Конус. Усеченный конус

Конической поверхностью называется поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через каждую точку данной кривой и точку вне кривой (рис.32).

Данная кривая называется направляющей , прямые – образующими , точка – вершиной конической поверхности.

Прямой круговой конической поверхностью называется поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через каждую точку данной окружности и точку на прямой, которая перпендикулярна плоскости окружности и проходит через ее центр. В дальнейшем эту поверхность будем кратко называть конической поверхностью (рис.33).

Конусом (прямым круговым конусом ) называется геометрическое тело, ограниченное конической поверхностью и плоскостью, которая параллельна плоскости направляющей окружности (рис.34).

Рис. 32 Рис. 33 Рис. 34

Конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей один из катетов треугольника.

Круг, ограничивающий конус, называется его основанием . Вершина конической поверхности называется вершиной конуса. Отрезок, соединяющий вершину конуса с центром его основания, называется высотой конуса. Отрезки, образующие коническую поверхность, называются образующими конуса. Осью конуса называется прямая, проходящая через вершину конуса и центр его основания. Осевым сечением называется сечение, проходящее через ось конуса. Разверткой боковой поверхности конуса называется сектор, радиус которого равен длине образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.

Для конуса верны формулы:

где R – радиус основания;

H – высота;

l – длина образующей;

S осн – площадь основания;

S бок

S полн

V – объем конуса.

Усеченным конусом называется часть конуса, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию конуса (рис.35).

Усеченный конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольной трапеции вокруг оси, содержащей боковую сторону трапеции, перпендикулярную основаниям.

Два круга, ограничивающие конус, называются его основаниями . Высотой усеченного конуса называется расстояние между его основаниями. Отрезки, образующие коническую поверхность усеченного конуса называются образующими . Прямая, проходящая через центры оснований, называется осью усеченного конуса. Осевым сечением называется сечение, проходящее через ось усеченного конуса.

Для усеченного конуса верны формулы:

(8)

где R – радиус нижнего основания;

r – радиус верхнего основания;

H – высота, l – длина образующей;

S бок – площадь боковой поверхности;

S полн – площадь полной поверхности;

V – объем усеченного конуса.

Пример 1. Сечение конуса параллельное основанию делит высоту в отношении 1:3, считая от вершины. Найти площадь боковой поверхности усеченного конуса, если радиус основания и высота конуса равны 9 см и 12 см.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 36).

Для вычисления площади боковой поверхности усеченного конуса используем формулу (8). Найдем радиусы оснований О 1 А и О 1 В и образующую АВ.

Рассмотрим подобные треугольники SO 2 B и SO 1 A , коэффициент подобия , тогда

Отсюда

Так как то

Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна:

Ответ: .

Пример2. Четверть круга радиуса свернута в коническую поверхность. Найти радиус основания и высоту конуса.

Решение. Четверить круга является разверткой боковой поверхности конуса. Обозначим r – радиус его основания, H – высота. Площадь боковой поверхности вычислим по формуле: . Она равна площади четверти круга: . Получим уравнение с двумя неизвестными r и l (образующая конуса). В данном случае образующая равна радиусу четверти круга R , значит, получим следующее уравнение: , откуда Зная радиус основания и образующую, найдем высоту конуса:

Ответ: 2 см, .

Пример 3. Прямоугольная трапеция с острым углом 45 О, меньшим основанием 3см и наклонной боковой стороной равной , вращается вокруг боковой стороны перпендикулярной основаниям. Найти объем полученного тела вращения.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 37).

В результате вращения получим усеченный конус, чтобы найти его объем вычислим радиус большего основания и высоту. В трапеции O 1 O 2 AB проведем AC^O 1 B . В имеем: значит, этот треугольник равнобедренный AC =BC =3 см.

Ответ:

Пример 4. Треугольник со сторонами 13 см, 37 см и 40 см вращается вокруг внешней оси, которая параллельна большей стороне и находится от нее на расстоянии 3 см (Ось расположена в плоскости треугольника). Найти площадь поверхности полученного тела вращения.

Решение . Сделаем рисунок (рис. 38).

Поверхность полученного тела вращения состоит из боковых поверхностей двух усеченных конусов и боковой поверхности цилиндра. Для того чтобы вычислить эти площади необходимо знать радиусы оснований конусов и цилиндра (BE и OC ), образующие конусов (BC и AC ) и высоту цилиндра (AB ). Неизвестной является только CO . это расстояние от стороны треугольника до оси вращения. Найдем DC . Площадь треугольника ABC с одной стороны равна произведению половины стороны AB на высоту, проведенную к ней DC , с другой стороны, зная все стороны треугольника, его площадь вычислим по формуле Герона.

Объём конуса. Вот мы с вами добрались до конусов и цилиндров. Ещё, кроме тех, что уже опубликованы, будет около девяти статей, рассмотрим все типы заданий. Если в течение года в открытый банк будут добавляться новые задачи, конечно же, они также будут размещены на блоге. В этой статье представлена теория, а в примеры в которых она используется. Мало знать формулу объёма конуса, кстати вот она:

Можем записать:

Для решения некоторых примеров нужно понимать как соотносятся объёмы подобных тел. Именно понимать, а не просто выучить формулу:

То есть, если мы увеличим (уменьшим) линейные размеры тела в k раз, то отношение объёма полученного тела к объёму исходного будет равно k 3 .

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ! Не важно как вы обозначите объёмы:

Дело в том, что в процессе решения задач при рассмотре подобных тел, у некоторых может возникает путаница с коэффициентом k. Может появиться вопрос – Чему он равен?

(в зависимости от величины указанной в условии)

Всё зависит от того, с «какой стороны» посмотреть. Важно понимать вот что! Рассмотрим на примере – дан куб, ребро второго куба в три раза больше:

В данном случае, коэффициент подобия равен трём (ребро увеличено в три раза), а значит соотношение будет выглядеть следующим образом:

То есть объём полученного (большего) куба будет в 27 раз больше.

Можно посмотреть с другой стороны.

Дан куб, ребро второго куба в три раза меньше:

Коэффициент подобия равен одной трети (уменьшение ребра в три раза), а значит соотношение будет выглядеть:

То есть объём полученного куба будет в 27 раз меньше.

Заключение! Неважны индексы при обозначении объёмов, важно понимать как тела рассматриваются относительно друг друга.

Понятно, что:

— если исходное тело увеличивается, то коэффициент будет больше единицы.

— если исходное тело уменьшается, то коэффициент будет меньше единицы.

Про отношения объёмов можно сказать следующее:

— если в задаче будем делить объём большего тела на меньший, то получим куб коэффициента подобия, при чём сам коэффициент получится больше единицы.

— если будем делить объём меньшего тела на больший, то получим куб коэффициента подобия, при чём сам коэффициент получится меньше единицы.

Самое главное это запомнить – что когда речь идёт об ОБЪЁМАХ подобных тел, то коэффициент подобия имеет ТРЕТЬЮ степень, а не вторую, как в случае с площадями.

Ещё один момент касающийся .

В условии присутствует такое понятие как образующая конуса. Это отрезок соединяющий вершину конуса с точками окружности основания (на рисунке обозначен буквой L).

Здесь стоит отметить, что разбирать задачи мы будем только с прямым конусом (далее просто конус). Образующие у прямого конуса равны

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Определение:

Комплексное число =x – yi называется сопряженным числом по отношению кw = x + yi .

Примеры сопряженных комплексных чисел:

–1 + 5i и –1 – 5i , 2 – 3i и 2 + 3i .

Для деления двух комплексных чисел в алгебраической форме, как правило, удобно числитель и знаменатель дроби домножать на число, сопряженное знаменателю .

Пример 4 Выполнить деление:= [домножаем числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю] =

Заметим, что
есть выражение, а не число, поэтому его нельзя рассматривать как ответ.

Пример 5 Выполнить действия:
=

=


=
.

Пример 6 Выполнить действия:
= [домножаем числитель и знаменатель дроби на числа, сопряженные обоим числам знаменателя] =

1. Извлечение квадратного корня из комплексного числа в алгебраической форме

Определение. Комплексное число
называется квадратным корнем из комплексного числаz , если
.

Пример 7 Вычислить
.

Решение. Пусть
= x + yi , тогда

Решим отдельно биквадратное уравнение:

Ответ:{‑3 + 4i ; 3 ‑ 4i }.

Другой способ решения возможен после введения тригонометрической формы записи комплексного числа (см. с. 14).

1. Решение линейных и квадратных уравнений для комплексных чисел

В области комплексных чисел верны те же формулы для решения линейных и квадратных уравнений, что и в области действительных чисел.

Пример 8 Решить уравнение: (‑2 ‑i )z = 3 +i .

Пример 9 Решить уравнение:
.

Решение. Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

Ответ:{‑2 +i ; ‑2 –i }.

Пример 10 Решить уравнение:
.

Решение:

Ответ:{1 ‑ 2i ; 1 –i }.

Пример 11 Решить уравнение:
.

Решение:

Вычислим
:

Составляем систему, приравнивая вещественные и мнимые части левой и правой частей равенства:

Ответ:{2;i }.

Пример 12 Решить систему уравнений:

Решение. Выражаем из первого уравнения системы переменнуюx через переменнуюy :

Домножаем числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю:

В числителе дроби раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

Подставляем полученное значение переменной x во второе уравнение системы:

;

Ответ: {1 +i ; i }.

1. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел

   1. Геометрическое изображение комплексных чисел

При изучении свойств комплексных чисел весьма удобной является их геометрическая интерпретация . Поскольку комплексное число определяется как пара действительных чисел, то каждое комплексное число z = a + bi изображается точкой плоскости (x , y ) с координатамиx = a и y = b . Такая плоскость называется комплексной плоскостью , ось абсцисс ‑ действительной (Rez ), а ось ординат ‑ мнимой осью (Imz ).

Пример 13 Изобразить на плоскости точки, соответствующие числам:

Решение . У числаz 1 действительная часть равна ‑2, а мнимая ‑ 0. Следовательно, изображением числаz 1 служит точка (‑2, 0) (рис. 1.1).

У числа z 2 действительная часть равна 0, а мнимая равна 3. Следовательно, изображением числаz 2 служит точка (0, 3). У числаz 3 действительная часть равна 1, а мнимая ‑4. Следовательно, изображением числаz 3 служит точка (1, ‑4).

У числа z 4 действительная часть равна 1 и мнимая 1. Следовательно, изображением числаz 4 служит точка (1, 1).

У числа z 5 действительная часть равна ‑3, а мнимая ‑2. Следовательно, изображением числаz 5 служит точка (‑3, ‑2).

Сопряженные числа изображаются точками на комплексной плоскости, симметричными относительно действительной оси Rez .

В соответствии с определением деления действительных чисел устанавливается следующее определение.

Определение. Разделить комплексное число a + bi на комплексное число a" + b"i - значит найти такое число x + yi, которое, будучи помножено на делитель, даст делимое.

Конкретное правило деления получим, записав частное в виде дроби и умножив числитель и знаменатель этой дроби на число, сопряженное со знаменателем: (a + bi):(c + di)=

Пример 1. Найти частное (7 - 4i):(3 + 2i).

Записав дробь (7 - 4i)/(3 + 2i), расширяем её на число 3 - 2i, сопряженное с 3 + 2i. Получим:

((7 - 4i)(3 - 2i))/((3 + 2i)(3 - 2i)) = (13 - 26i)/13 = 1 - 2i.

Пример 1 предыдущего пункта даёт проверку.

Пример 2. (-2 +5i)/(-3 -4i) = ((-2 + 5i)(-3 - 4i))/((-3 - 4i)(-3 + 4i)) = (-14 -23i)/25 = -0,56 - 0.92i.

Чтобы доказать, что правая часть действительно является частным, достаточно помножить её на a" + b". Получим a + bi.

Решение уравнений с комплексными переменными

комплексный число сложение переменная

Рассмотрим сначала простейшее квадратное уравнение z2 = a, где а - заданное число, z - неизвестное. На множестве действительных чисел это уравнение:

• 1) имеет один корень z = 0, если а = 0;
• 2) имеет два действительных корня z1,2 = , если а>0;
• 3) не имеет действительных корней, если а

На множестве комплексных чисел это уравнение всегда имеет корень.

Задача 1. Найти комплексные корни уравнения z2 = a, если:

• 1) а = -1; 2) а = -25; 3) а = -3.
• 1) z2 = -1. Так как i2 = -1, то это уравнение можно записать в виде z2 = i2, или z2 - i2 = 0. Отсюда, раскладывая левую часть на множители, получаем (z-i)(z+i) = 0, z1 = i, z2 = -i.Ответ. z1,2 = i.
• 2) z2 = -25. Учитывая, что i2 = -1,преобразуем это уравнение:

z2 = i2 52, z2 - 52 i2= 0, (z-5i)(z+5i) = 0, откуда z1 = 5i, z2 = -5i.Ответ:

3) z2 = -3, z2 = i2()2, z2 - ()2i2 = 0, (z - i)(z + i) = 0

Ответ: z1,2 = i.

Вообще уравнение z2 = a, где а < 0 имеет два комплексных корня: Z1,2= i.

Используя равенство i2 = -1, квадратные корни из отрицательных чисел принято записывать так: = i, = 2i, = i .

Итак, определен для любого действительного числа а (положительного, отрицательного и нуля). Поэтому любое квадратное уравнение az2 + bz + c = 0, где а, b, с - действительные числа, а 0, имеет корни. Эти корни находятся по известной формуле:

Задача 2. Решить уравнение z2-4z+13=0. По формуле находим: z1,2 = = = 2 3i.

Заметим, что найденные в этой задаче корни являются сопряженными: z1=2+3i и z2=2-3i. Найдем сумму и произведение этих корней: z1+z2=(2+3i)+(2-3i)=4, z1z2=(2+3i)(2-3i)=13.

Число 4 - это 2-й коэффициент уравнения z2-4z+13=0, взятый с противоположным знаком, а число 13- свободный член, то есть в этом случае справедлива теорема Виета. Она справедлива для любого квадратного уравнения: если z1 и z2 - корни уравнения az2+bz+c = 0, z1+z2 = , z1z2 = .

Задача 3. Составить приведенное квадратное уравнение с действительными коэффициентами, имеющие корень z1=-1-2i.

Второй корень z2 уравнения является числом, сопряженным с данным корнем z1, то есть z2=-1+2i. По теореме Виета находим

P=-(z1+z2)=2, q=z1z2=5. Ответ z2-2z+5=0.