Теперь мы рассмотрим более глубоко законы эйнштейновской кинематики. При этом мы преимущественно будем ограничиваться плоскостью Получаемые при этом выводы совсем нетрудно обобщить на случай четырехмерного -пространства, поэтому мы будем лишь упоминать о нем по ходу дела.
Фиг. 125. Четырехмерные отрезки. а - временно-подобное расстояние пространственно-подобное расстояние
Световые линии, определяемые уравнением Делят плоскость на четыре квадранта (фиг. 116). Очевидно, сохраняет один и тот же знак в каждом квадранте, причем в двух противоположных квадрантах, содержащих ветви гиперболы в двух противоположных квадрантах, которые содержат ветви . Прямую мировую линию, проходящую через начало координат О, можно взять в качестве оси или оси соответственно тому, лежит ли она в квадранте или в квадранте Соответственно этому мы подразделяем мировые линии на «пространственно-подобные» и на «временно-подобные» (фиг. 125,а).
Во всякой инерциальной системе ось отделяет мировые точки «прошлого» от мировых точек «будущего» Но это подразделение различно в каждой инерциальной системе, поскольку при ином положении оси мировые точки, которые раньше лежали выше нее, т. е. в будущем, могут
оказаться ниже оси в прошлом, и наоборот. Лишь те события, которые представляются мировыми точками, лежащими в квадрантах единственным образом принадлежат либо к «прошлому», либо к «будущему» в любой инерциальной системе. Для такой мировой точки (фиг. 125, а) мы имеем в любой допустимой системе отсчета два события разделены интервалом времени, большим того времени, за которое свет покрывает путь от одной из этих точек до другой. Следовательно, мы всегда можем выбрать инерциальную систему так, что ее ось проходит через точку т. е. такую систему, в которой представляет событие, происходящее в пространственном начале отсчета. С точки зрения другой инерциальной системы наша инерциальная система будет двигаться равномерно и прямолинейно таким образом, что ее начало точно совпадает с событиями Тогда, очевидно, мы должны для события в системе положить
Во всякой инерциальной системе ось представляет геометрическое место мировых точек, соответствующих событиям, происходящим в пространственном начале координат на оси X (т. е. в точке и разделяет (на двумерной фигуре) точки, лежащие слева от начала, и точки, лежащие справа от него. Но в другой инерциальной системе с иной осью это разграничение будет иным. Оно определено единственным образом только для мировых точек, лежащих в квадрантах независимо от того, лежат ли они «до» или «после» пространственного начала координат. Для такой точки (фиг. 125,б) т. е. в любой допустимой системе отсчета временной интервал между событиями меньше того времени, которое затрачивает свет на прохождение расстояния от точки О до точки Таким образом, можно ввести подходящим образом выбранную движущуюся инерциальную систему с осью проходящей через в которой оба события, оказываются одновременными. В этой системе для события очевидно, следовательно,
Отсюда следует, что инвариант для любой мировой точки представляет собой измеримую величину, имеющую легко интерпретируемый наглядный смысл. Вводя подходящую систему отсчета мировую точку можно либо перевести «в то же самое место», в котором произошло событие О, и тогда разность времен между событиями происходящими в одной и той же пространственной точке в системе либо можно перевести «в тот же момент времени», в который произошло событие О, и тогда пространственное расстояние между двумя событиями в системе
Во всякой системе координат световые линии представляют движения, происходящие со скоростью света. В соответствии с этим каждая временно-подобная мировая линия представляет движение со скоростью, меньшей скорости света с. Или, подходя к вопросу с другой стороны, всякое движение, происходящее со скоростью, меньшей скорости света, можно «перевести в состояние покоя», поскольку существует временно-подобная мировая линия, соответствующая этому движению.
А как насчет движений, происходящих со скоростью, большей скорости света? В свете высказанных выше суждений казалось бы очевидным, что теория относительности Эйнштейна должна объявить такие движения невозможными. В самом деле, новая кинематика потеряла бы весь свой смысл, если бы существовали сигналы, позволяющие нам контролировать одновременность хода часов с помощью средств, включающих скорости, превышающие скорость света. По-видимому, здесь какая-то трудность.
Пусть система движется со скоростью относительно другой системы и пусть тело К движется относительно системы со скоростью и. Согласно обычной кинематике, относительная скорость тела К в системе равна
Теперь, если каждая превышает половину скорости Света, то и больше скорости света с, а это должно быть невозможным, согласно теории относительности.
Этот софизм, конечно, связан с тем обстоятельством, что скорости в релятивистской кинематике невозможно просто суммировать, ибо каждая система отсчета имеет собственные единицы длины и времени.
Необходимость учета этого обстоятельства с очевидностью Вытекает из того факта, что в любых двух системах, движущихся одна относительно другой, скорость света предполагается всегда одинаковой, - факта, уже использованного ранее при выводе преобразования Лоренца (гл. VI, § 2, стр. 230). Истинный закон сложения скоростей можно вывести из этого преобразования [формулы (70)]. Рассмотрим движущееся тело в системе Его движение может происходить в плоскости х, у, и, таким образом, его скорость будет иметь две компоненты их, и и движение может начаться в момент времени из начала координат. Мировая линия тела задается тогда уравнениями
Можно предвидеть, что движение окажется прямолинейным и в системе причем скорость будет иметь две постоянные компоненты Мировая линия движущегося тела в системе будет задаваться уравнениями
Для того чтобы получить соотношение между скоростями тела в системах введем выражения для в уравнения и с помощью формул преобразования Лоренца (70а). Вместо первого уравнения мы получаем
Сравнивая этот результат с уравнением получаем
который и выражает теорему о постоянстве скорости света. Более того, мы видим, что для любого тела, движущегося вдоль пространственной оси, до тех пор, пока . В самом деле, деля формулу (77а) на с, мы можем преобразовать результат к виду
Из этой формулы прямо следует наше утверждение, так как при указанных выше условиях второй член справа всегда меньше 1 (знаменатель больше 1, а каждый множитель в числителе меньше 1). Аналогичный вывод справедлив, конечно, и для движений, происходящих поперек пространственной оси, и для движений в любом направлении.
Итак, скорость света кинематически есть предельная скорость, которую невозможно превысить. Этот постулат теории Эйнштейна встретил упорную оппозицию. Он казался неоправданным ограничением планов исследователей, которые ждали в будущем открытий скоростей, превышающих скорость света.
Мы знаем, что -лучи радиоактивных веществ представляют собой электроны, движущиеся со скоростями, близкими к скорости света. Почему же невозможно ускорить их так, чтобы они двигались со скоростями больше скорости света?
Теория Эйнштейна, однако, утверждает, что это невозможно в принципе, поскольку лнерциальное сопротивление, или масса тела, возрастает по мере того, как его скорость приближается к скорости света. Таким образом, мы приходим к новой динамике, базирующейся на кинематике Эйнштейна.
Пусть
тело в системе отсчета K"
обладает скоростью v",
направленной по оси x"
(и x):
.
В системе отсчетаK
скорость этого тела будет
. Выясним каково соотношение между
скоростямиv"
и
v.
Рассмотрим производную
как отношение дифференциалов dx
и dt,
которые найдем, используя преобразования
Лоренца:
Разделим числитель и знаменатель правой части на dt" и получим
т.е.
в отличие от преобразований Галилея
суммарная скорость не равна сумме
скоростей, а в
раз ниже. Пусть тело движется в ракете
со скоростью светаv" x
= c,
а ракета движется со скоростью света
относительно неподвижной системы
координат v 0
= c.
С какой скоростью v x
движется
тело относительно неподвижной системы
координат?
По преобразованию Галилея эта скорость v = v" x + v 0 = 2c. По преобразованию Лоренца
Понятие о релятивистской динамике. Законы взаимосвязи массы и энергии. Полная и кинетическая энергия. Соотношение между полной энергией и импульсом частицы.
Движение не слишком малых тел с не очень высокими скоростями подчиняется законам классической механики. В конце XIX века экспериментально установлено, что масса тела m не является неизменной величиной, а зависит от скорости v его движения. Эта зависимость имеет вид
где m 0 – масса покоя.
Если v = 300 км/с, то v 2 /c 2 = 1∙ 10 -6 и m > m 0 на величину 5 ∙ 10 -7 m 0 .
Отказ от одного из основных положений (m= const) классической механики привел к необходимости критического анализа и ряда других его основ. Выражение импульса в релятивистской динамике имеет вид
Законы механики сохраняют свой вид и в релятивистской динамике. Изменение импульса d(mv) равно импульсу силы Fdt
dp = d(mv) = F dt.
Отсюда dp/dt = F- есть выражение основного закона релятивистской динамики для материальной точки.
В обоих случаях входящая в эти выражения масса является переменной величиной (m ≠ const) и ее также необходимо дифференцировать по времени.
Установим связь между массой и энергией. Возрастание энергии, так же как и в классической механике, вызывается работой силы F. Следовательно, dE = Fds. Разделив левую и правую части на dt, получим
Подставляем сюда
Умножив левую и правую
части полученного равенства на dt ,
получим
Из
выражения для массы
определим
.
Продифференцируем выражение v 2 .
Подставим v 2 и d(v 2) в
выражение для dE
Интегрируя это выражение, получим E = mc 2 .
Полная энергия системы Е равна произведению массы на квадрат скорости света в вакууме. Связь между энергией и импульсом для частиц не имеющих массы покоя в релятивистской динамике дается соотношением
которое легко получить математически: E=mc 2 ,p=mv. Возведем оба равенства в квадрат и обе части второго домножим на с 2
E 2 = m 2 c 4 , p 2 c 2 = m 2 v 2 c 2 .
Вычтем почленно из первого равенства второе
E 2 – p 2 c 2 = m 2 c 4 -m 2 v 2 c 2 = m 2 c 4 (1-v 2 / c 2).
Учитывая, что
получим
Так как масса покоя m 0 и скорость света с величины, инвариантные к преобразованиям Лоренца, то соотношение (E 2 - p 2 c 2) также инвариантно к преобразованиям Лоренца. Из этого соотношения получим выражение для полной энергии
Таким образом, из этого уравнения можно сделать вывод:
энергией обладают и материальные частицы, не имеющие массы покоя (фотоны, нейтрино). Для этих частиц формула связи энергии и импульса имеет вид E = pc.
Из приведенных выше преобразований получили dE=c 2 dm. Интегрирование левой части в пределах от E 0 до Е, а правой от m 0 до m, дает
E – E 0 = c 2 (m – m 0) = mc 2 – m 0 c 2 ,
где E = mc 2 - полная энергия материальной точки,
E 0 =m 0 c 2 - энергия покоя материальной точки.
Разность Е – Е 0 есть кинетическая энергия Т материальной точки.
При скоростях
v « c , разложим
в ряд:
=
.
Учитывая, что v « c, ограничимся первыми двумя членами в ряду.
Тогда
т.е. при скоростях v много меньших
скорости света в вакууме релятивистская
формула кинетической энергии обращается
в классическую формулу для кинетической
энергии
.
Преобразования Лоренца дают нам возможность вычислять изменение координат события при переходе от одной системы отсчета к другой. Поставим теперь вопрос о том, как при изменении системы отсчета будет меняться скорость одного и того же тела?
В классической механике, как известно, скорость тела просто складывается со скоростью системы отсчета. Сейчас мы убедимся, что в теории относительности скорость преобразуется по более сложному закону.
Мы снова ограничимся рассмотрением одномерного случая. Пусть две системы отсчета S и S` «наблюдают» за движением некоторого тела, которое перемещается равномерно и прямолинейно параллельно осям х и х` обеих систем отсчета. Пусть скорость тела, измеренная системой отсчета S , есть и ; скорость того же тела, измеренную системой S`, обозначим через и` . Буквой v будем по-прежнему обозначать скорость системы S ` относительно S .
Допустим, что с нашим телом происходят два события, координаты которых в системе S
суть x 1 ,t 1 , и
х
2
,
t
2
.
Координаты тех же событий в системе S
`
пусть будут х` 1
,
t
` 1 ;
x`
2
,
t`
2
.
Но скорость тела есть отнощение пройденного телом пути к соответствующему промежутку времени; поэтому, чтобы найти скорость тела в той и другой системах отсчета, нужно разность пространственных координат обоих событий разделить на разность временных координат
которую можно, как всегда, получить из релятивистской, если скорость света считать бесконечной. Ту же формулу можно записать в виде
Для небольших, «обычных» скоростей обе формулы— релятивистская и классическая — дают практически совпадающие результаты, в чем читатель при желании легко сможет убедиться. Но при скоростях, близких к скорости света, разница становится весьма ощутимой. Так, если v=150 000 км/сек , u`=200 000 км/ с ек, км/сек релятивистская формула дает u = 262 500 км/ с ек.
S
со скоростью v = 150 000 км/сек.
S
`
дает результат u
=200 000 км/сек.
км/
с
ек.
км/сек,
а второго — 200 000 км/сек,
км
.
с. Не представляет никакого труда доказать это утверждение вполне строго. Действительно, легко проверить.
Для небольших, «обычных» скоростей обе формулы— релятивистская и классическая — дают практически совпадающие результаты, в чем читатель при желании легко сможет убедиться. Но при скоростях, близких к скорости света, разница становится весьма ощутимой. Так, если v=150 000 км/сек , u`=200 000 км/ с ек, то вместо классического результата u = 350 000 км/сек релятивистская формула дает u = 262 500 км/ с ек. Согласно смыслу формулы сложения скоростей, этот результат означает следующее.
Пусть система отсчета S` движется относительно системы отсчета S
со скоростью v = 150 000 км/сек.
Пусть в том же направлении движется тело, причем измерение его скорости системой отсчета S
`
дает результат u`
=200 000 км/сек.
Если теперь измерить скорость того же тела с помощью системы отсчета S то получится u=262 500 км/
с
ек.
Следует подчеркнуть, что полученная нами формула предназначена именно для пересчета величины скорости одного и того же тела от одной системы отсчета к другой, а отнюдь не для вычисления «скорости сближения» или «удаления» двух тел. Если мы из одной и той же системы отсчета наблюдаем два движущихся навстречу друг другу тела, причем скорость одного тела равна 150 000 км/сек,
а второго — 200 000 км/сек,
то расстояние между этими телами каждую секунду будет уменьшаться на 350 000 км
.
Теория относительности не упраздняет законов арифметики.
Читатель уже понял, конечно, что, применяя эту формулу к скоростям, не превосходящим скорость света, мы снова получим скорость, не превосходящую с.
Не представляет никакого труда доказать это утверждение вполне строго. Действительно, легко проверить, что имеет место равенство
Так как и` ≤ с
и v
<
c
,
то в правой части равенства числитель и знаменатель, а с ними и вся дробь, неотрицательны. Поэтому квадратная скобка меньше единицы, а потому и ≤ с
.
Если и
`
=
с
,
то и и=
с.
Это есть не что иное, как закон постоянства скорости света. Не следует, конечно, рассматривать этот вывод как «доказательство» или хотя бы «подтверждение» постулата постоянства скорости света. Ведь мы с самого начала исходили из этого постулата и неудивительно, что пришли к результату, который ему не противоречит, в противном случае этот постулат был бы опровергнут путем доказательства от противного. Вместе с тем мы видим, что закон сложения скоростей эквивалентен постулату постоянства скорости света, каждое из этих двух утверждений логически вытекает из другого (и остальных постулатов теории относительности).
При выводе закона сложения скоростей мы предполагали, что скорость тела параллельна относительной скорости систем отсчета. Этого предположения можно было ие делать, но тогда наша формула относилась бы лишь к той компоненте скорости, которая направлена по оси x, и формулу следовало бы записать в виде
С помощью этих формул мы разберем явление аберрации
(см. § 3). Ограничимся лишь простейшим случаем. Пусть некоторое светило в системе отсчета S
неподвижно, пусть, далее, система отсчета S
`
движется относительно системы S
со скоростью v
и пусть наблюдатель, движущийся вместе с S`, принимает лучи света от светила как раз в тот момент, когда оно находится у него точно над головой (рис. 21). Составляющие скорости этого луча в системе S
будут
u x = 0, u y = 0, u x = -c.
Для системы отсчета S` наши формулы дают
u`
x
= -v, u`
y
= 0,
u`
z
= -c
√
(1 - v
2
/c
2
)
Мы получим тангенс угла наклона луча к оси z`, если разделим и`
х
на и` z
:
tg α = и`
х
/ и`
z
= (v/c) / √(1 - v 2 /c 2)
Если скорость v
не очень велика, то можно применить известную нам приближенную формулу, с помощью которой получаем
tg α = v/c + 1/2*v 2 /c 2
.
Первое слагаемое представляет собой хорошо известный классический результат; второе слагаемое есть релятивистская поправка.
Орбитальная скорость Земли равна примерно 30 км/сек,
так что (v
/
c
)
=
1
0
-4
.
Для малых углов тангенс равен самому углу, измеренному в радианах; так как радиан содержит круглым счетом 200 000 угловых секунд, то получаем для угла аберрации:
α = 20°
Релятивистская поправка в 20 000 000 раз меньше и лежит далеко за пределами точности астрономических измерений. Вследствие аберрации звезды описывают ежегодно на небе эллипсы с большой полуосью в 20".
Когда мы смотрим на движущееся тело, мы видим его не там, где оно находится в данный момент, а там, где оно было несколько раньше, ибо свету нужно некоторое время, чтобы Дойти от тела до наших глаз. Это явление с точки зрения теории относительности эквивалентно аберрации и сводится к ней при переходе к той системе отсчета, в которой рассматриваемое тело неподвижно. На основании этого простого соображения мы можем получить формулу аберрации совершенно элементарным путем, не прибегая к релятивистскому закону сложения скоростей.
Пусть наше светило движется параллельно земной поверхности справа налево (рис. 22). Когда оно прибывает в точку А,
наблюдатель, находящийся точно под ним в точке С, видит его еще в точке В.
Если скорость светила равна v
,
а промежуток времени, в течение которого оно проходит отрезок А
В
,
равен Δt
,
то
AB =
Δt
,
BC
=
c
Δt
,
sin
α
= AB/BC = v/c.
Но тогда, согласно формуле тригонометрии,
что и требовалось доказать. Заметим, что в классической кинематике эти две точки зрения не эквивалентны.
Интересен также следующий вопрос. Как известно, в классической кинематике скорости складываются по правилу параллелограмма. Мы заменили этот закон другим, более сложным. Значит ли это, что в теории относительности скорость уже не есть вектор?
Во-первых, то обстоятельство, что u
≠ u
`+
v
(жирными буквами мы обозначаем векторы), само по себе не дает еще оснований отрицать векторную природу скорости. Из двух данных векторов третий вектор можно получить не только путем их сложения, а, например, путем векторного умножения, и вообще бесчисленным множеством способов. Ниоткуда не следует, что при перемене системы отсчета векторы и`
и v
обязаны именно складываться. И действительно, существует формула, выражающая и
через и`
и v
с помощью операций векторного исчисления:
В связи с этим следует признать, что название «закон сложения скоростей» не совсем удачно; правильнее говорить, как это и делают некоторые авторы, не о сложении, а о преобразовании скорости при перемене системы отсчета.
Во-вторых, и в теории относительности можно указать случаи, когда скорости складываются по-прежнему векторно. Пусть, например, тело двигалось в течение некоторого промежутка времени Δt
со скоростью u 1 ,
а затем — такой же отрезок времени со скоростью u
2 . Это сложное движение можно заменить движением с постоянной скоростью u = u 1
+ u 2 . Здесь скорости u 1
и u 2
складываются, как векторы, по правилу параллелограмма; теория относительности не вносит здесь никаких изменений.
Следует вообще заметить, что большинство «парадоксов» теории относительности связано так или иначе с изменением системы отсчета. Если рассматривать явления в одной и той же системе отсчета, то вносимые теорией относительности изменения в их закономерности далеко не столь кардинальны, как часто думают.
Отметим еще, что естественным обобщением обычных трехмерных векторов в теории относительности являются векторы четырехмерные; при перемене системы отсчета они преобразуются по формулам Лоренца. Кроме трех пространственных компонент, они имеют компоненту временную. В частности, можно рассматривать четырехмерный вектор скорости. Пространственная «часть» этого вектора, однако, не совпадает с обычной трехмерной скоростью, и вообще четырехмерная скорость по своим свойствам заметно отличается от трехмерной. В частности, сумма двух четырехмерных скоростей не будет уже, вообще говоря, скоростью.
