Permukaan silinder dengan penampang melingkar yang panjangnya tak terhingga. teorema Gauss

E r 2=

2p 2 dosaϑ

4πε

E ϕ 2=

hal 2 cosϑ

4πε

2pcosϑ

2p sinϑ

(cosϑ − sinϑ)

E r=

4 πε0 R 3

4 πε0

E =

pcosϑ

p sinϑ

(cosϑ + sinϑ) ,

4 πε0 R 3

4 πε0

E ϕ

− 6ko

ϑ dosaϑ .

Jawaban: E =

5 − 6cosϑ sinϑ .

Catatan. Untuk R tetap, nilai maksimumnya bisa

ketegangan moncong E maks

sesuai dengan sudut ϑ = 3π 4 atau

7π 4.

koordinat, dan vektor p sejajar

sepanjang sumbu Y (Gbr. 1.23).

Dari rumus (1.4)

3(pr )r

E(r)=

4 πε0

mendefinisikan lapangan

bahwa pada nilai konstan R meningkat

derajat ketegangan E akan ditentukan

menjadi nilai sudut kutub ϑ, dan

di semua titik lingkaran yang diperoleh

koordinat untuk studi lapangan

hasil pemotongan bola berjari-jari R

dipol (masalah 1.3.25)

E kamu=

3p cos2 ϑ

ϑ− 1).

4πε

4πε

Hasilnya, E = E x 2 + E y 2 =

3cos2 ϑ + 1 .

4 πε0

fungsi f (ϑ ) = 3cos2 ϑ + 1 aktif

ekstrim

menunjukkan

bahwa E maks =

pada ϑ = 0, π;E menit =

pada ϑ =

4 πεR

4 πεR

Jawaban: Emaks

pada ϑ = 0, π;

4 πεR

Emin=

pada ϑ =

4 πεR

LISTRIK DAN MAGNETISME. METODOLOGI PEMECAHAN MASALAH

– – – – – –

E (r ,ϕ ) =

3cos2 ϕ + 1=

3cos2 ϕ + 1,

4 πε0 r 3

4 πε0 r 3

Jawab: E(r, ϕ) =

3cos2 ϕ + 1 .

4 πε0 r 3

di dalam bola

< R )

3ε 0

ρ R3

di luar (di r>R). Menurut hukum apa itu didistribusikan?

12ε

muatan di dalam bola?

Bidang tersebut memiliki simetri bola, jadi kami menggunakannya

Melaksanakan

diferensiasi,

menyelam =

1−

di dalam bola dan div E = 0 di area luar. Tahu-

curang, kerapatan muatan volumetrik di dalam bola sama dengan ρ = ρ 0

di luar ρ = 0.

Jawaban: ρ di dalam = ρ0 1

keluar = 0.

menyelam =

LISTRIK DAN MAGNETISME. METODOLOGI PEMECAHAN MASALAH

Jawaban: q3 = −

q1 q2

R 3 =

r 1q 2

4πε

≈ 7,6 10–8 C.

Jawaban: Q = F

Jawaban: E

− 1 .

2 ε 0 L 2+ 4 R 2

Jawaban: EA =

; EB =

4πε 0 8R 2

4πε 0 4R 2

ρ = ρ0

Dimana ρ0

– konstan. Menemukan:

ρ r

ρ R 3

Jawaban: a) E=

1−

menjadi

ρ 0R

pada r = r =

9ε 0

Jawaban: E=

(1 − e −α r 3 ).

3 ε0 αr 2

Jawaban: E = 0;

5 kV/m; E

q 1+ q 2

4πε

4πε

Jawaban: E = 0

di sungai

di R 1

ε 0r 2

R 2− R 1

untuk r >R 2.

LISTRIK DAN MAGNETISME. METODOLOGI PEMECAHAN MASALAH

+ + +

Jawaban: E = −

2ε 0

3cos2 ϑ − 1

3sin ϑ cosϑ

4 πε0

4 πε0

di titik-titik ini E = E

4 πε0

Teorema Gauss untuk vektor

dapat berhasil digunakan sebagai alat yang efektif untuk menghitung kekuatan dan potensi medan listrik dari distribusi muatan tertentu, ketika integral di sebelah kiri dapat diubah menjadi produk luas permukaan tempat integrasi dilakukan dan nilai dari komponen vektor normal terhadap permukaan, yaitu kapan

.

Sangat jelas untuk menghitungnya vektor ini akan cukup, pertama, kapan vektor tegak lurus terhadap permukaan. Oleh karena itu, permukaan integrasi harus ada permukaan ekuipotensial bidang terhitung. Bentuknya perlu mengetahui sebelumnya. Terakhir, kedua, pada semua titik permukaan - ekuipotensial - ini, komponen normalnya harus mempunyai nilai yang sama, jika tidak maka komponen tersebut tidak dapat dikeluarkan dari bawah tanda integral dan hanya nilai rata-rata yang dapat ditemukan pada ekuipotensial. permukaan. Kami tekankan bahwa dari fakta ekuipotensialitas permukaan, yaitu dari fakta itu

itu tidak mengikuti sama sekali

pada titik-titik di permukaan ini. Ke depan, kami menunjukkan bahwa, misalnya, permukaan konduktor bermuatan, asalkan ada distribusi muatan kesetimbangan di atasnya, selalu ekuipotensial, tetapi jika itu bukan bola, tetapi benda dengan bentuk kompleks, maka di Di sekitar tonjolan (titik) kekuatan medannya bisa lebih besar daripada di sekitar cekungan di permukaan. Persyaratan kelanggengan merupakan persyaratan tersendiri.

Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa teorema Gauss dapat dengan cepat dan sederhana memberikan hasil (vektor ) hanya jika distribusi muatan yang menciptakan medan memiliki derajat simetri yang tinggi, oleh karena itu, bentuk permukaan ekuipotensial medan diketahui. sebelumnya dan ada keyakinan bahwa pada permukaan ini. Jika semua ini terjadi, maka solusinya adalah sebagai berikut:

Simetri bola

Dengan distribusi muatan yang simetris bola, medan yang ditimbulkannya juga simetris bola. Bidang vektor (dan skalar) dengan simetri seperti itu disebut juga bidang pusat. Dalam kasus umum, bidang simetris terpusat dapat dituliskan dalam bentuk

Di Sini - vektor radius dimulai dari pusat simetri lapangan R adalah modulusnya, adalah komponen radial dari kekuatan medan, tergantung hanya dari jarak ke pusat simetrinya. Potensi bidang tersebut hanya bergantung pada dan

Dan selain itu, sebagai berikut, dengan normalisasi sewenang-wenang, potensi lapangan mempunyai bentuk

Dengan demikian, kondisi penerapannya terpenuhi dan kita dapat menggunakan hubungan ini.

Mari kita ambil permukaan bola ekuipotensial dengan radius arus tertentu R, wilayahnya. Mengingat asumsi kesinambungan distribusi muatan, kita menggunakan persamaan:

.

di mana adalah kerapatan muatan volumetrik. Sekali lagi, dengan mempertimbangkan simetri bola dari distribusi muatan - yang hanya bergantung pada , adalah wajar untuk mengambil lapisan bola yang sangat tipis dengan jari-jari dalam dan jari-jari luar sebagai elemen volume. Sebagai hasilnya, kami memperoleh volume lapisan seperti itu

.

Akhirnya, untuk setiap distribusi muatan simetris bola, ketika , kita peroleh

Melanjutkan perhitungan memerlukan penentuan bentuk ketergantungan kerapatan muatan pada nilai absolut vektor jari-jari.

Medan tersebut seragam di seluruh volume bola bermuatan

Distribusi muatan yang seragam pada volume bola berjari-jari (Gbr. 1.41) berarti kerapatan muatannya berbentuk

Beras. 1.41. Garis medan listrik pada bola bermuatan seragam

Kita tidak boleh lupa bahwa, dengan syarat, tidak ada muatan di luar bola.

Karena pada suatu titik kerapatan muatan berubah secara tiba-tiba: batas “di sebelah kiri” berbeda dari nol , dan limit “di sebelah kanan” adalah nol , perhitungan harus dilakukan dalam dua tahap: pertama untuk permukaan bola berjari-jari (terletak di dalam bola), dan kemudian untuk permukaan bola berjari-jari (menutupi bola). Dalam kasus pertama

.

Oleh karena itu, lapangan

meningkat secara linier seiring bertambahnya jarak ke pusat bola, yang dijelaskan secara sederhana: luas permukaan, dan muatan di dalamnya

Dalam kasus kedua, integral “terpotong dari atas” di:

Ekspresi terakhir memperhitungkan bahwa , dimana adalah muatan total bola. Jadi, di luar bola, bidangnya adalah bidang muatan titik yang sama dengan muatan total bola dan ditempatkan di tengah-tengah bola tersebut:

.

Kedua ekspresi tersebut dapat digabungkan menjadi satu rumus. Jika kita menggunakan muatan penuh bola, kita peroleh:

Jika alih-alih muatan total bola kita menggunakan kerapatan muatan sebagai parameter, rumus ini akan berbentuk sebagai berikut (Gbr. 1.42):

Beras. 1.42. Distribusi intensitas medan listrik pada bola bermuatan seragam

Rumus dan menyatakan ketergantungan yang sama, kenyamanannya ditentukan oleh parameter apa yang ditentukan: atau . Dari rumus tersebut terlihat jelas bahwa pada permukaan bola kuat medannya kontinu, yaitu tidak ada diskontinuitas. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa dalam hal ini kesenjangan kerapatan muatan pada permukaan bola jenis pertama memiliki besaran yang terbatas: dari hingga nol. Oleh karena itu, baik pada rumus atas maupun bawah terdapat tanda-tanda ketimpangan yang lemah. Dalam kasus apa kekuatan medan dapat mengalami diskontinuitas akan terlihat jelas dari contoh berikut.

Potensi lapangan dapat dengan mudah ditemukan dengan mensubstitusi, misalnya dari ke dan melakukan integrasi. Kita mendapatkan:

dimana dan adalah konstanta integrasi, yang diperoleh dari pertimbangan berikut. Konstanta ditentukan dari kondisi normalisasi, misalnya ke nol di tak terhingga

Di mana . Konstanta tersebut ditentukan dari kondisi kontinuitas potensial pada permukaan bola, yaitu bila:

Perhatikan bahwa persyaratan kesinambungan potensial sering disebut “penggabungan” dua solusi pada antarmuka. Dalam hal ini, ini adalah antarmuka antara dua wilayah: wilayah di mana terdapat muatan (di dalam bola), dan wilayah di mana tidak ada muatan (di luar bola). Telah dapat dicatat bahwa potensi tersebut bersifat kontinu dalam semua kasus kecuali satu: yang disebut “lapisan ganda”. Bayangkan sebuah permukaan di satu sisi dimana muatan positif didistribusikan dengan kepadatan, dan di sisi lain yang muatan negatif didistribusikan dengan kepadatan. Permukaan seperti ini disebut lapisan ganda; pada permukaan ini potensinya mengalami diskontinuitas. Permukaan (datar) seperti itu dapat diperoleh dengan mendekatkan dua pelat kapasitor datar tanpa batas waktu. Hal yang sama dapat dilakukan untuk kapasitor dalam bentuk apa pun, misalnya bola atau silinder. Dalam semua kasus lainnya, potensinya berkelanjutan.

Mengganti nilai konstanta integrasi yang diperoleh, kami menulis hasil akhir dalam bentuk

Dengan normalisasi ini, potensial di pusat bola adalah bukan nol dan sama dengan

.

Hasil yang diperoleh diilustrasikan pada Gambar 1.43 di bawah ini.

Beras. 1.43. Kuat (1) dan potensial (2) medan listrik bola bermuatan seragam berjari-jari R dalam satuan kuat dan potensial pada permukaannya (r = R)

Bidang permukaan bola bermuatan seragam

Dalam kasus distribusi muatan seragam pada permukaan bola, seperti pada kasus sebelumnya, terjadi simetri bola, oleh karena itu rumus umum yang diperoleh di atas juga berlaku di sini. Namun, mereka harus ditangani dengan hati-hati karena alasan berikut. Kerapatan muatan volume yang termasuk di sisi kanan dalam hal ini berperilaku menarik sebagai berikut:

Beras. 1.44. Kuat medan listrik bola bermuatan seragam

Memang, hanya ada biaya saja permukaan, yaitu, di , di mana pun di dalam, yaitu, di dan di mana pun di luar, yaitu, di tidak ada muatan. Apa volumetrik Kerapatan muatan pada titik-titik di permukaan mencapai tak terhingga (+∞ untuk muatan positif dan –∞ untuk muatan negatif) dapat ditunjukkan sebagai berikut. Gambar di sebelahnya menunjukkan bagian dari suatu permukaan yang dilaluinya dangkal kepadatan muatan didistribusikan. Untuk menentukan nilainya volumetrik kerapatan muatan pada suatu titik tertentu di permukaan, perhatikan sebuah silinder (Gbr. 1.45), yang alas atasnya berada di atas permukaan, dan alas bawah berada di bawah permukaan. Luas alas silinder adalah , tingginya adalah , dan volumenya adalah . Muatan di dalam silinder, kepadatan muatan volumetrik, menurut definisi, sama dengan batas rasio muatan yang terletak di dalam volume tertentu dengan nilai volume ini karena volume tersebut cenderung nol (dengan semua syarat mengenai “ secara fisik sangat kecil”). Kita mendapatkan

Beras. 1.45. Kepadatan Muatan Permukaan

Penting agar kepadatan di permukaan tidak terhingga. Fungsi semacam ini (di mana pun kecuali satu titik - nol, dan pada satu titik ini - tak terhingga) termasuk dalam kelas yang disebut fungsi umum, yang disebut fungsi Dirac untuk menghormati fisikawan Dirac, yang pertama kali memperkenalkan fungsi tersebut ke dalam fisika untuk memenuhi kebutuhan mekanika kuantum. Kami tidak akan mempelajari secara detail di sini dan menggunakan fungsi tersebut dalam perhitungan. Tujuan kami adalah untuk menunjukkan bahwa pertimbangan permukaan bermuatan yang sangat tipis secara formal mengarah pada munculnya diskontinuitas (tak terhingga) dalam kerapatan muatan volumetrik, yang, pada gilirannya, menimbulkan diskontinuitas tak terhingga pada permukaan bermuatan tersebut dalam hal kekuatan medan listrik. Kami tegaskan, potensi lapangan tetap berkesinambungan.

Jalan keluarnya sederhana. Untuk semuanya, kita menggunakan rumus pertama dengan , kita menemukan bahwa tidak ada medan di mana pun di dalam kulit bola bermuatan seragam: . Untuk semua orang, rumus kedua dari ini valid. Seperti halnya bola bermuatan seragam, di luar cangkang bola bermuatan seragam, medannya adalah medan muatan titik yang ditempatkan di tengah cangkang tersebut dan sama dengan muatan totalnya. Tentu saja dalam hal ini.

Hasil akhirnya adalah ini:

Pada permukaan bola itu sendiri, kuat medan dalam hal ini mengalami diskontinuitas. Ketergantungan komponen medan radial pada jarak ke pusat permukaan bola ditunjukkan pada Gambar. 1.46.

Beras. 1.46. Ketergantungan medan pada jarak ke pusat cangkang bola

Ketergantungan potensial pada jarak ke pusat cangkang bola dapat diperoleh dengan melakukan integrasi. Ketika dinormalisasi ke nol di tak terhingga, hasilnya terlihat seperti ini:

Ketergantungannya ditunjukkan pada Gambar. 1.47.

Beras. 1.47. Potensi bola bermuatan seragam

Distribusi muatan yang homogen (seragam) pada permukaan silinder yang panjangnya tak terhingga (Gbr. 1.48) memiliki simetri silinder, translasi, dan cermin. Artinya sebagai berikut. Ketika distribusi muatan seperti itu diputar di sekitar sumbu permukaan silinder pada sudut mana pun, maka distribusi muatan tersebut bertepatan dengan distribusi muatan itu sendiri. Ketika distribusi muatan tersebut digeser (ditransfer) ke jarak berapa pun sepanjang sumbu simetri, distribusi muatan tersebut juga bertepatan dengan dirinya sendiri. Dan terakhir, jika melalui titik mana pun pada sumbu simetri kita menggambar sebuah bidang yang tegak lurus terhadap sumbu tersebut, dan memantulkan pada bidang ini, seperti di cermin, bagian "atas" dari distribusi muatan, maka pantulan dari "atas" adalah ” bagian akan bertepatan dengan “bawah” dan sebaliknya, refleksi dari “bawah” akan bertepatan dengan “atas”. Dengan kata lain, distribusi muatan ini tidak berubah pada transformasi yang ditunjukkan. Akibatnya, medan listrik yang diciptakan oleh distribusi muatan ini harus invarian (bertepatan dengan dirinya sendiri) berdasarkan transformasi yang ditunjukkan.

Beras. 1.48. Permukaan silinder yang panjangnya tak terhingga

Mari kita perkenalkan sistem koordinat silinder: sumbu diarahkan sepanjang sumbu simetri, - jarak ke sumbu simetri, - sudut azimut, sudut rotasi mengelilingi sumbu simetri, - seperti sebelumnya, potensial medan.

Berdasarkan sifat-sifat simetri, potensial medan tidak dapat bergantung pada koordinat - simetri translasi rusak, atau pada koordinat - simetri aksial (silinder) rusak. Yang tersisa hanyalah ketergantungan pada – jarak ke sumbu silinder. Dengan demikian:

Masing-masing

vektor kuat medan listrik diarahkan sepanjang garis radial tegak lurus sumbu simetri (Gbr. 1.49), dan nilainya hanya bergantung pada jarak ke sumbu. Permukaan potensial adalah silinder koaksial dengan permukaan silinder bermuatan.

Beras. 1.49. Vektor kuat medan listrik diarahkan sepanjang garis lurus radial

Dengan menggunakan keadaan ini, kita akan mengintegrasikan di sisi kiri teorema Gauss pada permukaan tertutup silinder dengan jari-jari alas dan koaksial tinggi dengan permukaan silinder bermuatan berjari-jari . Aliran melalui alas silinder adalah nol karena pada alas, dan aliran melalui permukaan sisinya sama dengan hasil kali luasnya: . Dengan demikian, fluks vektor total (melalui seluruh permukaan tertutup silinder yang ditinjau) adalah sama dengan

Pada , muatan yang terletak di dalam silinder adalah sama dengan

dimana adalah kerapatan muatan linier yang secara numerik sama dengan muatan per satuan panjang permukaan silinder. Menurut teorema Gauss

dari tempat kita mendapatkan

Ketika berada di dalam silinder yang permukaannya dihitung fluks vektornya, tidak ada muatan, sehingga medannya nol. Menggabungkan kedua hasil ini, akhirnya kita memperoleh (Gbr. 1.50):

Karena sifat permukaan dari distribusi muatan (lihat perhitungan sebelumnya secara lebih rinci) pada permukaan yang paling bermuatan, yaitu pada komponen radial medan mengalami diskontinuitas.

Beras. 1,50. Kuat medan listrik pada permukaan silinder bermuatan seragam

Integrasi (1.51) (lihat juga (1.49)), persyaratan kontinuitas potensial pada , dan normalisasi menyebabkan ketergantungan potensial berikut pada jarak ke sumbu permukaan silinder:

Dalam kasus ini, ketika muatan modulus yang sangat besar didistribusikan ke silinder yang panjangnya tak terhingga, ini merujuk pada kasus-kasus ketika normalisasi ke nol pada tak terhingga tidak masuk akal. Terlihat dari (1.52), ketergantungan potensial pada jarak ke sumbu adalah logaritmik, normalisasi ke nol di tak terhingga, dalam bahasa rumus (1.52), berarti , tetapi, maka potensialnya akan sangat besar. dalam nilai absolut kapan pun terakhir jarak dari sumbu permukaan bermuatan, yang tidak masuk akal. Pilihan jarak berhingga dari sumbu simetri yang memudahkan untuk menganggap potensial sama dengan nol tidak menimbulkan kesulitan dan ditentukan oleh spesifikasi masalahnya. Misalnya, tidak ada yang menghalangi Anda untuk meletakkan , maka potensial di mana pun di dalam dan pada permukaan yang paling bermuatan akan menjadi nol.

Bidang tak terbatas secara seragam pesawat bermuatan

Biarkan kerapatan muatan permukaan menjadi . Distribusi muatan pada bidang tak hingga dicirikan oleh fakta bahwa kemunculannya tidak bergantung pada: a) rotasi melalui sudut mana pun di sekitar sumbu bidang tegak lurus, b) pergeseran melalui jarak berapa pun sepanjang garis lurus yang terletak pada bidang tersebut dan segala arah. Akhirnya, c) pantulan distribusi muatan tertentu pada cermin yang bertepatan dengan bidang itu sendiri akan membiarkannya tidak berubah.

Dari analisis simetri terlihat jelas bahwa potensial di suatu titik di luar bidang hanya bergantung pada jarak dari titik tersebut ke bidang. Mari kita arahkan sumbu sistem koordinat Kartesius tegak lurus terhadap bidang, dan biarkan sumbu-sumbu tersebut menjadi milik bidang itu sendiri, maka

Selain itu, karena simetri cermin, bidang “di depan” bidang berbeda dengan bidang “di belakang” bidang hanya arah vektor. Artinya ketergantungan pada harus ganjil, dan ketergantungan potensial pada harus genap.

Karena pertimbangan ini, kita mengambil permukaan tertutup - permukaan yang akan kita tuliskan teorema Gauss - dengan bentuk berikut (Gambar 1.51).

Beras. 1.51. Medan listrik pada bidang bermuatan

Ini adalah silinder dengan permukaan sisi tegak lurus bidang dan alas sejajar bidang. Tinggi silinder, luas alasnya. Mengingat keanehan ketergantungan, akan lebih mudah untuk menempatkan alas silinder pada jarak yang sama dari bidang, maka kontribusi alas terhadap aliran akan sama. Kuat medan pada alas, pertama, tegak lurus terhadap alasnya, kedua, searah dengan garis normal luar, dan ketiga, sama di semua titiknya dalam nilai absolut.

Kontribusi fluks vektor dari permukaan lateral adalah nol, karena pada permukaan lateral .

Oleh karena itu, fluks total yang melalui seluruh permukaan silinder tertutup adalah

Terdapat muatan di dalam permukaan silinder yang ditinjau

dimana adalah kerapatan muatan pada bidang tersebut. Menurut teorema Gauss

karenanya modul kekuatan medan bidang bermuatan sama

Kami tekankan bahwa hasilnya jelas tidak bergantung pada jarak dari bidang tempat alas silinder yang ditinjau berada. Oleh karena itu, pada setiap sisi bidang, medan listrik yang ditimbulkannya adalah seragam.

Dengan menggunakan sumbu tegak lurus terhadap bidang bermuatan yang diperkenalkan sebelumnya, medan di kedua sisi bidang dapat dijelaskan dengan satu rumus, yang cocok untuk tanda muatan apa pun pada bidang tersebut.

Berikut adalah vektor satuan sumbu.

Mengintegrasikan dengan

untuk ketergantungan potensial bidang bidang mudah diperoleh:

Potensi dinormalisasi oleh kondisi. Di sini, seperti pada contoh permukaan silinder bermuatan yang panjangnya tak terhingga, potensialnya meningkat seiring dengan jarak hingga tak terhingga, sehingga normalisasi ke nol di tak terhingga tidak masuk akal.

Garis-garis medan bidang bermuatan ditunjukkan pada Gambar. 1,52 dan 1,53.

Beras. 1.52. Bidang bidang bermuatan positif

Beras. 1.53. Bidang bidang bermuatan negatif

Bidang kapasitor pelat sejajar

Mari kita tentukan kuat medan yang diciptakan oleh dua bidang paralel tak terhingga yang bermuatan seragam dan berbeda. Kerapatan muatan pada bidang-bidang tersebut masing-masing identik dalam modulus dan sama: dan (kapasitor datar ideal). Menggunakan gambar. 1.54 tidak sulit untuk dipahami bahwa pada celah antar bidang, medan yang diciptakannya diarahkan ke satu arah, sehingga di dalamnya total medannya dua kali lebih besar dari medan dari masing-masing bidang. Di luar bidang, bidang yang dibuatnya diarahkan ke arah yang berlawanan, sehingga total bidang dari kedua bidang adalah nol (Gbr. 1.55).

Beras. 1.54. Medan listrik kapasitor pelat sejajar

Beras. 1.55. Medan listrik pada bidang-bidang yang bermuatan berlawanan

Lampiran 6 berisi contoh gerak partikel bermuatan dalam medan listrik konstan.

Potensi lapangan dari disk yang terisi daya

Seperti yang telah disebutkan lebih dari sekali, dengan mengetahui potensi medan suatu muatan titik dan menggunakan prinsip superposisi, pada prinsipnya selalu mungkin untuk menghitung potensi medan yang diciptakan oleh distribusi muatan apa pun.

Mari kita cari, misalnya, potensi medan listrik yang tercipta pada sumbu piringan tipis berjari-jari R, bermuatan seragam dengan kerapatan muatan permukaan (Gbr. 1.57). Karena simetri aksial, pada titik-titik pada sumbu, dua komponen kuat medan yang tegak lurus sumbu sama dengan nol: , masih harus dicari - komponen medan yang diarahkan sepanjang sumbu.

Dapat diperluas secara deret, dibatasi pada dua suku pertama perluasan

Hukum Coulomb dan dimensi ruang

Ruang tempat kita tinggal memiliki tiga dimensi. Dengan kata lain, diperlukan tiga koordinat (misalnya, dalam sistem kartesius atau bola) untuk menentukan posisi suatu titik. A(Gbr. 1.58). Ternyata angka 3 berkaitan erat dengan bentuk hukum Coulomb. Kita telah melihat bahwa teorema Ostrogradsky-Gauss mengikuti hukum Coulomb. Hal sebaliknya juga berlaku; hukum Coulomb dapat diturunkan dari teorema Ostrogradsky-Gauss. Namun teorema ini lebih umum dibandingkan hukum Coulomb. Secara khusus, ini berlaku untuk ruang berdimensi, yang tidak harus sama dengan tiga.

Jadi, dalam ruang dua dimensi, peran volume dimainkan oleh luas kita. Faktanya, bola adalah tempat kedudukan titik-titik dalam ruang yang berjarak sama dari pusatnya. Menurut definisi ini, bola dua dimensi adalah lingkaran dengan jari-jari dunia dimensi sebanding dengan dunia dimensi.

Dari sini kita mendapatkan hukum kuadrat terbalik (hukum Coulomb). Ketika kita menemukan Faktanya, kita sudah familiar dengan perilaku medan listrik ini. Hukum ini (10.17) yang kita turunkan untuk bidang silinder bermuatan tak hingga. Jika dipikirkan matang-matang dan mengingat letak garis-garis gaya silinder, akan menjadi jelas bahwa tidak ada yang bergantung pada koordinat sepanjang sumbu silinder. Jadi, sistem ini mensimulasikan medan listrik di dunia dua dimensi. Sekarang lebih mudah untuk memahami bahwa bidang bermuatan meniru muatan titik di dunia satu dimensi: semuanya hanya bergantung pada satu koordinat - jarak ke bidang. Namun kami menemukan di atas bahwa medan listrik tidak bergantung pada jarak ini. Dan dari rumus (10.49) juga dapat disimpulkan bahwa derajat intensitas ) harus memberikan ekspresi kuat medan listrik.

Hal ini mengarah pada kesimpulan yang menarik. Karena dalam dunia satu dan dua dimensi potensinya tumbuh hingga tak terhingga, diperlukan usaha yang sangat besar untuk memisahkan dua muatan tarik-menarik. Ini berarti bahwa di dunia berdimensi kecil hanya gerak terbatas dari dua benda yang saling tarik menarik (muatan, massa) yang mungkin terjadi. Mari kita ingat kembali bahwa gerak dalam wilayah ruang terbatas disebut berhingga. Oleh karena itu, di dunia yang tidak memungkinkan untuk mengionisasi atom, tidak mungkin meluncurkan satelit di luar tata surya, dll. Di dunia seperti itu tidak akan ada reaksi kimia, galaksi dan bintang tidak dapat berevolusi. Singkatnya, kehidupan di sana akan sangat membosankan.

Orang pasti mengharapkan waktu yang lebih menyenangkan di dunia multidimensi. Sayangnya, ini ternyata hanya ilusi. Studi tentang persamaan gerak

mengarah pada kesimpulan bahwa pada hakikatnya tidak ada gerak yang terbatas: ia diwujudkan hanya untuk orbit melingkar, dan itupun tidak stabil - gangguan sekecil apa pun menyebabkan jatuhnya elektron (planet) ke pusat tarik-menarik atau lepasnya ke pusat tarik-menarik. jarak yang sangat jauh. Ternyata di dunia seperti itu, atom, sistem planet, dan segala sesuatu lainnya tidak mungkin terbentuk sama sekali. Tidak ada stabilitas di dunia berdimensi lebih tinggi - ini adalah alternatif dari dunia berdimensi rendah yang “stagnan”. Hanya dengan ini pergerakan terbatas dan tak terbatas yang stabil dapat dimungkinkan. Ternyata ruang tiga dimensi adalah satu-satunya bentuk keberadaan dan pergerakan materi, setidaknya jenis yang kita kenal, yang kita pelajari dalam fisika.

informasi tambahan

http://hea.iki.rssi.ru/~nik/astro/spher.htm - sistem koordinat bola;

http://edu.ioffe.ru/register/?doc=physica/lect3.ch2.tex - gerak terbatas, masalah Kepler.

Topik: Elektrostatika
(minimal 5 tugas)
1. Hitung perbandingan gaya interaksi elektrostatis dan gravitasi
antara dua elektron, antara dua proton. Berapa nilai spesifiknya
muatan q/m partikel, gaya-gaya ini akan sama besarnya jika terjadi interaksi
partikel yang identik?
2. Dua bola kecil bermuatan sama, masing-masing bermassa m, digantung pada satu bola
titik pada benang sutra panjang l. Jarak antar bola x<< l. Найти скорость
kebocoran muatan dq/dt dari masing-masing bola, jika kecepatan pendekatannya berubah menurut hukum v
= a/√𝑥, dimana a adalah konstanta.
3. Dua muatan positif q1 dan q2 terletak di titik dengan vektor jari-jari r1 dan r2. Menemukan
muatan negatif q3 dan vektor jari-jari r3 dari titik di mana ia harus diurutkan
gaya yang bekerja pada ketiga muatan ini adalah nol.
4. Sebuah cincin kawat tipis berjari-jari r bermuatan listrik q. Akan seperti apa jadinya
pertambahan gaya yang meregangkan kawat jika suatu titik ditempatkan di tengah ring
biaya q0?
5. Muatan titik positif sebesar 50 µC terletak pada bidang xy di suatu titik dengan vektor jari-jari r0 = 2i + 3j, dimana i dan j adalah vektor satuan sumbu x dan y. Temukan besar dan arah vektor
kuat medan listrik E pada suatu titik dengan vektor jari-jari
r = 8i - 5j. Di sini r0 dan r dalam satuan meter.
6. Pada titik sudut persegi yang diagonalnya 2l terdapat muatan titik q dan -q, seperti pada gambar
pada Gambar. 3.1. Temukan besarnya vektor kuat medan listrik pada suatu titik terletak
pada jarak x dari pusat persegi dan terletak simetris terhadap simpul-simpulnya
persegi.

Topik: Kekuatan medan muatan terdistribusi
(minimal 5 tugas)
7. Sebuah cincin berjari-jari r yang terbuat dari kawat tipis mempunyai muatan q. Temukan modulus ketegangan
medan listrik pada sumbu cincin sebagai fungsi jarak l ke pusatnya. Riset
ketergantungan yang diperoleh untuk l >> r. Tentukan nilai tegangan maksimum dan
jarak yang sesuai l. Gambarlah grafik perkiraan fungsi E (l).
8. Sebuah muatan titik q terletak di tengah cincin tipis berjari-jari R, sepanjang itu
muatan -q terdistribusi secara merata. Temukan besarnya vektor tegangan listrik
bidang pada sumbu ring pada suatu titik yang terletak pada jarak x dari pusat ring, jika x >> R.

9. Sistem terdiri dari cincin kawat bermuatan tipis dengan jari-jari R dan sangat
benang panjang bermuatan seragam yang terletak di sepanjang sumbu cincin sehingga salah satunya
ujungnya bertepatan dengan bagian tengah ring. Yang terakhir memiliki muatan q. Per satuan panjang benang
diperhitungkan biaya λ. Temukan kekuatan interaksi antara cincin dan benang.
10. Sebuah benang bermuatan seragam, per satuan panjangnya terdapat muatan λ, memiliki
konfigurasi yang ditunjukkan pada gambar (a) dan (b). Dengan asumsi jari-jari kelengkungan R
jauh lebih kecil dari panjang benang, tentukan besar vektor tegangan listrik
bidang di titik O.

B)
11. Sebuah bola berjari-jari r bermuatan dengan massa jenis permukaan σ = ar, dengan a adalah sebuah konstanta
vektor, r adalah vektor jari-jari suatu titik pada bola relatif terhadap pusatnya. Temukan vektor
kuat medan listrik di pusat bola.
12. Tentukan vektor kuat medan listrik di pusat bola berjari-jari R, volumetrik
kerapatan muatan yang ρ = ar, dengan a adalah vektor konstan,
r adalah vektor jari-jari yang ditarik dari pusat bola.
13. Dua benang panjang yang sejajar satu sama lain bermuatan seragam sehingga per satuan
panjang masing-masingnya menimbulkan biaya λ. Jarak antar benang adalah l. Menemukan
nilai maksimum kuat medan listrik pada bidang simetri ini
sistem yang terletak di antara utas.
14. Kuat medan listrik hanya bergantung pada koordinat x dan y menurut hukum E = a


Topik: Bidang muatan terdistribusi. teorema Gauss. Dipol
(minimal 8 tugas)
15. Sebuah benang sangat panjang bermuatan seragam yang terletak di sepanjang sumbu lingkaran berjari-jari R,
menyandarkan salah satu ujungnya pada bagian tengahnya. Muatan benang per satuan panjang adalah λ. Menemukan
aliran vektor E melalui luas lingkaran.
16. Sebuah bola berjari-jari R bermuatan seragam dengan massa jenis volume ρ. Temukan aliran vektor
kuat medan listrik melalui penampang bola yang dibentuk oleh bidang,
dipisahkan dari pusat bola dengan jarak r0<< R.
17. Kuat medan listrik hanya bergantung pada koordinat x dan y menurut hukum E = a
(xi + yj)/(x2 + y2), dengan a adalah konstanta, i dan j adalah vektor satuan pada sumbu x dan y. Temukan aliran vektor E melalui
bola berjari-jari R yang berpusat di titik asal.
18. Permukaan silinder dengan penampang lingkaran yang panjangnya tak terhingga bermuatan
A)

Merata sepanjang dengan kepadatan permukaan
, di mana φ adalah sudut kutub
sistem koordinat silinder, sumbu z yang berimpit dengan sumbu permukaan tertentu.
Tentukan besar dan arah kuat medan listrik pada sumbu z.

19. Sistem tersebut terdiri dari sebuah bola berjari-jari R, bermuatan simetris berbentuk bola, dan
lingkungan diisi dengan muatan dengan kepadatan volume ρ = α/r, dimana α adalah
konstan, r adalah jarak dari pusat bola. Temukan muatan bola yang modulusnya
vektor kuat medan listrik di luar bola tidak akan bergantung pada r. Sama dengan apa
ketegangan ini? Konstanta dielektrik bola dan lingkungan
diasumsikan sama dengan satu.
20. Di dalam bola bermuatan seragam dengan massa jenis volume ρ, terdapat
rongga bola. Pusat rongga digeser relatif terhadap pusat bola sebesar a.
Temukan kuat medan E di dalam rongga, dengan asumsi konstanta dielektrik
sama dengan satu.
21. Di dalam silinder bulat yang panjangnya tak terhingga, bermuatan volume seragam
kepadatan ρ, terdapat rongga silinder bulat. Jarak poros
silinder dan rongga sama dengan a. Temukan kuat medan listrik E dalam rongga tersebut.
Konstanta dielektrik dianggap sama dengan satu.
22. Tentukan kuat medan listrik pada luas perpotongan dua bola,
terisi seragam dengan muatan-muatan yang berlawanan tanda dengan massa jenis volume ρ dan ρ, jika jarak antara pusat-pusat bola dicirikan oleh vektor a.

23. Tunjukkan potensial medan suatu dipol dengan momen listrik p adalah

24. Dipol titik dengan momen listrik p, berorientasi positif

25. Sebuah dipol listrik titik dengan momen p terletak pada homogen eksternal


Temukan radiusnya.
26. Dua benang tipis sejajar bermuatan seragam dengan massa jenis linier λ dan -λ.

medan listrik pada jarak r >>

27. Dua buah cincin koaksial, masing-masing berjari-jari R, terbuat dari kawat tipis terletak pada sebuah cincin kecil
jarak l satu sama lain (l<< R) и имеют заряды q и -q. Найти потенциал и
kuat medan listrik pada sumbu sistem sebagai fungsi koordinat x (Gbr. 3.6).
Gambarkan grafik perkiraan ketergantungan yang diperoleh dalam satu gambar.
Selidiki fungsi-fungsi ini untuk |x| >>R.

28. Sistem terdiri dari muatan q>0, terdistribusi merata dalam setengah lingkaran
jari-jari ay yang ditengahnya terdapat muatan titik -q Tentukan:
a) momen dipol listrik sistem ini;
b) modulus kuat medan listrik pada sumbu x sistem pada jarak r>> a dari
dia.

29. Sebuah dipol dengan momen listrik p terletak pada jarak r dari benang panjang,
bermuatan seragam dengan kerapatan linier λ. Temukan gaya F yang bekerja pada
dipol jika vektor p berorientasi:
a) sepanjang benang;
b) sepanjang vektor radius r;
c) tegak lurus terhadap benang dan vektor jari-jari r.

30. Temukan kekuatan interaksi antara dua molekul air yang dipisahkan satu sama lain oleh
jarak l = 10 nm jika momen listriknya berorientasi sama
atau lurus. Momen setiap molekul p = 0,62*10-29 C*m.
Topik: Dipol. Potensi. Hubungan antara E dan φ
(minimal 7 tugas)
31. Tunjukkan bahwa potensial medan suatu dipol dengan momen listrik p adalah
direpresentasikan sebagai φ = pr/4πε0r3, dengan r adalah vektor radius. Temukan menggunakan ekspresi ini
besarnya vektor kuat medan listrik dipol sebagai fungsi dari r dan ϑ.

32. Dipol titik dengan momen listrik p, berorientasi positif
arah sumbu z, terletak di titik asal. Temukan proyeksi vektor
kuat medan listrik Ez dan E⊥ (pada bidang yang tegak lurus sumbu z in
titik S (lihat Gambar 3.4)). Pada titik manakah E ⊥ p?

33. Sebuah dipol listrik titik dengan momen p terletak pada homogen eksternal
medan listrik yang intensitasnya sama dengan E0, dan p E0. Pada kasus ini
salah satu permukaan ekuipotensial yang melingkupi dipol adalah bola.
Temukan radiusnya.
34. Dua benang tipis sejajar bermuatan seragam dengan massa jenis linier λ dan -λ.
Jarak antar benang adalah l. Temukan potensi dan besarnya vektor tegangan
medan listrik pada jarak r >> l dengan sudut terhadap vektor l (Gbr. 3.5).

+
35. Tentukan vektor kuat medan listrik yang potensialnya berbentuk =
ar, dimana a adalah vektor konstan, r adalah vektor jari-jari suatu titik medan.

36. Tentukan vektor kuat medan listrik yang potensialnya bergantung
dari koordinat x, y menurut hukum:
a) = a (x2 - y2);
b) φ = axy, dimana a adalah konstanta. Gambarkan perkiraan tampilan bidang-bidang ini menggunakan
garis gaya (pada bidang x, y).
37. Potensi suatu medan elektrostatis berbentuk
φ = a(x2 + y2) + bz2, dimana a dan b adalah konstanta. Temukan besar dan arah vektor
kekuatan lapangan. Apa bentuk permukaan ekuipotensial dalam kasus berikut:
a) a > 0, b > 0; b) a > 0, b< 0?
38. Potensi medan listrik berbentuk φ = α(xy - 𝑧 2), dimana α adalah suatu konstanta. Menemukan
proyeksi kuat medan listrik di titik M (2,2,-3) terhadap arah vektor
a = saya + 3k.
39. Tentukan potensial φ (x, y) medan elektrostatis:
a) E = a (yi + xj);
b) E = 2axyi + a (x2 - y2)j;
c) E = ayi + (ax + bz)j + byk, dimana a dan b adalah konstanta, i, j, k adalah vektor satuan dari sumbu x, y, z.
40. Antara dua pelat besar sejajar yang dipisahkan satu sama lain oleh
jarak d, terdapat muatan ruang yang terdistribusi merata. Perbedaan
potensial pelat sama dengan Δφ. Pada nilai kerapatan muatan volumetrik ρ
Akankah kuat medan di dekat salah satu lempeng menjadi nol? Akan seperti apa jadinya?
kekuatan medan di lempeng yang lain?
41. Potensi medan di dalam bola bermuatan hanya bergantung pada jarak ke pusatnya
menurut hukum φ = ar2 + b, dimana a dan b adalah konstanta. Temukan distribusi muatan ruang ρ (r)
di dalam bola.
42. Potensi medan pada suatu wilayah ruang tertentu hanya bergantung pada koordinat x
sebagai φ = -ax3+ b, dimana a dan b adalah beberapa konstanta. Temukan distribusi volumetrik
mengisi daya ρ(x).
Topik: Konduktor dalam medan listrik
(minimal 10 tugas)
43. Sebuah muatan titik q terletak pada jarak l dari bidang penghantar tak hingga.


44. Sebuah bola kecil digantung di atas bidang penghantar horizontal
benang elastis isolasi kekakuan k. Setelah bola diisi, bola itu terjatuh
sebesar x cm, dan jaraknya ke bidang penghantar menjadi sama dengan L. Tentukan muatan bola tersebut.
45. Seutas benang tipis yang panjangnya tak terhingga mempunyai muatan per satuan panjang dan terletak

sama dengan aku. Menemukan:



46. ​​​​Sebuah benang lurus yang sangat panjang berorientasi tegak lurus terhadap tak berbatas

A) di titik O;

47. Sebuah muatan titik q terletak pada jarak l dari bidang penghantar tak hingga.
Pekerjaan apa yang harus dilakukan untuk menghilangkan muatan ini secara perlahan
jarak yang jauh dari pesawat?
48. Sebuah cincin kawat tipis berjari-jari R bermuatan q. Cincin itu berada
sejajar dengan bidang penghantar tak berbatas pada jarak l dari bidang penghantar tak terbatas. Menemukan:
a) kerapatan muatan permukaan pada suatu titik pada bidang yang letaknya simetris
relatif terhadap cincin;
b) intensitas dan potensial medan listrik di tengah cincin.
49. Dua muatan titik, q dan -q, terletak pada jarak l satu sama lain dan di
jarak yang sama l/2 dari bidang penghantar tak hingga. Temukan: modul
vektor gaya listrik yang bekerja pada setiap muatan.
50. Temukan potensi φ dari bola konduktif tak bermuatan, yang di luarnya berada pada jarak l dari
pusatnya adalah muatan titik q.
51. Tiga muatan titik yang berlawanan terletak pada titik sudutnya
persegi dengan diagonal L = 50 cm, seperti terlihat pada gambar, dimana titik O
- pusat persegi, AOB - sudut siku-siku yang dibentuk dua
melakukan setengah bidang. Tentukan gaya yang bekerja pada muatan q jika q = 11 µC.
52. Sebuah muatan titik q terletak pada jarak r dari pusat O sebuah bola tak bermuatan
lapisan konduktor, jari-jari dalam dan luarnya sama dengan R1 dan
R2. Tentukan potensial φ0 di titik O jika r< R1.
53. Sebuah muatan titik q terletak di antara dua konduktor yang saling tegak lurus
setengah bidang. Jarak muatan ke setiap setengah bidang adalah l=5 cm
modulus gaya yang bekerja pada muatan tersebut.
54. Sistem ini terdiri dari dua bola konduktif konsentris, dan di bagian dalam
bola berjari-jari a terdapat muatan positif q1. Berapa muatan q2 yang harus dikenakan
bola luar berjari-jari b sehingga potensial bola dalam sama dengan nol?
Bagaimana potensi φ bergantung pada jarak r ke pusat sistem? Menggambarkan
grafik perkiraan hubungan ini.
55. Sebuah dipol titik dengan momen listrik p terletak pada jarak l dari
bidang konduksi tak terbatas. Temukan gaya yang bekerja pada dipol jika vektor p
tegak lurus terhadap bidang.
56. Empat pelat logam besar terletak agak jauh d satu sama lain
teman seperti yang terlihat pada gambar. Pelat terluar dihubungkan oleh konduktor, dan seterusnya
pelat bagian dalam dilengkapi dengan beda potensial Δφ. Menemukan:
a) nilai kuat medan listrik antar pelat yang berdekatan;
b) jumlah muatan per satuan luas masing-masing pelat.

57. Sebuah muatan titik q terletak pada jarak l dari bidang penghantar tak hingga.
Tentukan kerapatan permukaan muatan yang diinduksikan pada bidang sebagai
fungsi jarak r dari alas tegak lurus yang diturunkan dari muatan ke bidang.

58. Dua pelat penghantar tak berbatas 1 dan 2 terletak pada jarak l satu sama lain
teman. Di antara pelat-pelat yang berjarak x dari pelat 1 terdapat muatan titik q.
Temukan muatan yang diinduksi pada masing-masing pelat.
59. Seutas benang tipis yang panjangnya tak terhingga mempunyai muatan per satuan panjang dan terletak
sejajar dengan bidang konduksi tak terbatas. Jarak antara benang dan bidang
sama dengan aku. Menemukan:
a) besarnya vektor gaya yang bekerja per satuan panjang benang;
b) distribusi kerapatan muatan permukaan σ (x) pada bidang, dimana x adalah jarak
dari bidang yang tegak lurus terhadap permukaan penghantar dan melewati benang.
60. Carilah gaya listrik yang dialami muatan per satuan
permukaan konduktor sembarang jika kerapatan muatan permukaan sama dengan σ.
61. Seutas benang lurus yang sangat panjang berorientasi tegak lurus terhadap tak berbatas
melakukan pesawat dan tidak mencapai pesawat ini pada jarak l. Utasnya terisi
seragam dengan kerapatan linier λ. Misalkan titik O adalah bekas benang pada bidang tersebut. Menemukan
kerapatan permukaan muatan induksi pada bidang:
a) di titik O;
b) tergantung pada jarak r ke titik O.
62. Sebuah bola logam berjari-jari R = 1,5 cm mempunyai muatan q = 10 µC. Temukan modul
vektor gaya resultan yang bekerja pada muatan yang terletak pada satu muatan
setengah bola.
63. Sebuah cincin kawat tipis berjari-jari R bermuatan q. Cincin itu berada
sejajar dengan bidang penghantar tak berbatas pada jarak l dari bidang penghantar tak terbatas. Menemukan
kerapatan muatan permukaan pada suatu titik pada bidang yang letaknya simetris
relatif terhadap cincin.
64. Sebuah bola konduktor tak bermuatan berjari-jari R ditempatkan dalam homogen eksternal
medan listrik, sebagai akibat dari induksi
muatan dengan kepadatan permukaan σ = σ0 cos θ, dimana σ0 adalah konstanta, θ adalah sudut kutub.
Temukan besarnya vektor gaya listrik yang dihasilkan yang bekerja pada
muatan terinduksi yang bertanda sama.
65. Temukan potensi φ dari bola konduktif tak bermuatan, yang di luarnya berada pada jarak l=30
cm dari pusatnya terdapat muatan titik q = 0,50 µC.
66. Di dalam air, medan listrik dengan intensitas E = 1 kV/cm2 menimbulkan polarisasi,
setara dengan orientasi yang benar hanya satu dari N molekul. Temukan nomornya
molekul N, jika momen listrik molekul air po = 0,62 × 10−29 C. M.
67. Molekul nonpolar dengan kemampuan polarisasi terletak pada jarak yang jauh aku dari
molekul polar dengan momen listrik p. Temukan modulus vektor gaya
interaksi molekul-molekul tersebut jika vektor p berorientasi sepanjang garis lurus yang lewat
melalui kedua molekul.
68. Sebuah muatan titik q=3,4nC terletak pada jarak r=2,5 cm dari pusat O
lapisan konduktor berbentuk bola tak bermuatan, yang jari-jari dalam dan luarnya
sama berturut-turut R1 = 5 cm dan R2 = 8 cm. Tentukan potensial di titik O.