Понять сущность этого способа проще всего на примере решения одной из типичных систем, включающей в себя два уравнения и требующей нахождения значений двух неизвестных. Так, в этом качестве может выступить следующая система, состоящая из уравнений x + 2y = 6 и x - 3y = -18. Для того чтобы решить ее методом подстановки, требуется в любом из уравнений выразить один член через другой. Например, это можно сделать, используя первое уравнение: x = 6 - 2y.

Затем необходимо подставить полученное выражение во второе уравнение вместо x. Результатом такой подстановки станет равенство вида 6 - 2y - 3y = -18. Произведя простые арифметические вычисления, это уравнение легко привести к стандартному виду 5y = 24, откуда y = 4,8. После этого полученное значение следует подставить в выражение, использованное для подстановки. Отсюда x = 6 - 2*4,8 = -3,6.

Затем целесообразно осуществить проверку полученных результатов, подставив их в оба уравнения первоначальной системы. Это даст следующие равенства: -3,6 + 2*4,8 = 6 и -3,6 - 3*4,8 = -18. Оба этих равенства являются верными, благодаря чему можно сделать вывод о том, что система решена правильно.

Способ сложения

Второй способ решения подобных систем уравнений носит название способа сложения, который можно проиллюстрировать на основании того же примера. Для его использования следует все члены одного из уравнений умножить на определенный коэффициент, в результате чего один из них станет противоположным другому. Выбор такого коэффициента осуществляется методом подбора, причем одну и ту же систему можно правильно решить, используя разные коэффициенты.

В данном случае целесообразно произвести умножение второго уравнения на коэффициент -1. Таким образом, первое уравнение сохранит свой первоначальный вид x + 2y = 6, а второе приобретет вид -x + 3y = 18. Затем необходимо сложить полученные уравнения: x + 2y - x + 3y = 6 + 18.

Произведя простые вычисления, можно получить уравнение вида 5y = 24, которое аналогично , ставшему результатом решения системы способом подстановки. Соответственно, корни такого уравнения также окажутся теми же величинами: x = -3,6, y = 4,8. Это наглядно демонстрирует, что оба способа являются одинаково применимыми для решения систем подобного рода, и оба дают одинаковые правильные результаты.

Выбор того или иного способа может зависеть от личных предпочтений ученика или от конкретного выражения, в котором проще выразить один член через другой или подобрать коэффициент, который сделает члены двух уравнений противоположными.

Системой линейных уравнений с двумя неизвестными - это два или несколько линейных уравнений, для которых необходимо найти все их общие решения. Мы будем рассматривать системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Общий вид системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными представлен на рисунке ниже:

{ a1*x + b1*y = c1,
{ a2*x + b2*y = c2

Здесь х и у неизвестные переменные, a1,a2,b1,b2,с1,с2 - некоторые вещественные числа. Решением системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными называют пару чисел (x,y) такую, что если подставить эти числа в уравнения системы, то каждое из уравнений системы обращается в верное равенство. Рассмотри один из способов решения системы линейных уравнений, а именно способ подстановки.

Алгоритм решения способом подстановки

Алгоритм решения системы линейных уравнений способом подстановки:

1. Выбрать одно уравнение (лучше выбирать то, где числа меньше) и выразить из него одну переменную через другую, например, x через y. (можно и y через x).

2. Полученное выражение подставить вместо соответствующей переменной в другое уравнение. Таким образом, у нас получится линейное уравнение с одной неизвестной.

3. Решаем полученное линейное уравнение и получаем решение.

4. Подставляем полученное решение в выражение, полученное в первом пункте, получаем вторую неизвестную из решения.

5. Выполнить проверку полученного решения.

Пример

Для того, чтобы было более понятно, решим небольшой пример.

Пример 1. Решить систему уравнений:

{x+2*y =12
{2*x-3*y=-18

Решение:

1. Из первого уравнения данной системы выражаем переменную х. Имеем x= (12 -2*y);

2. Подставляем это выражение во второе уравнение, получаем 2*x-3*y=-18; 2*(12 -2*y) - 3*y = -18; 24 - 4y - 3*y = -18;

3. Решаем полученное линейное равнение: 24 - 4y - 3*y =-18; 24-7*y =-18; -7*y = -42; y=6;

4. Подставляем полученный результат в выражение, полученное в первом пункте. x= (12 -2*y); x=12-2*6 = 0; x=0;

5. Проверяем полученное решение, для этого подставляем найденные числа в исходную систему.

{x+2*y =12;
{2*x-3*y=-18;

{0+2*6 =12;
{2*0-3*6=-18;

{12 =12;
{-18=-18;

Получили верные равенства, следовательно, мы правильно нашли решение.

С помощью данной математической программы вы можете решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки и методом сложения.

Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения двумя способами: методом подстановки и методом сложения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Правила ввода уравнений

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: $x, y, z, a, b, c, o, p, q $ и т.д.

При вводе уравнений можно использовать скобки . При этом уравнения сначала упрощаются. Уравнения после упрощений должны быть линейными, т.е. вида ax+by+c=0 с точностью порядка следования элементов.
Например: 6x+1 = 5(x+y)+2

В уравнениях можно использовать не только целые, но также и дробные числа в виде десятичных и обыкновенных дробей.

Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например: 2.1n + 3,5m = 55

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &

Примеры.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

Решить систему уравнений

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

У вас в браузере отключено выполнение JavaScript.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...

Если вы заметили ошибку в решении , то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля .

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Решение систем линейных уравнений. Способ подстановки

Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом подстановки:
1) выражают из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;
2) подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;

$$ \left\{ \begin{array}{l} 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end{array} \right. $$

Выразим из первого уравнения y через x: y = 7-3x. Подставив во второе уравнение вместо y выражение 7-Зx, получим систему:
$$ \left\{ \begin{array}{l} y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end{array} \right. $$

Нетрудно показать, что первая и вторая системы имеют одни и те же решения. Во второй системе второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

Подставив в равенство y=7-3x вместо x число 1, найдем соответствующее значение y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Пара (1;4) - решение системы

Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными . Системы, не имеющие решений, также считают равносильными.

Решение систем линейных уравнений способом сложения

Рассмотрим еще один способ решения систем линейных уравнений - способ сложения. При решении систем этим способом, как и при решении способом подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом сложения:
1) умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;
2) складывают почленно левые и правые части уравнений системы;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.

Пример. Решим систему уравнений:
$$ \left\{ \begin{array}{l} 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end{array} \right. $$

В уравнениях этой системы коэффициенты при y являются противоположными числами. Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной 3x=33. Заменим одно из уравнений системы, например первое, уравнением 3x=33. Получим систему
$$ \left\{ \begin{array}{l} 3x=33 \\ x-3y=38 \end{array} \right. $$

Из уравнения 3x=33 находим, что x=11. Подставив это значение x в уравнение $x-3y=38 $ получим уравнение с переменной y: $11-3y=38 $. Решим это уравнение:
$-3y=27 \Rightarrow y=-9 $

Таким образом мы нашли решение системмы уравнений способом сложения: $x=11; y=-9 $ или $(11; -9) $

Воспользовавшись тем, что в уравнениях системы коэффициенты при y являются противоположными числами, мы свели ее решение к решению равносильной системы (сумировав обе части каждого из уравнений исходной симтемы), в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

Книги (учебники) Рефераты ЕГЭ и ОГЭ тесты онлайн Игры, головоломки Построение графиков функций Орфографический словарь русского языка Словарь молодежного слэнга Каталог школ России Каталог ССУЗов России Каталог ВУЗов России Список задач

Для решения системы линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки поступаем следующим образом:

1) выражаем одну переменную через другую в одном из уравнений системы (х через у или у через х);

2) подставляем полученное выражение в другое уравнение системы и получаем линейное уравнение с одной переменной;

3) решаем полученное линейное уравнение с одной переменной и находим значение этой переменной;

4) найденное значение переменной подставляем в выражение (1) для другой переменной и находим значение этой переменной.

Примеры. Решить методом подстановки систему линейных уравнений.

Выразим х через у из 1-го уравнения. Получим: х=7+у. Подставим выражение (7+у) вместо х во 2-ое уравнение системы.

Мы получили уравнение: 3· (7+у)+2у=16. Это уравнение с одной переменной у . Решаем его. Раскроем скобки: 21+3у+2у=16. Собираем слагаемые с переменной у в левой части, а свободные слагаемые — в правой. При переносе слагаемого из одной части равенства в другую меняем знак слагаемого на противоположный .

Получаем: 3у+2у=16-21. Приводим подобные слагаемые в каждой части равенства. 5у=-5. Делим обе части равенства на коэффициент при переменной . у=-5:5; у=-1. Подставляем это значение у в выражение х=7+у и находим х . Получаем: х=7-1; х=6. Пара значений переменных х=6 и у=-1 является решением данной системы.

Записывают: (6; -1). Ответ: (6; -1). Эти рассуждения удобно записывать так, как показано ниже, т.е. системы уравнений — слева друг под другом. Справа — выкладки, необходимые пояснения, проверка решения и пр.

Урок №6 Системы уравнений. Способ ПОДСТАНОВКИ.

Цель урока: Решение систем уравнений с двумя неизвестными.

I этап. Вопросы по домашнему заданию и Упражнения на вычисления. (15 мин)

1. Проверка домашнего задания (диктуем точки пересечения)

2. В домашних тетрадях решаем:

План решения: решить все уравнения и отсортировать для ответа

3. После: Собрать тетради на проверку.

II этап. Алгебраические способы решения систем уравнений. СПОСОБ ПОДСТАНОВКИ (15 мин)

При выполнении заданий некоторые столкнулись с проблемой, что чертеж бывает неточным и из-за этого результат решения системы уравнений графическим способом будет приближенным.

Чтобы получить точный ответ, используют алгебраические способы решения.

Сегодня мы познакомимся с одним из них.