ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ

Е. С. ВЕНТЦЕЛЬ, Л. А. ОВЧАРОВ

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

в качестве учебного пособия для студентов высших технических учебных заведений

5-е издание, исправленное

УДК 519.21(075.8) ББК22.171я73

Рецензент - директор Института проблем передачи информации РАН академик Н.А.Кузнецов

Вентцель Е. С.

В 29 Задачи и упражнения по теории вероятностей: Учеб. посо­ бие для студ. втузов / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. - 5-е изд., испр. - М.: Издательский центр «Академия», 2003. - 448 с.

ISBN 5-7695-1054-4

Настоящее пособие представляет собой систематизированную подбор­ ку задач и упражнений по теории вероятностей. Все задачи снабжены отве­ тами, а большинство - и решениями. В начале каждой главы приведена свод­ ка основных теоретических положений и формул, необходимых для решения задач.

Для студентов высших технических учебных заведений. Может быть ис­ пользовано преподавателями, инженерами и научными работниками, заинте­ ресованными в освоении вероятностных методов для решения практических задач.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее учебное пособие написано на основе многолетнего опыта преподавания теории вероятностей в высшем техническом учебном заведении, а также опыта применения вероятностных методов для решения практических задач. В начале каждой главы книги дана краткая сводка теоретических сведений и формул, не­ обходимых для решения задач, помещенных в главе.

Задачи, имеющиеся в пособии, весьма различны по трудности: одни предназначены для приобретения навыков применения гото­ вых формул и теорем, другие требуют некоторой изобретательно­ сти. При этом простые задачи снабжены только ответами, более сложные - развернутыми решениями. В ряде случаев решения со­ держат оригинальные методические приемы, которые могут приго­ диться при решении встречающихся на практике задач, так как яв­ ляются достаточно общими. Задачи повышенной трудности отмечены звездочкой. Номера рисунков и формул к задачам соот­ ветствуют номерам задач.

Особенностью, отличающей данную книгу от аналогичных из­ даний, является больший объем решений и разборов задач по сравнению с текстами самих задач. В связи с этим пособие зани­ мает своеобразное промежуточное положение между обычным за­ дачником и учебником. Для удобства чтения авторы отступили от традиционного разделения текста на «задачи» и «ответы» к ним, а предпочли давать ответ или решение каждой задачи непосредст­ венно за ее формулировкой. Добросовестному читателю это не помешает самостоятельно решить каждую из предложенных за­ дач, обращаясь к решению только в случае неудачи.

Пособие предназначено для лиц, знакомых с теорией вероят­ ностей в объеме, например, учебника Е.С.Вентцель «Теория ве­ роятностей», а также учебных пособий Е.С.Вентцель, Л.А.Овчарова «Теория вероятностей и ее инженерные приложения» и «Теория случайных процессов и ее инженерные приложения». Некоторые дополнительные сведения, необходимые для решения отдельных задач, приводятся в тексте.

Авторы выражают искреннюю благодарность рецензенту пер­ вого издания книги профессору Б. В. Гнеденко, сделавшему ряд полезных замечаний, а также научному редактору книги доценту Л.З.Румшискому, который взял на себя нелегкий труд проверки решений всех задач и этим помог устранить некоторые ошибки.

Книга впервые вышла в свет в 1969 г. и переиздана в 1973 г., 2000 г. и 2002 г. В четвертом издании переработана гл. 10 и вве­ дена новая гл. И, выполненная на основе книги авторов .

В общей сложности книга издана 10 раз, включая издания на анг­ лийском, французском и дважды на немецком и испанском языках.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. НЕПОСРЕДСТВЕННЫЙ ПОДСЧЕТ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Событием (или «случайным событием») называется всякий факт, ко­ торый в результате опыта может произойти или не произойти.

Вероятностью события называется численная мера степени объек­ тивной возможности этого события.

Вероятность события А обозначается Р(А), Рилир.

Достоверным называется событиеU, которое в результате опыта не­ пременно должно произойти.

Невозможным называется событиеV, которое в результате опыта не может произойти.

P(V) = 0.

Вероятность любого события А заключена между нулем и единицей: 0 <Р(А) < 1.

Полной группой событий называется несколько событий таких, что в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них.

Несколько событий в данном опыте называются несовместными, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если по условиям симметрии опыта нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое.

Если несколько событий: 1) образуют полную группу; 2) несовместны; 3) равновозможны, то они называются случаями («шансами»).

Случай называется благоприятным событию, если появление этого случая влечет за собой появление события.

Если результаты опыта сводятся к схеме случаев, то вероятность со­ бытия А вычисляется по формуле

где п - общее число случаев;т - число случаев, благоприятных собы­ тиюА.

1.1. Образуют ли полную группу следующие группы событий: а) опыт - бросание монеты; события: А х - появление герба;

А 2 - появление цифры; б) опыт - бросание двух монет; события:В х - появление двух

гербов; В 2 - появление двух цифр; в) опыт - два выстрела по мишени; события:А 0 - ни одного

попадания; А х - одно попадание;А 2 - два попадания; г) опыт - два выстрела по мишени; события:С х - хотя бы одно

попадание; С 2 - хотя бы один промах;

д) опыт - вынимание карты из колоды; события: D x - появле­ ние карты червонной масти;D 2 - появление карты бубновой мас­ ти;D 3 - появление карты трефовой масти?

О т в е т: а) да; б) нет; в) да; г) да; д) нет.

1.2. Являются ли несовместными следующие события:

а) опыт - бросание монеты; события: А х - появление герба;А 2 - появление цифры;

б) опыт - бросание двух монет; события: В х - появление герба на первой монете;В 2 - появление цифры на второй монете;

в) опыт - два выстрела по мишени; события: С 0 - ни одного попадания;С х - одно попадание;С 2 - два попадания;

г) опыт - два выстрела по мишени; события: D x - хотя бы од­ но попадание;D 2 - хотя бы один промах;

д) опыт - вынимание двух карт из колоды; события: Е х - по­ явление двух черных карт;Е 2 - появление туза;Е 3 - появление дамы?

О т в е т: а) да; б) нет; в) да; г) нет; д) нет.

1.3. Являются ли равновозможными следующие события:

а) опыт - бросание симметричной монеты; события: А х - по­ явление герба;А 2 - появление цифры;

б) опыт - бросание неправильной (погнутой) монеты; собы­ тия: В х - появление герба;В 2 - появление цифры;

в) опыт - выстрел по мишени; события: С х - попадание;С 2 - промах;

г) опыт - бросание двух монет; события: D x - появление двух гербов;D 2 - появление двух цифр;D 3 - появление одного герба и одной цифры;

д) опыт - вынимание одной карты из колоды; события: Е х - появление карты червонной масти;Е 2 - появление карты бубно­ вой масти;Е 3 - появление карты трефовой масти;

е) опыт - бросание игральной кости; события: F x - появление не менее трех очков;F 2 - появление не более четырех очков?

О т в е т: а) да; б) нет; в) общем случае нет; г) нет; д) да; е) да.

1.4. Являются ли случаями следующие группы событий:

а) опыт - бросание монеты; события: А х - появление герба;А 2 - появление цифры;

б) опыт - бросание двух монет; события: В х - появление двух гербов;В 2 - появление двух цифр;В 3 - появление одного герба и одной цифры;

в) опыт - бросание игральной кости; события: С х - появление не более двух очков;С 2 - появление трех или четырех очков;С ъ - появление не менее пяти очков;

г) опыт - выстрел по мишени; события: D x - попадание;D 2 - промах;

д) опыт - два выстрела по мишени; события: Е 0 - ни одного попадания;Е х - одно попадание;Е 2 v- два попадания;

е) опыт - вынимание двух карт из колоды; события: F x - появ­ ление двух красных карт;F 2 - появление двух черных карт?

О т в е т: а) да; б) нет; в) да; г) нет; д) нет; е) нет.

1.5. Приведите примеры:

а) трех событий, образующих группу случаев; б) трех событий, равновозможных и несовместных, но не обра­

зующих полной группы; в) двух событий, несовместных и образующих полную группу,

но не равновозможных; г) двух событий, равновозможных и образующих полную груп­

пу, но совместных.

О т в е т: а) см. 1.4 в); б) см. 1.3 д); в) см. 1.3 в); г) см. 1.3 е).

1.6. В урне о белых и Ъ черных шаров. Из урны вынимают нау­ гад один шар. Найти вероятность того, что этот шар - белый.

а + Ь- 1

1.8. В урне а белых иЪ черных шаров. Из урны вынули один шар и, не глядя, отложили в сторону. После этого из урны взяли еще один шар. Он оказался белым. Найти вероятность того, что первый шар, отложенный в сторону, - тоже белый.

а + Ь

1.11. В урне а белых и 6 черных шаров (а > 2). Из урны вынима­ ют сразу два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут бе­ лыми.

Р е ш е н и е. Общее число случаев

п (а + Ь)(а + Ь - 1)

1.12. В урне а белых и Ъ черных шаров (а > 2, 6 > 3). Из урны вынимают сразу пять шаров. Найти вероятностьр того, что два из них будут белыми, а три черными.

Р е ш е н и е.

1.13. В партии, состоящей из к изделий, имеетсяI дефектных. Из партии выбирается для контроляг изделий. Найти вероят­ ностьр того, что из них ровноs изделий будут дефектными.

О т в е т. р =ctcizt

1.14. Игральная кость бросается один раз. Найти вероятность следующих событий: А - появление четного числа очков;В - по­ явление не менее 5 очков;С- появление не более 5 очков.

О т в е т. Р(А) = \; Р(5) = 1; Р(С)=Л.

1.15. Игральная кость бросается два раза. Найти вероятность р того, что оба раза появится одинаковое число очков.

Р е ш е н и е. п = 6 ; m = 6; р = - = - .

п 6 (Другое решение. Искомая вероятность есть вероятность

того, что при втором бросании выпадет то же число очков, кото­

рое выпало при первом бросании: п = 6, га = 1, р = -.) 6

1.16. Бросаются одновременно две игральные кости. Найти ве­ роятности следующих событий:

А - сумма выпавших очков равна 8;

В - произведение выпавших очков равно 8;

С- сумма выпавших очков больше, чем их произведение.

1.17. Бросаются две монеты. Какое из событий является более вероятным:

А - монеты лягут одинаковыми сторонами;

В - монеты лягут разными сторонами?

О т в е т. Р(Л) = Р(£).

1.18. В урне а белых иb черных шаров(а > 2;b > 2). Из урны вынимают одновременно два шара. Какое событие более вероятно:

А - шары одного цвета;

В - шары разных цветов?

Сравнивая числители этих дробей, находим

Р(А) < Р(В) при а (а -1) + 6(6 - 1) < 2аЬ.

т.е. (а -б)2 <а + 6; Р(Л) = Р(В) при (а - б)2 = а + 6;

Р(А) > Р(5) при (о - б)2 > а +Ь.

1.19. Трое игроков играют в карты. Каждому из них сдано по 10 карт и две карты оставлены в прикупе. Один из игроков видит, что у него на руках 6 карт бубновой масти и 4 - не бубновой. Он сбрасывает две карты из этих четырех и берет себе прикуп. Найти вероятность того, что он прикупит две бубновые карты.

Р е ш е н и е. Из 32 карт игроку известно 10, а остальные 22 - нет. Взять 2 карты из прикупа это все равно, что взять их из 22. В числе 22 карт две бубновых. Вероятность события равна

1 _ 1

С 2 2 2~23Г

1.20. Из урны, содержащей п перенумерованных шаров, наугад вынимают один за другим все находящиеся в ней шары. Найти ве­ роятность того, что номера вынутых шаров будут идти по поряд­ ку: 1, 2,...,п.

О т в е т. -. п!

1.21. Та же урна, что и в предыдущей задаче, но каждый шар после вынимания вкладывается обратно и перемешивается с дру­ гими, а его номер записывается. Найти вероятность того, что бу­ дет записана естественная последовательность номеров: 1, 2,..., п.

пп

1.22. Полная колода карт (52 листа) делится наугад на две рав­ ные пачки по 26 листов. Найти вероятности следующих событий:

А - в каждой из пачек окажется по два туза;

В - в одной из пачек не будет ни одного туза, а в другой - все четыре;

С-в одной из пачек будет один туз, а в другой - три.

Р е ш е н и е. Общее число случаев п = СЦ . Число благоприят­ ных событиюА случаевт = С\С 2 ^.

Р(Л)=°4 °26 48

С Ь2

Событие В может осуществиться двумя способами: либо в пер­ вой пачке будут все четыре туза, а во второй - ни одного, либо на­ оборот:

Елена Сергеевна Вентцель (литературный псевдоним И. Грекова), урождённая Долгинцева; (8 (21) марта 1907, Ревель, Российская империя, ныне Таллин, Эстония - 15 апреля 2002, Москва, Россия) - советский математик, автор учебников по теории вероятностей и исследованию операций, русский прозаик, доктор технических наук, профессор.

Работала в Московской Академии им. Жуковского (1935-1968 г.г.), затем - на кафедре прикладной математики в Московском Институте Инженеров Транспорта (1968-1987), вела научную и преподавательскую работу. Несколько поколений советских инженеров учились по ее учебнику «Теория вероятностей». Она - автор книг «Исследование операций» и «Теория игр». Была также превосходным популяризатором науки: в публичных лекциях, статьях, выступлениях.

Читателям Елена Сергеевна известна под литературным псевдонимом И.Грекова. Публиковаться начала в начале 1960-х в журнале «Новый мир», которым в то время руководил А.Т.Твардовский. Именно там вышли ее ставшие знаменитыми повести и рассказы «За проходной» (1962), «Дамский мастер» (1963), «На испытаниях» (1967). По литературным произведениям И.Грековой были поставлены спектакли и фильмы.

Книги (10)

Хозяйка гостиницы

Волнующее повествование о простой светлой русской женщине, одной из тех, на которых держится мир. Прожив непростую жизнь, героиня всегда верила во всепобеждающую силу любви и сама, словно светясь добротой, верой, надеждой, не задумываясь, всю себя отдавала людям. Большая любовь как заслуженная награда пришла к Верочке Ларичевой тогда, когда она уж и надеяться перестала…

Эта книга - литературная основа фильма С. Говорухина «Благословите женщину».

Введение в исследование операций

В книге излагаются основы науки исследования операций, занимающейся способами рациональной организации целенаправленной человеческой деятельности. Изложение предмета ведется в основном на материале задач, связанных с боевым применением техники.

Однако математические методы обоснования рациональных решений излагаются так, что могут быть приложены в любой области практики.

Задачи и упражнения по теории вероятностей

Настоящее пособие представляет собой систематизированную подборку задач и упражнений по теории вероятностей. Все задачи снабжены ответами, а большинство - и решениями. В начале каждой главы приведена сводка основных теоретических положений и формул, необходимых для решения задач.

Исследование операций: задачи, принципы, методология

Популярно излагаются основы исследования операций - науки о выборе разумных, научно обоснованных решений во всех областях человеческой деятельности.

Главное внимание уделяется не математическому аппарату, а вопросам методологии. Для инженеров, научных работников, руководителей предприятий, интересующихся проблемами выбора решений.

Прикладные задачи теории вероятностей

Содержится большое число задач прикладного характера, относящихся к разным областям практики, главным образом инженерно-техническим.

В начале каждой главы приводятся краткие теоретические сведения, необходимые для решения задач. Большинство задач снабжено не только ответами, но и развернутыми решениями, демонстрирующими важные методические приемы. Для инженерно-технических работников, а также студентов и преподавателей вузов, заинтересованных в овладении вероятностными методами решения прикладных задач.

Теория вероятностей

Настоящий сборник представляет собой систематизированную подборку задач и упражнений по теории вероятностей. Все задачи снабжены ответами, а большинство и решениями. В начале каждой главы приведена сводка основных теоретических положений и формул, необходимых для решения задач.

Теория вероятностей и ее инженерные приложения

В книге дано систематическое изложение основ теории вероятностей под углом зрения их практических приложений по специальностям: кибернетика, прикладная математика, ЭВМ, автоматизированные системы управления, теория механизмов, радиотехника, теория надежности, транспорт, связь и т.д.

Несмотря на разнообразие областей, к которым относятся приложения, все они пронизаны единой методической основой.

Теория случайных процессов и её инженерные приложения

В книге дается систематическое изложение основ теории случайных процессов по специальностям: кибернетика, прикладная математика, автоматизированные системы управления и переработки информации, автоматизация технологических процессов, транспорт и т.п.

Она является логическим продолжением книги тех же авторов: «Теория вероятностей и ее инженерные приложения».

Элементы теории игр

Книга представляет собой популярное изложение элементов теории игр и некоторых способов решения матричных игр.

Она почти не содержит доказательств и иллюстрирует основные положения теории примерами. Для чтения достаточно знакомства с элементами теории вероятностей и математического анализа.

Комментарии читателей

Ягунов Е А / 19.11.2016 С Еленой Сергеевной меня познакомилп профессор, инженер-полковник Шор Яков Борисович, когда я в 1959 г. работал над своей кандидатской диссертацией.
Используя достаточно сложный математический аппарат. Она не только проконсультировала меня, но и пригласила на свои лекции в ее Академии. Я их прослушал и сразу понял, доселе сложные для меня вопросы. Ее книги по теории вероятности стали моими настольными. Это шедевр понятного и доступного изложения трудных для понимания знаний!
А ее проникновенная книга "Кафедра" , когда я, после окончания службы в НИИ-4 МО стал преподавателем университета.
Советую всем, кто изучает "Теорию вероятности и Теорию случайных функций" изучать ее по учебникам Вентцел Е. С. Всем гуманитариям прочитать ее художественную прозу. Поверьте, они этого стоят!

Сергей / 13.09.2013 Прекрасный учебник даже для таких тупиц, как я!!! Двоечник был, но теорию вероятности изучал по Вентцель-не поверите, пять баллов в военно-морском училище было по этому предмету. Прекрасный учебник!!!

Добрый Ух / 6.01.2011 Николай, я не знаю, кто делал скан, но называть человека "придурком" на том основании, что он где-то потерял страницы как минимум не вежливо. Вам книги в цифре достаются фактически бесплатно и я бы поблагодарил администрацию за то, что они хоть в каком-то виде тут появляются. Вряд ли ваше "фи" достойно того, чтобы держать оргштатную единицу, которая будет вычитывать все книги. Вы просто зажрались, уважаемый. %) Скажите лучше простое человеческое спасибо тем, кто сканирует книги и держит этот сайт.

Nikolay / 5.01.2011 Автору, конечно, огромное спасибо за такую книгу. Но придурку, который делал электронный вариант, надо оторвать руки за недостающие страницы. И администрации сайта не мешало бы проверять материалы, которые они публикуют.

Галущенко В.А. / 21.09.2010 Книга, посвященная автору
http://zhurnal.lib.ru/editors/g/galushenko_w/umnica.shtml

Татьяна / 28.06.2010 Очень полезная книга...

Ярик / 4.12.2009 Очень понравилась книга!

Александр / 15.03.2009 Чудесная женщина, великий математик, изумительный педагог доступно излагающий сложнейший материал для дилетантов!

Turtuga / 12.02.2009 Такой замечательный классический учебник, очень жаль, что в электронной версии на сайте не хватает страниц 37-40. Как раз понадобились.

***Вовочка*** / 27.11.2008 "Побольше бы таких людей"

Н.Тёмкин / 13.11.2008 Считаю книгу Е.С.Вентцель "Теория вероятностей" лучшей книгой в этой области.Она сочетает в себе фундаментальность и в то же время достуность изложения для массового читателя.А такой способ подачи материала есть свидетельство высочайшей компетентности автора.

Задачи и упражнения по теории вероятностей. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.

5-е изд., испр. - М.: Академия, 2003.- 448 с..

Настоящее пособие представляет собой систематизированную подборку задач и упражнений по теории вероятностей. Все задачи снабжены ответами, а большинство - и решениями. В начале каждой главы приведена сводка основных теоретических положений и формул, необходимых для решения задач.

Для студентов высших технических учебных заведений. Может быть использовано преподавателями, инженерами и научными работниками, заинтересованными в освоении вероятностных методов для решения практических задач.

Формат: pdf

Размер: 7 Мб

yandex.disk

Формат: djvu / zip

Размер: 4 ,03 Мб

/ Download файл

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава 1. Основные понятия. Непосредственный подсчет вероятностей 4
Глава 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей 19
Глава 3. Формула полной вероятности и формула Бейеса 49
Глава 4. Повторение опытов 70
Глава 5. Случайные величины. Законы распределения. Числовые характеристики случайных величин 85
Глава 6. Системы случайных величин (случайные векторы) 124
Глава 7. Числовые характеристики функций случайных величин 152
Глава 8. Законы распределения функций случайных величин. Предельные теоремы теории вероятностей 207
Глава 9. Случайные функции 261
Глава 10. Потоки событий. Марковские случайные процессы 317
Глава 11. Теория массового обслуживания 363
Приложения 428
Список литературы 440

Название: Теория вероятностей и ее инженерные приложения. 2000.

В книге дано систематическое изложение основ теории вероятностей под углом зрения их практических приложений по специальностям: кибернетика, прикладная математика, ЭВМ, автоматизированные системы управления, теория механизмов, радиотехника, теория надежности, транспорт, связь и т.д. Несмотря на разнообразие областей, к которым относятся приложения, все они пронизаны единой методической основой. Первое издание вышло в 1988 г.
Для студентов высших технических учебных заведений. Может быть полезна преподавателям, инженерам и научным работникам разных профилей, которые в своей практической деятельности сталкиваются с необходимостью ставить и решать задачи, связанные с анализом процессов.

Теорией вероятностей называется математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Условимся, что мы будем понимать под «случайным явлением».
При научном изучении и описании окружающего мира часто приходится встречаться с особого типа явлениями, которые принято называть случайными. Характерна для них большая, по сравнению с другими, степень неопределенности, непредсказуемости. Случайное явление - это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта (испытания, эксперимента) протекает каждый раз несколько по-иному.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Введение 5
Глава 1. Основные понятия теории вероятностей 15
1.1. Случайное событие. Его вероятность 15
1.2. Непосредственный подсчет вероятностей 21
1.3. Частота ИЛИ статистическая вероятность события 28
Глава 2. Аксиоматика теории вероятностей. Правила сложения и умножения вероятностей и их следствия 37
2.1. Элементарные сведения из теории множеств 37
2.2. Аксиомы теории вероятностей и их следствия. Правило сложения вероятностей 41
2.3. Условная вероятность события. Правило умножения вероятностей 50
2.4. Примеры применения основных правил теории вероятностей 58
2.5. Формула полной вероятности 69
2.6. Теорема гипотез (формула Бойеса) 76
Глава 3. Случайные величины. Их законы распределения 82
3.1. Понятие случайной величины. Закон распределения. Ряд распределения дискретной случайной величины 82
3.2. Функция распределения случайной величины. Ее свойства 87
3.3. Функция распределения дискретной случайной величины. Индикатор события 92
3.4. Непрерывная случайная величина. Плотность распределения 94
3.5. Смешанная случайная величина 104
Глава 4. Числовые характеристики случайных величин 107
4.1. Роль и назначения числовых характеристик. Математическое ожидание случайной величины 107
4.2. Моменты. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение 115
Глава 5. Некоторые важные для практики распределения дискретных случайных величин 129
5.1. Биномиальное распределение 129
5.2. Распределение Пуассона 135
5.3. Геометрическое распределение 146
5.4. Гипергеометрическое распределение 150
Глава 6. Некоторые важные для практики распределения непрерывных случайных величин 153
6.1. Равномерное распределение 153
6.2. Показательное распределение 158
6.3. Нормальное распределение 161
6.4. Гамма-распределение и распределение Эрланга 173
Глава 7. Системы случайных величин (случайные векторы) 177
7.1. Понятие о системе случайных величин 177
7.2. Функция распределения системы двух случайных величин 179
7.3. Система двух дискретных случайных величин. Матрица распределения 183
7.4. Система двух непрерывных случайных величин. Совместная плотность распределения 190
7.5. Зависимые и независимые случайные величины. Условные законы распределения 194
7.6. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Ковариация и коэффициент корреляции 213
7.7. Условные числовые характеристики системы случайных величин (X, Y). Регрессия 220
7.8. Закон распределения и числовые характеристики п-мерного случайного вектора 223
7.9. Двумерное нормальное распределение 230
7.10. Многомерное нормальное распределение 243
Глава 8. Числовые характеристики функций случайных величин 258
8.1. Математическое ожидание и дисперсия функции 258
8.2. Теоремы о числовых характеристиках функций случайных величин 267
8.3. Применение теорем о числовых характеристиках к решению инженерных задач 276
8.4. Числовые характеристики часто встречающихся в инженерной практике функций случайных величин 291
8.5. Числовые характеристики суммы случайного числа случайных слагаемых 298
8.6. Числовые характеристики минимальной и максимальной из двух случайных величин 306
8.7. Числовые характеристики модулей функций случайных величин 312
8.8. Комплексные случайные величины 318
8.9. Характеристическая функция случайной величины и ее свойства 321
8.10. Метод линеаризации функций случайных величин 328
Глава 9. Законы распределения функций случайных величин 336
9.1. Закон распределения функции одного случайного аргумента 336
9.2. Получение случайной величины с заданным распределением путем функционального преобразования 347
9.3. Закон распределения функции двух случайных аргументов 353
9.4. Закон распределения суммы двух случайных величин. Композиция двух законов распределения 357
9.5. Закон распределения функции нескольких случайных величин. Композиция нескольких законов распределения 302
9.6. Закон распределения минимума (максимума) двух случайных величин. Закон распределения порядковых статистик 372
9.7. Законы распределения функций от нормально распределенных случайных величин 380
9.8. Вероятностная смесь распределений. Закон распределения суммы случайного числа случайных слагаемых 388
Глава 10. Предельные теоремы теории вероятностей 399
10.1. Закон больших чисел 399
10.2. Центральная предельная теорема 413
Глава 11. Элементы математической статистики 430
11.1. Предмет и задачи математической статистики 430
11.2. Первичная статистическая совокупность. Ее упорядочение. Статистическая функция распределения 432
11.3. Группированный статистический ряд. Гистограмма 437
11.4. Выравнивание статистических распределений 440
11.5. Критерий согласия 445
11.6. Оценка числовых характеристик случайных величин по ограниченному числу опытов 451
11.7. Точность и надежность оценок числовых характеристик случайной величины 458
11.8. Оценка вероятности по частоте 462
11.9. Проверка значимости расхождений между двумя средними 467
Приложения 471
Список литературы 477
Основные сокращения 477

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.