Применение бинома ньютона в жизни. Приближенные вычисления с помощью бинома ньютона. Бином Ньютона с использованием треугольника Паскаля

Как найти число по его доле? 5 – это 1/3 часть какого числа? 5. 5. 5.

Картинка 17 из презентации «Нахождение числа по доле» к урокам математики на тему «Доли»

Размеры: 960 х 720 пикселей, формат: jpg. Чтобы бесплатно скачать картинку для урока математики, щёлкните по изображению правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как...». Для показа картинок на уроке Вы также можете бесплатно скачать презентацию «Нахождение числа по доле.ppt» целиком со всеми картинками в zip-архиве. Размер архива - 160 КБ.

Скачать презентацию

Доли

«Урок Доли» - Запомните: Например: ….. Читают: “одна вторая”, “одна двадцать первая”, “одна сто пятая”. Людям часто приходится делить целое на доли. ……А если разделить на пять частей, то “пятерть“, на шесть – “шестерть“ ? Материалы к уроку: Для записи любой доли используют горизонтальную черточку. Урок математики в 5 классе.

«Доли и дроби» - Таких смешных слов в русском языке нет. Все ль внимательно глядят? Обыкновенные дроби. Цели и задачи: Как называются другие доли? Что показывают числитель и знаменатель дроби? Разгадайте ребус и узнаете с чем мы сейчас познакомимся. «Дроби». Числитель дроби Черта дроби (дробная черта) Знаменатель дроби.

«Нахождение числа по доле» - Задачи на нахождение числа. Математика – царица всех наук. Часть умножить на данную долю. Немецкий математик. Найти сумму чисел. Число разделить на данную долю. Подсказка. Как найти число по его доле. Решение задач на нахождение доли числа. Сравни задачи. Памятник Гауссу в Брауншвейге. Дата рождения.

«Доли» - Так как отрезок разделили на 7 долей, то одна доля «одна седьмая отрезка». Решение. Знаменатель дроби показывает на сколько долей делят, а числитель дроби показывает – сколько таких долей взято. Доли. Как разрезать головку сыра на 8 равных долей, сделав только три разреза? Найдите координаты точек. Подумай!

«Задачи на части» - Сколько орехов было у мальчика и девочки в отдельности? Где есть желание, найдется путь» Д. Пойа. Если возможно, решите задачу несколькими способами. Учитель: Белова Светлана Владимировна. Сплав содержит олова в 3 раза больше, чем свинца. Для компота взяли 6 частей яблок, 5 частей груш и 3 части слив.

«Задачи на доли» - 5 класс. Запишите цифрами доли: На соревнованиях команда школы, составленная из учеников 5-11-х классов, должна преодолеть дистанцию в 1 км. 1мм – 1/1000м 1 см – 1/100 м 1 дм – 1/10 м Сколько сантиметров составляет: 1/2 м 1/4 м 1/5 м Образец: 1/10 м =10 см 1/20 м 1/25м? Сколько метров нужно преодолеть каждому ученику?

Всего в теме 13 презентаций

3) Сумма всех биномиальных коэффициентов равна 2 m , т.е.

4) Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, т.е.

4. Примеры и задачи на бином Ньютона.

Задача 1. В разложении коэффициент пятого члена относится к коэффициенту третьего члена, как 7: 2. Найти тот член этого разложения, который содержит х в первой степени.

Решение. Биномиальный коэффициент пятого члена равен , коэффициент третьего члена равен . Тогда, по условию,

отсюда n = 9.

Пусть теперь номер члена, содержащего х в первой степени, равен k + 1. Тогда

По условию, показатель степени х должен быть равен 1. Значит, , отсюда k = 3.

Итак, член, содержащий х в первой степени, есть четвертым членом разложения и равен .

Задача 2. В разложении биномиальный коэффициент третьего члена на 44 больше коэффициента второго. Найти свободный член.

Решение. Коэффициент третьего члена будет , а коэффициент второго - . По условию . Решая уравнение , получаем n = 11 (отрицательное значение отбрасываем). Находим свободный член:

Чтобы x был в нулевой степени, нужно чтобы , т.е. k = 3. Итак, свободный член равен .

Задача 3. Найти все рациональные члены разложения , не выписывая члены иррациональные.

Решение. Напишем общий член разложения данного бинома:

Рациональными члены будут тогда, когда будет целым числом. Выясним, при каких n это выражение будет целым.

Чтобы для n получались целые значения, нужно придавать значения m , кратные пяти, но при этом такие, чтобы число n не выходило из интервала 0 и 20. Такие значения для m будут: -10; -5; 0; 5, а соответствующие числа для n : 20, 14, 8, 2. Искомые члены будут:

Задача 4. Дано многочлен

x (2 - 3 х ) 5 + x 3 (1 + 2 x 2) 7 - х 4 (3 + 2 х 3) 9 .

Найти коэффициент члена, содержащего х 5 , если выполнить указанные действия.

Решение. В разложении х (2 - 3 х ) 5 член, содержащий х 5 , равен xT 4+1 , где - пятый член разложения бинома (2 - 3 х ) 5:

В разложении х 3 (1 + 2 х 2) 7 член, содержащий х 5 , равен x 3 T 1+1 , где T 1+1 - второй член разложения бинома (1 + 2 х 2) 7:

Разложение х 4 (1 + 2 х 3) 9 не содержит х 5 .

Итак, коэффициент члена (данного многочлена), содержащего х 5 , равен 824.

Задача 5. Многочлен х ⁴ - 3 x ³ + x ² + 1 разложить по убывающим степеням х + 1.

Решение. Заменив х на (х + 1) -1, получим

х ⁴ - 3 x ³ + x ² + 1 = [(х + 1) - 1]⁴ - 3[(х + 1) - 1]³ + [(х + 1) - 1]² + 1.

Если теперь раскрыть по формуле бинома Ньютона выражение [(х + 1) - 1] k , где k = 2, 3, 4, рассматривая х + 1 как один член, то после приведения подобных членов получим (х + 1)⁴ - 7(х + 1)³ + 16(х + 1)² - 15(х + 1) + 6.

Задача 6. Сколько рациональных членов содержится в разложении

Решение. Имеем:

Так как для рациональности члена показатели и должны быть целыми числами, то число n должно быть кратно 3 и 2, т.е. кратно 6. Но 0 ≤ n ≤ 100 и числа n , кратные шести, будут 0, 6, 12,..., 96. Подсчитаем число m их, получим: 96 = 0 + 6(m - 1), 6(m - 1) = 96, m - 1 = 16, m = 17.

5. Историческая справка о биноме Ньютона. Разложение выражения (a + b )ⁿ в ряд для целых значений n было известно грекам лишь для случая n = 2. Обобщение для любого целого n было сделано среднеазиатскими математиками Омаром Хайямом и ал-Каши. Ал-Каши пользуется биномом для приближенного вычисления корня любой степени из целого числа; с этой целью он составил таблицу биномиальных коэффициентов.

Эта таблица носит название треугольника Паскаля. В Западной Европе она впервые была опубликована в руководствах по арифметике Апиануса в 1527 г. и Штифеля в 1544 г. В 1556 г. Тарталья также опубликовал таблицу биномиальных коэффициентов, причем объявил ее своим изобретением. В 1631 г. исследованием таблицы занимался Аутред, изобретатель логарифмической линейки; несколько позже, в 1654 г., была опубликована работа Паскаля.

В 1676 г. формулу бинома распространил на отрицательные и дробные показатели И. Ньютон, хотя не дал ее доказательства. Последнее было дано Маклореном для рациональных значений п, Эйлером в 1774 г. для дробных показателей. Наконец, в 1825 г. великий норвежский математик Нильс Гендрик Абель (1802-1829) доказал теорему бинома для любого комплексного числа n .

Рассмотрим следующие выражения со степенями (a + b) n , где a + b есть любой бином, а n - целое число.

Каждое выражение - это полином. Во всех выражениях можно заметить особенности.

1. В каждом выражении на одно слагаемое больше, чем показатель степени n.

2. В каждом слагаемом сумма степеней равна n, т.е. степени, в которую возводится бином.

3. Степени начинаются со степени бинома n и уменьшаются к 0. Последний член не имеет множителя a. Первый член не имеет множителя b, т.е. степени b начинаются с 0 и увеличиваются до n.

4. Коэффициенты начинаются с 1 и увеличиваются на определенные значения до "половины пути", а потом уменьшаются на те же значения обратно к 1.

Давайте рассмотрим коэффициенты подробнее. Предположим, что мы хотим найти значение (a + b) 6 . Согласно особенности, которую мы только что заметили, здесь должно быть 7 членов
a 6 + c 1 a 5 b + c 2 a 4 b 2 + c 3 a 3 b 3 + c 4 a 2 b 4 + c 5 ab 5 + b 6 .
Но как мы можем определить значение каждого коэффициента, c i ? Мы можем сделать это двумя путями. Первый метод включает в себя написание коэффициентов треугольником, как показано ниже. Это известно как Треугольник Паскаля :

Есть много особенностей в треугольнике. Найдите столько, сколько сможете.
Возможно вы нашли путь, как записать следующую строку чисел, используя числа в строке выше. Единицы всегда расположены по сторонам. Каждое оставшееся число это сумма двух чисел, расположенных выше этого числа. Давайте попробуем отыскать значение выражения (a + b) 6 путем добавления следующей строки, используя особенности, которые мы нашли:

Мы видим, что в последней строке

первой и последнее числа 1 ;
второе число равно 1 + 5, или 6 ;
третье число это 5 + 10, или 15 ;
четвертое число это 10 + 10, или 20 ;
пятое число это 10 + 5, или 15 ; и
шестое число это 5 + 1, или 6 .

Таким образом, выражение (a + b) 6 будет равно
(a + b) 6 = 1 a 6 + 6 a 5 b + 15 a 4 b 2 + 20 a 3 b 3 + 15 a 2 b 4 + 6 ab 5 + 1 b 6 .

Для того, чтобы возвести в степень (a + b) 8 , мы дополняем две строки к треугольнику Паскаля:

Тогда
(a + b) 8 = a 8 + 8a 7 b + 28a 6 b 2 + 56a 5 b 3 + 70a 4 b 4 + 56a 3 b 5 + 28a 2 b 6 + 8ab 7 + b 8 .

Мы можем обобщить наши результаты следующим образом.

Бином Ньютона с использованием треугольника Паскаля

Для любого бинома a+ b и любого натурального числа n,
(a + b) n = c 0 a n b 0 + c 1 a n-1 b 1 + c 2 a n-2 b 2 + .... + c n-1 a 1 b n-1 + c n a 0 b n ,
где числа c 0 , c 1 , c 2 ,...., c n-1 , c n взяты с (n + 1) ряда треугольника Паскаля.

Пример 1 Возведите в степень: (u - v) 5 .

Решение У нас есть (a + b) n , где a = u, b = -v, и n = 5. Мы используем 6-й ряд треугольника Паскаля:
1 5 10 10 5 1
Тогда у нас есть
(u - v) 5 = 5 = 1 (u) 5 + 5 (u) 4 (-v) 1 + 10 (u) 3 (-v) 2 + 10 (u) 2 (-v) 3 + 5 (u)(-v) 4 + 1 (-v) 5 = u 5 - 5u 4 v + 10u 3 v 2 - 10u 2 v 3 + 5uv 4 - v 5 .
Обратите внимание, что знаки членов колеблются между + и -. Когда степень -v есть нечетным числом, знак -.

Пример 2 Возведите в степень: (2t + 3/t) 4 .

Решение У нас есть (a + b) n , где a = 2t, b = 3/t, и n = 4. Мы используем 5-й ряд треугольника Паскаля:
1 4 6 4 1
Тогда мы имеем

Разложение бинома используя значения факториала

Предположим, что мы хотим найти значение (a + b) 11 . Недостаток в использовании треугольника Паскаля в том, что мы должны вычислить все предыдущие строки треугольника, чтобы получить необходимый ряд. Следующий метод позволяет избежать этого. Он также позволяет найти определенную строку - скажем, 8-ю строку - без вычисления всех других строк. Этот метод полезен в вычислениях, статистике и он использует биномиальное обозначение коэффициента .
Мы можем сформулировать бином Ньютона следующим образом.

Бином Ньютона с использованием обозначение факториала

Для любого бинома (a + b) и любого натурального числа n,
.

Бином Ньютона может быть доказан методом математической индукции. Она показывает почему называется биноминальным коэффициентом .

Пример 3 Возведите в степень: (x 2 - 2y) 5 .

Решение У нас есть (a + b) n , где a = x 2 , b = -2y, и n = 5. Тогда, используя бином Ньютона, мы имеем

Наконец, (x 2 - 2y) 5 = x 10 - 10x 8 y + 40x 6 y 2 - 80x 4 y 3 + 80x 2 y 4 - 35y 5 .

Пример 4 Возведите в степень: (2/x + 3√x ) 4 .

Решение У нас есть (a + b) n , где a = 2/x, b = 3√x , и n = 4. Тогда, используя бином Ньютона, мы получим

Finally (2/x + 3√x ) 4 = 16/x 4 + 96/x 5/2 + 216/x + 216x 1/2 + 81x 2 .

Нахождение определенного члена

Предположим, что мы хотим определить тот или иной член термин из выражения. Метод, который мы разработали, позволит нам найти этот член без вычисления всех строк треугольника Паскаля или всех предыдущих коэффициентов.

Обратите внимание, что в биноме Ньютона дает нам 1-й член, дает нам 2-й член, дает нам 3-й член и так далее. Это может быть обощено следующим образом.

Нахождение (k + 1) члена

(k + 1) член выражения (a + b) n есть .

Пример 5 Найдите 5-й член в выражении (2x - 5y) 6 .

Решение Во-первых, отмечаем, что 5 = 4 + 1. Тогда k = 4, a = 2x, b = -5y, и n = 6. Тогда 5-й член выражения будет

Пример 6 Найдите 8-й член в выражении (3x - 2) 10 .

Решение Во-первых, отмечаем, что 8 = 7 + 1. Тогда k = 7, a = 3x, b = -2 и n = 10. Тогда 8-й член выражения будет

Общее число подмножеств

Предположим, что множество имеет n объектов. Число подмножеств, содержащих k элементов есть . Общее число подмножеств множества есть число подмножеств с 0 элементами, а также число подмножеств с 1 элементом, а также число подмножеств с 2-мя элементами и так далее. Общее число подмножеств множества с n элементами есть
.
Теперь давайте рассмотрим возведение в степень (1 + 1) n:

.
Так. общее количество подмножеств (1 + 1) n , или 2 n . Мы доказали следующее.

Полное число подмножеств

Полное число подмножеств множества с n элементами равно 2 n .

Пример 7 Сколько подмножеств имеет множество {A, B, C, D, E}?

Решение Множество имеет 5 элементов, тогда число подмножеств равно 2 5 , или 32.

Пример 8 Сеть ресторанов Венди предлагает следующую начинку для гамбургеров:
{кетчуп, горчица, майонез, помидоры, салат, лук, грибы, оливки, сыр }.
Сколько разных видов гамбургеров может предложить Венди, исключая размеры гамбургеров или их количество?

Решение Начинки на каждый гамбургер являются элементами подмножества множества всех возможных начинок, а пустое множество это просто гамбургер. Общее число возможных гамбургеров будет равно

. Таким образом, Венди может предложить 512 различных гамбургеров.

учитель математики МОУ «СОШ №36», г. Ангарск

Бином Ньютона – одна из тем, рассмотрение которых способствует глубинному пониманию учащимися на только комбинаторных понятий, но и формул сокращенного умножения. В данной статье представлен один из вариантов лекции для старшеклассников по теме «Бином Ньютона».

Тема: «Бином Ньютона»

План лекции 1. Понятие бинома Ньютона

2. Свойства бинома и биномиальных коэффициентов

3. Типовые задачи по теме «Бином Ньютона»

4. Задачи, сводящиеся к использованию формулы бинома Ньютона (нестандартные задачи по теме «Бином Ньютона»)

Литература

1. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. : Учеб. пособие. Санкт-Петербург, 1995. – с.84.

2. Супрун задачи повышенной сложности по математике. Мн.: Полымя, 1998. – 108с.

Понятие бинома Ньютона

Биномом Ньютона называют разложение вида:

Но, строго говоря, всю формулу нельзя назвать биномом, так как «бином» переводится как «двучлен». Кроме того, формула разложения была известна еще до Ньютона, Исаак Ньютон распространил это разложение на случай n<0 и n – дробного.

Цель изучения бинома Ньютона – упрощение вычислительных действий.

Компоненты формулы «бином Ньютона»:

ü правая часть формулы – разложение бинома;

ü – биномиальные коэффициенты, их можно получить с помощью треугольника Паскаля (пользуясь операцией сложения).

Практическая значимость треугольника Паскаля заключается в том, что с его помощью можно запросто восстанавливать по памяти не только известные формулы квадратов суммы и разности, но и формулы куба суммы (разности), четвертой степени и выше.

Например, четвертая строчка треугольника как раз наглядно демонстрирует биномиальные коэффициенты для бинома четвертой степени:

Альтернатива треугольнику Паскаля:

1) перемножить почленно четыре скобки:

2) вспомнить разложение бинома Ньютона четвертой степени:

ü общий член разложения бинома n-й степени: ,

где Т – член разложения; – порядковый номер члена разложения.

– 2 –

Свойства бинома и биномиальных коэффициентов

2..gif" width="64" height="25">-й член разложения:

Сумма показателей степеней a и b : https://pandia.ru/text/78/392/images/image013_7.gif" width="92" height="29 src="> (правило симметрии)

5. Сумма биномиальных коэффициентов всех членов разложения равна

Доказательство

Пусть , тогда:

o левая часть равна ;

o правая часть равна

6. Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах и равна

7..gif" width="84 height=45" height="45">

– 3 –

Типовые задачи по теме «Бином Ньютона»

К типовым (стандартным) заданиям по данной теме можно отнести задачи на вычисление, среди которых:

1. Найти член (номер члена) разложения бинома

2. Вывести бином по известным членам разложения (по известной сумме)

3. Вычислить сумму биномиальных коэффициентов разложения бинома

и другие.

Продемонстрируем на примерах (их решение несложное, поэтому большинство предлагаем решить самостоятельно).

Пример 1

Разложить по формуле бином

Решение – самостоятельно

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ на знакочередование!

Пример 2

Найти шестой член разложения

Решение – самостоятельно

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ на знак!

Лучше начинать рассуждения со следующего: https://pandia.ru/text/78/392/images/image029_2.gif" width="95" height="29 src=">

Решение – самостоятельно

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ на то, что эти члены равноотстоят от конца, поэтому их биномиальные коэффициенты будут равны.

НЕ ЗАБУДЬТЕ в процессе решения проводить преобразования степеней с одинаковыми основаниями (то есть упрощать).

Пример 4

В биномиальном разложении найти член разложения, не содержащий х

Так как в разложении мы ищем член не содержащий х , то

– 4 –

Задачи, сводящиеся к использованию формулы бинома Ньютона

(нестандартные задачи по теме «Бином Ньютона»)

К нестандартным заданиям по данной теме можно отнести такие, в которых нет явного намека на необходимость использования бинома. Однако в итоге, решение сводится к нему и выглядит очень интересным.

Пример 5

Доказать, что для любых и для любых верно неравенство Бернулли :