Вопросы и задачи по геометрии. Все выполняют задание

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

§ 4. Прямой угол. Смежные и вертикальные углы.

Прямой угол.

49. Из листа бумаги, согнув его соответствующим образом, сделать модель прямого угла.

50. Найти острые, прямые и тупые, углы на окружающих предметах.

51. Проверить при помощи чертёжного треугольника углы ученической тетради.

52. На чертеже 18 изображено несколько углов. Указать, какие из этих углов прямые. Назвать тупые углы.

53. Начертить на глаз несколько прямых углов в различных положениях и проверить их чертежным треугольником.

54. При помощи линейки построить прямой угол с вершиной, совпадающей с вершиной данного прямого угла. Сколько таких прямых углов можно построить?

55. На сторонах прямого угла расположены две точки. Одна из них - на расстоянии 30 мм от вершины, другая - на расстоянии 40 мм. Построить эти точки и измерить расстояние между ними.

56. 1) Вычислить величину каждого из двух углов, полученных при делении угла, равного 0,6 d , его биссектрисой.

2) Решить задачу 56 (1), если данный угол равен: а) 1 2 / 3 d ; б) 1 5 / 6 d .

Смежные углы.

57. Начертить два неравных смежных угла так, чтобы их общая сторона была:
а) вертикальной; б) горизонтальной; в) наклонной.

58. Среди углов, данных на чертеже 19, указать смежные углы. Объяснить, почему углы на чертеже 19, в нельзя назвать смежными.

59. Всегда ли верно, что: а) если два угла смежные, то их сумма равна двум прямым углам; б) если сумма двух углов равна двум прямым, то углы смежные? Привести примеры.

60. 1) Построить для данного угла (острого или тупого) угол, дополняющий его до развёрнутого.

2) Сколько можно построить углов, смежных данному? Доказать, что эти углы равны.

61. Один из смежных углов тупой (острый). Каким является другой угол?

62. Один из смежных углов равен: а) 0,9 d ; б) 7 / 8 d . Найти величину другого угла.

63. Один из смежных углов больше другого на: а) 1 / 3 d ; б) d . Найти величину каждого из этих углов.

64. 1) Один из смежных углов в три раза больше другого. Найти величину каждого из этих углов.

2) Один из смежных углов составляет 20% другого. Найти величину каждого из этих углов.

65. Угол ABC равен: a) 0,8d ; б) 1 1 / 3 d . Продолжить стороны этого угла за вершину и вычислить величину каждого из образовавшихся углов.

66. Найти величину угла, образованного биссектрисами двух смежных углов.

67 . Из точки С, взятой на прямой АВ, проведены два луча СМ и CN так, что они образуют с прямой АВ равные острые углы (черт. 20), / 1 = / 2. Объяснить, почему
/ 3 = / 4.

68. 1) Из точки, взятой на прямой, по одну сторону этой прямой проведены два луча (черт. 21) так, что / 1 = 0,5 d , / 2 = 7 / 8 d . Найти величину третьего угла.

2) На прямой дана точка, из которой по одну сторону прямой проведены два луча (черт. 22) так, что / 1 = 3 / 5 d , / 2 составляет половину первого угла. Найти величину третьего угла.

69. 1) Через вершину угла, равного 8 / 9 d , вне его проведена прямая, образующая с одной из его сторон угол, равный d / 3 . Найти величину угла, образованного прямой с другой стороной данного угла.

2) Через вершину угла, равного 8 / 9 d , проведена прямая, делящая угол на два угла, один из которых равен d / 3 . Найти каждый из образовавшихся углов, меньших развёрнутого.

70. 1) Два луча, проведённые по одну сторону прямой из взятой на ней точки, образуют между собой и с прямой равные острые углы. Найти величину каждого из этих углов.

2) Решить эту же задачу для случая: а) трёх лучей, б) четырёх лучей.

Вертикальные углы.

71. Дан угол. Построить для него смежный и вертикальный углы.

72. При помощи линейки построить угол, равный данному и имеющий с ним общую вершину.

73. Один из углов, образованных двумя пересекающимися прямыми, равен d . Чему равны остальные углы?

74. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равен 0,6 d . Чему равны остальные углы?

75. Сумма двух вертикальных углов, образованных двумя прямыми, равна 8 / 9 d . Найти величину каждого из полученных четырёх углов.

76. Найти величину каждого из четырёх углов, образованных двумя пересекающимися прямыми, если сумма трёх из них равна 2,5 d .

77. Какой угол образуют биссектрисы двух вертикальных углов?

78. Даны три прямые, пересекающиеся в одной точке (черт. 23).
Доказать, что / 1 + / 2 + / 3 = 2d . Вычислить сумму / 1 + / 3, если / 2 = d / 5 .

Сумма углов, имеющих общую вершину.

79. Четыре луча, проведённые из одной точки (черт. 24), образуют следующие углы:

/ 1 = 7 / 8 d ; / 2 = 1 1 / 4 d ; / 3 = 1 1 / 5 d . Найти величину четвёртого угла.

80. Из одной точки проведены пять лучей так, что углы, образованные каждыми двумя соседними лучами, равны между собой. Найти эти углы.

81. 1) Из одной точки проведены четыре луча. Могут ли все углы, образованные смежными лучами, быть одновременно: а) тупыми; б) острыми?

2) Задачу 81 (1) решить для случая трёх лучей.

82. На чертеже 25 указать, не измеряя углов, ошибки, допущенные при простановке их величин.

Перпендикуляр к прямой.

83. 1) Начертить прямую и вне её взять некоторую точку (черт. 26, а). Через эту точку при помощи чертёжного треугольника провести перпендикуляр к прямой. Измерить (по перпендикуляру) расстояние от точки до прямой.

2) Выполнить то же задание при другом положении точки и, прямой (черт. 26, б).

84. Через данную точку О провести перпендикуляры к трём данным прямым (черт. 27).

85. При помощи эккера построить на поверхности земли (или в классной комнате) прямой угол.

86. 1) При помощи эккера построить на поверхности земли (или в классной комнате) прямую, перпендикулярную данной прямой и проходящую через данную на ней точку.

2) Как при помощи эккера построить прямую, перпендикулярную данной прямой и проходящую через точку, не лежащую на данной прямой?

87 . 1) Через вершину угла ABC, равного l,2d , проведена прямая MN, перпендикулярная его биссектрисе. Вычислить углы, которые образует прямая MN со сторонами угла ABC.

2) Через вершину данного угла провести прямую, образующую с его сторонами равные углы.

49. Из листа бумаги, согнув его соответствующим образом, сделать модель прямого угла.50. Найти острые, прямые и тупые, углы на окружающих предметах.51. Проверить при помощи чертежного треугольника углы ученической тетради.52. На чертеже 18 изображено несколько углов. Указать, какие из этих углов прямые. Назвать тупые углы.53. Начертить на глаз несколько прямых углов в различных положениях и проверить их чертежным треугольником.54. При помощи линейки построить прямой угол с вершиной, совпадающей с вершиной данного прямого угла. Сколько таких прямых углов можно построить? 55. На сторонах прямого угла расположены две точки. Одна из них - на расстоянии 30 мм от вершины, другая - на расстоянии 40 мм. Построить эти точки и измерить расстояние между ними.56. 1) Вычислить величину каждого из двух углов, полученных при делении угла, равного 0,6 d, его биссектрисой.2) Решить задачу 56 (1), если данный угол равен: а) 1 2/3d; б) 15/6 d. Смежные углы.57. Начертить два неравных смежных угла так, чтобы их общая сторона была: а) вертикальной; б) горизонтальной; в) наклонной. 58. Среди углов, данных на чертеже 19, указать смежные углы. Объяснить, почему углы на чертеже 19, в нельзя назвать смежными.59. Всегда ли верно, что: а) если два угла смежные, то их сумма равна двум прямым углам; б) если сумма двух углов равна двум прямым, то углы смежные? Привести примеры.60. 1) Построить для данного угла (острого или тупого) угол, дополняющий его до развернутого.2) Сколько можно построить углов, смежных данному? Доказать, что эти углы равны.61. Один из смежных углов тупой (острый). Каким является другой угол? 62. Один из смежных углов равен: а) 0,9 d; б) 7/8d. Найти величину другого угла.63. Один из смежных углов больше другого на: а) 1/3d; б) d. Найти величину каждого из этих углов.64,1) Один из смежных углов в три раза больше другого. Найти величину каждого из этих углов.2) Один из смежных углов составляет 20% другого. Найти величину каждого из этих углов.65. Угол ABC равен: a) 0,8d; б) 11/3 d. Продолжить стороны этого угла за вершину и вычислить величину каждого из образовавшихся углов.66. Найти величину угла, образованного биссектрисами двух смежных углов.67. Из точки С, взятой на прямой АВ, проведены два луча СМ и CN так, что они образуют с прямой АВ равные острые углы (черт. 20) , / 1=/ 2. Объяснить, почему / 3=/ 4,68. 1) Из точки, взятой на прямой, по одну сторону этой прямой проведены два луча (черт. 21) так, что / 1=0,5 d, / 2=7/8 d. Найти величину третьего угла.2) На прямой дана точка, из которой по одну сторону прямой проведены два луча (черт. 22) так, что / 1=3/5 d, / 2 составляет половину первого угла. Найти величину третьего угла.69. 1) Через вершину угла, равного 8/9d, вне его проведена прямая, образующая с одной из его сторон угол, равный d/3. Найти величину угла, образованного прямой с другой стороной данного угла.2) Через вершину угла, равного 8/9 d, проведена прямая, делящая угол на два угла, один из которых равен d/3. Найти каждый из образовавшихся углов, меньших

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока:

• образовательная:
  • ввести понятие смежных и вертикальных углов, выяснить через систему упражнений какими свойствами они обладают;
  • рассмотреть доказательство теорем о смежных и вертикальных углах;
  • показать их применение при решении задач;
• развивающая: развивать умения выявлять закономерности, делать обобщения и выводы;
• воспитательная: воспитывать у обучающихся стремление самостоятельно решать посильные учебные проблемы.

Ход урока

I. Оргмомент. Приветствие обучающихся, мобилизация внимания.

II. Проверка домашнего задания.

а) №1, №2 - устно

б) №50, 51 -двое обучающихся записывают решения на дополнительной доске и объясняют их.

III. Актуализация знаний.

а) Математический диктант на повторение.

(Один учащийся выполняет задания математического диктанта за дополнительной доской).

1. Начертите и обозначьте прямую b.
2. Точка C принадлежит отрезку AB. Какая из трёх точек A,B,C лежит между двумя другими?
3. Сколько общих точек могут иметь две пересекающиеся прямые?
4. Точка A принадлежит отрезку BC. BA =3см, AC=5,2см. Чему равна длина отрезка AC?
5. Могут ли совместиться при наложении два отрезка, если длина одного из них равна 5дм., а длина другого - 0,5м?
6. Может ли величина угла быть выражена отрицательным числом?
7. Величина угла (ab) равна 125 0 . Луч проходит между сторонами угла (ab). Угол (ac) равен 45 0 . Чему равен угол (bc)?
8. Могут ли совместиться при наложении углы, если один из них равен половине прямого, а другой составляет? часть от развернутого?
9. Может ли длина отрезка выражаться дробным положительным числом?
10. Отметьте на прямой точки M,N и K так, чтобы выполнялось равенство: MK+KN=MN.

(Открывается доска, обучающиеся обмениваются тетрадями и выполняют проверку диктанта).

IV. Изучение новой темы.

Учитель: Итак, ребята, на предыдущих уроках мы познакомились с понятием угла, научились строить их, обозначать, измерять. Ответьте: какие виды углов вы знаете? (Острые, тупые, развернутые, прямые.)

Повторяют факты: градусная мера прямого угла - 90 0 , развернутого - 180 0 , острый угол меньше прямого, тупой больше прямого, но меньше развернутого.

Учитель: Сегодня мы расширим круг своих знаний об углах, введем понятия смежных и вертикальных углов, рассмотрим их свойства, и будем учиться использовать их при решении задач.

(Учащиеся записывают тему урока.)

Все выполняют задание:

Постройте развернутый угол AOB.

Проведите произвольный луч OC между его сторонами.

Сколько неразвернутых углов образовалось? Назовите их (углы AOC и COB).

Выделите общую сторону этих углов одним цветом, а стороны, которые являются продолжением друг друга, другим цветом. Получился чертёж (Слайд №2 ).

Учитель: Ребята, углы AOC и COB, построенные таким образом имеют своё название - смежные углы. Давайте дадим им определение. (Обучающиеся формулируют определение смежных углов).

Учитель: Значит, два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а две другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.

(Ребята, в разных источниках можно найти другие определения смежных углов. Постарайтесь к следующему уроку найти такие определения.)

Учитель: А сейчас кто желает у доски построить свою пару смежных углов?

Заранее подготовленный ученик, надев шапку Незнайки, кричит: "Можно я? Можно? Я понял, что такое смежные углы! Я даже две пары таких углов могу построить!".

Учитель: Пожалуйста, построй нам такие углы.

("Незнайка" делает следующие чертежи: Слайд №3 )

Учитель: Ребята, вы согласны с Незнайкой? (Естественно, найдутся ребята, которые не согласятся.) Посмотри, Незнайка, кое-кто из ребят не соглашаются с тобой. Объясни, почему углы 1 и 2 на первом чертеже ты считаешь смежными?

Незнайка: Так у них же есть общая сторона b!

Учитель: А на втором чертеже?

Незнайка: А у них стороны а и b являются дополнительными полупрямыми! Вот!

Учитель: Ребята, вы согласны с Незнайкой?

(Учащиеся объясняют, почему они не согласны с ним, и ещё раз формулируют определение смежных углов.)

(К учителю обращается ученик, надев шапочку Смекалкина.)

Смекалкин: А можно мне обратиться к ребятам? (Учитель разрешает.) Ребята, когда я дома самостоятельно изучал эту тему, то получил интересные факты. Я хочу, чтобы вы помогли мне понять, прав ли я? (Приглашает к доске трех учащихся).

Даёт задание:

• первый ученик и ребята, сидящие на первом ряду, строят угол в 40 0 ;
• второй ученик и ребята, сидящие на втором ряду, строят прямой угол;
• третий ученик и ребята, сидящие на третьем ряду, строят угол в 130 0 .

Смекалкин предлагает учащимся назвать вид угла и обозначить его (ab).

Смекалкин: Какие получились углы? (Смежные.) Назовите вид угла bc. (Каждый ребенок отвечает 1 - тупой, 2 - прямой, 3 - острый.)

Смекалкин: Ребята, какой вывод вы можете сделать?

• 1 ряд: Если угол острый, то смежный с ним тупой.
• 2 ряд: Угол, смежный с прямым, есть прямой угол.
• 3 ряд: Если угол тупой, то смежный с ним - острый.

Смекалкин предлагает следующее задание: Ребята, измерьте угол ac и найдите сумму углов ab и ac.

(Учащиеся выполняют задание и убеждаются в том, что сумма у всех одинаковая - 180 0).

Смекалкин: Ребята, а как вы думаете, если мы проделаем ту же самую работу, но с углами другой величины, то каков будет результат?

(Ученики делают свои предположения, и, как правило, многие уверены, что сумма должна получиться такой же.)

Смекалкин: Итак, напрашивается вывод, что сумма смежных углов равна 180 0 .

(Он предлагает учащимся - вместе с ним доказать этот факт. Учащиеся записывают доказательство в тетради. Слайд №5 )

Учитель: Продолжаем работу. Постройте две пересекающиеся прямые. Сколько неразвернутых углов получилось? Обозначьте их. Что вы можете сказать об этих углах? (Два тупых и два острых, или все - прямые.)

Незнайка: (Обращается к учителю) А можно я тоже попрошу ребят выполнить одно задание. Очень трудное! Посмотрю, как они справятся! (Учитель разрешает.) Ребята, постройте произвольный угол AOB. А теперь, используя только карандаш и линейку, постройте угол, равный углу AOB.

(Учащиеся думают, и, как правило, хотя бы несколько ребят догадываются, как это сделать.)

(Получается чертеж Слайд №6 ).

Незнайка: А вы попробуйте доказать мне, что углы AOB и DOC равны. Я в этом не уверен! А транспортира у вас нет, чтобы проверить!

Учитель: Ну, что же, ребята, давайте попробуем доказать Незнайке, что полученные углы будут равны. Для этого мы будем использовать с вами только что доказанное свойство смежных углов.

(Доказательство проводит учащийся у доски, все записывают в тетрадь. Слайд №7 )

Вопрос Незнайки: Ребята, а что вы думаете об углах AOC и BOD? (Дети отвечают.)

Учитель: Оказывается, ребята, что у построенных таким образом углов есть свое название. Они называются вертикальными углами.(Слайд № 8 )

(Дети вместе с учителем формулируют определение вертикальных углов.)

Два угла называются вертикальными, если стороны одного из них являются продолжением сторон другого угла.

Учитель: И мы с вами доказали их свойство: вертикальные углы равны.

V. Закрепление темы.

1.(Слайд № 9 ) Определите, на каком из данных чертежей углы 1 и 2 вертикальные.

2. Учитель: Ребята, а как вы думаете, будут ли верными утверждения:

а) если углы равны, то они - вертикальные;

б) если сумма двух углов равна 180 0 , то они смежные? Если вы считаете, что утверждения неверные, то приведите примеры.

(Учащиеся приводят примеры. Если они затруднятся, показать слайд 10.) Слайд №10

3. Устные вопросы:

1. Чему равен угол, смежный углу в 30 0 , 45 0 , 125 0 , 90 0 , 179 0 ?
2. Могут ли два смежных угла быть одновременно острыми, прямыми, тупыми?
3. Известно, что сумма двух углов равна 200 0 . Могут ли эти углы быть смежными (вертикальными)?
4. Известно, что сумма углов равна 180 0 . Обязательно ли эти углы - смежные?
5. Чему равен угол, вертикальный углу в 47 0 , 123 0 ?

4. Задачи по готовым чертежам. (Слайды № 12,13,14,15 )

Дополнительная задача: Постройте произвольный угол AOB. Сколько углов, смежных ему, можно построить? Что вы о них можете сказать? (Два. Они равны, так как являются вертикальными углами.)

VI. (Слайд № 16 ) Задание на дом: п.11 № 55, 56, 61 (а,г,д), № 64(а).

Примечание: Если позволит время, то в конце урока можно провести устный счет, в результате которого с помощью таблицы ответов №1 расшифруем фразу: " Вдохновение нужно в поэзии, как и в геометрии" (А.С.Пушкин).

Для этого готовятся 38 карточек с устными примерами, в которых получаются такие ответы, как в таблице №1. А во вторую таблицу вписываем буквы, соответствующие полученному ответу. Номер места буквы совпадает с номером карточки.

Например:

Таблица №1

а	в	г	д	е	ж	з	и	к	м	н	о	п	р	т	у	х	э	,
20 0	5	90 0	40 0	180 0	135 0	20	14,5	11 0	18,1	6	21 0	45 0	14	69 0	110 0	25 0	130 0	0

Таблица № 2

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11		12	13	14	15	16		17

18	19	20	21	22	23		24		25	26	27		28		29		30	31	32	33	34	35	36	37	38

Пример карточки:

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами. На рисунке 20 углы АОВ и ВОС смежные.

Сумма смежных углов равна 180°

Теорема 1. Сумма смежных углов равна 180°.

Доказательство. Луч ОВ (см. рис.1) проходит между сторонами развернутого угла. Поэтому ∠ АОВ + ∠ ВОС = 180° .

Из теоремы 1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.

Вертикальные углы равны

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого. Углы АОВ и COD, BOD и АОС, образованные при пересечении двух прямых, являются вертикальными (рис. 2).

Теорема 2. Вертикальные углы равны.

Доказательство. Рассмотрим вертикальные углы АОВ и COD (см. рис. 2). Угол BOD является смежным для каждого из углов АОВ и COD. По теореме 1 ∠ АОВ + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Отсюда заключаем, что ∠ АОВ = ∠ COD.

Следствие 1. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD (рис.3). Они образуют четыре угла. Если один из них прямой (угол 1 на рис.3), то остальные углы также прямые (углы 1 и 2, 1 и 4 - смежные, углы 1 и 3 - вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность прямых АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.

АН - перпендикуляр к прямой

Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на ней (рис.4). Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра.

Чертежный угольник

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Из всякой точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой используют чертежный угольник (рис.5).

Замечание. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы. Например, условие теоремы 2 - углы вертикальные; заключение - эти углы равны.

Всякую теорему можно подробно выразить словами так, что ее условие будет начинаться словом «если», а заключение - словом «то». Например, теорему 2 можно подробно высказать так: «Если два угла вертикальные, то они равны».

Пример 1. Один из смежных углов равен 44°. Чему равен другой?

Решение. Обозначим градусную меру другого угла через x , тогда согласно теореме 1.
44° + х = 180°.
Решая полученное уравнение, находим, что х = 136°. Следовательно, другой угол равен 136°.

Пример 2. Пусть на рисунке 21 угол COD равен 45°. Чему равны углы АОВ и АОС?

Решение. Углы COD и АОВ вертикальные, следовательно, по теореме 1.2 они равны, т. е. ∠ АОВ = 45°. Угол АОС смежный с углом COD, значит, по теореме 1.
∠ АОС = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

Пример 3. Найти смежные углы, если один из них в 3 раза больше другого.

Решение. Обозначим градусную меру меньшего угла через х. Тогда градусная мера большего угла будет Зх. Так как сумма смежных углов равна 180° (теорема 1), то х + Зх = 180°, откуда х = 45°.
Значит, смежные углы равны 45° и 135°.

Пример 4. Сумма двух вертикальных углов равна 100°. Найти величину каждого из четырех углов.

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 2. Вертикальные углы COD к АОВ равны (теорема 2), значит, равны и их градусные меры. Поэтому ∠ COD = ∠ АОВ = 50° (их сумма по условию 100°). Угол BOD (также и угол АОС) смежный с углом COD, и, значит, по теореме 1
∠ BOD = ∠ АОС = 180° - 50° = 130°.