Решение систем уравнений методом подстановки
Вспомним, что такое система уравнений.
Система двух уравнений с двумя переменными - это записанные друг под другом два уравнения, объединённые фигурной скобкой. Решить систему - это значит найти такую пару чисел, которая будет являться решением и первого, и второго уравнения одновременно.
В этом уроке познакомимся с таким способом решения систем, как способподстановки.
Давайте рассмотрим систему уравнений:
Можно решить эту систему графически. Для этого нам надо будет построить в одной системе координат графики каждого из уравнений, преобразовав их к виду:
Затем найти координаты точки пересечения графиков, которые и будут являться решением системы. Но графический способ далеко не всегда удобен, т.к. отличается малой точностью, а то и вовсе недоступностью. Попробуем рассмотреть нашу систему повнимательнее. Теперь она имеет вид:
Можно заметить, что левые части уравнений равны, а значит, должны быть равны и правые. Тогда мы получим уравнение:
Это знакомое нам уравнение с одной переменной, которое мы решать умеем. Перенесём неизвестные слагаемые в левую часть, а известные - в правую, не забыв поменять знаки +,- при переносе. Получим:
Теперь подставим найденное значение х в любое уравнение системы и найдём значение у. В нашей системе удобнее использовать второе уравнение у = 3 - х, после подстановки получим у = 2. А теперь проанализируем выполненную работу. Сначала мы в первом уравнении выразили переменную у через переменную х. Затем полученное выражение - 2х + 4 подставили во второе уравнение вместо переменной у. Потом решили полученное уравнение с одной переменной х и нашли ее значение. И в заключении использовали найденное значение х для нахождения другой переменной у. Тут возникает вопрос: а обязательно ли было выражать переменную у из обоих уравнений сразу? Конечно нет. Мы могли выразить одну переменную через другую только в одном уравнении системы и использовать его вместо соответствующей переменной во втором. Причём выразить можно любую переменную из любого уравнения. Здесь выбор зависит исключительно из удобства счёта. Подобный порядок действий математики назвали алгоритмом решения систем двух уравнений с двумя переменными методом подстановки.Вот как он выглядит.
1.Выразить одну из переменных через другую в одном из уравнений системы.
2.Подставить полученное выражение вместо соответствующей переменной в другое уравнение системы.
3.Решить полученное уравнение с одной переменной.
4.Найденное значение переменной подставить в выражение, полученное в пункте первом, и найти значение другой переменной.
5.Записать ответ в виде пары чисел, которые были найдены на третьем и четвертом шаге.
Давайте рассмотрим ещё один пример. Решить систему уравнений:
Здесь удобнее выразить переменную у из первого уравнения. Получим у = 8 - 2х. Полученное выражение надо подставить вместо у во второе уравнение. Получим:
Выпишем это уравнение отдельно и решим его. Сначала раскроем скобки. Получим уравнение 3х - 16 + 4х = 5. Соберём неизвестные слагаемые в левой части уравнения, а известные - в правой и приведём подобные слагаемые. Получим уравнение 7х = 21, отсюда х = 3.
Теперь, используя найденное значение х, можно найти:
Ответ: пара чисел (3; 2).
Таким образом, на этом уроке мы научились решать системы уравнений с двумя неизвестными аналитическим, точным способом, не прибегая к сомнительному графическому.
Список использованной литературы:
- Мордкович А.Г, Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 1, Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. – 10 – е изд., переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007.
- Мордкович А.Г., Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 2, Задачник для общеобразовательных учреждений/ [А.Г. Мордкович и др.]; под редакцией А.Г. Мордковича – 10-е издание, переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007.
- Е.Е. Тульчинская, Алгебра 7 класс. Блиц опрос: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений, 4-е издание, исправленное и дополненное, Москва, «Мнемозина», 2008.
- Александрова Л.А., Алгебра 7 класс. Тематические проверочные работы в новой форме для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича, Москва, «Мнемозина», 2011.
- Александрова Л.А. Алгебра 7 класс. Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича – 6-е издание, стереотипное, Москва, «Мнемозина», 2010.
Для решения системы линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки поступаем следующим образом:
1) выражаем одну переменную через другую в одном из уравнений системы (х через у или у через х);
2) подставляем полученное выражение в другое уравнение системы и получаем линейное уравнение с одной переменной;
3) решаем полученное линейное уравнение с одной переменной и находим значение этой переменной;
4) найденное значение переменной подставляем в выражение (1) для другой переменной и находим значение этой переменной.
Примеры. Решить методом подстановки систему линейных уравнений.
Выразим х через у из 1-го уравнения. Получим: х=7+у. Подставим выражение (7+у) вместо х во 2-ое уравнение системы.
Мы получили уравнение: 3· (7+у)+2у=16. Это уравнение с одной переменной у . Решаем его. Раскроем скобки: 21+3у+2у=16. Собираем слагаемые с переменной у в левой части, а свободные слагаемые — в правой. При переносе слагаемого из одной части равенства в другую меняем знак слагаемого на противоположный .
Получаем: 3у+2у=16-21. Приводим подобные слагаемые в каждой части равенства. 5у=-5. Делим обе части равенства на коэффициент при переменной . у=-5:5; у=-1. Подставляем это значение у в выражение х=7+у и находим х . Получаем: х=7-1; х=6. Пара значений переменных х=6 и у=-1 является решением данной системы.
Записывают: (6; -1). Ответ: (6; -1). Эти рассуждения удобно записывать так, как показано ниже, т.е. системы уравнений — слева друг под другом. Справа — выкладки, необходимые пояснения, проверка решения и пр.
1. Метод подстановки : из какого-либо уравнения системы выражаем одно неизвестное через другое и подставляем во второе уравнение системы.
Задача. Решить систему уравнений:
Решение.
Из первого уравнения системы выражаем у
через х
и подставляем во второе уравнение системы. Получим систему 
равносильную исходной.
После приведения подобных членов система примет вид:
Из второго уравнения находим: . Подставив это значение в уравнение у = 2 - 2х , получим у = 3. Следовательно, решением данной системы является пара чисел .
2. Метод алгебраического сложения : путем сложения двух уравнений получить уравнение с одной переменной.
Задача. Решить систему уравнение:
Решение.
Умножив обе части второго уравнения на 2, получим систему 
равносильную исходной. Сложив два уравнения этой системы, придем к системе 
После приведения подобных членов данная система примет вид: 
Из второго уравнения находим . Подставив это значение в уравнение 3х
+ 4у
= 5, получим 
, откуда . Следовательно, решением данной системы является пара чисел .
3. Метод введения новых переменных : ищем в системе некоторые повторяющиеся выражения, которые обозначим новыми переменными, тем самым упрощая вид системы.
Задача. Решить систему уравнений:
Решение.
Запишем данную систему иначе: 
Пусть х + у = u, ху = v. Тогда получим систему
Решим ее методом подстановки. Из первого уравнения системы выразим u
через v
и подставим во второе уравнение системы. Получим систему 
т.е. 
Из второго уравнение системы находим v 1 = 2, v 2 = 3.
Подставив эти значения в уравнение u
= 5 - v
, получим u
1 = 3,
u
2 = 2. Тогда имеем две системы
Решая первую систему, получим две пары чисел (1; 2), (2; 1). Вторая система решений не имеет.
Упражнения для самостоятельной работы
1. Решить системы уравнений методом подстановки.
Системой линейных уравнений с двумя неизвестными - это два или несколько линейных уравнений, для которых необходимо найти все их общие решения. Мы будем рассматривать системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Общий вид системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными представлен на рисунке ниже:
{ a1*x + b1*y = c1,
{ a2*x + b2*y = c2
Здесь х и у неизвестные переменные, a1,a2,b1,b2,с1,с2 - некоторые вещественные числа. Решением системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными называют пару чисел (x,y) такую, что если подставить эти числа в уравнения системы, то каждое из уравнений системы обращается в верное равенство. Рассмотри один из способов решения системы линейных уравнений, а именно способ подстановки.
Алгоритм решения способом подстановки
Алгоритм решения системы линейных уравнений способом подстановки:
1. Выбрать одно уравнение (лучше выбирать то, где числа меньше) и выразить из него одну переменную через другую, например, x через y. (можно и y через x).
2. Полученное выражение подставить вместо соответствующей переменной в другое уравнение. Таким образом, у нас получится линейное уравнение с одной неизвестной.
3. Решаем полученное линейное уравнение и получаем решение.
4. Подставляем полученное решение в выражение, полученное в первом пункте, получаем вторую неизвестную из решения.
5. Выполнить проверку полученного решения.
Пример
Для того, чтобы было более понятно, решим небольшой пример.
Пример 1. Решить систему уравнений:
{x+2*y =12
{2*x-3*y=-18
Решение:
1. Из первого уравнения данной системы выражаем переменную х. Имеем x= (12 -2*y);
2. Подставляем это выражение во второе уравнение, получаем 2*x-3*y=-18; 2*(12 -2*y) - 3*y = -18; 24 - 4y - 3*y = -18;
3. Решаем полученное линейное равнение: 24 - 4y - 3*y =-18; 24-7*y =-18; -7*y = -42; y=6;
4. Подставляем полученный результат в выражение, полученное в первом пункте. x= (12 -2*y); x=12-2*6 = 0; x=0;
5. Проверяем полученное решение, для этого подставляем найденные числа в исходную систему.
{x+2*y =12;
{2*x-3*y=-18;
{0+2*6 =12;
{2*0-3*6=-18;
{12 =12;
{-18=-18;
Получили верные равенства, следовательно, мы правильно нашли решение.
Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Метод подстановки позволяет легко решить системы линейных уравнений любой сложности. Суть метода заключается в том, что, используя первое выражение системы, мы выражаем "у", а далее производим подстановку полученного выражения во второе уравнение системы вместо "у". Поскольку уравнение уже содержит не два неизвестных, а только одно, то мы легко находим значение этой переменной, а затем с ее помощью определяем значение второй.
Допустим, дана система линейных уравнений следующего вида:
\[\left\{\begin{matrix} 3x-y-10=0\\ x+4y-12=0 \end{matrix}\right.\]
Выразим \
\[\left\{\begin{matrix} 3x-10=y\\ x+4y-12=0 \end{matrix}\right.\]
Выполним подстановку полученного выражения во 2 уравнение:
\[\left\{\begin{matrix} y=3x-10\\ x+4(3x-10)-12=0 \end{matrix}\right.\]
Найдем значение \
Упростим и решим уравнение с помощью открытия скобок и учета правил переноса членов:
Теперь нам известно значение \ Используем это для нахождения значения \
Ответ: \[(4;2).\]
Где можно решить систему уравнений онлайн методом подстановки?
Решить систему уравнений вы можете на нашем сайте . Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте.
