Вводный урок по тригонометрии был представлен в предыдущей презентации. Школьники ознакомились с понятиями синус, косинус и тангенс, как они обозначаются, как их находить. Рассматривался острый угол некоторого прямоугольного треугольника. Также, они ознакомились с основным тригонометрическим тождеством, что составляет основу для многочисленных формул, с которыми ученики ознакомятся несколько позже.
Данный урок предлагает рассмотреть определенные углы: 45, 30 и 60 градусов. Необходимо найти их синус, косинус и тангенс. Все эти три угла являются острыми. Подразумевается, что мы работаем с прямоугольными треугольниками, как и в предыдущем уроке.
слайды 1-2 (Тема презентации "Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60 градусов", пример)
Первый слайд презентации «Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60 градусов» продемонстрирует учащимся некоторый прямоугольный треугольник, острый угол которого равен 30 градусов. Зная о том, что один из углов является прямым, можем легко вычислить значение третьего угла. Сумма всех углов любого треугольника составляет 180 градусов. Об этом свойстве ученики восьмого класса уже должны знать. Итак, для того, чтобы найти третий неизвестный угол, необходимо отнять от 180и градусов 120 градусов, что составляет сумму остальных двух сторон. Третий неизвестный угол равен 60 градусов. Это отмечено на чертеже.
Автор отмечает, что отношение катетов прямоугольного треугольника ABС равно одной второй. Откуда автор получил такое число? Дело в том, что катет, который лежит напротив угла 30 градусов, что можно увидеть на рисунке, равняется половине гипотенузы данного треугольника. Это является одним из важных свойств прямоугольных треугольников. Данное отношение является синусом угла 30 градусов. Таким образом, синус угла 30 градусов найден.
слайды 3-4 (пример, таблица синусов, косинусов, тангенсов)
Данное отношение является также и косинусом для угла прилежащего к катету, то есть для угла 60 градусов. Далее, исходя из информации, которая была получена на предыдущем уроке, можно посчитать оставшийся тангенс, поделив найденный синус определенного угла на найденный косинус того же угла.
Следующий слайд аналогичным образом исследует синус, косинус и тангенс угла 45 градусов. Для начала находится третий неизвестный угол. Выясняется, что углы при гипотенузе равны, то есть треугольник, помимо того, что является прямоугольным, еще и равнобедренный. По теореме Пифагора выразим гипотенузу через катеты. Так как они равны, как выяснилось, то можно заменить один катет другим и получить простое произведение числа 2 на квадрат одного из катетов. Далее, автор избавляется от иррациональности и выражает катет. Таким образом, находятся два катета. Далее, пользуясь изученными формулами можно найти и синус, и косинус, и тангенс угла 45 градусов.
На последнем слайде приводятся данные значения в виде таблицы. Желательно, чтобы школьники записали таблицу себе с тетради. Можно сказать, она является аналогом таблицы умножения, только тригонометрическая. Желательно, чтобы школьники знали о том, откуда появились данные значения и запомнили таблицы.
Каждой тригонометрической функции для данного угла соответствует определенное значение этой функции. Из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса ясно, что значением синуса угла является ордината точки, в которую переходит начальная точка единичной окружности после ее поворота на угол , значением косинуса – абсцисса этой точки, значением тангенса – отношение ординаты к абсциссе, а значением котангенса – отношение абсциссы к ординате.
Достаточно часто при решении задач возникает необходимость в нахождении значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов указанных углов. Для некоторых углов, например в 0, 30, 45, 60, 90, … градусов, есть возможность найти точные значения тригонометрических функций, для других углов нахождение точных значений оказывается проблематичным и приходится довольствоваться приближенными значениями.
В этой статье мы разберемся, какими принципами следует руководствоваться при вычислении значения синуса, косинуса, тангенса или котангенса. Перечислим их по порядку.
Теперь рассмотрим каждый из перечисленных принципов вычисления значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов подробно.
Навигация по странице.
- Нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса по определению. Линии синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов 30, 45 и 60 градусов. Сведение к углу из интервала от 0 до 90 градусов. Достаточно знать значение одной из тригонометрических функций. Нахождение значений с помощью тригонометрических формул. Что делать в остальных случаях?
Нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса по определению
Отталкиваясь от определения синуса и косинуса, можно найти значения синуса и косинуса данного угла . Для этого нужно взять единичную окружность, повернуть начальную точку А(1, 0) на угол , после чего она перейдет в точку А1. Тогда координаты точки А1 дадут соответственно косинус и синус данного угла . После этого можно вычислить тангенс и котангенс угла , вычислив отношения ординаты к абсциссе и абсциссы к ординате соответственно.
По определению мы можем вычислить точные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … градусов (0, ±р/2, ±р, ±3р/2, ±2р, …радиан). Разобьем эти углы на четыре группы: 360·z градусов (2р·z радиан),90+360·z градусов (р/2+2р·z радиан), 180+360·z градусов (р+2р·z радиан) и270+360·z градусов (3р/2+2р·z радиан), где z – любое целое число. Изобразим на рисунках, где будет располагаться точка А1, получающаяся при повороте начальной точки А на эти углы (при необходимости изучите материал статьи угол поворота).
Для каждой из этих групп углов найдем значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, используя определения.
Что касается остальных углов, отличных от 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … градусов, то по определению мы можем найти лишь приближенные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Для примера найдем синус, косинус, тангенс и котангенс угла−52 градуса.
Выполним построения.
По чертежу находим, что абсцисса точки А1 приближенно равна 0,62, а ордината приближенно равна −0,78. Таким образом, 
и 
. Остается вычислить значения тангенса и котангенса, имеем 
и 
.
Понятно, что чем точнее будут выполнены построения, тем точнее будут найдены приближенные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса данного угла. Также понятно, что нахождение значений тригонометрических функций по определению не удобно на практике, так как неудобно выполнять описанные построения.
К началу страницы
Линии синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов
Вкратце стоит остановиться на так называемых линиях синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Линиями синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов называют линии, изображаемые совместно с единичной окружностью, имеющие начало отсчета и , равную единицы во введенной прямоугольной системе координат, на них наглядно представляются все возможные значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Изобразим их на чертеже ниже.
К началу страницы
Значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов 30, 45 и 60 градусов
Для углов 30, 45 и 60 градусов известны точные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Они могут быть получены по определениям синуса, косинуса, тангенса и котангенса в прямоугольном треугольнике с использованием теоремы Пифагора.
Чтобы получить значения тригонометрических функций для углов 30 и 60 градусов рассмотрим прямоугольный треугольник с этими углами, причем его возьмем таким, чтобы длина гипотенузы равнялась единице. Известно, что катет, лежащий напротив угла 30 градусов вдвое меньше гипотенузы, следовательно, его длина равна 1/2. Длину другого катета находим по теореме Пифагора: 
.
Так как синус угла – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, то 
и 
. В свою очередь косинус – это отношение прилежащего катета к гипотенузе, тогда 
и 
. Тангенс – это отношение противолежащего катета к прилежащему, а котангенс – это отношение прилежащего катета к противолежащему, следовательно, 
и 
, а также 
и 
.
Осталось получить значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для угла 45градусов. Обратимся к прямоугольному треугольнику с углами 45 градусов (он будет равнобедренным) и гипотенузой, равной единице. Тогда по теореме Пифагора несложно проверить, что длины катетов равны . Теперь мы можем вычислить значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса как отношение длин соответствующих сторон рассматриваемого прямоугольного треугольника. Имеем и 
.
Полученные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов 30, 45 и 60градусов будут очень часто использоваться при решении различных геометрических и тригонометрических задач, так что рекомендуем их запомнить. Для удобства занесем их в таблицу основных значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
В заключение этого пункта приведем иллюстрацию значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов 30, 45 и 60 с использованием единичной окружности и линий синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
К началу страницы
Сведение к углу из интервала от 0 до 90 градусов
Сразу заметим, что удобно находить значения тригонометрических функций, когда угол находится в интервале от 0 до 90 градусов (от нуля до пи пополам радиан). Если же аргумент тригонометрической функции, значение которой нам нужно найти, выходит за пределы от 0 до 90 градусов, то мы всегда при помощи формул приведения можем перейти к нахождению значения тригонометрической функции, аргумента которой будет в указанных пределах.
Для примера найдем значение синуса 210 градусов. Представив 210 как 180+30 или как 270−60, соответствующие формулы приведения сводят нашу задачу от нахождения синуса 210 градусов к нахождению значения синуса 30 градусов , или косинуса 60 градусов .
Давайте на будущее условимся при нахождении значений тригонометрических функций всегда с помощью формул приведения переходить к углам из интервала от0 до 90 градусов, если конечно угол уже не находится в этих пределах.
К началу страницы
Достаточно знать значение одной из тригонометрических функций
Основные тригонометрические тождества устанавливают связи между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же угла. Таким образом, с их помощью мы можем по известному значению одной из тригонометрических функций найти значение любой другой функции этого же угла.
Рассмотрим решение примера.
Определите, чему равен синус угла пи на восемь, если 
.
Сначала найдем чему равен котангенс этого угла:
Теперь, используя формулу 
, мы можем вычислить, чему равен квадрат синуса угла пи на восемь, а следовательно, и искомое значение синуса. Имеем 
Осталось лишь найти значение синуса. Так как угол пи на восемь является углом первой координатной четверти, то синус этого угла положителен (при необходимости смотрите раздел теории знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса по четвертям). Таким образом, 
.
.
К началу страницы
Нахождение значений с помощью тригонометрических формул
В двух предыдущих пунктах мы уже начали освещение вопроса по нахождению значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса с использованием формул тригонометрии. Здесь мы лишь хотим сказать, что иногда возможно вычислить требуемое значение тригонометрической функции, используя тригонометрические формулы и известные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса (например, для углов 30, 45 и 60 градусов).
Для примера, используя тригонометрические формулы, вычислим значение тангенса угла пи на восемь, которое мы использовали в предыдущем пункте для нахождения значения синуса.
Найдите значение .
Воспользовавшись формулой тангенса половинного угла, мы можем записать следующее равенство 
. Значения косинуса угла пи на четыре нам известны, поэтому мы можем сразу вычислить значение квадрата искомого тангенса: 
.
Угол пи на восемь является углом первой координатной четверти, поэтому тангенс этого угла положителен. Следовательно, 
.
.
В этой статье собраны таблицы синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов . Сначала мы приведем таблицу основных значений тригонометрических функций, то есть, таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов 0, 30, 45, 60, 90, …, 360 градусов (0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π радиан). После этого мы дадим таблицу синусов и косинусов, а также таблицу тангенсов и котангенсов В. М. Брадиса, и покажем, как использовать эти таблицы при нахождении значений тригонометрических функций.
Навигация по странице.
Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для углов 0, 30, 45, 60, 90, … градусов
Список литературы.
- Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
- Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
- Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.
- Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы: Для общеобразоват. учеб. заведений. - 2-е изд. - М.: Дрофа, 1999.- 96 с.: ил. ISBN 5-7107-2667-2
Урок № 7 Плоскость. Прямая. Луч.
Цели: сформировать понятие плоскости, научить находить и называть прямую на чертеже, строить её по двум точкам; развивать правильную математическую речь, логическое мышление, умение аргументировать ответ, быстроту вычислительных навыков; воспитывать внимательность, аккуратность, повышать интерес к предмету.
Оборудование: плакат с прямой и точками на прямой и вне прямой, карточки для самостоятельной работы.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания.
Самостоятельная работа по вариантам (учащиеся выполняют работу на листках).
Вариант I
Вариант II
1. Запишите цифрами число:
а) сорок миллиардов сто миллионов пять;
б) 7 миллионов 37 тысяч;
в) 6027 тыс.
2. Начертите отрезки АВ и CD , если АВ = 27 мм, СD = 4 см 2 мм.
3. Выразите:
а) 3 км 54 м в метрах;
б) 504 дм в дециметрах и метрах.
4. Сколько всего четырехзначных чисел, оканчивающихся цифрой 3?
1. Запишите цифрами:
а) двести миллиардов семь тысяч три;
б) 20 миллионов 4 тысячи;
в) 3108 тыс.
2. Начертите отрезки МК и СЕ , если МК = 3 см 4 мм, СЕ = 52 мм.
3. Выразите:
а) 4 м 5 см в сантиметрах;
б) 6085 м в километрах и метрах.
4. Сколько всего четырехзначных чисел, оканчивающихся цифрой 7?
Через 10–12 минут учащиеся сдают работу.
II. Устные упражнения (5 минут).
1. На доске написаны краткие условия задач № 73 и 72. Решите их устно.
2. Выполните № 84 (1–2 строка).
III. Изучение нового материала.
1. Сообщение темы урока (учащиеся записывают тему в тетради).
2. Ещё раз прочитайте тему и скажите, о чем мы сейчас будем говорить? (О плоскости .) Правильно. Запишите первый пункт плана.
1) Плоскость.
Учитель: Прочитайте о плоскости в тексте учебника.
Ответьте на вопросы:
а) Какие предметы дают нам представление о плоскости?
б) Чем отличаются эти предметы от плоскости?
в) Какую важную мысль мы должны запомнить? (У плоскости нет края. )
Запишите это в тетради.
Учащиеся читают учебник и выполняют соответствующий чертёж, учитель показывает у доски:
а) начертим отрезок АВ;
б) продолжим по линейке в обе стороны;
в) получили новую фигуру – прямую, которая обозначается «прямая АВ » или «прямая ВА ».
Что мы должны знать о прямой?
1. Через любые две точки проходит единственная прямая.
г) Вывешивается плакат.
Какая фигура изображена на рисунке? Что вы скажете о точках А , В , С , D ? (Точки А, С лежат на прямой .) Как проверить, лежит ли на прямой MN точка D ? Точка В ?
д) Работа с книгой.
Учитель: Рассмотрите рисунок 13. Какие фигуры изображены на рисунке? (АВ и CD .) Принадлежит ли точка М прямой АВ ? Прямой CD ? Говорят так: «Прямые АВ и CD имеют одну общую точку, а следовательно, такие прямые называются пересекающимися».
– Попробуйте сами сформулировать ответ на вопрос: «Какие прямые называются пересекающимися?».
IV. Физкультминутка.
V. Закрепление.
а) № 75, 78 (устно), 77 (устно), 79.
б) № 87.
VI. Итог урока.
1. Ролевая игра.
Учитель: Сейчас к нам гости придут. («Главных героев» можно посадить за последние парты, чтобы они присутствовали на уроке. После записи домашнего задания «Отрезок», «Плоскость», «Прямая», выходят к доске.)
Плоскость: Я – Плоскость. Здравствуйте. Расскажите, что вы узнали обо мне. (Дети поднимают руки, «Плоскость» их спрашивает.)
Прямая: Здравствуйте, я – Прямая. (Спрашивает класс о себе).
Отрезок: Я – Отрезок, пришел к вам в гости. Здравствуйте.
Учитель: Что общего между отрезком и прямой? (Обозначается двумя буквами, через две точки можно провести только один отрезок и только одну прямую .)
– Чем отличается отрезок от прямой? (Отрезок имеет два конца, а прямая не имеет концов. Отрезок не может продолжаться в обе стороны, а прямая неограниченно продолжается в обе стороны. )
2. Сообщение оценок.
VII. Домашнее задание: п. 3 (до определения луча), № 100, 105, 106 (в, г).
§ 1 Плоскость
Давайте посмотрим на поверхности стола или тетрадного листа, мы можем о них сказать, что они плоские, но плоскостью их назвать нельзя, потому что эти поверхности являются лишь частью плоскости, так как имеют края. А плоскость не имеет края, она безгранична и простирается во всех направлениях.
Построим отрезок АС и продолжим его в обе стороны за точки А и С по линейке. Получим прямую. Прямая не имеет концов, она бесконечна. Прямую обозначают двумя заглавными латинскими буквами (на рисунке вы видите прямую АС или СА) или одной маленькой латинской буквой (например, прямая а). Точки А и С лежат на этой прямой. Говорят, точки А и С принадлежат прямой АС.
Отметим точку В, не лежащую на прямой АС. Говорят, точка В не принадлежит прямой АС.
Если провести прямую на плоскости, то она разделит плоскость на две части - на две полуплоскости.
Если две прямые имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются в этой точке. На рисунке прямые АВ и СD пересекаются в точке М.
Через две точки плоскости можно провести только одну прямую! Через одну точку можно провести бесконечно много прямых.
§ 3 Луч
Перейдем к следующему понятию - луч. Если на прямой отметить точку, то она разделит прямую на две части, каждую из которых называют лучом. Луч имеет начало, но не имеет конца. В отличие от прямой луч бесконечен только в одну сторону. Чтобы обозначить луч, надо назвать его начало заглавной латинской буквой и какую-нибудь точку на луче. Например, луч ВС. Начало луча в точке В, именно она пишется на первом месте.
§ 4 Практические задания
Давайте выполним несколько заданий по данному рисунку.
1) нужно назвать все прямые, которые изображены на данном чертеже.
2) какие точки не принадлежат прямой АК?
3) пересекаются ли прямая АВ и луч СD?
4) пересекаются ли прямая АВ и луч СЕ?
2) точки С, Е, D, Р
3) да. Так как луч СD берет начало в точке С и продолжается за точку D, тем самым пересекая прямую АК
При ответе на все эти вопросы, пересекаются ли прямые, отрезки и лучи, надо помнить: что прямая бесконечна, отрезок ограничен двумя концами, а луч имеет начало, но не имеет конца.
Список использованной литературы:
- Математика 5 класс. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др. 31-е изд., стер. - М: 2013.
- Дидактические материалы по математике 5 класс. Автор - Попов М.А. - 2013 год
- Вычисляем без ошибок. Работы с самопроверкой по математике 5-6 классы. Автор - Минаева С.С. - 2014 год
- Дидактические материалы по математике 5 класс. Авторы: Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В. - 2010 год
- Контрольные и самостоятельные работы по математике 5 класс. Авторы - Попов М.А. - 2012 год
- Математика. 5 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович. - 9-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 270 с.: ил.
Использованные изображения:
