Правила сложения вычитания с разными знаками. Сложение чисел с разными знаками, правило, примеры. Общее представление о сложении целых чисел

На этом уроке мы рассмотрим уменьшение или увеличение числа в 10, 100 и 1000 раз. Сформулируем правило, по которому для увеличения или уменьшения числа в 10, 100 и 1000 раз, надо прибавлять или убирать нули справа от числа. Рассмотрим также несколько примеров на увеличение и уменьшение чисел.

1. Увеличение числа в 10, 100, 1000 раз

Для на-ча-ла срав-ним числа в каж-дом стол-би-ке. Во сколь-ко раз уве-ли-чит-ся число, если в его за-пи-си спра-ва при-пи-сать одно число?

Если к 1 при-пи-сать 0, мы по-лу-чим 10 - один де-ся-ток. В одном де-сят-ке 10 еди-ниц, а это зна-чит, что 1 уве-ли-чи-ли в 10 раз.

Если к числу 5 при-пи-сать один 0, то по-лу-чим 50. В этом числе 5 де-сят-ков, то есть число 5 уве-ли-чи-ли в 10 раз.

Было число 23, по-лу-чи-ли 230, где 23 де-сят-ка. То есть число 23 в 10 раз мень-ше, чем число 230.

Те-перь срав-ним в каж-дом стол-би-ке числа пер-вой стро-ки и тре-тьей. Во сколь-ко раз уве-ли-чит-ся число, если спра-ва при-пи-сать два нуля? Цифра 1 в числе 100 по-ка-зы-ва-ет ко-ли-че-ство сотен. В одной сотне 100 еди-ниц, зна-чит, число 1 мень-ше в 100 раз.

В числе 500 цифра 5 тоже по-ка-зы-ва-ет ко-ли-че-ство сотен, то есть число 5 уве-ли-чи-ли в 100 раз.

Рас-смот-рим число 2300. Было 23 еди-ни-цы, стало 23 сотни - число уве-ли-чи-ли в 100 раз.

Срав-ним в каж-дом стол-би-ке пер-вое число и по-след-нее. Во сколь-ко раз уве-ли-чит-ся число, если в его за-пи-си спра-ва до-пи-сать 3 нуля?

Если к числу 1 при-пи-сать три нуля, по-лу-чим одну ты-ся-чу. Еди-ни-ца в дан-ном числе по-ка-зы-ва-ет ко-ли-че-ство тысяч. В числе 1000 ты-ся-ча еди-ниц, зна-чит, 1 уве-ли-чи-ли в 1000 раз.

Число 5 - это 5 еди-ниц, при-пи-шем спра-ва три нуля и по-лу-чим число пять тысяч, и цифра 5 по-ка-зы-ва-ет ко-ли-че-ство тысяч - число уве-ли-чи-ли в ты-ся-чу раз.

Было 23 еди-ни-цы, стало 23 ты-ся-чи, и снова число уве-ли-чи-ли в ты-ся-чу раз.

Пра-ви-ло

Чтобы уве-ли-чить число в 10 раз, надо спра-ва от числа при-пи-сать один ноль

Чтобы число уве-ли-чить в 100 раз, надо спра-ва от числа при-пи-сать два нуля

Чтобы число уве-ли-чить в 1000 раз, надо спра-ва от числа при-пи-сать три нуля

2. Задание 1

Уве-личь-те числа 11, 34, 176:

а) в 10 раз,

б) в 100 раз,

в) в 1000 раз.

Ре-ше-ние

а) Чтобы вы-пол-нить уве-ли-че-ние чисел в 10 раз, необ-хо-ди-мо умно-жить на 10.

За-пи-шем про-из-ве-де-ние чисел.

1) Как уве-ли-чить число 11 в 10 раз? Надо при-пи-сать спра-ва от этого числа 0.

11 10 = 110

2) Какое число по-лу-чим, если 34 уве-ли-чим в 10 раз?

34 10 = 340

3) Какое число по-лу-чим, если 176 уве-ли-чим в 10 раз?

176 10 = 1760

б) Чтобы вы-пол-нить уве-ли-че-ние чисел в 100 раз, необ-хо-ди-мо сна-ча-ла за-пи-сать их про-из-ве-де-ние, затем для вы-пол-не-ния умно-же-ния, при-пи-сать спра-ва два ноля.

11 100 = 1100

На этом уроке мы узнаем, что такое отрицательное число и какие числа называются противоположными. Также научимся складывать отрицательные и положительные числа (числа с разными знаками) и разберём несколько примеров сложения чисел с разными знаками.

Посмотрите на эту шестеренку (см. рис. 1).

Рис. 1. Шестеренка часов

Это не стрелка, которая непосредственно показывает время и не циферблат (см. рис. 2). Но без этой детали часы не работают.

Рис. 2. Шестеренка внутри часов

А что обозначает буква Ы? Ничего, кроме звука Ы. Но без нее не будут «работать» многие слова. Например, слово «мЫшь». Так и отрицательные числа: они не показывают никакого количества, но без них механизм вычислений был бы существенно труднее.

Мы знаем, что сложение и вычитание равноправные операции, и их можно выполнять в любом порядке. В записи в прямом порядке мы можем посчитать: , а начать с вычитания нет, так как мы не договорились еще, а что же такое .

Понятно, что увеличить число на , а потом уменьшить на означает в итоге уменьшение на три. Почему бы так и не обозначить этот объект и так и считать: прибавить - значит вычесть . Тогда .

Число может означать, например, яблока. Новое число не обозначает никакого реального количества. Само по себе оно ничего не означает, как буква Ы. Это просто новый инструмент для упрощения вычислений.

Назовем новые числа отрицательными . Теперь мы можем вычитать из меньшего числа большее. Технически всё равно нужно вычесть из большего числа меньшего, но в ответе поставить знак минус: .

Рассмотрим ещё один пример: . Можно сделать все действия подряд: .

Однако из первого числа легче вычесть третье, а потом прибавить второе число:

Отрицательные числа можно определить и по-другому.

Для каждого натурального числа, например , введем новое число, которое обозначим , и определим, что оно обладает следующим свойством: сумма числа и равна : .

Число будем называть отрицательным, а числа и - противоположными. Таким образом, мы получили бесконечное количество новых чисел, например:

Противоположное для числа ;

Противоположное числу ;

Вычтем из меньшего числа большее: . Прибавим к данному выражению : . Получили ноль. Однако согласно свойству: число, которое в сумме с пятью дает ноль, обозначается минус пять : . Следовательно, выражение можно обозначить как .

У каждого положительного числа существует число-близнец, которое отличается только тем, что перед ним стоит знак минус Такие числа называются противоположными (см. рис. 3).

Рис. 3. Примеры противоположных чисел

Свойства противоположных чисел

1. Сумма противоположных чисел равна нулю: .

2. Если из нуля вычесть положительное число, то результатом будет противоположное отрицательное число: .

1. Оба числа могут быть положительными, и складывать их мы уже умеем: .

2. Оба числа могут быть отрицательными.

Мы уже прошли сложение таких чисел на предыдущем уроке, но убедимся, что понимаем, что с ними делать. Например: .

Чтобы эту сумму найти, складываем противоположные положительные числа и и ставим знак минус.

3. Одно число может быть положительным, а другое - отрицательным.

Прибавление отрицательного числа мы, если это нам удобно, можем заменять на вычитание положительного: .

Ещё один пример: . Опять сумму записываем как разность. Вычесть из меньшего большее число можно, вычитая из большего меньшее, но поставив знак минус.

Слагаемые можем менять местами: .

Ещё один аналогичный пример: .

Во всех случаях в итоге получается вычитание.

Чтобы коротко сформулировать эти правила, давайте вспомним еще один термин. Противоположные числа, конечно, не равны друг другу. Но было бы странно не заметить у них общего. Это общее мы назвали модулем числа . Модуль у противоположных чисел одинаковый: у положительного числа он равен самому числу, а у отрицательного - противоположному, положительному. Например: , .

Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и поставить знак минус:

Чтобы сложить отрицательное и положительное число, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль и поставить знак числа с большим модулем:

Оба числа отрицательные, следовательно, складываем их модули и ставим знак минус:

Два числа с разными знаками, следовательно, из модуля числа (больший модуль) вычитаем модуль числа и ставим знак минус (знак числа с большим модулем):

Два числа с разными знаками, следовательно, из модуля числа (больший модуль) вычитаем модуль числа и ставим знак минус (знак числа с большим модулем): .

Два числа с разными знаками, следовательно, из модуля числа (больший модуль) вычитаем модуль числа и ставим знак плюс (знак числа с большим модулем): .

У положительных и отрицательных чисел исторически разная роль.

Сначала мы ввели натуральные числа для счета предметов:

Потом мы ввели другие положительные числа - дроби, для счета нецелых количеств, частей: .

Отрицательные же числа появились как инструмент для упрощения расчетов. Не было такого, чтобы в жизни были какие-то количества, которые нам было не посчитать, и мы изобрели отрицательные числа.

То есть отрицательные числа не возникли из реального мира. Просто они оказались настолько удобными, что кое-где им нашлось применение и в жизни. Например, мы часто слышим про отрицательную температуру. При этом мы никогда не сталкиваемся с отрицательным количеством яблок. В чем же разница?

Разница в том, что в жизни отрицательные величины используют только для сравнения, но не для количеств. Если в гостинице оборудовали подвал и туда пустили лифт, то, чтобы оставить привычную нумерацию обычных этажей, может появиться минус первый этаж. Этот минус первый означает всего лишь на этаж ниже уровня земли (см. рис. 1).

Рис. 4. Минус первый и минус второй этажи

Отрицательная температура отрицательна только по сравнению с нулем, который выбрал автор шкалы Андерс Цельсий. Есть другие шкалы, и та же самая температура уже может не быть там отрицательной.

При этом мы понимаем, что невозможно поменять точку отсчета так, чтобы яблок стало не пять, а шесть. Таким образом, в жизни положительные числа используются для определения количеств ( яблок, торта).

Еще мы их используем вместо имен. Каждому телефону можно было бы дать свое имя, но количество имен ограничено, а чисел нет. Поэтому мы используем номера для телефонов. Также для упорядочивания ( век идет за веком).

Отрицательные числа в жизни используются в последнем смысле (минус первый этаж ниже нулевого и первого этажей)

Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. М.: Мнемозина, 2012.
Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. «Гимназия», 2006.
Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. М.: Просвещение, 1989.
Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс. М.: ЗШ МИФИ, 2011.
Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6 классов заочной школы МИФИ. М.: ЗШ МИФИ, 2011.
Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.