Без требования доказательства и используемое при доказательстве других её положений, которые, в свою очередь, называются теоремами .
Назначение
Необходимость в принятии аксиом без доказательств следует из индуктивного соображения: любое доказательство вынуждено опираться на какие-либо утверждения, и если для каждого из них требовать своих доказательств, цепочка получится бесконечной. Чтобы не уходить в бесконечность, нужно где-то эту цепочку разорвать - то есть какие-то утверждения принять без доказательств, как исходные. Именно такие, принятые в качестве исходных, утверждения и называются аксиомами .
Аксиоматиза́ция теории - явное указание конечного или счётного , рекурсивно перечислимого (как, например, в аксиоматике Пеано) набора аксиом и правил вывода. После того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, всё дальнейшее изложение должно основываться исключительно на этих аксиомах и не опираться на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений.
Выбор аксиом, которые составляют основу конкретной теории, не является единственным. Примеры различных, но равносильных наборов аксиом можно встретить в математической логике и евклидовой геометрии .
Толчком к изменению восприятия аксиом послужили работы российского математика Николая Лобачевского о неевклидовой геометрией , впервые опубликованные в конце 1820-х годов. Ещё будучи студентом, он пытался доказать пятый постулат Евклида, но позднее отказался от этого. Лобачевский сделал вывод о том, что пятый постулат является лишь произвольным ограничением, которое можно заменить другим ограничением. Если бы пятый постулат Евклида был доказуем, то Лобачевский столкнулся бы с противоречиями. Однако, хотя новая версия пятого постулата и не была наглядно-очевидной, она полностью выполняла роль аксиомы, позволяя построить новую непротиворечивую систему геометрии.
Сперва идеи Лобачевского не были признаны (например, о них отрицательно отзывался академик Остроградский). Позднее, когда Лобачевский опубликовал работы на других языках, он был замечен Гауссом , который тоже имел некоторые наработки в области неевклидовой геометрии. Он косвенно высказал восхищение этой работой. Настоящее признание геометрия Лобачевского получила лишь через 10-12 лет после смерти автора, когда была доказана её непротиворечивость в случае непротиворечивости геометрии Евклида. Это привело к революции в математическом мире. Гильберт развернул масштабный проект по аксиоматизации всей математики для доказательства её непротиворечивости. Его планам не суждено было сбыться из-за последовавших теорем Гёделя о неполноте . Однако это послужило толчком к формализации математики. Например, появились
В последующих пунктах будут даны определения многих геометрических фигур и других понятий. Дать определение чему-либо - значит объяснить, что это такое. При определении любого понятия употребляются другие понятия, которые должны быть уже известны. Однако нельзя дать определения всех понятий, поэтому некоторые из них принимают без определений и называют их неопределяемыми. К таким понятиям относятся, например, точка и прямая (см. п. 2).
На рисунке 5 прямые а и имеют одну общую точку А. Прямые, имеющие одну общую точку, называются пересекающимися, а точка А - точкой пересечения прямых а и
Рассуждение, с помощью которого устанавливается правильность утверждения о свойстве геометрической фигуры, называется доказательством.
Предложение, выражающее свойство геометрической фигуры, истинность которого доказывается, называется теоремой.
Совершенно ясно, что невозмолено доказать все свойства геометрических фигур, не приняв некоторые из них за основные, являющиеся отправными в доказательствах других свойств фигур.
Принимаемые без доказательства свойства фигур называют аксиомами.
По ходу изложения материала будут сформулированы аксиомы, на основе которых построен школьный курс планиметрии. Эти аксиомы обозначены буквой А.
В главе II будет рассмотрена группа аксиом стереометрии.
К аксиомам планиметрии относятся, например, основные свойства принадлежности точек и прямых на плоскости.
Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
Используя уже имеющиеся определения и аксиомы, можно доказать первую теорему планиметрии.
Т. 1. 1. Две различные прямые либо не пересекаются, либо пересекаются только в одной точке.
Если бы две различные прямые имели две точки пересечения, то получилось бы, что через эти точки проходят две различные прямые. А это невозможно, так как согласно через две точки проходит только одна прямая.
Эта теорема доказывается методом доказательства от противного. Этот метод состоит в том, что сначала делается предположение, противоположное тому, что утверждается теоремой. Затем путем рассуждений, опираясь на аксиомы, а нередко на доказанные ранее теоремы, приходят к выводу, противоречащему либо условию теоремы, либо одной из аксиом, либо известной ранее теореме. На этом основании заключают, что предположение было неверным, а значит, верно утверждение теоремы.
Строение курса геометрии можно охарактеризовать так:
1. Перечисляются основные геометрические понятия, они вводятся без определения.
2. На основе введенных понятий даются определения всем остальным геометрическим понятиям.
3. Формулируются аксиомы.
4. На основе аксиом и определений доказываются теоремы, которые, в свою очередь, используются для доказательства других теорем курса геометрии.
Построение геометрии с учетом выполнения всех этих пунктов называется аксиоматическим.
Пример. Даны четыре точки. Сколько различных прямых могут определять эти точки?
Решение. Воспользуемся аксиомой геометрии Существенным здесь является рассмотрение различных возможностей
расположения точек. Принципиально различными являются три случая расположения четырех точек (рис. 6). В первом случае (рис. 6, а) мы имеем одну прямую, во втором случае (рис. 6, б) - четыре прямые, в третьем случае (рис. 6, в) - шесть прямых.
