Как искать площадь боковой поверхности пирамиды. Площадь боковой поверхности пирамиды. Площадь поверхности треугольной пирамиды

Не совсем верное утверждение, что лишь с приходом определенного возраста нас буквально «накрывает волной ностальгии», когда мы слышим мелодию юности, либо видим какие-то атрибуты того времени. Даже совсем маленький ребенок начинает тосковать по любимой игрушке, если кто-то ее забрал, либо спрятал. Мы все в какой-то степени влюблены в старые вещи, потому что они хранят в себе дух целой эпохи. Нам мало прочитать об этом в книгах или на страницах интернета. Мы хотим обладать реальной антикварной вещью, которую можно потрогать, ощутить ее запах. Только вспомните ваши ощущения, когда вы брали в руки книгу советских времен со слегка пожелтевшими страницами, источающими сладковатый аромат, особенно при их перелистывании, либо когда вы смотрели на черно-белые фотографии ваших родителей или бабушек и дедушек, те самые с неровной белой каймой. Кстати, для многих такие кадры остаются самыми любимыми до сих пор, несмотря на низкое качество подобных снимков. Дело здесь не в изображении, а в том ощущении душевной теплоты, наполняющем нас, когда они попадаются нам на глаза.

Если же в нашей жизни не осталось «предметов из прошлого» в связи бесконечными переездами и сменой места жительства, то купить антиквариат можно в нашем антикварном интернет магазине . Особой популярность сейчас пользуются магазины антиквариата, ведь далеко не у всех есть возможность посещать подобные торговые точки, да и сосредоточены они преимущественно лишь в крупных городах.

У нас Вы сможете купить антиквариат самой различной тематики

Чтобы расставить все точки над «i», следует сказать, что магазин антиквариата представляет собой специальное заведение, которое осуществляет покупку, продажу, обмен, реставрацию и экспертизу антикварных вещей и оказывает ряд других услуг, связанных с продажей антиквариата.

Антиквариат - это некоторые старинные вещи, имеющие достаточно высокую ценность. Это могут быть: старинные украшения, техника, монеты, книги, предметы интерьера, статуэтки, посуда и прочее.

Однако, в ряде стран, антиквариатом считаются разные вещи: в России статус «старинной вещи» получает предмет, которому уже более 50 лет, а в США - предметы, изготовленные до 1830 года. С другой стороны, в каждой стране различные антикварные вещи имеют разную ценность. В Китае старинные фарфор представляет собой большую ценность, нежели в России, либо США.

Иными словами, при покупке антиквариата следует помнить, что его цена зависит от следующих характеристик: возраста, уникальности исполнения, способа изготовления (всем известно, что ручная работа ценится намного выше, чем массовое производство), исторической,художественной, либо культурной ценности и других причин.

Магазин интиквариата - достаточно рискованный бизнес. Дело не только в трудоемкости поиска необходимого товара и длительном периоде времени, в течение которого данный предмет будет продан, но и в умении отличить подделку от оригинала.

Кроме того, магазин по продаже антиквариата должен соответствовать ряду стандартов, чтобы завоевать должную репутацию на рынке. Если речь идет об антикварном интернет-магазине, то он должен иметь широкий ассортимент представленных товаров. Если же магазин антиквариата существует не только на просторах всемирной паутины, то он к тому же должен быть достаточно большим, чтобы клиенту было в нем удобно бродить между предметов старины, а, во-вторых, иметь красивый интерьер и приятную атмосферу.

В нашем магазине антиквариата есть очень редкие вещи, способные произвести впечатление даже на маститого коллекционера

Антиквариат имеет магическую силу: прикоснувшись к нему однажды, вы превратитесь в его большого поклонника, антикварные предметы займут достойное место в интерьере вашего дома.

В нашем антикварном интернет-магазине вы сможете купить антиквариат самой различной тематики по доступным ценам. Для облегчения поиска все товары разделены на специальные группы: живопись, иконы, сельский быт, предметы интерьера и проч. Также в каталоге вам удастся найти старинные книги, открытки,плакаты, столовое серебро, фарфоровую посуду и многое другое.

Кроме того, в нашем антикварном интернет магазине Вы сможете приобрести оригинальные подарки, мебель и кухонную утварь, способные оживить интерьер вашего дома, сделать его более изысканным.

Продажа антиквариата в России, как и во многих европейских городах, вроде Парижа, Лондона и Стокгольма имеет свои особенности. В первую очередь, это высокие затраты на покупку антиквариата, однако ответственность магазина по продаже антикварных вещей тоже достаточно высока, так как данные вещи представляют собой определенную материальную и культурно-историческую ценность.

Осуществляя покупку антиквариата в нашем магазине, Вы можете быть уверены в подлинности приобретаемых вещей

В нашем антикварном магазине работают только квалифицированные консультанты и специалисты-оценщики, которые без особого труда отличают оригинал от подделок.

Мы стремимся сделать наш антикварный интернет-магазин интересным и для коллекционеров, и для поклонников старины и для самых обычных ценителей прекрасного, имеющих хороший вкус и знающих цену вещам. Таким образом, одним из наших приоритетных направлений является постоянное расширение ассортимента как за счет дилеров, так и благодаря сотрудничеству с другими компаниями, занимающимися продажами антиквариата.

Какую фигуру мы называем пирамидой? Во-первых, это многогранник. Во-вторых, в основании этого многогранника расположен произвольный многоугольник, а стороны пирамиды (боковые грани) обязательно имеют форму треугольников, сходящихся в одной общей вершине. Вот теперь, разобравшись с термином, выясним, как найти площадь поверхности пирамиды.

Понятно, что площадь поверхности такого геометрического тела составится из суммы площадей основания и всей его боковой поверхности.

Вычисление площади основания пирамиды

Выбор расчетной формулы зависит от формы лежащего в основании нашей пирамиды многоугольника. Он может быть правильным, то есть со сторонами одинаковой длины, или неправильным. Рассмотрим оба варианта.

В основании – правильный многоугольник

Из школьного курса известно:

• площадь квадрата будет равна длине его стороны, возведенной в квадрат;
• площадь равностороннего треугольника равна квадрату его стороны, деленному на 4 и умноженному на квадратный корень из трех.

Но существует и общая формула, для расчета площади любого правильного многоугольника (Sn): надо умножить значение периметра этого многоугольника (Р) на радиус вписанной в него окружности (r), а затем разделить полученный результат на два: Sn=1/2P*r.

В основании – неправильный многоугольник

Схема нахождения его площади заключается в том, чтобы сначала разбить весь многоугольник на треугольники, вычислить площадь каждого из них по формуле: 1/2a*h (где а – основание треугольника, h – опущенная на это основание высота), сложить все результаты.

Площадь боковой поверхности пирамиды

Теперь рассчитаем площадь боковой поверхности пирамиды, т.е. сумму площадей всех ее боковых сторон. Здесь также возможны 2 варианта.

1. Пусть у нас имеется произвольная пирамида, т.е. такая, в основании которой – неправильный многоугольник. Тогда следует вычислить отдельно площадь каждой грани и сложить результаты. Так как боковыми сторонами пирамиды по определению могут быть только треугольники, то расчет идет по упомянутой выше формуле: S=1/2a*h.
2. Пусть наша пирамида – правильная, т.е. в ее основании лежит правильный многоугольник, и проекция вершины пирамиды оказывается в его центре. Тогда для вычисления площади боковой поверхности (Sб) достаточно найти половину произведения периметра многоугольника-основания (Р) на высоту (h) боковой стороны (одинаковую для всех граней): Sб=1/2 Р*h. Периметр многоугольника определяется сложением длин всех его сторон.

Полная площадь поверхности правильной пирамиды найдется суммированием площади ее основания с площадью всей боковой поверхности.

Примеры

Для примера вычислим алгебраически площади поверхности нескольких пирамид.

Площадь поверхности треугольной пирамиды

В основании такой пирамиды – треугольник. По формуле Sо=1/2a*h находим площадь основания. Эту же формулу применяем для нахождения площади каждой грани пирамиды, также имеющей треугольную форму, и получаем 3 площади: S1, S2 и S3. Площадь боковой поверхности пирамиды является суммой всех площадей: Sб= S1+ S2+ S3. Сложив площади боковых сторон и основания, получим полную площадь поверхности искомой пирамиды: Sп= Sо+ Sб.

Площадь поверхности четырехугольной пирамиды

Площадь боковой поверхности - это сумма 4-ех слагаемых: Sб= S1+ S2+ S3+ S4, каждое из которых вычислено по формуле площади треугольника. А площадь основания придется искать, в зависимости от формы четырехугольника - правильного или неправильного. Площадь полной поверхности пирамиды снова получится путем сложения площади основания и полной площади поверхности заданной пирамиды.

Площадь поверхности пирамиды. В этой статье мы рассмотрим с вами задачи с правильными пирамидами. Напомню, что правильная пирамида – это пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, вершина пирамиды проецируется в центр этого многоугольника.

Боковая грань такой пирамиды это равнобедренный треугольник. Высота этого треугольника, проведенная из вершины правильной пирамиды, называется апофемой, SF – апофема:

В представленном ниже типе задач требуется найти площадь поверхности всей пирамиды или площадь её боковой поверхности. На блоге уже рассмотрено несколько задач с правильными пирамидами, где ставился вопрос о нахождении элементов (высоты, ребра основания, бокового ребра), .

В заданиях ЕГЭ, как правило, рассматриваются правильные треугольные, четырёхугольные и шестиугольные пирамиды. Задач с правильными пятиугольными и семиугольными пирамидами не встречал.

Формула площади всей поверхности проста — требуется найти сумму площади основания пирамиды и площади её боковой поверхности:

Рассмотрим задачи:

Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 72, боковые ребра равны 164. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Площадь поверхности пирамиды равна сумме площадей боковой поверхности и основания:

*Боковая поверхность состоит из четырёх равных по площади треугольников. Основание пирамиды это квадрат.

Площадь боковой стороны пирамиды можем вычислить воспользовавшись :

Таким образом, площадь поверхности пирамиды равна:

Ответ: 28224

Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 22, боковые ребра равны 61. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Основанием правильной шестиугольной пирамиды является правильный шестиугольник.

Площадь боковой поверхности данной пирамиды состоит из шести площадей равных треугольников с сторонами 61,61 и 22:

Найдём площадь треугольника, воспользуемся формулой Герона:

Таким образом, площадь боковой поверхности равна:

Ответ: 3240

*В представленных выше задачах площадь боковой грани можно было найти используя другую формулу треугольника, но для этого нужно вычислить апофему.

27155. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и высота равна 4.

Для того, чтобы найти площадь поверхности пирамиды нам необходимо знать площадь основания и площадь боковой поверхности:

Площадь основания равна 36, так как это квадрат со стороной 6.

Боковая поверхность состоит из четырёх граней, которые являются равными треугольниками. Для того, чтобы найти площадь такого треугольника требуется знать его основание и высоту (апофему):

*Площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты проведённой к этому основанию.

Основание известно, оно равно шести. Найдём высоту. Рассмотрим прямоугольный треугольник (он выделен жёлтым):

Один катет равен 4, так как это высота пирамиды, другой равен 3, так как он равен половине ребра основания. Можем найти гипотенузу, по теореме Пифагора:

Значит площадь боковой поверхности пирамиды равна:

Таким образом, площадь поверхности всей пирамиды равна:

Ответ: 96

27069. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

27070. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Существуют ещё формулы площади боковой поверхности правильной пирамиды. В правильной пирамиде основание является ортогональной проекцией боковой поверхности, поэтому:

P - периметр основания, l - апофема пирамиды

*Эта формула основывается на формуле площади треугольника.

Если хотите узнать подробнее как эти формулы выводятся, не пропустите, следите за публикацией статей. На этом всё. Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Пирамида — одна из разновидностей многогранника, образованного из многоугольников и треугольников, которые лежат в основании и являются его гранями.

Причем на вершине пирамиды (т.е. в одной точке) все грани объединяются.

Для того чтобы вычислить площадь пирамиды, стоит определить, что ее боковая поверхность состоит из нескольких треугольников. А их площади мы сможем легко найти, применяя

различные формулы. В зависимости от того, какие данные треугольников нам известны, мы ищем их площадь.

Перечислим некоторые формулы, с помощью которых можно найти площадь треугольников:

1. S = (a*h)/2 . В данном случае нам известна высота треугольника h , которая опущена на сторону a .
2. S = a*b*sinβ . Здесь стороны треугольника a , b , а угол между ними — β .
3. S = (r*(a + b + c))/2 . Здесь стороны треугольника a, b, c . Радиус окружности, которая вписана в треугольник - r .
4. S = (a*b*c)/4*R . Радиус, описанной окружности вокруг треугольника — R .
5. S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . Данную формулу нужно применять только в том случае, когда треугольник является прямоугольным.
6. S = (a²*√3)/4 . Эту формулу применяем к равностороннему треугольнику.

Лишь после того, как рассчитаем площади всех треугольников, которые являются гранями нашей пирамиды, можно вычислить площадь ее боковой поверхности. Для этого будем использовать выше перечисленные формулы.

Для того чтобы вычислить площадь боковой поверхности пирамиды, никаких сложностей не возникает: нужно узнать сумму площадей всех треугольников. Выразим это формулой:

Sп = ΣSi

Здесь Si является площадью первого треугольника, а S п — площадь боковой поверхности пирамиды.

Рассмотрим на примере. Дана правильная пирамида, ее боковые грани образованы несколькими равносторонними треугольниками,

«Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей ».

Галилео Галилей.

а квадрат является основанием пирамиды. Причем ребро пирамиды имеет длину 17 см. Найдем площадь боковой поверхности данной пирамиды.

Рассуждаем так: нам известно, что гранями пирамиды являются треугольники, они равносторонние. Также нам известно, какова длина ребра у данной пирамиды. Отсюда выходит, что все треугольники имеют равные боковые стороны, их длина 17 см.

Для вычисления площади каждого из данных треугольников, можно использовать такую формулу:

S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 см²

Так, как мы знаем, что квадрат лежит в основании пирамиды, то выходит, что мы имеем четыре равносторонних треугольника. А это значит, что площадь боковой поверхности пирамиды легко рассчитать по следующей формуле: 125.137 см² * 4 = 500.548 см²

Наш ответ следующий: 500.548 см² - такова площадь боковой поверхности данной пирамиды.

Параллелепипед – это четырехугольная призма, в основании имеющая параллелограмм. Существуют готовые формулы для расчета боковой и полной площади поверхности фигуры, для которых необходимы лишь длины трех измерений параллелепипеда.

Как найти площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда

Необходимо различать прямоугольный и прямой параллелепипед. Основание прямой фигуры может представлять собой любой параллелограмм. Площадь такой фигуры необходимо вычислять по другим формулам.

Сумма S боковых граней прямоугольного параллелепипеда вычисляется по простой формуле P*h, где P – периметр и h – высота. На рисунке видно, что у прямоугольного параллелепипеда противоположные грани равны, а высота h совпадает с длиной ребер, перпендикулярных основанию.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

Полная площадь фигуры состоит из боковой и площади 2-х оснований. Как найти площади прямоугольного параллелепипеда:

Где a, b и c – это измерения геометрического тела.
Описанные формулы просты для понимания и полезны при решении множества задач геометрии. Пример типового задания представлен на следующем изображении.

При решении подобного рода задач следует помнить, что основание четырехугольной призмы выбирается произвольно. Если за основание принять грань с измерениями x и 3, то значения Sбок будет иным, а Sполн останется 94 см2.

Площадь поверхности куба

Куб – это прямоугольный параллелепипед, у которого все 3 измерения равны между собой. В связи с этим формулы полной и боковой площади куба отличаются от стандартных.

Периметр куба равен 4a, следовательно, Sбок= 4*a*a = 4*a2. Данные выражения не обязательны для заучивания, но значительно ускоряют решение заданий.