Решение уравнений и неравенств с модулем урок. Уравнения и неравенства с модулем. Материал для занятий

Г. Гутфройнд, У. Литтл
Physics Department, Stanford University, Stanford, Calif. 94305.
В теории чисел немаловажное значение имеют простые числа, которые образуют базис, или представление, всех составных чисел. Здесь мы покажем, что существует связь между разложением целых чисел на простые множители и свойствами симметрии спиновых конфигураций в модели Изинга. Это позволит нам предложить «физическую» интерпретацию простых чисел, которую, как мы надеемся, по достоинству оценят физики, широко использующие соображения симметрии.

Так называемая малая 1 теорема Ферма - одна из наиболее известных теорем о делимости в элементарной теории чисел, сыгравшая важную роль в развитии последней. Формулируется малая теорема Ферма следующим образом: для любого числа p и положительного целого числа a, не кратного p,

ap–1 ≡ 1 (mod p),

т.е. ap–1 – 1 делится на p без остатка. Доказательство этой теоремы, приводимое обычно в учебниках по теории чисел, основано на арифметике вычетов . Мы приведём доказательство малой теоремы Ферма, основанное на свойстве симметрии спиновых конфигураций в одномерной модели Изинга. Для ясности разобьём доказательство на три этапа.

Во-первых, докажем, что если p - любое простое число, то 2p – 2 делится на p без остатка. Для этого рассмотрим окружность с p узлами и каждому узлу i припишем какое-то значение спиновой переменной Изинга si = ±1. В пространстве 2p возможных конфигураций α = (s1, s2, ..., sp) зададим оператор сдвига T. Действие его на данную конфигурацию сводится к сдвигу всех спиновых переменных на один узел, скажем, по часовой стрелке. Разобьём все конфигурации на классы следующим образом: две конфигурации α и β считаются принадлежащими одному и тому же классу, если при некотором целом n выполняется равенство β = T nα. Конфигурация, в которой все спины обращены «вверх» (или все спины обращены «вниз»), сама по себе образует класс. Очевидно также, что для любой конфигурации α справедливо равенство α = T pα, поскольку T p соответствует полному повороту. Мы утверждаем, что если p - простое число, то при любой спиновой конфигурации α (отличной от двух тривиальных конфигураций, в которых все спины направлены в одну сторону)

α ≠ T nα при n

Установив это, мы можем утверждать, что каждая конфигурация принадлежит какому-то классу, содержащему p различных элементов. Следовательно, число всех конфигураций за вычетом двух тривиальных конфигураций делится на p без остатка. Ясно, что равенство α = T nα может выполняться только в том случае, когда конфигурация содержит целое число повторяющихся подпериодов длиной n. При n

То, что число p является простым, означает, что в рассматриваемом нами случае ни одна (нетривиальная) конфигурация не имеет более высокую симметрию, чем полный поворот. Иными словами, абелева группа поворотов на угол 2π/p не имеет подгрупп.

Во-вторых, заметим, что число 2p – 2, которое делится на p без остатка, должно делиться и на 2p, так как число 2p – 2 чётно, а p, как простое число, нечётно. Таким образом, 2p–1 – 1 делится на p без остатка. Используя спиновые конфигурации в модели Изинга, мы можем получить этот результат непосредственно. Определим оператор инверсии I, который, действуя на данную конфигурацию, приводит к обращению знаков всех спиновых переменных. Разобьём, как и прежде, конфигурации на классы: две конфигурации α, β будем считать принадлежащими одному и тому же классу, если β = (TI)nα при некотором целом n. При любой конфигурации α справедливо равенство α = (TI)2pα, поскольку p, будучи простым числом, должно быть нечётным, и, следовательно, один поворот содержит нечётное число инверсий. Конфигурация переходит в самоё себя лишь после двукратного поворота. Как и прежде, мы заключаем, что каждая конфигурация (за исключением двух тривиальных, образующих класс из двух элементов) принадлежит какому-то классу из 2p различных элементов.

Наконец, обобщим соображения, приведённые выше для a = 2, на случай произвольного a, чтобы получить малую теорему Ферма в её обычной форме. Для этого рассмотрим спин j, причём 2j+1=a и каждая спиновая переменная Изинга si, совпадает с одной из 2j+1 возможных проекций спина (–j, –j+1, ..., j). Всего существует ap конфигураций, из которых необходимо вычесть a трансляционно-инвариантных конфигураций. Из приведённых выше соображений следует, что для любого a разность ap – a делится на p без остатка. Чтобы обобщить второй этап доказательства, введём оператор инверсии I, действие которого на данную конфигурацию увеличивает переменные si на единицу, за исключением того случая, когда si = j (в этом случае si под действием оператора I переходит в si = –j). Ясно, что для любой конфигурации α мы имеем a = (TI)apα. Если потребовать, чтобы a не было кратным p, то при любом n

Заметим, что, потребовав, чтобы a не было кратным p, мы исключили возможность симметрии, более высокой, чем произведение полных поворотов положений узлов и спиновых переменных.

Ещё одно достоинство предложенного нами метода доказательства состоит в том, что он позволяет легко обобщить малую теорему Ферма на случай некоторых составных чисел. Например, если m - произведение двух различных простых чисел p1 и p2, то можно показать, что

(am–1 –1) – (ap1–1 –1) – (ap2–1 –1)

делится на m без остатка. Члены, вычитаемые из (am–1 –1), представляют собой число конфигураций, которые попадают в классы с циклической структурой, имеющие менее чем m элементов. Малая теорема Ферма допускает обобщение и на случай более сложных составных чисел. Рассмотрим, например, число m = p1a1p2a2... pnan, где pi - простые, а ai - целые числа. Пусть a не делится на m без остатка. Тогда можно показать, что на m делится без остатка следующее выражение:

(am–1 –1) –

Примечания

H. Gutfreund, W.A. Little. "Physicist"s proof of Fermat"s theorem of primes". - Amer. J. Phys., March 1982, p. 219–220. Перевод с английского Ю.А. Данилова.

1. Более известна другая (так называемая «великая» или «последняя») теорема Ферма, утверждающая, что ни при каких целых n ≥ 3 уравнение xn + yn = zn не имеет решений в целых числах x, y, z. Ей посвящена обширная литература, из которой назовём лишь издания: Хинчин А. Я. Великая теорема Ферма, изд. 2-е. - М.–Л.: Гостехтеоретиздат, 1932; Постников М. М. Теорема Ферма. - М.: Наука, 1978; Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. - М.: Мир, 1980. - Прим. перев.

Список литературы

1. Ogilvy С.S., AndersonJ.T. Excursions in Number Theory. - New York: Oxford University Press, 1966. [См. также: Виноградов И.М. Основы теории чисел. - М.: Наука, 1972; Оре О. Приглашение в теорию чисел. - М.: Наука, 1980. - Прим. перев.]

2. Golomb S.W.- Amer. Math. Monthly, 1956, v. 63, p. 718.

Там полотно выстирали, свернули и положили в ящик. Ровно пятьдесят лет спустя, в 1357 г., этот четырехметровый кусок ткани выставили на всеобщее обозрение в Ливе. Мы не можем с уверенностью утверждать, что это был тот же самый кусок (как-никак, прошло полвека), но зато хорошо понимаем, почему он вызвал такой интерес.

Окровавленного де Моле сняли с креста и бросили в холодной, сырой подземной темнице. По его телу струился пот, смешанный с кровью, в которой повысилось содержание молочной кислоты. Едкая жидкость пропитала покров в тех местах, которые теснее всего прилегали к коже. Травмы, полученные де Моле при распятии, “написали” картину мучений этого человека на его собственном “масонском” покрове.

Родственники де Шарне сняли покрывало, перевязали раны и, должно быть, потратили несколько месяцев на то, чтобы привести де Моле в человеческий вид. Покрывало осталось в их доме совершенно случайно. Племянник Жоффруа де Шарне (которого тоже звали Жоффруа) за год до демонстрации покрова был убит в битве при Пуатье . Очень похоже, что знание истинного происхождения покрова умерло вместе с ним.

Отпечаток на полотне был удивительно четким. Контуры тела де Моле въелись в ткань благодаря высокому содержанию в крови молочной кислоты, которая вступила в реакцию с ладаном, использовавшимся для отбеливания и богатым карбонатом кальция. Длинный нос, разделенные прямым пробором волосы до плеч, окладистая борода, раздвоенная на конце, и крепко сбитая шестифутовая фигура - все это полностью соответствует хорошо знакомому облику последнего Великого Магистра рыцарей-тамплиеров. (См. иллюстрации 19 и 20).

Люди, первыми увидевшие покров, были уверены, что знают этот образ, поскольку он отвечал их представлению о человеке, испытавшем ту же судьбу тысячу триста лет назад. Они думали, что видят лик Иисуса. Этот кусок ткани ныне называют “туринской плащаницей”.

Однако изображение, которое христианский мир привык считать ликом Спасителя, на самом деле было портретом человека, которого мучили и убили во имя Господа. Только сделали это не римляне, а жадный до денег французский король, поддерживаемый Римской католической церковью.

Многие пытались раскрыть загадку “туринской плащаницы”, но разгадку нашли мы...

Потому что не искали ее. Нашей целью были поиски Хирама, а Плащаница стала тем крошечным кусочком мозаики, который позволил полностью собрать головоломку. В 1988 г. Ватикан дал разрешение на проведение научного исследования Плащаницы. Три группы ученых независимо друг от друга провели анализ изотопов углерода и доказали, что полотно соткано не раньше 1260 г. С учетом того, что к моменту распятия де Моле ткань уже была в употреблении, эта дата попадает точно в яблочко.

Самое любопытное, что результаты анализа были опубликованы 13 октября - именно в тот день, когда де Моле был арестован и распят! Шансов на такое совпадение - один из трехсот шестидесяти пяти. Мы волей-неволей заподозрили, что это неспроста. Ватикан всегда отрицал, что Плащаница является священной реликвией, поскольку знал правду; может быть, Рим сделал это нарочно, чтобы лишний раз указать на ее подлинное происхождение?

Учение Иисуса, надежно похороненное вместе со своим создателем и уступившее место эллинистической магической формуле, придуманной Павлом - “Фонтаном Лжи”, благодаря распятию Жака де Моле вновь явилось миру. “Мертвое и похороненное”, оно пролежало под Иерусалимским храмом тысячу двести семьдесят четыре года. Но однажды родившиеся идеи равенства, гражданского долга и неодолимого стремления к знанию все же воскресли и положили конец тому периоду застоя и интеллектуального вакуума, который метко прозвали “Темными Веками”.

Политическая мощь, которую Римская империя медленно теряла в течение трех первых веков нашей эры, на время была восстановлена Константином, который, как было показано выше, сплел липкую паутину из предрассудков, чтобы с ее помощью уловлять умы простонародья и держать массы в повиновении. Он считал, что народ в мирное время должен создавать товары и богатеть, а в военное - поставлять солдат. Наградой за эту скучную, жалкую жизнь стало обещание личного воскресения и чудесного загробного существования. Римская церковь возвела в добродетель слепую веру, наклеив на подлинно христианскую литературу ярлык “гностики” и объявив ее злокозненной ересью. Между тем по-гречески слово “гностика” означает просто “знание”. В том, что исторический период, широко известный под названием “Темных Веков”, начался в момент возвышения Римской церкви и закончился распятием Жака де Моле, нет никакого совпадения! Ослепительный свет возродившегося истинного учения Иисуса напугал тьму, царствовавшую на Земле одно с четвертью тысячелетие, и заставил ее попятиться.

Еще по теме Физическое доказательство:

ФИЗИЧЕСКОЕ см. ТЕЛО ФИЗИЧЕСКОЕ ФИЗИЧЕСКОЕ СТРАДАНИЕ см. БОЛЕЗНЬ и НЕСЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ ФИКСАЦИЯ см. НАВЯЗЧИВОЕ СОСТОЯНИЕ ФОБИЯ
Третий секрет Истинного Здоровья – физическая деятельность приносит силы. Регулярные физические упражнения:

Внимательно просматривая источники, описывающие события после Иудейской войны, мы узнали о существовании широко распространенного поверья, известного под именем “Берешит Раббати”: пророческая сила возвратится к Израилю в 1210 г., а вслед за этим в Великой Римской Епархии объявится долго скрывавшийся мессия. (Maimonides letter to the Jews at Yemen). К нашему неописуемому удивлению, нечто похожее - правда, с существенными оговорками - действительно произошло.

В 1244 г., спустя тридцать четыре года после обещанного возврата израильских пророков, в семье мелкого восточно-французского помещика де Моле (de Molay) родился мальчик, которого назвали Жаком. Сей юноша рано осознал свою миссию и стал тамплиером, едва достигнув необходимого для этого возраста в двадцать один год. Он хорошо служил и вскоре прослыл отличным организатором, а также сторонником самой суровой дисциплины. Служа в Англии, он получил степень Мастера Храма, а затем стал Великим Маршалом, ответственным за военные силы Ордена. Когда в 1292 г. скончался Великий Магистр Ордена Тибо Годен, мало кто удивился, что место покойного занял Жак де Моле.

К этому времени тамплиеры утратили свой последний оплот на Святой Земле: за год до упомянутого события мусульманские мамлюки взяли Акру, положив конец остаткам христианского Иерусалимского королевства. Однако Моле по-прежнему оставался чрезвычайно могущественным человеком, под началом которого были огромные земельные владения, раскиданные по всей Европе, великолепно обученная армия, значительный военный флот, а также международный торговый и банкирский дом. За сто семьдесят четыре года, прошедшие с того дня, когда Гуго де Пейн с маленьким отрядом рыцарей начал раскопки в руинах Храма, этот Орден стал самой влиятельной силой христианского мира, дерзавшей спорить с самим Ватиканом и часто одерживавшей над ним верх. Мы почти уверены, что первые тамплиеры сумели обнаружить золото, серебро и другие драгоценности, зарытые иудеями в момент приближения к Иерусалиму римских легионов; никакими естественными причинами объяснить столь стремительный взлет дотоле неизвестного Ордена невозможно. Вполне понятно, что о своих находках они никому не рассказали, а письменных свидетельств не оставили тем более.

Едва придя к власти, Моле потребовал неукоснительного соблюдения всех правил устава и навел в Ордене суровую дисциплину. Сам полностью неграмотный, он приказал другим рыцарям не тратить время на чтение и предоставить это занятие клирикам.

Тамплиеры подчинялись непосредственно папе римскому, но поскольку в Орден входили по преимуществу французы, он был тесно связан с жизнью этой страны. В то время Францией правил чрезвычайно самолюбивый и амбициозный король Филипп IV по прозвищу Красивый. Он пытался использовать папу римского в своих целях, но сладить с Бонифацием VIII было нелегко. Отношения короля и папы испортились, когда Бонифаций отказался позволить Филиппу собирать налоги с французской церкви. В 1302 г. он объявил, что “духовное выше мирского” и что “перечащий папе перечит Богу”. Тогда Филипп раззвонил на весь свет, что Бонифаций не имеет права сидеть на “троне Петра”, обвинил понтифика во всех мыслимых и немыслимых грехах включая богохульство, ересь, убийства и даже содомию. Желание Филиппа избавиться от соперника не знало границ; вскоре он испытал предел доверчивости жителей Средневековья, обвинив Бонифация в тайной сексуальной связи с демоном, живущим в перстне папы. Естественно, папа оскорбился, предал лично Филиппа анафеме и пригрозил интердиктом его королевству. Безусловно, отлучение от церкви целой страны менее страшно, чем отлучение какой-либо нации, но все же приятного в этом чрезвычайно мало. Во время интердикта никто во Франции не смог бы пройти обряд крещения, вступить в брак, получить отпущение грехов и даже быть похороненным по христианскому обряду.

Филипп, знавший, чем ему грозит такой поворот событий, послал к папе своих людей, чтобы они сделали тому “такое предложение, которое он не сможет отвергнуть”. 8 сентября 1303 г. Гийом де Ногаре и его команда вошли в папскую резиденцию в итальянском городке Ананьи, схватили престарелого Бонифация, обругали его и пригрозили великой опасностью. Бежать с папой они не могли, убить его значило подписать себе смертный приговор, поэтому прихвостни Филиппа ушли, ограничившись леденящими душу угрозами. Бонифаций так и не оправился от этого испытания и через пять недель умер от сердечного приступа. Многие открыто заявляли, что его смерть - дело рук Филиппа.

Новый папа, Бенедикт XI, поначалу установил дружеские отношения с Филиппом, но когда тот начал предъявлять свои требования, дружба быстро прервалась. Дошло до того, что Бенедикт публично обвинил Филиппа в нападении на Бонифация в Ананьи. Вскоре по приказу французского короля он был отравлен. Филипп быстро нашел замену Бенедикту, посадив на его место некоего Бернара де Гота, архиепископа Бордо. Тот был заклятым врагом короля, но желание занять трон Петра оказалось сильнее ненависти к Филиппу. В 1305 г. страдавший манией величия французский король приобрел карманного папу, а вместе с ним - власть над всем христианским Западом. Испытывая катастрофическую нехватку денег, он тут же обложил громадные доходы французской церкви десятипроцентным налогом. Четыре года спустя папа, ставший марионеткой в руках Филиппа, перенес свою резиденцию из Рима в Авиньон; этот период, называвшийся “авиньонским пленением пап”, продолжался три четверти века.

Заручившись поддержкой Климента V, Филипп Красивый получил столь желанную им власть, но теперь он нуждался в деньгах. Преданный Филиппу Гийом де Ногаре, человек очень ловкий, придумал злобный и хитроумный план. После тщательно проведенных тайных приготовлений солдаты короля, разбившись на небольшие группы, рассредоточились по всей стране и утром 22 июля 1306 г. арестовали каждого проживавшего во Франции еврея. Вскоре после этого несчастные евреи были отправлены в изгнание - естественно, без всякого имущества, которое тут же стало собственностью короны.

Ничего удивительного, что следующим человеком, который привлек к себе внимание алчного короля, стал Великий Магистр тамплиеров Жак де Моле, хозяин огромных богатств парижского Храма, обширных земельных владений и крупнейшего торгово-банковского капитала всей тогдашней Европы. Тем не менее даже у Филиппа не хватило смелости на открытый акт пиратства по отношению к лицу такого высокого ранга. Тамплиеры подчинялись только папе, поэтому французские законы на них не распространялись. Однако когда дело касалось денег и власти, находчивость короля Франции не знала себе равных. Филипп тут же принялся создавать условия, необходимые для реализации составленного им плана.

Тамплиеров с самого начала подозревали в том, что они совершают у себя не совсем обычные обряды, но поскольку Орден был самой значительной и самой уважаемой силой в христианском мире, никто не осмеливался следить за его членами. К несчастью, сам тайный характер их ритуалов давал отличный повод для фальшивых обвинений, выглядевших вполне правдоподобно. Все тот же хитроумный Гийом де Ногаре придумал, каким образом можно уничтожить тамплиеров и овладеть их богатствами. Должно быть, он внедрил в Орден по крайней мере одного шпиона, который сообщил ему о природе тайных ритуалов храмовников. И все же эти сведения не были достаточно сенсационными, чтобы с их помощью уничтожить самый знаменитый рыцарский орден на свете и конфисковать его имущество. Тогда Ногаре, не желая утруждать себя поиском настоящих улик, просто сфабриковал их. Появились лжесвидетели, сообщавшие о неблаговидных делах Ордена, и Филипп счел себя “обязанным” сообщить о щекотливой ситуации папе.

Зная о старом и остром соперничестве между двумя важнейшими рыцарскими орденами тамплиеров и госпитальеров, король предложил папе Клименту, чтобы тот написал Великим Магистрам обоих орденов и вызвал их на встречу под предлогом обсуждения помощи царю Армении и королю Кипра. Все знали о том, что у папы есть замысел объединить рыцарей Храма Соломонова и рыцарей Госпиталя святого Иоанна Иерусалимского в один орден, который должен был называться “Рыцарями Иерусалима”, и де Моле был уверен, что на встрече пойдет речь именно об этом объединении. Для Великого Магистра это было совершенно неприемлемо, однако он надеялся, что богатство и влиятельность тамплиеров помогут ему избежать угрозы. С другой стороны, папа не скрывал, что благоволит к госпитальерам и собирается отдать им главенство в новом ордене. Король Филипп попытался убедить всех, что наилучшим решением проблемы будет, если он сам возглавит объединенный орден, однако его предложение было отвергнуто.

Вильям де Вилларе, Великий Магистр госпитальеров, на встречу прибыть не смог, поскольку руководил штурмом принадлежавшего сарацинам острова Родос. Де Моле, получивший папский приказ в кипрском городе Лимасол, собрал свиту в шестьдесят рыцарей, взял с собой 150 000 золотых флоринов и отплыл в Марсель. Он имел право ожидать от короля Филиппа теплого приема, потому что тамплиеры оказали этому человеку множество услуг. Они одолжили Филиппу Красивому денег на приданое для его дочери, принцессы Изабеллы, а во время вспыхнувшего в Париже мятежа на несколько дней предоставили королю убежище в своем Храме. Более того, Великий Магистр имел причины считать Филиппа своим личным другом, поскольку король попросил де Моле быть крестным отцом его сына Робера.

Ожидая, что папа заведет речь об объединении с госпитальерами, де Моле прихватил с собой заранее составленный документ с аргументами в пользу сохранения независимости Ордена. Этот документ с длинным латинским названием “De Unione Templi et Hospitalis Ordinum ad Clementem Papam Jacobi de Molayo Relentio” (“Обращение Жака де Моле к папе Клименту об объединении орденов Храма и Госпиталя”). Вручив этот документ папе в Пуатье, де Моле отправился в Париж. Король принял его с почетом, но вскоре Великий Магистр сильно встревожился: до него начали доходить слухи о “злодействах” тамплиеров.

Согласно тайному плану де Ногаре, всех тамплиеров должны были бросить в темницу одновременно. Учитывая, что в то время во Франции присутствовало около пятнадцати тысяч членов Ордена, задача была нелегкая. Однако де Ногаре имел по этой части богатый опыт: вся еврейская община была арестована в течение одного дня не далее как в прошлом году. День ареста был назначен на пятницу, 13 октября 1307 г. За три недели до этого дня всем королевским сенешалям были направлены запечатанные пакеты со строгим приказом не вскрывать их до четверга, 12 октября. Каждый приказ начинался несколько длинноватым, но весьма выразительным предложением, которое должно было преодолеть нежелание сенешалей арестовывать столь именитых рыцарей:

“Горько, прискорбно, ужасно думать и слышать об отвратительных преступлениях, чудовищных злодеяниях, омерзительных делах, возмутительном нечестии, бесчеловечных свершениях, враждебных всему людскому роду, весть о которых достигла наших ушей благодаря донесениям некоторых лиц, достойных доверия, и несказанно ошеломила нас, заставив дрожать от ужаса; узнав об их серьезности, мы ощутили великую боль, жестокость которой возрастала с каждой минутой, ибо не приходится сомневаться, что преступление это так чудовищно, что является оскорблением божественного величия, позором человечества, пагубным примером зла и позором на весь мир”.

Главной уликой против рыцарей Храма были показания бывшего тамплиера Сквина де Флексиана:

“Каждый храмовник клянется под присягой никогда не покидать Орден и служить его интересам всеми способами, праведными и неправедными.

Вожди Ордена находятся в тайном сговоре с сарацинами и являются скорее магометанскими отступниками, чем истинными христианами; от каждого новичка требуют плевать на крест и попирать его ногами.

Вожди Ордена - еретики и жестокие святотатцы, которые убивают или бросают в темницу каждого новичка, который, узнав о творящихся в Ордене беззакониях, пытается покинуть его. Более того, они учат женщин, которые зачинают от них, избавляться от плода и тайно убивать новорожденных младенцев.

Они разделяют заблуждения итальянских “братьев”; они не признают авторитета папы и отвергают власть церкви и насмехаются над святыми таинствами, особенно над покаянием и отпущением грехов.

Они преданы самым бесчестным видам разврата. Если кто-то выражает свое отвращение к этому пороку, его наказывают вечным заключением.

Дома тамплиеров являются вместилищем всех мерзостей и преступлений, которые можно себе представить.

Орден делает все для того, чтобы передать Святую Землю в руки сарацинов.

Сам Великий Магистр руководил тайными обрядами, на которых присутствовали некоторые молодые собратья; он отвергает христианскую веру, делая то, что ей полностью противоречит.

Многие обряды Ордена являются беззаконными, языческими и противоречат христианству. Членам Ордена запрещается под страхом пытки и вечного заключения рассказывать о них посторонним.

Никакой порок или преступление, совершенное во имя чести или блага Ордена, не считается здесь грехом”.

Утром 13 октября 1307 г. было арестовано свыше пятнадцати тысяч тамплиеров включая самого де Моле. Главным свидетелем обвинения был де Флексиан, изгнанный из Ордена за крайнюю ересь и другие преступления. Вместе с неким флорентийцем по имени Ноффо Деи он дал показания против Ордена в обмен на прощение и освобождение из тюрьмы. Инквизиция отдала приказ добиться признания обвиняемых любой ценой; следовательно, для достижения этой цели позволялось применять любые пытки. Французские заплечных дел мастера были весьма искусны в своем деле. Они умели причинять максимальную боль, при этом не убивая свои жертвы. Именно поэтому в Париже на первом этапе следствия умерло всего лишь тридцать шесть тамплиеров. В связи с огромным наплывом заключенных инквизиция сбивалась с ног: не хватало ни тюрем, ни инструментов для пыток. Однако эти люди обладали хорошо развитым воображением и быстро вышли из положения, придумав новые способы выбивания признаний. Ярким примером этого является “ножная печь”. Допрашиваемого привязывали к доске и ставили на ноги раскаленную жаровню. Это простейшее приспособление очень эффективно убеждало храмовников рассказывать инквизиции “правду”. Одного рыцаря принесли в суд, где он давал показания, держа в руках ящик с собственными почерневшими от поджаривания костями стоп.

Несмотря на все усилия инквизиции серьезных улик против тамплиеров не прибавлялось. Зато они быстро преуспели в создании соответствующего общественного мнения, запугав обывателя сообщениями о том, что некогда знаменитые тамплиеры сознались в отрицании Бога, Христа и Девы Марии и что во время инициации они практиковали Osculum Infame, то есть “позорное лобзание”, при котором новичок целует губы, пупок, пенис и ягодицы принимающего. Современному человеку ясно, что большинство этих обвинений является измышлением самих обвинителей, однако есть несколько признаний, к которым следует отнестись со всей серьезностью.

За пределами Франции тамплиеров преследовали не слишком усердно, игнорируя приказ папы арестовать и допросить каждого члена Ордена. К таким странам относились Португалия, Ирландия, Шотландия и Англия. Английский король Эдуард II в конце концов согласился подчиниться повелению папы, но его палачи не преуспели в своем деле, поэтому парижская инквизиция предложила коллегам помощь и командировала за границу выдающихся специалистов. В июне 1311 г. английская инквизиция получила очень интересные показания от тамплиера по имени Стефан де Страппельбрюгге. Тот признался, что во время инициации ему говорили, будто Иисус - не бог, а человек. Другой храмовник, которого звали Джон де Стоук, заявил, будто сам Жак де Моле говорил ему, что Иисус был всего-навсего человеком, в то время как веровать нужно “в великого всемогущего бога, который был строителем неба и земли, а вовсе не в распятие”. Эти слова приводили в недоумение многих историков, поскольку такие взгляды не соответствуют ни одному из религиозных верований тогдашней эпохи включая еретическую секту катаров (которая, возможно, имела какие-то контакты с Орденом). Однако для нас в этом не было ничего странного: именно этого мы и ожидали от человека, который прошел обряд инициации, составленный в духе последних назореев - сторонников Иерусалимской церкви Иакова и заимствованный из свитков, найденных в развалинах Храма. Точка зрения, выраженная Великим Магистром, полностью соответствует истинному учению Иисуса, которое предшествовало придуманному Павлом и усвоенному римлянами культу “распятия”. Так что взгляды, приписываемые Великому Магистру, похожи на правду: они не отрицают существования Иисуса, а лишь напоминают о том, что существует один Бог, одно-единственное верховное существо. Вполне понятно, что такие воззрения могли идти только непосредственно от церкви Иакова, чтившей учение Иисуса, но считавшей распятие последнего лишь символом проявленной по примеру Хирама Абифа “стойкости перед лицом смерти” и не видевшей в этой мученической казни никакого другого смысла. Крест был для тамплиеров знаком мученичества, а не источником какой-то странной магии, как это изображается в культе, придуманном Павлом.

Из всех сведений, которые нам удалось собрать в ходе исследования, неотвратимо следовало, что хотя рыцари высочайшего ранга могли исповедовать самые нетипичные взгляды на божественность Иисуса Христа, остальные тамплиеры продолжали всю жизнь оставаться искренними католиками. В середине тринадцатого века богатство, владения, военная мощь и удаленность Ордена от Рима давали ему возможность при желании основать новый тип христианства. Однако руководство Ордена предпочитало хранить эти знания про себя и совершать тайные обряды, которые, как и обряда современных масонов, не противоречили христианству, а дополняли его. Рыцари-тамплиеры были преданы той самой церковью и тем самым папой, которым служили не за страх, а за совесть.

Распятие

Не подлежит сомнению, что Жака де Моле подвергали страшным пыткам, потому что этот закаленный воин быстро сдался и признался в преступлениях, которых не совершал. Впрочем, незадолго до сожжения на костре, последовавшего через семь лет, он отрекся от своего признания. Причины, заставившие его покаяться, в деле не отражены; как ни странно, мы поняли их, обнаружив некое доказательство в здании, возведенном шотландскими тамплиерами. С помощью этого доказательства мы сумели восстановить то, что произошло с Великим Магистром в подземной темнице 13 и 14 октября 1307 г., почти семь веков назад. Выглядело это примерно так:

Великий Инквизитор Франции Гийом Эмбер был лично заинтересован в том, чтобы вырвать признание у величайшего из тамплиерских еретиков, самого Жака де Моле. Как священник, пытающий священника, Эмбер сумел бы избежать пролития крови: к его услугам были пытки огнем, дробление костей или подвешивание на дыбе. Обычно этого вполне хватало. Но в данном случае Эмбер был вне себя от гнева на злобного “антихриста”, совсем недавно бывшего одним из верховных священнослужителей. Можно представить себе, как он в сопровождении судебных исполнителей входит в парижский Храм и арестовывает Великого Магистра. Затем он бродит по роскошному зданию, разыскивая доказательства преступлений, которые можно было бы предъявить обвиняемому, поднимается по лестнице к огромной двери с медной табличкой в центре, распахивает ее настежь и не видит ничего, кроме темноты. Оказавшись во внутреннем Храме без окон, он зажигает одну из сложенных у первого пьедестала больших свеч и медленно изучает странное зрелище, открывшееся ему в неверном, мерцающем свете. Все здесь выглядит пугающе языческим; украшенным явными знаками антихриста: пирамиды с глазами в центре, расписанный звездами потолок, наугольник и циркуль... Изумленный и взволнованный видом этого безбожного места, он внезапно понимает, что все рассказываемое об Ордене правда и что его пленник самый отъявленный еретик, которого когда-либо видел свет. Пройдя в восточный конец зала, он останавливается перед двумя большими колоннами и главным пьедесталом, опускает глаза и видит простой деревянный ящик, в котором обнаруживает белое покрывало примерно четырех метров в длину, человеческий череп и две берцовых кости. Должно быть, это то самое покрывало, думает он, которое, как сообщали мои шпионы, служит для “воскрешения” мертвых. Великого Инквизитора бросает в пот: наверно, этот де Моле действительно насмехается над муками и страданиями Иисуса Христа, используя церемонию воскресение для инициации новых храмовников. В мозгу Эмбера тут же возникает цепочка вопросов, которые он задаст этому мерзкому грешнику, падшему священнослужителю.

Ночью, в подземной темнице парижского Храма, когда с Великого Магистра сорвали мантию, надели на голое тело грубое рубище кающегося еретика и накинули на шею затягивающуюся петлю, Эмбер говорит де Моле, что тот все равно покается в своих преступлениях, так не лучше ли избавить себя от мучений и во всем признаться? К вящему удовольствию разгневанного Эмбера, Великий Магистр отказывается. Эмбер начинает цитировать Евангелие:

“Тогда ... Иисуса бив предал на распятие” (Матфей 27:26).

Руки де Моле поднимают вверх, приковывают к стене, грубое рубище натягивают на голову, и два помощника, вооруженные конскими бичами, в концы которых вплетены два металлических шарика, хлещут его по обнаженной спине. Правый палач, будучи выше и искуснее своего товарища, до крови полосует спину и ноги Великого Магистра, но не трогает его руки.

“И сплетши венец из терна, возложили ему на голову” (Матфей 27:29).

На голову Великого Магистра надевают заранее приготовленную корону с искривленными шипами; по лбу и щекам Жака де Моле течет кровь.

“Но они закричали: возьми, возьми, распни Его!” (Иоанн 19:15).

Затем Великого Магистра привязывают к грубо сколоченному кресту и вбивают ему в запястья прямоугольные гвозди. От невыносимой боли у де Моле сводит судорогой большой палец на правой руке, ноготь которого вонзается в мякоть ладони. Его левую ступню прижимают к вертикальной части креста, называемой столбом, и загоняют длинный гвоздь точно между второй и третьей плюснами. Когда острие выходит наружу, палачи кладут его левую ступню на правую, чтобы тем же гвоздем пробить сразу обе. Тело де Моле повисает на трех точках, в которых концентрируется жгучая боль. Потеря крови незначительна, и пленник остается в полном сознании.

Тяжесть тела делает боль неописуемой. Де Моле повисает на кресте; мышцы рук, плеч и груди едва не лопаются от напряжения. Грудная клетка сжимается, мешая выдоху; чтобы избежать удушья, Великому Магистру приходится подниматься, опираясь на раненые ноги, и набирать в легкие воздух. Страх задохнуться на мгновение сменяется жуткой болью в пронзенных ногах. Результатом этой пытки становится аноксия (кислородное голодание), приводящая к мучительным судорогам и нарушению обмена веществ.

В перерывах между вопросами Эмбер продолжает следовать библейскому сценарию и протягивает умирающему от жажды де Моле губку, пропитанную уксусом, цитируя Писание:

“И тотчас побежал один из них, взял губку, наполнил уксусом и, наложив на трость, давал ему пить. А другие говорили: постой; посмотрим, придет ли Илия спасти Его” (Матфей 27:48-49).

Часы кажутся неделями; решимость де Моле начинает ослабевать. Он просит Эмбера снять его с креста. Эмбер снова цитирует:

“Но один из воинов копьем пронзил Ему ребра, и тотчас истекла кровь и вода” (Иоанн 19:34).

Великий Инквизитор вонзает нож в бок де Моле - не для того, чтобы повредить жизненно важные органы, но ради полного соответствия мучений де Моле крестным муки “сына Божьего”.

Висящий на кресте де Моле признает себя виновным, ощущая ту самую страшную боль, которая почти тысячу двести восемьдесят лет назад заставила Иисуса на мгновение утратить веру. Великий Магистр сломлен.

Множественные тяжелые телесные повреждения вызывают выделение в кровь большого количества молочной кислоты, вызывая так называемый метаболический ацидоз; мышцы де Моле сводит судорогами, катастрофически падает кровяное давление, сердце колотится как бешеное. Он совершает признание за несколько мгновений до наступления желанной смерти.

Гийом Эмбер, несказанно довольный своим успехом, совершает еще один странный поступок. Он приказывает положить де Моле на тот самый погребальный покров, который Великий Магистр использовал, насмехаясь над Мессией. Когда палачи кладут пленника на полотно лицом вверх, перекидывают через его голову свободный конец и накрывают им тело, Эмбер не может противиться соблазну процитировать последнюю фразу, описывающую Страсти Господни:

“И взяв Тело, Иосиф обвил его чистою плащаницею” (Матфей 27:59).

Прижимая плащаницу к отчаянно израненному телу потерявшего сознание де Моле, Эмбер бросает: “Если этот человек мнит себя ровней Христу, он поднимется!”

Инквизиция имела строгий приказ не убивать Великого Магистра тамплиеров, но она не собиралась восстанавливать здоровье раскаявшегося еретика. У де Моле не было родных, которые могли бы позаботиться о нем. Зато такие родные были у нормандского прецептора Жоффруа де Шарне, также подвергшегося допросу с применением пыток. Их вызвали и велели позаботиться об обоих. Спустя семь лет эти два человека умерли вместе, перед смертью отрекшись от своих показаний. В отместку их зажарили на медленном огне, как вернувшихся к “ереси”.

Физическое доказательство

Мы смогли восстановить обстоятельства допроса де Моле благодаря тому, что до наших дней дожило одно важное свидетельство. Взятое из парижского Храма тамплиеров покрывало кумранско-масонского образца, в которое завернули израненное тело Великого Магистра, вместе с ним отправилось в дом Жоффруа де Шарне. Там полотно выстирали, свернули и положили в ящик. Ровно пятьдесят лет спустя, в 1357 г., этот четырехметровый кусок ткани выставили на всеобщее обозрение в Ливе. Мы не можем с уверенностью утверждать, что это был тот же самый кусок (как-никак, прошло полвека), но зато хорошо понимаем, почему он вызвал такой интерес.

Многие пытались раскрыть загадку “туринской плащаницы”, но разгадку нашли мы... потому что не искали ее. Нашей целью были поиски Хирама, а Плащаница стала тем крошечным кусочком мозаики, который позволил полностью собрать головоломку. В 1988 г. Ватикан дал разрешение на проведение научного исследования Плащаницы. Три группы ученых независимо друг от друга провели анализ изотопов углерода и доказали, что полотно соткано не раньше 1260 г. С учетом того, что к моменту распятия де Моле ткань уже была в употреблении, эта дата попадает точно в яблочко.

Послание через века

Хотя Великого Магистра Ордена схватили и распяли, многие тамплиеры сумели выскользнуть из сети. Значительная часть флота храмовников в это время находилась в порту Ла-Рошель на берегу Атлантического океана. Не то моряков кто-то предупредил, не то они сами вняли тревожным слухам, но факт остается фактом: когда на рассвете 13 октября в гавань явилась арестная команда, на том месте, где еще вчера вечером швартовался целый флот, было пусто. Кораблей Ордена больше никто никогда не видел, зато все хорошо видели их боевой стяг, украшенный черепом и скрещенными костями.

Нам не пришлось гадать, что случилось с тамплиерами, которые сумели избежать когтей короля Филиппа. Благодаря накопленным в ходе исследования данным мы знали, где вскоре после бегства обнаружились следы их присутствия. Таких мест было два: Шотландия и Америка.

Надежных доказательств этого у нас нет, но легенды гласят, что корабли тамплиеров направились в Шотландию и Португалию. Конечно, флот мог посетить эти убежища по очереди, но более вероятно, что вскоре после выхода из порта он разделился. Одна флотилия устремилась в Шотландию, а остальные поплыли на север дружественной Португалии, чтобы пополнить запасы провизии. Отсюда они отправились в путешествие по маршруту, который многими оспаривается, но не может быть сброшен со счетов учитывая то, что случилось с тамплиерами в Святой Земле. Рыцари направили носы своих кораблей строго на запад и поплыли вдоль по сорок второй параллели искать землю, которая, как им было известно из назорейских свитков, называется “Мерика”. Французские рыцари добавили к этому названию определенный артикль “la”. Получилось “ла Мерика”, впоследствии превратившееся в “Америка”. Почти наверняка они достигли полуострова Кейп-Код или Род-Айленда в Новой Англии в первые недели 1308 г., вступив в Новый Свет почти за полтора века до рождения Христофора Колумба.

Это утверждением может показаться слишком категоричным, однако в настоящее время получены неопровержимые доказательства того, что тамплиеры действительно достигли Америки, обосновались в ней и плавали оттуда в Шотландию и обратно. В маленьком городке Уэстфорд, штат Массачусетс, обнаружено изображение рыцаря, выбитое в скале с помощью ряда неглубоких отверстий. Этот ставший знаменитым рыцарь облачен в шлем и плащ военного ордена; несмотря на то, что портрет сильно пострадал от непогоды, было определено, что головка эфеса его меча имеет форму, характерную для мечей европейских рыцарей четырнадцатого века. Но лично для нас самым убедительным свидетельством стал щит с ясным и простым рисунком, изображающим одномачтовый средневековый корабль, плывущий на запад... по направлению к звезде.

(Рисунок на стр. 289 оригинала).

В Ньюпорте, штат Род-Айленд, находится второй памятник пребывания европейцев - загадочная башня, сооруженная в стиле тамплиерских круглых церквей. Специалисты обнаружили в ее колоннах и арках типичные черты романского стиля. Возведение этой башни датируется именно тем веком, когда исчез флот тамплиеров. Возможно, это сооружение было многоцелевым: оно служило новоявленным колонистам и церковью, и сторожевой башней, и маяком. В его древности не может быть никаких сомнений, потому что на карте побережья, начерченной в 1524 г. и являющейся доказательством того, что эту землю открыли именно европейцы, итальянский навигатор Джованни да Вераццано отметил ньюпортскую башню, обозначив ее как “Дом норманнов”.

Эти находки являются убедительным свидетельством присутствия тамплиеров в Новом Свете, но их одних для окончательного вывода было бы недостаточно. К счастью, мы уже знали, что неоспоримые доказательства этого находятся в Росслинской часовне, о которой уже шла речь выше. Хорошо известно, что это место служило тамплиерам пристанищем после атаки на Орден, предпринятой королем Филиппом и папой. На строительство тщательно отделанного здания ушло около сорока лет; Уильям Сент-Клер начал, а его сын Оливер завершил стройку в начале 1480-х гг., за несколько лет до того, как в Америку прибыл Христофор Колумб. Колумб открыл первую сушу Нового Света утром 12 октября 1492 г. Ею оказался один из Багамских островов, который Колумб назвал Сан-Сальвадором. Сам материк был открыт великим генуэзцем лишь 1 августа 1498 г.; однако высадился Колумб все же не в Северной, а в Южной Америке.

После сравнения дат чрезвычайно полезно взглянуть на украшающую часовню резьбу. Эта резьба подтверждает реальность того, что казалось невозможным. Выше указывалось, что на арках и потолке Росслинской часовни с декоративной целью изображены алоэ и початки кукурузы. Шотландцы не могли знать о существовании этих двух растений, а тем более изображать их во всех подробностях. Индейцы Северной и Южной Америки давно выращивали кукурузу, но считается, что европейцы не могли познакомиться с ней до 1492 г. Официальная история гласит, что семена кукурузы были завезены в Европу и Африку только в семнадцатом веке и лишь после этого данная культура распространилась по всему миру. Изображения алоэ и кукурузы покрывают бОльшую часть капеллы; следовательно, их начали вырезать как минимум за несколько лет до окончания строительства. Из этого можно сделать вывод, что люди, которые руководили каменщиками, строившими Росслинскую часовню, должны были посетить Америку по крайней мере на четверть века раньше Колумба.

В свете этих убедительных доказательств можно согласиться с тем, что уэстфордский рыцарь и ньюпортская башня действительно являются остатками пребывания тамплиеров в стране, которая ныне называется Соединенными Штатами Америки.

Земля звезды, называющейся “Ла’Мерика”

Прежде чем завершить рассмотрение вопроса о европейцах, первыми высадившихся в Новом Свете, постараемся объяснить, почему мы твердо убеждены, что Американский континент был назван не в честь полной посредственности Америго Веспуччи, но в честь западной звезды Мерики, которую назореи считали символом прекрасной заокеанской земли, страны заходящего солнца. Дело не столько в том, что мы знаем настоящий источник ее названия, сколько в том, что старую версию оказалось легко опровергнуть.

Официальная историческая версия происхождения названия Нового Света исходит из глупой ошибки невежественного клирика, никогда не выезжавшего из своего монастыря святого Деодата в Вогезских горах на границе Франции и Германии (тогда здесь располагалось Лотарингское герцогство). Этот не в меру ретивый священник обожал географию и многозначительные названия. Себе он придумал чрезвычайно пышный псевдоним “Гилакомилус” - от греческого “лес”, латинского “озеро” и греческого же “мельница” - в конце концов переводившийся обратно на его родной немецкий как Вальдзеемюллер. Короче говоря, сей чудак возглавлял небольшой кружок людей, имевших доступ к печатному станку и собиравших каждое доступное им слово о недавно открытом огромном и загадочном континенте за западным океаном. В апреле 1507 г. этот кружок подготовил и издал книгу объемом в 103 страницы, которая по-латыни называлась “Введение в космографию”. В ней действительно описывались основы тогдашней космографии включая деление Земли, расстояния между крупнейшими городами, сведения о направлениях ветров и климате. Именно эта книга и стала источником ошибки, которая на веки вечные прославила скромного навигатора-любителя. Вальдзеемюллер нашел несколько упоминаний разных моряков о существовании на западе огромного континента, который они называли Америкой, а также хвастливый перечень путешествий итальянского исследователя по имени Америго Веспуччи. Он по ошибке объединил два фрагмента, не имевших друг к другу никакого отношения, и написал:

“К настоящему времени три части света (Европа, Африка, Азия) хорошо изучены, а четвертая часть открыта Америго Веспуччи (как будет описано впоследствии). Учитывая, что Европа и Азия были названы в честь женщин, я не вижу причины, которая мешала бы назвать эту часть света “Америге” (от греческого “ге”, означающего “земля”), то есть землей Америго, или Америкой, в честь ее открывателя Америго, человека огромного дарования”.

Вальдзеемюллер напечатал свою книгу, снабдив ее огромной картой, на которой новый континент был назван “Америкой”. Принято думать, что именно он был автором названия Нового Света, поскольку издал первый в мире печатный географический справочник. На первый взгляд, приведенные здесь слова монаха отражают его раздумья над тем, какую форму имени “Америго Веспуччи” выбрать для данной цели, но это не так. Если внимательно перечитать эту цитату, становится ясно, что на самом деле он размышляет над тем, почему название “Америка” более предпочтительно, чем “Америге”, и приходит к выводу, что в первом имени намного больше смысла. Эта книга была написана через пятнадцать лет после “официального” открытия Колумбом Нового Света и ровно через два века после того, как там впервые высадились тамплиеры. Было бы глупо считать, что вновь открытый континент оставался безымянным, пока немецкий монах не начал писать свою книгу, или что этот человек, не имевший никакого отношения к мореплаванию, мог дерзко присвоить себе право окрестить новый материк, занимающий четверть земного шара.

Вальдзеемюллер назвал его правильно; неверным было лишь объяснение причины подобного выбора. Его сбила с толку страсть к значимым именам, а сила печатного слова привела к тому, что эта ошибка быстро распространилась по всему миру. Вскоре после того, как книга была напечатана, монах понял, что допустил чудовищный ляпсус, и публично отрекся от своего утверждения, будто первооткрывателем Нового Света был Америго Веспуччи, однако было уже слишком поздно: люди получили объяснение, которое казалось правдоподобным. Это был классический пример того, как (перефразируя Генри Форда) история становится “вздором”.

Когда устанавливается молчаливое согласие, взорвать его можно только динамитом. Миф о Веспуччи стал фольклором американской системы образования. Но тот, кто действительно хочет понять Америку и людей, которые создали современные Соединенные Штаты, должен восстановить всю цепочку, связывающую отцов американской независимости с назореями.

Заключение

Катастрофа, постигшая рыцарей-тамплиеров, была концом великого Ордена, но это несчастье открыло дорогу новому мировому порядку, основанному на повторно открытой Иисусом концепции Ма’ат. Восстанавливая сцену распятия Жака де Моле и следя за рассеявшимися по свету рыцарями-храмовниками, мы ощущали, что вот-вот обнаружим то звено, которое соединяет тамплиеров с масонами. Почему тамплиеры передали свои тайны новому ордену “вольных каменщиков”, было еще неясно, но, по крайней мере, мы знали, где искать ответ, который мог бы заполнить брешь в наших знаниях.

Заново анализируя события, связанные с распятием Жака де Моле, мы не могли не понять, что оно является центральным эпизодом периода, ставшего поворотным пунктом в развитии западного общества. Нападение на орден тамплиеров, предпринятое жадным и бесчестным французским королем, оказалось первым шагом на долгом пути к освобождению христианского мира от принципа интеллектуальной кастрации, реализовывавшегося Ватиканом на практике, и к построению цивилизации, которая опирается на стремление к знанию и осознание ценности личности. Этот путь быстрого перехода от автократии к демократии в управлении обществом и от аристократии к меритократии

Математика является символом мудрости науки ,

образцом научной строгости и простоты ,

эталоном совершенства и красоты в науке.

Российский философ, профессор А.В. Волошинов

Неравенства с модулем

Наиболее сложно решаемыми задачами школьной математики являются неравенства , содержащие переменные под знаком модуля. Для успешного решения таких неравенств необходимо хорошо знать свойства модуля и иметь навыки их использования.

Основные понятия и свойства

Модуль (абсолютная величина) действительного числа обозначается и определяется следующим образом:

К простым свойствам модуля относятся следующие соотношения:

И .

Отметим , что последние два свойства справедливы для любой четной степени.

Кроме того , если , где , то и

Более сложные свойства модуля , которые можно эффективно использовать при решении уравнений и неравенств с модулями , формулируются посредством следующих теорем:

Теорема 1. Для любых аналитических функций и справедливо неравенство .

Теорема 2. Равенство равносильно неравенству .

Теорема 3. Равенство равносильно неравенству .

Наиболее распространенными в школьной математике неравенствами , содержащие неизвестные переменные под знаком модуля , являются неравенства вида и , где некоторая положительная константа.

Теорема 4. Неравенство равносильно двойному неравенству , а решение неравенства сводится к решению совокупности неравенств и .

Данная теорема является частным случаем теорем 6 и 7.

Более сложными неравенствами , содержащие модуль, являются неравенства вида , и .

Методы решения таких неравенств можно сформулировать посредством следующих трех теорем.

Теорема 5. Неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств

И (1)

Доказательство. Так как , то

Отсюда вытекает справедливость (1).

Теорема 6. Неравенство равносильно системе неравенств

Доказательство. Так как , то из неравенства следует , что . При таком условии неравенство и при этом вторая система неравенств (1) окажется несовместной.

Теорема доказана.

Теорема 7. Неравенство равносильно совокупности одного неравенства и двух систем неравенств

И (3)

Доказательство. Поскольку , то неравенство всегда выполняется , если .

Пусть , тогда неравенство будет равносильно неравенству , из которого вытекает совокупность двух неравенств и .

Теорема доказана.

Рассмотрим типовые примеры решения задач на тему «Неравенства , содержащие переменные под знаком модуля».

Решение неравенств с модулем

Наиболее простым методом решения неравенств с модулем является метод , основанный на раскрытии модулей. Этот метод является универсальным , однако в общем случае его применение может привести к весьма громоздким вычислениям. Поэтому учащиеся должны знать и другие (более эффективные) методы и приемы решения таких неравенств. В частности , необходимо иметь навыки применения теорем , приведенных в настоящей статье.

Пример 1. Решить неравенство

. (4)

Решение. Неравенство (4) будем решать «классическим» методом – методом раскрытия модулей. С этой целью разобьем числовую ось точками и на интервалы и рассмотрим три случая.

1. Если , то , , , и неравенство (4) принимает вид или .

Так как здесь рассматривается случай , то является решением неравенства (4).

2. Если , то из неравенства (4) получаем или . Так как пересечение интервалов и является пустым , то на рассматриваемом интервале решений неравенства (4) нет.

3. Если , то неравенство (4) принимает вид или . Очевидно , что также является решением неравенства (4).

Ответ: , .

Пример 2. Решить неравенство .

Решение. Положим , что . Так как , то заданное неравенство принимает вид или . Поскольку , то и отсюда следует или .

Однако , поэтому или .

Пример 3. Решить неравенство

. (5)

Решение. Так как , то неравенство (5) равносильно неравенствам или . Отсюда , согласно теореме 4 , имеем совокупность неравенств и .

Ответ: , .

Пример 4. Решить неравенство

. (6)

Решение. Обозначим . Тогда из неравенства (6) получаем неравенства , , или .

Отсюда , используя метод интервалов , получаем . Так как , то здесь имеем систему неравенств

Решением первого неравенства системы (7) является объединение двух интервалов и , а решением второго неравенства – двойное неравенство . Отсюда следует , что решение системы неравенств (7) представляет собой объединение двух интервалов и .

Ответ: ,

Пример 5. Решить неравенство

. (8)

Решение. Преобразуем неравенство (8) следующим образом:

Или .

Применяя метод интервалов , получаем решение неравенства (8).

Ответ: .

Примечание. Если в условии теоремы 5 положить и , то получим .

Пример 6. Решить неравенство

. (9)

Решение. Из неравенства (9) следует . Преобразуем неравенство (9) следующим образом:

Или

Так как , то или .

Ответ: .

Пример 7. Решить неравенство

. (10)

Решение. Так как и , то или .

В этой связи и неравенство (10) принимает вид

Или

. (11)

Отсюда следует, что или . Так как , то и из неравенства (11) вытекает или .

Ответ: .

Примечание. Если к левой части неравенства (10) применить теорему 1 , то получим . Отсюда и из неравенства (10) следует , что или . Так как , то неравенство (10) принимает вид или .

Пример 8. Решить неравенство

. (12)

Решение. Так как , то и из неравенства (12) следует или . Однако , поэтому или . Отсюда получаем или .

Ответ: .

Пример 9. Решить неравенство

. (13)

Решение. Согласно теореме 7 решением неравенства (13) являются или .

Пусть теперь . В таком случае и неравенство (13) принимает вид или .

Если объединить интервалы и , то получим решение неравенства (13) вида .

Пример 10. Решить неравенство

. (14)

Решение. Перепишем неравенство (14) в равносильном виде: . Если к левой части данного неравенства применить теорему 1, то получим неравенство .

Отсюда и из теоремы 1 следует , что неравенство (14) выполняется для любых значений .

Ответ: любое число.

Пример 11. Решить неравенство

. (15)

Решение. Применяя теорему 1 к левой части неравенства (15) , получаем . Отсюда и из неравенства (15) вытекает уравнение , которое имеет вид .

Согласно теореме 3 , уравнение равносильно неравенству . Отсюда получаем .

Пример 12. Решить неравенство

. (16)

Решение . Из неравенства (16), согласно теореме 4, получаем систему неравенств

При решении неравенства воспользуемся теоремой 6 и получим систему неравенств из которой следует .

Рассмотрим неравенство . Согласно теореме 7 , получаем совокупность неравенств и . Второе неравенство совокупности справедливо для любого действительного .

Следовательно , решением неравенства (16) являются .

Пример 13. Решить неравенство

. (17)

Решение. Согласно теореме 1 можно записать

(18)

Принимая во внимание неравенство (17), делаем вывод о том, что оба неравенства (18) обращаются в равенства, т.е. имеет место система уравнений

По теореме 3 данная система уравнений равносильна системе неравенств

или

Пример 14. Решить неравенство

. (19)

Решение. Так как , то . Умножим обе части неравенства (19) на выражение , которое для любых значений принимает только положительные значения. Тогда получим неравенство, которое равносильно неравенству (19), вида

Отсюда получаем или , где . Так как и , то решением неравенства (19) являются и .

Ответ: , .

Для более глубокого изучения методов решения неравенств с модулем можно посоветовать обратиться к учебным пособиям , приведенных в списке рекомендованной литературы.

1. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И. Сканави. – М.: Мир и Образование , 2013. – 608 с.

2. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: методы решения и доказательства неравенств. – М.: Ленанд / URSS , 2018. – 264 с.

3. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: нестандартные методы решения задач. – М.: КД «Либроком» / URSS , 2017. – 296 с.

Остались вопросы?

Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Уравнения и неравенства с модулем.

Пояснительная записка.

Данный курс посвящен систематическому изложению учебного материала, связанного с понятием модуля числа и аспектами его применения. В нем рассматриваются различные методы решения уравнений и неравенств с модулем, основанные на его определении, свойствах и графической интерпретации.

Для курса характерна практическая направленность. Его основное содержание составляют учебные задачи. Часть из них приводится с полным решением, иллюстрирующим тот или иной метод. Другие прилагаются для самостоятельной работы. Изложение практических приемов решения сопровождается необходимыми теоретическими сведениями.

Курс направлен на формирование у школьников более широкого представления о модуле. Кроме того, задания единого экзамена по математике предполагают умение оперировать с модулем. Таким образом, основная роль курса состоит в подготовке учащихся к успешной сдаче ЕГЭ.

Учебно-тематический план

Материал для занятий

Занятие 1. Определение модуля числа и его применение при решении уравнений.

Определение . Модулем неотрицательного действительного числа х называют само это число: | x | = х ; модулем отрицательного действительного числа х называют противоположное число: | x | = - x .

Короче это записывают так:

|x | =

Термин «модуль» (от лат. modulus – мера) ввел английский математик Р. Кортес (1682-1716), а знак модуля немецкий математик К. Вейерштрасс (1815-1897) в 1841г. Пользуясь приведенным определением, можно решать уравнения и неравенства, содержащие модуль. Теперь рассмотрим несколько простых примеров.

Пример 1. Решить уравнение |3-3х|= -1.

Решение. По свойству модуля выражение | 3-3x | неотрицательно, поэтому никогда не может быть равно (-1).

Ответ. Нет решений.

Пример 2. Решить уравнение | 3x -x 2 -2 | = 3x -x 2

Решение. Не станем решать это уравнение традиционными способами, а заметим, что оно имеет следующий вид:

|A | = A .

Заметим, что, по определению модуля, это равенство обязательно выполнено при А>0, а при А <0 оно не может быть верным. Поэтому исходное уравнение равносильно квадратному неравенству 3х – х 2 - 2 > 0, решать которое мы уже умеем.

Ответ. .

Пример 3. Решить уравнение | x + 2 | = | 2x – 1 |.

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат. Это делать можно, поскольку обе части исходного уравнения неотрицательны. Получим

| x + 2 | 2 = | 2x – 1 | 2 .

Очевидно, в этом уравнении можно убрать модули и записать равносильное квадратное уравнение

(х + 2) 2 = (2х – 1) 2 ,

Преобразовывая которое, получим

х 2 + 4х + 4 = 4х 2 – 4х + 1, 3х 2 – 8х – 3 = 0.

Ответ. { -1/3 ,3}.

Теперь перейдем к более традиционным задачам.

Главный прием при решении уравнений и неравенств, содержащих выражение |f (x )|, состоит в раскрытии модуля по определению, а именно, всю область допустимых значений М разбивают на два подмножества М 1 и М 2 таких, что

f (x )>0 для всех х М 1 , тогда |f (x )| = f (x )

f (x )<0 для всех х ∊ М 2 ,тогда |f (x )| = - f (x )

Пример 4. Решить уравнение | 2x – 3 | = 3x – 7.

Решение. Рассмотреть случаи: 1. 2х – 3 >0, 2х – 3 = 3х – 7, х = 4

2. 2х - 3 <0, -2х + 3 = 3х- 7, х=2-не является корнем, т.к. при х=2 2х-3>0. Ответ: 4.

Этот способ не является единственным. При решении уравнения вида

| f (x ) | = g (x )

Наиболее широко используют следующие два способа.

Первый, стандартный, основан на раскрытии модуля, исходя из его определения, и заключается в переходе к равносильной совокупности систем

| f(x) | = g(x)

Второй способ состоит в переходе от исходного уравнения к равносильной ему системе

| f (x ) | = g (x )

Первый способ следует применять в случае сложного выражения для функции g (x ) и не очень сложного – для функции f (x ); второй, напротив, лучше использовать, если выражение для g (x ) несложно.

Пример 5. Решить уравнение |x | = x - √2x +1 + 1 (Используя первый способ)

Пример 6. Решить уравнение 3|x 2 -2x -1| = 5x +1 (Используя второй способ)

Неравенство вида | f (x ) | < g (x ) гораздо удобнее решать, перейдя двойному неравенству или к равносильной ему системе двух неравенств

| f(x) | g(x) -g(x) f(x) g(x)

Аналогично, неравенство вида

| f (x ) | g (x )

Решите уравнения

3|y 2 – 6y + 7| = 5y – 9 |x | - |x – 1| = 1 |x 2 – 1| = (x – 1)

x 2 + |x – 1| = 1 |x 2 + 2x – 3| = x 2 + x – 20

Решите неравенства

|2x – 5| < 3 |x 2 – 2x – 3| < 3x - 3

x 2 – 6 > |x | |3 - |x – 2| | < 1

Занятие 2. Метод интервалов для решения уравнений и неравенств, содержащих модуль.

Решить уравнение | x -2| + |2x -3| = 5. Раскрывая последовательно модули, входящие в рассматриваемое уравнение, нам придется рассматривать четыре системы и заведомо негодный случай. А если в уравнении будет три и более модулей, число систем еще более возрастет. Поэтому для решения задач, в которые входят два и более модулей, рациональнее использовать метод интервалов.

Для применения метода интервалов при решении уравнений с модулями числовую ось надо разбить на промежутки таким образом, чтобы на каждом из них все подмодульные выражения сохраняли постоянные знаки и, следовательно, на каждом промежутке все модули раскрывались определенным образом.

Пример 1. Решить уравнение | 3x +4| + 2|x -3| = 16

Отметим на числовой оси точки х = - 4/3 и х = 3, в которых подмодульные выражения обращаются в нуль. Определим знаки подмодульных выражений на трех образовавшихся промежутках.

Случай 1. При х>3 оба модуля раскрываются со знаком «+». Получаем систему

x >3,

3х+4+2(х-3) = 16 х=18/5 (18/5>3)

Случай 2. При -4/3

4/3

3х+4+2(-х+3) = 16.

Уравнение данной системы имеет корень х=6, который не удовлетворяет неравенству системы, следовательно, он не является корнем заданного уравнения.

Случай3. При х< -4/3 оба модуля раскрываются со знаком «-«, получаем

x < -4/3,

3х-4+(-х+3) = 16.

Эта система имеет единственное решение х = -14/5.

Ответ:{-14/5; 18/5}.

Решение неравенств, содержащих модуль, в большинстве случаев строится аналогично решению соответствующих уравнений. Основное отличие состоит в том, что после освобождения от модулей требуется решить, естественно, не уравнение, а неравенство.

Есть и еще одно отличие. Если при решении уравнений можно широко пользоваться проверкой полученных решений, то для случая неравенств отбросить посторонние решения проверкой может быть затруднительно. Это означает, что при решении неравенств стараются использовать, в основном, равносильные переходы.

Пример 2. Решить неравенство |x – 4| + |x + 1|<7

Решение. На числовой прямой необходимо отметить числа х=-1 и х=4, при которых выражения, стоящие под знаками модулей обращаются в нуль. Затем на трех получившихся промежутках расставляем знаки выражений

(х-4) и (х+1). __________________________

Полученные наборы знаков и указывают нам, какие случаи надо рассмотреть. В результате раскрытия модулей в этих трех случаях получаем три системы.

Решив эти системы и объединив ответы, получим

Ответ: (-2;5).

Упражнения для самостоятельной работы

Решите уравнения:

| x – 1| + |x – 2| + |x – 3| = 4

|6 – 2x | + |3x + 7| - 2|4x + 11| = x – 3 | |3x – 1| - |2x + 1| | = 1

Решите неравенства:

|x – 1| + |x + 2| < 3

|x – 1| < |2x – 3| - |x – 2| |x 2 – 3| + x 2 + x < 7.

Занятие 4. Решение уравнений и неравенств с модулями на координатной прямой.

При изучении расстояния между двумя точками А(х 1) и В(х 2) координатной прямой выводится формула, согласно которой АВ = | x 1 - x 2 |. Используя эту формулу, можно решать уравнения и неравенства вида |x – a | = b , |x – a | = |x – b |, |x – a |

| x – a |>|x – b |, а также уравнения и неравенства, к ним сводимые.

Пример1. Решите уравнение |x – 3| = 1.

Решение. Переводя запись данного уравнения на «язык расстояний», получим предложение «расстояние от точки с координатой х до точки с координатой 3 равно 1». Следовательно, решение уравнения сводится к отысканию точек, удаленных от точки с координатой 3 на расстояние 1. Обратимся к геометрической иллюстрации.

_______________________________________________________

Корнями уравнения являются числа 2 и 4.

Пример2. Решите уравнение | 2x + 1 | = 3

Приведя данное уравнение к виду | x – (-1/2) | = 3/2, используем формулу расстояния.

Ответ: -2;1.

Пример 3. Решите уравнение |x + 2| = |x – 1|.

Решение. Запишем данное уравнение в виде |x – (-2)| = |x – 1|. Исходя из геометрических соображений, нетрудно понять, что корнем последнего уравнения является координата точки, равноудаленной от точек с координатами 1 и -2.

Ответ: -0,5.

Пример 4. Решите неравенство |x – 1|<2.

Решение. Исходя из геометрических представлений, приходим к выводу, что решениями данного неравенства являются координаты точек, удаленных от точки с координатой 1 на расстояние, меньшее 2.

Ответ: (-1;3)

Упражнения для самостоятельной работы

| x – 2| = 0,4 | 10 – x | < 7 | x + 4 | = | x – 4 |

| x + 3 | = 0,7 | x + 1 | > 1 | x + 2,5| = | x - 3,3|

| x – 2,5| < 0,5 | x + 8 | > 0,7 | x | > | x – 2 |

| x – 5 | < | x – 1 | .

Уравнения прямой в пространстве - это уравнения двух пересекающихся плоскостей Как найти прямую пересечения двух плоскостей

Переподготовка увольняемых военнослужащих II