Примеры современных астрофизических исследований. Кто такой астрофизик и чем он занимается? Спектральные наземные исследования

Широкое практическое использование при исследовании состояния разных технических объектов получили три типа случайных процессов - гауссовский, стационарный и марковский.

Гауссовский случайный процесс - это случайный процесс X(t), распределение вероятностей параметров которого подчиняется нормальному закону. Математическое ожидание (среднее значение)М[Х(t)] и корреляционная функция K х (t 1 ,t 2) однозначно определяют распределение его параметров, следовательно, и процесс в целом.

Стационарный случайный процесс (однородный во времени случайный процесс) - это такой случайный процесс X(t), статистические характеристики которого постоянны во времени, то есть инвариантны к кратковременным возмущениям: t → t + τ, X(t) → X(t + τ) при любом фиксированном значении τ. Процесс полностью определяется математическим ожиданием M и корреляционной функцией

К х (t,τ) = M.

Марковский случайный процесс - это такой случайный процесс, при котором вероятность нахождения системы в каком-либо состоянии в будущем зависит от того, в каком состоянии система находится в заданный момент времени и не зависит от того, каким путем система перешла в это состояние. Короче - «будущее» и «прошлое» процесса при известном его «настоящем» не связаны друг с другом. Часто марковский процесс характеризуется вероятностями перехода системы из одного состояния в другое (переходными вероятностями).

Изменение технического состояния системы

Как уже говорилось, задача прогнозирования технического состояния, в самом общем понимании, представляет собой получение некоторых вероятностных характеристик работоспособности системы в будущем на основе данных контроля ее настоящего и прошедших состояний.

В зависимости от того, какая характеристика случайного процесса определяется при прогнозировании, различают прогнозирование надежности (определение условной плотности вероятности безотказной работы системы после контроля) и прогнозирование технического состояния (определение условной плотности распределения вероятностей значений определяющего параметра) на основе прошлых и настоящего состояний. На рис 8.1 проиллюстрирована разница между этими характеристиками. На этом рисунке x(t) - отрезок реализации случайного процесса X(t), описывающий изменение во времени некоторого определяющего параметра системы, имеющего допустимые границы (а, b) изменения. Отрезок реализации получен в результате наблюдения за конкретным экземпляром системы из заданного класса систем на интервале времени (0, t k 2). В момент t k 2 был осуществлен последний контроль системы, и на его основе необходимо решить - пригодна ли система к эксплуатации до наступления очередного момента контроля t k 3 .

рис. 8.1 Условная плотность вероятности безотказной работы р{x(t)} и f{(x(t)} условная плотность распределения вероятностей значений определяющего параметра

В связи с тем, что внешние воздействия, воспринимаемые системой, имеют случайный характер, случайный процесс после момента t k 2 может изменяться по разному (см. пунктирные линии на рис. 8.1). Процесс, являющийся продолжением некоторого исходного процесса при условии, что на интервале (0,t k 2) его реализация имела конкретный вид х(t), называется условным , или апостериорным , случайным процессом:

Х ps (t)=x. (8.5)

Следовательно, для принятия обоснованного решения о назначении срока очередного контроля системы необходимо знать характеристики апостериорного случайного процесса. Пригодной для выполнения задачи будет считаться система, определяющие параметры которой находятся в допустимых границах (а, b) в момент предыдущего контроля и не выйдут из этих границ до конца заданного срока функционирования. Поскольку выход определяющих параметров за допустимые границы является случайным событием, то оценкой работоспособности системы может быть условная вероятность безотказной ее работы после контроля. Это вероятность того, что случайный процесс ни разу не пересечет границу (a, b) после момента контроля; ее называют прогнозированной надежностью системы и обозначают

P{x(t)=<<(ba)/X(t)=x(t), 0<

Таким образом, прогнозированием надежности называется определение условной вероятности безотказной работы системы при условии, что в момент контроля она находилась в некотором фиксированном работоспособном состоянии.

Наиболее полной характеристикой будущего технического состояния системы является условная плотность распределения вероятностей ее определяющих параметров, то есть будущих значений случайного процесса

f{x(t k 3)/X(t)=x(t), 0<

при условии, что на интервале (0,t k 3) реализация процесса имела конкретный вид (рис. 8.1).

Детерминированные сигналы, которые рассматривались выше, являются лишь частным случаем возможных сигналов связи. Они соответствуют известным переданным сообщениям и, следовательно, не могут нести информация. Сигналы, способные передать получателю какие-либо сведения, заранее не могут быть известными и представляют собой случайный процесс (последовательность импульсов в системе телеграфной связи или некоторую непрерывную функцию при передаче телефонных сообщений).

Случайными сигналами (процессами) называются сигналы, математическим описанием которых являются случайные функции времени. Случайной называется функция, значения которой при каждом значении аргумента являются случайными величинами. Следовательно, в отличие от детерминированных или регулярных процессов, течение которых определено однозначно, случайный процесс представляет собой изменения во времени какой-либо физической величины, которые заранее предсказать невозможно. Наиболее известным примером случайного процесса являются флуктуационные (дробовые и тепловые) шумы в радиотехнических устройствах. При наблюдении теплового напряжения на выходах идентичных устройств обнаруживается, что функции времени, описывающие эти напряжения, различны. Объясняется же это тем, что в любой момент времени ток в цепи обусловлен большим, но случайным числом вылетающих электронов. Аналогично, напряжение на выходе приемника при передаче речи или музыке также является случайной функцией времени, так как зависит от содержания передачи, исполнителя и многих других факторов.

Таким образом, реальные сигналы и помехи представляют собой случайные процессы. Более того, между сигналами и помехами нет принципиальной разницы: сигнал, предназначенный для одного корреспондента, является помехой для другого.

Случайная функция времени , описывающая случайный процесс, в результате опыта может принять ту или иную конкретную форму
, неизвестную заранее (рис. 3.1). Эти возможные формы случайной функции называются реализациями случайного процесса. Совокупность всех возможных реализаций
случайного процесса
называется ансамблем. Отметим, что каждая из реализаций
случайного процесса является уже не случайной, а детерминированной функцией. Однако, предсказать, какова будет реализация процесса в каком-либо единичном опыте, невозможно.

Очевидно, что детерминированный процесс имеет только одну единственную р
еализацию, описываемую заданной функцией времени
.

Напомним, что в фиксированный момент времени
значения случайного процесса
являются случайной величиной с определенным распределением вероятностей (3.1).

Случайные процессы могут быть непрерывными и дискретными. Реализации первых являются непрерывными функциями времени, а реализации последних – ступенчатыми (рис. 3.2).

Особым классом являются квазидетерминированные процессы, которые описываются детерминированными функциями времени, содержащими один или несколько случайных параметров. Примером такого процесса является процесс

где а, ω, φ – в отдельности или вместе являются случайными величинами.

Как уже отмечалось, невозможно заранее предсказать, как будет протекать случайный процесс в единичном опыте. Однако, если рассматривать не каждую реализацию в отдельности, а совокупность их большого числа, то окажется, что некоторые средние результаты обладают статистической устойчивостью, т.е. могут быть оценены количественно. Устойчивость средних результатов носит вероятностный характер. Отысканием вероятностных закономерностей, связывающих различные реализации случайных физических явлений занимается теория случайных процессов. Ниже рассматриваются способы описания случайных процессов.

ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

П
усть имеется случайный процесс
, который задан совокупностьюN реализации
(рис. 3.3). Произведем сечение случайного процесса в некоторый фиксированный момент времениt . Выделим из общего числа N те реализаций, значения которых в момент временименьше некоторого уровня. При достаточно большомN относительная доля
реализации, находящихся в момент времени
ниже уровня, будет обладатьстатистической устойчивостью,

т.е. будет оставаться приблизительно постоянной, колеблясь при изменении N и вокруг некоторого среднего значения. Это среднее значение определяет вероятность пребывания значений случайного процесса ниже уровня. Функция

определяющая вероятность нахождения значений случайного процесса момент времени ниже уровня, называетсяодномерной интегральной функцией распределения вероятностей случайного процесса. Ее производная, если она существует,

(3.1.3)

называется одномерной плотностью вероятности или дифференциальной функцией распределения случайного процесса. Заметим, что приведенные определения для случайных процессов полностью совпадают с определениями, используемыми в теории вероятностей для случайных величин, так как значения процесса в фиксированные моменты времени являются случайными величинами.

Введенные функции
, и
дают представление о процессе лишь для изолированных друг от друга моментов времени. Для более полной характеристики процесса необходимо учитывать статистическую связь между значениями случайного процесса в различные моменты времени, Эту связь для двух моментов времени учитывает двумерная интегральная функция распределения вероятностей

определяющая вероятность того, что значения случайного процесса в момент времени , а в момент времени- ниже уровня. Частная производная второго порядка

(3.1.5)

называется двумерной плотностью вероятностей случайного процесса. Эти функции зависят уже от четырех аргументов.

Аналогично определяются многомерные интегральная и дифференциальная функции распределения случайного процесса

(3.1.6)

которые зависят от 2n -аргументов.

Вероятностные свойства случайного процесса характеризуются тем полнее, чем больше n . Если ограничитьсяn - мерной функцией распределения, то случайный процесс отождествляется фактически с совокупностьюn случайных величин
.

Если значения случайного процесса при любых значениях t зависимы, то многомерная функция распределения равна произведению одномерных

Аналогично тому, как при изучении случайных величин рассматриваются распределения совокупности случайных величин, так и при изучении случайных процессов приходится одновременно рассматривать совокупность нескольких процессов. Ограничимся здесь случаем двух процессов. Важнейшей вероятностной характеристикой в этом случае является двумерная совместная интегральная функция распределения,

равная вероятности того, что значения процесса
при
, будут находиться ниже уровняx , а значения процесса
при
- ниже уровняу . Вторая частная производная

(3.1.9)

называется двумерной совместной плотностью вероятностей случайных процессов
и
. Если случайные процессы
и
независимы, то

Напомним, что интегральные функции распределения случайных процессов с плотностями вероятностей связаны соотношениями:

(3.1.11)

(3.1.12)

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Функции распределения (интегральная или дифференциальная) достаточно полно характеризуют случайный процесс. Однако часто они оказываются довольно сложными или требуют для своего определения обработки большого числа экспериментальных данных. Кроме того, часто подробного описания процесса не требуется. Потому в этих случаях ограничиваются при описании процессов лишь некоторыми числовыми характеристиками. К ним относятся средние значения, дисперсии и корреляционные функции. Числовые характеристики случайных процессов аналогичны числовым характеристикам случайных величин, которые используются в теории вероятностей, но имеют ту особенность, что представляют собой в общем случае не числа, а функции времени.

Простейшей характеристикой случайного процесса является его среднее значение или математическое ожидание, определяемое следующим образом. Рассмотрим сечение случайного процесса в некоторый момент времени t . В этом сечении имеем обычную случайную величину, для которой можно найти математическое ожидание. Очевидно, в общем случае оно зависит от выбора момента времени:

(3.1.13)

где прямая горизонталь нам черта означает условную запись усреднения по множеству или ансамблю возможных реализации.

Т
аким образом, средним значением случайного процесса
называется неслучайная функцияa (t ) , которая при каждом значении аргумента t равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайного процесса (рис. 3.4).

По смыслу среднее значение случайного процесса представляет собой среднюю функцию, около которой различным образом располагаются отдельные реализации процесса.

Аналогичным образом определяется среднее значение квадрата случайного процесса:

(3.1.14)

Дисперсией случайного процесса называется неслучайная функция, значения которой для каждого момента времени t равны дисперсиям соответствующих сечений случайного процесса, т.е. математическому ожиданию квадрата отклонения случайного процесса от его среднего значения:

Следовательно, дисперсия определяет степень разброса значений случайного процесса около среднего значения.

Среднее значение и дисперсия характеризуют поведение случайного процесса в отдельные моменты времени. В качестве характеристики, учитывающей статистическую зависимость между значениями случайного процесса в различные моменты времени, используется корреляционная (иначе - автокорреляционная) функция случайного процесса

определяемая как математическое ожидание от произведения значений процесса в два различных момента времени. Анализируя последнее выражение, замечаем, что величина интеграла будет больше в тех случаях, когда с увеличением (уменьшением) значений процесса в момент времени , будут также увеличиваться (уменьшаться) значения процесса в момент времени. Следовательно, корреляционная функция определяет степень линейной зависимости между значениями случайного процесса в различные моменты времени. На рис. 3.5 и 3.6 показаны соответственно два случайных процесса с сильной и слабой статистической зависимостью их значений в моменты времении.

И
з определения корреляционной функции следует

(3.1.17)

т.е. она является симметричной относительно начала отсчета времени.

Для совокупности двух случайных
и
статистическая зависимость между их значениями в различные моменты времени определяется функцией взаимной корреляции

Если случайные процессы
и
статистически независимы, то согласно (3.1.10)

где
- средние значения случайных процессов
и
соответственно. Если хотя бы для одного из случайных процессов среднее значение равно нулю, то

Процессы, для которых взаимная корреляционная функция равна постоянной величине или нулю, называются некогерентными или некоррелированными. Независимые процессы всегда некоррелированы, однако, обратное утверждение в общем случае неверно.

В некоторых случаях вместо корреляционной функции вводится нормированная корреляционная функция или кратко коэффициент корреляции

Для совокупности двух случайных процессов средние значения каждого из них определяются по формулам

(3.1.20)

(3.1.21)

где внутренние интегралы представляют собой не что иное, как плотности вероятностей
и
соответственно. Аналогичным образом можно определить дисперсию каждого из случайных процессов.

СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Важнейшим классом случайных процессов, встречающихся на практике, является класс стационарных случайных процессов. Случайный процесс называется стационарным в строгом (узком) смысле, если его функция распределения любого порядка не изменяется при сдвиге совокупности точек
на величину
, т.е.

Другими словами, для стационарного процесса функция распределения любого порядка и, следовательно, его характеристики не зависят от положения начала отсчета времени. Стационарность означает статистическую однородность процесса во времени. Физически стационарный случайный процесс представляет собой случайный процесс в установившемся режиме, каковым является, например, шум на выходе усилителя через достаточно большой промежуток времени после его включения.

Если приведенное выше условие не выполняется, то процесс называется нестационарным. Нестационарный процесс будет наблюдаться, например, на выходе какого-либо генератора шумов непосредственно после его включения.

Из определения стационарного процесса следует, что

т.е. одномерная функция распределения вообще не зависит от времени, а двумерная функция распределения зависят только от разностей времен
. Отсюда следует, что для стационарного случайного процесса среднее значение и дисперсия являются постоянными величинами, т.е. не зависит от времени

(3.1.24)

а корреляционная функция такого процесса зависит только от одной переменной
:

В настоящее время существует хорошо разработанная корреляционная теория случайных процессов, изучающая только те свойства процесса, которые определяются средними значениями, дисперсиями и корреляционными функциями. Эта теория не использует многомерных законов распределения. В рамках этой теории случайный процесс называют стационарным в широком смысле, если его среднее значение и дисперсия не зависят от времени, а корреляционная функция зависит только от разности времен
. Стационарность в широком смысле не тождественна строгому определению стационарности. Случайные процессы, стационарные в строгом смысле, всегда стационарны в широком смысле, но не наоборот.

Корреляционная функция характеризует случайный процесс далеко не полностью. Более того, различным процессам могут соответствовать одинаковые корреляционные функции. Равенство корреляционных функций не означает тождественность процессов. Практическая ценность корреляционной теории возрастает в связи с тем, что существует одно полезное исключение. В радиотехнических и других устройствах наиболее распространенными являются нормальные случайные процессы, для которых понятия стационарности в строгом и широком смысле совпадают, а задание корреляционной функции, как будет показано ниже, полностью определяет многомерное распределение процесса. |

Отметим теперь, что во многих случаях на практике допущение стационарности случайного процесса можно считать достаточно точным. Вместе с тем часто приходится сталкиваться с нестационарными процессами. Простейший пример нестационарного процесса - сумма стационарного случайного и детерминированного процессов. Нестационарными являются и модулированные колебания, когда модуляция осуществляется случайным процессом.

Помехи в системах связи описываются методами теории случайных процессов.

Функция называется случайной, если в результате эксперимента она принимает тот или иной вид, заранее неизвестно, какой именно. Случайным процессом называется случайная функция времени. Конкретный вид, который принимает случайный процесс в результате эксперимента, называется реализацией случайного процесса.

На рис. 1.19 показана совокупность нескольких (трех) реализаций случайного процесса , , . Такая совокупность называется ансамблем реализаций. При фиксированном значении момента времени в первом эксперименте получим конкретное значение , во втором – , в третьем – .

Случайный процесс носит двойственный характер. С одной стороны, в каждом конкретном эксперименте он представлен своей реализацией – неслучайной функцией времени. С другой стороны, случайный процесс описывается совокупностью случайных величин.

Действительно, рассмотрим случайный процесс в фиксированный момент времени Тогда в каждом эксперименте принимает одно значение , причем заранее неизвестно, какое именно. Таким образом, случайный процесс, рассматриваемый в фиксированный момент времени является случайной величиной. Если зафиксированы два момента времени и , то в каждом эксперименте будем получать два значения и . При этом совместное рассмотрение этих значений приводит к системе двух случайных величин. При анализе случайных процессов в N моментов времени приходим к совокупности или системе N случайных величин .

Математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция случайного процесса.Поскольку случайный процесс, рассматриваемый в фиксированный момент времени, является случайной величиной, то можно говорить о математическом ожидании и дисперсии случайного процесса:

, .

Так же, как и для случайной величины, дисперсия характеризует разброс значений случайного процесса относительно среднего значения . Чем больше , тем больше вероятность появления очень больших положительных и отрицательных значений процесса. Более удобной характеристикой является среднее квадратичное отклонение (СКО) , имеющее ту же размерность, что и сам случайный процесс.

Если случайный процесс описывает, например, изменение дальности до объекта, то математическое ожидание – средняя дальность в метрах; дисперсия измеряется в квадратных метрах, а Ско – в метрах и характеризует разброс возможных значений дальности относительно средней.

Среднее значение и дисперсия являются очень важными характеристиками, позволяющими судить о поведении случайного процесса в фиксированный момент времени. Однако, если необходимо оценить «скорость» изменения процесса, то наблюдений в один момент времени недостаточно. Для этого используют две случайные величины , рассматриваемые совместно. Так же, как и для случайных величин, вводится характеристика связи или зависимости между и . Для случайного процесса эта характеристика зависит от двух моментов времени и и называетсякорреляционной функцией: .

Стационарные случайные процессы. Многие процессы в системах управления протекают однородно во времени. Их основные характеристики не изменяются. Такие процессы называютсястационарными. Точное определение можно дать следующим образом. Случайный процесс называется стационарным, если любые его вероятностные характеристики не зависят от сдвига начала отсчета времени. Для стационарного случайного процесса математическое ожидание, дисперсия и СКО постоянны: , .

Корреляционная функция стационарного процесса не зависит от начала отсчета t, т.е. зависит только от разности моментов времени:

Корреляционная функция стационарного случайного процесса имеет следующие свойства:

1) ; 2) ; 3) .

Часто корреляционные функции процессов в системах связи имеют вид, показанный на рис. 1.20.

Рис. 1.20. Корреляционные функции процессов

Интервал времени , на котором корреляционная функция, т.е. величина связи между значениями случайного процесса, уменьшается в М раз, называетсяинтервалом или временем корреляции случайного процесса. Обычно или . Можно сказать, что значения случайного процесса, отличающиеся по времени на интервал корреляции, слабо связаны друг с другом.

Таким образом, знание корреляционной функции позволяет судить о скорости изменения случайного процесса.

Другой важной характеристикой является энергетический спектр случайного процесса. Он определяется как преобразование Фурье от корреляционной функции:

.

Очевидно, справедливо и обратное преобразование:

.

Энергетический спектр показывает распределение мощности случайного процесса, например помехи, на оси частот.

При анализе САУ очень важно определить характеристики случайного процесса на выходе линейной системы при известных характеристиках процесса на входе САУ. Предположим, что линейная система задана импульсной переходной характеристикой . Тогда выходной сигнал в момент времени определяется интегралом Дюамеля:

,

где – процесс на входе системы. Для нахождения корреляционной функции запишем и после перемножения найдем математическое ожидание

Вероятностные и корреляционные характеристики случайных процессов определяются с помощью одного или нескольких моментов времени (сечений). Однако существует класс случайных процессов, у которых зависимость характеристик от времени отсутствует, и при определенных условиях ряд вероятностных характеристик может быть определен путем усреднения по всему ансамблю реализаций. В других случаях для данных целей может быть осуществлено усреднение по времени с использованием одной к- реализации x k (t) случайного процесса Х(1). Наличие и отсутствие зависимости вероятностных характеристик от времени или от номера реализации определяет такие фундаментальные свойства процесса, как стационарность и эргодичность.

Особое место среди случайных процессов занимает стационарный случайный процесс, с которым часто приходится сталкиваться в теории связи.

Стационарными называют случайные процессы, статистические характеристики которых не изменяются во времени. Примерами стационарных случайных процессов являются внутренние шумы приемников, тепловой шум транзистора, стабилитрона и других полупроводниковых и электронных приборов. В практических приложениях теории случайных процессов условие стационарности обычно ограничивается требованием независимости от времени только одномерной и двумерной плотностей вероятности. Выполнение этого условия позволяет считать, что среднее значение, средний квадрат и дисперсия случайного процесса нс зависят от времени, а корреляционная функция зависит только от интервала между ними т = t 2 -t v т.е. от одного аргумента. Случайные процессы, удовлетворяющие условиям стационарности на ограниченных интервалах, также относят к их числу и называют квазистационарными.

С учетом предложенных ограничений при записи статистических параметров стационарного случайного процесса можно опускать обозначения фиксированных моментов времени. В этом случае математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени, т.е. формулы (3.5) и (3.6) примут вид

Нетрудно показать, что функция корреляции случайного стационарного процесса зависит только от разности т = t 2 - t v и поэтому R x (t v t 2) = R v (т).

Из определения стационарности случайного процесса следует, что его функция корреляции является четной относительно т = 0: R v (т) = R x (- т).

Стационарность - не единственное полезное свойство случайных процессов, позволяющее подробно их исследовать. Еще одним свойством такого рода является эргодичность (ergodicity ; от греч. ergon - работа). Условие эргодичности включает в себя и условие стационарности случайного процесса. Эргодичность проявляется в том, что со временем процесс становится однородным.

Стационарный случайный процесс является эргодическим, если усреднение по ансамблю реализаций можно заменить усреднением по времени одной реализации в пределах бесконечного интервала времени Т х. Приведем пример: если у вас есть кубик с числами на гранях от 1 до 6, то при 600 выбрасываниях число 1 выпадет около 100 раз. Можно взять 600 одинаковых кубиков и бросить их все одновременно один раз. При этом около 100 кубиков также покажут грань с числом 1.

Математическое ожидание эргодического процесса вычисляется усреднением по бесконечному интервалу времени значений заданной реализации. Обозначая усреднение по времени угловыми скобками, запишем

Следует помнить, что математическое ожидание эргодического случайного процесса равно постоянной составляющей любой его реализации.

Средний квадрат

является средней мощностью всего случайного эргодического процесса. Дисперсия

определяет мощность флуктуационной составляющей эргодического процесса.

Как правило, при экспериментальном исследовании случайных процессов наблюдают одну реализацию. Если процесс эргодический, то его реализация па большом интервале является типичным представителем всего ансамбля.

На рис. 3.12 приведен пример реального случайного процесса Х(!) в виде одной из реализаций флуктуационной составляющей x(t) там же показано СКО ±а от математического ожидания т х (для упрощения графика выбрано т к = 0).

Рис. 3.12. Флуктуационная составляющая x(t) с СКО ±ст

В электрических цепях широко используют переходные (разделительные) ЯС-цепи, не пропускающие постоянной составляющей. Поэтому для реальных стационарных эргодических процессов математическое ожидание т г = 0.

Функция корреляции в этом случае имеет более простой вид

Выражение (3.18) внешне совпадает с определением (2.56) автокорреляционной функции детерминированного периодического сигнала. Непосредственно из формулы (3.18) вытекает четность функции R t (т) относительно сдвига ср.

Важно заметить, что достаточным условием эргодичности случайного процесса, стационарного в широком смысле, является стремление к нулю его корреляционной функции с ростом временного сдвига т: lim R( т) = 0.

Согласно приведенным формулам по одной реализации можно определить математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию эргодического случайного процесса. Обычно интегрирование выполняется не в бесконечных пределах, а на конечном интервале, длина которого должна быть тем больше, чем выше требования к точности результатов исследования.

Изучение стационарного случайного процесса будем проводить с учетом его эргодичности, признак которого - равенство среднего значения по множеству реализаций (3.14) среднему значению по времени одной реализации (3.17):

В общем случае результаты усреднения случайных процессов по совокупности и по времени неодинаковы. Предел выборочного среднего по совокупности представляет собой вероятностную характеристику, выражающую зависимость вероятностных свойств процесса от времени. Предел выборочного среднего по времени представляет собой вероятностную характеристику, выражающую зависимость вероятностных свойств процесса от номера реализации.

Пример 3.3

Случайный процесс U(t) состоит из гармонических реализаций и(1) = = U m cos((o 0 t + ф), где амплитуда U m и частота со 0 - постоянные параметры, а начальная фаза реализации ф - случайная величина, которая с одинаковой вероятностыо принимает значение в интервале (-я, я) (рис. 3.13). Найдем числовые характеристики процесса и определим, является ли он стационарным.

Решение

Заданное распределение начальных фаз означает, что плотность вероятности случайной фазы любого колебания р(ф) = 1/(2я). Тогда согласно формуле (3.14) математическое ожидание для амплитуд гармонических напряжений

По формуле (3.16) находим дисперсию

Рис. 3.13-

Тот факт, что реализации случайного процесса являются периодическими функциями, позволяет упростить вычисления, заменив усреднение по бесконечному промежутку времени усреднением но периоду Т= 2я/со 0 . Тогда функцию корреляции получим усреднением по времени произведения двух напряжений:

В правой части этого выражения первое слагаемое в фигурных скобках является детерминированным колебанием, поскольку в нем отсутствует случайная фаза. Второе слагаемое при статистическом усреднении по фазе с помощью одномерной плотности вероятности обращается в нуль. Поэтому функция корреляции

где т = ^ - 1).

Все искомые числовые характеристики не зависят от времени, и заданный случайный процесс является стационарным.

Отметим, что любой случайный процесс, реализации которого являются гармоническими функциями, идентичными по форме и различающимися лишь равномерно распределенной в пределах заданного периода начальной фазой, будет не только стационарным, по и эргодическим.

Пример 3.4

Случайный процесс 17(f) состоит из реализаций u(t) = l/ m cos(co 0 f + U m - случайная величина с произвольным законом распределения и равновероятная в интервале от 0 до U max (рис. 3.14). Определим, является ли этот процесс стационарным.

Рис. 3.14.

Решение

Математическое ожидание й = U m cos(o) 0 t + ф) нс зависит от времени лишь при U m = 0. Поэтому случайный процесс является нестационарным.

В системе S протекает случайный процесс, если она с течением времени меняет свое состояние (переходит из одного состояния в другое), причем, заранее неизвестным случайным образом.

Непрерывный случайный процесс x (t ) определяется заданием системы случайных величин x (t 1), x (t 2), ..., x (t n ), соответствующих значениям случайного процесса в фиксированные моменты времени t 1 , t 2 , …, t n . Эти случайные величины описываются n -мерной плотностью вероятности f (x 1 , x 2 , …, x n , t 1 , t 2 , ..., t n ).

Марковский случайный процесс

Случайный процесс, протекающий в системе, называется марковским , если для любого момента времени t 0 вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t 0 и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

Основное свойство марковского процесса может быть выражено соотношением для условной плотности при любых t 1 < t 2 < … <t k :

f (x (t k + 1)½x (t 1), x (t 2), ..., x (t k )) = f (x (t k + 1)½x (t k )).

Размерность n вектора x (t ) называют порядком марковского процесса. Марковская модель является определенной идеализацией по отношению к реальным процессам. Достоинство этой модели состоит в возможности использования эффективных алгоритмов обработки информации.

В исследовании операций большое значение имеют Марковские случайные процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем.

Процесс называется процессом с дискретным состоянием , если его возможные состояния S 1 , S 2 , … можно заранее определить, и переход системы из состояния в состояние происходит «скачком», практически мгновенно. Процесс называется процессом с непрерывным временем , если моменты возможных переходов из состояния в состояние не фиксированы заранее, а неопределенны, случайны и могут произойти в любой момент.

Потоки событий

Поток событий (ПС) – последовательность событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени (например, поток отказов и поток восстановлений, поток вызовов на телефонной станции, поток покупателей в магазине и т.д.). Различают потоки однородных и неоднородных событий.

Однородный ПС характеризуется только моментами поступления этих событий (вызывающими моментами ) и задаётся последовательностью {t n } = {0 £ t 1 £ t 2 … £ t n £…}, где t n – момент поступления n -ого события. ОПС может быть также задан в виде последовательности промежутков времени между n -ым и (n – 1)-ым событиями {t n }.

Неоднородным ПС называется последовательность {t n , f n }, где t n – вызывающие моменты; f n – набор признаков события. Например, может быть задана принадлежность к тому или иному источнику заявок, наличие приоритета, возможность обслуживания тем или иным типом канала и т.п.

Поток событий можно наглядно изобразить рядом точек на оси времени 0t – рис. 4.1.

Рис. 4.1. Изображение потока событий на оси времени

Положение каждой точки случайно, и здесь изображена лишь какая-то одна реализация потока.

Интенсивность потока событий (l) – это среднее число событий, приходящееся на единицу времени. Интенсивность потока может быть как постоянной (l = const) так и переменной, зависящей от времени t .

Поток событий называется регулярным , если события следуют одно за другим через определенные равные промежутки времени.

Поток событий называется стационарным , если его вероятностные характеристики не зависят от времени. В частности, интенсивность l стационарного потока постоянна. Поток событий неизбежно имеет сгущения или разрежения, но они не носят закономерного характера, и среднее число событий, приходящееся на единицу времени, постоянно и от времени не зависит.

Поток событий называется потоком без последствий , если для любых двух непересекающихся участков времени t 1 и t 2 (см. рис. 4.1) число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой. Другими словами, это означает, что события, образующие поток, появляются в те или иные моменты времени независимо друг от друга и вызваны каждое своими собственными причинами.

Поток событий называется ординарным , если события в нем появляются поодиночке, а не группами по нескольку сразу.

Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским ), если он обладает сразу тремя свойствами: 1) стационарен, 2) ординарен, 3) не имеет последствий.

Для простейшего потока с интенсивностью l интервал T между соседними событиями имеет показательное (экспоненциальное ) распределение с плотностью , где l – параметр показательного закона (рис. 4.2).