Цели урока
- Формирование у учащихся навыков решения задач на построение сечений.
- Формирование и развитие у учащихся пространственного воображения.
- Развитие графической культуры и математической речи.
- Формирование умения работать индивидуально и в коллективе.
Тип урока: урок формирования и совершенствования знаний.
Формы организации учебной деятельности: групповая, индивидуальная, коллективная.
Техническое обеспечение урока: компьютер, мультимедийный проектор, экран, набор геометрических тел (куб, параллелепипед, тетраэдр).
ХОД УРОКА
1. Организационный момент
Класс разбивается на 3 группы по 5-6 человек. На каждом столе – индивидуальные и групповые задания по построению сечения, набор тел. Знакомство учащихся с темой и целями урока.
2. Актуализация опорных знаний
Опрос теории:
– Аксиомы стереометрии.
– Понятие параллельных прямых в пространстве.
– Теорема о параллельных прямых.
– Параллельность трех прямых.
– Взаимное расположение прямой и плоскости в
пространстве.
– Признак параллельности прямой и плоскости.
– Определение параллельности плоскостей.
– Признак параллельности двух плоскостей.
– Свойства параллельных плоскостей.
– Тетраэдр. Параллелепипед. Свойства
параллелепипеда.
3. Изучение нового материала
Слово учителя:
При решении многих
стереометрических задач используется сечение
многогранника плоскостью. Назовем секущей
плоскостью многогранника любую плоскость, по обе
стороны от которой имеются точки данного
многогранника.
Секущая плоскость пересекает грани по
отрезкам. Многоугольник, сторонами которого
являются эти отрезки, называется сечением
многогранника.
С помощью рисунков 38-39 давайте выясним: Какое
количество сторон может иметь сечение тетраэдра
и параллелепипеда?
Учащиеся анализируют рисунки и делают выводы. Учитель корректирует ответы учащихся, указывая на тот факт, что если секущая плоскость пересекает две противоположные грани параллелепипеда по каким-то отрезкам, то эти отрезки параллельны.
Анализ решения задач 1, 2, 3, приведенных в учебнике (устная коллективная работа).
4. Закрепление изученного материала (по группам)
1 группе: объясните, как построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через данные точки М, N, К и в задачах 1-3 найти периметр сечения, если М, N, К – середины ребер и каждое ребро тетраэдра равно а .
2 группе: объясните, как построить сечение куба плоскостью, проходящей через три данные точки, являющиеся либо вершинами куба, либо серединами его ребер (три данные точки на рисунках выделены), в задачах 1-4 и 6 найдите периметр сечения, если ребро куба равно а. в задаче 5докажите, что АЕ = а /3
3 группе: построить сечение параллелепипеда АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 плоскостью, проходящей через точки:
Все выполненные задания группа защищает у доски, с использованием слайдов.
5. Самостоятельная работа № 85, № 105.
6. Подведение итогов урока
Оценка работы учащихся на уроке.
7. Домашнее задание: индивидуальные карточки.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Разберем два вида решения систем уравнения:
1. Решение системы методом подстановки.
2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.
Для того чтобы решить систему уравнений методом подстановки
нужно следовать простому алгоритму:
1. Выражаем. Из любого уравнения выражаем одну переменную.
2. Подставляем. Подставляем в другое уравнение вместо выраженной переменной, полученное значение.
3. Решаем полученное уравнение с одной переменной. Находим решение системы.
Чтобы решить систему методом почленного сложения (вычитания)
нужно:
1.Выбрать переменную у которой будем делать одинаковые коэффициенты.
2.Складываем или вычитаем уравнения, в итоге получаем уравнение с одной переменной.
3. Решаем полученное линейное уравнение . Находим решение системы.
Решением системы являются точки пересечения графиков функции.
Рассмотрим подробно на примерах решение систем.
Пример №1:
Решим методом подстановки
Решение системы уравнений методом подстановки2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2 уравнение)
1. Выражаем
Видно что во втором уравнении имеется переменная x с коэффициентом 1,отсюда получается что легче всего выразить переменную x из второго уравнения.
x=3+10y
2.После того как выразили подставляем в первое уравнение 3+10y вместо переменной x.
2(3+10y)+5y=1
3.Решаем полученное уравнение с одной переменной.
2(3+10y)+5y=1 (раскрываем скобки)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Решением системы уравнения является точки пересечений графиков, следовательно нам нужно найти x и у, потому что точка пересечения состоит их x и y.Найдем x, в первом пункте где мы выражали туда подставляем y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Точки принято записывать на первом месте пишем переменную x, а на втором переменную y.
Ответ: (1; -0,2)
Пример №2:
Решим методом почленного сложения (вычитания).
Решение системы уравнений методом сложения3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2 уравнение)
1.Выбираем переменную, допустим, выбираем x. В первом уравнении у переменной x коэффициент 3, во втором 2. Нужно сделать коэффициенты одинаковыми, для этого мы имеем право домножить уравнения или поделить на любое число. Первое уравнение домножаем на 2, а второе на 3 и получим общий коэффициент 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2.Из первого уравнения вычтем второе, чтобы избавиться от переменной x.Решаем линейное уравнение.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6,4
3.Находим x. Подставляем в любое из уравнений найденный y, допустим в первое уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Точкой пересечения будет x=4,6; y=6,4
Ответ: (4,6; 6,4)
Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно . Без шуток.
Системы уравнений получили широкое применение в экономической отрасли при математическом моделировании различных процессов. Например, при решении задач управления и планирования производства, логистических маршрутов (транспортная задача) или размещения оборудования.
Системы уравнения используются не только в области математики, но и физики, химии и биологии, при решении задач по нахождению численности популяции.
Системой линейных уравнений называют два и более уравнения с несколькими переменными, для которых необходимо найти общее решение. Такую последовательность чисел, при которых все уравнения станут верными равенствами или доказать, что последовательности не существует.
Линейное уравнение
Уравнения вида ax+by=c называют линейными. Обозначения x, y - это неизвестные, значение которых надо найти, b, a - коэффициенты при переменных, c - свободный член уравнения.
Решение уравнение путем построение его графика будет иметь вид прямой, все точки которой являются решением многочлена.
Виды систем линейных уравнений
Наиболее простыми считаются примеры систем линейных уравнений с двумя переменными X и Y.
F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, где F1,2 - функции, а (x, y) - переменные функций.
Решить систему уравнений - это значит найти такие значения (x, y), при которых система превращается в верное равенство или установить, что подходящих значений x и y не существует.
Пара значений (x, y), записанная в виде координат точки, называется решением системы линейных уравнений.
Если системы имеют одно общее решение или решения не существует их называют равносильными.
Однородными системами линейных уравнений являются системы правая часть которых равна нулю. Если правая после знака "равенство" часть имеет значение или выражена функцией, такая система неоднородна.
Количество переменных может быть гораздо больше двух, тогда следует говорить о примере системы линейных уравнений с тремя переменными или более.
Сталкиваясь с системами школьники предполагают, что количество уравнений обязательно должно совпадать с количеством неизвестных, но это не так. Количество уравнений в системе не зависит от переменных, их может быть сколь угодно много.
Простые и сложные методы решения систем уравнений
Не существует общего аналитического способа решения подобных систем, все методы основаны на численных решениях. В школьном курсе математики подробно описаны такие методы как перестановка, алгебраическое сложение, подстановка, а так же графический и матричный способ, решение методом Гаусса.
Основная задача при обучении способам решения - это научить правильно анализировать систему и находить оптимальный алгоритм решения для каждого примера. Главное не вызубрить систему правил и действий для каждого способа, а понять принципы применения того или иного метода
Решение примеров систем линейных уравнений 7 класса программы общеобразовательной школы довольно простое и объяснено очень подробно. В любом учебнике математике этому разделу отводится достаточно внимания. Решение примеров систем линейных уравнений методом Гаусса и Крамера более подробно изучают на первых курсах высших учебных заведений.
Решение систем методом подстановки
Действия метода подстановки направлены на выражение значения одной переменной через вторую. Выражение подставляется в оставшееся уравнение, затем его приводят к виду с одной переменной. Действие повторяется в зависимости от количества неизвестных в системе
Приведем решение примера системы линейных уравнений 7 класса методом подстановки:
Как видно из примера, переменная x была выражена через F(X) = 7 + Y. Полученное выражение, подставленное во 2-е уравнение системы на место X, помогло получить одну переменную Y во 2-е уравнении. Решение данного примера не вызывает трудностей и позволяет получить значение Y. Последний шаг это проверка полученных значений.
Решить пример системы линейных уравнений подстановкой не всегда возможно. Уравнения могут быть сложными и выражение переменной через вторую неизвестную окажется слишком громоздким для дальнейших вычислений. Когда неизвестных в системе больше 3-х решение подстановкой также нецелесообразно.
Решение примера системы линейных неоднородных уравнений:
Решение с помощью алгебраического сложения
При поиске решении систем методом сложения производят почленное сложение и умножение уравнений на различные числа. Конечной целью математических действий является уравнение с одной переменной.
Для применений данного метода необходима практика и наблюдательность. Решить систему линейных уравнений методом сложения при количестве переменных 3 и более непросто. Алгебраическое сложение удобно применять когда в уравнениях присутствуют дроби и десятичные числа.
Алгоритм действий решения:
- Умножить обе части уравнения на некое число. В результате арифметического действия один из коэффициентов при переменной должен стать равным 1.
- Почленно сложить полученное выражение и найти одно из неизвестных.
- Подставить полученное значение во 2-е уравнение системы для поиска оставшейся переменной.
Способ решения введением новой переменной
Новую переменную можно вводить, если в системе требуется найти решение не более чем для двух уравнений, количество неизвестных тоже должно быть не больше двух.
Способ используется, чтобы упростить одно из уравнений, вводом новой переменной. Новое уравнение решается относительно введенной неизвестной, а полученное значение используется для определения первоначальной переменной.
Из примера видно, что введя новую переменную t удалось свести 1-е уравнение системы к стандартному квадратному трехчлену. Решить многочлен можно отыскав дискриминант.
Необходимо найти значение дискриминанта по известной формуле: D = b2 - 4*a*c, где D - искомый дискриминант, b, a, c - множители многочлена. В заданном примере a=1, b=16, c=39, следовательно, D=100. Если дискриминант больше нуля, то решений два: t = -b±√D / 2*a, если дискриминант меньше нуля, то решение одно: x= -b / 2*a.
Решение для полученных в итоге системы находят методом сложения.
Наглядный метод решения систем
Подходит для систем с 3-мя уравнениями. Метод заключается в построении на координатной оси графиков каждого уравнения, входящего в систему. Координаты точек пересечения кривых и будут общим решением системы.
Графический способ имеет ряд нюансов. Рассмотрим несколько примеров решения систем линейных уравнений наглядным способом.
Как видно из примера, для каждой прямой было построено две точки, значения переменной x были выбраны произвольно: 0 и 3. Исходя из значений x, найдены значения для y: 3 и 0. Точки с координатами (0, 3) и (3, 0) были отмечены на графике и соединены линией.
Действия необходимо повторить для второго уравнения. Точка пересечения прямых является решением системы.
В следующем примере требуется найти графическое решение системы линейных уравнений: 0,5x-y+2=0 и 0,5x-y-1=0.
Как видно из примера, система не имеет решения, потому что графики параллельны и не пересекаются на всем своем протяжении.
Системы из примеров 2 и 3 похожи, но при построении становится очевидно, что их решения разные. Следует помнить, что не всегда можно сказать имеет ли система решение или нет, всегда необходимо построить график.
Матрица и ее разновидности
Матрицы используются для краткой записи системы линейных уравнений. Матрицей называют таблицу специального вида, заполненную числами. n*m имеет n - строк и m - столбцов.
Матрица является квадратной, когда количество столбцов и строк равно между собой. Матрицей - вектором называется матрица из одного столбца с бесконечно возможным количеством строк. Матрица с единицами по одной из диагоналей и прочими нулевыми элементами называется единичной.
Обратная матрица - это такая матрица при умножении на которую исходная превращается в единичную, такая матрица существует только для исходной квадратной.
Правила преобразования системы уравнений в матрицу
Применительно к системам уравнений в качестве чисел матрицы записывают коэффициенты и свободные члены уравнений, одно уравнение - одна строка матрицы.
Строка матрицы называется ненулевой, если хотя бы один элемент строки не равен нулю. Поэтому если в каком-либо из уравнений количество переменных разнится, то необходимо на месте отсутствующей неизвестной вписать нуль.
Столбцы матрицы должны строго соответствовать переменным. Это означает что коэффициенты переменной x могут быть записаны только в один столбец, например первый, коэффициент неизвестной y - только во второй.
При умножении матрицы все элементы матрицы последовательно умножаются на число.
Варианты нахождения обратной матрицы
Формула нахождения обратной матрицы довольно проста: K -1 = 1 / |K|, где K -1 - обратная матрица, а |K| - определитель матрицы. |K| не должен быть равен нулю, тогда система имеет решение.
Определитель легко вычисляется для матрицы "два на два", необходимо лишь помножить друг на друга элементы по диагонали. Для варианта "три на три" существует формула |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Можно воспользоваться формулой, а можно запомнить что необходимо взять по одному элементу из каждой строки и каждого столбца так, чтобы в произведении не повторялись номера столбцов и строк элементов.
Решение примеров систем линейных уравнений матричным методом
Матричный способ поиска решения позволяет сократить громоздкие записи при решении систем с большим количеством переменных и уравнений.
В примере a nm - коэффициенты уравнений, матрица - вектор x n - переменные, а b n - свободные члены.
Решение систем методом Гаусса
В высшей математике способ Гаусса изучают совместно с методом Крамера, а процесс поиска решения систем так и называется метод решения Гаусса - Крамера. Данные способы используют при нахождении переменных систем с большим количеством линейных уравнений.
Метод Гаусса очень похож на решения с помощью подстановок и алгебраического сложения, но более систематичен. В школьном курсе решение способом Гаусса применяется для систем из 3 и 4 уравнений. Цель метода состоит в приведении системы к виду перевернутой трапеции. Путем алгебраических преобразований и подстановок находится значение одной переменной в одном из уравнении системы. Второе уравнение представляет собой выражение с 2-мя неизвестными, ну а 3 и 4 - соответственно с 3-мя и 4-мя переменными.
После приведения системы к описанному виду, дальнейшее решение сводится к последовательной подстановке известных переменных в уравнения системы.
В школьных учебниках для 7 класса пример решения методом Гаусса описан следующим образом:
Как видно из примера, на шаге (3) было получено два уравнения 3x 3 -2x 4 =11 и 3x 3 +2x 4 =7. Решение любого из уравнений позволит узнать одну из переменных x n .
Теорема 5, о которой упоминается в тексте, гласит что если одно из уравнений системы заменить равносильным, то полученная система будет также равносильна исходной.
Метод Гаусса труден для восприятия учеников средней школы, но является одним из наиболее интересных способов для развития смекалки детей, обучающихся по программе углубленного изучения в математических и физических классах.
Для простоты записи вычислений принято делать следующим образом:
Коэффициенты уравнений и свободные члены записываются в виде матрицы, где каждая строка матрицы соотносится с одним из уравнений системы. отделяет левую часть уравнения от правой. Римскими цифрами обозначаются номера уравнений в системе.
Сначала записывают матрицу, с которой предстоит работать, затем все действия проводимые с одной из строк. Полученную матрицу записывают после знака "стрелка" и продолжают выполнять необходимые алгебраические действия до достижения результата.
В итоге должна получиться матрица в которой по одной из диагоналей стоят 1, а все другие коэффициенты равны нулю, то есть матрицу приводят к единичному виду. Нельзя забывать производить вычисления с цифрами обеих частей уравнения.
Данный способ записи менее громоздкий и позволяет не отвлекаться на перечисление многочисленных неизвестных.
Свободное применение любого способа решения потребует внимательности и определенного опыта. Не все методы имеют прикладной характер. Какие-то способы поиска решений более предпочтительны в той иной области деятельности людей, а другие существуют в целях обучения.
Урок и презентация на тему: "Системы уравнений. Метод подстановки, метод сложения, метод введения новой переменной"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 9 класса
Тренажер к учебникам Атанасяна Л.С.
Тренажер к учебникам Погорелова А.В.
Способы решения систем неравенств
Ребята, мы с вами изучили системы уравнений и научились решать их с помощью графиков. Теперь давайте посмотрим, какие еще существуют способы решения систем?Практически все способы их решения не отличаются от тех, что мы изучали в 7 классе. Сейчас нам нужно внести некоторые корректировки согласно тем уравнениям, что мы научились решать.
Суть всех методов, описанных в данном уроке, это замена системы равносильной системой с более простым видом и способом решения. Ребята, вспомните, что такое равносильная система.
Метод подстановки
Первый способ решения систем уравнений с двумя переменными нам хорошо известен - это метод подстановки. С помощью этого метода мы решали линейные уравнения. Теперь давайте посмотрим, как решать уравнения в общем случае?Как же нужно действовать при решении?
1. Выразить одну из переменных через другую. Чаще всего в уравнениях используют переменные x и y. В одном из уравнений выражаем одну переменную через другую. Совет: внимательно посмотрите на оба уравнения, прежде чем начать решать, и выберете то, где будет легче выразить переменную.
2. Полученное выражение подставить во второе уравнение, вместо той переменной, которую выражали.
3. Решить уравнение, которое у нас получилось.
4. Подставить получившееся решение во второе уравнение. Если решений несколько, то подставлять надо последовательно, чтобы не потерять пару решений.
5. В результате вы получите пару чисел $(x;y)$, которые надо записать в ответ.
Пример.
Решить систему с двумя переменными методом подстановки: $\begin{cases}x+y=5, \\xy=6\end{cases}$.
Решение.
Внимательно посмотрим на наши уравнения. Очевидно, что выразить y через x в первом уравнении гораздо проще.
$\begin{cases}y=5-x, \\xy=6\end{cases}$.
Подставим первое выражение во второе уравнение
$\begin{cases}y=5-x, \\x(5-2x)=6\end{cases}$.
Решим второе уравнение отдельно:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
Получили два решения второго уравнения $x_1=2$ и $x_2=3$.
Последовательно подставим во второе уравнение.
Если $x=2$, то $y=3$. Если $x=3$, то $y=2$.
Ответом будет две пары чисел.
Ответ: $(2;3)$ и $(3;2)$.
Метод алгебраического сложения
Этот метод мы также изучали в 7 классе.Известно, что рациональное уравнение от двух переменных мы можем умножить на любое число, не забывая умножить обе части уравнения. Мы умножали одно из уравнений на некое число так, чтобы при сложении получившегося уравнения со вторым уравнением системы, одна из переменных уничтожалась. Потом решали уравнение относительно оставшейся переменной.
Этот метод работает и сейчас, правда не всегда возможно уничтожить одну из переменных. Но позволяет значительно упростить вид одного из уравнений.
Пример.
Решить систему: $\begin{cases}2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end{cases}$.
Решение.
Умножим первое уравнение на 2.
$\begin{cases}4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end{cases}$.
Вычтем из первого уравнения второе.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
Как видим, вид получившегося уравнения гораздо проще исходного. Теперь мы можем воспользоваться методом подстановки.
$\begin{cases}4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end{cases}$.
Выразим x через y в получившемся уравнении.
$\begin{cases}4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end{cases}$.
$\begin{cases}x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\end{cases}$.
$\begin{cases}x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\end{cases}$.
$\begin{cases}x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end{cases}$.
$\begin{cases}x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end{cases}$.
$\begin{cases}x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end{cases}$.
Получили $y=-1$ и $y=-3$.
Подставим эти значения последовательно в первое уравнение. Получим две пары чисел: $(1;-1)$ и $(-1;-3)$.
Ответ: $(1;-1)$ и $(-1;-3)$.
Метод введения новой переменной
Этот метод мы также изучали, но давайте посмотрим на него еще раз.Пример.
Решить систему: $\begin{cases}\frac{x}{y}+\frac{2y}{x}=3, \\2x^2-y^2=1\end{cases}$.
Решение.
Введем замену $t=\frac{x}{y}$.
Перепишем первое уравнение с новой переменной: $t+\frac{2}{t}=3$.
Решим получившееся уравнение:
$\frac{t^2-3t+2}{t}=0$.
$\frac{(t-2)(t-1)}{t}=0$.
Получили $t=2$ или $t=1$. Введем обратную замену $t=\frac{x}{y}$.
Получили: $x=2y$ и $x=y$.
Для каждого из выражений исходную систему надо решить отдельно:
$\begin{cases}x=2y, \\2x^2-y^2=1\end{cases}$. $\begin{cases}x=y, \\2x^2-y^2=1\end{cases}$.
$\begin{cases}x=2y, \\8y^2-y^2=1\end{cases}$.
$\begin{cases}x=y, \\2y^2-y^2=1\end{cases}$.
$\begin{cases}x=2y, \\7y^2=1\end{cases}$.
$\begin{cases}x=2y, \\y^2=1\end{cases}$.
$\begin{cases}x=2y, \\y=±\frac{1}{\sqrt{7}}\end{cases}$.
$\begin{cases}x=y, \\y=±1\end{cases}$.
$\begin{cases}x=±\frac{2}{\sqrt{7}}, \\y=±\frac{1}{\sqrt{7}}\end{cases}$.
$\begin{cases}x=±1, \\y=±1\end{cases}$.
Получили четыре пары решений.
Ответ: $(\frac{2}{\sqrt{7}};\frac{1}{\sqrt{7}})$; $(-\frac{2}{\sqrt{7}};-\frac{1}{\sqrt{7}})$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.
Пример.
Решить систему: $\begin{cases}\frac{2}{x-3y}+\frac{3}{2x+y}=2, \\\frac{8}{x-3y}-\frac{9}{2x+y}=1\end{cases}$.
Решение.
Введем замену: $z=\frac{2}{x-3y}$ и $t=\frac{3}{2x+y}$.
Перепишем исходные уравнения с новыми переменными:
$\begin{cases}z+t=2, \\4z-3t=1\end{cases}$.
Воспользуемся методом алгебраического сложения:
$\begin{cases}3z+3t=6, \\4z-3t=1\end{cases}$.
$\begin{cases}3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end{cases}$.
$\begin{cases}7z=7, \\4z-3t=1\end{cases}$.
$\begin{cases}z=1, \\-3t=1-4\end{cases}$.
$\begin{cases}z=1, \\t=1\end{cases}$.
Введем обратную замену:
$\begin{cases}\frac{2}{x-3y}=1, \\\frac{3}{2x+y}=1\end{cases}$.
$\begin{cases}x-3y=2, \\2x+y=3\end{cases}$.
Воспользуемся методом подстановки:
$\begin{cases}x=2+3y, \\4+6y+y=3\end{cases}$.
$\begin{cases}x=2+3y, \\7y=-1\end{cases}$.
$\begin{cases}x=2+3(\frac{-1}{7}), \\y=\frac{-1}{7}\end{cases}$.
$\begin{cases}x=\frac{11}{7}, \\x=-\frac{11}{7}\end{cases}$.
Ответ: $(\frac{11}{7};-\frac{1}{7})$.
Задачи на системы уравнений для самостоятельного решения
Решите системы:1. $\begin{cases}2x-2y=6, \\xy =-2\end{cases}$.
2. $\begin{cases}x+y^2=3, \\xy^2=4\end{cases}$.
3. $\begin{cases}xy+y^2=3, \\y^2-xy=5\end{cases}$.
4. $\begin{cases}\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=4, \\\frac{1}{x}+\frac{3}{y}=9\end{cases}$.
5. $\begin{cases}\frac{5}{x^2-xy}+\frac{4}{y^2-xy}=-\frac{1}{6}, \\\frac{7}{x^2-xy}-\frac{3}{y^2-xy}=\frac{6}{5}\end{cases}$.
