Неравенство называется логарифмическим, если в нём содержится логарифмическая функция.
Методы решения логарифмических неравенств не отличаются от , за исключением двух вещей.
Во-первых, при переходе от логарифмического неравенства к неравенству подлогарифмических функций следует следить за знаком получающегося неравенства . Он подчиняется следующему правилу.
Если основание логарифмической функции больше $1$, то при переходе от логарифмического неравенства к неравенству подлогарифмических функций знак неравенства сохраняется, а если же меньше $1$, то меняется на противоположный.
Во-вторых, решение любого неравенства – промежуток, а, значит, в конце решения неравенства подлогарифмических функций необходимо составить систему из двух неравенств: первым неравенством этой системы будет неравенство подлогарифмических функций, а вторым – промежуток области определения логарифмических функций, входящих в логарифмическое неравенство.
Практика.
Решим неравенства:
1. $\log_{2}{(x+3)} \geq 3.$
$D(y): \ x+3>0.$
$x \in (-3;+\infty)$
Основание логарифма равно $2>1$, поэтому знак не меняется. Пользуясь определением логарифма, получим:
$x+3 \geq 2^{3},$
$x \in U
Пример 2.
Решить неравенство ||x+2| – 3| ≤ 2.
Решение.
Данное неравенство равносильно следующей системе.
{|x + 2| – 3 ≥ -2
{|x + 2| – 3 ≤ 2,
{|x + 2| ≥ 1
{|x + 2| ≤ 5.
Решим отдельно первое неравенство системы. Оно эквивалентно следующей совокупности:
U [-1; 3].
2) Решение неравенств, используя определение модуля.
Напомню для начала определение модуля.
|a| = a, если a ≥ 0 и |a| = -a, если a < 0.
Например, |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21.
Пример 1.
Решить неравенство 3|x – 1| ≤ x + 3.
Решение.
Используя определение модуля получим две системы:
{x – 1 ≥ 0
{3(x – 1) ≤ x + 3
{x – 1 < 0
{-3(x – 1) ≤ x + 3.
Решая первую вторую системы в отдельности, получим:
{x ≥ 1
{x ≤ 3,
{x < 1
{x ≥ 0.
Решением исходного неравенства будут все решения первой системы и все решения второй системы.
Ответ: x € .
3) Решение неравенств методом возведения в квадрат.
Пример 1.
Решить неравенство |x 2 – 1| < | x 2 – x + 1|.
Решение.
Возведем обе части неравенства в квадрат. Замечу, что возводить обе части неравенства в квадрат можно только в том случае, когда они обе положительные. В данном случае у нас и слева и справа стоят модули, поэтому мы можем это сделать.
(|x 2 – 1|) 2 < (|x 2 – x + 1|) 2 .
Теперь воспользуемся следующим свойством модуля: (|x|) 2 = x 2 .
(x 2 – 1) 2 < (x 2 – x + 1) 2 ,
(x 2 – 1) 2 – (x 2 – x + 1) 2 < 0.
(x 2 – 1 – x 2 + x – 1)(x 2 – 1 + x 2 – x + 1) < 0,
(x – 2)(2x 2 – x) < 0,
x(x – 2)(2x – 1) < 0.
Решаем методом интервалов.
Ответ: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)
4) Решение неравенств методом замены переменных.
Пример.
Решить неравенство (2x + 3) 2 – |2x + 3| ≤ 30.
Решение.
Заметим, что (2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 . Тогда получим неравенство
(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30.
Сделаем замену y = |2x + 3|.
Перепишем наше неравенство с учетом замены.
y 2 – y ≤ 30,
y 2 – y – 30 ≤ 0.
Разложим квадратный трехчлен, стоящий слева, на множители.
y1 = (1 + 11) / 2,
y2 = (1 – 11) / 2,
(y – 6)(y + 5) ≤ 0.
Решим методом интервалов и получим:
Вернемся к замене:
5 ≤ |2x + 3| ≤ 6.
Данное двойное неравенство равносильно системе неравенств:
{|2x + 3| ≤ 6
{|2x + 3| ≥ -5.
Решим каждое из неравенств в отдельности.
Первое равносильно системе
{2x + 3 ≤ 6
{2x + 3 ≥ -6.
Решим ее.
{x ≤ 1.5
{x ≥ -4.5.
Второе неравенство очевидно выполняется для всех x, так как модуль по определению число положительное. Так как решение системы – это все x, которые удовлетворяют одновременно и первому и второму неравенству системы, то решением исходной системы будет решение ее первого двойного неравенства (ведь второе верно для всех x).
Ответ: x € [-4,5; 1,5].
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
