Прикладное значение теоремы о среднем
заключается в возможности получения качественной оценки значения определенного интеграла без его вычисления. Формулируем
: если функция непрерывна на интервале , то внутри этого интервала найдется такая точка , что 
.
Эта формула вполне пригодна для прикидочной оценки интеграла от сложной или громоздкой функции. Единственным моментом, который делает формулу приближенной , является необходимость самостоятельного выбора точки . Если принять наиболее простой путь - середину интервала интегрирования (как предлагается в ряде учебников), то ошибка может быть весьма значительной. Для получения более точного результата рекомендуем провести расчет в следующей последовательности:
Построить график функции на интервале ;
Провести верхнюю границу прямоугольника таким образом, чтобы отсекаемые части графика функции были примерно равны по площади (именно так показано на вышеприведенном рисунке - два криволинейных треугольника практически одинаковы);
Определить из рисунка ;
Воспользоваться теоремой о среднем.
В качестве примера вычислим простой интеграл :
Точное значение ;
Для середины интервала 
получим и приближенное значение , т.е. явно неточный результат;
Построив график с проведением верхней стороны прямоугольника в соответствии с рекомендациями, получим , откуда и приближенное значение . Вполне удовлетворительный результат, погрешность составляет 0,75%.
Формула трапеций
Точность расчетов с помощью теоремы о среднем существенно зависит, как было показано, от визуального назначения по графику точки . Действительно, выбрав, в том же примере, точки или , можно получить другие значения интеграла, причем погрешность может и увеличиться. Субъективные факторы, масштаб графика и качество рисования сильно влияют на результат. Это неприемлемо в ответственных расчетах, поэтому теорема о среднем применяется только для быстрой качественной оценки интеграла.
В этом разделе рассмотрим один из самых популярных способов приближенного интегрирования - формулу трапеций . Основная идея построения этой формулы исходит из того, что кривую можно приближенно заменить ломаной линией, как показано на рисунке.
Примем, для определенности (и в соответствии с рисунком), что интервал интегрирования разбит на равные (это необязательно, но очень удобно) части. Длина каждой из этих частей вычисляется по формуле и называется шагом . Абсциссы точек разбиения, если задано , определятся по формуле , где . По известным абсциссам легко вычислить ординаты . Таким образом,
Это и есть формула трапеций для случая . Отметим, что первое слагаемое в скобках является полусуммой начальной и конечной ординат, к которой прибавляются все промежуточные ординаты. Для произвольного числа разбиений интервала интегрирования общая формула трапеций имеет вид:квадратурных формул : прямоугольников, Симпсона, Гаусса и т.д. Они строятся на той же идее представления криволинейной трапеции элементарными площадями различной формы, поэтому, после освоения формулы трапеций, разобраться в аналогичных формулах не составит особого труда. Многие формулы не так просты, как формула трапеций, но позволяют получить результат высокой точности при малом числе разбиений .
С помощью формулы трапеций (или аналогичных) можно вычислять, с нужной на практике точностью, как "неберущиеся" интегралы, так и интегралы от сложных или громоздких функций.
Ранее мы рассматривали определенный интеграл как разность значений первообразной для подынтегральной функции. При этом предполагалось, что подынтегральная функция имеет первообразную на промежутке интегрирования.
В случае, когда первообразная выражается через элементарные функции, мы можем быть уверенными в ее существовании. Но если такого выражения нет, то вопрос о существовании первообразной остается открытым, и мы не знаем, существует ли соответствующий определенный интеграл.
Геометрические соображения подсказывают, что хотя, например, для функции y=e^{-x^2} нельзя выразить первообразную через элементарные функции, интеграл \textstyle{\int\limits_{a}^{b}e^{-x^2}\,dx} существует и равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, графиком функции y=e^{-x^2} и прямыми x=a,~ x=b (рис. 6). Но при более строгом анализе выясняется, что само понятие площади нуждается в обосновании, а потому нельзя опираться на него, решая вопросы существования первообразной и определенного интеграла.
Докажем, что любая функция, непрерывная на отрезке имеет на этом отрезке первообразную , и, следовательно, для нее существует определенный интеграл по этому отрезку. Для этого нам понадобится иной подход к понятию определенного интеграла, не опирающийся на предположение о существовании первообразной.
Установим сначала некоторые свойства определенного интеграла , понимаемого как разность значений первообразной.
Оценки определенных интегралов
Теорема 1. Пусть функции y=f(x) ограничена на отрезке , а m=\min_{x\in}f(x) и M=\max_{x\in}f(x) , соответственно, наименьшее и наибольшее значения функции y=f(x) на , причем на этом отрезке функция y=f(x) имеет первообразную. Тогда
m(b-a)\leqslant \int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx\leqslant M(b-a).
Доказательство. Пусть F(x) - одна из первообразных для функции y=f(x) на отрезке . Тогда
\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx=\Bigl.{F(x)}\Bigr|_{a}^{b}=F(b)-F(a).
По теореме Лагранжа F(b)-F(a)=F"(c)(b-a)
, где a
По условию для всех значений x из отрезка выполняется неравенство m\leqslant f(x)\leqslant M , поэтому m\leqslant f(c)\leqslant M и, следовательно,
m(b-a)\leqslant f(c)(b-a)\leqslant M(b-a) , то есть m(b-a)\leqslant \int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx\leqslant M(b-a) ,
что и требовалось доказать.
Двойное неравенство (1) дает лишь весьма грубую оценку для значения определенного интеграла. Например, на отрезке значения функции y=x^2 заключены между 1 и 25, а потому имеют место неравенства
4=1\cdot(5-1)\leqslant \int\limits_{1}^{5}x^2\,dx\leqslant 25\cdot(5-1)=100.
Чтобы получить более точную оценку, разбивают отрезок
на несколько частей точками a=x_0
m_k\cdot\Delta x_k\leqslant \int\limits_{x_k}^{x_{k+1}} f(x)\,dx\leqslant M_k\cdot \Delta x_k\,
где через \Delta x_k обозначена разность (x_{k+1}-x_k) , т. е. длина отрезка . Записывая эти неравенства для всех значений k от 0 до n-1 и складывая их, получим:
\sum_{k=0}^{n-1}(m_k\cdot\Delta x_k) \leqslant \sum_{k=0}^{n-1} \int\limits_{x_k}^{x_{k+1}}f(x)\,dx\leqslant \sum_{k=0}^{n-1} (M_k\cdot \Delta x_k),
Но по аддитивному свойству определенного интеграла сумма интегралов по всем частям отрезка равна интегралу по этому отрезку, т. е.
\sum_{k=0}^{n-1} \int\limits_{x_k}^{x_{k+1}}f(x)\,dx= \int\limits_a}^{b}f(x)\,dx\,.
Значит,
\sum_{k=0}^{n-1}(m_k\cdot\Delta x_k) \leqslant \sum_{k=0}^{n-1} \int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx\leqslant \sum_{k=0}^{n-1} (M_k\cdot \Delta x_k)
Например, если разбить отрезок на 10 равных частей, каждая из которых имеет длину 0,4, то на частичном отрезке выполняется неравенство
(1+0,\!4k)^2\leqslant x^2\leqslant \bigl(1+0,\!4(k+1)\bigr)^2
Поэтому имеем:
0,\!4\sum_{k=0}^{9}(1+0,\!4k)^2\leqslant \int\limits_{1}^{5}x^2\,dx\leqslant 0,\!4\sum_{k=0}^{9}\bigl(1+0,\!4(k+1)\bigr)^2.
Вычисляя, получаем: 36,\!64\leqslant \int\limits_{1}^{5} x^2\,dx\leqslant 46,\!24 . Эта оценка гораздо точнее полученной ранее 4\leqslant \int\limits_{1}^{5}x^2\,dx\leqslant100 .
Чтобы получить еще более точную оценку интеграла, надо разбить отрезок не на 10, а, скажем, на 100 или 1000 частей и сосчитать соответствующие суммы. Разумеется, данный интеграл проще вычислить с помощью первообразной:
\int\limits_{1}^{5}x^2\,dx= \left.{\frac{x^3}{3}}\right|_{1}^{5}= \frac{1}{3}(125-1)= \frac{124}{3}\,.
Но если выражение для первообразной нам неизвестно, то неравенства (2) дают возможность оценить значение интеграла снизу и сверху.
Определенный интеграл как разделяющее число
Числа m_k и M_k , входящие в неравенство (2), могли выбираться произвольно, лишь бы на каждом из отрезков выполнялось неравенство m_k\leqslant f(x)\leqslant M_k . Наиболее точная оценка интеграла при данном разбиении отрезка получится, если взять M_k наименьшим, а m_k наибольшим из всех возможных значений. Это значит, что в качестве m_k надо взять точную нижнюю границу значений функции y=f(x) на отрезке , а в качестве M_k - точную верхнюю границу этих значений на том же отрезке:
m_k=\inf_{x\in}f(x),\qquad M_k=\sup_{x\in}f(x).
Если y=f(x) - ограниченная функция на отрезке , то она ограничена и на каждом из отрезков , а потому для нее определены по равенствам (3) числа m_k и M_k,~ 0\leqslant k\leqslant n-1 . При таком выборе чисел m_k и M_k суммы \textstyle{\sum\limits_{k=0}^{n-1}m_k\Delta x_k} и \textstyle{\sum\limits_{k=0}^{n-1}M_k\Delta x_k} называют, соответственно, нижней и верхней интегральными суммами Дарбу для функции y=-f(x) при данном разбиении P:
a=x_0 отрезка
. Будем обозначать эти суммы соответственно s_{fP}
и S_{fP}
, а если функция y=f(x)
фиксирована, то просто s_P
и S_P
. Неравенство (2) означает, что если ограниченная на отрезке
функция y=f(x)
имеет на этом отрезке первообразную, то определенный интеграл разделяет числовые множества \{s_p\}
и \{S_P\}
, состоящие соответственно из всех нижних и верхних сумм Дарбу для всевозможных разбиений P
отрезка
. Вообще говоря, может случиться, что число, разделяющее эти два множества, не единственно. Но ниже мы увидим, что для наиболее важных классов функций (в частности, для непрерывных функций) оно единственно. Это позволяет ввести новое определение для \textstyle{\int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx}
, не опирающееся на понятие первообразной, а использующее лишь суммы Дарбу. Определение.
Функция y=f(x)
, ограниченная на отрезке
, называется интегрируемой на этом отрезке, если существует единственное число \ell
, разделяющее множества нижних и верхних сумм Дарбу, образованных для всевозможных разбиений отрезка
. Если функция y=f(x)
интегрируема на отрезке
, то единственное число, разделяющее эти множества, называют определенным интегралом этой функции по отрезку
и означают . Мы определили интеграл \textstyle{\int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx}
для случая, когда ab
, то положим \int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx= -\int\limits_{b}^{a}f(x)\,dx\,.
Это определение естественно, так как при изменении направления промежутка интегрирования все разности \Delta x_k=x_{k+1}-x_k
меняют знак, а тогда меняют знаки и суммы Дарбу и, тем самым, разделяющее их число, т.е. интеграл. Так как при a=b
все \Delta x_k
обращаются в нуль, то положим \int\limits_{b}^{a}f(x)\,dx=0.
Мы получили два определения понятия определенного интеграла: как разности значений первообразной и как разделяющего числа для сумм Дарбу. Эти определения в наиболее важных случаях приводят к одному и тому же результату: Теорема 2.
Если функция y=f(x)
ограничена на отрезке
и имеет на нем первообразную y=F(x)
, причем существует единственное число, разделяющее нижние и верхние суммы Дарбу, то это число равно F(b)-F(a)
.
Доказательство.
Мы доказали выше, что число F(a)-F(b)
разделяет множества \{s_P\}
и \{S_P\}
. Так как по условию разделяющее число однозначно определено, то оно совпадает с F(b)-F(a)
. Начиная с этого момента мы будем применять обозначение \textstyle{\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx}
лишь для единственного числа, разделяющего множества \{s_P\}
и \{S_P\}
. Из доказанной теоремы следует, что при этом не возникает противоречия с тем пониманием этого обозначения, которым мы пользовались выше. Для того чтобы данное ранее определение интеграла имело смысл, надо доказать, что множество верхних сумм Дарбу действительно расположено справа от множества нижних сумм Дарбу. Лемма 1.
Для каждого разбиения P
соответствующая нижняя сумма Дарбу не превосходит верхней суммы Дарбу, s_P\leqslant S_P
.
Доказательство.
Рассмотрим некоторое разбиение P
отрезка
: a=x_0 Очевидно, что для любого k
и для любого выбранного разбиения P
выполняется неравенство s_P\leqslant S_P
. Следовательно, m_k\cdot\Delta x_k\leqslant M_k\cdot\Delta x_k
, и потому s_P= \sum_{k=0}^{n-1}(m_k\cdot\Delta x_k)\leqslant \sum_{k=0}^{n-1}(M_k\cdot\Delta x_k)=S_P.
Неравенство (4) справедливо лишь для фиксированного разбиения P
. Поэтому пока еще нельзя утверждать, что нижняя сумма Дарбу одного разбиения не может превзойти верхнюю сумму Дарбу другого разбиения. Для доказательства этого утверждения нам понадобится следующая лемма: Лемма 2.
От добавления новой точки деления нижняя сумма Дарбу не может уменьшиться, а верхняя сумма не может увеличиться.
Доказательство.
Выберем некоторое разбиение P
отрезка
и добавим к нему новую точку деления {x^{\ast}}
. Обозначим новое разбиение P^{\ast}
. Разбиение P^{\ast}
является измельчением разбиения P
, т.е. каждая точка разбиения P
является, одновременно и точкой разбиения P^{\ast}
. Пусть точка {x^{\ast}}
попала на отрезок \colon\, x_k Слагаемому m_k(x_{k+1}-m_{k})
первоначальной нижней суммы Дарбу в новой нижней сумме Дарбу соответствуют два слагаемых: m_{k}^{\ast}(x^{\ast}-x_k)+ m_{k}^{\ast\ast}(x_{k+1}-x^{\ast}).
При этом m_k\leqslant m_{k}^{\ast}
и m_k\leqslant m_{k}^{\ast\ast}
, так как m_k
- точная нижняя граница значений функции f(x)
на всем отрезке
, а m_{k}^{\ast}
и m_{k}^{\ast\ast}
лишь на его частях
и
соответственно. Оценим снизу сумму полученных слагаемых: \begin{aligned} m_{k}^{\ast}\bigl(x^{\ast}-x_{k}\bigr)+ m_{k}^{\ast\ast}\bigl(x_{k+1}-x^{\ast}\bigr) \geqslant & \,\,m_k \bigl(x^{\ast}-x_k)+m_k(x_{k+1}-x^{\ast}\bigr)=\\ &=m_k\bigl(x^{\ast}-x_k+x_{k+1}-x^{\ast}\bigr)=\\ &=m_k\bigl(x_{k+1}-x_k\bigr).\end{aligned}
Так как остальные слагаемые и в старой и в новой нижних суммах Дарбу остались неизменными, то нижняя сумма Дарбу от добавления новой точки деления не уменьшилась, s_P\leqslant S_P
. Доказанное утверждение остается справедливым и при добавлении любого конечного числа точек к разбиению P
. Аналогично доказывается утверждение о верхней сумме Дарбу: S_{P^{\ast}}\leqslant S_{P}
. Перейдем к сравнению сумм Дарбу для любых двух разбиений. Лемма 3.
Ни одна нижняя сумма Дарбу не превосходит любой верхней суммы Дарбу (хотя бы отвечающей другому разбиению отрезка
).
Доказательство.
Рассмотрим два произвольных разбиения P_1
и P_2
отрезка
и образуем третье разбиение P_3
, состоящее из всех точек разбиений P_1
и P_2
. Таким образом, разбиение P_3
является измельчением как разбиения P_1
, так и разбиения P_2
(рис. 7). Обозначим нижние и верхние суммы Дарбу для этих разбиений соответственно s_1,~S_1.~s_2,~S_2
и докажем, что s_1\leqslant S_2
. Так как P_3
- измельчение разбиения P_1
, то s_1\leqslant s_3
. Далее, s_3\leqslant S_3
, поскольку суммы s_3
и S_3
соответствуют одному и тому же разбиению. Наконец, S_3\leqslant S_2
, так как P_3
является измельчением разбиения P_2
. Таким образом, s_1\leqslant s_3\leqslant S_3\leqslant S_2
, т.е. s_1\leqslant S_2
, что и требовалось доказать. Из леммы 3 следует, что числовое множество X=\{s_P\}
нижних сумм Дарбу лежит левее числового множества Y=\{S_P\}
верхних сумм Дарбу.
В силу теоремы о существовании разделяющего числа для двух числовых множеств1, найдется хотя бы одно число /, разделяющее множества X
и Y
, т.е. такое, что для любого разбиения отрезка
выполняется двойное неравенство: s_P= \sum_{k=0}^{n-1}\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr) \leqslant I\leqslant \sum_{k=0}^{n-1}\bigl(M_k\cdot\Delta x_k\bigr)=S_P.
Если это число единственно, то \textstyle{I= \int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx}
. Приведем пример, показывающий, что такое число I
, вообще говоря, не является однозначно определенным. Напомним, что функцией Дирихле называют функцию y=D(x)
на отрезке
, определяемую равенствами: D(x)= \begin{cases}0,& \text{if}~~ x~~\text{is irrational number};\\1,& \text{if}~~ x~~ \text{is rational number}.\end{cases}
Какой бы отрезок
мы ни взяли, на нем найдутся и рациональные, и иррациональные точки, т.е. и точки, где D(x)=0
, и точки, где D(x)=1
. Поэтому для любого разбиения отрезка
все значения m_k
равны нулю, а все значения M_k
равны единице. Но тогда все нижние суммы Дарбу \textstyle{\sum\limits_{k=0}^{n-1}\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr)}
равны нулю, а все верхние суммы Дарбу \textstyle{\sum\limits_{k=0}^{n-1}\bigl(M_k\cdot\Delta x_k\bigr)}
равны единице, Правописание производных предлогов.
Прежде чем выполнять предложения, вспомните правило:
Предлоги
из-за, из-под, по-над
и подобные пишутся через
дефис:
достать учебник из-под подушки, выпрыгнуть из-за угла.
Не
в предлогах
несмотря на, невзирая на
пишется слитно.
Различайте!
Не смотря (дееприч. с отрицательной частицей не (не глядя)) вниз, ввиду, вместо, вроде, вследствие, навстречу, Их следует отличать от одинаково звучащих существительных с предлогами. Обычно предлог легко можно заменить без изменения смысла вследствие – из-за; навстречу – к; ввиду – из-за; Выйти из строя вследствие (предлог (по причине, из-за)) перегрева. Отменить поездку ввиду (предлог (по причине, из-за)) надвигающейся грозы. Предлоги
вследствие, наподобие, в течение, в продолжение, Предлоги
в сравнении с, на протяжении, по прибытии, Сочетания с предлогами
по прибытии, по окончании всегда
имеют значение после чего-либо. Сочетания с предлогами
в течение, в продолжение, в заключение всегда
имеют значение времени. Не спать в течение суток.
Поворот в течении (сущ.) реки, Упражнение 1. Списать, вставить пропущенные буквы (н-нн с разными частями речи
). Обращайте внимание на написание производных предлогов (выделенные слова являются производными предлогами
)
В виде бронирова_ого жилета, в течение
рискова_ого путешествия, в продолжении рифмова_ой повести, вроде
шнурова_ого ботинка, вместо
газирова_ой воды, наподобие
кова_ого сундука, застрахова_ый впоследствии, в связи с
костюмирова_ым балом, в заключение
заинтересова_ого разговора, вследствие
взволнова_ости, ввиду
загазова_ости, иметь в виду шифрова_ую запись, насчёт
лакирова_ых сапог, несмотря
на
запланирова_ую встречу. Упражнение 2. Списать, вставляя пропущенные буквы (н-нн с разными частями речи, правописание производных предлогов
)
На_счёт жела_ого подарка, в_течени_ письме_ого экзамена, в_роде кова_ого железа, в_ продолжени_ камее_ого века, наподоби_ тонирова_ого стекла, в_заключени_ напряже_ой подготовки, не_смотря на це_ые сведения, в_виду измене_ого расписания, в_виде краше_ого столба, вместо торжестве_ой встречи, в_следстви_ неравноце_ого обмена, в_последстви_ удивле_о спрашивал, в_связи с неожида_ым приказом, иметь в_виду упроще_ый вариант. Упражнение 3.Списать, раскрывая скобки. Определи, к какой части речи относится слово!
Сговорившись (на) счёт завтрашнего дня, они распростились. 2) (В)место меня на семинар отправился мой коллега. 3) (В)последстви.. я узнал, что не только наводнение
являлось причиной нашей задержки. 4) (У) многих русских рек, (на)подобие Волги,
один берег горный, другой луговой. 5) Он частенько отправлялся (в) место,
чрезвычайно опасное.) 6) Занятия отменили (в)виду плохой погоды.7) Мы шли
(на)встречу с одноклассниками.8) Чтобы вовремя приехать
(на)встречу, мы вышли
пораньше. Когда
(на)встречу гостям вышел старик, я сразу узнал его.9)
(В)продолжени_
дня отец несколько раз вспоминал свою жизнь.
10)(В)следстви_ аварии лифт не работал
(в)течение недели..11)
(В)начале урока мы
читали текст. 12)Мы идём в поход
(в)месте с родителями.
13) (В)месте падения
метеорита образовался кратер.
14) (В)течени_ реки наблюдалось какое-то тревожное
спокойствие.
Упражнение 4. Почитайте текст. Определите его тему. Отразите тему в заголовке. Спишите текст, вставляя пропущенные буквы и раскрывая скобки.
(В) связи (с) открытием Всемирной парижской выставки инженер Александр Гюстав Эйфель придумал башню (в) виде грандиозной ажурной конструкции. (Не) взирая на
возмущения некоторых деятелей культуры, он стремился продемонстрировать
достижения современной науки и техники и достойно представить свою страну.
Известный писатель Мопассан высмеивал Эйфелеву башню, заявляя, что она
выглядит (на) подоби… «
длиннющей и худющей пирамиды
». Но при этом интересно
отметить, что Эйфелева башня побила рекорд высоты, который (в) течении… сорока с
лишним веков держала пирамида Хеопса. Следует заметить, что Эйфелева башня из
экспоната Всемирной выставки быстро превратилась в уникальный научный центр (в)
виду того, что на её вершине были установлены многочисленные исследовательские
приборы и передающие устройства. Кроме того, (в) следстви... своей необычности,
башня стала одним из посещаемых мест. Тысячи туристов из разных стран уносят её
макеты с собой (в) виде маленьких сувениров.
Тестовые задания.
Тест №1
Протекали над книгой Глубинной А.Блок 1. Один. 2. Два. 3.Три. 4. Четыре. 2.
Каким членом предложения является предлог?
3. Определите значения, передаче которых способствуют предлоги
.
1. Из-за шторы, около сада, под елью. 4.Укажите непроизводные предлоги
.
1.В, на, над, от, под, с. 5.Какой частью речи является выделенное слово в предложении?
Иду по тропинке в поле вдоль
серых сложенных брёвен. 1.Вдоль – наречие, выполняющее в предложении самостоятельную роль обстоятельства. 6.Проанализируйте написание производных предлогов
.
1.(На)счёт, (в)место, (на)подобие. А.Слитное написание. Б.Раздельное написание.
8.С какими падежными формами употреблены предлоги?
1.Солнце клонилось к закату (Ф.Сологуб). А.Родительный падеж. Б.Дательный падеж. В.Винительный падеж. Г.Творительный падеж. Д.Предложный падеж. 9.В каком предложении предлог в использован с предложным падежом?
1. И мы разглядели тогда в облаках златотканых, в зазубринах дикой расселины, в дыме густом такую картину… (П. Антокольский). Тест № 2
1 На месте пропусков пишется и
а) идти в течени... дня; б) вследстви… невнимания; в) в течени… реки пороги; г) занимался в продолжени… года. 2.
На месте пропусков пишется е
а) эти герои действуют в продолжени… романа; б) трудно отыскать ошибку в следстви…; в) вспомнил об этом впоследстви…; г) смотрел на него в течени… минуты. 3.
Пишется слитно
а) (в)течение получаса; б) (в)продолжение дня; в) (в)следствие засухи; г) (в)следствии допущена ошибка; 4
.
Пишется слитно
а) обнаружить (в)последствии недочет; б) включить (в)следствие; в) иметь это (в)виду; г) (в)течение многих лет. 5
.
Пишется раздельно
а) говорить (на)счет похода; б) (в)виду недостатка времени; в) узнал (в)последствии; г) (в)виде бабочки. 6.
Пишется раздельно
а) (в)следствие непогоды; б) (в)виду болезни; в) что-то (в)роде дневника; г) согласуй (в)роде. Цель урока: познакомить учащихся с условиями слитного и раздельного
написания производных предлогов в течение, в продолжение, в следствие и с
наречием впоследствии. Методы обучения:
Репродуктивный (для формирования ЗУН
. Знать правила слитного и
раздельного написания предлогов, образованных от существительных. Наглядный – для развития наблюдательности, повышения внимания к
изучаемому вопросу. Практический – для развития практических умений и навыков. Основной метод работы – анализ языкового материала по теме “Слитное и
раздельное написание производных предлогов”. Организационный момент:
“Минутка приятных воспоминаний”. (Предлагаю
вам, ребята, закрыть глаза, вспомнить о чем-то очень хорошем и улыбнуться.) Вступительное слово учителя.
Каждый из нас, улыбнувшись, вызвал в себе добрые чувства, передал частичку
своей доброй энергии окружающим и тем самым сделал этот мир чуточку добрее. Да и
в любом деле главное – доброе начало. Откройте тетрадки, запишите число, кл/работа. Прочтите предложения, вставьте буквы и объясните, почему одни и те же
существительные имеют разные окончания? (Предл. пад.) В течении некоторых рек бывают опасные места: камни, мели, водовороты. Чтобы
благополучно провести через них лодку, рулевой должен внимательно вглядываться в
течение. (Вин. пад.) (Существительные стоят в предложном и в винительном падеже.) Предлагаю вам превратиться на время в ученых и попробовать, внимательно
рассмотрев выделенные слова, сопоставив их, сказать, что общего между ними и в
чем разница. В течение, в продолжение, в следствие любят превращаться в предлоги. Поэтому внимание! Перед нами существительные-перебежчики! Когда эти
существительные переходят в предлоги, то такие предлоги как мы называем?
(Производными.) Как бы вы сформулировали тему нашего урока? Запишите тему урока: “Слитное и раздельное написание производных предлогов”. Как вы думаете, что нам необходимо сегодня сделать, чтобы изучить эту тему? Вспомните, что такое предлог? Какие бывают предлоги? Какие предлоги мы называем производными? А как нам отличить существительные в течение, в продолжение от производных
предлогов? Прежде всего, по смыслу. Предлоги в течение и в продолжение
обозначают
отрезок времени и никакого отношения к течению реки и продолжению книги не
имеют. Существительные могут менять свое окончание, предлоги, как служебные части
речи, неизменяемы, они всегда оканчиваются на е. Предлоги в течение, в
продолжение – синонимы, их можно заменять друг другом, они имеют временное
значение. Теперь потренируемся. А предлог вследствие
– синоним предлога из-за
и не имеет
никакого отношения к судебному следствию. Предлог обязательно включается в падежный вопрос. Между существительным и предлогом можно поставить вопрос или вставить
прилагательное. Существительные могут менять свое окончание, предлоги, как служебные части
речи, неизменяемы. Предлог вследствие оканчивается на е, пишется слитно. Теперь потренируемся. – Перепишите предложения, раскрывая скобки и дописывая пропущенные окончания. (В)следстви… вкралась ошибка, (в)следстви… которой (в)последстви… под
подозрение оказался невиновный человек. Итак, запомните правописание этих предлогов: в течение, в продолжение,
вследствие
. “А я к этому не имею никакого отношения, – заявило наречие впоследствии,–
пишите меня только так: впоследствии
”. Запомни: наречие впоследствии
обозначает время. Познакомились
(когда?) впоследствии
. Помогите наборщику! Он рассыпал слова в предложении. Собирая рассыпанные
слова в предложения, раскрывайте скобки и вставляйте пропущенные буквы. Работа в парах. (1 предложение выполняем все вместе.) I. Я вижу, что вы немного устали, сядьте поудобнее,
закройте глазки, откройте, посмотрите вверх, вправо, влево, закройте, откройте,
посмотрите на экран. Что вы видите на экране?
II. Отдохнули немного, а теперь поиграем в
корректора. Игра “Корректор”. Помните, есть такая профессия – корректор. Корректор работает там, где
создается печатный текст, газеты, журналы, книги. Его задача – всюду вылавливать
ошибки. Такая работа требует грамотности и внимания. Попробуйте поработать
корректорами. 1) В течении
нескольких дней шли проливные дожди. (в течение.) 2) В следствие частых и непродолжительных дождей в лесу появилось
много грибов. (Вследствие.) 3) В продолжении
ночи гроза несколько раз уходила в море и
снова возвращалась. (В продолжение.) 4) В течение
сибирских рек встречаются пороги. (В течении –
сущ., предлож. пад.) Итоговое задание тест “Проверь себя”. Затем взаимопроверка по предлагаемому ответу к тесту. 1-В, 2-Г, 3-В, 4-А. Поставьте оценку: 0 ошибок – “5”, 1 ошибка – “4”, 2 ошибки – “3”. Поднимите руки, у кого – 5, 4, 3? Подведение итогов: Домашнее задание на выбор: 1-й вариант – списать предложения, раскрывая скобки, вставляя
пропущенные буквы
: 1. (В) течени… многих тысячелетий меняется форма земной поверхности, и там,
где раньше шумело море, (в)последстви… могла образоваться суша. 2. (В)продолжени…
книги мы встречаемся со знакомыми героями. 3. Повторять изученное надо (в)продолжени…
всего учебного года. 4. (В)следстви… малого падения Волга имеет медленное
течение. 5. (В)следстви… по делу о расхищении обнаружены ошибки. 6. В своем
течени… река Тьмака делает значительные изгибы. 2-й вариант – составить предложения, употребив слова в течение – в
течении, вследствие – в следствии, в продолжение – в продолжении, впоследствии. 3-й вариант
– творческое задание: написать эссе: Вставьте пропущенные буквы в предложения и определите слитное или раздельное
написание, объяснив свой выбор. (В)течени… целого месяца они не разговаривали друг с другом. – (В)течени…
реки много поворотов. В первом предложении в течение
– производный предлог с временным
значением, поэтому на конце я пишу е. Во втором предложении слово течение
является существительным,
которое употреблено в форме предложного падежа. Поэтому на конце я пишу и.
Напишите эссе по образцу на темы, данные ниже. Какие буквы надо вставить в
данные блоки предложений? Аргументируйте свой ответ. Литература: Мы продолжаем исследовать уровни языковой системы, опираясь на
. В этом занятии речь пойдет о правописании предлогов.
Занятие 16.
Правописание через дефис парных предлогов из-за, из-под, по-над, по-за;
слитно предлогов вследствие, ввиду, вроде, наподобие, насчёт;
в несколько частей составных предлогов в течение, в продолжение, в заключение, в отсутствие, в отличие от, в преддверии, во избежание, несмотря на, невзирая на
I.
Непроизводные парные предлоги из-за, из-под, по-над, по-за
пишутся через дефис, например: (показаться) из-за гор, (вылезти) из-под земли, (лететь) по-над берегом, (жить) по-за речкой.
Задание.
Найдите в предложении зависимое от глагола существительное, к которому относится предлог из-под, и определите его падеж. Вскоре из-под самой любимой, выращенной специально для мамы Машиной ёлочки показался чёрный блестящий нос ёжика.
II.
Слитно пишутся производные предлоги 1) вследствие,
2) ввиду, вроде, наподобие, насчёт.
1. Предлог вследствие
имеет причинное значение (его можно заменить предлогом из-за
) и пишется на конце с гласной Е. Этот предлог нужно отличать от наречия впоследствии
и существительного с предлогом в следствии
. Наречие впоследствии
пишется с гласной И на конце, это наречие в предложении можно заменить наречием затем, сравните:
1) (предлог) Вследствие
(из-за) непредвиденных обстоятельств поезд опоздал.
(опоздал вследствие чего?, из-за чего? вследствие обстоятельств) Существительное в творительном падеже с простым предлогом в следствии
имеет лексическое значение "в расследовании": Ошибка допущена
(где?, в чём?) в следствии
по делу.
2. Производные предлоги ввиду, вроде, наподобие, насчёт
в предложении нужно отличать от омонимичных существительных с непроизводными предлогами. Для этого необходимо выявлять словосочетания, где зависимым словом выступает существительное с производным предлогом, и помнить про замену частей речи синонимичными или аналогичными. Существительные с непроизводными предлогами выступают в предложении в своём прямом лексическом значении. Сравните парные предложения: 1) - Предлог (не прилетел
ввиду чего? ввиду непогоды; из-за непогоды
). Что ты имеешь в виду?
- Выражение иметь в виду
означает иметь в мыслях.
Задание.
Какое из предложений с синонимичными предлогами соответствует разговорной речи? III.
В несколько частей пишутся составные предлоги в течение, в продолжение, в заключение, в отсутствие, в отличие от, в преддверии, во избежание, несмотря на, невзирая на.
1. У синонимичных предлогов в течение, в продолжение
на конце пишется гласная Е. Эти предлоги всегда имеют значение времени и в словосочетании вместе с существительным отвечают на вопрос как долго?,
например: В течение (в продолжение) недели Боря готовился к экзаменам.
(готовился
в течение чего?, как долго? в течение, в продолжение недели)
Эти предлоги нужно отличать от существительных в предложном падеже с непроизводным предлогом в течении, в продолжении, которые употребляются в предложении в своём прямом лексическом значении, например: 1) В течении реки в последнее время произошли какие-то изменения.
(произошли где?, в чём? в течении
чего? реки
) 2. Предлог в заключение
имеет значение "в конце чего-либо" и пишется с гласной Е. Существительное с предлогом в заключении
имеет лексическое значение "в тюрьме" или "в заключительной части текста", предложный падеж и окончание -и
, сравните: 1) В заключение (в конце)
выступления автор коснулся волнующей всех проблемы.
- Предлог (коснулся
в заключение чего? в заключение выступления
) 3. Предлог в отсутствие
пишется на конце с гласной Е. Этот предлог можно заменить предлогом без, например: В отсутствие (без) матери дома сохранялся порядок. (сохранялся
в отсутствие кого?, без кого? в отсутствие матери)
Омонимичное существительное с предлогом в отсутствии имеет значение "отсутствовать" (Иван Иванович в отсутствии),
относится к устаревшим и в современной речи не употребляется. 4. Предлог в отличие от
В отличие от сестры брат был очень непоседлив. (был непоседлив
в отличие от кого? в отличие от сестры)
Омонимичное существительное с предлогом в прямом лексическом значении употребляется сегодня только в грамматической форме с отличием (окончить школу с отличием).
5. Предлог в преддверии
пишется с гласной И, например: В преддверии грядущего праздника была объявлена репетиция оркестра. (была объявлена
в преддверии чего? в преддверии праздника)
Задание.
Объясните исходя из значения предлога написание двух букв Д. 6. Предлог во избежание
пишется с гласной Е, например: Останься сегодня дома во избежание неприятностей. (останься
во избежание чего? во избежание неприятностей)
Омонимичное существительное с предлогом относится к устаревшим и самостоятельно не употребляется. 7. Предлоги несмотря на, невзирая на
образовались от деепричастий. При написании этих предлогов нужно учитывать следующее: 1) предложно-падежные сочетания существительных с предлогами несмотря на, невзирая на
имеют значение противопоставления, их можно заменить сочетаниями с союзом хотя,
а деепричастия смотря
и взирая
употребляются в своём лексическом значении "смотреть глазами"; Задание.
В каком предложении оба выделенных слова пишутся слитно?Свойства нижних и верхних сумм Дарбу
что и требовалось доказать.
Несмотря на (предлог) порядочный возраст (вопреки возрасту),
он сохранил удивительную свежесть лица.
он осторожно прошёл по краю обрыва.
Пишутся слитно предлоги:
наподобие, насчёт, вслед, внутри, поверх, сверх.
синонимичным ему непроизводным предлогом:
наподобие – вроде; насчёт – о, об; вслед – за и т.д.
Не вмешиваться в следствие (сущ. с предлогом (в ход следствия)).
Иметь в виду (сущ. с предл.);
держаться в виду (сущ. (близко от берега)) берега.
Пишутся раздельно предлоги:
в виде, в течение, в продолжение, в заключение,
в завершение, в отличие от, в сравнении с,
в связи с, по окончании, по прибытии.
в отличие от, в заключение, в завершение
имеют на конце
-е.
по окончании
–
-и.
(пишем на конце е, если предлог отвечает на вопрос как долго?)
вмешаться в спокойное течение (сущ.) событий.
1.
Сколько предлогов в стихотворном отрывке?
Синие ночи царицы.
А к царевне с вышки голубиной
Прилетали белые птицы.
2.В течение дня, перед рассветом, через минуту.
3.Простудился от переохлаждения, вследствие дождей.
4.Жить ради детей, сообщить для информации, работать на благо ближнего.
2.Благодаря, в течение, несмотря на, согласно.
(А.Ахматова.)
2.Вдоль – предлог, производный от наречия, так как употреблён с существительным «брёвен» и потерял самостоятельность как синтаксическую, так и лексическую.
2(В)целях, (по)причине, (в)продолжение.
2. Отец сидит, упираясь ладонями в колени… (А.Перегудов).
3.Сердце замерло, - и застучало от боли быстро и сильно (Ф.Сологуб).
4.Мама ещё на сенокосе, скоро придёт…(В.Белов).
5.С холодами перелёты птиц уменьшились (А.Яковлев).
2. В лицо веял лёгкий морозный ветерок (Ф.Сологуб).
3. В гостиной слышались весёлые голоса и смех. (Ф.Сологуб).
– научиться разграничивать производные предлоги и омонимичные части
речи;
– научить правильно писать производные предлоги;
– устно рассуждать и письменно объяснять условия выбора слитного и
раздельного написания предлогов, образованных от существительных;
– обнаруживать по опознавательным признакам места применения правил.
Уметь
отличать производные предлоги от омонимичных частей речи.
Формировать навык
правильного употребления производных предлогов в
речи).
Где воды были глубоки,
(В)течени… недели
Образовались мели.
Пройдет рассказ о дальних странах,
Где (в)продолжени… трех лет
Скитался сосланный поэт.
А. идти в течени… дня
Б. вследстви… невнимания
В. в течени… реки пороги
Г. занимался в продолжени… года
А. эти герои действуют в продолжени… романа
Б. трудно отыскать ошибку в следстви…
В. вспомнили об этом впоследстви…
Г. смотрел на него в течени… минуты
А. (в) течение получаса
Б. (в) продолжение дня
В. (в)следствие засухи
Г. (в)следствии допущена ошибка
А. обнаружить (в)последствии недочет
Б. включить (в)следствие
В. (в)течение многих лет
Г. (в)продолжении романа
Чтобы правильно писать производные предлоги, нужно уметь их отличать от омонимичных самостоятельных частей речи (см. предыдущее занятие).
2) (наречие) Впоследствии
(потом, затем) влюблённые жили счастливо.
(жили когда? впоследствии, потом, затем)
2) Реки наподобие Волги имеют сильное течение.
- Предлог (реки
какие?, наподобие чего? наподобие Волги, подобно Волге
). Скульптура похожа
(на что?) на подобие животного.
3) Мой брат вроде меня.
- Предлог (брат
вроде кого? вроде меня, подобно мне
) (Есть ещё сложная частица вроде,
выражающая сомнение.) Это прилагательное согласуется с существительным в роде.
- Существительное с предлогом (согласуется
в чём? в роде
)
4) Разговоры шли насчёт экономической обстановки.
- Предлог (шли
насчёт чего? насчёт обстановки, об обстановке
). Положите деньги на счёт в банке.
- Существительное (положите
куда?, на что? на счёт
)
2) Дальнейшие события получили развитие
(в чём?) в продолжении
(чего?) романа.
2) Преступник содержался
(где?, в чём?) в заключении
(в тюрьме) под стражей.
3) Основная мысль текста выражена
(где?, в чём?) в заключении.
2) частица не
в предлогах превратилась в приставку и пишется слитно, в то время как с деепричастиями она пишется всегда раздельно;
3) предложно-падежные сочетания существительных с предлогами несмотря на, невзирая на
в предложении всегда выделяются запятыми (обособляются) так же, как деепричастные обороты. Сравните:
