Уравнения, содержащие переменную в знаменателе можно решать двумя способами:
Приведя дроби к общему знаменателю
Используя основное свойство пропорции
Вне зависимости от выбранного способа необходимо после нахождения корней уравнения выбрать из найденных допустимые значения, т.е те, которые не обращают знаменатель в $0$.
1 способ. Приведение дробей к общему знаменателю.
Пример 1
$\frac{2x+3}{2x-1}=\frac{x-5}{x+3}$
Решение:
1.Перенесем дробь из правой части уравнения в левую
\[\frac{2x+3}{2x-1}-\frac{x-5}{x+3}=0\]
Для того чтобы правильно это сделать, вспомним, что при перенесении элементов в другую часть уравнения меняется знак перед выражениями на противоположный. Значит, если в правой части перед дробью был знак «+», то в левой перед ней будет знак «-».Тогда в левой части получим разность дробей.
2.Теперь отметим что у дробей разные знаменатели, значит для того, чтобы составить разность необходимо привести дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем будет произведение многочленов, стоящих в знаменателях исходных дробей: $(2x-1)(x+3)$
Для того чтобы получить тождественное выражение, числитель и знаменатель первой дроби необходимо умножить на многочлен $(x+3)$, а второй на многочлен $(2x-1)$.
\[\frac{(2x+3)(х+3)}{(2x-1)(х+3)}-\frac{(x-5)(2х-1)}{(x+3)(2х-1)}=0\]
Выполним преобразование в числителе первой дроби-произведем умножение многочленов. Вспомним, что для этого необходимо умножить первое слагаемое первого многочлена умножить на каждое слагаемое второго многочлена, затем второе слагаемое первого многочлена умножить на каждое слагаемое второго многочлена и результаты сложить
\[\left(2x+3\right)\left(х+3\right)=2х\cdot х+2х\cdot 3+3\cdot х+3\cdot 3={2х}^2+6х+3х+9\]
Приведем подобные слагаемые в полученном выражении
\[\left(2x+3\right)\left(х+3\right)=2х\cdot х+2х\cdot 3+3\cdot х+3\cdot 3={2х}^2+6х+3х+9=\] \[{=2х}^2+9х+9\]
Выполним аналогично преобразование в числителе второй дроби-произведем умножение многочленов
$\left(x-5\right)\left(2х-1\right)=х\cdot 2х-х\cdot 1-5\cdot 2х+5\cdot 1={2х}^2-х-10х+5={2х}^2-11х+5$
Тогда уравнение примет вид:
\[\frac{{2х}^2+9х+9}{(2x-1)(х+3)}-\frac{{2х}^2-11х+5}{(x+3)(2х-1)}=0\]
Теперь дроби с одинаковым знаменателем, значит можно производить вычитание. Вспомним, что при вычитании дробей с одинаковым знаменателем из числителя первой дроби необходимо вычесть числитель второй дроби, знаменатель оставить прежним
\[\frac{{2х}^2+9х+9-({2х}^2-11х+5)}{(2x-1)(х+3)}=0\]
Преобразуем выражение в числителе. Для того, чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-» надо изменить все знаки перед слагаемыми, стоящими в скобках на противоположные
\[{2х}^2+9х+9-\left({2х}^2-11х+5\right)={2х}^2+9х+9-{2х}^2+11х-5\]
Приведем подобные слагаемые
${2х}^2+9х+9-\left({2х}^2-11х+5\right)={2х}^2+9х+9-{2х}^2+11х-5=20х+4$
Тогда дробь примет вид
\[\frac{{\rm 20х+4}}{(2x-1)(х+3)}=0\]
3.Дробь равна $0$, если ее числитель равен 0. Поэтому мы приравниваем числитель дроби к $0$.
\[{\rm 20х+4=0}\]
Решим линейное уравнение:
4.Проведем выборку корней. Это значит, что необходимо проверить, не обращаются ли знаменатели исходных дробей в $0$ при найденных корнях.
Поставим условие, что знаменатели не равны $0$
х$\ne 0,5$ х$\ne -3$
Значит допустимы все значения переменных, кроме $-3$ и $0,5$.
Найденный нами корень является допустимым значением, значит его смело можно считать корнем уравнения. Если бы найденный корень был бы не допустимым значением, то такой корень был бы посторонним и,конечно, не был бы включен в ответ.
Ответ: $-0,2.$
Теперь можем составить алгоритм решения уравнения, которое содержит переменную в знаменателе
Алгоритм решения уравнения, которое содержит переменную в знаменателе
Перенести все элементы из правой части уравнения в левую. Для получения тождественного уравнения необходимо изменить все знаки, стоящие перед выражениями в правой части на противоположные
Если в левой части мы получим выражение с разными знаменателями, то приводим их к общему, используя основное свойство дроби. Выполнить преобразования, используя тождественные преобразования и получить итоговую дробь равную $0$.
Приравнять числитель к $0$ и найти корни получившегося уравнения.
Проведем выборку корней, т.е. найти допустимые значения переменных, которые не обращают знаменатель в $0$.
2 способ. Используем основное свойство пропорции
Основным свойством пропорции является то, что произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов.
Пример 2
Используем данное свойство для решения этого задания
\[\frac{2x+3}{2x-1}=\frac{x-5}{x+3}\]
1.Найдем и приравняем произведение крайних и средних членов пропорции.
$\left(2x+3\right)\cdot(\ x+3)=\left(x-5\right)\cdot(2x-1)$
\[{2х}^2+3х+6х+9={2х}^2-10х-х+5\]
Решив полученное уравнение, мы найдем корни исходного
2.Найдем допустимые значения переменной.
Из предыдущего решения (1 способ) мы уже нашли, что допустимы любые значения, кроме $-3$ и $0,5$.
Тогда, установив что найденный корень является допустимым значением, мы выяснили, что $-0,2$ будет являться корнем.
«Друзья, если вы хотите выучить и ЗНАТЬ немецкий язык, то вы не ошиблись, зайдя на этот сайт. Начала изучать немецкий язык в июне 2013 года, а 25 сентября 2013 сдала экзамен Start Deutsch A1 на 90 бал... лов. Благодаря Даниилу и упорной работе, я добилась хороших результатов. Теперь я могу не только строить простые предложения. читать тексты, но и общаться на немецком языке. Я сделала правильный выбор, когда выбирала себе учителя немецкого языка. Большое спасибо тебе, Даниил)))) »
Курносова Ольга,
Санкт-Петербург
«»
Татьяна Браун,
Санкт-Петербург
«Всем Здравствуйте! Выражаю особую благодарность "DeutschKult" в лице Даниила. Спасибо Вам, Даниил. Ваш особенный подход в изучении немецкого языка дает людям уверенные знания грамматики и навыки общен... ия. Менее, чем после 1 месяца обучения, я успешно сдала экзамен (уровень А1). В дальнейшем планирую продолжать изучать немецкий язык. Грамотный алгоритм обучения и профессионализм Даниила дают уверенность в своих силах и открывают большой личный потенциал. Друзья, я всем рекомендую правильный старт - изучайте немецкий с Даниилом! Всем желаю Успехов! »
Камальдинова Екатерина,
Санкт-Петербург
«»
Ирина,
Москва
«До встречи с Даниилом я учила немецкий в течение двух лет, знала грамматику, достаточно большое количество слов - но совершенно не говорила! Я думала, что никогда не смогу преодолеть "ступор" и начать... говорить по-немецки бегло, без мучительного обдумывания каждой фразы. Чудо свершилось! Даниил был первым, кто помог мне не просто говорить, но думать по-немецки. За счет большого количества разговорной практики, обсуждения самых разных тем без подготовки, происходит бережное погружение в языковую среду. Спасибо, Даниил! »
Татьяна Хмылова,
Санкт-Петербург
Оставить отзыв
Все отзывы (54) Сообщество
Вся грамматика немецкого человеческим языком!
Самые важные темы немецкой грамматики (темы лучше изучать в той последовательности, в которой они опубликованы):
1. Построение предложения:
В немецком языке есть 3 схемы построения простых предложений. Так или иначе любое предложение немецкого языка вписывается в одну из этих схем. Для начала давайте вспомним пару терминов: Подлежащее - существительное в именительном падеже (отвечающее на вопрос кто? что?). Сказуемое - это глагол. Обстоятельство - отвечает на вопрос как, где, когда, зачем,... . Иными словами обстоятельство уточняет предложение. Примеры обстоятельств: сегодня, после работы, в Берлине, ...
А вот и сами схемы предложений:
- Подлежащее -> сказуемое -> обстоятельства и все остальное -> второй глагол, если есть в предложении.
- Обстоятельство -> сказуемое -> подлежащее -> все остальное -> второй глагол, если есть
- (Вопросительное слово) -> сказуемое -> подлежащее -> все остальное -> второй глагол, если есть
2. Времена:
В немецком языке существует 6 времен (1 настоящее, 3 прошедших и 2 будущих):
Настоящее время (Präsens):
Это самое простое время в немецком языке. Для построения настоящего времени нужно всего лишь поставить глагол в правильное спряжение:
Пример: machen - делать
Примеры:
Hans geht zur Arbeit. - Ханс идет на работу.
Der Computer arbeitet nicht. - Компьютер не работает.
Прошедшие времена:
В немецком языке 3 прошедших времени. Однако по факту вам 2 времен будет вполне достаточно. Первое называется "Präteritum", а второе "Perfekt". В большинстве случаев оба времени переводятся одинаково на русский. В официальной переписки и в книгах используется "Präteritum". В устной речи используется обычно "Perfekt", хотя иногда и проскальзывает "Präteritum".
Präteritum:
Здесь мы впервые сталкиваемся с понятием правильные (сильные) и неправильные (слабые) глаголы. Формы правильных глаголов меняются по четкой схеме. Формы неправильных глаголов нужно заучивать. Их вы найдете в.
Правильный глагол: machen (Infinitiv) -> machte (Präteritum)
Спряжения глагола machen в Präteritum:
Примеры:
"Du machtest die Hausaufgabe!" - "Ты делал домашнее задание!"
"Du spieltest Fussball" - "Ты играл в футбол"
Неправильный глагол gehen (Infinitiv) -> ging (Präteritum)
Пример:
"Du gingst nach Hause!" - "Ты шел домой!"
Будущие времена:
В немецком языке для будущего времени есть "Futur l" и "Futur ll". "Futur ll" немцы вообще не используют, а "Futur l" они обычно заменяют настоящим временем (Präsens) с указанием будущего как уточнение.
Пример: "Morgen gehen wir ins Kino." - "Завтра мы идем в кинотеатр."
Если вы указываете обстоятельство будущего времени (завтра, скоро, через неделю, и.т.д.), то вы спокойно можете использовать настоящее время для того, чтобы выразить планы будущего.
Если же все таки рассматривать время "Futur l", то строится он следующим образом:
Подлежащее -> вспомогательный глагол "werden" -> все остальное -> смысловой глагол в форме "Infinitiv".
Пример: "Wir werden ins Kino gehen." - "Мы пойдем в кинотеатр." (дословно: "мы будим идти в кинотеатр." )
Спряжения глагола "werden"
3. Падежи:
Падежи]
4. Сложноподчиненные и сложносочиненные предложения:
