Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
Таблица производных элементарных функций
Определение 1
Вычисление производной называют дифференцированием .
Обозначают производную $y"$ или $\frac{dy}{dx}$.
Замечание 1
Для нахождения производной функции согласно основным правилам дифференцирования превращают в другую функцию.
Рассмотрим таблицу производных. Обратим внимание на то, что функции после нахождения их производных преобразуются в другие функции.
Исключение составляет лишь $y=e^x$, превращающаяся сама в себя.
Правила дифференцирования производной
Чаще всего при нахождении производной требуется не просто посмотреть в таблицу производных, а вначале применить правила дифференцирования и доказательство производной произведения, и только потом использовать таблицу производных элементарных функций.
1. Постоянная выносится за знак производной
$C$ – постоянная (константа).
Пример 1
Продифференцировать функцию $y=7x^4$.
Решение.
Находим $y"=(7x^4)"$. Выносим число $7$ за знак производной, получаем:
$y"=(7x^4)"=7(x^4)"=$
используя таблицу, необходимо находить значение производной степенной функции:
$=7 \cdot 4x^3=$
Преобразуем результат к принятому в математике виду:
Ответ: $28x^3$.
2. Производная суммы (разницы) равна сумме (разнице) производных:
$(u \pm v)"=u" \pm v"$.
Пример 2
Продифференцировать функцию $y=7+x-5x^3+4 \sin x-9\sqrt{x^2}+\frac{4}{x^4} -11\cot x$.
Решение.
$y"=(7+x-5x^5+4 \sin x-9\sqrt{x^2}+\frac{4}{x^4} -11\cot x)"=$
применим правило дифференцирования производной суммы и разницы:
$=(7)"+(x)"-(5x^5)"+(4 \sin x)"-(9\sqrt{x^2})"+(\frac{4}{x^4})"-(11\cot x)"=$
отметим, что при дифференцировании все степени и корни необходимо преобразовать к виду $x^{\frac{a}{b}}$;
вынесем все постоянные за знак производной:
$=(7)"+(x)"-(5x^5)"+(4\sin x)"-(9x^{\frac{2}{5}})"+(4x^{-4})"-(11\cot x)"=$
$=(7)"+(x)"-5(x^5)"+4(\sin x)"-9(x^{\frac{2}{5}})"+4(x^{-4})"-11(\cot x)"=$
разобравшись с правилами дифференцирования, некоторые из них (например, как последние два) применяются одновременно во избежание переписывания длинного выражения;
мы получили выражение из элементарных функций, стоящих под знаком производной; воспользуемся таблицей производных:
$=0+1-5 \cdot 5x^4+4\cos x-9 \cdot \frac{2}{5} x^{-\frac{3}{5}}+12x^{-5}-11 \cdot \frac{-1}{\sin^2 x}=$
преобразуем к виду, принятому в математике:
$=1-25x^4+4 \cos x-\frac{18}{5\sqrt{x^3}}+\frac{12}{x^5} +\frac{11}{\sin^2 x}$
Обратим внимание, что при нахождении результата принято слагаемые с дробными степенями преобразовать в корни, а с отрицательными – в дроби.
Ответ : $1-25x^4+4 \cos x-\frac{18}{5\sqrt{x^3}}+\frac{12}{x^5} +\frac{11}{\sin^2 x}$.
3. Формула производной произведения функций:
$(uv)"=u" v+uv"$.
Пример 3
Продифференцировать функцию $y=x^{11} \ln x$.
Решение.
Сначала применим правило вычисления производной произведения функций, а затем используем таблицу производных:
$y"=(x^{11} \ln x)"=(x^{11})" \ln x+x^{11} (\lnтx)"=11x^{10} \ln x+x^{11} \cdot \frac{1}{x}=11x^{10} \ln x-\frac{x^{11}}{x}=11x^{10} \ln x-x^{10}=x^{10} (11 \ln x-1)$.
Ответ : $x^{10} (11 \ln x-1)$.
4. Формула производной частной функции:
$(\frac{u}{v})"=\frac{u" v-uv"}{v^2}$.
Пример 4
Продифференцировать функцию $y=\frac{3x-8}{x^5-7}$.
Решение.
$y"=(\frac{3x-8}{x^5-7})"=$
по правилам приоритета математических операций сначала выполним деление, а потом сложение и вычитание, поэтому применим сначала правило вычисления производной частного:
$=\frac{(3x-8)" (x^5-7)-(3x-8) (x^5-7)"}{(x^5-7)^2} =$
применим правила производных суммы и разности, раскроем скобки и упростим выражение:
$=\frac{3(x^5-7)-5x^4 (3x-8)}{(x^5-7)^2} =\frac{3x^5-21-15x^5+40x^4}{(x^5-7)^2} =\frac{-12x^5+40x^4-21}{(x^5-7)^2}$ .
Ответ: $\frac{-12x^5+40x^4-21}{(x^5-7)^2}$.
Пример 5
Продифференцируем функцию $y=\frac{x^7-2x+3}{x}$.
Решение.
Функция y является частным двух функций, поэтому можно применить правило вычисления производной частного, но в таком случае получим громоздкую функцию. Для упрощения данной функции можно почленно разделить числитель на знаменатель:
$y=\frac{x^7-13x+9}{x}=x^6-13+\frac{9}{x}$.
Применим к упрощенной функции правило дифференцирования суммы и разности функций:
$y"=(x^6-13+\frac{9}{x})"=(x^6)"+(-13)"+9(x^{-1})"=6x^5+0+9 \cdot (-x^{-2})=$
$=6x^5-\frac{9}{x^2}$.
Ответ : $6x^5-\frac{9}{x^2}$.
