Тригонометрические задания в егэ с решениями. Тригонометрические уравнения. Исчерпывающее руководство (2019). Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

В книге излагаются основные положения школьного курса тригонометрии. Главный упор делается на технику решения тригонометрических задач, аналогичных предлагаемым абитуриентам на вступительных экзаменах в вузы. Показано, как на основе достаточно простых и стандартных элементов решения складывается решение более сложных тригонометрических задач, требующих от учащегося определенных усилий.
Книга предназначена абитуриентам вузов и учащимся старших классов. Также будет полезна школьным учителям в качестве методического пособия и широкому кругу читателей, любящих элементарную математику.

Тригонометрические функции и их свойства.
Основные тригонометрические функции:
y = sin x; y = cos x;
y = tg x; y = ctg x.

Аргументом х тригонометрических функций является действительное число. Такое число можно взаимно однозначно поставить в соответствие каждому углу - положительному или отрицательному, меньшему или большему, чем полный развернутый угол. Поэтому число х можно интерпретировать как числовую меру угла.

Для угла, по величине меньшему, чем полный развернутый, абсолютная величина этого числа определяется как отношение длины lAM дуги, на которую опирается этот угол в некоторой окружности, к радиусу R этой окружности, (рис.1):

Содержание
Предисловие
§1. Тригонометрические функции и их свойства
§2. Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства
§3. Тригонометрические формулы и преобразования
§4. Техника решения тригонометрических уравнений
§5. Тригонометрические уравнения с ограничениями на множество значений неизвестного
§6. Техника сопоставления множеств решений тригонометрических уравнений
§7. Техника решения тригонометрических неравенств
§8. Системы тригонометрических уравнений
§9. Обратные тригонометрические функции
§10. Задачи с параметрами
§11. Комбинированные задачи
§12. Разные задачи.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Тригонометрия, Техника решения задач, Лурье М.В., 2004 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Геометрия, 7 9 классы, Козлова С.А., Рубин А.Г., Гусев В.А., 2015
Математика, алгебра и начала математического анализа, геометрия, Геометрия, 11 класс, Гусев В.А., Рубин А.Г., 2016

Следующие учебники и книги:

Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, Федорчук В.В., 2003
Математика, учебник для 6 класса с обучением на русском языке, Тарасенкова Н.А., Богатырёва И.Н., Коломиец О.Н., Сердюк З.А., 2014

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

ТРИГОНОМЕТРИЯ.

1. Измерение дуг и углов.

1. Какой угол описывает в течение 4 чагов часовая стрелка часов? минутная стрелка?

Ф 2. Колесо машины в 2 секунды делает 6 оборотов. На сколько градусов повернется колесо за 1 секунду? за 10 секунд?

3. Зубчатое колесо имеет 72 зубца. На сколько градусов колесо повернется при обороте на 1; 30; 141;

300 зубцов?

2) Выразить (с помощью таблиц) в градусной мере. 0,6981; 1,3090; 0,2356; 1,0071; 3,8048; 0,48; 1,3; 0,8.

10. Колесо, радиус которого равен 1,2 м, делает в 1 минуту 300 оборотов.

1) Найти его угловую скорость ы в 1 се-кунду (угловая скорость выражается в радианах).

2) Найти окружную скорость той точки колеса, которая отстоит от центра на 20 см.

3) Найти окружную скорость точки, находящейся на окружности колеса.

4) Доказать, что окружная скорость вращения точки, отстоящей от центра на расстоянии г, равна гы.

11. Угловая скорость вала равна 21 (в 1 секунду). Определить число его оборотов в 1 минуту.

§ 2. Изменение тригонометрических функций ч с изменением угла.

1. В какой четверти все функции положительны? Существует ли четверть, в которой все функции отрицательны?

2. Если угол принадлежит треугольнику, то какие из его тригонометрических функций могут быть отрицательны и когда именно?

3. Какие знаки имеют тригонометрические функции половины угла в треугольнике?

§ 6. Решение прямоугольных треугольников.

5. Дирижабль попал в полосу света прожектора, когда ось прожектора составляла с горизонтом угол в 47°. В то же время расстояние по прямой от прожектора до дирижабля было равно 3,5 км. Вычислить: 1) высоту подъема дирижабля, 2) горизонтальное расстояние дирижабля от прожектора.

6. Батарея помещена на утесе высотой в 150 м. Угол понижения мишени (черт. 2), плавающей в море, определен с батареи в 9°. Чему равно расстояние (по горизонтальному направлению) от мишени до батареи?

7. Перископ подводной лодки виден на расстоянии 1500 м от форта, орудия которого помещены на высоте 330 м от поверхности воды. Определить угол, на который нужно опустить орудия, чтобы они были направлены на лодку.

8. Аэроплан сигнализирует на батарею, что он находится как раз над мишенью на высоте 1700 м (черт. 3); в тот же момент

наблюдатель на батарее находит, что угол высоты самолета равен 25°. Вычислить расстояние (по горизонтали) батареи от мишени.

9. Чтобы определить ширину реки, проводят на одном берегу ее, непосредственно у воды, базис АВ, равный а метрам; из конпа А базиса, по перпендикулярному к нему направлению, на противоположном берегу у самой воды видно дерево С; из другого же конца В базиса это дерево видно под углом к нему. Вычислить ширину реки, если а = 42 .и и = 25°28.

10. Из точки, отстоящей на расстоянии а метров от центра Основания башни, верхушка башни видна под углом высоты а. Определить высоту башни (я = 86,6; я = 22°17).

11. Из окна на высоте Л=12 м берега реки видны под углами наклонения а, = 17° и ал = 45°. Определить ширину реки.

12. Горная железная дорога поднимается на 1 д на каждые 30 м

пути. Найти угол подъема.

13. Человек, пройдя по склону холма 1050-и, поднялся на 90 м над плоскостью основания холма. Определить (в среднем) угол наклона холма.

14. При съемке равномерно подымающейся улицы длиною в

728 м установчена разница высот ее концов в 37,4 м. Определить угол подъема и горизонтальную проекцию улицы.

15. На горке стоит шест длиною а метров. Из некоторой точки, находящейся на горизонтальной плоскости основания горки и отстоящей от верхнего конца шеста на расстоянии Ь метров, этот конец виден под углом а. Определить высоту горкл (а = 2; Ь = 14; а = 63°18).

16. Если на горизонтальной поверхности земли предполагается рассаживать деревья на расстоянии а метров одно от другого, то на каком расстоянии одну от другой, соответственно с этим, следует копать ямки для посадки деревьев по склону холма (черт. 4), имеющему наклон к горизонту а (а = 3,5; а = 25°18)?

17. На прямой MN взята точка А, и из нее под острым углом а к прямой MN проведен отрезок АВ длиною а метров; определить проекцию (jc) отрезка АВ на прямую MN и проследить изменение этой проекции при изменении угла а от 60° до 0 и обратно: от 0 до 90°.

18. Строение, имеющее 30 м высоты, бросает тень длиною в 45 м. Определить высоту солнца.

19. В полдень при высоте солнца в 28° фабричная труба бросает тень длиной в 76 м. Определить высоту трубы

20. Какова высота солнца в то время, 1) когда длина тени ог стоящего человгка равна половине его роста; 2) когда она вдвое больше его роста и 3) когда она в 2 раза больше его роста?

21. Тень от вертикального шеста короче его самого на - его длины. Какова высота солнца (и=10,5)?

22. Гаубица Н, стреляющая по мишени Т с расстояния 2500 м, получила приказание перебросить огонь на другую мишень S, находящуюся на расстоянии 1500 м от Т. На какой угол нужно повернуть орудие, если ST перпендикулярно к НИ

23. Две точки движутся равномерно из вершины прямого угла, одна по одной, а другая по другой стороне этого угла; первая проходит по а метров, а вторая по b метров в секунду. Под

каким углом <р к направлению движения первой точки видна из нее вторая точка?

24. Каменная домовая лестница (черт. 5) имеет в каждом марше (т. е. между каждыми двумя поворотными площадками) по 15 ступенек, причем полезная ширина каждой сту-церТ_ 5 пеньки (так называемая проступь) равна b = 27 см, а высота ступеньки а=18 см. Определить угол подъема этой лестницы.

25. Ширина каждой ступеньки домовой лестницы равча 25 см. Какова должна быть высота ступеньки для того, чтобы угол подъема лестницы был равен 40°?

26. Две прямые улицы пересекаются под углом в 51°50. Одна из них на расстоянии 1625 м от места пересечения должна быть соединена кратчайшим путем со второй. Найти длину этого кратчайшего переулка.

27. Прямая АО, соединяющая некоторую внешнюю точку А с центром О данного круга, имеет длину с=2,53 м. Из точки А проведена к кругу касательная АС, образующая с прямою АО угол а = 38°46. Определить длины радиуса (г) и касательной (jc).

28. Определить радиус круга, описанного около прямоугольного треугольника, у которого катет равен а дециметрам, а прилежащий к нему острый угол равен р.

29. Образующая изображенной на чертеже 6 конической части вала имеет подъем в 12°/0, т. е. на каждые 100 мм высоты радиус увеличивается на 12 мм. Найти угол подъема а и диаметр D.

30. В усеченном конусе, данном на чертеже 6, известны оба диаметра d и D. Образующая конуса имеет подъем 1: п. Найти расстояние h между начальной и угол подъема а. насыпь высотой в 120 м имеет 360 м ширины при основании и 60 м ширины при вершине. Вычислить угол наклона откоса к горизонту.

32. Железнодорожная насыпь имеет сверху ширину в 60 м, а снизу 240 м Боковые стороны насыпи наклонены к горизонту под углом 35°. Определить высоту насыпи.

33. Поперечный разрез насыпи, при постройке которой был применен наибольший возможный откос if = 39°, представляет равнобедренную трапецию. Нижнее основание трапеции а = 10 м, высота Л = 3 м. Определить верхнее основание трапеции.

34. По основанию b и боковой стороне а равнобедренного треугольника определить угол при основании (6 =28,13; а = 17,53).

35. По основанию Ь и по высоте h равнобедренного треугольника определить угол при его вершине (6=31,26 и А = 20,75.

36. В круге радиуса R определить длину хорды, стягивающей дугу в а градусов (7? = 4,175; я = 37°42).

37. В круге радиуса А? = 35,8 дм проведена хорда длиною в а = 28,7 дм. Найти дугу, стягиваемую хордой, и расстояние хорды от центра.

38. Хорда равна диаметра круга. Определить число градусов и минут в дуге, которая стягивается этой хордой.

39. Хорда делит окружность на двз части, относящиеся между собой как т: п. Длина окружности равна с метрам. Определить расстояние хорды от центра {т: п = 3: 7; с =120).

40. Угол я, вписанный в окружность, опирается на хорду, длина которой а сантиметров. Определить радиус круга.

41. Даны двз силы: Р = 4,372 кг и Q = 5,645 кг, направленные перпендикулярно друг к другу. Какой угол образует равнодействующая с силой Р и чему она равна?

42. Основание равнобедренного треугольника равно Ъ дециметрам, угол при основании равен а. Определить периметр треугольника.

43. Основание равнобедренного треугольника равно Ь дециметрам, а боковая высота равна h дециметрам. Определить угол х прн основании треугольника.

44. На чертеже 7 показан паз; определить угол а наклона сторон паза к его основанию.

45. На чергеже 8 показана -специальная винтовая нарезка для пушечных замков. Вычислить угол а для заточки резца, служащего

для нарезания этой резьбы.

46. Три пункта А, В, С расположены так. что их расстояния на карте выражаются следующими числами: АВ= 0,85

АС г= 1,20 дм, ВС = = 1,20 дм. Пункт В находится в точности к северу от пункта А. Найти направление из А на С.

47. Плечи прямолинейного рычага имеют 5 дм и 15 дм длины. На сколько дециметров подымается (по вертикали) каждый конец при повороте рычага на: 1) 40°; 2) 60° и 3) 90° от горизонтального положения?

48. Судно двигалось следующим образом:

Направление Пройденное расстояние в км

Определить расстояния, которые прошло судно к востоку и к северу от точки отправления.

3) Найти для различных углов а соответствующий угол р при отношении (а = 0°; 10°; 20°; 30°; 40°; 50°; 60°; 70°; 80°; 90°).

4) Почему при значении а =90° угол р (в формуле, данной в п. 2 эгой задачи) имеет наибольшую величину?

5) Как велик угол р, когда шатун и кривошип перпендикулярны друг другу?

6) Пусть при а = 0 точка Р занимает положение Q. Показать, что перемещение головки шатуна QP = x может быть вычислено по формуле:

х - г (1 - cosa)+/ (1 - cosр).

Вычислить величину х для данных выше (п. 3) углов а, еслиi длина кривошипа 1=300 мм, а шатуна г = 1500 мм.

54. Дан круг радиуса г сантиметров. Из точки, отстолщей от центра на расстоянии а сантиметров, проведены две касательные. Определить угол между ними (г =3,35; а =8,32).

55. Линия центров двух кругов (черт. 10) равна d сантиметрам, я радиусы их - Р и г сантиметрам.. Определить углы аир, под

которыми общие внутренняя и внешняя касательные этих кругов пересекают линию их центров (/? = 3,065; г= 1,007; d = 6,245).

56. Из некоторой точки А окружности, радиус которой равен 5 дм, проведены две хорды длиною в 7 дм и 8 дм. Вычислить угол, образуемый этими хордами, рассмотрев два случая; 1) когда хорды находятся но обе стороны радиуса и 2) когда по одну сторону его.

57. В равнобедренном треугольнике высота равна h дециметрам збоковая высота равна Л, дециметрам. Определить угол при основании треугольника (А = 2,5; A,=3).

58. По боковой стороне а сантиметров равнобедренного треугольника и по углу р при вершине определить радиусы кругов описанного (R) и вписанного (г).

59. Катет прямоугольного треугольника равен b метрам, а перпендикуляр, проведенный из вершины прямого угла к гипотенузе, равен h метрам. Определить один из острых углов треугольника, а затем другой катет а ‘и гипотенузу с.

63. Какой угол возвышения а (черт. 12) нужно придать орудию при стрельбе через лес, в котором верхушки деревьев на 15 м превышают уровень орудия и находятся на расстоянии 200 м от орудия, причем к высоте закрытия (в данном случае леса) обычно добавляется 0,01 дистанции, т. е. расстояния от орудия до закрытия?

64. Прямая, соединяющая орудие с целью, образует с горизонтом угол, называемый углом местности. Вычислить угол местности при стрельбе по цели, находящейся выше уровня орудия на 65 м, причем расстояние от орудия до цели, измеренное по карте, масштаб

которой jqqqq, оказалось равным 31,5 см.

65. Две точки А и В удалены друг от друга на 15 см; перед ними находился плоское зеркало на расстоянии a = 5 см от одной точки и I) = 7 см от другой. .Как велик угол падения луча, идущего от А и отброшенного в направлении к Bi

§7. Решение косоугольных треугольников.

3. Чтобы найти высоту фабричной трубы, к основанию которой нельзя подойти, измерили базис АС = 11,0 ж, продолжение которого упирается в основание трубы Щерг. 14). Угол BAD =49°; ВСО = ЪЪ°. Высота угломерного снаряда равна 1,37м. Чему равна высота трубы?

4. Для определения высоты вертикального предмета А В от оснований его А проведен базис.АС. равный Ь метрам, повышающийся от А к С под углом а° к плоскости горизонта (черт.

15). Из конца В базиса верхушка предмета видна под-углом высоты р°. Определить высоту предмета.

5. На горе, склон которой понижается к горизонту под углом fi°, стоит дерево. Тень дерева, падающая на склон горы при высоте солнца ас имеет длину I метров. Определить высоту дерева.

6. Одйа из диагоналей параллелограма равна d и делит его угол на части в а° и {5°. Определить стороны параллелограма.

7. В треугольнике даны сторона а и два прилежащих к ней угла 8° и -f. Определить биссектрисы 1а, 1Ь и 1С всех углов треугольника.

8- Чтобы определить ширину реки, непосредственно у воды по берегу реки провешили базис АВ длиною с метров и наметили дерево С, стоящее на другом берегу у самой воды; затем измерили /_САВ=а? и?АВС=$°. Вычислить ширину реки протиз дерева С (с = 400; а = 45°; ,8 = 30° ц

11. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна Ь, а угол при вершине - а. Определить площадь (Ь =10 м; а = 75°20).

12. Если длины двух сторон треугольника а и b будут оставаться постоянными, угол же Y, составленный ими, будет изменяться в пределах от 0 до 180°, то при каком значении (площадь треугольника будет наибольшей?

13. Доказать, что площадь параллелограма равна произведению двух смежных сторон его на синус угла между ними.

14. Доказать, что площадь всякого 4-угольника равна полов ше произведения его диагоналей на синус угла между ними.

15. Определить площадь ромба по его стороне а и по углу а (а = 7,5 см; а = 22°10).

16. Определить площадь Q прямоугольника по длине его диагонали d и по углу f между диагоналями. Определить максимум Q при изменении tp от 0 до 180°.

17. Основания трапеции а и Ь, боковая сторона г, прилежащий к ней угол а. Определить площадь трапеции.

18. Площадь параллелограма 12 дм1, стороны его а = 3,7 дм и Ь = 4,2дм. Определить углы параллелограма.

19. Площадь треугольника 71,24 см1; стороны его а = 15 сл и *> = 13 см. Определить угол между ними.

20. Определить площадь участка земли, имеющего вид треугольника, одна из сторон которого с, а две другие образуют с первой углы а и р (с = 20; а = 65°30; р = 84°30).

21. Две из прямолинейных границ лесного участка сходятся под углом ВАС = а. Требуется от этого участка отрезать площадь DAE в Q кв. метров при помощи прямой DE, наклоненной к стороне АС под углом AED = у. Такую прямую легко провешить, если будут известны стороны АЕ и AD. Определить длину этих сторон.

22. В треугольнике ABC даны: угол С~ у и высоты, проведенные из углов А и В, ha и Иь. Определить площадь треугольника.

23. Определить площадь треугольника по двум углам а и Р и по высоте hb.