya, sumbu koordinat diarahkan sepanjang sumbu utama tensor inersia, dan juga bertepatan dengan sumbu semi utama ellipsoid tensor inersia. Kuantitas J X , J Y , J Z (\displaystyle J_(X),J_(Y),J_(Z))- momen inersia utama. Ekspresi (1) dalam sistem koordinatnya sendiri berbentuk:
dari situ kita memperoleh persamaan ellipsoid dalam koordinatnya sendiri. Membagi kedua ruas persamaan dengan saya s (\displaystyle I_(s))
dan melakukan penggantian:
ξ = s x I s , η = s y I s , ζ = s z I s , (\displaystyle \xi =(s_(x) \over (\sqrt (I_(s)))),\eta =(s_(y ) \over (\sqrt (I_(s)))),\zeta =(s_(z) \over (\sqrt (I_(s)))),)kita memperoleh bentuk kanonik persamaan ellipsoid dalam koordinat ξ η ζ (\displaystyle \xi \eta \zeta ):
ξ 2 ⋅ J X + η 2 ⋅ J Y + ζ 2 ⋅ J Z = 1. (\displaystyle \xi ^(2)\cdot J_(X)+\eta ^(2)\cdot J_(Y)+\zeta ^( 2)\cdot J_(Z)=1.)Jarak pusat ellipsoid ke suatu titik tertentu berhubungan dengan nilai momen inersia benda sepanjang garis lurus yang melalui pusat ellipsoid dan titik ini:
r 2 = ξ 2 + η 2 + ζ 2 = (s x I s) 2 + (s y I s) 2 + (s z I s) 2 = 1 I s. (\displaystyle r^(2)=\xi ^(2)+\eta ^(2)+\zeta ^(2)=\left((s_(x) \over (\sqrt (I_(s))) )\kanan)^(2)+\kiri((s_(y) \over (\sqrt (I_(s))))\kanan)^(2)+\kiri((s_(z) \over (\ sqrt (I_(s))))\kanan)^(2)=(1 \di atas I_(s)).)DEFINISI
Momen inersia aksial (atau ekuator). bagian relatif terhadap sumbu disebut besaran yang didefinisikan sebagai:
Ekspresi (1) berarti bahwa untuk menghitung momen inersia aksial, jumlah produk luas yang sangat kecil () dikalikan dengan kuadrat jarak dari area tersebut ke sumbu rotasi diambil untuk seluruh luas S:
Jumlah momen inersia aksial suatu penampang relatif terhadap sumbu yang saling tegak lurus (misalnya, relatif terhadap sumbu X dan Y dalam sistem koordinat Kartesius) memberikan momen inersia kutub () relatif terhadap titik potong sumbu-sumbu ini:
DEFINISI
Momen kutub inersia disebut momen inersia suatu bagian terhadap suatu titik.
Momen inersia aksial selalu lebih besar dari nol, karena dalam definisinya (1) di bawah tanda integral terdapat nilai luas luas dasar (), selalu positif, dan kuadrat jarak dari luas tersebut ke sumbu.
Jika kita berurusan dengan suatu bagian yang bentuknya kompleks, maka sering kali dalam perhitungan kita menggunakan fakta bahwa momen inersia aksial suatu bagian kompleks relatif terhadap sumbu sama dengan jumlah momen inersia aksial bagian-bagian tersebut. relatif terhadap sumbu yang sama. Namun perlu diingat bahwa tidak mungkin menjumlahkan momen inersia yang ditemukan relatif terhadap sumbu dan titik yang berbeda.
Momen inersia aksial terhadap sumbu yang melalui pusat gravitasi suatu penampang mempunyai nilai terkecil dari semua momen terhadap sumbu yang sejajar dengannya. Momen inersia terhadap suatu sumbu () asalkan sejajar dengan sumbu yang melalui pusat gravitasi adalah sama dengan:
dimana adalah momen inersia suatu bagian terhadap sumbu yang melalui pusat gravitasi bagian tersebut; - luas penampang; - jarak antar sumbu.
Contoh pemecahan masalah
CONTOH 1
| Latihan | Berapa momen inersia aksial suatu penampang segitiga sama kaki terhadap sumbu Z yang melalui pusat gravitasi () segitiga yang sejajar dengan alasnya? Tinggi segitiga tersebut adalah. |
| Larutan | Mari kita pilih area dasar persegi panjang pada bagian segitiga (lihat Gambar 1). Letaknya agak jauh dari sumbu rotasi, panjang salah satu sisinya adalah , dan sisi lainnya adalah . Dari Gambar 1 berikut ini:
Luas persegi panjang yang dipilih, dengan memperhitungkan (1.1), sama dengan: Untuk mencari momen inersia aksial, kita menggunakan definisinya dalam bentuk: |
| Menjawab |
CONTOH 2
| Latihan | Temukan momen inersia aksial terhadap sumbu tegak lurus X dan Y (Gbr. 2) suatu bagian berbentuk lingkaran yang diameternya sama dengan d. |
| Larutan | Untuk menyelesaikan soal, akan lebih mudah untuk memulai dengan mencari momen kutub relatif terhadap pusat bagian (). Mari kita bagi seluruh bagian menjadi cincin-cincin yang sangat tipis dengan ketebalan , yang jari-jarinya akan dilambangkan dengan . Kemudian kita mencari luas dasar sebagai: |
Momen inersia aksial sama dengan jumlah hasil kali luas dasar dan kuadrat jarak ke sumbu yang bersesuaian.
(8)
Tandanya selalu "+".
Tidak bisa sama dengan 0.
Properti: Mengambil nilai minimum ketika titik potong sumbu koordinat bertepatan dengan pusat gravitasi bagian tersebut.
Momen inersia aksial suatu bagian digunakan dalam perhitungan kekuatan, kekakuan dan stabilitas.
1.3. Momen inersia kutub pada bagian Jρ
(9)
Hubungan antara momen inersia polar dan aksial:
(10)
(11)
Momen inersia kutub suatu penampang sama dengan jumlah momen aksial.
Properti:
ketika sumbu diputar ke segala arah, salah satu momen inersia aksial bertambah dan momen inersia aksial lainnya berkurang (dan sebaliknya). Jumlah momen inersia aksial tetap konstan.
1.4. Momen inersia sentrifugal bagian Jxy
Momen inersia sentrifugal suatu penampang sama dengan jumlah hasil kali luas dasar dan jarak ke kedua sumbu
(12)
Satuan pengukuran [cm 4 ], [mm 4 ].
Tanda tangani "+" atau "-".
, jika sumbu koordinatnya adalah sumbu simetri (contoh - balok I, persegi panjang, lingkaran), atau salah satu sumbu koordinat tersebut berimpit dengan sumbu simetri (contoh - saluran).
Jadi, untuk bangun datar simetris momen inersia sentrifugalnya adalah 0.
Koordinat sumbu kamu Dan ay , melewati pusat gravitasi bagian yang momen sentrifugalnya sama dengan nol, disebut sumbu pusat utama inersia bagian tersebut. Disebut utama karena momen sentrifugal relatif terhadapnya adalah nol, dan sentral karena melewati pusat gravitasi bagian tersebut.
Untuk bagian yang tidak simetris terhadap sumbu X
atau kamu
, misalnya, di pojok, 
tidak akan sama dengan nol. Untuk bagian ini, posisi sumbu ditentukan kamu
Dan ay
dengan menghitung sudut putaran sumbu X
Dan kamu
(13)
Momen sentrifugal terhadap sumbu kamu
Dan ay
-
Rumus untuk menentukan momen inersia aksial terhadap sumbu pusat utama kamu Dan ay :
(14)
Di mana 
- momen inersia aksial relatif terhadap sumbu pusat,
- momen inersia sentrifugal terhadap sumbu pusat.
1.5. Momen inersia terhadap sumbu yang sejajar dengan sumbu pusat (teorema Steiner)
Teorema Steiner:
Momen inersia terhadap suatu sumbu yang sejajar dengan sumbu pusat sama dengan momen inersia aksial pusat ditambah hasil kali luas seluruh gambar dan kuadrat jarak antar sumbu.
(15)
Bukti teorema Steiner.
Menurut Gambar. 5 jarak pada ke situs dasar dF
Mengganti nilainya pada ke dalam rumus, kita mendapatkan:
Ketentuan 
, karena titik C adalah pusat gravitasi penampang (lihat sifat momen statis luas penampang relatif terhadap sumbu pusat).
Untuk persegi panjang dengan tinggiH dan lebarB :
Momen inersia aksial:
Momen lentur:
momen tahanan lentur sama dengan perbandingan momen inersia dengan jarak serat terjauh dari garis netral:
Karena 
, Itu 
Untuk lingkaran:
Momen inersia kutub: 
Momen inersia aksial: 
Momen torsi: 
Karena 
, Itu 
Momen lentur: 
Contoh 2. Tentukan momen inersia suatu penampang persegi panjang terhadap sumbu pusat DENGAN X .
Larutan. Mari kita bagi luas persegi panjang menjadi persegi panjang dasar yang memiliki dimensi B (lebar) dan mati (tinggi). Maka luas persegi panjang tersebut (diarsir pada Gambar 6) adalah sama dengan dF=sayang. Mari kita hitung nilai momen inersia aksial J X
Dengan analogi kami menulis
- momen inersia aksial bagian relatif terhadap pusat
Momen inersia sentrifugal
, sejak kapak DENGAN
X
dan C kamu
adalah sumbu simetri.
Contoh 3. Tentukan momen inersia polar suatu penampang lingkaran.
Larutan. Mari kita bagi lingkaran menjadi cincin-cincin yang sangat tipis dengan ketebalan
radius 
, luas cincin tersebut 
. Mengganti nilainya 
Mengintegrasikan ke dalam ekspresi momen inersia kutub, kita peroleh
Memperhatikan persamaan momen aksial suatu penampang lingkaran 
Dan
, kita mendapatkan
Momen inersia aksial cincin adalah sama
Dengan– perbandingan diameter potongan dengan diameter luar poros.
Kuliah No. 2 “Sumbu utama danpoin utamakelembaman
Mari kita perhatikan bagaimana momen inersia berubah ketika sumbu koordinat diputar. Mari kita asumsikan bahwa momen inersia suatu bagian tertentu relatif terhadap sumbu 0 diberikan X, 0pada(belum tentu pusat) -
,
- momen aksial inersia penampang. Perlu ditentukan 
,
- momen aksial relatif terhadap sumbu kamu,ay, diputar relatif terhadap sistem pertama dengan suatu sudut 
(Gbr. 8)
Karena proyeksi garis putus-putus OABC sama dengan proyeksi garis akhir, kita peroleh:
(15)
Mari kita kecualikan u dan v dalam persamaan momen inersia:
(18)
Mari kita pertimbangkan dua persamaan pertama. Menambahkannya istilah demi istilah, kita dapatkan
Jadi, jumlah momen inersia aksial terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus tidak bergantung pada sudut 
dan tetap konstan ketika sumbu diputar. Mari kita perhatikan pada saat yang sama hal itu
Di mana 
- jarak dari titik asal ke lokasi dasar (lihat Gambar 5). Dengan demikian
Di mana 
- momen inersia kutub yang sudah dikenal:
Mari kita tentukan momen inersia aksial lingkaran relatif terhadap diameternya.
Karena karena simetri 
tapi, seperti yang kamu tahu, 
Oleh karena itu, untuk sebuah lingkaran
Dengan perubahan sudut putaran sumbu 
nilai momen
Dan 
berubah, namun jumlahnya tetap sama. Oleh karena itu ada pengertian seperti itu 
, dimana salah satu momen inersia mencapai nilai maksimumnya, sedangkan momen lainnya mencapai nilai minimum. Membedakan ekspresi 
berdasarkan sudut 
dan menyamakan turunannya dengan nol, kita temukan
(19)
Pada nilai sudut ini 
salah satu momen aksial akan menjadi yang terbesar, dan momen aksial lainnya akan menjadi yang terkecil. Pada saat yang sama, momen inersia sentrifugal
menghilang, yang dapat dengan mudah diverifikasi dengan menyamakan rumus momen inersia sentrifugal dengan nol
.
Sumbu yang momen inersia sentrifugalnya nol dan momen aksialnya mengambil nilai ekstrim disebut utamasumbu. Jika mereka juga pusat (titik asal bertepatan dengan pusat gravitasi bagian tersebut), maka mereka disebut sumbu pusat utama (kamu;
ay).
Momen inersia aksial terhadap sumbu utama disebut momen inersia utama -
Dan
Dan nilainya ditentukan oleh rumus berikut:
(20)
Tanda plus menunjukkan momen inersia maksimum, tanda minus menunjukkan momen inersia minimum.
Ada karakteristik geometris lain - radius girasi bagian. Nilai ini sering digunakan dalam kesimpulan teoritis dan perhitungan praktis.
Jari-jari inersia suatu penampang relatif terhadap sumbu tertentu, misalnya 0
X
,
disebut kuantitas
,
ditentukan dari persamaan
(21)
F - luas penampang,
- momen aksial inersia penampang,
Dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa jari-jari girasi sama dengan jarak dari sumbu 0 X ke titik di mana luas penampang F harus dipusatkan (bersyarat) sehingga momen inersia suatu titik tersebut sama dengan momen inersia seluruh bagian. Mengetahui momen inersia suatu bagian dan luasnya, Anda dapat mencari jari-jari girasi relatif terhadap sumbu 0 X:
(22)
Jari-jari girasi yang berhubungan dengan sumbu utama disebut jari-jari inersia utama dan ditentukan oleh rumus
(23)
Kuliah 3. Torsi batang berpenampang lingkaran.
hasil kali inersia, salah satu besaran yang mencirikan distribusi massa dalam suatu benda (sistem mekanik). C.m. dihitung sebagai jumlah produk massa m ke titik tubuh (sistem) ke dua koordinat xk, yk, zk poin-poin ini:
Nilai C.m. bergantung pada arah sumbu koordinat. Dalam hal ini, untuk setiap titik pada benda terdapat paling sedikit tiga sumbu yang saling tegak lurus, yang disebut sumbu utama inersia, yang massa sentrifugalnya dan. sama dengan nol.
Konsep C.m. memainkan peran penting dalam studi gerak rotasi benda. Dari nilai C.m. bergantung pada besarnya gaya tekanan pada bantalan di mana sumbu benda yang berputar dipasang. Tekanan ini akan menjadi yang terkecil (sama dengan statis) jika sumbu rotasi adalah sumbu inersia utama yang melalui pusat massa benda.
- - ...
Ensiklopedia fisik
- - ...
Ensiklopedia fisik
- - lihat Eferen...
Ensiklopedia psikologi yang bagus
- - ciri geometri penampang batang terbuka berdinding tipis, sama dengan jumlah hasil kali luas penampang dasar dengan kuadrat luas sektoral - momen inersia sektoral -...
Kamus konstruksi
- - karakteristik geometris dari penampang batang, sama dengan jumlah produk dari bagian dasar dari bagian tersebut dengan kuadrat jaraknya ke sumbu yang ditinjau - momen inersia - momen setrvačnosti - Momen Trägheits -...
Kamus konstruksi
- - besaran yang mencirikan distribusi massa dalam suatu benda dan, bersama dengan massa, merupakan ukuran inersia suatu benda saat tidak bergerak. pergerakan. Ada M. aksial dan sentrifugal dan. Aksial M. dan. sama dengan jumlah produk...
- - utama, tiga sumbu yang saling tegak lurus, yang dapat ditarik melalui titik mana pun di TV. benda, bedanya jika benda yang diam pada suatu titik diputar mengelilingi salah satunya, maka jika tidak ada...
Ilmu pengetahuan Alam. kamus ensiklopedis
- - sumbu pada bidang penampang benda padat, yang relatif terhadap momen inersia bagian tersebut ditentukan - inersia os - osa setrvačnosti - Trägheitsachse - inerciatengely - inersia tenkhleg - oś bezwładności - axă de inerţie - osa inercije - ya...
Kamus konstruksi
- - titik waktu di mana produk yang dikirim ke pembeli dianggap terjual...
Kamus Ensiklopedis Ekonomi dan Hukum
- - konsep ini diperkenalkan ke dalam sains oleh Euler, meskipun Huygens sebelumnya menggunakan ekspresi serupa, tanpa memberinya nama khusus: salah satu cara menuju definisinya adalah sebagai berikut...
Kamus Ensiklopedis Brockhaus dan Euphron
- - besaran yang mencirikan distribusi massa dalam suatu benda dan, bersama dengan massa, merupakan ukuran inersia suatu benda selama gerak non-translasi. Dalam mekanika, perbedaan dibuat antara mekanisme dan aksial dan sentrifugal...
- - utama, tiga sumbu yang saling tegak lurus yang ditarik melalui suatu titik pada benda, mempunyai sifat bahwa, jika diambil sebagai sumbu koordinat, maka momen inersia sentrifugal benda relatif terhadap ...
Ensiklopedia Besar Soviet
- - produk inersia, salah satu besaran yang mencirikan distribusi massa dalam suatu benda...
Ensiklopedia Besar Soviet
- - besaran yang mencirikan distribusi massa dalam suatu benda dan, bersama dengan massa, merupakan ukuran inersia suatu benda saat tidak bergerak. pergerakan. Bedakan antara momen inersia aksial dan sentrifugal...
- - utama - tiga sumbu yang saling tegak lurus yang dapat ditarik melalui titik mana pun pada benda padat, cirinya adalah jika benda yang diam pada titik tersebut diputar mengelilingi salah satunya, maka...
Kamus ensiklopedis besar
- - ...
Bentuk kata
"Momen inersia sentrifugal" dalam buku
Berlawanan dengan inersia
Dari buku Sphinx abad ke-20 pengarang Petrov Rem ViktorovichBerlawanan dengan inersia
Dari buku Sphinx abad ke-20 pengarang Petrov Rem ViktorovichBertentangan dengan inersia “Dalam dua dekade terakhir, sifat imunologis dari penolakan transplantasi jaringan telah diterima secara umum dan semua aspek proses penolakan berada di bawah kendali eksperimental yang ketat.” Leslie Brent Sidik Jari Jadi, untuk pertanyaan “Apa
Oleh inersia
Dari buku Berapa Nilai Seseorang? Kisah pengalaman dalam 12 buku catatan dan 6 jilid. pengarangOleh inersia
Dari buku Berapa Nilai Seseorang? Buku catatan sepuluh: Di bawah “sayap” tambang pengarang Kersnovskaya Evfrosiniya AntonovnaDengan inersia Untuk mengapresiasi pemandangan, Anda perlu melihat gambar dari jarak tertentu. Untuk menilai suatu peristiwa dengan benar, diperlukan jarak tertentu juga. Hukum inersia pun berlaku. Sementara semangat perubahan mencapai Norilsk, untuk waktu yang lama segala sesuatunya tampak berjalan mulus
24. Kekuatan Inersia
Dari buku Mekanika Ethereal penulis Danina Tatyana24. Gaya Inersia Eter yang dipancarkan oleh belahan belakang partikel yang bergerak secara inersia adalah Gaya Inersia. Gaya Inersia ini merupakan gaya tolak menolak Eter yang mengisi partikel dengan Eter yang dipancarkannya sendiri. Besarnya Gaya Inersia sebanding dengan kecepatan pancarannya
3.3.1. Pompa sentrifugal submersible
Dari buku Tukang Ledeng Anda Sendiri. Komunikasi negara pipa pengarang Kashkarov Andrey Petrovich3.3.1. Pompa sentrifugal submersible Pada bagian ini, kami akan mempertimbangkan opsi dengan pompa sentrifugal submersible NPTs-750 Saya menggunakan mata air dari bulan April hingga Oktober. Saya memompanya dengan pompa sentrifugal submersible NPTs-750/5nk (angka pertama menunjukkan konsumsi daya dalam watt,
