Мы отметили, что любой одночлен можно привести к стандартному виду . В этой статье мы разберемся, что называют приведением одночлена к стандартному виду, какие действия позволяют осуществить этот процесс, и рассмотрим решения примеров с подробными пояснениями.
Навигация по странице.
Что значит привести одночлен к стандартному виду?
С одночленами удобно работать, когда они записаны в стандартном виде . Однако достаточно часто одночлены задаются в виде, отличном от стандартного. В этих случаях всегда можно перейти от исходного одночлена к одночлену стандартного вида, выполнив тождественные преобразования . Процесс проведения таких преобразований называют приведением одночлена к стандартному виду.
Обобщим приведенные рассуждения. Привести одночлен к стандартному виду – это значит выполнить с ним такие тождественные преобразования, чтобы он принял стандартный вид.
Как привести одночлен к стандартному виду?
Пришло время разобраться с тем, как приводить одночлены к стандартному виду.
Как известно из определения, одночлены нестандартного вида представляют собой произведения чисел, переменных и их степеней, причем, возможно, повторяющихся. А одночлен стандартного вида может содержать в своей записи только одно число и неповторяющиеся переменные или их степени. Теперь осталось понять, как произведения первого вида привести к виду вторых?
Для этого нужно воспользоваться следующим правилом приведения одночлена к стандартному виду , состоящим из двух шагов:
- Во-первых, выполняется группировка числовых множителей, а также одинаковых переменных и их степеней;
- Во-вторых, вычисляется произведение чисел и применяется .
В результате применения озвученного правила любой одночлен будет приведен к стандартному виду.
Примеры, решения
Осталось научиться применять правило из предыдущего пункта при решении примеров.
Пример.
Приведите одночлен 3·x·2·x 2 к стандартному виду.
Решение.
Сгруппируем числовые множители и множители с переменной x . После группировки исходный одночлен примет вид (3·2)·(x·x 2) . Произведение чисел в первых скобках равно 6 , а правило умножения степеней с одинаковыми основаниями позволяет выражение во вторых скобках представить как x 1 +2=x 3 . В итоге получаем многочлен стандартного вида 6·x 3 .
Приведем краткую запись решения: 3·x·2·x 2 =(3·2)·(x·x 2)=6·x 3 .
Ответ:
3·x·2·x 2 =6·x 3 .
Итак, для приведения одночлена к стандартному виду необходимо уметь проводить группировку множителей, выполнять умножение чисел, и работать со степенями.
Для закрепления материала решим еще один пример.
Пример.
Представьте одночлен в стандартном виде и укажите его коэффициент.
Решение.
Исходный одночлен имеет в своей записи единственный числовой множитель −1
, перенесем его в начало. После этого отдельно сгруппируем множители с переменной a
, отдельно – с переменно b
, а переменную m
группировать не с чем, оставим ее как есть, имеем 
. После выполнения действий со степенями в скобках одночлен примет нужный нам стандартный вид , откуда виден коэффициент одночлена , равный −1
. Минус единицу можно заменить знаком минус: .
В математике существует множество различных математических выражений, и кекоторые из них имеют свое закрепившиеся названия. С одним из таких понятий нам и предстоит познакомиться – это одночлен.
Одночлен - это математическое выражение, которое состоит из произведения чисел, переменных, каждая из которых может входить в произведение в некоторой степени. Для того, чтобы лучше разобраться с новым понятием, необходимо ознакомиться с несколькими примерами.
Примеры одночленов
Выражения 4, x^2 , -3*a^4, 0.7*c, ¾*y^2 являются одночленами. Как видите, одно только число или переменная (в степени или без) тоже является одночленом. А вот, например, выражения 2+с, 3*(y^2)/x, a^2 –x^2 уже не являются одночленам , так как они не подходят под определения. В первом выражении используется «сумма», а это недопустимо, во втором – «деление», в третьем – разность.
Рассмотрим еще несколько примеров.
Например, выражение 2*a^3*b/3 тоже является одночленом, хотя там и присутствует деление. Но в данном случае деление происходит на число, и поэтому соответствующее выражение можно переписать следующим образом: 2/3*a^3*b. Еще один пример: какое из выражений 2/х и х/2 является одночленом, а какое нет? правильно ответить, что первое выражение не одночлен, а второе одночлен.
Стандартный вид одночлена
Посмотрите на следующие два выражения-одночлена: ¾*a^2*b^3 и 3*a*1/4*b^3*a. На самом деле это два одинаковых одночлена. Не правда ли, что первое выражение выглядит более удобным, чем второе?
Причиной этого является то, что первое выражение записано в стандартном виде. Стандартный вид многочлена - это произведение, составленное из числового множителя и степеней различных переменных. Числовой множитель называется коэффициентом одночлена.
Для того, чтобы привести одночлен к его стандартному виду, достаточно перемножить все числовые множители, присутствующие в одночлене, и поставить получившееся число на первое место. Затем перемножить все степени, у которых одинаковые буквенные основания.
Приведение одночлена к его стандартному виду
Если в нашем примере во втором выражении перемножить все числовые множители 3*1/4 и потом умножить a*a, то получится первый одночлен. Это действие называется приведение одночлена к его стандартному виду.
Если два одночлена различаются только числовым коэффициентом или равны между собой, то такие одночлены называются в математике подобными.
Урок на тему: "Стандартный вид одночлена. Определение. Примеры"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 7 класса
Электронное учебное пособие "Понятная геометрия" для 7-9 классов
Мультимедийное учебное пособие "Геометрия за 10 минут" для 7-9 классов
Одночлен. Определение
Одночлен - это математическое выражение, которое представляет собой произведение простого множителя и одной или нескольких переменных.К одночленам относятся все числа, переменные, их степени с натуральным показателем:
42; 3; 0; 6 2 ; 2 3 ; b 3 ; ax 4 ; 4x 3 ; 5a 2 ; 12xyz 3 .
Довольно часто бывает трудно определить, относится ли данное математическое выражение к одночлену или нет. Например,
$\frac{4а^3}{5}$. Это одночлен или нет? Чтобы ответить на этот вопрос надо упростить выражение, т.е. представить в виде: $\frac{4}{5}*а^3$.
Мы можем точно сказать, что данное выражение - одночлен.
Стандартный вид одночлена
При вычислениях желательно привести одночлен к стандартному виду. Это наиболее краткая и понятная запись одночлена.Порядок приведения одночлена к стандартному виду следующий:
1. Перемножить коэффициенты одночлена (или числовые множители) и полученный результат поместить на первое место.
2. Выбрать все степени с одинаковым буквенным основанием и перемножить их.
3. Повторять пункт 2 для всех переменных.
Примеры.
I. Привести заданный одночлен $3x^2zy^3*5y^2z^4$ к стандартному виду.
Решение.
1. Перемножим коэффициенты одночлена $15х^2y^3z * y^2z^4$.
2. Теперь приведем подобные слагаемые $15х^2y^5z^5$.
II. Привести заданный одночлен $5a^2b^3 * \frac{2}{7}a^3b^2c$ к стандартному виду.
Решение.
1. Перемножим коэффициенты одночлена $\frac{10}{7}a^2b^3*a^3b^2c$.
2. Теперь приведем подобные слагаемые $\frac{10}{7}a^5b^5c$.
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Тип урока: интегрированный (с ИКТ), урок введения новых знаний.
Цели и задачи (алгебра): ввести понятие одночлена; степень одночлена; стандартный вид одночлена. Научить учащихся приводить одночлены к стандартному виду. Продолжить формирование навыков выполнения действий со степенями. Совершенствовать вычислительные навыки учащихся. Развивать внимательность, аккуратность.
Цели и задачи (ИКТ): научить использовать в практической деятельности встроенный редактор формул в MS Office Word; развивать навык самостоятельной работы.
Материалы, используемые на уроке: презентация, компьютерный класс с установленным пакетом MS Office (Word), опорный конспект практической работы, карточки с заданием для самостоятельной работы, мультимедиа установка.
Ход урока
I. Организационный момент .
Приветствие учащихся.
II. Устные упражнения.
(слайд на экране2).
- Представить в виде степени: y 3 *y 2 ; (y 3) 5 ; y 7 *y 3 ; (y 7) 4 ; а 10 /а 8 .
- Каким числом (положительным или отрицательным) является значение выражения: (-8) 10 ; (-5) 27 ; 7 5 ; -2 8 ; -(-1) 7 .
- Вычислите: (3*2) 2 -3*2 2 ; (-3) 8 /3 7 .
III. Изучение нового материала.
Сообщение темы урока и целей и задач урока (слайд 3,4).
6*x 2 *у; 2*x 3 ; mn 7 ; ab; -8 (слайд 5)
- Прочитайте выражения, записанные на доске.
- Что собой представляют эти выражения?
Выражения такого вида называются одночленами.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Одночлен – это произведение чисел и переменных, степеней переменных либо число, переменная, степень переменной.
Посмотрите внимательно на экран (слайд 7). Какие из следующих выражений являются одночленами? Почему?
IV. Закрепление нового материала.
№463 – самостоятельно. Проверка фронтальная. (Слайд 8).
V. Изучение нового материала.
Пусть у меня есть одночлены
2х 2 у*9y 2 и 8х*9ху (слайд 9)
Воспользуемся переместительным и сочетательным законами умножения. Получим:
2*9*х 2 *у*y 2 =18х 2 y 3 и 8*9*х*х*у=72х 2 у.
- Что мы получили?
- Что собой представляет?
Мы представили одночлен в виде произведения числового множителя, стоящего на первом месте и степеней различных переменных. Такой вид одночлена называется стандартным видом.
- Какой же одночлен называется одночленом стандартного вида?
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: одночлен называется одночленом стандартного вида, если имеет 1 числовой множитель, стоящий на первом месте (коэффициент), произведение одинаковых переменных в нем записано в виде степени.
Прочитайте те одночлены, которые записаны в стандартном виде. Назовите их коэффициенты.
VI. Закрепление нового материала.
№464 – устно, №465 – под руководством учителя.
VII. Задание, выполняемое на компьютере (практическая работа).
Программа MS Word. Встроенный редактор формул. Использование встроенного редактора формул для записи одночленов. Файл «Стандартный вид одночлена» на рабочем столе. Заполните подготовленную таблицу, используя встроенный редактор формул.
Заполните таблицу. (Слайд 15)
Проверка – на экране (слайд 16) и сохраненные файлы учащихся.
VIII. Изучение нового материала.
- Что записано на доске?
- Назовите показатель степени переменной Х?
- Назовите показатель степени переменной Y?
- Найдите сумму показателей степеней. Это число называется степенью одночлена.
На странице 84 учебника найдите определение степени одночлена. Прочитайте его.
IX. Закрепление нового материала .
№ 473 – устно;
№ 467(а; г) – комментировано у доски.
X. Самостоятельная работа .
На экране по вариантам (слайд 19). (У каждого учащегося на парте листок с заданием для выполнения работы – Приложение 2 )
Проверка – самопроверка с записью (на экране слайд 20).
XI. Подведение итогов.
- Что же такое одночлен?
- Одночлен, какого вида называют стандартным одночленом?
- Что называется степенью одночлена?
XII. Домашнее задание.
П.19, №466, 468, 476, 470.
Спасибо за урок! (слайд 23)
Список использованной литературы:
- Алгебра. 7 класс: учебник для общеобразовательных учреждений / [Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова]; под ред. С.А. Теляковского. - М.: Просвещение, 2007.
Понятие одночлена
Определение одночлена: одночлен - это алгебраическое выражение, в котором используется только умножение.
Стандартный вид одночлена
Что такое стандартный вид одночлена? Одночлен записан в стандартном виде, если в нём на первом месте стоит числовой множитель и этот множитель, его называют коэффициентом одночлена, только один в одночлене, буквы одночлена расположены в алфавитном порядке и каждая буква встречается только один раз.
Пример одночлена в стандартном виде:
здесь на первом месте число, коэффициент одночлена, и это число только одно в нашем одночлене, каждая буква встречается только один раз и буквы расположены в алфавитном порядке, в данном случае это латинский алфавит.
Ещё пример одночлена в стандартном виде:
каждая буква встречается лишь однажды, расположены они в латинском алфавитном порядке, но где коэффициент одночлена, т.е. числовой множитель, который должен стоять на первом месте? Он здесь равен единице: 1adm.
Коэффициент одночлена может быть отрицательным? Да, может, пример: -5a.
Коэффициент одночлена может быть дробным? Да, может, пример: 5,2a.
Если одночлен состоит только из числа, т.е. не имеет букв, как привести его к стандартному виду? Любой одночлен, представляющий собой число, уже находится в стандартном виде, пример: число 5 - это одночлен стандартного вида.
Приведение одночленов к стандартному виду
Как привести одночлен к стандартному виду? Рассмотрим примеры.
Пусть дан одночлен 2a4b, нужно привести его к стандартному виду. Перемножаем два его числовых множителя и получаем 8ab. Теперь одночлен записан в стандартном виде, т.е. имеет только один числовой множитель, записанный на первом месте, каждая бува в одночлене встречается только один раз и расположены эти буквы в алфавитном порядке. Итак, 2a4b = 8ab.
Дано: одночлен 2a4a, привести одночлен к стандартному виду. Перемножаем числа 2 и 4, произведение aa заменяем второй степенью a 2 . Получаем: 8a 2 . Это стандартный вид данного одночлена. Итак, 2a4a = 8a 2 .
Подобные одночлены
Что такое подобные одночлены? Если одночлены различаются только лишь коэффициентами или равны, то они называются подобными.
Пример подобных одночленов: 5a и 2a. Эти одночлены различаются только коэффициентами, значит они подобны.
Подобны ли одночлены 5abc и 10cba? Приведем к стандартному виду второй одночлен, получим 10abc. Теперь видно, что одночлены 5abc и 10abc отличаются только своими коэффициентами, а это означает, что они подобны.
Сложение одночленов
Чему равна сумма одночленов? Суммировать мы можем только подобные одночлены. Рассмотрим пример сложения одночленов. Чему равна сумма одночленов 5a и 2a? Суммой этих одночленов будет одночлен, подобный им, коэффициент которого равен сумме коэффициентов слагаемых. Итак, сумма одночленов равна 5a + 2a = 7a.
Ещё примеры сложения одночленов:
2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4
Ещё раз. Складывать можно только подобные одночлены, сложение сводится к сложению их коэффициентов.
Вычитание одночленов
Чему равна разность одночленов? Вычитать мы можем только подобные одночлены. Рассмотрим пример вычитания одночленов. Чему равна разность одночленов 5a и 2a? Разностью этих одночленов будет одночлен, подобный им, коэффициент которого равен разности коэффициентов данных одночленов. Итак, разность одночленов равна 5a - 2a = 3a.
Ещё примеры вычитания одночленов:
10a 2 - 3a 2 = 7a 2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4
Умножение одночленов
Чему равно произведение одночленов? Рассмотрим пример:
т.е. произведение одночленов равно одночлену, множители которого составлены из множителей исходных одночленов.
Ещё пример:
2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12 .
Как получился такой результат? В каждом сомножителе имеется «а» в степени: в первом - «а» в степени 2, а во втором - «а» в степени 5. Значит в произведении будет «а» в степени 7, ведь при умножении одинаковых букв показатели их степеней складываются:
A 2 * a 5 = a 7 .
Это же относится и к сомножителю «b».
Коэффициент первого сомножителя равен двум, а второго - одному, поэтому получаем в результате 2 * 1 = 2.
Вот так посчитался результат 2a 7 b 12 .
Из этих примеров видно, что коэффициенты одночленов перемножаются, а одинаковые буквы заменяются суммами их степеней в произведении.
